Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos skyrių. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija yra taksi skaitiklio darbas (kur jie vis dar lieka). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suprasti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.

Matematinė skaičių seka

Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.

ir 1 yra pirmasis sekos narys;

ir 2 yra antrasis sekos narys;

ir 7 yra septintasis sekos narys;

ir n yra n-tasis sekos narys;

Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.

a - skaitinės sekos nario reikšmė;

n yra jo serijos numeris;

f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.

Apibrėžimas

Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:

a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;

a n+1 – kito skaičiaus formulė;

d – skirtumas (tam tikras skaičius).

Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.

Žemiau esančioje diagramoje lengva suprasti, kodėl skaitinė seka vadinamas „didėjančiu“.

Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nurodyto nario vertė

Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario vertė gali būti nustatyta kaip pirmojo progresijos nario suma su progresijos skirtumu, padauginta iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .

Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.

Duoto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys

Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.

Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:

Pirmasis sekos narys yra 3;

Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.

Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę

Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:

a(n) = a1 + d(n-1)

Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.

Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas trunka ne daugiau kaip 2 eilutes.

Tam tikro terminų skaičiaus suma

Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje serijoje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.

Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:

Pirmasis sekos narys yra nulis;

Skirtumas yra 0,5.

Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.

Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:

101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5

Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys

Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio matuoklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.

Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.

1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.

30 - 3 = 27 km.

2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizavimas.

Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).

Nario vertė yra suma.

Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.

Progresijos skirtumas d = 22 p.

mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo nuo žvaigždės. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.

Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė

Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio plitimo greitį, pavyzdžiui, ligos epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.

N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;

b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;

q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.

Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:

Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:

Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp n-ojo progresijos nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:

Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:

Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Pamokos tikslai:

• mokinių idėjų apie užduotis, sprendžiamas naudojant aritmetinę progresiją, plėtimas ir gilinimas; studentų paieškos veiklos organizavimas išvedant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę;
• įgūdžių lavinimas savarankiškai įgyti naujų žinių, panaudoti jau įgytas žinias užduočiai pasiekti;
• noro ir poreikio apibendrinti gautus faktus vystymasis, savarankiškumo ugdymas.

Užduotys:

• apibendrinti ir sisteminti turimas žinias tema „Aritmetinė progresija“;
• išvesti formules aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumai apskaičiuoti;
• mokyti gautas formules taikyti sprendžiant įvairius uždavinius;
• atkreipti mokinių dėmesį į skaitinės išraiškos reikšmės radimo tvarką.

Įranga:

• kortelės su užduotimis darbui grupėse ir porose;
• Vertinimo popierius;
• pristatymas “Aritmetinė progresija”.

I. Pagrindinių žinių aktualizavimas.

1. Savarankiškas darbas poromis.

1 variantas:

Apibrėžkite aritmetinę progresiją. Užsirašykite rekursinę formulę, kuri apibrėžia aritmetinę progresiją. Pateikite aritmetinės progresijos pavyzdį ir nurodykite jos skirtumą.

2 variantas:

Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Raskite 100-ąjį aritmetinės progresijos narį ( a n}: 2, 5, 8 …
Šiuo metu du mokiniai lentos gale ruošia atsakymus į tuos pačius klausimus.
Mokiniai vertina partnerio darbą lygindami su lenta. (Įteikiami lapeliai su atsakymais).

2. Žaidimo momentas.

1 pratimas.

Mokytojas. Sugalvojau tam tikrą aritmetinę progresiją. Užduokite man tik du klausimus, kad po atsakymų galėtumėte greitai įvardyti 7-ąjį šios progresijos narį. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Klausimai iš studentų.

1. Koks yra šeštasis progresavimo terminas ir koks skirtumas?
2. Kas yra aštuntas progresijos narys ir koks skirtumas?

Jei klausimų nebėra, mokytojas gali juos paskatinti - „draudimas“ (skirtumas), tai yra, neleidžiama klausti, koks skirtumas. Galite užduoti klausimus: koks yra 6-asis progresijos narys ir koks 8-asis progresijos narys?

2 užduotis.

Ant lentos parašyta 20 skaičių: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mokytojas stovi nugara į lentą. Mokiniai pasako numerio numerį, o mokytojas iškart skambina pačiu numeriu. Paaiškinkite, kaip aš galiu tai padaryti?

Mokytojas prisimena n-to termino formulę a n \u003d 3n - 2 ir, pakeisdamas nurodytas n reikšmes, suranda atitinkamas reikšmes a n .

II. Ugdymo užduoties išdėstymas.

Siūlau išspręsti seną II tūkstantmečio pr. Kr. problemą, rastą Egipto papirusuose.

Užduotis:„Tebūnie jums pasakyta: padalinkite 10 miežių 10 žmonių, skirtumas tarp kiekvieno žmogaus ir jo kaimyno yra 1/8 masto.

• Kaip ši problema susijusi su aritmetinės progresijos tema? (Kiekvienas kitas žmogus gauna 1/8 priemonės daugiau, todėl skirtumas yra d=1/8, 10 žmonių, taigi n=10.)
• Kaip manote, ką reiškia skaičius 10? (Visų progreso narių suma.)
• Ką dar reikia žinoti, kad miežius būtų lengva ir paprasta skirstyti pagal problemos būklę? (Pirmasis progresavimo terminas.)

Pamokos tikslas- progresijos narių sumos priklausomybės nuo jų skaičiaus, pirmojo nario ir skirtumo gavimas bei patikrinimas, ar senovėje buvo teisingai išspręstas uždavinys.

Prieš išvesdami formulę, pažiūrėkime, kaip senovės egiptiečiai išsprendė problemą.

Ir jie tai išsprendė taip:

1) 10 priemonių: 10 = 1 matas – vidutinė dalis;
2) 1 matas ∙ = 2 matai – padvigubintas vidutinis Dalintis.
padvigubėjo vidutinis dalis yra 5-ojo ir 6-ojo asmens akcijų suma.
3) 2 priemonės – 1/8 priemonės = 1 7/8 priemonės – dvigubai daugiau nei penktojo asmens dalis.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - penktojo dalis; ir pan., galite rasti kiekvieno ankstesnio ir paskesnio asmens dalį.

Gauname seką:

III. Užduoties sprendimas.

1. Darbas grupėse

1 grupė: Raskite 20 iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sumą: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

AT bendras vaizdas

II grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 100 (Legenda apie Mažąjį Gausą).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Išvada:

III grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 21.

Sprendimas: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Išvada:

IV grupė: Raskite natūraliųjų skaičių sumą nuo 1 iki 101.

Išvada:

Šis nagrinėjamų problemų sprendimo būdas vadinamas „Gausso metodu“.

2. Kiekviena grupė lentoje pateikia problemos sprendimą.

3. Siūlomų savavališkos aritmetinės progresijos sprendinių apibendrinimas:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Šią sumą randame argumentuodami panašiai:

4. Ar išsprendėme užduotį?(Taip.)

IV. Pirminis gautų formulių suvokimas ir taikymas sprendžiant uždavinius.

1. Seno uždavinio sprendimo patikrinimas pagal formulę.

2. Formulės taikymas sprendžiant įvairius uždavinius.

3. Pratimai, skirti gebėjimo taikyti formulę sprendžiant uždavinius formavimui.

A) Nr. 613

Duota :( ir n) - aritmetinė progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Rasti: S 1500

Sprendimas: , ir 1 = 1, ir 1500 = 1500,

B) Duota: ( ir n) - aritmetinė progresija;
(ir n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Rasti: n
Sprendimas:

V. Savarankiškas darbas su abipusiu patikrinimu.

Denisas nuėjo dirbti kurjeriu. Pirmą mėnesį jo atlyginimas buvo 200 rublių, kiekvieną kitą mėnesį jis didėjo po 30 rublių. Kiek jis uždirbo per metus?

Duota :( ir n) - aritmetinė progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Rasti: S 12
Sprendimas:

Atsakymas: Denisas už metus gavo 4380 rublių.

VI. Namų darbų instrukcija.

1. 4.3 p. - išmokti formulės išvedimą.
2. №№ 585, 623 .
3. Sudarykite uždavinį, kuris būtų išspręstas naudojant aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę.

VII. Apibendrinant pamoką.

1. Balų lentelė

2. Tęskite sakinius

• Šiandien klasėje išmokau...
• Išmoktos formulės...
• Aš manau, kad …

3. Ar galite rasti skaičių nuo 1 iki 500 sumą? Kokį metodą naudosite šiai problemai išspręsti?

Bibliografija.

1. Algebra, 9 kl. Vadovėlis švietimo įstaigoms. Red. G.V. Dorofejeva. Maskva: Švietimas, 2009 m.

Matematika turi savo grožį, kaip ir tapyba bei poezija.

Rusų mokslininkas, mechanikas N.E. Žukovskis

Labai dažnos matematikos stojamųjų testų užduotys yra užduotys, susijusios su aritmetinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, būtina gerai išmanyti aritmetinės progresijos savybes ir turėti tam tikrų jų taikymo įgūdžių.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines aritmetinės progresijos savybes ir pateiksime svarbiausias formules, susijusi su šia sąvoka.

Apibrėžimas. Skaitmeninė seka, kurioje kiekvienas paskesnis terminas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi, vadinama aritmetine progresija. Tuo pačiu metu skaičiusvadinamas progresijos skirtumu.

Aritmetinei progresijai galioja formulės

, (1)

kur . Formulė (1) vadinama aritmetinės progresijos bendrojo nario formule, o formulė (2) yra pagrindinė aritmetinės progresijos savybė: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių aritmetiniu vidurkiu ir .

Atkreipkite dėmesį, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „aritmetine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

(3)

Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas aritmetinės progresijos nariaidažniausiai naudojama formulė

(5) kur ir .

Jei atsižvelgsime į formulę (1), tada formulė (5) reiškia

Jei paskirsime

kur . Kadangi , tada (7) ir (8) formulės yra atitinkamų (5) ir (6) formulių apibendrinimas.

Visų pirma, iš (5) formulės išplaukia, ką

Daugumai studentų mažai žinoma yra aritmetinės progresijos savybė, suformuluota pagal šią teoremą.

Teorema. Jei tada

Įrodymas. Jei tada

Teorema įrodyta.

Pavyzdžiui , naudojant teoremą, galima tai parodyti

Pereikime prie tipinių uždavinių sprendimo pavyzdžių svarstymo tema „Aritmetinė progresija“.

1 pavyzdys Leiskite ir. Rasti.

Sprendimas. Taikydami formulę (6), gauname . Nuo ir , tada arba .

2 pavyzdys Leiskite tris kartus daugiau, o dalinant iš koeficiento gaunasi 2, o likusioji dalis yra 8. Nustatykite ir.

Sprendimas. Lygčių sistema išplaukia iš pavyzdžio sąlygos

Kadangi , , ir , tada iš lygčių sistemos (10) gauname

Šios lygčių sistemos sprendiniai yra ir .

3 pavyzdys Raskite, ar ir.

Sprendimas. Pagal (5) formulę turime arba . Tačiau naudojant savybę (9), gauname .

Nuo ir , tada iš lygybės toliau pateikiama lygtis arba .

4 pavyzdys Raskite, jei.

Sprendimas.Pagal formulę (5) turime

Tačiau naudojant teoremą galima rašyti

Iš čia ir iš (11) formulės gauname .

5 pavyzdys. Duota:. Rasti.

Sprendimas. Nuo tada . Tačiau todėl .

6 pavyzdys Leiskite , ir . Rasti.

Sprendimas. Naudodami formulę (9), gauname . Todėl, jei , tada arba .

Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Išspręsdami kurią, gauname ir .

Natūrali lygties šaknis yra .

7 pavyzdys Raskite, ar ir.

Sprendimas. Kadangi pagal (3) formulę turime, kad , tai lygčių sistema išplaukia iš uždavinio sąlygos

Jei pakeisime išraiškąį antrąją sistemos lygtį, tada gauname arba .

Kvadratinės lygties šaknys yra ir .

Panagrinėkime du atvejus.

1. Leiskite , tada . Nuo ir tada .

Šiuo atveju pagal (6) formulę turime

2. Jei , tada , ir

Atsakymas: ir.

8 pavyzdys Yra žinoma, kad ir Rasti.

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę ir pavyzdžio sąlygą, rašome ir .

Tai reiškia lygčių sistemą

Jei pirmąją sistemos lygtį padauginsime iš 2, o tada pridėsime prie antrosios lygties, gausime

Pagal (9) formulę turime. Šiuo atžvilgiu iš (12) išplaukia arba .

Nuo ir tada .

Atsakymas:.

9 pavyzdys Raskite, ar ir.

Sprendimas. Nuo , ir pagal sąlygą , tada arba .

Iš (5) formulės žinoma, ką . Nuo tada .

Vadinasi, čia turime tiesinių lygčių sistemą

Iš čia gauname ir . Atsižvelgdami į (8) formulę, rašome .

10 pavyzdys Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Iš pateiktos lygties išplaukia, kad . Tarkime, kad , , ir . Tokiu atveju .

Pagal (1) formulę galime rašyti arba .

Kadangi , (13) lygtis turi unikalią tinkamą šaknį .

11 pavyzdys. Raskite didžiausią reikšmę, jei ir .

Sprendimas. Nuo tada svarstoma aritmetinė progresija mažėja. Šiuo atžvilgiu išraiška įgyja didžiausią reikšmę, kai ji yra minimalaus teigiamo progreso nario skaičius.

Mes naudojame formulę (1) ir faktą, kuris ir . Tada gauname tai arba .

Nes tada arba . Tačiau šioje nelygybėjedidžiausias natūralusis skaičius, Štai kodėl .

Jei reikšmės ir yra pakeistos į (6) formulę, tada gauname .

Atsakymas:.

12 pavyzdys. Raskite visų dviženklių natūraliųjų skaičių, kuriuos padalijus iš 6, likutį sudaro 5, sumą.

Sprendimas.Žymi visų dvireikšmių natūraliųjų skaičių aibe, t.y. . Toliau sudarome poaibį, susidedantį iš tų aibės elementų (skaičių), kuriuos padalijus iš skaičiaus 6, gauname 5 likutį.

Lengva montuoti, ką . Aišku, kad aibės elementaisudaryti aritmetinę progresiją, kuriame ir .

Norėdami nustatyti aibės kardinalumą (elementų skaičių), darome prielaidą, kad . Kadangi ir , tada formulė (1) reiškia arba . Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname .

Aukščiau pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai jokiu būdu negali teigti, kad jie yra išsamūs. Šis straipsnis parašytas remiantis šiuolaikinių metodų, skirtų tipinėms konkrečios temos problemoms spręsti, analize. Norint giliau ištirti su aritmetine progresija susijusių problemų sprendimo metodus, patartina remtis rekomenduojamos literatūros sąrašu.

1. Matematikos užduočių rinkinys stojantiesiems į technikos universitetus / Red. M.I. Scanavi. - M .: Pasaulis ir švietimas, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. – M.: Lenandas / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas atliekant užduotis ir pratybas. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Ar turite kokių nors klausimų?

Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Mokantis algebros vidurinėje mokykloje (9 klasėje), viena iš svarbių temų yra skaitinių sekų, apimančių progresiją – geometrinę ir aritmetinę, studijos. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina pateikti nagrinėjamos progresijos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.

Aritmetinė arba algebrinė progresija yra tokia tvarkingų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikru pastoviu dydžiu. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.

Paimkime pavyzdį. Kita skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17–12).

Svarbios formulės

Dabar pateikiame pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Pažymėkite simboliu a n n-asis narys sekos, kur n yra sveikas skaičius. Skirtumas žymimas lotyniška raide d. Tada teisingi šie posakiai:

1. Norint nustatyti n-ojo nario reikšmę, tinka formulė: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n + a 1)*n/2.

Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su 9 klasės sprendimu pavyzdžius, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes visos nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat nepamirškite, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1 .

1 pavyzdys: Nežinomo nario radimas

Pateikiame paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti sprendžiant.

Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis narius.

Jau iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:

1. Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galima paimti bet kokius du kitus terminus, stovinčius vienas šalia kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d \u003d a n - a n-1, tada d \u003d a 5 - a 4, iš kur gauname: a 5 \u003d a 4 + d. Pakeičiame žinomas reikšmes: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Antrasis metodas taip pat reikalauja žinoti apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kaip matote, abu sprendimai leidžia pasiekti tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiamas. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas einantis narys yra mažesnis už ankstesnįjį.

2 pavyzdys: progresijos skirtumas

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį, pateikime pavyzdį, kaip

Yra žinoma, kad kai kuriose 1-asis narys yra lygus 6, o 7-asis narys yra lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7-ąjį narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Į jį pakeičiame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi buvo atsakyta į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ir 7 = 18.

3 pavyzdys: progresas

Dar labiau apsunkinkime problemos būklę. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galima pateikti tokį pavyzdį: pateikti du skaičiai, pavyzdžiui, 4 ir 5. Būtina atlikti algebrinę progresiją, kad tarp jų būtų dar trys nariai.

Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą duoti skaičiai užims tolesnėje progresijoje. Kadangi tarp jų bus dar trys terminai, tada 1 \u003d -4 ir 5 \u003d 5. Tai nustatę, pereiname prie užduoties, panašios į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nuo: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia skirtumas yra ne sveikasis skaičius, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progresijos narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 kuri sutapo su problemos sąlyga.

4 pavyzdys: pirmasis progreso narys

Toliau pateikiame aritmetinės progresijos su sprendimu pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, nuo kurio skaičiaus prasideda ši seka.

Iki šiol naudotos formulės daro prielaidą, kad žinomos 1 ir d. Apie šiuos skaičius problemos sąlygomis nieko nežinoma. Nepaisant to, užrašykite kiekvieno termino, apie kurį turime informacijos, išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Nurodytą sistemą lengviausia išspręsti, jei kiekvienoje lygtyje išreiškiate 1, o tada palyginsite gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (duodami tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jei kyla abejonių dėl rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos narį. Gauname: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Nedidelė klaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

5 pavyzdys: suma

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, ši problema gali būti išspręsta, tai yra, nuosekliai susumuoti visus skaičius, ką kompiuteris padarys, kai tik žmogus paspaus klavišą Enter. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, dar būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad sudėjus skaičių poras, esančias sekos kraštuose, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

6 pavyzdys: terminų suma nuo n iki m

Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: pateikiant skaičių seką: 3, 7, 11, 15, ..., reikia sužinoti, kokia bus jos narių nuo 8 iki 14 suma.

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, šią problemą siūloma spręsti antruoju metodu, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad į 2 sumą įeina pirmoji. Paskutinė išvada reiškia, kad jei paimsime skirtumą tarp šių sumų, o prie jo pridėsime terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gauname reikiamą problemos atsakymą. Mes turime: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos n-ojo nario išraiškos ir pirmųjų narių aibės sumos formulės žinojimu. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką norite rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendimu Nr. 6 pavyzdyje galima sustoti ties formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir suskaidykite bendrąją užduotį į atskiras dalis (šiuo atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Kaip rasti aritmetinę progresiją, sužinojome. Kai tai išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

Ką pagrindinis dalykas formules?

Ši formulė leidžia rasti bet koks PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Žinoma, reikia žinoti pirmąjį terminą a 1 ir progresavimo skirtumas d, na, be šių parametrų negalėsite užrašyti konkrečios eigos.

Nepakanka įsiminti (ar apgauti) šią formulę. Būtina įsisavinti jo esmę ir taikyti formulę įvairiose užduotyse. Taip, ir nepamirškite tinkamu laiku, taip ...) Kaip nepamiršti- Aš nežinau. Bet kaip atsiminti Jei reikės, duosiu patarimą. Tiems, kurie įvaldo pamoką iki galo.)

Taigi, panagrinėkime aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę.

Kas yra formulė apskritai – įsivaizduojame.) Kas yra aritmetinė progresija, narių skaičius, progresijos skirtumas – aiškiai pasakyta ankstesnėje pamokoje. Pažiūrėkite, jei neskaitėte. Ten viskas paprasta. Belieka išsiaiškinti, kas n-asis narys.

Apskritai progresą galima parašyti kaip skaičių seką:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- žymi pirmąjį aritmetinės progresijos narį, a 3- trečiasis narys a 4- ketvirta ir pan. Jei mus domina penktoji kadencija, tarkime, kad dirbame su a 5, jei šimtas dvidešimtas – nuo a 120.

Kaip apibrėžti apskritai bet koks aritmetinės progresijos narys, s bet koks numeris? Labai paprasta! Kaip šitas:

a n

Štai kas yra n-asis aritmetinės progresijos narys. Po raide n slepiasi iš karto visi narių skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir pan.

O ką mums duoda toks rekordas? Tik pagalvokite, vietoj skaičiaus jie užrašė raidę ...

Šis žymėjimas suteikia mums galingą įrankį dirbant su aritmetine progresija. Naudojant žymėjimą a n, galime greitai rasti bet koks narys bet koks aritmetinė progresija. Ir daugybė užduočių, kurias reikia išspręsti. Pamatysite toliau.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulėje:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- pirmasis aritmetinės progresijos narys;

n- nario numeris.

Formulė susieja pagrindinius bet kokios eigos parametrus: a n; a 1; d ir n. Aplink šiuos parametrus visi galvosūkiai sukasi paeiliui.

N-ojo termino formulė taip pat gali būti naudojama konkrečiai progresijai parašyti. Pavyzdžiui, užduotyje galima sakyti, kad progresą suteikia sąlyga:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tokia problema gali net suklaidinti... Nėra serijos, jokio skirtumo... Bet palyginus sąlygą su formule, nesunku suprasti, kad šioje progresijoje a 1 \u003d 5 ir d = 2.

Ir tai gali būti dar piktesnė!) Jei laikysimės tos pačios sąlygos: a n = 5 + (n-1) 2, taip, atverti skliaustus ir duoti panašius? Gauname naują formulę:

an = 3 + 2n.

tai Tik ne bendrai, o konkrečiai progresijai. Čia ir slypi spąstai. Kai kurie žmonės mano, kad pirmasis terminas yra trys. Nors realiai pirmasis narys yra penketukas... Šiek tiek žemiau dirbsime su tokia modifikuota formule.

Pažangos užduotyse yra dar vienas žymėjimas - a n+1. Tai, jūs atspėjote, yra progreso „n plius pirmasis“ terminas. Jo reikšmė paprasta ir nekenksminga.) Tai progresijos narys, kurio skaičius yra vienetu didesnis už skaičių n. Pavyzdžiui, jei sprendžiame kokią nors problemą a n tada penkta kadencija a n+1 bus šeštasis narys. ir kt.

Dažniausiai pavadinimas a n+1 pasitaiko rekursinėse formulėse. Nebijokite šio baisaus žodžio!) Tai tik būdas išreikšti aritmetinės progresijos terminą per ankstesnįjį. Tarkime, kad tokia forma mums pateikiama aritmetinė progresija, naudojant pasikartojančią formulę:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Ketvirtasis – per trečią, penktas – per ketvirtą ir t.t. Ir kaip iš karto suskaičiuoti, sakyk dvidešimtą terminą, a 20? Bet jokiu būdu!) Nors 19-asis terminas nėra žinomas, 20-asis negali būti skaičiuojamas. Tai yra esminis skirtumas tarp rekursinės formulės ir n-ojo nario formulės. Rekursyvūs veikia tik per ankstesnis terminas, o n-ojo termino formulė – per Pirmas ir leidžia iškarto raskite bet kurį narį pagal jo numerį. Neskaičiuojant visos skaičių serijos iš eilės.

Aritmetinėje progresijoje rekursinė formulė gali būti lengvai paversta įprasta. Suskaičiuokite porą iš eilės einančių terminų, apskaičiuokite skirtumą d, jei reikia, suraskite pirmąjį terminą a 1, parašykite formulę įprasta forma ir dirbkite su ja. GIA tokios užduotys dažnai randamos.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulės taikymas.

Pirmiausia pažvelkime į tiesioginį formulės taikymą. Ankstesnės pamokos pabaigoje iškilo problema:

Duota aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.

Šį uždavinį galima išspręsti be jokių formulių, tiesiog remiantis aritmetinės progresijos reikšme. Pridėti, taip pridėti... Valanda ar dvi.)

O pagal formulę sprendimas užtruks mažiau nei minutę. Galite laiku.) Mes nusprendžiame.

Sąlygose pateikiami visi formulės naudojimo duomenys: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Lieka pažiūrėti, kas n. Jokiu problemu! Mums reikia rasti a 121. Čia rašome:

Prašau atkreipti dėmesį! Vietoj indekso n pasirodė konkretus skaičius: 121. Kas yra gana logiška.) Mus domina aritmetinės progresijos narys. numeris šimtas dvidešimt vienas. Tai bus mūsų n. Tai yra ši prasmė n= 121 pakeisime toliau į formulę skliausteliuose. Pakeiskite visus skaičius formulėje ir apskaičiuokite:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Tai viskas. Lygiai taip pat greitai galima rasti penkis šimtus dešimtą narį ir tūkstantį trečią, bet kurį. Vietoj to dedame n norimą skaičių raidės rodyklėje " a" ir skliausteliuose, ir svarstome.

Leiskite jums priminti esmę: ši formulė leidžia jums rasti bet koks aritmetinės progresijos terminas PAGAL JO NUMERĮ“ n" .

Išspręskime problemą protingiau. Tarkime, kad turime tokią problemą:

Raskite pirmąjį aritmetinės progresijos narį (a n), jei a 17 =-2; d=-0,5.

Jei turite kokių nors sunkumų, aš pasiūlysiu pirmąjį žingsnį. Užrašykite aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę! Taip taip. Rašykite ranka tiesiai į užrašų knygelę:

a n = a 1 + (n-1)d

O dabar, žiūrėdami į formulės raides, suprantame, kokius duomenis turime, o ko trūksta? Yra d=-0,5, yra septynioliktas narys... Viskas? Jei manote, kad tai viskas, tada jūs negalite išspręsti problemos, taip ...

Turime ir numerį n! Būklė a 17 =-2 paslėptas du variantai. Tai ir septyniolikto nario reikšmė (-2), ir jo skaičius (17). Tie. n=17.Ši „smulkmena“ dažnai praslysta pro galvą, o be jos, (be „smulkmenos“, ne galvos!) problemos neišspręsi. Nors ... ir be galvos.)

Dabar mes galime tiesiog kvailai pakeisti savo duomenis į formulę:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O taip, a 17 mes žinome, kad -2. Gerai, įdėkime:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Iš esmės tai ir yra viskas. Belieka iš formulės išreikšti pirmąjį aritmetinės progresijos narį ir apskaičiuoti. Jūs gaunate atsakymą: a 1 = 6.

Tokia technika – formulės rašymas ir tiesiog žinomų duomenų pakeitimas – labai padeda atliekant paprastas užduotis. Na, žinoma, jūs turite mokėti išreikšti kintamąjį iš formulės, bet ką daryti!? Be šio įgūdžio matematikos apskritai negalima mokytis ...

Kita populiari problema:

Raskite aritmetinės progresijos skirtumą (a n), jei a 1 =2; 15 = 12.

Ką mes darome? Nustebsite, mes rašome formulę!)

a n = a 1 + (n-1)d

Apsvarstykite, ką žinome: a 1 = 2; a 15 = 12; ir (ypatingas akcentas!) n = 15. Nesivaržykite pakeisti formule:

12=2 + (15-1)d

Atlikime aritmetiką.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tai teisingas atsakymas.

Taigi, užduotys a n, a 1 ir d nusprendė. Belieka išmokti rasti numerį:

Skaičius 99 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 =12; d=3. Raskite šio nario numerį.

Žinomus dydžius pakeičiame n-ojo nario formule:

a n = 12 + (n-1) 3

Iš pirmo žvilgsnio čia yra du nežinomi kiekiai: a n ir n. Bet a n yra tam tikras progresijos narys su skaičiumi n... Ir šis progresijos narys, kurį mes žinome! Tai 99. Mes nežinome jo numerio. n, taigi ir šį skaičių reikia surasti. Pakeiskite progresavimo terminą 99 į formulę:

99 = 12 + (n-1) 3

Išreiškiame iš formulės n, mes galvojame. Gauname atsakymą: n = 30.

O dabar problema ta pačia tema, bet kūrybiškesnė):

Nustatykite, ar skaičius 117 bus aritmetinės progresijos narys (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Dar kartą parašykime formulę. Ką, nėra pasirinkimų? Hm... Kam mums reikalingos akys?) Ar matome pirmąjį progresijos narį? Mes matome. Tai yra -3,6. Galite drąsiai rašyti: a 1 \u003d -3,6. Skirtumas d galima nustatyti iš serijos? Tai paprasta, jei žinote, kuo skiriasi aritmetinė progresija:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Taip, mes padarėme paprasčiausią dalyką. Belieka susidoroti su nežinomu numeriu n ir nesuprantamas skaičius 117. Ankstesnėje užduotyje bent jau buvo žinoma, kad buvo pateiktas progresijos terminas. Bet čia mes net nežinome, kad ... Kaip būti!? Na, kaip būti, kaip būti... Įjunk Kūrybiniai įgūdžiai!)

Mes tarkime kad 117 visgi yra mūsų progreso narys. Su nežinomu numeriu n. Ir, kaip ir ankstesnėje užduotyje, pabandykime rasti šį skaičių. Tie. rašome formulę (taip-taip!)) ir pakeičiame savo skaičius:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Vėlgi išreiškiame iš formulėsn, suskaičiuojame ir gauname:

Oi! Numeris pasirodė trupmenos!Šimtas su puse. Ir trupmeniniai skaičiai progresijoje negali būti. Kokią išvadą darome? Taip! 117 numeris nėra mūsų progreso narys. Jis yra kažkur tarp 101 ir 102 narių. Jei skaičius pasirodė natūralus, t.y. teigiamas sveikasis skaičius, tada skaičius būtų progresijos narys su rastu skaičiumi. Ir mūsų atveju atsakymas į problemą bus toks: ne.

Užduotis pagrįsta tikra versija GIA:

Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:

a n \u003d -4 + 6,8n

Raskite pirmąją ir dešimtąją progresijos narius.

Čia progresas nustatomas neįprastu būdu. Kažkokia formulė... Būna.) Tačiau ši formulė (kaip rašiau aukščiau) - taip pat aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė! Ji taip pat leidžia raskite bet kurį progresijos narį pagal jo skaičių.

Ieškome pirmojo nario. Tas, kuris galvoja. kad pirmasis narys yra minus keturi, yra mirtinai klaidinga!) Kadangi uždavinyje esanti formulė yra modifikuota. Jame pirmasis aritmetinės progresijos narys paslėptas. Nieko, dabar rasime.)

Kaip ir ankstesnėse užduotyse, mes pakeičiame n=1į šią formulę:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Čia! Pirmasis terminas yra 2,8, o ne -4!

Panašiai ieškome dešimtojo termino:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Tai viskas.

O dabar tiems, kurie perskaitė iki šių eilučių, pažadėta premija.)

Tarkime, sudėtingoje kovos situacijoje, susijusioje su GIA arba vieningu valstybiniu egzaminu, pamiršote naudingą n-ojo aritmetinės progresijos nario formulę. Kažkas ateina į galvą, bet kažkaip neaiškiai... Nesvarbu n ten, arba n+1 arba n-1... Kaip būti!?

Ramus! Šią formulę lengva išvesti. Nelabai griežtas, bet tikrai pakankamai pasitikėjimui ir teisingam sprendimui!) Išvadai pakanka prisiminti elementarią aritmetinės progresijos reikšmę ir turėti porą minučių laiko. Jums tereikia nupiešti paveikslėlį. Dėl aiškumo.

Nubrėžiame skaitinę ašį ir pažymime joje pirmąją. antras, trečias ir kt. nariai. Ir atkreipkite dėmesį į skirtumą d tarp narių. Kaip šitas:

Žiūrime į paveikslėlį ir galvojame: kam lygus antrasis terminas? Antra vienas d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kas yra trečiasis terminas? Trečias terminas lygus pirmam terminui plius du d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ar supranti? Kai kurių žodžių nerašau paryškintu šriftu. Gerai, dar vienas žingsnis.)

Kas yra ketvirtas terminas? Ketvirta terminas lygus pirmam terminui plius trys d.

a 4 =a 1 + 3 d

Pats laikas suvokti, kad tarpų skaičius, t.y. d, visada vienu mažiau nei ieškomo nario n. Tai yra, iki skaičiaus n, tarpų skaičius bus n-1. Taigi, formulė bus tokia (be variantų!):

a n = a 1 + (n-1)d

Apskritai vaizdiniai paveikslėliai labai padeda sprendžiant daugelį matematikos problemų. Nepamirškite nuotraukų. Bet jei sunku nupiešti paveikslėlį, tai... tik formulė!) Be to, n-ojo nario formulė leidžia prie sprendinio prijungti visą galingą matematikos arsenalą – lygtis, nelygybes, sistemas ir kt. Jūs negalite įdėti paveikslėlio į lygtį...

Užduotys savarankiškam apsisprendimui.

Apšilimui:

1. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Raskite 3.

Užuomina: pagal paveikslėlį problema išspręsta per 20 sekundžių... Pagal formulę pasirodo sunkiau. Bet formulės įsisavinimui ji yra naudingesnė.) 555 skyriuje ši problema išspręsta ir paveikslėliu, ir formule. Jausti skirtumą!)

Ir tai nebėra apšilimas.)

2. Aritmetinėje progresijoje (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Raskite 3 .

Ką, nenoras piešti paveikslą?) Vis dėlto! Formulėje geriau, taip...

3. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygą:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite šimtą dvidešimt penktą šios progresijos narį.

Šioje užduotyje progresija pateikiama kartotiniu būdu. Bet skaičiuojant iki šimto dvidešimt penktosios kadencijos... Ne kiekvienas gali padaryti tokį žygdarbį.) Bet n-osios kadencijos formulė yra kiekvieno žmogaus galioje!

4. Pateikta aritmetinė progresija (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Raskite mažiausio teigiamo progresijos nario skaičių.

5. Pagal 4 užduoties sąlygą raskite mažiausių teigiamų ir didžiausių neigiamų progresijos narių sumą.

6. Didėjančios aritmetinės progresijos penktojo ir dvylikto narių sandauga yra -2,5, o trečiojo ir vienuolikto narių suma lygi nuliui. Raskite 14.

Ne pati lengviausia užduotis, taip...) Čia metodas „ant pirštų“ neveiks. Turite rašyti formules ir išspręsti lygtis.

Atsakymai (netvarkingai):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Įvyko? Tai gražu!)

Ne viskas pavyksta? Taip atsitinka. Beje, paskutinėje užduotyje yra vienas subtilus punktas. Skaitant problemą reikės dėmesingumo. Ir logika.

Visų šių problemų sprendimas yra išsamiai aptartas 555 skyriuje. Ir fantazijos elementas ketvirtam, o subtilus momentas šeštajam, ir bendri požiūriai į bet kokių problemų sprendimą n-ojo termino formulei - viskas nudažyta. Rekomenduoju.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.