Գիտե՞ք, թե ինչ տեսք ունի սովորական վեցանկյունը:
Այս հարցը պատահական չի տրվել. 11-րդ դասարանի աշակերտներից շատերը չգիտեն դրա պատասխանը:

Կանոնավոր վեցանկյունն այն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները նույնպես հավասար են:.

Երկաթե ընկույզ. Ձյան փաթիլ. Մեղրախորիսխների բջիջ, որում ապրում են մեղուները: Բենզոլի մոլեկուլ. Ի՞նչ ընդհանուր բան ունեն այս առարկաները: - Այն, որ նրանք բոլորն ունեն կանոնավոր վեցանկյուն ձև:

Շատ դպրոցականներ մոլորվում են, երբ տեսնում են սովորական վեցանկյունի առաջադրանքներ, և նրանք կարծում են, որ դրանք լուծելու համար անհրաժեշտ են որոշ հատուկ բանաձևեր: Այդպե՞ս է։

Գծի՛ր կանոնավոր վեցանկյան անկյունագծերը: Ստացանք վեց հավասարակողմ եռանկյուն:

Մենք գիտենք, որ տարածքը ուղղանկյուն եռանկյուն: .

Այնուհետև կանոնավոր վեցանկյունի մակերեսը վեց անգամ ավելի մեծ է:

Որտեղ է կանոնավոր վեցանկյան կողմը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ կանոնավոր վեցանկյունում հեռավորությունը կենտրոնից մինչև գագաթներից որևէ մեկը նույնն է և հավասար է կանոնավոր վեցանկյան կողմին:

Սա նշանակում է, որ կանոնավոր վեցանկյունի շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է նրա կողմին.
Հեշտ է գտնել կանոնավոր վեցանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը։
Նա հավասար է։
Այժմ դուք հեշտությամբ կարող եք լուծել ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ ցանկացած խնդիր, որոնցում հայտնվում է սովորական վեցանկյուն:

Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, որը գծագրված է կողքով կանոնավոր վեցանկյունով:

Նման շրջանագծի շառավիղը .

Պատասխան.

Ո՞րն է 6 շառավղով շրջանագծի մեջ գծված կանոնավոր վեցանկյան կողմը:

Մենք գիտենք, որ կանոնավոր վեցանկյան կողմը հավասար է նրա շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավղին։

Բազմանկյունների թեման անցկացվում է ք դպրոցական ծրագիրբայց բավականաչափ ուշադրություն մի դարձրեք դրան: Մինչդեռ դա հետաքրքիր է, և դա հատկապես վերաբերում է սովորական վեցանկյունին կամ վեցանկյունին, ի վերջո, շատերը բնական առարկաներ. Դրանք ներառում են մեղրախորիսխներ և այլն: Այս ձևը գործնականում շատ լավ է կիրառվում:

Սահմանում և կառուցում

Կանոնավոր վեցանկյունը հարթ պատկեր է, որն ունի վեց հավասար երկարություն և նույն թվով հավասար անկյուններ:

Եթե ​​հիշենք բազմանկյան անկյունների գումարի բանաձևը

պարզվում է, որ այս ցուցանիշում այն ​​հավասար է 720 °: Դե, քանի որ նկարի բոլոր անկյունները հավասար են, հեշտ է հաշվարկել, որ դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է 120 °:

Վեցանկյուն նկարելը շատ պարզ է, ձեզ հարկավոր է ընդամենը կողմնացույց և քանոն:

Քայլ առ քայլ հրահանգները նման կլինեն.

Ցանկության դեպքում դուք կարող եք անել առանց գծի, գծելով հավասար շառավղով հինգ շրջանակ:

Այսպիսով ստացված ցուցանիշը կլինի կանոնավոր վեցանկյուն, և դա կարելի է ապացուցել ստորև։

Հատկությունները պարզ են և հետաքրքիր

Կանոնավոր վեցանկյունի հատկությունները հասկանալու համար իմաստ ունի այն բաժանել վեց եռանկյունների.

Սա կօգնի հետագայում ավելի հստակ ցուցադրել իր հատկությունները, որոնցից հիմնականներն են.

1. սահմանափակ շրջանակի տրամագիծը;
2. ներգծված շրջանակի տրամագիծը;
3. քառակուսի;
4. պարագծային.

Սահմանափակ շրջանը և կառուցման հնարավորությունը

Հնարավոր է նկարագրել վեցանկյան շուրջ շրջանագիծ, ընդ որում՝ միայն մեկը։ Քանի որ այս ցուցանիշը ճիշտ է, դուք կարող եք դա անել միանգամայն պարզ. ներսից երկու հարակից անկյուններից կիսաչափ նկարեք: Նրանք հատվում են O կետում և նրանց միջև եղած կողմի հետ միասին կազմում են եռանկյուն:

Վեցանկյան կողմի և կիսանկյունների միջև անկյունները կլինեն յուրաքանչյուրը 60°, ուստի միանշանակ կարող ենք ասել, որ եռանկյունը, օրինակ՝ AOB, հավասարաչափ է։ Եվ քանի որ երրորդ անկյունը նույնպես հավասար կլինի 60 °, այն նույնպես հավասարակողմ է։ Դրանից բխում է, որ OA և OB հատվածները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ դրանք կարող են ծառայել որպես շրջանագծի շառավիղ։

Դրանից հետո դուք կարող եք անցնել հաջորդ կողմը, ինչպես նաև C կետի անկյան տակ կիսաչափ նկարել: Կստացվի ևս մեկ հավասարակողմ եռանկյուն, և AB կողմը ընդհանուր կլինի միանգամից երկուսի համար, իսկ OS-ն կլինի հաջորդ շառավիղը, որով անցնում է նույն շրջանը: Ընդհանուր առմամբ կլինեն վեց այդպիսի եռանկյուններ, և նրանք կունենան ընդհանուր գագաթ O կետում: Ստացվում է, որ հնարավոր կլինի նկարագրել շրջանագիծը, և այն միայն մեկն է, և նրա շառավիղը հավասար է վեցանկյան կողմին: :

Այդ իսկ պատճառով այս պատկերը հնարավոր է կառուցել կողմնացույցի և քանոնի օգնությամբ։

Դե, այս շրջանակի տարածքը կլինի ստանդարտ.

Արձանագրված շրջան

Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է մակագրված շրջանագծի կենտրոնի հետ։ Դա ստուգելու համար մենք կարող ենք ուղղահայացներ նկարել O կետից դեպի վեցանկյան կողմերը: Դրանք կլինեն այն եռանկյունների բարձրությունները, որոնք կազմում են վեցանկյունը: Իսկ հավասարաչափ եռանկյունում բարձրությունը միջինն է այն կողմի նկատմամբ, որի վրա այն հենվում է: Այսպիսով, այս բարձրությունը ոչ այլ ինչ է, քան ուղղահայաց կիսորդը, որը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է։

Հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը հաշվարկվում է պարզապես.

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Եվ քանի որ R=a և r=h, ստացվում է, որ

r=R(√3)/2.

Այսպիսով, ներգծված շրջանագիծն անցնում է կանոնավոր վեցանկյան կողմերի կենտրոններով։

Նրա տարածքը կլինի.

S=3πa²/4,

այսինքն նկարագրվածի երեք քառորդը։

Պարագիծը և տարածքը

Պարագծի հետ ամեն ինչ պարզ է, սա կողմերի երկարությունների գումարն է.

P=6a, կամ P=6R

Բայց մակերեսը հավասար կլինի բոլոր վեց եռանկյունների գումարին, որոնց կարելի է բաժանել վեցանկյունը։ Քանի որ եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է որպես հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսը, ապա.

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2կամ

S=3R²(√3)/2

Նրանք, ովքեր ցանկանում են հաշվարկել այս տարածքը ներգծված շրջանագծի շառավղով, կարող են անել այսպես.

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Ժամանցային շինություններ

Եռանկյունին կարելի է մակագրել վեցանկյունի մեջ, որի կողմերը կմիացնեն գագաթները մեկի միջոցով.

Դրանք ընդհանուր առմամբ երկուսն են լինելու, և միմյանց պարտադրվելը կտա Դավթի աստղը։ Այս եռանկյուններից յուրաքանչյուրը հավասարակողմ է: Սա հեշտ է ստուգել: Եթե ​​նայեք AC կողմին, ապա այն պատկանում է միանգամից երկու եռանկյունու՝ BAC-ին և AEC-ին: Եթե ​​դրանցից առաջինում AB \u003d BC, և նրանց միջև անկյունը 120 ° է, ապա մնացածներից յուրաքանչյուրը կլինի 30 °: Այստեղից մենք կարող ենք տրամաբանական եզրակացություններ անել.

1. ABC-ի բարձրությունը B գագաթից հավասար կլինի վեցանկյան կողմի կեսին, քանի որ sin30°=1/2: Նրանք, ովքեր ցանկանում են դա հաստատել, կարող են խորհուրդ տալ վերահաշվարկել Պյութագորասի թեորեմի համաձայն, այն հիանալի տեղավորվում է այստեղ:
2. AC կողմը հավասար կլինի ներգծված շրջանագծի երկու շառավղին, որը կրկին հաշվարկվում է նույն թեորեմի միջոցով։ Այսինքն՝ AC=2(a(√3)/2)=а(√3):
3. ABC, CDE և AEF եռանկյունները հավասար են երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը, հետևաբար հետևում է AC, CE և EA կողմերի հավասարությունը:

Եռանկյունները, հատվելով միմյանց հետ, կազմում են նոր վեցանկյուն, այն նաև կանոնավոր է։ Հեշտ է ապացուցել.

Այսպիսով, գործիչը համապատասխանում է կանոնավոր վեցանկյունի նշաններին. այն ունի վեց հավասար կողմերև անկյունները: Գագաթների եռանկյունների հավասարությունից հեշտ է եզրակացնել նոր վեցանկյան կողմի երկարությունը.

d=а(√3)/3

Դա կլինի նաև դրա շուրջ նկարագրված շրջանագծի շառավիղը: Գրվածի շառավիղը կլինի մեծ վեցանկյան կողմի կեսը, ինչը ապացուցվեց ABC եռանկյունին դիտարկելիս։ Նրա բարձրությունը ճիշտ կողմի կեսն է, հետևաբար, երկրորդ կեսը փոքր վեցանկյունում գրված շրջանագծի շառավիղն է.

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=ա(√3)/2

Պարզվում է, որ Դավթի աստղի ներսում վեցանկյունի մակերեսը երեք անգամ փոքր է մեծից, որի վրա գրված է աստղը։

Տեսությունից մինչև պրակտիկա

Վեցանկյունի հատկությունները շատ ակտիվորեն օգտագործվում են ինչպես բնության մեջ, այնպես էլ մարդկային գործունեության տարբեր ոլորտներում: Առաջին հերթին դա վերաբերում է պտուտակներին և ընկույզներին. առաջինի և երկրորդի գլխարկները ոչ այլ ինչ են, քան սովորական վեցանկյուն, եթե հաշվի չառնեք թեքությունները: Բանալինների չափը համապատասխանում է մակագրված շրջանագծի տրամագծին, այսինքն՝ հակառակ դեմքերի միջև եղած հեռավորությանը:

Գտել է իր կիրառությունը և վեցանկյուն սալիկները։ Այն շատ ավելի քիչ տարածված է, քան քառանկյունը, բայց ավելի հարմար է այն դնելու համար. երեք սալիկները հանդիպում են մեկ կետում, ոչ թե չորս: Կոմպոզիցիաները կարող են շատ հետաքրքիր լինել.

Արտադրվում են նաև բետոնե սալաքարեր։

Բնության մեջ վեցանկյունի տարածվածությունը պարզաբանված է. Այսպիսով, ամենահեշտ է շրջանակները և գնդիկները սերտորեն տեղավորել հարթության վրա, եթե դրանք ունեն նույն տրամագիծը: Դրա պատճառով մեղրախորիսխները նման ձև ունեն.

Մաթեմատիկական հատկություններ

Կանոնավոր վեցանկյունի հատկանիշը նրա կողմի և շրջագծի շառավղի հավասարությունն է, քանի որ

Բոլոր անկյունները 120° են։

Ներգծված շրջանագծի շառավիղը հետևյալն է.

Կանոնավոր վեցանկյան պարագիծը հետևյալն է.

Կանոնավոր վեցանկյունի տարածքը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Վեցանկյունները սալիկապատում են ինքնաթիռը, այսինքն՝ կարող են հարթությունը լցնել առանց բացերի և համընկնումների՝ ձևավորելով այսպես կոչված մանրահատակ։

Վեցանկյուն մանրահատակ (վեցանկյուն մանրահատակ)- Ինքնաթիռի շարվածքը հավասար կանոնավոր վեցանկյուններով, որոնք տեղակայված են կողք կողքի:

Վեցանկյուն մանրահատակը կրկնակի և եռանկյուն մանրահատակի է. եթե միացնեք հարակից վեցանկյունների կենտրոնները, ապա գծված հատվածները եռանկյուն մանրահատակ կտան: Վեցանկյուն մանրահատակի Schläfli խորհրդանիշը (6,3) է, ինչը նշանակում է, որ մանրահատակի յուրաքանչյուր գագաթին միանում են երեք վեցանկյուններ:

Վեցանկյուն մանրահատակը հարթության վրա շրջանակների ամենախիտ փաթեթավորումն է: Երկչափ Էվկլիդյան տարածության մեջ լավագույն լցոնումն է շրջանների կենտրոնները տեղադրել կանոնավոր վեցանկյուններով ձևավորված մանրահատակի գագաթներին, որոնցում յուրաքանչյուր շրջան շրջապատված է վեց ուրիշներով: Այս փաթեթավորման խտությունը կազմում է. 1940 թվականին ապացուցվեց, որ այս փաթեթավորումն ամենախիտն է։

Կողքով կանոնավոր վեցանկյունը ունիվերսալ ծածկույթ է, այսինքն՝ տրամագծի ցանկացած հավաքածու կարող է ծածկվել մի կողմով կանոնավոր վեցանկյունով (Պալի լեմմա)։

Կանոնավոր վեցանկյուն կարելի է կառուցել՝ օգտագործելով կողմնացույց և ուղղագիծ: Ստորև ներկայացված է Էվկլիդեսի կողմից առաջարկված կառուցման մեթոդը տարրերում, Գիրք IV, Թեորեմ 15:

Կանոնավոր վեցանկյուն բնության, տեխնիկայի և մշակույթի մեջ

ցույց տալ հարթության բաժանումը կանոնավոր վեցանկյունների: Վեցանկյուն ձևն ավելի շատ, քան մյուսները, թույլ է տալիս խնայել պատերին, այսինքն՝ ավելի քիչ մոմ կծախսվի նման բջիջներով բջիջների վրա։

Որոշ բարդ բյուրեղներ և մոլեկուլներ, ինչպիսին է գրաֆիտը, ունեն վեցանկյուն բյուրեղյա վանդակ:

Ձևավորվում է, երբ ամպերի մեջ մանրադիտակային ջրի կաթիլները ձգվում են փոշու մասնիկներով և սառչում: Այս դեպքում ի հայտ եկող սառցե բյուրեղները, որոնք սկզբում չեն գերազանցում 0,1 մմ տրամագիծը, վայր են ընկնում և աճում դրանց վրա օդից խոնավության խտացման արդյունքում։ Այս դեպքում ձևավորվում են վեցաթև բյուրեղային ձևեր։ Ջրի մոլեկուլների կառուցվածքի շնորհիվ բյուրեղի ճառագայթների միջև հնարավոր է միայն 60° և 120° անկյուն։ Հիմնական ջրի բյուրեղը հարթության մեջ ունի կանոնավոր վեցանկյունի ձև: Այնուհետև նոր բյուրեղներ են նստում նման վեցանկյունի գագաթներին, նորերը նստում են դրանց վրա, և այդպիսով ստացվում են ձյան փաթիլ աստղերի տարբեր ձևեր։

Օքսֆորդի համալսարանի գիտնականները կարողացել են լաբորատորիայում նմանակել նման վեցանկյունի առաջացումը: Պարզելու համար, թե ինչպես է առաջանում նման գոյացությունը, հետազոտողները 30 լիտրանոց ջրի շիշ են տեղադրել պտտվող սեղանի վրա: Նա մոդելավորել է Սատուրնի մթնոլորտը և նրա սովորական պտույտը: Ներսում գիտնականները տեղադրել են փոքրիկ օղակներ, որոնք ավելի արագ են պտտվում, քան տարան: Սա ստեղծեց մանր պտույտներ և շիթեր, որոնք փորձարարները պատկերացնում էին կանաչ ներկով: Որքան արագ էր օղակը պտտվում, այնքան ավելի մեծ էին պտտվողները, ինչի հետևանքով մոտակա հոսքը շեղվեց շրջանաձևից: Այսպիսով, փորձի հեղինակներին հաջողվել է ստանալ տարբեր ձևեր՝ օվալներ, եռանկյուններ, քառակուսիներ և, իհարկե, ցանկալի վեցանկյուն։

Շուրջ 40000 փոխկապակցված բազալտե (հազվադեպ անդեզիտ) սյուներից կազմված բնական հուշարձան, որը ձևավորվել է հնագույն հրաբխի ժայթքման արդյունքում։ Գտնվում է Հյուսիսային Իռլանդիայի հյուսիս-արևելքում, Բուշմիլս քաղաքից 3 կմ հյուսիս։

Սյուների գագաթները մի տեսակ ցատկահարթակ են կազմում, որը սկիզբ է առնում ժայռի ստորոտից և անհետանում ծովի մակերեսի տակ։ Սյուների մեծ մասը վեցանկյուն է, թեև ոմանք ունեն չորս, հինգ, յոթ կամ ութ անկյուններ։ Ամենաբարձր սյունը մոտ 12 մետր բարձրություն ունի։

Մոտ 50-60 միլիոն տարի առաջ, պալեոգենի ժամանակաշրջանում, Անտրիմ տեղանքը ենթարկվել է ինտենսիվ հրաբխային ակտիվության, երբ հալված բազալտը ներթափանցել է հանքավայրերի միջով՝ ձևավորելով ընդարձակ լավային սարահարթեր: Արագ սառեցման դեպքում նյութի ծավալը նվազել է (սա նկատվում է, երբ ցեխը չորանում է): Հորիզոնական սեղմումը հանգեցրեց վեցանկյուն սյուների բնորոշ կառուցվածքին:

Ընկույզի խաչմերուկն ունի կանոնավոր վեցանկյունի տեսք։

Շրջանակով գծագրված կանոնավոր վեցանկյունի կառուցում։Վեցանկյունի կառուցումը հիմնված է այն փաստի վրա, որ նրա կողմը հավասար է շրջագծված շրջանագծի շառավղին։ Ուստի կառուցելու համար բավական է շրջանագիծը բաժանել վեց հավասար մասերի և գտնված կետերը միացնել միմյանց (նկ. 60, ա)։

Կանոնավոր վեցանկյուն կարելի է կառուցել՝ օգտագործելով T-քառակուսի և 30X60° քառակուսի: Այս շինարարությունը կատարելու համար շրջանագծի հորիզոնական տրամագիծը վերցնում ենք որպես 1 և 4 անկյունների կիսորդ (նկ. 60, բ), կառուցում ենք 1-6, 4-3, 4-5 և 7-2 կողմերը, որից հետո ոչ-ոքի 5-6 և 3-2 կողմերը:

Շրջանակով գծված հավասարակողմ եռանկյան կառուցում. Նման եռանկյունու գագաթները կարող են կառուցվել՝ օգտագործելով կողմնացույց և 30 և 60 ° անկյուններով քառակուսի կամ միայն մեկ կողմնացույց:

Դիտարկենք շրջանագծի մեջ ներգծված հավասարակողմ եռանկյունի կառուցման երկու եղանակ:

Առաջին ճանապարհը(Նկար 61, ա) հիմնված է այն փաստի վրա, որ 7, 2, 3 եռանկյան բոլոր երեք անկյունները պարունակում են 60 °, իսկ 7-րդ կետով գծված ուղղահայաց գիծը և՛ բարձրությունն է, և՛ 1-ին անկյան կիսադիրը: Քանի որ 0-1- 2 անկյունը հավասար է 30°-ի, ապա գտնել կողմը

1-2, բավական է կառուցել 30 ° անկյուն 1 կետում և 0-1 կողմում: Դա անելու համար դրեք T քառակուսին և քառակուսին, ինչպես ցույց է տրված նկարում, գծեք 1-2 գիծ, ​​որը կլինի ցանկալի եռանկյունու կողմերից մեկը: 2-3-րդ կողմերը կառուցելու համար T-քառակուսին դրեք այն դիրքում, որը ցույց է տրված գծիկներով, և ուղիղ գիծ գծեք 2-րդ կետի միջով, որը կսահմանի եռանկյան երրորդ գագաթը:

Երկրորդ ճանապարհհիմնված է այն փաստի վրա, որ եթե դուք կառուցում եք կանոնավոր վեցանկյուն, որը գրված է շրջանագծի մեջ, այնուհետև միացնում եք դրա գագաթները մեկի միջով, դուք ստանում եք հավասարակողմ եռանկյուն:

Եռանկյուն կառուցելու համար (նկ. 61, բ) տրամագծի վրա նշում ենք գագաթ-կետ 1 և գծում 1-4 տրամագծային գիծ։ Այնուհետև, D / 2-ին հավասար շառավղով 4-րդ կետից մենք նկարագրում ենք աղեղը մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ 3 և 2 կետերում: Ստացված կետերը կլինեն ցանկալի եռանկյունու երկու այլ գագաթներ:

Շրջանակով գրված քառակուսու կառուցում. Այս շինարարությունը կարելի է անել՝ օգտագործելով քառակուսի և կողմնացույց:

Առաջին մեթոդը հիմնված է այն փաստի վրա, որ քառակուսու անկյունագծերը հատվում են շրջագծված շրջանագծի կենտրոնում և թեքված են դեպի նրա առանցքները 45° անկյան տակ։ Դրա հիման վրա մենք տեղադրում ենք T-քառակուսի և 45 ° անկյուններով քառակուսի, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 62, ա և նշիր 1-ին և 3-րդ կետերը: Այնուհետև այս կետերի միջով T-ի օգնությամբ գծում ենք քառակուսու հորիզոնական կողմերը 4-1 և 3-2: Այնուհետև քառակուսու ոտքի երկայնքով T-քառակուսի օգտագործելով, մենք գծում ենք քառակուսի 1-2 և 4-3 ուղղահայաց կողմերը:

Երկրորդ մեթոդը հիմնված է այն բանի վրա, որ քառակուսու գագաթները կիսում են տրամագծի ծայրերի միջև պարփակված շրջանագծի կամարները (նկ. 62, բ): Երկու փոխադարձ ուղղահայաց տրամագծերի ծայրերում նշում ենք A, B և C կետերը, որոնցից y շառավղով նկարագրում ենք աղեղները մինչև դրանք հատվեն։

Այնուհետև, կամարների հատման կետերի միջոցով մենք գծում ենք օժանդակ գծեր, որոնք նշված են նկարի վրա ամուր գծերով: Նրանց հատման կետերը շրջանագծի հետ կսահմանեն 1-ին և 3-րդ գագաթները; 4 և 2. Այս ձևով ստացված ցանկալի քառակուսու գագաթները հաջորդաբար կապված են միմյանց հետ։

Շրջանակով գծագրված կանոնավոր հնգանկյունի կառուցում։

Կանոնավոր հնգանկյունը շրջանագծի մեջ գրելու համար (նկ. 63) կատարում ենք հետևյալ կոնստրուկցիաները.

Շրջանակի վրա նշում ենք 1 կետը և ընդունում որպես հնգանկյան գագաթներից մեկը։ AO հատվածը կիսեք կիսով չափ: Դա անելու համար A կետից AO շառավղով մենք նկարագրում ենք աղեղը, մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ M և B կետերում: Այս կետերը միացնելով ուղիղ գծով, մենք ստանում ենք K կետ, որն այնուհետև կապում ենք 1-ին կետի հետ: A7 հատվածին հավասար շառավիղով, մենք նկարագրում ենք աղեղը K կետից մինչև H կետի AO տրամագծային գծի հատումը: 1 կետը միացնելով H կետին, ստանում ենք հնգանկյունի կողմը: Այնուհետև, 1H հատվածին հավասար կողմնացույցի բացվածքով, նկարագրելով աղեղը 1-ին գագաթից մինչև շրջանագծի հետ հատումը, մենք գտնում ենք 2-րդ և 5-րդ գագաթները: Նույն կողմնացույցի բացվածքով 2-րդ և 5-րդ գագաթներից սերիֆներ պատրաստելով, մենք ստանում ենք մնացած 3-րդ և 4-րդ գագաթները: Գտնված կետերը հաջորդաբար կապում ենք միմյանց հետ:

Կանոնավոր հնգանկյունի կառուցում՝ հաշվի առնելով դրա կողմը:

Նրա տրված կողմի երկայնքով կանոնավոր հնգանկյուն կառուցելու համար (նկ. 64) AB հատվածը բաժանում ենք վեց հավասար մասերի։ AB շառավղով A և B կետերից մենք նկարագրում ենք աղեղներ, որոնց հատման կետը կբերի K կետ: Այս կետով և AB գծի 3 բաժանմամբ մենք ուղղահայաց գիծ ենք գծում:

Ստանում ենք հնգանկյան 1-ին կետը: Այնուհետև, AB-ին հավասար շառավղով, 1-ին կետից մենք նկարագրում ենք աղեղը դեպի խաչմերուկը A և B կետերից նախկինում գծված աղեղների հետ: Աղեղների հատման կետերը որոշում են 2 և 5 հնգանկյունների գագաթները: Միացնում ենք գտնվածը: գագաթները միմյանց հետ շարքով:

Շրջանակով գծագրված կանոնավոր յոթանկյունի կառուցում։

Թող տրվի D տրամագծով շրջան; դրա մեջ պետք է մակագրել կանոնավոր յոթանկյուն (նկ. 65): Շրջանակի ուղղահայաց տրամագիծը բաժանեք յոթ հավասար մասերի: D շրջանագծի տրամագծին հավասար շառավղով 7-րդ կետից մենք նկարագրում ենք աղեղը մինչև այն հատվի F կետի հորիզոնական տրամագծի շարունակության հետ։ F կետը կոչվում է բազմանկյան բևեռ։ VII կետը ընդունելով որպես յոթանկյան գագաթներից մեկը՝ F բևեռից ճառագայթներ ենք գծում ուղղահայաց տրամագծով զույգ բաժանումների միջով, որոնց խաչմերուկը շրջանագծի հետ կորոշի յոթանկյան VI, V և IV գագաթները։ IV, V և VI կետերից / - // - /// գագաթներ ստանալու համար գծում ենք հորիզոնական գծեր, մինչև դրանք հատվեն շրջանագծի հետ։ Գտնված գագաթները իրար հաջորդաբար կապում ենք։ Յոթանկյունը կարող է կառուցվել F բևեռից ճառագայթներ քաշելով և ուղղահայաց տրամագծի կենտ բաժանումների միջոցով։

Վերոնշյալ մեթոդը հարմար է ցանկացած թվով կողմերով կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցելու համար:

Շրջանակի բաժանումը ցանկացած թվով հավասար մասերի կարող է կատարվել նաև աղյուսակի տվյալների միջոցով: 2, որը ցույց է տալիս գործակիցները, որոնք հնարավորություն են տալիս որոշել կանոնավոր ներգծված բազմանկյունների կողմերի չափերը։

Չորսից ավելի անկյուններով ամենահայտնի գործիչը կանոնավոր վեցանկյունն է: Երկրաչափության մեջ այն հաճախ օգտագործվում է խնդիրների դեպքում։ Իսկ կյանքում հենց դա է, ինչ մեղրախորիսխներն ունեն կտրվածքի վրա։

Ինչո՞վ է դա տարբերվում սխալից:

Նախ, վեցանկյունը 6 գագաթներով պատկեր է: Երկրորդ, այն կարող է լինել ուռուցիկ կամ գոգավոր: Առաջինը տարբերվում է նրանով, որ չորս գագաթները գտնվում են մյուս երկուսի միջով անցած ուղիղ գծի մի կողմում:

Երրորդ, կանոնավոր վեցանկյունը բնութագրվում է նրանով, որ նրա բոլոր կողմերը հավասար են: Ընդ որում, գործչի յուրաքանչյուր անկյուն նույնպես նույն արժեքն ունի։ Նրա բոլոր անկյունների գումարը որոշելու համար հարկավոր է օգտագործել բանաձևը՝ 180º * (n - 2): Այստեղ n-ը նկարի գագաթների թիվն է, այսինքն՝ 6: Պարզ հաշվարկով ստացվում է 720º արժեք: Այսպիսով, յուրաքանչյուր անկյուն 120 աստիճան է:

Առօրյա գործունեության մեջ ձյան փաթիլի և ընկույզի մեջ հայտնաբերվում է սովորական վեցանկյուն: Քիմիկոսները դա տեսնում են նույնիսկ բենզոլի մոլեկուլում:

Ի՞նչ հատկություններ պետք է իմանաք խնդիրներ լուծելիս:

Վերևում ասվածին պետք է ավելացնել.

• կենտրոնի միջով գծված գործչի անկյունագծերը բաժանում են այն վեց եռանկյունների, որոնք հավասարակողմ են.
• կանոնավոր վեցանկյան կողմն ունի արժեք, որը համընկնում է դրա շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավղին.
• օգտագործելով նման գործիչ, հնարավոր է լրացնել ինքնաթիռը, և նրանց միջև բացեր և համընկնումներ չեն լինի:

Ներկայացրեց նշումը

Ավանդաբար կանոնավոր երկրաչափական պատկերի կողմը նշվում է լատիներեն «a» տառով։ Խնդիրները լուծելու համար պահանջվում է նաև մակերես և պարագիծ, դրանք համապատասխանաբար S և P են: Շրջանակը գծագրված է կանոնավոր վեցանկյունով կամ շրջագծված է դրա շուրջ: Այնուհետև մուտքագրվում են դրանց շառավիղների արժեքները: Նշվում են համապատասխանաբար r և R տառերով։

Որոշ բանաձևերում հայտնվում են ներքին անկյուն, կիսաշրջագիծ և ապոտեմ (որը ուղղահայաց է բազմանկյան կենտրոնից ցանկացած կողմի կեսին)։ Նրանց համար օգտագործվում են տառեր՝ α, p, m։

Բանաձևեր, որոնք նկարագրում են ձևը

Ներգծված շրջանագծի շառավիղը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է. r= (a * √3) / 2, և r = m: Այսինքն՝ նույն բանաձևը կլինի ապոտեմի համար։

Քանի որ վեցանկյան պարագիծը բոլոր կողմերի գումարն է, այն կորոշվի հետևյալ կերպ՝ P = 6 * a. Հաշվի առնելով, որ կողմը հավասար է շրջագծված շրջանագծի շառավղին, պարագծի համար կա կանոնավոր վեցանկյունի համար այսպիսի բանաձև՝ P \u003d 6 * R: Ներգծված շրջանագծի շառավղով տրվածից կապը մի իսկ r-ն ստացված է. Այնուհետև բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը՝ Р = 4 r * √3:

Կանոնավոր վեցանկյունի տարածքի համար սա կարող է օգտակար լինել՝ S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2:

Առաջադրանքներ

Թիվ 1. Վիճակ.Կա կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա, որի յուրաքանչյուր եզրը հավասար է 4 սմ, դրանում գրված է գլան, որի ծավալը պետք է որոշվի։

Լուծում.Մխոցի ծավալը սահմանվում է որպես հիմքի տարածքի և բարձրության արտադրյալ: Վերջինս համընկնում է պրիզմայի եզրին։ Եվ դա հավասար է կանոնավոր վեցանկյան կողմին։ Այսինքն՝ գլանի բարձրությունը նույնպես 4 սմ է։

Նրա հիմքի տարածքը պարզելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել վեցանկյունում ներգծված շրջանագծի շառավիղը: Դրա բանաձևը ներկայացված է վերևում: Այսպիսով, r = 2√3 (սմ): Այնուհետև շրջանագծի մակերեսը՝ S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (սմ 2):

Պատասխանել. V \u003d 150,72 սմ 3.

Թիվ 2. Վիճակ.Հաշվիր շրջանագծի շառավիղը, որը գծագրված է կանոնավոր վեցանկյունով: Հայտնի է, որ նրա կողմը √3 սմ է։Որքա՞ն կլինի նրա պարագիծը։

Լուծում.Այս առաջադրանքը պահանջում է վերը նշված բանաձևերից երկուսի օգտագործումը: Ավելին, դրանք պետք է կիրառվեն առանց նույնիսկ փոփոխության, պարզապես փոխարինեք կողմի արժեքը և հաշվարկեք:

Այսպիսով, ներգծված շրջանագծի շառավիղը ստացվում է 1,5 սմ, պարագծի համար ճիշտ է ստացվում հետևյալ արժեքը՝ 6√3 սմ։

Պատասխանել. r = 1,5 սմ, Р = 6√3 սմ:

Թիվ 3. Վիճակ.Շրջագծված շրջանագծի շառավիղը 6 սմ է։Այս դեպքում ի՞նչ արժեք կունենա կանոնավոր վեցանկյան կողմը։

Լուծում.Վեցանկյունով ներգծված շրջանագծի շառավիղի բանաձևից կարելի է հեշտությամբ ստանալ այն, որով պետք է հաշվարկվի կողմը: Հասկանալի է, որ շառավիղը բազմապատկվում է երկուով և բաժանվում երեքի արմատով։ Պետք է ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից։ Հետևաբար, գործողությունների արդյունքը ստանում է հետևյալ ձևը. (12 √3) / (√3 * √3), այսինքն ՝ 4√3:

Պատասխանել. a = 4√3 սմ.