Հիմնական բնութագիրըցանկացած երկրաչափական պատկերտարածության մեջ նրա ծավալն է: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք, թե ինչ է հիմքում եռանկյուն ունեցող բուրգը, ինչպես նաև ցույց կտանք, թե ինչպես գտնել եռանկյունաձև բուրգի ծավալը՝ կանոնավոր լրիվ և կտրված:

Ի՞նչ է եռանկյուն բուրգը:

Բոլորը լսել են հին եգիպտական ​​բուրգերի մասին, սակայն դրանք քառանկյուն կանոնավոր են, ոչ թե եռանկյուն: Եկեք բացատրենք, թե ինչպես կարելի է ստանալ եռանկյուն բուրգ:

Վերցնենք կամայական եռանկյունը և միացնենք նրա բոլոր գագաթները այս եռանկյան հարթությունից դուրս գտնվող մի կետի հետ: կրթված գործիչկկոչվի եռանկյուն բուրգ: Այն ներկայացված է ստորև բերված նկարում:

Ինչպես տեսնում եք, դիտարկվող պատկերը կազմված է չորս եռանկյուններով, որոնք ընդհանուր դեպքում տարբեր են։ Յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի կամ նրա դեմքի կողմերն են: Այս բուրգը հաճախ անվանում են քառաեդրոն, այսինքն՝ քառակողմ եռաչափ պատկեր։

Բացի կողմերից, բուրգն ունի նաև եզրեր (դրանք 6-ն են) և գագաթներ (4-ը):

եռանկյունաձև հիմքով

Նկարը, որը ստացվում է կամայական եռանկյունի և տարածության կետի միջոցով, ընդհանուր դեպքում կլինի անկանոն թեքված բուրգ: Այժմ պատկերացրեք, որ սկզբնական եռանկյունն ունի նույն կողմերը, և տարածության մի կետը գտնվում է հենց իր երկրաչափական կենտրոնից վեր՝ եռանկյան հարթությունից h հեռավորության վրա: Այս նախնական տվյալների օգտագործմամբ կառուցված բուրգը ճիշտ կլինի:

Ակնհայտ է, որ կանոնավոր եռանկյուն բուրգի եզրերի, կողմերի և գագաթների թիվը նույնն է, ինչ կամայական եռանկյունից կառուցված բուրգը:

Այնուամենայնիվ, ճիշտ ցուցանիշը որոշ չափով ունի բնորոշ նշաններ:

• դրա բարձրությունը, վերևից գծված, ճշգրտորեն հատելու է հիմքը երկրաչափական կենտրոնում (միջնորդների հատման կետը);
• Նման բուրգի կողային մակերեսը ձևավորվում է երեք նույնական եռանկյուններով, որոնք հավասարաչափ կամ հավասարաչափ են:

Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը ոչ միայն զուտ տեսական երկրաչափական օբյեկտ է։ Բնության որոշ կառույցներ ունեն իրենց ձևը, օրինակ բյուրեղյա բջիջադամանդ, որտեղ ածխածնի ատոմը միացված է նույն ատոմներից չորսին կովալենտային կապեր, կամ մեթանի մոլեկուլ, որտեղ բուրգի գագաթները ձևավորվում են ջրածնի ատոմներից։

եռանկյուն բուրգ

Դուք կարող եք որոշել բացարձակապես ցանկացած բուրգի ծավալը հիմքում կամայական n-gon՝ օգտագործելով հետևյալ արտահայտությունը.

Այստեղ S o նշանը նշանակում է հիմքի տարածքը, h-ը բուրգի վերևից նշված հիմքի վրա գծված գործչի բարձրությունն է:

Քանի որ կամայական եռանկյունու մակերեսը հավասար է a կողմի երկարության արտադրյալի կեսին և այս կողմ իջեցված h a ապոտեմին, եռանկյուն բուրգի ծավալի բանաձևը կարող է գրվել հետևյալ ձևով.

V = 1/6 × a × h a × h

Համար ընդհանուր տեսակԲարձրությունը որոշելը հեշտ գործ չէ։ Այն լուծելու համար ամենահեշտ ձևն է օգտագործել կետի (գագաթ) և հարթության (եռանկյունաձև հիմք) միջև հեռավորության բանաձևը, որը ներկայացված է հավասարմամբ. ընդհանուր տեսարան.

Ճիշտի համար այն ունի կոնկրետ տեսք։ Դրա համար հիմքի (հավասարակողմ եռանկյունի) մակերեսը հավասար է.

Փոխարինեք այն ընդհանուր արտահայտություն V-ի համար մենք ստանում ենք.

V = √3/12 × a 2 × ժ

Առանձնահատուկ դեպք է այն իրավիճակը, երբ քառանիստի բոլոր կողմերը պարզվում են, որ նույնական հավասարակողմ եռանկյուններ են։ Այս դեպքում դրա ծավալը կարող է որոշվել միայն նրա եզրի պարամետրը իմանալու հիման վրա: Համապատասխան արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը.

Կտրված բուրգ

Եթե ​​գագաթը պարունակող վերին մասը կտրված է կանոնավոր եռանկյունաձեւ բուրգից, ապա կստացվի կտրված պատկեր։ Ի տարբերություն սկզբնականի, այն բաղկացած է լինելու երկու հավասարակողմ եռանկյունաձև հիմքերից և երեք հավասարաչափ trapezoids-ից։

Ստորև բերված լուսանկարը ցույց է տալիս, թե ինչ տեսք ունի թղթից պատրաստված սովորական կտրված եռանկյունաձև բուրգը:

Կտրված եռանկյուն բուրգի ծավալը որոշելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա երեք գծային բնութագրերը՝ հիմքերի յուրաքանչյուր կողմը և պատկերի բարձրությունը՝ հավասար վերին և ստորին հիմքերի միջև եղած հեռավորությանը։ Ծավալի համապատասխան բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Այստեղ h-ը պատկերի բարձրությունն է, A-ն և a-ն՝ համապատասխանաբար մեծ (ներքևի) և փոքր (վերին) հավասարակողմ եռանկյունների կողմերի երկարությունները։

Խնդրի լուծումը

Որպեսզի հոդվածում տեղ գտած տեղեկատվությունը ընթերցողի համար ավելի պարզ լինի, մենք հստակ օրինակով ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է օգտագործել գրված որոշ բանաձևեր:

Եռանկյուն բուրգի ծավալը թող լինի 15 սմ 3: Հայտնի է, որ ցուցանիշը ճիշտ է։ Դուք պետք է գտնեք կողային եզրի a b ապոտեմը, եթե հայտնի է, որ բուրգի բարձրությունը 4 սմ է։

Քանի որ գործչի ծավալն ու բարձրությունը հայտնի են, կարող եք օգտագործել համապատասխան բանաձև՝ դրա հիմքի կողմի երկարությունը հաշվարկելու համար։ Մենք ունենք:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 սմ

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 սմ

Նկարի ապոտեմի հաշվարկված երկարությունը ավելի մեծ է եղել, քան նրա բարձրությունը, ինչը ճիշտ է ցանկացած տեսակի բուրգի համար։

Բուրգը բազմանկյուն է, որի հիմքում բազմանկյուն է: Բոլոր դեմքերը, իրենց հերթին, կազմում են եռանկյուններ, որոնք միանում են մեկ գագաթին: Բուրգերը լինում են եռանկյուն, քառանկյուն և այլն։ Որպեսզի որոշեք, թե որ բուրգն է ձեր առջևում, բավական է հաշվել դրա հիմքում գտնվող անկյունների թիվը: «Բուրգի բարձրության» սահմանումը շատ հաճախ հանդիպում է երկրաչափության խնդիրներում դպրոցական ծրագիր. Հոդվածում մենք կփորձենք դիտարկել այն գտնելու տարբեր ուղիներ:

Բուրգի մասեր

Յուրաքանչյուր բուրգ բաղկացած է հետևյալ տարրերից.

• կողային դեմքեր, որոնք ունեն երեք անկյուն և համընկնում են վերևում.
• ապոտեմը ներկայացնում է բարձրությունը, որը իջնում ​​է իր գագաթից.
• բուրգի գագաթը մի կետ է, որը կապում է կողային եզրերը, բայց չի ընկած հիմքի հարթության մեջ.
• հիմքը բազմանկյուն է, որը չի պարունակում գագաթ;
• բուրգի բարձրությունը մի հատված է, որը հատում է բուրգի գագաթը և դրա հիմքի հետ ուղիղ անկյուն է կազմում։

Ինչպես գտնել բուրգի բարձրությունը, եթե հայտնի է դրա ծավալը

V \u003d (S * h) / 3 բանաձևի միջոցով (V բանաձևում ծավալն է, S-ը բազային տարածքն է, h-ը բուրգի բարձրությունն է), մենք գտնում ենք, որ h \u003d (3 * V) / S . Նյութը համախմբելու համար եկեք անմիջապես լուծենք խնդիրը: AT եռանկյուն հիմք 50 սմ 2 է, իսկ ծավալը՝ 125 սմ 3։ Եռանկյուն բուրգի բարձրությունը անհայտ է, որը մենք պետք է գտնենք։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. մենք տվյալները տեղադրում ենք մեր բանաձևի մեջ: Մենք ստանում ենք h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 սմ:

Ինչպես գտնել բուրգի բարձրությունը, եթե հայտնի են անկյունագծի երկարությունը և դրա եզրը

Ինչպես հիշում ենք, բուրգի բարձրությունն իր հիմքի հետ ուղիղ անկյուն է կազմում։ Եվ սա նշանակում է, որ բարձրությունը, ծայրը և անկյունագծի կեսը միասին կազմում են Շատերը, իհարկե, հիշում են Պյութագորասի թեորեմը: Իմանալով երկու չափումներ՝ դժվար չի լինի գտնել երրորդ արժեքը։ Հիշեք հայտնի a² = b² + c² թեորեմը, որտեղ a-ն հիպոթենուսն է, իսկ մեր դեպքում՝ բուրգի եզրը. b - առաջին ոտքը կամ շեղանկյունի կեսը և c - համապատասխանաբար երկրորդ ոտքը կամ բուրգի բարձրությունը: Այս բանաձևից c² = a² - b²:

Հիմա խնդիրը․ կանոնավոր բուրգում անկյունագիծը 20 սմ է, իսկ եզրի երկարությունը՝ 30 սմ։ Պետք է գտնել բարձրությունը։ Մենք լուծում ենք.

Ինչպես գտնել կտրված բուրգի բարձրությունը

Այն բազմանկյուն է, որն ունի իր հիմքին զուգահեռ հատված։ Կտրված բուրգի բարձրությունը այն հատվածն է, որը միացնում է նրա երկու հիմքերը։ Բարձրությունը կարելի է գտնել կանոնավոր բուրգում, եթե հայտնի են երկու հիմքերի անկյունագծերի երկարությունները, ինչպես նաև բուրգի եզրը։ Ավելի մեծ հիմքի անկյունագիծը թող լինի d1, իսկ փոքր հիմքի անկյունագիծը d2 է, իսկ եզրն ունի l երկարություն: Բարձրությունը գտնելու համար դուք կարող եք իջեցնել բարձրությունները դիագրամի երկու վերին հակառակ կետերից մինչև դրա հիմքը: Մենք տեսնում ենք, որ ունենք երկու ուղղանկյուն եռանկյունի, մնում է գտնել նրանց ոտքերի երկարությունը։ Դա անելու համար հանեք ավելի փոքր անկյունագիծը մեծից և բաժանեք 2-ի: Այսպիսով, մենք կգտնենք մեկ ոտք՝ a \u003d (d1-d2) / 2: Դրանից հետո, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, մեզ մնում է միայն գտնել երկրորդ ոտքը, որը բուրգի բարձրությունն է։

Հիմա եկեք նայենք այս ամբողջին գործնականում: Մեր առջեւ խնդիր է դրված. Կտրված բուրգը հիմքում ունի քառակուսի, ավելի մեծ հիմքի անկյունագծային երկարությունը 10 սմ է, իսկ փոքրինը 6 սմ է, իսկ ծայրը 4 սմ է, բարձրությունը գտնելու համար պահանջվում է: Սկզբից մենք գտնում ենք մեկ ոտք՝ a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 սմ: Մեկ ոտքը 2 սմ է, իսկ հիպոթենուսը՝ 4 սմ: Ստացվում է, որ երկրորդ ոտքը կամ բարձրությունը կլինի 16- 4 \u003d 12, այսինքն, h \u003d √12 = մոտ 3,5 սմ:

Թեորեմ. բուրգի ծավալը հավասար է արտադրանքիննրա հիմքի մակերեսը իր բարձրության մեկ երրորդով:

Նախ, մենք ապացուցում ենք այս թեորեմը եռանկյուն բուրգի, իսկ հետո՝ բազմանկյունի համար:

1) Ելնելով SABC եռանկյուն բուրգից (նկ. 102) կառուցում ենք SABCDE պրիզմա, որի բարձրությունը հավասար է բուրգի բարձրությանը, իսկ մի կողմի եզրը համընկնում է SB եզրին։ Փաստենք, որ բուրգի ծավալը այս պրիզմայի ծավալի մեկ երրորդն է։ Առանձնացրեք այս բուրգը պրիզմայից: Սա դուրս է գալիս SADEC քառանկյուն բուրգից (որը ցուցադրվում է առանձին՝ պարզության համար): Եկեք դրա մեջ գծենք կտրող հարթություն S գագաթով և հիմքի DC-ի անկյունագծով: Ստացված երկու եռանկյուն բուրգերն ունեն ընդհանուր գագաթ S և հավասար հիմքեր՝ DEC և DAC, որոնք ընկած են նույն հարթության վրա; հետևաբար, ըստ վերը հաստատված լեմմայի, այս բուրգերը հավասար են։ Համեմատենք դրանցից մեկը՝ SDEC-ը, այս բուրգի հետ։ SDEC բուրգի հիմքի համար կարող եք վերցնել \(\Delta\)SDE; ապա նրա գագաթը կլինի C կետում, և բարձրությունը հավասար է այս բուրգի բարձրությանը: Քանի որ \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, ուրեմն, ըստ նույն լեմմայի, SDEC և SABC բուրգերը հավասար են։

ABCDES պրիզման մեր կողմից բաժանված է երեք հավասար չափերի բուրգերի՝ SABC, SDEC և SDAC: (Ակնհայտ է, որ ցանկացած եռանկյուն պրիզմա կարող է ենթարկվել նման բաժանման: Սա եռանկյուն պրիզմայի կարևոր հատկություններից մեկն է:) Այսպիսով, երեք բուրգերի ծավալների գումարը, որոնք չափերով հավասար են տրվածին, հավասար է տրվածի ծավալին: պրիզմա; հետևաբար,

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

որտեղ H-ը բուրգի բարձրությունն է:

2) SABCDE բազմանկյուն բուրգի հիմքի որոշ E գագաթի միջոցով (նկ. 103) գծում ենք EB և EC անկյունագծերը։

Այնուհետև մենք կտրող հարթություններ ենք գծում SE եզրով և այս անկյունագծերից յուրաքանչյուրի միջով: Այնուհետև բազմանկյուն բուրգը կբաժանվի մի քանի եռանկյունաձև բուրգերի, որոնք ունեն տվյալ բուրգի հետ ընդհանուր բարձրություն։ Եռանկյունաձև բուրգերի հիմքերի տարածքները նշելով բ 1 ,բ 2 ,բ 3 և բարձրությունը մինչև H, կունենանք.

ծավալը SABCDE = 1 / 3 բ 1H+1/3 բ 2H+1/3 բ 3 H = ( բ 1 + բ 2 + բ 3) H / 3 =

= (տարածք ABCDE) H / 3:

Հետևանք. Եթե ​​V, B և H նշանակում են թվեր, որոնք համապատասխան միավորներով արտահայտում են ցանկացած բուրգի ծավալը, հիմքի մակերեսը և բարձրությունը, ապա

Թեորեմ. Ծավալը կտրված բուրգ հավասար է գումարիներեք բուրգերի ծավալները, որոնց բարձրությունը հավասար է կտրված բուրգի բարձրությանը, և հիմքերը՝ մեկը այս բուրգի ստորին հիմքն է, մյուսը՝ վերին հիմքը, և երրորդ բուրգի հիմքի մակերեսը հավասար է վերին և ստորին հիմքերի տարածքների երկրաչափական միջինը:

Կտրված բուրգի հիմքերի մակերեսները (նկ. 104) թող լինեն B և բ, բարձրությունը H և V ծավալը (կտրված բուրգը կարող է լինել եռանկյունաձև կամ բազմանկյուն, դա նշանակություն չունի):

Պահանջվում է դա ապացուցել

V = 1/3 BH + 1/3 բ H + 1 / 3 H√B բ= 1/3H(B+ բ+√B բ ),

որտեղ √B բերկրաչափական միջինն է B-ի և բ.

Ավելի փոքր հիմքի վրա ապացուցելու համար մենք տեղադրում ենք մի փոքրիկ բուրգ, որը լրացնում է այս կտրված բուրգը ամբողջականին: Այնուհետև մենք կարող ենք կտրված V բուրգի ծավալը համարել երկու ծավալների տարբերություն. ամբողջական բուրգև վերին լրացուցիչ:

Լրացուցիչ բուրգի բարձրությունը տառով նշելով X, մենք դա կգտնենք

V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - բ)X].

Բարձրությունը գտնելու համար Xմենք օգտագործում ենք ից թեորեմը, ըստ որի կարող ենք գրել հավասարումը.

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

Այս հավասարումը պարզեցնելու համար մենք քաղում ենք նրա թվաբանության երկու մասերից Քառակուսի արմատ:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

Այս հավասարումից (որը կարելի է համարել որպես համամասնություն) ստանում ենք.

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

և հետևաբար

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

Այս արտահայտությունը փոխարինելով V ծավալի համար մեր ստացած բանաձևով՝ մենք գտնում ենք.

$$ V = \frac(1)(3)\ձախ $$

Քանի որ V- բ= (√B + √ բ) (√B - √ բ), այնուհետև կոտորակը փոքրացնելով √B - √ տարբերությամբ բմենք ստանում ենք.

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

այսինքն՝ մենք ստանում ենք այն բանաձևը, որը պահանջվում էր ապացուցել։

Այլ նյութեր

Բուրգկոչվում է բազմանիստ, որի հիմքը կամայական բազմանկյուն է, և բոլոր դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով, որը բուրգի գագաթն է։

Բուրգը եռաչափ պատկեր է։ Այդ իսկ պատճառով բավականին հաճախ պահանջվում է գտնել ոչ միայն դրա տարածքը, այլև դրա ծավալը։ Բուրգի ծավալի բանաձևը շատ պարզ է.

որտեղ S-ը հիմքի մակերեսն է, իսկ h-ը՝ բուրգի բարձրությունը:

Բարձրությունբուրգը կոչվում է ուղիղ գիծ, ​​որը իջնում ​​է իր գագաթից դեպի հիմքը ուղիղ անկյան տակ: Համապատասխանաբար, բուրգի ծավալը գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել, թե որ բազմանկյունն է ընկած հիմքում, հաշվարկել դրա մակերեսը, պարզել բուրգի բարձրությունը և գտնել դրա ծավալը։ Դիտարկենք բուրգի ծավալը հաշվարկելու օրինակ:

Առաջադրանք՝ տրված է կանոնավոր քառանկյուն բուրգ:

Հիմքի կողմերը a = 3 սմ, բոլոր կողային եզրերը b = 4 սմ Գտե՛ք բուրգի ծավալը:
Նախ, հիշեք, որ ծավալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է բուրգի բարձրությունը: Մենք կարող ենք գտնել այն օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է շեղանկյունի երկարությունը, ավելի ճիշտ՝ դրա կեսը: Հետո իմանալով կողմերից երկուսը ուղղանկյուն եռանկյուն, մենք կարող ենք գտնել բարձրությունը։ Նախ գտեք անկյունագիծը.

Փոխարինեք արժեքները բանաձևում.


Մենք գտնում ենք h բարձրությունը՝ օգտագործելով d և b եզրը.


Հիմա եկեք գտնենք

Թեորեմ.

Բուրգի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալի մեկ երրորդին։.

Ապացույց:

Սկզբում մենք ապացուցում ենք եռանկյուն բուրգի թեորեմը, ապա կամայականի համար։

1. Դիտարկենք եռանկյուն բուրգըOABCV ծավալով, հիմքի մակերեսովՍև բարձրությունը հ. Գծի՛ր առանցք օհ (OM2- բարձրություն), հաշվի առեք հատվածըA1 B1 C1բուրգեր՝ առանցքին ուղղահայաց հարթությամբօհև, հետևաբար, հիմքի հարթությանը զուգահեռ: Նշել ըստX abscissa կետ Մ1 այս հարթության խաչմերուկը x առանցքի հետ և միջովS(x)- խաչմերուկի տարածքը. Էքսպրես S(x)միջոցով Ս, հև X. Նշենք, որ եռանկյունները Ա1 AT1 ԻՑ1 և ABC-ն նման են. Իսկապես Ա1 AT1 II AB, ուրեմն եռանկյունՕԱ 1 AT 1 նման է OAB եռանկյունին: ԻՑհետևաբար, ԲԱՅՑ1 AT1 : ԲԱՅՑB=ՕԱ 1: ՕԱ .

ուղղանկյուն եռանկյուններՕԱ 1 AT 1 և OAB նույնպես նման են (նրանք ունեն ընդհանուր սուր անկյունսկիզբ O). Հետեւաբար, ՕԱ 1: OA = O 1 Մ1 OM = x: հ. Այս կերպԲԱՅՑ 1 AT 1 A B = x: հ.Նմանապես ապացուցված է, որB1 C1:արև = X: հև A1 C1:AC = X: հ.Այսպիսով, եռանկյունինA1 B1 C1և ABCհամանման՝ նմանության գործակցով X: հ.Հետևաբար, S(x): S = (x: ը)², կամ S(x) = Ս x²/ հ².

Այժմ կիրառենք մարմինների ծավալները հաշվարկելու հիմնական բանաձևըա= 0, b=հմենք ստանում ենք

2. Այժմ ապացուցենք բարձրություն ունեցող կամայական բուրգի թեորեմը հև բազայի տարածքը Ս. Նման բուրգը կարելի է բաժանել ընդհանուր բարձրությամբ եռանկյունաձև բուրգերի հ.Յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի ծավալն արտահայտում ենք մեր ապացուցած բանաձևով և ավելացնում այս ծավալները։ Փակագծերից հանելով 1/3h ընդհանուր գործակիցը, փակագծերում ստանում ենք եռանկյուն բուրգերի հիմքերի գումարը, այսինքն. սկզբնական բուրգի հիմքերի S մակերեսը։

Այսպիսով, սկզբնական բուրգի ծավալը 1/3Շ է. Թեորեմն ապացուցված է.

Հետևանք.

h բարձրությամբ և S և S հիմքով կտրված բուրգի V ծավալը1 , հաշվարկվում են բանաձևով

h - բուրգի բարձրությունը

S վերեւ - վերին հիմքի տարածքը

S ցածր - ստորին բազայի տարածքը