Մաթեմատիկայի քննությանը նախապատրաստվելիս ուսանողները պետք է համակարգեն հանրահաշվի և երկրաչափության մասին իրենց գիտելիքները: Ես կցանկանայի համատեղել բոլոր հայտնի տեղեկությունները, օրինակ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել բուրգի տարածքը: Ավելին, սկսած հիմքից և կողային երեսներից մինչև ամբողջ մակերեսը: Եթե ​​կողային երեսների դեպքում իրավիճակը պարզ է, քանի որ դրանք եռանկյուն են, ապա հիմքը միշտ տարբերվում է:

Ի՞նչ անել բուրգի հիմքի տարածքը գտնելիս:

Դա կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած գործիչ՝ կամայական եռանկյունից մինչև n-անկյուն: Եվ այս հիմքը, բացի անկյունների քանակի տարբերությունից, կարող է լինել կանոնավոր գործիչ կամ սխալ: Դպրոցականներին հետաքրքրող USE առաջադրանքներում կան միայն ճիշտ թվերով առաջադրանքներ բազայում: Հետեւաբար, մենք կխոսենք միայն դրանց մասին:

ուղղանկյուն եռանկյուն

Դա հավասարակողմ է: Մեկը, որտեղ բոլոր կողմերը հավասար են և նշվում են «ա» տառով: Այս դեպքում, բուրգի հիմքի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

S = (a 2 * √3) / 4.

Քառակուսի

Նրա տարածքը հաշվարկելու բանաձևը ամենապարզն է, այստեղ «ա»-ն կրկին կողմն է.

Կամայական կանոնավոր n-gon

Բազմանկյունի կողմն ունի նույն նշանակումը: Անկյունների քանակի համար օգտագործվում է լատինական n տառը։

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)):

Ինչպե՞ս վարվել կողային և ընդհանուր մակերեսը հաշվարկելիս:

Քանի որ հիմքը կանոնավոր կերպար է, բուրգի բոլոր երեսները հավասար են: Ընդ որում, նրանցից յուրաքանչյուրը հավասարաչափ եռանկյուն է, քանի որ կողային եզրերը հավասար են։ Այնուհետև, բուրգի կողային տարածքը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է մի բանաձև, որը բաղկացած է նույնական մոնոմների գումարից: Տերմինների թիվը որոշվում է հիմքի կողմերի քանակով:

Հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկվում է այն բանաձևով, որով հիմքի արտադրյալի կեսը բազմապատկվում է բարձրությամբ: Բուրգի այս բարձրությունը կոչվում է ապոտեմ: Դրա նշանակումը «Ա» է: Ընդհանուր բանաձևկողային մակերեսի համար այսպիսի տեսք ունի.

S \u003d ½ P * A, որտեղ P-ը բուրգի հիմքի պարագիծն է:

Կան իրավիճակներ, երբ հիմքի կողմերը հայտնի չեն, բայց տրված են կողային եզրերը (c) և նրա գագաթի հարթ անկյունը (α): Այնուհետև ենթադրվում է օգտագործել այսպիսի բանաձև՝ բուրգի կողային տարածքը հաշվարկելու համար.

S = n/2 * 2 sin α-ում .

Առաջադրանք թիվ 1

Վիճակ.Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը, եթե դրա հիմքը գտնվում է 4 սմ կողմով, իսկ ապոտեմը ունի √3 սմ արժեք:

Լուծում.Դուք պետք է սկսեք բազայի պարագծի հաշվարկից: Քանի որ սա կանոնավոր եռանկյուն է, ապա P \u003d 3 * 4 \u003d 12 սմ: Քանի որ ապոտեմը հայտնի է, կարող եք անմիջապես հաշվարկել ամբողջ կողային մակերեսի տարածքը. ½ * 12 * √3 = 6: √3 սմ 2.

Հիմքի վրա գտնվող եռանկյունու համար կստացվի հետևյալ տարածքի արժեքը. (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 սմ 2:

Ամբողջ տարածքը որոշելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել ստացված երկու արժեքները՝ 6√3 + 4√3 = 10√3 սմ 2:

Պատասխանել. 10√3 սմ2.

Առաջադրանք թիվ 2

Վիճակ. Կա կանոնավոր քառանկյուն բուրգ։ Հիմքի կողքի երկարությունը 7 մմ է, կողային եզրը՝ 16 մմ։ Դուք պետք է իմանաք դրա մակերեսը:

Լուծում.Քանի որ բազմանիստը քառանկյուն է և կանոնավոր, ապա դրա հիմքը քառակուսի է։ Սովորելով հիմքի և կողային երեսների տարածքները՝ հնարավոր կլինի հաշվարկել բուրգի մակերեսը։ Քառակուսու բանաձևը տրված է վերևում։ Իսկ կողային երեսներում եռանկյան բոլոր կողմերը հայտնի են։ Հետևաբար, դուք կարող եք օգտագործել Հերոնի բանաձևը դրանց տարածքները հաշվարկելու համար:

Առաջին հաշվարկները պարզ են և տանում են այս թվին՝ 49 մմ 2: Երկրորդ արժեքի համար ձեզ հարկավոր է հաշվարկել կիսաշրջագիծը՝ (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 մմ: Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը՝ √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 մմ 2: Նման եռանկյունները ընդամենը չորսն են, ուստի վերջնական թիվը հաշվարկելիս անհրաժեշտ կլինի այն բազմապատկել 4-ով:

Ստացվում է՝ 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 մմ 2:

Պատասխանել. Ցանկալի արժեքը 267,576 մմ 2 է:

Առաջադրանք թիվ 3

Վիճակ. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի համար անհրաժեշտ է հաշվարկել տարածքը: Դրանում քառակուսու կողմը 6 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ 4 սմ։

Լուծում.Ամենահեշտ ձևն է օգտագործել բանաձևը պարագծի և ապոտեմի արտադրյալի հետ: Առաջին արժեքը հեշտ է գտնել: Երկրորդը մի փոքր ավելի բարդ է.

Մենք պետք է հիշենք Պյութագորասի թեորեմը և հաշվի առնենք, որ այն ձևավորվում է բուրգի բարձրությունից և ապոտեմից, որը հիպոթենուսն է: Երկրորդ ոտքը հավասար է քառակուսու կողմի կեսին, քանի որ պոլիէդրոնի բարձրությունը ընկնում է նրա մեջտեղում:

Ցանկալի ապոտեմ (հիպոթենուզ ուղղանկյուն եռանկյուն) հավասար է √(3 2 + 4 2) = 5 (սմ):

Այժմ կարող եք հաշվարկել ցանկալի արժեքը՝ ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (սմ 2):

Պատասխանել. 96 սմ2:

Առաջադրանք թիվ 4

Վիճակ.Նրա հիմքի ճիշտ կողմը 22 մմ է, կողային կողերը՝ 61 մմ։ Որքա՞ն է այս պոլիէդրոնի կողային մակերեսի մակերեսը:

Լուծում.Դրանում եղած պատճառաբանությունը նույնն է, ինչ նկարագրված է թիվ 2 խնդրի մեջ։ Միայն այնտեղ տրվել է բուրգ, որի հիմքում քառակուսի է, իսկ այժմ այն ​​վեցանկյուն է։

Նախևառաջ, բազայի տարածքը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով. (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 սմ 2.

Այժմ դուք պետք է պարզեք հավասարաչափ եռանկյունու կիսաշրջագիծը, որը կողային երես է: (22 + 61 * 2): 2 = 72 սմ: Մնում է հաշվարկել յուրաքանչյուր այդպիսի եռանկյունու մակերեսը Հերոնի բանաձևով, այնուհետև այն բազմապատկել վեցով և ավելացնել այն եռանկյունու համար, որը ստացվել է: հիմք.

Հաշվարկներ՝ օգտագործելով Heron բանաձևը՝ √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 սմ 2: Հաշվարկներ, որոնք կտան կողային մակերեսի մակերեսը՝ 660 * 6 \u003d 3960 սմ 2: Մնում է դրանք գումարել՝ ամբողջ մակերեսը պարզելու համար՝ 5217.47≈5217 սմ 2։

Պատասխանել.Հիմքը՝ 726√3 սմ 2, կողային մակերեսը՝ 3960 սմ 2, ամբողջ մակերեսը՝ 5217 սմ 2։

եռանկյուն բուրգԲազմեյդրոնը կոչվում է բազմանկյուն, որի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է:

Նման բուրգում հիմքի երեսները և կողմերի եզրերը հավասար են միմյանց։ Համապատասխանաբար, կողային երեսների մակերեսը հայտնաբերվում է երեք նույնական եռանկյունների տարածքների գումարից: Գտեք կողային մակերեսը ճիշտ բուրգկարող եք օգտագործել բանաձևը. Եվ դուք կարող եք մի քանի անգամ ավելի արագ կատարել հաշվարկը: Դա անելու համար կիրառեք եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսի տարածքի բանաձևը.

որտեղ p-ը հիմքի պարագիծն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են b-ի, a-ն վերևից այս հիմքն իջեցված ապոտեմն է։ Դիտարկենք եռանկյուն բուրգի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Առաջադրանք. Թող տրվի ճիշտ բուրգը: Եռանկյան հիմքում ընկած կողմը b = 4 սմ է: Բուրգի ապոտեմը a = 7 սմ է: Գտեք բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը:
Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանների, մենք գիտենք բոլորի երկարությունները անհրաժեշտ տարրեր, գտե՛ք պարագիծը։ Հիշեք, որ կանոնավոր եռանկյունում բոլոր կողմերը հավասար են, և, հետևաբար, պարագիծը հաշվարկվում է բանաձևով.

Փոխարինեք տվյալները և գտեք արժեքը.

Այժմ, իմանալով պարագիծը, մենք կարող ենք հաշվարկել կողային մակերեսի մակերեսը.

Ամբողջ արժեքը հաշվարկելու համար եռանկյուն բուրգի մակերեսի բանաձևը կիրառելու համար անհրաժեշտ է գտնել պոլիէդրոնի հիմքի մակերեսը: Դրա համար օգտագործվում է բանաձևը.

Եռանկյուն բուրգի հիմքի տարածքի բանաձևը կարող է տարբեր լինել: Թույլատրվում է տվյալ գործչի համար օգտագործել պարամետրերի ցանկացած հաշվարկ, բայց ամենից հաճախ դա չի պահանջվում։ Դիտարկենք եռանկյունաձև բուրգի հիմքի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Առաջադրանք. Կանոնավոր բուրգում հիմքում ընկած եռանկյան կողմը a = 6 սմ է: Հաշվե՛ք հիմքի մակերեսը:
Հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ է միայն բուրգի հիմքում գտնվող կանոնավոր եռանկյան կողմի երկարությունը: Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

Շատ հաճախ պահանջվում է գտնել պոլիէդրոնի ընդհանուր տարածքը: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել կողային մակերեսի և հիմքի տարածքը:

Դիտարկենք եռանկյուն բուրգի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Խնդիր. Թող տրվի կանոնավոր եռանկյուն բուրգ: Հիմքի կողմը b = 4 սմ է, ապոտեմը a = 6 սմ է: Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը:
Նախ, եկեք գտնենք կողային մակերեսը հայտնի բանաձեւ. Հաշվեք պարագիծը.

Տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.
Այժմ գտեք բազայի տարածքը.
Իմանալով հիմքի և կողային մակերեսի տարածքը, մենք գտնում ենք բուրգի ընդհանուր մակերեսը.

Կանոնավոր բուրգի տարածքը հաշվարկելիս չպետք է մոռանալ, որ հիմքը կանոնավոր եռանկյունի է, և այս պոլիէդրոնի շատ տարրեր հավասար են միմյանց:

Բուրգ, որի հիմքում ընկած է կանոնավոր վեցանկյուն, և կողմերը ձևավորվում են կանոնավոր եռանկյուններ, կոչվում է վեցանկյուն.

Այս պոլիեդրոնն ունի բազմաթիվ հատկություններ.

• Հիմքի բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են միմյանց;
• Բոլոր եզրերը և երկնիստ ածխի բուրգերը նույնպես հավասար են միմյանց.
• Կողմերը կազմող եռանկյունները նույնն են, համապատասխանաբար, ունեն նույն մակերեսը, կողմերը և բարձրությունները։

Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի տարածքը հաշվարկելու համար օգտագործվում է վեցանկյուն բուրգի կողային մակերեսի ստանդարտ բանաձևը.

որտեղ P-ը հիմքի պարագիծն է, a-ն բուրգի ապոտեմի երկարությունն է։ Շատ դեպքերում, դուք կարող եք հաշվարկել կողային տարածքը, օգտագործելով այս բանաձեւը, բայց երբեմն կարող եք օգտագործել մեկ այլ մեթոդ: Քանի որ բուրգի կողային երեսները կազմված են հավասար եռանկյուններով, կարող եք գտնել մեկ եռանկյան մակերեսը, այնուհետև այն բազմապատկել կողմերի թվով: Վեցանկյուն բուրգում դրանցից 6-ը կա: Բայց այս մեթոդը կարող է օգտագործվել նաև հաշվարկում: Եկեք դիտարկենք վեցանկյուն բուրգի կողային մակերեսի հաշվարկման օրինակ:

Թող տրվի կանոնավոր վեցանկյուն բուրգ, որում ապոտեմը a = 7 սմ է, հիմքի կողմը ՝ b = 3 սմ: Հաշվեք պոլիէդրոնի կողային մակերեսի մակերեսը:
Նախ, գտեք հիմքի պարագիծը: Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, դրա հիմքում կա կանոնավոր վեցանկյուն։ Այսպիսով, նրա բոլոր կողմերը հավասար են, և պարագիծը հաշվարկվում է բանաձևով.
Տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.
Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել կողային մակերեսի մակերեսը՝ փոխարինելով գտնված արժեքը հիմնական բանաձևով.

Նաև կարևոր կետ է բազայի տարածքի որոնումը: Վեցանկյուն բուրգի հիմքի մակերեսի բանաձևը բխում է կանոնավոր վեցանկյունի հատկություններից.

Դիտարկենք վեցանկյուն բուրգի հիմքի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ՝ հիմք ընդունելով նախորդ օրինակի պայմանները: Դրանցից մենք իմանում ենք, որ հիմքի կողմը b = 3 սմ է: Եկեք տվյալները փոխարինենք բանաձեւը:

Վեցանկյուն բուրգի մակերեսի բանաձևը հիմքի և կողային սկանավորման տարածքի գումարն է.

Դիտարկենք վեցանկյուն բուրգի մակերեսը հաշվարկելու օրինակ:

Թող տրվի բուրգ, որի հիմքում ընկած է կանոնավոր վեցանկյուն՝ b=4սմ կողմով։Տրված բազմանկյունի ապոտեմը a=6սմ է։Գտե՛ք ընդհանուր մակերեսը։
Մենք գիտենք, որ ընդհանուր մակերեսը բաղկացած է հիմքի և կողային ավլման տարածքներից: Այսպիսով, եկեք նախ գտնենք դրանք: Հաշվեք պարագիծը.

Այժմ գտեք կողային մակերեսը.

Հաջորդը, մենք հաշվարկում ենք այն հիմքի տարածքը, որում գտնվում է կանոնավոր վեցանկյունը.

Այժմ մենք կարող ենք ավելացնել արդյունքները.