कार्य 16:

क्या 1, 3 और 5 रूबल के मूल्यवर्ग में दस बैंक नोटों के साथ 25 रूबल का आदान-प्रदान करना संभव है? समाधान:

उत्तर: नहीं

कार्य 17:

पेट्या ने 96 शीटों की मात्रा के साथ एक सामान्य नोटबुक खरीदी और 1 से 192 तक की संख्या के साथ उसके सभी पृष्ठों को क्रमांकित किया। वास्या ने इस नोटबुक से 25 शीट को फाड़ दिया और उन सभी 50 नंबरों को जोड़ दिया जो उन पर लिखे गए थे। क्या वह 1990 बना सकते थे? समाधान:

प्रत्येक शीट पर, पृष्ठ संख्याओं का योग विषम है, और 25 विषम संख्याओं का योग विषम है।

कार्य 18:

22 पूर्णांकों का गुणनफल 1 के बराबर होता है। सिद्ध कीजिए कि उनका योग शून्य के बराबर नहीं है। समाधान:

इन नंबरों में - सम संख्या"माइनस इकाइयाँ", और योग के शून्य के बराबर होने के लिए, उनमें से ठीक 11 होना चाहिए।

कार्य 19:

क्या पहले 36 अभाज्य संख्याओं से जादुई वर्ग बनाना संभव है? समाधान:

इन संख्याओं में से एक (2) सम है और शेष विषम हैं। इसलिए, जिस पंक्ति में एक ड्यूस होता है, संख्याओं का योग विषम होता है, और अन्य में यह सम होता है।

कार्य 20:

1 से 10 तक की संख्याएँ एक पंक्ति में लिखी जाती हैं। क्या उनके बीच "+" और "-" चिह्न रखना संभव है ताकि परिणामी व्यंजक का मान शून्य के बराबर हो?

नोट: कृपया ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्याविषम और सम भी हैं। समाधान:

दरअसल, 1 से 10 तक की संख्याओं का योग 55 होता है और इसमें संकेतों को बदलकर हम पूरे व्यंजक को सम संख्या में बदल देते हैं।

कार्य 21:

टिड्डा एक सीधी रेखा में कूदता है, और पहली बार किसी दिशा में 1 सेमी कूदता है, दूसरी बार 2 सेमी कूदता है, और इसी तरह। सिद्ध कीजिए कि 1985 की छलांग के बाद वह वहाँ नहीं हो सकता जहाँ उसने शुरू किया था। समाधान:

नोट: योग 1 + 2 + … + 1985 विषम है।

कार्य 22:

नंबर 1, 2, 3, ..., 1984, 1985 बोर्ड पर लिखे गए हैं। बोर्ड से किन्हीं दो नंबरों को मिटाने और उनके अंतर के मापांक को लिखने की अनुमति है। अंत में बोर्ड पर एक ही नंबर रहेगा। क्या यह शून्य हो सकता है? समाधान:

जांचें कि संकेतित संचालन बोर्ड पर लिखे गए सभी नंबरों के योग की समता को नहीं बदलते हैं।

कार्य 23:

क्या कवर करना संभव है बिसातडोमिनोज़ 1 × 2 ताकि केवल सेल a1 और h8 ही मुक्त रहें? समाधान:

प्रत्येक डोमिनोज़ एक काले और एक सफेद वर्ग को कवर करता है, और जब a1 और h8 वर्गों को बाहर फेंक दिया जाता है, तो सफेद वाले की तुलना में 2 कम काले वर्ग होते हैं।

कार्य 24:

17 अंकों की संख्या में समान अंकों में लिखी गई संख्या को जोड़ा गया, लेकिन उल्टे क्रम में। सिद्ध कीजिए कि परिणामी योग का कम से कम एक अंक सम होता है। समाधान:

दो स्थितियों का विश्लेषण करें: संख्या के पहले और अंतिम अंकों का योग 10 से कम है, और संख्या के पहले और अंतिम अंकों का योग 10 से कम नहीं है। यदि हम मान लें कि योग के सभी अंक विषम हैं , तो पहले मामले में अंकों में एक भी कैरी नहीं होना चाहिए (जो, जाहिर है, एक विरोधाभास की ओर जाता है), और दूसरे मामले में, दाएं से बाएं या बाएं से दाएं वैकल्पिक रूप से चलते समय एक कैरी की उपस्थिति। कैरी की अनुपस्थिति के साथ, और परिणामस्वरूप हम पाते हैं कि नौवें अंक में योग का अंक आवश्यक रूप से सम है।

कार्य 25:

लोगों के दस्ते में 100 लोग होते हैं, और उनमें से हर शाम तीन लोग ड्यूटी पर जाते हैं। क्या कुछ समय बाद यह पता चल सकता है कि हर कोई एक बार सभी के साथ ड्यूटी पर था? समाधान:

चूंकि हर कर्तव्य पर वह भाग लेता है यह व्यक्ति, वह दो अन्य लोगों के साथ ड्यूटी पर है, तो बाकी सभी को जोड़े में विभाजित किया जा सकता है। हालांकि, 99 एक विषम संख्या है।

कार्य 26:

सीधी रेखा पर 45 बिंदु अंकित हैं जो खंड AB के बाहर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि इन बिंदुओं से बिंदु A तक की दूरी का योग इन बिंदुओं से बिंदु B तक की दूरी के योग के बराबर नहीं है। समाधान:

AB के बाहर स्थित किसी भी बिंदु X के लिए, हमारे पास AX - BX = ± AB है। यदि हम मान लें कि दूरियों का योग बराबर है, तो हम पाते हैं कि व्यंजक ± AB ± AB ± … ± AB, जिसमें 45 पद शामिल हैं, शून्य के बराबर है। लेकिन ये नामुमकिन है।

कार्य 27:

एक वृत्त में 9 संख्याएँ व्यवस्थित हैं - 4 इकाई और 5 शून्य। हर सेकंड, संख्याओं पर निम्नलिखित ऑपरेशन किया जाता है: यदि वे भिन्न हैं, तो आसन्न संख्याओं के बीच शून्य को रखा जाता है, और यदि वे बराबर हैं तो एक; उसके बाद, पुराने नंबर मिटा दिए जाते हैं। क्या कुछ समय बाद सभी संख्याएँ समान हो सकती हैं? समाधान:

यह स्पष्ट है कि नौ शून्य से पहले नौ का संयोजन प्राप्त नहीं किया जा सकता है। यदि नौ शून्य थे, तो पिछली चाल पर, शून्य और एक को वैकल्पिक करना चाहिए था, जो असंभव है, क्योंकि उनमें से केवल एक विषम संख्या है।

कार्य 28:

25 लड़के और 25 लड़कियां एक गोल मेज पर बैठते हैं। सिद्ध कीजिए कि मेज पर बैठे व्यक्तियों में से एक के दोनों पड़ोसी लड़के हैं। समाधान:

आइए हम अपने प्रमाण को विरोधाभास से लागू करें। हम टेबल पर बैठे सभी लोगों को क्रम में रखते हैं, किसी जगह से शुरू करते हुए। अगर पर के-वें स्थानएक लड़का बैठा है, यह स्पष्ट है कि (k - 2)-वें और (k + 2)-वें स्थान पर लड़कियों का कब्जा है। लेकिन चूंकि लड़कों और लड़कियों की संख्या समान है, इसलिए nवें स्थान पर बैठी किसी भी लड़की के लिए, यह सच है कि (n - 2)वें और (n + 2)वें स्थान पर लड़कों का कब्जा है। यदि हम अब केवल उन 25 लोगों पर विचार करें जो "सम" स्थानों पर बैठे हैं, तो हम पाते हैं कि उनमें से लड़के और लड़कियां बारी-बारी से टेबल के चारों ओर किसी दिशा में जाते हैं। लेकिन 25 एक विषम संख्या है।

कार्य 29:

घोंघा विमान के साथ लगातार गति से रेंगता है, हर 15 मिनट में समकोण पर मुड़ता है। सिद्ध कीजिए कि यह घंटों की पूर्णांक संख्या के बाद ही आरंभिक बिंदु पर लौट सकता है। समाधान:

यह स्पष्ट है कि घोंघे के ऊपर या नीचे रेंगने वाले वर्गों की संख्या उन वर्गों की संख्या के बराबर है जिनमें यह दाईं या बाईं ओर रेंगता है। यह केवल ध्यान देने योग्य है कि a सम है।

कार्य 30:

तीन टिड्डे एक सीधी रेखा पर छलांग लगाते हुए खेलते हैं। हर बार उनमें से एक दूसरे पर कूदता है (लेकिन एक बार में दो से अधिक नहीं!)। क्या वे 1991 की छलांग के बाद अपने मूल स्थान पर लौट सकते हैं? समाधान:

टिड्डे A, B और C को निरूपित करें। आइए टिड्डों की व्यवस्था ABC, BCA और CAB (बाएं से दाएं) को सही कहें, और ACB, BAC और CBA को गलत कहें। यह देखना आसान है कि किसी भी छलांग के साथ व्यवस्था का प्रकार बदल जाता है।

कार्य 31:

101 सिक्के हैं, जिनमें से 50 नकली हैं, जिनका वजन असली से 1 ग्राम अलग है। पेट्या ने एक सिक्का लिया और एक के लिए तराजू पर तौलने वाले तीर के साथ प्यालों पर वजन में अंतर दिखाते हुए, वह यह निर्धारित करना चाहता है कि क्या यह नकली है। वह यह कर सकते हैं? समाधान:

आपको इस सिक्के को एक तरफ रखना है, और फिर शेष 100 सिक्कों को 50 सिक्कों के दो ढेरों में विभाजित करना है, और इन ढेरों के वजन की तुलना करना है। यदि वे ग्राम की एक सम संख्या से भिन्न हैं, तो हम जिस सिक्के में रुचि रखते हैं वह वास्तविक है। यदि बाटों के बीच का अंतर विषम है, तो सिक्का नकली है।

टास्क 32:

क्या 1 से 9 तक की संख्याओं को एक बार में लिखना संभव है ताकि एक और दो, दो और तीन, ..., आठ और नौ के बीच अंकों की विषम संख्या हो? समाधान:

अन्यथा, पंक्ति में सभी संख्याएँ समान समता के स्थानों पर होंगी।

यह काम पेट्या ने 96 शीट की मात्रा के साथ एक सामान्य नोटबुक खरीदी और 1 से 192 तक की संख्या के साथ अपने सभी पृष्ठों को क्रमांकित किया। वास्या ने विषय (एएचडी और वित्तीय विश्लेषण) पर बाहर निकाला (नियंत्रण), हमारी कंपनी द्वारा कस्टम-निर्मित था विशेषज्ञों और इसके सफल बचाव को पारित किया। काम - पेट्या ने 96 शीटों की मात्रा के साथ एक सामान्य नोटबुक खरीदी और 1 से 192 तक की संख्या के साथ अपने सभी पृष्ठों को क्रमांकित किया। वास्या ने एएचडी के विषय पर ध्यान दिया और वित्तीय विश्लेषण इसके विषय और इसके प्रकटीकरण के तार्किक घटक को दर्शाता है, अध्ययन के तहत मुद्दे का सार पता चला है, मुख्य प्रावधानों और प्रमुख विचारों को इस विषय पर प्रकाश डाला गया है।
काम - पेट्या ने 96 शीट की मात्रा के साथ एक सामान्य नोटबुक खरीदी और 1 से 192 तक की संख्या के साथ उसके सभी पृष्ठों को क्रमांकित किया। वास्या ने इसे फाड़ दिया, इसमें शामिल हैं: टेबल, चित्र, नवीनतम साहित्यिक स्रोत, प्रस्तुत करने का वर्ष और रक्षा का वर्ष काम - 2017. काम में, पेट्या ने 96 शीटों की एक सामान्य नोटबुक मात्रा खरीदी और 1 से 192 तक की संख्या के क्रम में अपने सभी पृष्ठों को क्रमांकित किया। वास्या ने बाहर निकाला (एएचडी और वित्तीय विश्लेषण) शोध विषय की प्रासंगिकता का पता चलता है, वैज्ञानिक और के गहन मूल्यांकन और विश्लेषण के आधार पर समस्या के विकास की डिग्री परिलक्षित होती है पद्धतिगत साहित्य, एएचडी और वित्तीय विश्लेषण के विषय पर काम में, विश्लेषण की वस्तु और उसके मुद्दों पर व्यापक रूप से विचार किया जाता है, सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों पक्षों से, विचाराधीन विषय के लक्ष्य और विशिष्ट कार्यों को तैयार किया जाता है, एक तर्क है सामग्री की प्रस्तुति और उसका क्रम।

अनुभाग: गणित

ओलंपियाड के प्रिय प्रतिभागी!

स्कूल गणित ओलंपियाड एक दौर में आयोजित किया जाता है।
विभिन्न कठिनाई स्तरों के 5 कार्य हैं।
काम के डिजाइन के लिए कोई विशेष आवश्यकताएं नहीं हैं। समस्याओं के समाधान की प्रस्तुति का रूप, साथ ही समाधान के तरीके, कोई भी हो सकते हैं। यदि किसी विशेष कार्य के बारे में आपके कोई व्यक्तिगत विचार हैं, लेकिन आप समाधान को अंत तक नहीं ला सकते हैं, तो अपने सभी विचारों को बताने में संकोच न करें। यहां तक ​​​​कि आंशिक रूप से हल की गई समस्याओं का मूल्यांकन अंकों की इसी संख्या से किया जाएगा।
उन कार्यों को हल करना शुरू करें जो आपको आसान लगते हैं, और फिर बाकी के लिए आगे बढ़ें। इस तरह आप समय बचाते हैं।

हम आपको सफलता की कामना करते हैं!

स्कूल का चरण अखिल रूसी ओलंपियाडगणित में स्कूली बच्चे

श्रेणी 5

अभ्यास 1। व्यंजक 1*2*3*4*5 में, "*" को क्रिया चिह्नों से बदलें और कोष्ठकों को इस प्रकार रखें। एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए जिसका मान 100 है।

कार्य 2. अंकगणितीय समानता के रिकॉर्ड को समझना आवश्यक है, जिसमें संख्याओं को अक्षरों से बदल दिया जाता है, और अलग-अलग संख्याओं को अलग-अलग अक्षरों से बदल दिया जाता है, वही समान होते हैं।

पांच - तीन \u003d दोयह ज्ञात है कि पत्र के बजाय लेकिनआपको नंबर 2 डालना होगा।

कार्य 3. 80 किलो कील को दो भागों में कैसे विभाजित करें - 15 किलो और 65 किलो वजन के बिना पैन स्केल का उपयोग करके?

कार्य 4. आकृति में दिखाई गई आकृति को दो बराबर भागों में काटें ताकि प्रत्येक भाग में एक तारा हो। आप केवल ग्रिड लाइनों के साथ काट सकते हैं।

कार्य 5. एक कप और तश्तरी की कीमत 25 रूबल है, जबकि 4 कप और 3 तश्तरी की कीमत 88 रूबल है। प्याले का मूल्य और तश्तरी का मूल्य ज्ञात कीजिए।

6 ठी श्रेणी।

अभ्यास 1. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाए बिना उनकी तुलना करें।

कार्य 2. अंकगणितीय समानता के रिकॉर्ड को समझना आवश्यक है, जिसमें संख्याओं को अक्षरों से बदल दिया जाता है, और अलग-अलग संख्याओं को अलग-अलग अक्षरों से बदल दिया जाता है, वही समान होते हैं। यह माना जाता है कि मूल समानता सत्य है और अंकगणित के सामान्य नियमों के अनुसार लिखी गई है।

काम
+ विल
भाग्य

टास्क 3. समर कैंप में आराम करने के लिए तीन दोस्त आए: मिशा, वोलोडा और पेट्या। यह ज्ञात है कि उनमें से प्रत्येक के निम्नलिखित उपनामों में से एक है: इवानोव, सेमेनोव, गेरासिमोव। मिशा गेरासिमोव नहीं है। वोलोडा के पिता एक इंजीनियर हैं। वोलोडा छठी कक्षा में है। गेरासिमोव 5 वीं कक्षा में है। इवानोव के पिता एक शिक्षक हैं। तीन दोस्तों में से प्रत्येक का अंतिम नाम क्या है?

टास्क 4. ग्रिड लाइनों के साथ आकृति को चार समान भागों में विभाजित करें ताकि प्रत्येक भाग में एक बिंदु हो।

कार्य 5. लाल ग्रीष्मकाल के हर दिन के आधे समय के लिए कूदते हुए ड्रैगनफ़्लू सोता था, हर दिन के समय के एक तिहाई के लिए नृत्य करता था, और छठे भाग के लिए गाया जाता था। बाकी समय उसने सर्दियों की तैयारी के लिए समर्पित करने का फैसला किया। ड्रैगनफ्लाई ने सर्दियों के लिए दिन में कितने घंटे तैयारी की?

7 वीं कक्षा।

अभ्यास 1। रिबस को हल करें यदि आप जानते हैं कि स्ट्रॉन्ग संख्या में सबसे बड़ा अंक 5 है:

तय करना
यदि
बलवान

कार्य 2. समीकरण हल करें│7 - x│ = 9.3

कार्य 3. सात बार धोने के बाद साबुन की लंबाई, चौड़ाई और मोटाई आधी हो गई थी। बचे हुए साबुन में से कितने वॉश बचे रहेंगे?

टास्क 4 . कोशिकाओं के किनारों के साथ 4 × 9 कोशिकाओं के आयत को दो बराबर भागों में विभाजित करें ताकि आप उनमें से एक वर्ग बना सकें।

कार्य 5. एक लकड़ी के घन को सभी तरफ सफेद रंग से रंगा गया और फिर उसे 64 समान घनों में काटा गया। कितने घन तीन तरफ से रंगीन निकले? दो तरफ से?
एक तरफ? कितने घन रंगीन नहीं हैं?

8 वीं कक्षा।

अभ्यास 1। 13 नंबर के अंत में कौन से दो अंक हैं!

कार्य 2. अंश कम करें:

कार्य 3. स्कूल ड्रामा सर्कल, ए.एस. ज़ार साल्टन के बारे में पुश्किन ने प्रतिभागियों के बीच भूमिकाओं को वितरित करने का निर्णय लिया।
- मैं चेर्नोमोर बनूंगा, - यूरा ने कहा।
- नहीं, मैं चेर्नोमोर बनूंगा, - कोल्या ने कहा।
- ठीक है, - यूरा ने उसे स्वीकार कर लिया, - मैं ग्विडॉन खेल सकता हूं।
- अच्छा, मैं साल्टन बन सकता हूं, - कोल्या ने भी अनुपालन दिखाया।
- मैं केवल गिडॉन होने के लिए सहमत हूं! मीशा ने कहा।
लड़कों की इच्छा पूरी हुई। भूमिकाएँ कैसे वितरित की गईं?

कार्य 4. माध्यिका AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में खींची गई है जिसका आधार AB = 8m है। त्रिभुज ACD का परिमाप त्रिभुज ABD के परिमाप से 2 मी अधिक है। एएस खोजें।

कार्य 5. निकोलाई ने 96 शीटों की एक सामान्य नोटबुक खरीदी और 1 से 192 तक के पन्नों को क्रमांकित किया। उनके भतीजे आर्थर ने इस नोटबुक से 35 चादरें फाड़ दीं और उन सभी 70 नंबरों को जोड़ दिया जो उन पर लिखे गए थे। क्या वह 2010 प्राप्त कर सकता है।

श्रेणी 9

अभ्यास 1। 1989 1989 का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए।

कार्य 2. कुछ की जड़ों का योग द्विघात समीकरण 1 है और उनके वर्गों का योग 2 है। उनके घनों का योग क्या है?

कार्य 3. तीन माध्यिकाओं m a, m b और m c ABC का प्रयोग करते हुए भुजा AC = b की लंबाई ज्ञात कीजिए।

कार्य 4. अंश कम करें .

कार्य 5. "कामज़ोल" शब्द में आप कितने प्रकार से स्वर और व्यंजन का चयन कर सकते हैं?

ग्रेड 10।

अभ्यास 1। वर्तमान में 1, 2, 5, 10 रूबल के सिक्के हैं। उन सभी राशियों को इंगित करें जिनका भुगतान सम और विषम संख्या के सिक्कों से किया जा सकता है।

कार्य 2. सिद्ध कीजिए कि 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 6 से विभाज्य है।

कार्य 3. एक चतुर्भुज में ए बी सी डीविकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं एम. यह जाना जाता है कि एएम = 1,
वीएम = 2, सीएम = 4. किन मूल्यों पर डीएमचतुष्कोष ए बी सी डीएक समलम्ब है?

कार्य 4. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

कार्य 5. तीस स्कूली बच्चों - दसवीं कक्षा और ग्यारहवीं कक्षा के बच्चों ने हाथ मिलाया। उसी समय, यह पता चला कि प्रत्येक दसवें ग्रेडर ने आठ ग्यारहवें ग्रेडर से हाथ मिलाया, और प्रत्येक ग्यारहवें ग्रेडर ने सात दसवें ग्रेडर से हाथ मिलाया। दसवीं कक्षा के कितने और ग्यारहवीं कक्षा के कितने विद्यार्थी?