त्रिभुज एक सपाट ज्यामितीय आकृति है जिसका एक कोण 90 ° के बराबर होता है। इसी समय, ज्यामिति में अक्सर ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक होता है। यह कैसे करना है, हम आगे बताएंगे।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे सरल सूत्र

प्रारंभिक डेटा, जहाँ: a और b समकोण से निकलने वाले त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

अर्थात्, क्षेत्रफल समकोण से निकलने वाली दोनों भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर होता है। बेशक, एक साधारण त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला हेरॉन का सूत्र है, लेकिन मूल्य निर्धारित करने के लिए, आपको तीन पक्षों की लंबाई जानने की जरूरत है। तदनुसार, आपको कर्ण की गणना करनी होगी, और यह अतिरिक्त समय है।

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

यह एक प्रसिद्ध और मूल सूत्र है, लेकिन इसके लिए आपको पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दो पैरों के साथ कर्ण की गणना करनी होगी।

इस सूत्र में: a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और p अर्ध-परिधि है।

कर्ण और कोण दिए गए समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

यदि आपकी समस्या में कोई भी पैर नहीं पता है, तो आप सबसे सरल विधि का उपयोग नहीं कर पाएंगे। मूल्य निर्धारित करने के लिए, आपको पैरों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। यह केवल शामिल कोण के कर्ण और कोज्या द्वारा किया जाता है।

b=c×cos(α)

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक पैर की लंबाई जानने के बाद, आप समकोण से निकलने वाली दूसरी भुजा की गणना कर सकते हैं।

बी 2 \u003d सी 2 -ए 2

इस सूत्र में, c और a क्रमशः कर्ण और पाद हैं। अब आप पहले सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। उसी तरह, दूसरे और कोण को देखते हुए, पैरों में से एक की गणना की जा सकती है। इस मामले में, वांछित पक्षों में से एक पैर के उत्पाद और कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होगा। क्षेत्रफल की गणना करने के अन्य तरीके हैं, लेकिन मूल प्रमेयों और नियमों को जानकर, आप आसानी से वांछित मूल्य पा सकते हैं।

यदि आपके पास त्रिभुज की कोई भुजा नहीं है, लेकिन केवल माध्यिका और एक कोण है, तो आप भुजाओं की लंबाई की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज को दो से विभाजित करने के लिए माध्यिका के गुणों का उपयोग करें। तदनुसार, यह एक न्यून कोण से निकलने पर कर्ण के रूप में कार्य कर सकता है। एक समकोण से निकलने वाले त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल सूत्रों और पाइथागोरस प्रमेय को जानकर, आप एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, जिसमें केवल एक कोण और एक भुजा की लंबाई हो।

हाई स्कूल में ज्यामिति की कक्षाओं में हम सभी को त्रिभुजों के बारे में पढ़ाया जाता था। हालाँकि, स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, हम केवल सबसे आवश्यक ज्ञान प्राप्त करते हैं और गणना के सबसे सामान्य और मानक तरीके सीखते हैं। क्या इस मान को खोजने के असामान्य तरीके हैं?

परिचय के रूप में, आइए याद करें कि किस त्रिभुज को एक समकोण त्रिभुज माना जाता है, और क्षेत्रफल की अवधारणा को भी दर्शाता है।

एक समकोण त्रिभुज एक बंद ज्यामितीय आकृति है, जिसका एक कोण 90 0 के बराबर होता है। परिभाषा में अभिन्न अवधारणाएं पैर और कर्ण हैं। पैर दो पक्ष हैं जो कनेक्शन बिंदु पर एक समकोण बनाते हैं। कर्ण समकोण के विपरीत पक्ष है। एक समकोण त्रिभुज समद्विबाहु हो सकता है (इसकी दो भुजाएँ समान आकार की होंगी), लेकिन समबाहु कभी नहीं (सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं)। ऊंचाई, माध्यिका, सदिश और अन्य गणितीय शब्दों की परिभाषाओं का विस्तार से विश्लेषण नहीं किया जाएगा। उन्हें संदर्भ पुस्तकों में खोजना आसान है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल। आयतों के विपरीत, नियम के बारे में

परिभाषा में पार्टियों का उत्पाद मान्य नहीं है। शब्दों की शुष्क भाषा में बोलते हुए, एक त्रिभुज के क्षेत्र को इस आकृति की संपत्ति के रूप में समझा जाता है जो विमान के एक हिस्से पर कब्जा कर लेता है, जिसे एक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है। समझने में काफी मुश्किल है, आप देखिए। हम परिभाषा में गहराई से जाने की कोशिश नहीं करेंगे, हमारा लक्ष्य यह नहीं है। आइए मुख्य बात पर चलते हैं - एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? हम स्वयं गणना नहीं करेंगे, हम केवल सूत्रों का संकेत देंगे। ऐसा करने के लिए, आइए अंकन को परिभाषित करें: ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे, पैर - एबी, बीसी। कोण ACB सीधा है। S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, h n n त्रिभुज की ऊँचाई है, जहाँ nn वह भुजा है जिस पर इसे उतारा गया है।

विधि 1. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि उसके पैरों का आकार ज्ञात हो

विधि 2. एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

विधि 3. एक आयत के माध्यम से क्षेत्रफल की गणना

हम समकोण त्रिभुज को एक वर्ग में पूरा करते हैं (यदि त्रिभुज

समद्विबाहु) या आयत। हमें 2 समरूप समकोण त्रिभुजों से बना एक सरल चतुर्भुज प्राप्त होता है। इस मामले में, उनमें से एक के क्षेत्र का मूल्य परिणामी आंकड़े के आधे क्षेत्र के बराबर होगा। एक आयत के S की गणना भुजाओं के गुणनफल द्वारा की जाती है। हम इस मान को M से निरूपित करते हैं। क्षेत्रफल का वांछित मान M के आधे के बराबर होगा।

विधि 4. "पायथागॉरियन पैंट।" प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय

हम सभी को उसका सूत्रीकरण याद है: "पैरों के वर्गों का योग ..."। लेकिन हर कोई नहीं कर सकता

कहो, और यहाँ कुछ "पैंट"। तथ्य यह है कि पाइथागोरस ने शुरू में एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर बने संबंधों का अध्ययन किया था। वर्गों के पक्षों के अनुपात में पैटर्न की पहचान करने के बाद, वह हम सभी को ज्ञात सूत्र प्राप्त करने में सक्षम था। इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब किसी एक पक्ष का मान अज्ञात हो।

विधि 5. हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

यह भी काफी सरल गणना है। सूत्र में त्रिभुज के क्षेत्रफल का व्यंजक उसके पक्षों के संख्यात्मक मानों के रूप में होता है। गणना के लिए, आपको त्रिभुज की सभी भुजाओं का परिमाण जानना होगा।

एस = (पी-एसी)*(पी-बीसी), जहां पी = (एबी+बीसी+एसी)*0.5

उपरोक्त के अतिरिक्त, त्रिभुज जैसी रहस्यमयी आकृति का आकार ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। उनमें से: एक उत्कीर्ण या परिचालित सर्कल की विधि द्वारा गणना, कोने के निर्देशांक का उपयोग करके गणना, वैक्टर का उपयोग, निरपेक्ष मान, साइन, स्पर्शरेखा।

एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण 90° का होता है। यदि दो पैर ज्ञात हों तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। बेशक, आप लंबा रास्ता तय कर सकते हैं - कर्ण ढूंढ सकते हैं और क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, लेकिन ज्यादातर मामलों में इसमें केवल अतिरिक्त समय लगेगा। इसलिए एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है:

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के उत्पाद का आधा है।

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का एक उदाहरण।
पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज दिया गया है एक= 8 सेमी, बी= 6 सेमी.
हम क्षेत्र की गणना करते हैं:
क्षेत्रफल है: 24 सेमी 2

एक समकोण त्रिभुज में भी पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है। - दोनों पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र की गणना उसी तरह की जाती है जैसे एक नियमित समकोण त्रिभुज के लिए की जाती है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का एक उदाहरण:
पैरों के साथ एक त्रिभुज दिया गया एक= 4 सेमी, बी\u003d 4 सेमी। क्षेत्र की गणना करें:
हम क्षेत्र की गणना करते हैं: \u003d 8 सेमी 2

यदि स्थिति में एक पैर दिया गया हो तो कर्ण के संबंध में एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय से हम अज्ञात पैर की लंबाई पाते हैं। उदाहरण के लिए, कर्ण दिया गया है सीऔर पैर एक, टांग बीके बराबर होगा:
अगला, हम सामान्य सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करते हैं। कर्ण का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की गणना करने का एक उदाहरण ऊपर वर्णित के समान है।

आइए एक दिलचस्प कार्य पर विचार करें जो त्रिभुज को हल करने के लिए सूत्रों के ज्ञान को मजबूत करने में मदद करेगा।
एक कार्य: एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 वर्ग मीटर है। देखें कि त्रिभुज की छोटी टाँग ज्ञात कीजिए यदि वह दूसरे से 31 सेमी कम है।
समाधान: पैरों को निरूपित करें एकतथा बी. अब आइए डेटा को क्षेत्र सूत्र में बदलें: हम यह भी जानते हैं कि एक पैर दूसरे से छोटा है एक – बी= 31 सेमी
पहली शर्त से हम पाते हैं कि
हम इस स्थिति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

चूँकि हमें भुजाएँ मिली हैं, हम ऋण चिह्न हटाते हैं।
यह पता चला है कि पैर एक= 40 सेमी, और बी= 9 सेमी.