В средния и гимназиалния курс учениците изучаваха темата „Дроби“. Това понятие обаче е много по-широко от даденото в учебния процес. Днес концепцията за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли всеки израз, например умножаване на дроби.

Какво е дроб?

Исторически се случи така, че дробните числа се появиха поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмента, обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално учениците се запознават с такова понятие като дял. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всяка ще получи една осма от диня. Тази част от осем се нарича дял.

Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Извикват се записи като 5/8, 4/5, 2/4 обикновени дроби. Обикновената дроб се дели на числител и знаменател. Между тях има дробна линия или дробна линия. Частичната лента може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. В този случай той означава знак за деление.

Знаменателят представлява на колко равни части е разделена стойността, обектът; а числителят е колко равни части са взети. Числителят е написан над дробната черта, а знаменателят под нея.

Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатен лъч. Ако разделите един сегмент на 4 равни части, обозначете всяка част с латинска буква, тогава в резултат можете да получите отлична визуална помощ. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от този сегмент.

Разновидности на дроби

Дробите са обикновени, десетични и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.

Под правилна дробразбирайте число, чийто числител е по-малък от знаменателя. Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият вид обикновено се записва като смесено число. Такъв израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 - цяла част, ½ - дробна. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.

Правилният дробен израз винаги е по-малък от единица, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.

Що се отнася до този израз, те разбират запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на дробния израз може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробта е правилна, тогава цялата част в десетичен записще бъде равно на нула.

За да напишете десетична запетая, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите със запетая от дробната и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след запетаята числителят трябва да съдържа толкова цифри, колкото нули има в знаменателя.

Пример. Представете дробта 7 21 / 1000 в десетична система.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се записва неправилна дроб в отговора на задачата, затова трябва да се преобразува в смесено число:

• разделете числителя на съществуващия знаменател;
• в конкретен пример непълно частно е цяло число;
• а остатъкът е числителят на дробната част, като знаменателят остава непроменен.

Пример. Преобразувайте неправилна дроб в смесено число: 47 / 5 .

Решение. 47: 5. Непълното частно е 9, остатъкът = 2. Следователно, 47/5 = 9 2/5.

Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

• цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
• полученият продукт се добавя към числителя;
• резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример. Изразете числото в смесена форма като неправилна дроб: 9 8 / 10 .

Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е числителят.

Отговор: 98 / 10.

Умножение на обикновени дроби

Можете да извършвате различни алгебрични операции с обикновени дроби. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това умножението на дроби с различни знаменателине се различава от произведението на дробни числа с еднакви знаменатели.

Случва се, след като намерите резултата, да трябва да намалите фракцията. AT без провалполученият израз трябва да бъде максимално опростен. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговора е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.

Пример. Намерете произведението на две обикновени дроби: ½ и 20/18.

Както се вижда от примера, след намиране на продукта се получава редуцируема дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай се делят на 4, а резултатът е отговорът 5/9.

Умножаване на десетични дроби

Произведението на десетичните дроби е доста различно от произведението на обикновените дроби по своя принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:

• две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
• трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
• пребройте броя на цифрите след запетаята във всяко от числата;
• в резултата, получен след умножението, трябва да преброите толкова цифрови знаци отдясно, колкото се съдържат в сумата в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
• ако има по-малко цифри в продукта, тогава трябва да се изпишат толкова много нули пред тях, за да покрият това число, поставете запетая и присвойте цяла част, равна на нула.

Пример. Изчислете произведението на два знака след десетичната запетая: 2,25 и 3,6.

Решение.

Умножение на смесени дроби

За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:

• преобразувайте смесени числа в неправилни дроби;
• намерете произведението на числителите;
• намерете произведението на знаменателите;
• запишете резултата;
• опростете израза колкото е възможно повече.

Пример. Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножение на число с дроб (дроби с число)

В допълнение към намирането на произведението на две дроби, смесени числа, има задачи, в които трябва да умножите по дроб.

И така, да намеря работата десетична дроби естествено число, имате нужда от:

• напишете числото под дробта, така че най-десните цифри да са една над друга;
• намерете работата, въпреки запетаята;
• в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, като броите надясно броя знаци, който е след десетичната запетая в дробта.

За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът е редуцируема дроб, тя трябва да се преобразува.

Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали полученият резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.

Освен това умножението на дроби се прилага и за намиране на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите резултата възможно най-много.

Пример. Намерете произведението на 9 5/6 и 9.

Решение. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Отговор: 88 1 / 2.

Умножение с коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предходния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя след единица.

Пример 1. Намерете произведението на 0,065 и 1000.

Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Отговор: 65.

Пример 2. Намерете произведението на 3,9 и 1000.

Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено числои 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво в получения продукт с толкова цифри, колкото нули има преди единица. Ако е необходимо, пред естествено число се записват достатъчен брой нули.

Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Отговор: 0,56.

Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Отговор: 0,004.

Така че намирането на продукта от различни дроби не трябва да създава трудности, освен може би изчисляването на резултата; В този случай просто не можете да правите без калкулатор.

) и знаменателят по знаменателя (получаваме знаменателя на произведението).

Формула за умножение на дроби:

Например:

Преди да продължите с умножението на числители и знаменатели, е необходимо да проверите възможността за намаляване на дробите. Ако успеете да намалите фракцията, тогава ще ви бъде по-лесно да продължите да правите изчисления.

Деление на обикновена дроб на дроб.

Деление на дроби с естествено число.

Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цяло число в дроб с единица в знаменателя. Например:

Умножение на смесени дроби.

Правила за умножение на дроби (смесени):

• преобразуване на смесени дроби в неправилни;
• умножават числителите и знаменателите на дробите;
• намаляваме фракцията;
• ако получим неправилна дроб, тогава превръщаме неправилната дроб в смесена.

Забележка!За да умножите смесена дроб с друга смесена дроб, първо трябва да ги приведете във формата на неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.

Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.

По-удобно е да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб с число.

Забележка!За да умножите дроб по естествено число, е необходимо да разделите знаменателя на дроба на това число и да оставите числителя непроменен.

От горния пример става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.

Многостепенни дроби.

В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:

За да се приведе такава фракция в обичайната й форма, се използва разделяне на 2 точки:

Забележка!При разделянето на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.

Забележка, например:

Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:

Практически съвети за умножение и деление на дроби:

1. Най-важното при работата с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате в изчисленията в главата си.

2. При задачи с различни видове дроби – преминаване към вид обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.

4. Привеждаме многостепенни дробни изрази в обикновени, като използваме разделяне на 2 точки.

5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обърнем дробта.

Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва някакъв обект не изцяло, а на отделни части. Началото на изучаването на тази тема - споделете. Акциите са равни частина които е разделен даден обект. В крайна сметка не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на даден продукт като цяло число; трябва да се вземат предвид части или дялове от всякаква мярка. Образувана от глагола "раздробяване" - разделяне на части и имаща арабски корени, през VIII век самата дума "фракция" се появява на руски език.

Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния раздел на математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат ​​"счупени числа", което е много трудно да се покаже в разбирането на хората.

Съвременната форма на прости дробни остатъци, части от които са разделени точно с хоризонтална линия, е популяризирана за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите писания датират от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се извършва умножението на смесени дроби с различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално е необходимо да се определи разновидности на дроби:

• правилно;
• погрешно;
• смесен.

След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:

а/b * ° С/д = а*в / b*d.

Единствената разлика е, че образуваното число под дробната лента ще бъде произведение на различни числа и, естествено, не може да се нарече квадрат на един числов израз.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват начини за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната лента не могат да бъдат намалени.

Заедно с простите дробни числа, съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Дадени са няколко примера за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, можете да запишете правилото за това действие по формулата:

а* б/° С = а*б/° С.

Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има и друг вариант за решаване на умножението на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д* д/f = д/е: г.

Полезно е да използвате тази техника, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, напълно.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб, тя може да бъде представена и като обща формула:

а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се образува чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му към числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи и в обратна посока. За да изберете цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на знаменателя с „ъгъл“.

Умножение на неправилни дробипроизведени по обичайния начин. Когато записът преминава под един дробен ред, ако е необходимо, трябва да намалите дробите, за да намалите числата с помощта на този метод и да е по-лесно да изчислите резултата.

В интернет има много помощници за решаване дори на сложни проблеми. задачи по математикав различни програми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при изчисляването на умножението на дроби с различни числа в знаменателите - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Работата с него не е трудна, попълват се съответните полета на страницата на сайта, избира се знакът на математическото действие и се натиска бутонът „изчисли“. Програмата отчита автоматично.

Темата за аритметичните операции с дробни числа е актуална за цялото обучение на средни и старши ученици. В гимназията те вече не разглеждат най-простите видове, а цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешното решаване на най-сложните задачи.

В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Толстой, който пише: „Човекът е частица. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - своите заслуги, но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и чрез това намаляване да се доближи до своето съвършенство.