| Повече ▼ по прост начин. За да направите това, извадете z от скоби. Получавате: z(az + b) = 0. Коефициентите могат да бъдат записани: z=0 и az + b = 0, тъй като и двата могат да доведат до нула. В записа az + b = 0 преместваме втория надясно с различен знак. От тук получаваме z1 = 0 и z2 = -b/а. Това са корените на оригинала.

Ако има непълно уравнениепод формата az² + c = 0, в този случай те се намират чрез просто прехвърляне на свободния член към правилната странауравнения. Променете и знака му. Получавате записа az² \u003d -s. Експресирайте z² = -c/a. Извадете корена и запишете две решения - положителна и отрицателна стойност на квадратния корен.

Забележка

Ако в уравнението има дробни коефициенти, умножете цялото уравнение по съответния коефициент, за да се отървете от дробите.

Да знаете как да решавате квадратни уравнения е необходимо както за ученици, така и за студенти, понякога може да помогне на възрастен в ежедневието. Има няколко специфични метода за вземане на решения.

Решаване на квадратни уравнения

Квадратно уравнение във формата a*x^2+b*x+c=0. Коефициентът x е желаната променлива, a, b, c - числови коефициенти. Не забравяйте, че знакът "+" може да се промени на знака "-".

За да разрешите това уравнение, трябва да използвате теоремата на Vieta или да намерите дискриминанта. Най-често срещаният начин е да се намери дискриминанта, тъй като за някои стойности на a, b, c не е възможно да се използва теоремата на Vieta.

За да намерите дискриминанта (D), трябва да напишете формулата D=b^2 - 4*a*c. Стойността на D може да бъде по-голяма, по-малка или равна на нула. Ако D е по-голямо или по-малко от нула, тогава ще има два корена, ако D = 0, тогава остава само един корен, по-точно можем да кажем, че D в този случай има два еквивалентни корена. Заместете известните коефициенти a, b, c във формулата и изчислете стойността.

След като сте намерили дискриминанта, за да намерите x, използвайте формулите: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a където sqrt е функцията за извличане на корен квадратен от даденото число. След като изчислите тези изрази, ще намерите двата корена на вашето уравнение, след което уравнението се счита за решено.

Ако D е по-малко от нула, то все още има корени. В училище този раздел практически не се изучава. Студентите трябва да знаят, че под корена се появява отрицателно число. Отърваваме се от него, като отделим имагинерната част, тоест -1 под корена винаги е равно на имагинерния елемент "i", който се умножава по корена със същото положително число. Например, ако D=sqrt(-20), след трансформацията се получава D=sqrt(20)*i. След тази трансформация решението на уравнението се свежда до същото намиране на корените, както е описано по-горе.

Теоремата на Vieta се състои в избора на стойности x(1) и x(2). Използват се две идентични уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Освен това, много важен момент е знакът пред коефициента b, не забравяйте, че този знак е противоположен на този в уравнението. На пръв поглед изглежда, че изчисляването на x(1) и x(2) е много просто, но при решаването ще се сблъскате с факта, че числата ще трябва да бъдат избрани точно.

Елементи за решаване на квадратни уравнения

Според правилата на математиката, някои могат да бъдат разложени на множители: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, ако сте успели да конвертирате с помощта на математически формули По подобен начинтова квадратно уравнение, тогава не се колебайте да запишете отговора. x(1) и x(2) ще бъдат равни на съседните коефициенти в скоби, но с обратен знак.

Също така не забравяйте за непълните квадратни уравнения. Може да пропускате някои от членовете, ако е така, тогава всичките му коефициенти са просто равни на нула. Ако x^2 или x не се предхожда от нищо, тогава коефициентите a и b са равни на 1.

Трансформацията на пълно квадратно уравнение в непълно изглежда така (за случая \(b=0\)):

За случаите, когато \(c=0\) или когато и двата коефициента са равни на нула, всичко е подобно.

Моля, обърнете внимание, че \(a\) не е равно на нула, не може да бъде равно на нула, тъй като в този случай се превръща в:

Решение на непълни квадратни уравнения.

На първо място, трябва да разберете, че непълното квадратно уравнение е все още, следователно може да бъде решено по същия начин като обичайното квадратно (през). За да направим това, просто добавяме липсващия компонент на уравнението с нулев коефициент.

Пример : Намерете корените на уравнението \(3x^2-27=0\)
Решение :

		Имаме непълно квадратно уравнение с коефициент \(b=0\). Тоест можем да напишем уравнението в следната форма:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Всъщност тук е същото уравнение като в началото, но сега то може да се реши като обикновен квадрат. Първо записваме коефициентите.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Изчислете дискриминанта по формулата \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Нека намерим корените на уравнението с помощта на формулите \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Запишете отговора

Отговор : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Пример : Намерете корените на уравнението \(-x^2+x=0\)
Решение :

		Отново непълно квадратно уравнение, но сега коефициентът \(c\) е равен на нула. Записваме уравнението като пълно.

Библиографско описание:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Елков А. А., Шилненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Методи за решаване на квадратни уравнения // Млад учен. - 2016. - № 6.1. - С. 17-20..02.2019 г.).



Нашият проект е посветен на начините за решаване на квадратни уравнения. Целта на проекта: да научите как да решавате квадратни уравнения по начини, които не са включени в училищната програма. Задача: намерете всички възможни начини за решаване на квадратни уравнения и научете как да ги използвате сами и запознайте съучениците си с тези методи.

Какво представляват "квадратните уравнения"?

Квадратно уравнение - уравнение на формата брадва2 + bx + c = 0, където а, b, ° С- някои числа ( a ≠ 0), х- неизвестен.

Числата a, b, c се наричат ​​коефициенти на квадратното уравнение.

• а се нарича първи коефициент;
• b се нарича втори коефициент;
• c - свободен член.

И кой пръв "изобрети" квадратни уравнения?

Някои алгебрични техники за решаване на линейни и квадратни уравнения са били известни още преди 4000 години в древен Вавилон. Намерените древни вавилонски глинени плочки, датирани някъде между 1800 и 1600 г. пр.н.е., са най-ранното доказателство за изучаването на квадратни уравнения. Същите таблички съдържат методи за решаване на някои видове квадратни уравнения.

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика.

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, дават само задачи с решения, посочени под формата на рецепти, без индикация как са намерени. Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилон, концепцията за отрицателно число и общите методи за решаване на квадратни уравнения отсъстват в клинописните текстове.

Вавилонските математици от около 4 век пр.н.е. използва метода на квадратното допълнение за решаване на уравнения с положителни корени. Около 300 г. пр.н.е. Евклид излезе с по-общ геометричен метод за решение. Първият математик, който намери решения на уравнение с отрицателни корени под формата на алгебрична формула, беше индийски учен. Брахмагупта(Индия, 7 век сл. Хр.).

Брахмагупта очерта общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ax2 + bx = c, a>0

В това уравнение коефициентите могат да бъдат отрицателни. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В Индия публичните състезания за решаване на трудни проблеми са често срещани. В една от старите индийски книги за такива състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така учен човек eclipse слава в популярни събрания, предлагане и решаване на алгебрични задачи. Задачите често бяха облечени в поетична форма.

В алгебричен трактат Ал-Хорезмидадена е класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите са равни на число“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените са равни на число“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хорезми, който избягва употребата отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са членове, а не изваждания. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговото решение, разбира се, не съвпада напълно с нашето. Да не говорим за факта, че е чисто реторичен, трябва да се отбележи, например, че когато решава непълно квадратно уравнение от първи тип, Ал-Хорезми, както всички математици преди 17 век, не взема предвид нулата решение, вероятно защото в конкретни практически задачи това няма значение. При решаването на пълни квадратни уравнения Ал-Хорезми излага правилата за решаването им, като използва конкретни числени примери и след това техните геометрични доказателства.

Формите за решаване на квадратни уравнения по модела на Ал-Хорезми в Европа са описани за първи път в „Книгата на абака“, написана през 1202 г. италиански математик Леонард Фибоначи. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и е първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа.

Тази книга допринесе за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от тази книга са пренесени в почти всички европейски учебници от 14-17 век. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма x2 + bx = c с всички възможни комбинации от знаци и коефициенти b, c, е формулирано в Европа през 1544 г. М. Щифел.

Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение в общ изгледВиет има, но Виет признаваше само положителни корени. италиански математици Тарталия, Кардано, Бомбелисред първите през 16 век. вземете предвид, в допълнение към положителното, и отрицателни корени. Едва през XVII век. благодарение на работата Жирар, Декарт, Нютони други учени начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

Обмислете няколко начина за решаване на квадратни уравнения.

Стандартни начини за решаване на квадратни уравнения от училищна програма:

1. Факторизиране на лявата страна на уравнението.
2. Метод за избор на пълен квадрат.
3. Решаване на квадратни уравнения по формула.
4. Графично решениеквадратно уравнение.
5. Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Нека се спрем по-подробно на решението на редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta.

Спомнете си, че за решаването на горните квадратни уравнения е достатъчно да се намерят две числа, произведението от които да е равно на свободния член, а сборът да е равен на втория коефициент с противоположен знак.

Пример.х 2 -5x+6=0

Трябва да намерите числа, чийто продукт е 6, а сумата е 5. Тези числа ще бъдат 3 и 2.

Отговор: x 1 =2, х 2 =3.

Но можете да използвате този метод за уравнения с първия коефициент, който не е равен на единица.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Взимаме първия коефициент и го умножаваме по свободния член: x 2 +2x-15=0

Корените на това уравнение ще бъдат числа, чийто продукт е - 15, а сумата е - 2. Тези числа са 5 и 3. За да намерим корените на първоначалното уравнение, разделяме получените корени на първия коефициент.

Отговор: x 1 =-5/3, х 2 =1

6. Решаване на уравнения по метода на "трансфера".

Да разгледаме квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0, където a≠0.

Умножавайки двете му части по a, получаваме уравнението a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, откъдето x = y/a; тогава стигаме до уравнението y 2 + by + ac = 0, което е еквивалентно на даденото. Намираме неговите корени в 1 и в 2, като използваме теоремата на Виета.

Накрая получаваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

При този метод коефициентът a се умножава по свободния член, сякаш се "прехвърля" към него, затова се нарича метод на "прехвърляне". Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Нека "прехвърлим" коефициента 2 към свободния член и като направим замяната, получаваме уравнението y 2 - 11y + 30 = 0.

Според обратната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Отговор: x 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства на коефициентите на квадратно уравнение.

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ако a + b + c \u003d 0 (т.е. сумата от коефициентите на уравнението е нула), тогава x 1 \u003d 1.

2. Ако a - b + c \u003d 0, или b \u003d a + c, тогава x 1 \u003d - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Тъй като a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), тогава x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Отговор: x 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

защото a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), след това x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Отговор: x 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Има и други свойства на коефициентите на квадратно уравнение. но тяхното използване е по-сложно.

8. Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма.

Фигура 1. Номограма

Това е стар и позабравен в момента метод за решаване на квадратни уравнения, поместен на стр. 83 от сборника: Bradis V.M. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990.

Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнение z2 + pz + q = 0. Тази номограма позволява, без да се решава квадратното уравнение, да се определят корените на уравнението чрез неговите коефициенти.

Криволинейната скала на номограмата е изградена по формулите (фиг. 1):

Ако приемем OS = p, ED = q, OE = a(всички в cm), от фиг. 1 подобие на триъгълници SANи CDFполучаваме пропорцията

откъдето след замествания и опростявания следва уравнението z 2 + pz + q = 0,и писмото zозначава етикет на всяка точка от извитата скала.

Ориз. 2 Решаване на квадратно уравнение с помощта на номограма

Примери.

1) За уравнението z 2 - 9z + 8 = 0номограмата дава корените z 1 = 8.0 и z 2 = 1.0

Отговор: 8,0; 1.0.

2) Решете уравнението с помощта на номограмата

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение на 2, получаваме уравнението z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмата дава корените z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Отговор: 4; 0,5.

9. Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения.

Пример.х 2 + 10x = 39.

В оригинала тази задача е формулирана по следния начин: „Квадратният и десетият корен са равни на 39“.

Помислете за квадрат със страна x, правоъгълниците са построени от неговите страни, така че другата страна на всеки от тях е 2,5, следователно площта на всеки е 2,5x. След това получената фигура се допълва до нов квадрат ABCD, завършвайки четири равни квадрата в ъглите, страната на всеки от които е 2,5, а площта е 6,25

Ориз. 3 Графичен начинрешение на уравнението x 2 + 10x = 39

Площта S на квадрат ABCD може да бъде представена като сбор от площите: оригиналния квадрат x 2, четири правоъгълника (4 ∙ 2,5x = 10x) и четири прикрепени квадрата (6,25 ∙ 4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменяйки x 2 + 10x с числото 39, получаваме, че S = 39 + 25 = 64, което означава, че страната на квадрата ABCD, т.е. сегмент AB \u003d 8. За желаната страна x на оригиналния квадрат получаваме

10. Решаване на уравнения чрез теоремата на Безу.

Теорема на Безу. Остатъкът след разделянето на полинома P(x) на бинома x - α е равен на P(α) (т.е. стойността на P(x) при x = α).

Ако числото α е корен на полинома P(x), то този полином се дели на x -α без остатък.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Разделете P(x) на (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

х-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Отговор: x1 =2, х2 =3.

Заключение:Способността за бързо и рационално решаване на квадратни уравнения е просто необходима за решаване на по-сложни уравнения, например дробни рационални уравнения, уравнения по-високи степени, биквадратни уравнения, а в гимназията тригонометрични, експоненциални и логаритмични уравнения. След като проучихме всички намерени методи за решаване на квадратни уравнения, можем да посъветваме съучениците, в допълнение към стандартните методи, да решават по метода на прехвърляне (6) и да решават уравнения по свойството на коефициентите (7), тъй като те са по-достъпни за разбиране .

Литература:

1. Брадис В.М. Четирицифрени математически таблици. - М., Образование, 1990.
2. Алгебра 8 клас: учебник за 8 клас. общо образование институции Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. изд. С. А. Теляковски 15-то изд., преработено. - М.: Просвещение, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. Ръководство за учители. / Ед. В.Н. По-млад. - М.: Просвещение, 1964.

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизация квадратен тричлен. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и разлагане на множители.

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корените на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, тогава полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът нула, , тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако се изгради функционална графика
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича абсцисната ос (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
където
; .

И така, получихме формулата за полинома от втора степен във формата:
.
От това се вижда, че уравнението

извършва при
и .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме разлагането на квадратния трином на множители:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича оста x (ос) в две точки:
и .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен се нарича кратно. Тоест те считат, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича абсцисата (оста). Следователно няма истински корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не толкова.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.

Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:

Защото аритметиката Корен квадратенсъществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от вида ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:

Изваждане на общия множител от скобата

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.