Квантова система

Для пояснення багатьох властивостей мікрочастинок (фотонів, електронів та ін.) потрібні спеціальні закони та підходи квантової механіки. Квантові властивості мікросвіту виявляються через властивості макросистем. Мікрооб'єкти становлять певну фізичну систему, яка називається квантовою. Прикладами квантових систем можуть бути: фотонний газ, електрони в металах. Під термінами квантова система, квантова частка слід розуміти матеріальний об'єкт, який описується з допомогою спеціального апарату квантової механіки.

Квантова механіка досліджує властивості та явища світу мікрочастинок, які може трактувати класична механіка. Такими особливостями, наприклад, стали: корпускулярно-хвильовий дуалізм, дискретність, існування спинів. Методи класичної механіки не можуть описати поведінку частинок мікросвіту. Існуючі одночасно хвильові та корпускулярні властивості у мікрочастинки не дають можливості визначити стан частки з класичної точки зору.

Цей факт позначився на співвідношенні невизначеності Гейзенберга ($1925г.$):

де $ triangle x $ - неточність у визначенні координати, $ triangle p $ - похибка у визначенні імпульсу мікрочастинки. Подібне співвідношення можна записати у вигляді:

де $ triangle E $ - невизначеність у величині енергії, $ triangle t $ - невизначеність за часом. Співвідношення (1) і (2) вказують на те, що якщо одна з величин цих співвідношеннях визначені з високою точністю, то інший параметр має велику похибку у визначенні. У цих співвідношеннях $ hbar = 1,05 cdot (10) ^ (-34) Дж cdot з $. Так, стан мікрочастинки в квантовій механіці, не можна описати, одномоментно використовуючи координат та імпульс, що є можливим у класичної механіки. Аналогічна ситуація відноситься до енергії на даний момент часу. Стани з конкретним значенням енергії можна отримати лише у стаціонарних випадках (тобто у випадках, які не мають точного визначення у часі).

Маючи корпускулярні і одночасно хвильові властивості, мікрочастка не має точної координати, а є «розмазаною» в деякій ділянці простору. У разі присутності в деякій області простору двох і більше частинок неможливо їх відрізнити один від одного, тому що не можна відстежити рух кожної. Зі сказаного вище тотожність частинок у квантовій механіці.

Деякі параметри, що стосуються мікрочастинок, набувають дискретних значень, що класична механіка пояснити не може. Відповідно до положень і законів квантової механіки, крім енергії системи, дискретними можуть бути момент кількості руху системи:

де $l = 0,1,2, \ dots $

спин може приймати значення:

де $s=0,\ frac(1)(2),\ 1,\ frac(3)(2),\dots $

Проекція магнітного моментуна напрямок зовнішнього поля набуває значення:

де $m_z$ -- магнітне квантове число, яке набуває значення: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu)_B$ - магнетон Бора.

З метою математичного опису квантових особливостей фізичних величин у відповідність до кожної величини ставлять оператор. Так, у квантовій механіці фізичні величини відображаються операторами, причому їх значення визначаються середніми за власними значеннями операторів.

Стан квантової системи

Будь-який стан у квантовій системі описується за допомогою хвильової функції. Однак дана функціяпрогнозує параметри майбутнього стану системи з деякою часткою ймовірності, а не достовірно, тобто є принциповою відмінністю від класичної механіки. Таким чином, для параметрів системи хвильова функція визначає імовірнісні значення. Така невизначеність, неточність передбачень найбільше викликала суперечки серед учених.

Вимірювані параметри квантової системи

Найбільш глобальні відмінності між класичною і квантовою механікою укладені в ролі вимірювання параметрів квантової системи, що вивчається. Проблема вимірювань у квантовій механіці полягає в тому, що при спробах провести вимірювання параметрів мікросистеми дослідник діє на систему макроприладом, чим змінює стан квантової системи. Так, при спробі точно виміряти параметр мікрооб'єкта (координату, імпульс, енергію) ми стикаємося з тим, що сам процес вимірювання змінює параметри, які ми намагаємося виміряти, причому суттєво. Провести точні вимірювання у мікросвіті неможливо. Завжди матиме місце помилки відповідно до принципу невизначеності.

У квантовій механіці динамічні змінні представляють оператори, тому говорити про числові значення немає сенсу, оскільки оператор визначає вплив на вектор стану. Результат представлений, як і вектором простору Гільберта, а чи не числом.

Зауваження 1

Тільки в тому випадку, якщо вектор стану - власний вектор оператора динамічної змінної, його вплив на вектор можна звести до множення на число без зміни стану. У такому разі оператору динамічної змінної можна зіставити однину, яка дорівнює власному значенню оператора. У цьому вважатимуться, що динамічна змінна має певне чисельне значення. Тоді динамічна змінна має кількісне значення незалежно від виміру.

У тому випадку, якщо вектор стану не власний вектор оператора динамічної змінної, то результат виміру не стає однозначним і говорять тільки про ймовірність того чи іншого значення, що отримується у вимірі.

Результатами теорії, які емпірично перевіряються служать ймовірності отримання у вимірі динамічної змінної при великій кількості вимірювань для одного і того ж вектора стану.

Основною характеристикою квантової системи є хвильова функція, запроваджена М. Борном. Фізичний змістнайчастіше визначають задля самої хвильової функції, а квадрат її модуля, який визначає ймовірність того, що квантова система в зазначений момент часу знаходиться в цій точці простору. Основа мікросвіту - ймовірність. Крім знання хвильової функції для опису квантової системи необхідна інформація про інші параметри, наприклад параметри поля, з яким система взаємодіє.

Процеси, що відбуваються у мікросвіті лежать поза чуттєвого сприйняття людини. Отже, поняття та явища, які використовує квантова механіка, позбавлені наочності.

Приклад 1

Завдання:Якою є мінімальна помилка, з якою можна визначити швидкість електрона і протона, якщо координати частинок відомі з невизначеністю $1$ мкм.

Рішення:

Як основу для вирішення задачі використовуємо співвідношення невизначеностей Гейзенберга у вигляді:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

де $\triangle x$ - невизначеність координати, $\triangle p_x$ - невизначеність проекції імпульсу частки на вісь X. Величину невизначеності імпульсу можна виразити як:

\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]

Підставимо праву частинувирази (1.2) замість невизначеності проекції імпульсу у виразі (1.1), маємо:

З формули (1.3) висловимо невизначеність швидкості:

\[\triangle v_x\ge \frac(\hbar )(m\triangle x)\left(1.4\right).\]

З нерівності (1.4) випливає, що мінімальна похибка щодо швидкості частки дорівнює:

\[\triangle v_x=\frac(\hbar )(m\triangle x).\]

Знаючи масу електрона $m_e=9,1cdot (10)^(-31)кг,$ проведемо обчислення:

\[\triangle v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\cdot (10)^2(\frac(м)(с)).\]

маса протона дорівнює $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)кг$, обчислимо похибку у вимірі швидкості протона за заданих умов:

\[\triangle v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\cdot (10)^(-1)(\frac(м)(с)).\]

Відповідь:$\triangle v_(ex)=1,1\cdot (10)^2\frac(м)(с),$ $\triangle v_(px)=0,628\cdot (10)^(-1)\frac( м)(с).$

Приклад 2

Завдання:Якою є мінімальна похибка у вимірі кінетичної енергії електрона, якщо він знаходиться в області, розмір якої l.

Рішення:

Як основу для вирішення задачі використовуємо співвідношення невизначеностей Гейзенберга у вигляді:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac(\hbar )(l)\left(2.1\right).\]

З нерівності (2.1) випливає, що мінімальна похибка імпульсу дорівнює:

\[\triangle p_x=\frac(\hbar )(l)\left(2.2\right).\]

Похибка кінетичної енергії можна виразити як:

\[\triangle E_k=\frac((\left(\triangle p_x\right))^2)(2m)=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\) right))^22\cdot m_e).\]

Відповідь:$\triangle E_k=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\right))^22\cdot m_e).$

Кабардін О.Ф. Ядерні спектри // квант. – 1987. – № 3. – С. 42-43.

За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"

Як ви знаєте, атомні ядра складаються з нуклонів - протонів та нейтронів, між якими діють ядерні сили тяжіння та кулонівські сили відштовхування. Що може статися з ядром під час його зіткнення з іншим ядром, часткою чи гамма-квантом? Досліди Е. Резерфорда, виконані в 1919, показали, наприклад, що під впливом альфа-частинки з ядра може бути вибитий протон. В експериментах, проведених Д. Чедвіком в 1932, було встановлено, що альфа-частинки можуть вибивати з атомних ядер і нейтрони («Фізика 10», § 106). Але чи завжди закінчується процес зіткнення? Чи не може атомне ядро ​​поглинути енергію, отриману при зіткненні, і перерозподілити її між нуклонами, що входять до його складу, змінивши тим самим свою внутрішню енергію? Що відбуватиметься з таким ядром далі?

Відповіді ці питання дали прямі досліди з вивчення взаємодії протонів з атомними ядрами. Їхні результати дуже схожі на результати дослідів Франка та Герца щодо вивчення зіткнень електронів з атомами («Фізика 10», § 96). Виявляється, при поступовому збільшенні енергії протонів спочатку спостерігаються пружні зіткнення з атомними ядрами, кінетична енергія не перетворюється на інші види енергії, а лише перерозподіляється між протоном і атомним ядром як однією часткою. Однак, починаючи з деякого значення енергії протона, можуть відбуватися і непружні зіткнення, при яких протон поглинається ядром і повністю передає йому свою енергію. Ядро кожного ізотопу характеризується певним набором «порцій» енергії, які воно може прийняти.

Перетворення ядра азоту із захопленням альфа-частинки та випромінюванням протона.

Ці досліди доводять, що ядра мають дискретні спектри можливих енергетичних станів. Отже, квантування енергії та інших параметрів є властивістю як атомів, а й атомних ядер. Стан атомного ядраз мінімальним запасом енергії називається основним, або нормальним, стани з надмірною енергією (порівняно з основним станом) називаються збудженими.

Атоми зазвичай перебувають у збуджених станах приблизно 10 -8 секунди, а збуджені атомні ядра позбавляються надлишку енергії набагато короткий час - порядку 10 -15 - 10 -16 секунди. Як і атоми, збуджені ядра звільняються від надлишку енергії, випускаючи кванти електромагнітного випромінювання. Ці кванти називаються гамма-квантами (або гамма-променями). Дискретному набору енергетичних станів атомного ядра відповідає дискретний спектр частот гама-квантів, що випромінюються ними. Гамма-промені є поперечними електромагнітні хвилі, такі ж, як радіохвилі, видиме світлоабо рентгенівське проміння. Вони є короткохвильовим видом електромагнітного випромінювання з усіх відомих, і відповідні їм довжини хвиль лежать в діапазоні приблизно від 10 -11 м до 10 -13 м.

Енергетичні стани атомних ядер та переходи ядер з одного стану до іншого з поглинанням або випромінюванням енергії прийнято описувати за допомогою енергетичних діаграм, аналогічних енергетичним діаграмам атомів («Фізика 10», § 94). На малюнку представлена ​​енергетична діаграма ядра ізотопу заліза - \(~^(58)_(26)Fe\), отримана на основі дослідів з бомбардування протонами. Зауважимо, що з якісному подібності енергетичних діаграм атомів і ядер з-поміж них є суттєві кількісні відмінності. Якщо для переведення атома з основного стану в збуджений потрібно енергія в кілька електронвольт, то для збудження атомного ядра необхідна енергія близько сотень тисяч або мільйонів електронвольт. Ця різниця зумовлена ​​тим, що ядерні сили, що діють між нуклонами в ядрі, значною мірою перевершують сили кулонівської взаємодії електронів з ядром.

Діаграма енергетичних рівнів ядра ізотопу заліза.

Здатність атомних ядер мимоволі переходити зі станів із великим запасом енергії у стан із меншою енергією пояснює походження не тільки гамма-випромінювання, а й радіоактивного розпаду ядер.

Багато закономірностей у ядерних спектрах можна пояснити, якщо скористатися так званою моделлю оболонки будови атомного ядра. Відповідно до цієї моделі, нуклони в ядрі не перемішані безладно, а, подібно до електронів в атомі, розташовуються зв'язаними групами, заповнюючи дозволені ядерні оболонки. При цьому протонні та нейтронні оболонки заповнюються незалежно один від одного. Максимальні числа нейтронів: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 та протонів: 2, 8, 20, 28, 50, 82 у заповнених оболонках отримали назву магічних. Ядра з магічними числами протонів і нейтронів мають багато чудових властивостей: підвищене значення питомої енергії зв'язку, меншу ймовірність вступу в ядерну взаємодію, стійкість по відношенню до радіоактивного розпадуі т.п.

Перехід ядра з основного стану до збудженого і повернення його до основного стану, з погляду оболонкової моделі, пояснюється переходом нуклону з однієї оболонки на іншу і назад.

При великій кількості переваг оболонкова модель ядра не здатна пояснити властивості всіх ядер в різних типахвзаємодій. У багатьох випадках більш плідним виявляється уявлення про ядро ​​як краплю ядерної рідини, в якій нуклони пов'язані ядерними силами, кулонівськими силами і силами поверхневого натягу. Існують і інші моделі, але жодна із запропонованих досі не може вважатися універсальною.

рівні енергії (атомні, молекулярні, ядерні)

1. Характеристики стану квантової системи
2. Енергетичні рівні атомів
3. Енергетичні рівні молекул
4. Енергетичні рівні ядер

Характеристики стану квантової системи

У основі пояснення св-в атомів, молекул і атомних ядер, тобто. явищ, які у елементах обсягу з лінійними масштабами 10 -6 -10 -13 див, лежить квантова механіка. Згідно з квантовою механікою, будь-яка квантова система (тобто система мікрочастинок, яка підпорядковується квантовим законам) характеризується певним набором станів. У загальному випадку цей набір станів може бути дискретним (дискретний спектр станів), так і безперервним (безперервний спектр станів). Характеристиками стану ізольованої системи явл. внутрішня енергія системи (усюди далі просто енергія), повний момент кількості руху (МКД) та парність.

Енергія системи.
Квантова система, перебуваючи в різних станах, має, взагалі кажучи, різну енергію. Енергія зв'язаної системи може набувати будь-яких значень. Цей набір можливих значень енергії зв. дискретним енергетичним спкетром, а про енергію кажуть, що вона квантується. Прикладом може бути енергетич. спектр атома (див. нижче). Незв'язана система взаємодіючих частинок має безперервний енергетичний спектр, а енергія може приймати довільні значення. Прикладом такої системи явл. вільний електрон (Е) у кулонівському полі атомного ядра. Безперервний енергетичний спектр можна представити як набір нескінченно великої кількостідискретних станів, між якими енергетич. зазори нескінченно малі.

Стан, до-ром відповідає найменша енергія, можлива для даної системи, зв. основним: й інші стану зв. збудженими. Часто буває зручним користуватися умовною шкалою енергії, в якій енергія осн. стану вважається початком відліку, тобто. належить рівної нулю(у цій умовній шкалі всюди надалі енергія позначається буквою E). Якщо система, перебуваючи в стані n(Причому індекс n=1 присвоюється осн. станом), має енергію E n, то кажуть, що система знаходиться на енергетичному рівні E n. Число n, Що нумерує У.е., зв. квантовим числом. У випадку кожен У.е. може характеризуватись не одним квантовим числом, а їх сукупністю; тоді індекс nозначає сукупність цих квантових чисел.

Якщо станом n 1, n 2, n 3,..., n kвідповідає та сама енергія, тобто. один У.е., цей рівень називається виродженим, а число k- Кратністю виродження.

При будь-яких перетвореннях замкнутої системи (а також системи в постійному зовнішньому полі) її повна енергія енергія зберігається незмінною. Тому енергія належить до т.зв. величинам, що зберігаються. Закон збереження енергії випливає з однорідності часу.

Повний момент кількості руху.
Ця величина явл. векторної і виходить додаванням МКД всіх частинок, що входять до системи. Кожна частка має як власний. МКД - спином, і орбітальним моментом, обумовленим рухом частки щодо загального центру мас системи. Квантування МКД призводить до того, що його абс. величина Jнабуває строго певних значень: , де j- квантове число, яке може приймати невід'ємні цілі і напівцілі значення (квантове число орбітального МКД завжди ціле). Проекція МКД к.-л. вісь зв. магн. квантовим числом і може приймати 2j+1значень: m j = j, j-1,...,-j. Якщо к.-л. момент J явл. сумою двох ін. моментів, то, згідно з правилами складання моментів у квантовій механіці, квантове число jможе приймати такі значення: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2, а. Аналогічно проводиться підсумування більшого числамоментів. Прийнято для стислості говорити про МКД системи j, маючи на увазі при цьому момент, абс. величина якого є ; про магн. квантовому числі говорять просто як про проекцію моменту.

При різних перетвореннях системи, що знаходиться в центрально-симетричному полі, повний МКД зберігається, тобто, як і енергія, він відноситься до величин, що зберігаються. Закон збереження МКД випливає із ізотропії простору. В аксіально-симетричному полі зберігається лише проекція повного МКД на вісь симетрії.

Парність стану.
У квантовій механіці стану системи описуються т.зв. хвильовими ф-ціями. Четність характеризує зміна хвильової ф-ции системи під час операції просторової інверсії, тобто. заміні знаків координат усіх частинок. При такій операції енергія не змінюється, тоді як хвильова ф-ція може або залишитися незмінною (парний стан), або змінити свій знак на протилежний (непарний стан). Парність Pприймає два значення, відповідно. Якщо в системі діють ядерні або ел.-магн. сили, парність зберігається у атомних, молекулярних і ядерних перетвореннях, тобто. ця величина також відноситься до величин, що зберігаються. Закон збереження парності явл. наслідком симетрії простору щодо дзеркальним відображеннямі порушується в тих процесах, в яких брало беруть участь слабкі взаємодії.

Квантові переходи
- Переходи системи з одного квантового стану в інший. Такі переходи можуть призводити до зміни енергетич. стану системи, і до її якостей. зміни. Це пов'язано-пов'язані, вільно-пов'язані, вільно-вільні переходи (див. Взаємодія випромінювання з речовиною), напр., збудження, деактивація, іонізація, дисоціація, рекомбінація. Це також хім. та ядерні реакції. Переходи можуть відбуватися під дією випромінювання – випромінювальні (або радіаційні) переходи або при зіткненні даної системи з к.-л. ін системою або часткою - безвипромінювальні переходи. Важливою характеристикою квантового переходу явл. його ймовірність у од. часу, що показує, як часто відбуватиметься цей перехід. Ця величина вимірюється в -1 . Можливості радіації. переходів між рівнями mі n (m>n) з випромінюванням або поглинанням фотона, енергія якого дорівнює , визначаються коеф. Ейнштейна A mn , B mnі B nm. Перехід із рівня mна рівень nможе відбуватися спонтанно. Імовірність випромінювання фотона B mnу цьому випадку дорівнює A mn. Переходи типу під впливом випромінювання (індуковані переходи) характеризуються ймовірностями випромінювання фотона і поглинання фотона , де - щільність енергії випромінювання з частотою .

Можливість здійснення квантового переходу з даного У.е. на к.-л. інший У.е. означає, що характерне порівн. час , протягом якого система може знаходиться на цьому У.е., звичайно. Воно окреслюється величина, зворотна сумарної ймовірності розпаду цього рівня, тобто. сумі ймовірностей всіх можливих переходів з рівня, що розглядається на всі інші. Для радіації. переходів сумарна ймовірність є, а. Кінцевість часу , відповідно до співвідношення невизначеностей , означає, що енергія рівня може бути визначена абсолютно точно, тобто. У.е. має деяку ширину. Тому випромінювання або поглинання фотонів при квантовому переході відбувається не на строго певній частоті, а всередині деякого частотного інтервалу, що лежить в околиці значення. Розподіл інтенсивності всередині цього інтервалу визначається профілем спектральної лінії , що визначає ймовірність того, що частота фотона, випущеного або поглиненого при даному переході, дорівнює :
(1)
де – півширина профілю лінії. Якщо розширення У.е. і спектральних ліній викликано лише спонтанними переходами, таке розширення зв. природним. Якщо у розширенні певну роль відіграють зіткнення системи з ін частинками, то розширення має комбінований характер і величина повинна бути замінена сумою , де обчислюється подібно , але радіац. ймовірності переходів мають бути замінені зіткнувальними ймовірностями.

Переходи у квантових системах підпорядковуються певним правилам відбору, тобто. правилам, що встановлюють, як можуть змінюватися під час переходу квантові числа, що характеризують стан системи (МКД, парність тощо). Найбільш просто правила відбору формулюються для радіації. переходів. У цьому випадку вони визначаються св-вами початкового та кінцевого станів, а також квантовими характеристиками випромінюваного або поглинається фотона, зокрема його МКД та парністю. Найбільшу ймовірність мають т.зв. електричні дипольні переходи Ці переходи здійснюються між рівнями протилежної парності, повні МКД яких брало відрізняються на величину (перехід неможливий). У межах сформованої термінології ці переходи зв. дозволеними. Усі інші типи переходів (магнітний дипольний, електричний квадрупольний тощо) зв. забороненими. Сенс цього терміна у тому, що й ймовірності виявляються набагато менше ймовірностей дипольних електричних переходів. Однак вони не явл. забороненими абсолютно.

Квантові системи та їх властивості.

Розподіл ймовірностей щодо енергій у просторі.

Статистика бозонів. Розподіл Фермі-Ейнштейна.

Статистика ферміонів. Розподіл Фермі-Дірака.

Квантові системи та їх властивості

У класичній статистиці передбачається, що частинки складових систему підпорядковуються законам класичної механіки. Для багатьох явищ при описі мікрооб'єктів необхідно використовувати квантову механіку. Якщо система складається з частинок, що підпорядковуються квантовій механіці, то її називатимемо квантовою системою.

До принципових відмінностей класичної системи від квантової відносяться:

1) Корпускулярно-хвильовий дуалізм мікрочастинок.

2) Дискретність фізичних величин, що описують мікрооб'єкти.

3) Спинові властивості мікрочастинок.

З першого випливає неможливість точного визначення всіх параметрів системи, що визначають її стан із класичної точки зору. Цей факт знайшов свій відбиток у співвідношенні невизначеностей Гейзендберга:

Для того щоб математично описати ці особливості мікрооб'єктів у квантової фізики, величиною ставиться у відповідність лінійний ерміт оператор, який діє на хвильову функцію .

Власні значенняоператора визначають можливі чисельні значення цієї фізичної величини, Середнє якими збігається зі значенням самої величини.

Так як імпульси та коефіцієнти мікрочастинок системи не можуть бути виміряні одночасно, хвильову функцію представляють або як функцію координат:

Або як функцію імпульсів:

Квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірність виявлення мікрочастинки в одиниці об'єму:

Хвильова функція, що описує конкретну систему, знаходиться як власна функція оператора Гамельтона:

Стаціонарне рівняння Шредінгера.

Нестаціонарне рівняння Шредінгера.

У мікросвіті діє принцип нерозрізненості мікрочастинок.

Якщо хвильова функція задовольняє рівняння Шредінгера, то функція задовольняє такому рівнянню. Стан системи не зміниться при перестановці 2 частинок.

Нехай перша частка перебуває у стані а, а друга у стані ст.

Стан системи описується:

Якщо частки поміняти місцями, то: оскільки переміщення частки має позначитися поведінці системи.

Це рівняння має 2 розв'язки:

Виявилося, що перша функція реалізується для частинок із цілим спином, а друга з напівцілим.

У першому випадку 2 частинки можуть бути в одному стані:

У другому випадку:

Частинки першого типу називаються бозонами спин цілий), частинки другого типу-феміонами (для них справедливий принцип Паулі.)

Ферміони: електрони, протони, нейтрони.

Бозони: фотони, дейтрони...

Ферміони та бозони підпорядковуються некласичній статистиці. Щоб побачити відмінності, підрахуємо кількість можливих станів системи, що складається з двох частинок з однією енергією по двох осередках у фазовому просторі.

1) Класичні частки різні. Можливо простежити за кожною часткою окремо.

Класичні частки.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Весь комплекс явищ, який зазвичай розуміється під словами «електронні властивості низькорозмірних електронних систем», має в основі фундаментальний фізичний факт: зміна енергетичного спектру електронів і дірок у структурах з дуже малими розмірами. Продемонструємо основну ідею розмірного квантування з прикладу електронів, що у дуже тонкої металевої чи напівпровідникової плівці товщиною а.

Електронні властивості низькорозмірних електронних систем Принцип розмірного квантування Електрони в плівці знаходяться в потенційній ямі глибиною, що дорівнює роботі виходу. Глибину потенційної ями вважатимуться нескінченно великий, оскільки робота виходу кілька порядків перевищує теплову енергіюносіїв. Типові значення роботи виходу здебільшого твердих тілмають величину W = 4 -5 е. У, кілька порядків перевищує характерну теплову енергію носіїв, має порядок величини k. T, рівну при кімнатній температурі 0,026 е. В. Відповідно до законів квантової механіки, енергія електронів у такій ямі квантується, тобто може приймати лише деякі дискретні значення En, де n може набувати цілочисельних значень 1, 2, 3, …. Ці дискретні значення енергії називають рівнями розмірного квантування.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Для вільної частки з ефективною масою m*, рух якої в кристалі в напрямку осі z обмежений непроникними бар'єрами (тобто бар'єрами з нескінченною потенційною енергією на величину Це збільшення енергії називається енергією розмірного квантування частки. Енергія розмірного квантування є наслідком принципом невизначеності у квантовій механіці. Якщо частка обмежена у просторі вздовж осі z у межах відстані а, невизначеність zкомпоненти її імпульсу зростає на величину порядку ħ/a. Відповідно збільшується кінетична енергія частки на величину E1. Тому розглянутий ефект часто називають квантово-розмірним ефектом.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Висновок про квантування енергії електронного руху відносяться лише до руху впоперек потенційної ями (осі z). На рух у площині xy (паралельно меж плівки) потенціал ями не впливає. У цій площині носії рухаються як вільні і характеризуються, як і масивному зразку, безперервним квадратичним по імпульсу енергетичним спектром з ефективною масою. Повна енергія носіїв у квантово-розмірній плівці носить змішаний дискретно безперервний спектр

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Крім збільшення мінімальної енергії частки квантоворозмірний ефект призводить також до квантування енергій її збуджених станів. Енергетичний спектр квантово-розмірної плівки - імпульс носіїв заряду у площині плівки

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Нехай електрони в системі мають енергії, менші від Е 2, і тому належать нижньому рівню розмірного квантування. Тоді ніякий пружний процес (наприклад, розсіювання на домішках або акустичних фононах), так само як і розсіювання електронів один на одному, не може змінити квантове число n, перевівши електрон на рівень, що вище лежить, оскільки це вимагало б додаткових витрат енергії. Це означає, що електрони при пружному розсіюванні можуть змінювати лише свій імпульс у площині плівки, тобто поводяться як суто двомірні частинки. Тому квантово-розмірні структури, у яких заповнено лише один квантовий рівень, часто називають двовимірними електронними структурами.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Існують і інші можливі квантові структури, де рух носіїв обмежений не в одному, а в двох напрямках, як у мікроскопічному дроті або нитці (квантові нитки або дроти). У цьому випадку носії можуть вільно рухатись лише в одному напрямку, вздовж нитки (назвемо його віссю х). У поперечному перерізі (площина yz) енергія квантується і приймає дискретні значення Emn (як будь-який двовимірний рух, він описується двома квантовими числами, m і n). Повний спектр при цьому теж є дискретно безперервним, але лише з одним безперервним ступенем свободи:

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Принцип розмірного квантування Можливо також створення квантових структур, що нагадують штучні атоми, де рух носіїв обмежений у всіх трьох напрямках (квантові точки). У квантових точках енергетичний спектр не містить безперервної компоненти, т. е. не складається з підзон, а є суто дискретним. Як і в атомі, він описується трьома дискретними квантовими числами (крім спина) і може бути записаний у вигляді E = Elmn , причому, як і в атомі, енергетичні рівні можуть бути вироджені і залежати лише від одного чи двох чисел. Загальною особливістюнизькорозмірних структур є той факт, що якщо хоча б вздовж одного напрямку рух носіїв обмежений дуже малою областю, порівнянною за розмірами з дебройлівською довжиною хвилі носіїв, їх енергетичний спектр помітно змінюється і стає частково або повністю дискретним.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Визначення Квантові точки – quantum dots – структури, у яких у всіх трьох напрямках розміри становлять кілька міжатомних відстаней (нульмерні структури). Квантові дроти (нитки) – quantum wires – структури, які у двох напрямах розміри дорівнюють кільком міжатомним відстаням, а третьому – макроскопічної величині (одномірні структури). Квантові ями – quantum wells – структури, які мають у одному напрямі розмір становить кілька міжатомних відстаней (двовимірні структури).

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Мінімальний та максимальний розміри Нижня межа розмірного квантування визначається критичним розміром Dmin, при якому в квантово-розмірній структурі існує хоча б один електронний рівень. Dmin залежить від розриву зони провідності DEc у відповідному гетеропереході, який використовується для отримання квантово-розмірних структур. У квантовій ямі хоча б один електронний рівень існує у тому випадку, якщо DEc перевищує величину h – постійна Планка, me* - ефективна маса електрона, DE 1 QW - перший рівень прямокутної квантової ями з нескінченними стінками.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Мінімальний та максимальний розміри Якщо відстань між енергетичними рівнями стає порівнянною з тепловою енергією k. BT, то зростає заселеність високих рівнів. Для квантової точки умова, у якому заселенням вищих рівнів можна знехтувати записується як E 1 QD, E 2 QD – енергії першого і другого рівня розмірного квантування відповідно. Це означає, що переваги розмірного квантування можуть бути повністю реалізовані, якщо ця умова встановлює верхні межі для розмірного квантування. Для Ga. As-Alx. Ga 1 -x. Як це значення становить 12 нм.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Важливою характеристикою будь-якої електронної системи поряд з її енергетичним спектром є щільність станів g(E) (кількість станів, що припадають на одиничний). Для тривимірних кристалів щільність станів визначають з використанням циклічних граничних умов Борна-Кишень, з яких випливає, що компоненти хвильового вектора електрона змінюються не безперервно, а приймають ряд дискретних значень тут ni = 0, ± 1, ± 2, ± 3, а – розміри кристала (у формі куба зі стороною L). Об'єм до-простору, що припадає на один квантовий стан, дорівнює (2)3/V, де V = L 3 - Об'єм кристала.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Таким чином, число електронних станів припадає на елемент об'єму dk = dkxdkydkz, розраховане на одиницю об'єму, буде дорівнює тут множник. Число станів, що припадають на одиничний обсяг у зворотному просторі, тобто щільність станів) не залежить від хвильового вектора (іншими словами, у зворотному просторі дозволені стани розподілені з постійною щільністю.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Функцію щільності станів за енергією в загальному випадку розрахувати практично неможливо, оскільки ізоенергетичні поверхні можуть мати досить складну форму. У найпростішому випадку ізотропного параболічного закону дисперсії, справедливого для країв енергетичних зон, можна знайти кількість квантових станів, що припадають на обсяг сферичного шару, укладеного між двома близькими ізоенергетичними поверхнями, відповідним енергіям E і E+d. E.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Обсяг сферичного шару в до-просторі. dk – товщина шару. На цей обсяг припадатиме d. N станів Враховуючи зв'язок Е і k за параболічним законом отримаємо Звідси щільність станів по енергії дорівнюватиме m* - ефективна маса електрона

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Таким чином, у тривимірних кристалах з параболічним енергетичним спектром при збільшенні енергії щільність дозволених енергетичних рівнів (щільність станів) буде збільшуватися пропорційно. Площа заштрихованих областей пропорційна кількості рівнів в інтервалі енергій d. E

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Обчислимо щільність станів для двовимірної системи. Повна енергія носіїв для ізотропного параболічного закону дисперсії у квантово-розмірній плівці, як показано вище, має змішаний дискретно безперервний спектр У двовимірній системі стану електрона провідності визначаються трьома числами (n, kx, ky). Енергетичний спектр розбивається окремі двовимірні підзони En, відповідні фіксованим значенням n.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Криві постійної енергії є у ​​зворотному просторі кола. Кожному дискретному квантовому числу n відповідає абсолютне значення z-компоненти хвильового вектора Тому обсяг зворотному просторі, обмежений замкнутою поверхнею даної енергії Е у разі двовимірної системи розбивається на ряд перерізів.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Визначимо залежність щільності станів від енергії для двовимірної системи. Для цього при заданому n знайдемо площу S кільця, обмеженого двома ізоенергетичними поверхнями, що відповідають енергіям E та E+d. E: Тут Розмір двовимірного хвильового вектора, що відповідає даним n і E; dkr – ширина кільця. Оскільки одному стану в площині (kxky) відповідає площа де L 2 – площа двовимірної плівки товщиною а, число електронних станів у кільці, розраховане на одиницю об'єму кристала, буде дорівнює з урахуванням спина електрона

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Оскільки тут - енергія, що відповідає дну n-ої підзони. Таким чином, щільність станів у двовимірній плівці, де Q(Y) – одинична функція Хевісайду, Q(Y) =1 при Y≥0 і Q(Y) =0 при Y

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у двовимірній плівці можна також уявити у вигляді - ціла частина, Рівна числу підзон, дно яких знаходиться нижче енергії Е. Таким чином, для двомірних плівок з параболічним законом дисперсії щільність станів у будь-якій підзоні постійна і не залежить від енергії. Кожна підзона дає однаковий внесок у загальну густину станів. При фіксованій товщині плівки щільність станів змінюється стрибком, коли зміниться на одиницю.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Залежність щільності станів двовимірної плівки від енергії (а) та товщини а (б).

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності У разі довільного закону дисперсії або при іншому виді потенційної ями залежності щільності стану від енергії і товщини плівки можуть відрізнятися від наведених вище, проте основна особливість.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Обчислимо щільність станів для одновимірної структури – квантової нитки. Ізотропний параболічний закон дисперсії в цьому випадку можна записати у вигляді х спрямована вздовж квантової нитки, d – товщина квантової нитки вздовж осей y та z, kx – одновимірний хвильовий вектор. m, n - цілі позитивні числа, що характеризують де вісь квантові підзони. Енергетичний спектр квантової нитки розбивається, таким чином, на окремі одновимірні підзони (параболи), що перекриваються. Рух електронів уздовж осі x виявляється вільним (але з ефективною масою), а вздовж двох інших осей рух обмежений.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Енергетичний спектр електронів для квантової нитки

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії Число квантових станів, що припадають на інтервал dkx , розраховане на зону nд де.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії Отже При виведенні цієї формули враховано спинове виродження станів і те, що одному інтервалу. E відповідають два інтервали ±dkx кожної підзони, для якої (E-En, m) > 0. Енергія E відраховується від дна зони провідності масивного зразка.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії Залежність щільності станів квантової нитки від енергії. Цифри у кривих показують квантові числа n та m. У дужках вказані фактори виродження рівнів підзон.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій нитці від енергії У межах окремої підзони щільність станів зменшується зі збільшенням енергії. Повна щільність станів є суперпозицією однакових спадних функцій (відповідних окремим підзон), зміщених по осі енергії. При Е = E m, n густина станів дорівнює нескінченності. Підзони з квантовими числами n m виявляються двічі виродженими (лише Ly = Lz d).

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій точці від енергії При тривимірному обмеженні руху частинок ми приходимо до задачі про знаходження дозволеної станів у квантових станах. Використовуючи наближення ефективної маси та параболічний закон дисперсії, для краю ізотропної енергетичної зони спектр дозволених станів квантової точки з однаковим розміром d вздовж усіх трьох координатних осей матиме вигляд n, m, l = 1, 2, 3… - позитивні числа, що нумерують підзони. Енергетичний спектр квантової точки є набір дискретних дозволених станів, відповідних фіксованим n, m, l.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів в структурах зниженої розмірності Щільність станів в квантовій точці від енергії Число станів у підзони, відповідних одному набору одиниць на один Виродження рівнів насамперед визначається симетрією завдання. g – фактор виродження рівня

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ ЕЛЕКТРОННИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій точці від енергії Виродження рівнів насамперед визначається симетрією завдання. Наприклад, для аналізованого випадку квантової точки з однаковими розмірами у всіх трьох вимірах, рівні будуть триразово вироджені, якщо два квантові числа рівні між собою і не рівні третьому, і шестиразово вироджені, якщо всі квантові числа не рівні між собою. Конкретний вид потенціалу також може призводити до додаткового, так званого випадкового виродження. Наприклад, для квантової точки, що розглядається, до триразового виродження рівнів E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), пов'язаному з симетрією завдання, додається випадкове виродження E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 як у першому, так і в другому випадках), пов'язане з виглядом обмежуючого потенціалу (нескінченна прямокутна потенційна яма).

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Розподіл квантових станів у структурах зниженої розмірності Щільність станів у квантовій точці від енергії Розподіл числа дозволених станів N у зоні провідності для квантової точки з однаковими розмірами у всіх трьох вимірах. Цифри позначають квантові числа; у дужках вказані фактори виродження рівнів.

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Тривимірні електронні системи Властивості рівноважних електронів у напівпровідниках залежать від ферміївської функції розподілу, яка визначає ймовірність того, що електрон буде перебувати в квантовому стані з еф , k - Постійна Больцмана. Обчислення різних статистичних величин значно спрощується, якщо рівень Фермі лежить у забороненій зоні енергій та значно віддалений від дна зони провідності Ес (Ec – EF) > k. T. Тоді у розподілі Фермі-Дірака одиницею у знаменнику можна знехтувати і він перетворюється на розподіл Максвелла-Больцмана класичної статистики. Це випадок невиродженого напівпровідника

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРАЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Тривимірні електронні системи Функція розподілу щільності станів у зоні провідності g(E), функція Фермі-Дірака для трьох температур та функція Максвелла-Боль При Т = 0 функція Фермі-Дірака має вигляд розривної функції. Для Е EF функція дорівнює нулю та відповідні квантові стани абсолютно вільні. За Т > 0 функція Фермі. Дірака розмивається на околиці енергії Фермі, де вона швидко змінюється від 1 до 0 і це розмиття пропорційно k. T, тобто тим більше, чим вища температура. (Мал. 1. 4. Гуртов)

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Тривимірні електронні системи Концентрація електронів у зоні провідності знаходиться шляхом підсумовування по всіх станах Зазначимо, що як верхня межа в цьому інтегралі ми повинні були б взяти енергію. Але оскільки функція Фермі-Дірака для енергій E >EF експоненційно швидко зменшується зі збільшенням енергії, то заміна верхньої межі на нескінченність не змінює значення інтеграла. Підставляючи в інтеграл значення функцій, отримаємо ефективна щільність станів у зоні провідності

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Двовимірні електронні системи Визначимо концентрацію носія заряду у двовимірному електронному газі. Оскільки щільність станів двовимірного електронного газу Отримаємо Тут також верхню межу інтегрування взято рівним нескінченності, враховуючи різку залежність функції розподілу Фермі-Дірака від енергії. Інтегруючи де

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Двовимірні електронні системи Для невиродженого електронного газу, коли У разі надтонких плівок, коли можна враховувати заповнення лише нижньої підзони При сильному виродженні електронного газу, коли де n

ЕЛЕКТРОННІ ВЛАСТИВОСТІ НИЗКОРОЗМІРНИХ СИСТЕМ Статистика носіїв у низькорозмірних структурах Слід зазначити, що в квантово-розмірних системах за рахунок меншої щільності станів умова повного виродження не вимагає екстремально високих концентрацій або низьких температур і досить часто реалізується в експерименті. Наприклад, у n-Ga. As при N 2 D = 1012 см-2 виродження матиме місце вже за кімнатної температури. У квантових нитках інтеграл для розрахунку, на відміну від двовимірного та тривимірного випадків не обчислюється аналітично довільному виродженні, та прості формулиможуть бути написані лише у граничних випадках. У невиродженому одновимірному електронному газі у разі надтонких ниток, коли можна враховувати заповнення лише нижчого рівня з енергією Е 11 концентрація електронів, де одномірна ефективна щільність станів