Po tridsiatich rokoch hľadania boli nájdené nelineárne diferenciálne rovnice s trojrozmernými solitonovými riešeniami. Kľúčovou myšlienkou bola „komplexizácia“ času, ktorá môže nájsť ďalšie uplatnenie v teoretickej fyzike.

Pri štúdiu akéhokoľvek fyzikálneho systému začína najskôr fáza „počiatočného hromadenia“ experimentálnych údajov a ich porozumenie. Potom sa štafeta odovzdáva teoretickej fyzike. Úlohou teoretického fyzika je na základe nahromadených údajov odvodiť a vyriešiť matematické rovnice pre tento systém. A ak prvý krok spravidla nepredstavuje konkrétny problém, potom druhý - presné riešenie výsledných rovníc sa často ukazuje ako neporovnateľne ťažšia úloha.

Náhodou je popísaný časový vývoj mnohých zaujímavých fyzikálnych systémov nelineárne diferenciálne rovnice: také rovnice, pre ktoré princíp superpozície nefunguje. To okamžite pripravuje teoretikov o možnosť používať mnohé štandardné techniky (napríklad kombinovať riešenia, rozširovať ich do série), a preto je pre každú takúto rovnicu potrebné vymyslieť úplne novú metódu riešenia. Ale v tých zriedkavých prípadoch, keď sa nájde takáto integrovateľná rovnica a metóda na jej riešenie, nie je vyriešený len pôvodný problém, ale aj množstvo súvisiacich matematických problémov. Preto teoretickí fyzici niekedy, obetujúc „prirodzenú logiku“ vedy, najprv hľadajú takéto integrovateľné rovnice a až potom sa snažia nájsť pre ne uplatnenie v rôznych oblastiach teoretickej fyziky.

Jednou z najpozoruhodnejších vlastností takýchto rovníc sú riešenia vo forme solitónov- priestorovo ohraničené "kúsky poľa", ktoré sa časom pohybujú a bez skreslenia do seba narážajú. Keďže sú solitony obmedzené v priestore a nedeliteľné "zhluky", môžu poskytnúť jednoduché a pohodlné matematický model veľa fyzické predmety. (Viac informácií o solitónoch nájdete v populárnom článku N. A. Kudryashova Nelineárne vlny a solitony // SOZH, 1997, č. 2, s. 85-91 a v knihe A. T. Filippova Many Faced Soliton.)

Žiaľ, iný druhov je známych veľmi málo solitónov (pozri galériu portrétov solitonov) a všetky nie sú veľmi vhodné na popis objektov v trojrozmerný priestor.

Napríklad obyčajné solitóny (ktoré sa vyskytujú v Korteweg-de Vriesovej rovnici) sú lokalizované iba v jednej dimenzii. Ak je takýto soliton „spustený“ v trojrozmernom svete, potom bude vyzerať ako nekonečná plochá membrána letiaca dopredu. V prírode sa však takéto nekonečné membrány nepozorujú, čo znamená, že pôvodná rovnica nie je vhodná na popis trojrozmerných objektov.

Nie je to tak dávno, čo sa našli solitónom podobné riešenia (napríklad dromiony) zložitejších rovníc, ktoré sú už lokalizované v dvoch dimenziách. Ale aj v trojrozmernej forme sú to nekonečne dlhé valce, to znamená, že nie sú príliš fyzické. Tie pravé trojrozmerný Solitóny sa ešte nenašli z jednoduchého dôvodu, že rovnice, ktoré by ich mohli vytvoriť, neboli známe.

Nedávno sa situácia dramaticky zmenila. Cambridgeskému matematikovi A. Focasovi, autorovi nedávnej publikácie A. S. Focas, Physical Review Letters 96, 190201 (19. mája 2006), sa v tejto oblasti matematickej fyziky podarilo urobiť významný krok vpred. Jeho krátky trojstranový článok obsahuje dva objavy naraz. Najprv našiel nový spôsob odvodenia integrovateľných rovníc pre viacrozmerný priestor a po druhé, dokázal, že tieto rovnice majú viacrozmerné solitónové riešenia.

Oba tieto úspechy boli umožnené odvážnym krokom autora. Zobral už známe integrovateľné rovnice v dvojrozmernom priestore a pokúsil sa považovať čas a súradnice za komplexné, nie skutočné čísla. V tomto prípade bola automaticky získaná nová rovnica pre štvorrozmerný priestor a dvojrozmerný čas. Ako ďalší krok zaviedol netriviálne podmienky na závislosť riešení od súradníc a „časov“ a rovnice začali opisovať trojrozmerný situácia, ktorá závisí od jedného času.

Je zaujímavé, že taká „rúhačská“ operácia ako prechod na dvojrozmerný čas a pridelenie nového časového o os, veľmi nenarušil vlastnosti rovnice. Stále zostávajú integrovateľné a autor dokázal, že medzi ich riešeniami sú veľmi žiadané trojrozmerné solitóny. Teraz zostáva na vedcoch, aby zapísali tieto solitóny vo forme explicitných vzorcov a študovali ich vlastnosti.

Autor vyjadruje presvedčenie, že užitočnosť ním vyvinutej metódy „komplexovania“ času sa v žiadnom prípade neobmedzuje na tie rovnice, ktoré už analyzoval. Vymenúva celý rad situácií v matematickej fyzike, v ktorých môže jeho prístup priniesť nové výsledky, a povzbudzuje kolegov, aby sa ho pokúsili aplikovať na najrozmanitejšie oblasti modernej teoretickej fyziky.

Doktor technických vied A. GOLUBEV.

Človek aj bez špeciálnej fyzickej resp technické vzdelanie slová „elektrón, protón, neutrón, fotón“ sú nepochybne známe. Ale slovo „solitón“, ktoré je s nimi v súlade, mnohí počujú pravdepodobne prvýkrát. To nie je prekvapujúce: hoci to, čo sa týmto slovom označuje, je známe už viac ako jeden a pol storočia, náležitá pozornosť sa solitónom venuje až od poslednej tretiny 20. storočia. Solitonové javy sa ukázali ako univerzálne a boli nájdené v matematike, hydromechanike, akustike, rádiofyzike, astrofyzike, biológii, oceánografii a optickom inžinierstve. Čo je to - soliton?

Obraz I. K. Aivazovského "Deviata vlna". Vlny na vode sa šíria ako skupinové solitóny, v strede ktorých, v intervale od siedmej do desiatej, je najvyššia vlna.

Bežná lineárna vlna má tvar pravidelnej sínusoidy (a).

Veda a život // Ilustrácie

Veda a život // Ilustrácie

Veda a život // Ilustrácie

Takto sa správa nelineárna vlna na vodnej hladine pri absencii rozptylu.

Takto vyzerá skupinový soliton.

Rázová vlna pred šesťkrát letiacou loptou rýchlejšie ako zvuk. Pre ucho je to vnímané ako hlasná rana.

Vo všetkých vyššie uvedených oblastiach je jeden spoločný znak: v nich alebo v ich jednotlivých sekciách sa študujú vlnové procesy, alebo jednoduchšie vlny. V najvšeobecnejšom zmysle je vlna šírenie rušenia niektorých fyzikálne množstvo charakterizujúce látku alebo pole. Toto šírenie sa zvyčajne vyskytuje v nejakom médiu - voda, vzduch, pevné látky. Ale len elektromagnetické vlny sa môže šíriť vo vákuu. Každý nepochybne videl, ako sa guľovité vlny rozchádzajú z kameňa hodeného do vody a „narúšajú“ pokojnú hladinu vody. Toto je príklad šírenia „jedinej“ poruchy. Perturbácia je veľmi často oscilačný proces (najmä periodický) v rôznych formách - kolísanie kyvadla, vibrácie struny hudobného nástroja, stlačenie a roztiahnutie kremennej platne pôsobením striedavého prúdu. , vibrácie v atómoch a molekulách. Vlny - šíriace sa kmity - môžu mať rôznu povahu: vlnenie na vode, zvukové, elektromagnetické (aj svetelné) vlnenie. Rozdiel vo fyzikálnych mechanizmoch, ktoré realizujú vlnový proces, znamená rôzne spôsoby jeho matematického popisu. Ale nejaké majú aj vlny rôzneho pôvodu všeobecné vlastnosti, na popis ktorých sa používa univerzálny matematický aparát. A to znamená, že je možné študovať vlnové javy abstrahujúce od ich fyzickej podstaty.

Vo vlnovej teórii sa to zvyčajne robí s ohľadom na také vlastnosti vĺn, ako je interferencia, difrakcia, disperzia, rozptyl, odraz a lom. Zároveň však nastáva jedna dôležitá okolnosť: takýto jednotný prístup je opodstatnený za predpokladu, že skúmané vlnové procesy rôzneho charakteru sú lineárne. O tom, čo to znamená, si povieme trochu neskôr, ale teraz len poznamenáme, že iba vlny s nie príliš veľká amplitúda. Ak je amplitúda vlny veľká, stáva sa nelineárnou a to priamo súvisí s témou nášho článku - solitóny.

Keďže neustále hovoríme o vlnách, nie je ťažké uhádnuť, že solitóny sú tiež niečo z oblasti vĺn. To je pravda: veľmi nezvyčajný útvar sa nazýva solitón - "osamelá" vlna (osamelá vlna). Mechanizmus jeho výskytu zostával pre výskumníkov dlho záhadou; zdalo sa, že povaha tohto javu odporuje známym zákonom o vzniku a šírení vĺn. Jasnosť sa objavila relatívne nedávno a teraz sa solitóny študujú v kryštáloch, magnetických materiáloch, optických vláknach, v atmosfére Zeme a iných planét, v galaxiách a dokonca aj v živých organizmoch. Ukázalo sa, že cunami, nervové impulzy a dislokácie v kryštáloch (porušenie periodicity ich mriežok) sú solitóny! Soliton je skutočne „mnohostranný“. Mimochodom, tak sa volá vynikajúca populárno-náučná kniha A. Filippova „The Many-Faced Soliton“. Odporúčame čitateľovi, ktorý sa nebojí pomerne veľkého množstva matematických vzorcov.

Aby sme pochopili základné myšlienky spojené so solitónmi a zároveň sa zaobišli bez matematiky, budeme sa musieť v prvom rade porozprávať o už spomínanej nelineárnosti a disperzii – javoch, ktoré sú základom mechanizmu vzniku solitónov. Najprv si však povedzme, ako a kedy bol solitón objavený. Prvýkrát sa človeku zjavil v „rúchu“ osamelej vlny na vode.

Stalo sa tak v roku 1834. John Scott Russell, škótsky fyzik a talentovaný inžinier-vynálezca, bol pozvaný, aby preskúmal možnosť navigácie parných lodí pozdĺž kanála spájajúceho Edinburgh a Glasgow. V tom čase sa doprava po kanáli uskutočňovala pomocou malých člnov ťahaných koňmi. Aby Russell zistil, ako previesť člny pri nahradení trakcie koní parou, začal člny pozorovať. rôznych tvarov pohybujúce sa rôznymi rýchlosťami. A v priebehu týchto experimentov zrazu narazil na úplne nezvyčajný jav. Takto to opísal vo svojej správe o vlnách:

"Sledoval som pohyb člnu, ktorý pár koní rýchlo ťahalo úzkym kanálom, keď sa čln náhle zastavil. Rýchlosť a nadobudla podobu veľkého osamoteného stúpania - zaoblená, hladká a dobre ohraničená voda kopcom. Pokračoval v ceste pozdĺž kanála, pričom ani v najmenšom nezmenil jeho tvar a nespomalil. Sledoval som ho na koni a keď som ho predbehol, stále sa valil dopredu rýchlosťou asi 8-9 míľ za hodinu , zachoval si svoj pôvodný výškový profil, asi tridsať stôp dlhý a stopu až poldruha metra vysoký. Jeho výška sa postupne znižovala a po jednom či dvoch kilometroch prenasledovania som ho stratil v zákrutách kanála."

Russell nazval fenomén, ktorý objavil, „osamelá vlna prekladu“. Jeho posolstvo však privítali so skepsou uznávané autority v oblasti hydrodynamiky – George Airy a George Stokes, ktorí verili, že vlny si pri pohybe na veľké vzdialenosti nedokážu udržať svoj tvar. Mali na to všetky dôvody: vychádzali z rovníc hydrodynamiky, ktoré boli v tom čase všeobecne akceptované. K rozpoznaniu „osamelej“ vlny (ktorá bola nazvaná soliton oveľa neskôr – v roku 1965) došlo ešte za Russellovho života prácami niekoľkých matematikov, ktorí ukázali, že môže existovať, a navyše sa Russellove experimenty zopakovali a potvrdili. Kontroverzia okolo solitona však dlho neustala - autorita Airyho a Stokesa bola príliš veľká.

Konečné objasnenie problému priniesol holandský vedec Diderik Johannes Korteweg a jeho študent Gustav de Vries. V roku 1895, trinásť rokov po Russellovej smrti, našli presnú rovnicu, ktorej vlnové riešenia úplne opisujú prebiehajúce procesy. Ako prvé priblíženie to možno vysvetliť nasledovne. Korteweg-de Vriesove vlny majú nesínusový tvar a stávajú sa sínusovými až vtedy, keď je ich amplitúda veľmi malá. S nárastom vlnovej dĺžky nadobúdajú podobu hrbov ďaleko od seba a pri veľmi dlhej vlnovej dĺžke zostáva jeden hrb, ktorý zodpovedá „osamelej“ vlne.

Korteweg - de Vriesova rovnica (takzvaná rovnica KdV) zohrala veľmi dôležitú úlohu v dnešnej dobe, keď si fyzici uvedomili jej univerzálnosť a možnosť aplikácie na vlny rôzneho charakteru. Najpozoruhodnejšia vec je, že popisuje nelineárne vlny a teraz by sme sa mali venovať tomuto konceptu podrobnejšie.

V teórii vĺn má vlnová rovnica zásadný význam. Bez toho, aby sme to tu uvádzali (to si vyžaduje znalosť vyššej matematiky), poznamenávame len, že požadovaná funkcia popisujúca vlnu a veličiny s ňou spojené sú obsiahnuté v prvom stupni. Takéto rovnice sa nazývajú lineárne. Vlnová rovnica, ako každá iná, má riešenie, teda matematický výraz, ktorý sa po dosadení zmení na identitu. Riešením vlnovej rovnice je lineárna harmonická (sínusová) vlna. Ešte raz zdôrazňujeme, že pojem „lineárny“ sa tu nepoužíva v geometrický zmysel(sínusoida nie je priamka), ale v zmysle použitia prvej mocniny veličín vo vlnovej rovnici.

Lineárne vlny sa riadia princípom superpozície (sčítania). To znamená, že pri superponovaní niekoľkých lineárnych vĺn sa tvar výslednej vlny určí jednoduchým sčítaním pôvodných vĺn. Deje sa tak preto, že každá vlna sa v médiu šíri nezávisle od ostatných, nedochádza medzi nimi k výmene energie ani k inej interakcii, voľne prechádzajú jedna cez druhú. Inými slovami, princíp superpozície znamená nezávislosť vĺn, a preto ich možno pridať. Za normálnych podmienok to platí pre zvukové, svetelné a rádiové vlny, ako aj pre vlny, ktoré sa zvažujú v kvantová teória. Ale pre vlny v kvapaline to nie je vždy pravda: možno pridať iba vlny s veľmi malou amplitúdou. Ak sa pokúsime pridať vlny Korteweg - de Vries, potom nedostaneme vlnu, ktorá môže existovať: rovnice hydrodynamiky sú nelineárne.

Tu je dôležité zdôrazniť, že vlastnosť linearity akustických a elektromagnetických vĺn sa pozoruje, ako už bolo uvedené, za normálnych podmienok, čo znamená predovšetkým malé amplitúdy vĺn. Čo však znamená „malá amplitúda“? Amplitúda zvukové vlny určuje hlasitosť zvuku, svetla - intenzitu svetla a rádiových vĺn - intenzitu elektro magnetické pole. Vysielanie, televízia, telefóny, počítače, osvetľovacie telesá a mnohé ďalšie zariadenia fungujú v rovnakom „normálnom“ prostredí, ktoré sa zaoberá rôznymi vlnami s malou amplitúdou. Ak sa amplitúda prudko zvýši, vlny stratia svoju linearitu a potom vznikajú nové javy. V akustike sú rázové vlny šíriace sa nadzvukovou rýchlosťou už dlho známe. Príklady rázové vlny- hrmenie počas búrky, zvuky výstrelu a výbuchu a dokonca aj plieskanie biča: jeho hrot sa pohybuje rýchlejšie ako zvuk. Nelineárne svetelné vlny získané pomocou výkonných pulzných laserov. Priechod takýchto vĺn cez rôzne prostredia mení vlastnosti samotných médií; pozorujú sa úplne nové javy, ktoré sú predmetom štúdia nelineárnej optiky. Napríklad vzniká svetelná vlna, ktorej dĺžka je dvakrát menšia a frekvencia je dvakrát väčšia ako prichádzajúce svetlo (generuje sa druhá harmonická). Ak je povedzme silný laserový lúč s vlnovou dĺžkou l 1 = 1,06 μm (infračervené žiarenie, okom neviditeľné) nasmerovaný na nelineárny kryštál, potom sa na výstupe kryštálu objaví zelené svetlo s vlnovou dĺžkou l 2 = 0,53 μm. okrem infračerveného.

Ak sa nelineárne zvukové a svetelné vlny tvoria len za špeciálnych podmienok, potom je hydrodynamika nelineárna už zo svojej podstaty. A keďže hydrodynamika vykazuje nelinearitu aj v tých najjednoduchších javoch, takmer storočie sa vyvíja v úplnej izolácii od „lineárnej“ fyziky. Nikomu jednoducho nikdy nenapadlo hľadať niečo podobné, ako je Russellova „osamelá“ vlna v iných vlnových javoch. A až keď boli vyvinuté nové oblasti fyziky - nelineárna akustika, rádiová fyzika a optika - výskumníci si spomenuli na Russell soliton a položili otázku: možno takýto jav pozorovať iba vo vode? Na to bolo potrebné pochopiť všeobecný mechanizmus tvorby solitónu. Podmienka nelinearity sa ukázala ako nevyhnutná, no nedostatočná: od média sa vyžadovalo niečo iné, aby sa v ňom mohla zrodiť „osamelá“ vlna. A ako výsledok výskumu vyšlo najavo, že chýbajúcou podmienkou bola prítomnosť disperzie média.

V krátkosti si pripomeňme, čo to je. Disperzia je závislosť rýchlosti šírenia vlnovej fázy (tzv. fázová rýchlosť) od frekvencie alebo, čo je rovnaké, od vlnovej dĺžky (pozri „Veda a život“ č. ). Podľa známej Fourierovej vety môže byť nesínusová vlna akéhokoľvek tvaru reprezentovaná množinou jednoduchých sínusových zložiek s rôznymi frekvenciami (vlnovými dĺžkami), amplitúdami a počiatočnými fázami. Tieto zložky sa v dôsledku disperzie šíria rôznymi fázovými rýchlosťami, čo vedie k „rozmazaniu“ tvaru vlny pri jej šírení. Ale solitón, ktorý možno znázorniť aj ako súčet týchto zložiek, ako už vieme, si pri pohybe zachováva svoj tvar. prečo? Pripomeňme, že solitón je nelineárna vlna. A tu leží kľúč k odomknutiu jeho „tajomstva“. Ukazuje sa, že solitón vzniká vtedy, keď efekt nelinearity, ktorý robí „hrb“ solitónu strmším a má tendenciu ho prevracať, je vyvážený disperziou, ktorá ho robí plochejším a má tendenciu ho rozmazávať. To znamená, že solitón sa objavuje „na križovatke“ nelinearity a disperzie, ktoré sa navzájom kompenzujú.

Vysvetlime si to na príklade. Predpokladajme, že sa na hladine vody vytvoril hrb, ktorý sa začal pohybovať. Pozrime sa, čo sa stane, ak neberieme do úvahy rozptyl. Rýchlosť nelineárnej vlny závisí od amplitúdy (lineárne vlny nemajú takú závislosť). Vrch hrbolu sa bude pohybovať najrýchlejšie zo všetkých a v ďalšom okamihu bude jeho predná časť strmšia. Strmosť čela sa zväčšuje a časom sa vlna „prevráti“. Podobné prevracanie vĺn vidíme, keď sledujeme príboj na brehu mora. Teraz sa pozrime, k čomu vedie prítomnosť disperzie. Počiatočný hrb môže byť reprezentovaný súčtom sínusových zložiek s rôznymi vlnovými dĺžkami. Dlhovlnné komponenty bežia vyššou rýchlosťou ako krátkovlnné komponenty, a preto znižujú strmosť nábežnej hrany a do značnej miery ju vyrovnávajú (pozri „Veda a život“ č. 8, 1992). Pri určitom tvare a rýchlosti hrbolčeka môže dôjsť k úplnej obnove pôvodného tvaru a následne vzniká solitón.

Jednou z úžasných vlastností „osamelých“ vĺn je, že sú veľmi podobné časticiam. Takže pri zrážke dva solitóny neprechádzajú cez seba ako obyčajné lineárne vlny, ale odpudzujú sa ako tenisové loptičky.

Na vode sa môžu objaviť aj solitóny iného typu, nazývané skupinové solitóny, pretože ich tvar je veľmi podobný skupinám vĺn, ktoré v skutočnosti pozorujeme namiesto nekonečnej sínusovej vlny a pohybujú sa skupinovou rýchlosťou. Skupinový solitón sa veľmi podobá amplitúdovo modulovaným elektromagnetickým vlnám; jeho obal je nesínusový, opisuje ho zložitejšia funkcia - hyperbolický sekant. Rýchlosť takéhoto solitónu nezávisí od amplitúdy a v tomto smere sa líši od solitónov KdV. Pod obálkou zvyčajne nie je viac ako 14-20 vĺn. Priemerná – najvyššia – vlna v skupine je teda v intervale od siedmej do desiatej; odtiaľ známy výraz „deviata vlna“.

Rozsah článku nám neumožňuje uvažovať o mnohých iných typoch solitónov, napríklad solitóny v pevných kryštalických telesách – tzv. dislokácie (pripomínajú „diery“ v kryštálová mriežka a sú tiež schopné sa pohybovať), súvisiace magnetické solitóny vo feromagnetoch (napríklad v železe), nervové impulzy podobné solitónom v živých organizmoch a mnohých ďalších. Obmedzíme sa na úvahy o optických solitónoch, ktoré v nedávne časy upútali pozornosť fyzikov možnosťou ich využitia vo veľmi perspektívnych optických komunikačných linkách.

Optický solitón je typickým skupinovým solitónom. Jeho vznik možno pochopiť na príklade jedného z nelineárnych optických efektov – takzvanej samoindukovanej priehľadnosti. Tento efekt spočíva v tom, že médium, ktoré absorbuje svetlo nízkej intenzity, teda nepriehľadné, sa zrazu stane priehľadným, keď ním prejde silný svetelný impulz. Aby sme pochopili, prečo sa to deje, pripomeňme si, čo spôsobuje absorpciu svetla v hmote.

Svetelné kvantum, ktoré interaguje s atómom, mu dodáva energiu a prenáša ju na vyššiu energetickú hladinu, teda do excitovaného stavu. Fotón zmizne - médium absorbuje svetlo. Po vybudení všetkých atómov média sa absorpcia svetelnej energie zastaví – médium sa stane transparentným. Takýto stav však nemôže trvať dlho: fotóny letiace za nimi spôsobujú, že sa atómy vracajú do pôvodného stavu, pričom emitujú kvantá rovnakej frekvencie. To je presne to, čo sa stane, keď je cez takéto médium smerovaný krátky svetelný impulz vysokého výkonu zodpovedajúcej frekvencie. Predná hrana impulzu vrhá atómy na hornú úroveň, pričom sú čiastočne absorbované a slabnú. Maximum impulzu je absorbované v menšej miere a zadná hrana impulzu stimuluje spätný prechod z excitovanej úrovne do úrovne zeme. Atóm vyžaruje fotón, jeho energia sa vracia impulzu, ktorý prechádza prostredím. V tomto prípade sa ukáže, že tvar impulzu zodpovedá skupinovému solitónu.

Celkom nedávno, v jednom z amer vedeckých časopisoch Objavila sa publikácia o vývoji známej spoločnosti Bell Company (Bell Laboratories, USA, štát New Jersey) v oblasti prenosu signálu na veľmi veľké vzdialenosti cez svetlovody z optických vlákien pomocou optických solitónov. Pri bežnom prenose cez optické komunikačné linky musí byť signál zosilnený každých 80-100 kilometrov (samotné vlákno môže slúžiť ako zosilňovač, keď je napumpované svetlom určitej vlnovej dĺžky). A každých 500-600 kilometrov je potrebné nainštalovať opakovač, ktorý premieňa optický signál na elektrický pri zachovaní všetkých jeho parametrov a potom opäť na optický pre ďalší prenos. Bez týchto opatrení je signál vo vzdialenosti presahujúcej 500 kilometrov skreslený na nepoznanie. Náklady na toto zariadenie sú veľmi vysoké: prenos jedného terabitu (10 12 bitov) informácií zo San Francisca do New Yorku stojí 200 miliónov dolárov na prenosovú stanicu.

Umožňuje to použitie optických solitónov, ktoré si pri rozmnožovaní zachovávajú svoj tvar optický prenos signál na vzdialenosti do 5-6 tisíc kilometrov. V spôsobe vytvorenia „solitonovej línie“ sú však značné ťažkosti, ktoré boli prekonané len veľmi nedávno.

Možnosť existencie solitónov v optickom vlákne predpovedal v roku 1972 teoretický fyzik Akira Hasegawa, zamestnanec firmy Bell. Ale v tom čase neexistovali žiadne optické vlákna s nízkymi stratami v tých oblastiach vlnových dĺžok, kde bolo možné pozorovať solitóny.

Optické solitóny sa môžu šíriť len vo svetlovode s malou, ale konečnou hodnotou rozptylu. Avšak optické vlákno, ktoré by udržalo požadovanú hodnotu rozptylu v celej šírke spektra viackanálového vysielača, jednoducho neexistuje. A to robí „obyčajné“ solitony nevhodnými na použitie v sieťach s dlhými prenosovými vedeniami.

Pod vedením Lynn Mollenauer, vedúceho špecialistu v oddelení optických technológií tej istej spoločnosti Bell, bola niekoľko rokov vytvorená vhodná technológia soliton. Táto technológia bola založená na vývoji disperzne riadených optických vlákien, ktoré umožnili vytvárať solitóny, ktorých pulzný tvar je možné udržiavať donekonečna.

Spôsob kontroly je nasledujúci. Množstvo disperzie pozdĺž dĺžky optického vlákna sa periodicky mení medzi zápornými a kladnými hodnotami. V prvej sekcii svetlovodu sa impulz rozširuje a posúva jedným smerom. V druhej sekcii, ktorá má disperziu opačného znamienka, je impulz stlačený a posunutý v opačnom smere, v dôsledku čoho sa jeho tvar obnoví. Ďalším pohybom sa impulz opäť roztiahne, potom vstúpi do ďalšej zóny, čím sa vykompenzuje pôsobenie predchádzajúcej zóny a tak ďalej – nastáva cyklický proces expanzií a kontrakcií. Impulz zažíva pulzáciu na šírku s periódou rovnajúcou sa vzdialenosti medzi optickými zosilňovačmi bežného svetlovodu - od 80 do 100 kilometrov. Výsledkom je, že podľa Mollenauera môže signál s objemom informácií viac ako 1 terabit prejsť najmenej 5-6 tisíc kilometrov bez opätovného prenosu pri prenosovej rýchlosti 10 gigabitov za sekundu na kanál bez akéhokoľvek skreslenia. Takáto technológia pre komunikáciu na ultra dlhé vzdialenosti po optických vedeniach je už blízko štádia implementácie.

SOLITON

SOLITON

Štrukturálne stabilná osamelá vlna v nelineárnom disperznom prostredí. S. sa správajú ako muži: pri vzájomnej interakcii alebo pri určitých iných poruchách sa S. nezrútia, ale opäť sa rozídu, pričom ich štruktúra zostane nezmenená. Štruktúra S. je udržiavaná ako stacionárna vďaka rovnováhe medzi pôsobením nelinearity média (pozri NELINEÁRNE SYSTÉMY) a disperzie (pozri ROZPTYL VLNY). Napríklad v prípade gravitácie vlny na hladine kvapaliny po dostatočne dlhú rovinu (l->2pH, kde H je hĺbka nádrže) chýba disperzia, vlny sa šíria fázovou rýchlosťou v=?(g(H+h)), kde g -, h je nadmorská výška vodnej hladiny v danom bode profilu vlny. Vrch vlny sa pohybuje rýchlejšie ako jej spodok (nelinearita), takže strmosť čela vlny rastie, až kým dĺžka čela nebude úmerná hodnote 2pН, po ktorej bude v závisieť od strmosti čela (rozptyl) . V dôsledku toho sa na profile objavujú vlny (obr. 1), ktorých vývoj vedie k vzniku S.

Ryža. 1. Vývoj vlnového profilu na povrchu nádrže hĺbky N.

Ryža. 5. Viazaný pár solitónov.

V systémoch so silnou disperziou, ak je profil stacionárnej vlny blízky sínusoide, je tiež možná existencia modulu. vlny vo forme lokalizovaných vĺn. pakety s nepohyblivou pohyblivou obálkou, ktoré sa pri vystavení správajú aj „častici“ (C. „obálka“). Takéto priebehy sú možné pre vlny na povrchu hlbokej nádrže, Langmuirove vlny v plazme, vysokovýkonné krátke (pikosekundové) svetelné impulzy v pracovnom médiu lasera atď.

S. hrajú dôležitú úlohu v teórii kondenzátora. stav in-va, najmä v kvant. štatistika, teória fázových prechodov. Solitonové riešenia majú navrhnuté určité rovnice na opis prvkov. h-ts. Štúdium sv v S. ako „časticovité“ vlny, vrátane možných trojrozmerných S., v ktorých klesá vo všetkých smeroch v trojrozmernom priestore (a nielen pozdĺž jednej súradnice, ako v príkladoch vyššie). ) , viedlo k pokusom použiť S. pri konštrukcii kvanta. nelineárnej teórie poľa.

Fyzický encyklopedický slovník. - M.: Sovietska encyklopédia. Šéfredaktor A. M. Prochorov. 1983 .

SOLITON

(z lat. solus - jeden) - lokalizovaná stacionárna alebo stacionárna priemerná porucha homogénnej alebo priestorovo periodickej. S. sa vyznačuje nasledujúcimi vlastnosťami: lokalizovaný v konečnej oblasti, šíri sa bez deformácie, prenáša energiu, moment hybnosti, zachováva si svoju štruktúru pri interakcii s inými podobnými S.; môžu vytvárať viazané stavy, súbory. Profil (tvar) tvaru vlny je určený v nelineárnom prostredí dvoma konkurenčnými procesmi: šírenie vlny v dôsledku disperzie média a „prevrátenie“ rastúceho čela vlny v dôsledku nelinearity.

Pred začiatkom 60. roky 20. storočia S. nazval osamelú vlnu – nezmenenú podobu, šíriacu sa z postu. rýchlosť nad povrchom ťažkej kvapaliny konečnej hĺbky a v plazme. Teraz podľa definície S. súbor rôznych fyzických získaní. predmety. Prvú klasifikáciu S. možno urobiť podľa počtu priestorových dimenzií, pozdĺž ktorých prebieha lokalizácia stacionárnej poruchy nelineárneho prostredia. Jednorozmerné S. sú klasické. 2p impulzy a obálky v nelineárnej optike (pozri solitónov optické), lokalizácia. kolektívna vodivosť v organických molekulách. polovodičov a v jednorozmerných kovoch (pozri vlny hustoty náboja), S. (kvantá magnetického toku) v Josephsonových spojoch v supravodičoch (pozri. josephsonov efekt), atď. K dvojrozmerným dislokáciám S. v kryštal. mriežka, disklinácie v tekuté kryštály, vírové štruktúry v tenkej vrstve supratekutej kvapaliny, Superfluidity), magn. elektrónky (Abrikosovove víry) v supravodičoch typu 2 (pozri. supravodivosť), anticyklonálne oblasti v geofyz. hydrodynamika, vrátane "Veľkej červenej škvrny" na Jupiteri, kanálov sebazameranie v nelineárnej optike. Soliton v kvantovej teórii poľa), čierne diery teória gravitácie. V kvantovej teórii poľa sa považujú systémy, ktoré sú lokalizované v štvorrozmernom časopriestore, instantóny.

Matematicky sú S. lokalizované stacionárne riešenia nelineárnych diferenciálne rovnice v parciálnych deriváciách alebo ich zovšeobecneniach (diferenciálno-diferenčné, integro-diferenciálne a pod. rovnice). prípady dif. fyzické situácie a javy sú opísané rovnakými rovnicami napr. Korteweg - de Vriesova rovnica, sínusová-Gordonova rovnica, - Petviašviliho rovnica. Lineárne rovnice (okrem jednorozmernej vlnovej rovnice) nemajú lokalizované stacionárne riešenia. S. sú v podstate nelineárne objekty, topologický náboj, teda ak je konfigurácia vlnového poľa v prítomnosti S. topologicky odlišná od konfigurácie nerušeného stavu. Prostriedky. časť rovníc, metóda inverzného rozptylu, väčšina z nich sú integrovateľné hamiltonovské systémy.

Jednorozmerné solitóny. Osamelú vlnu na povrchu kvapaliny s konečnou hĺbkou prvýkrát pozoroval v roku 1834 J. S. Russell. Mat.

Tu H - nerušená hĺbka kvapaliny, - rýchlosť dlhých vĺn s malou amplitúdou, x 0 - poloha stredu S., bezzrážkové rázové vlny v plazme, ktoré vznikajú, modelovanie správania reťazca atómov spojených nelineárnymi elastickými silami a popísaných pohybovými rovnicami

kde l je počet atómov v reťazci, E. Fermi (E. Fermi), J. Pasta (J. Pasta) a C. Ulam (S. Ulam) v roku 1954 objavil v tomto systéme abnormálne pomalú stochastizáciu. Systém sa netermalizoval (nevytvoril termodynamiku

odvodený v roku 1895 na opis vývoja vlnového balíka na povrchu plytkej kvapaliny. Rovnica KdV je univerzálna rovnica opisujúca jednorozmerné alebo kvázi jednorozmerné médiá, v ktorých súťaží slabá kvadratická nelinearita [člen 6 a oni wur-nii (3)] a slabá lineárna disperzia [termín a xxx v rovnici (3)].Ukázalo sa, že opisuje aj kmity. správanie reťazca atómov,

V závislosti od pomeru uvedených dvoch faktorov systém prechádza z jedného stavu do druhého a v prípade ich vzájomnej kompenzácie dochádza k C.

Z numerického riešenia rovnice (3) [N. Zabuski (N. Zabusky) a M. Kruskal (M. Kruskal), 1964] vyplýva, že S. majú prostriedky. stabilitu a kolízie, rozptyľujú sa elasticky, pričom si zachovávajú svoj tvar a amplitúdu. Pri analýze tohto javu M. Kruskal, J. Green (G. Green), C. Gardner (S. Gardner) a R. Miura (R. Miura) otvorili v roku 1967 fundam. metóda inverzného rozptylu:

Rovnica (5) je stacionárna Schrödingerova rovnica s potenciálom u(x, t). Ak spĺňa KdV rovnicu (3), potom diskrétne vlastnosti. hodnoty Schrödingerovej rovnice nezávisia od času a priamo súvisia s C. Ak má rovnica (5) N diskrétne vlastnosti. hodnoty, potom budú prítomné N C. vo forme (4) s parametrami .Vo všeobecnom prípade riešenie obsahuje aj oscilujúcu "nesolitnú časť".

V čisto solitonovom prípade

Roztok N-solónu opisuje rozptyl N C. nad sebou. párová zrážka S. s amplitúdami S. nadobudnúť smeny

tj rýchly S. nadobúda pozitívne a pomalé - negatívne posuny. Pri interakcii N S. plné každého S. sa rovná algebraickému. interakcia nerelativistických častíc, medzi ktorými sú párové odpudivé sily. Napríklad pre dva S. (4) s rovnakými amplitúdami oddelenými vzdialenosťou L oveľa väčšia charakteristická veľkosť S., potenciál odpudivej sily

Typický obraz výskytu slnečného žiarenia v oceáne, odfotený z vesmíru, je na obr.: je jasne viditeľných päť pásov (solitónov) pohybujúcich sa sprava dole doľava hore.

Schrödingerova nelineárna rovnica pre komplexnú funkciu u(x,t)

je jedným z hlavných rovnice nelineárnej fyziky, popisujúce vývoj optiky. vlny v nelineárnych kryštáloch, Langmuirove vlny v plazme, tepelné vlny v pevné látky a iné.Pri šírení jednorozmerných kváziharmonických. a xx) a dochádza k lineárnej disperzii (člen ) k automodulácii - vznikajú obalové vlny. V prípade rovnováhy nelineárneho samostláčania a disperzného šírenia sa objavujú S. obálky.

Tu a v- amplitúda a rýchlosť S. [na rozdiel od S. (4) sú tieto parametre vzájomne nezávislé], Ф 0 a X 0 opísať fázu a polohu S. na začiatku. moment.

V. E. Zakharov a A. B. Shabat ukázali (1971), že rovnica (7) je tiež exaktne integrovateľná v rámci metódy inverzného rozptylu pomocou pomocných rovníc. preurčený systém lineárnych rovníc typu (5), (6) pre viaczložkovú (vektorovú) funkciu . Dôsledkom exaktnej integrovateľnosti je existencia exaktných multisolitonových riešení. Rovnako ako v prípade rovnice KdV, tieto riešenia opisujú čisto elastické zrážky S. so zachovaním tvaru, amplitúdy a rýchlosti. Jednota dôsledkom kolízie sú fázové posuny - zmeny parametrov Ф 0 a x 0.

Jednorozmerná rovnica sine-Gordon. Presne integrované s pomocným zariadením

Tento ur-tion sa nachádza v mnohých. fyzické úlohy, v ktorých sú anharmonické. potenciálne nelineárne samočinné pôsobenie vlnového poľa je v poli premennej periodické F(x, t). Príklady sú v križovatkách Josephson, vlny hustoty náboja v jednorozmerné kovy, nelineárne vlny magnetizácie v ľahko planárnych a slabých feromagnetikách atď.

Rovnica (9) má solitónové roztoky s dvomi rozkladmi. typy: tzv. kinki ibreezers. K i n k

je osamelá vlna s topologickým poplatok pohybujúce sa rýchlosťou v (v2< jeden). Kink dáva zmysel. n. fluxon - kvantové magnetické. tok v teórii dlhých Josephsonových spojov, x 0 , charakterizujúci polohu zlomov na začiatku. v1 ,v 2 (v1v 2) fázové posuny sú rovnaké:

Je vidieť, že fázové posuny nezávisia od topológie. zlomové poplatky.

Rovnako ako v prípade S., opísaného rovnicami (3) a (7), celkový fázový posun akéhokoľvek zlomu, keď je rozptýlený množinou iných zlomov, sa presne rovná súčtu posunov generovaných jeho zrážkami s každým z nich. ostatné sa zalomia samostatne.

Vizuálne môžu byť dva zlomy oddelené vzdialenosťou L oveľa väčšou ako ich charakteristické veľkosti ~ (1 - v 2) -1/2 reprezentované ako dverovo-relativistické častice interagujúce s potenciálom

Preto sa zlomy s rovnakými nábojmi navzájom odpudzujú, zatiaľ čo zlomy s opačnými nábojmi - sú priťahovaní.

Dvojica zalomení s opačnými nábojmi môže vytvárať viazaný oscilačný stav – tzv. odvzdušňovač, čo je 2. typ presného solitónového riešenia rovnice (9):

[Pohyblivý odvzdušňovač možno získať z (11) Lorentzovou transformáciou] Parameter, ktorý sa v ňom mení , charakterizuje väzbovú energiu dýchača, určitý rozdiel v energiách dvojice vzdialených odpočívajúcich objektov ( v= 0) kinks (10) a dychová energia (11):. Vzájomné kolízie prieduchov a zalomenia sú tiež čisto elastické a sú sprevádzané aditívnymi fázovými posunmi. V reálnych systémoch sa odvzdušňovanie nepozoruje kvôli rozptylu.

V limite Ф 2 1 zámena

transformuje rovnicu (9) na nelineárnu Schrödingerovu rovnicu (7) (s horným znamienkom).V tomto prípade sa odvzdušňovač (11) (at ) transformuje na pokojový S. (8) s amplitúdou

Viacrozmerné solitóny. Dvojrozmerný S. je riešením presne integrovateľnej Kadomcevovej-Petviašviliho rovnice

popisujúce iónovo-akustické vlny v plazme, na povrchu „plytkej“ kvapaliny a pod. Presné riešenie rovnice (12)

obsahujúci ľubovoľný komplexný parameter v, opisuje stabilný dvojrozmerný S. (tzv. l a m p), pohybujúci sa rýchlosťou a = (v x ,Vy),,. Pri rozhodovaní. (13) klesá ako ( x 2+ y2) -1, t.j. To znamená, že na rozdiel od jednorozmerných S. (4), (8), (10), (11), ktoré sa vyznačujú exponenciálnym poklesom profilu v , dvojrozmerný S. (13) má mocenská asymptotika. Kolízie ľubovoľného počtu lámp (13) sú čisto elastické a na rozdiel od jednorozmerného C. sú fázové posuny identicky rovné nule.

Pojem S. možno zovšeobecniť na prípad neintegrovateľných nelineárnych vlnových rovníc. To zahŕňa takmer integrovateľné systémy, ktoré sa líšia od univerzálnych integrovateľných rovníc v malých rušivých podmienkach, čo sa odohráva v reálnej fyzike. systémov. Poruchová teória pre takmer integrovateľné systémy je tiež založená na metóde inverzného rozptylu [D. Kaup (D. Káhira), 1976; V. I. Karpman a E. M. Maslov, 1977]. V takmer integrovateľných systémoch je C. bohatší; najmä malé poruchy môžu viesť k neelastickým interakciám striácií a multisolitónových efektov, ktoré v presne integrovateľnom prípade chýbajú.

V systémoch, ktoré nie sú ani zďaleka presne integrovateľné, sa interakcie symetrií ukazujú ako hlboko neelastické. Teda neintegrovateľná relativisticky invariantná vlnová rovnica

popisujúci napríklad dynamiku parametra rádu počas fázových prechodov typu posunu vo feroelektrike, má presné stabilné riešenie typu kink:

Po výpočtoch a hľadaní analógií títo vedci zistili, že rovnica, ktorú použili Fermi, Pasta a Ulam, so znížením vzdialenosti medzi závažiami a s neobmedzeným nárastom ich počtu, prechádza do rovnice Korteweg-de Vries. To znamená, že problém navrhnutý Fermim bol zredukovaný na numerické riešenie Korteweg-de Vriesovej rovnice, navrhnutej v roku 1895 na opis osamelej Russellovej vlny. Približne v tých istých rokoch sa ukázalo, že Korteweg-de Vriesova rovnica sa používa aj na opis iónovo-akustických vĺn v plazme. Potom sa ukázalo, že táto rovnica sa nachádza v mnohých oblastiach fyziky, a preto je osamelá vlna, ktorá je opísaná touto rovnicou, rozšíreným javom.

V pokračovaní výpočtových experimentov na modelovanie šírenia takýchto vĺn Kruskal a Zabuský zvažovali ich kolíziu. Zastavme sa podrobnejšie pri diskusii o tejto pozoruhodnej skutočnosti. Nech existujú dve osamelé vlny opísané Korteweg-de Vriesovou rovnicou, ktoré sa líšia amplitúdou a postupujú jedna po druhej v rovnakom smere (obr. 2). Zo vzorca pre osamelé vlny (8) vyplýva, že čím vyššia je rýchlosť takýchto vĺn, tým väčšia je ich amplitúda a šírka vrcholu klesá so zvyšujúcou sa amplitúdou. Vysoké osamelé vlny sa teda pohybujú rýchlejšie. Vlna s väčšou amplitúdou predbehne vlnu s menšou amplitúdou, ktorá sa pohybuje dopredu. Potom sa po nejaký čas budú obe vlny pohybovať spolu ako celok, budú na seba vzájomne pôsobiť a potom sa oddelia. Pozoruhodnou vlastnosťou týchto vĺn je, že po ich interakcii sa forma a

Ryža. 2. Dva solitóny opísané Korteweg-de Vriesovou rovnicou,

pred interakciou (hore) a po (dole)

rýchlosť týchto vĺn sa obnoví. Obe vlny sú po zrážke posunuté len o určitú vzdialenosť v porovnaní s tým, ako by sa pohybovali bez interakcie.

Proces, pri ktorom sa po interakcii vĺn zachováva tvar a rýchlosť, pripomína pružnú zrážku dvoch častíc. Preto Kruskal a Zabuski nazývali takéto osamelé vlny solitony (z anglického solitary - osamelý). Toto je špeciálny názov pre osamelé vlny, ktoré sú v súlade s elektrónom, protónom a mnohými ďalšími. elementárne častice, je teraz všeobecne akceptovaný.

Solitárne vlny, ktoré objavil Russell, sa skutočne správajú ako častice. Veľká vlna počas ich interakcie neprejde cez malú. Keď sa osamelé vlny dotknú, veľká vlna sa spomalí a zníži a vlna, ktorá bola malá, sa naopak zrýchli a rastie. A kedy malá vlna narastie do veľkosti veľkého a veľký sa zmenší na veľkosť malého, solitóny sa oddelia a väčší sa posunie dopredu. Solóny sa teda správajú ako elastické tenisové loptičky.

Uveďme definíciu solitonu. Soliton nazývaná nelineárna osamelá vlna, ktorá si pri vlastnom pohybe a zrážke s podobnými osamelými vlnami zachováva svoj tvar a rýchlosť, čiže ide o stabilný útvar. Jediným výsledkom interakcie solitónov môže byť nejaký fázový posun.

Objavy súvisiace s Korteweg-de Vriesovou rovnicou sa objavom solitónu neskončili. Ďalším dôležitým krokom súvisiacim s touto pozoruhodnou rovnicou bolo vytvorenie novej metódy riešenia nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc. Je dobre známe, že nájsť riešenia nelineárnych rovníc je veľmi ťažké. Až do 60. rokov 20. storočia sa verilo, že takéto rovnice môžu mať iba určité konkrétne riešenia, ktoré spĺňajú špeciálne dané počiatočné podmienky. Korteweg-de Vriesova rovnica sa však aj v tomto prípade ocitla vo výnimočnom postavení.

V roku 1967 americkí fyzici K.S. Gardner, J.M. Green, M. Kruskal a R. Miura ukázali, že riešenie Korteweg-de Vriesovej rovnice možno v princípe získať pre všetky počiatočné podmienky, ktoré určitým spôsobom zanikajú, keď sa súradnica blíži k nekonečnu. Využili transformáciu Korteweg-de Vriesovej rovnice na sústavu dvoch rovníc, dnes nazývanú Laxova dvojica (podľa amerického matematika Petra Laxa, ktorý výrazne prispel k rozvoju teórie solitónov) a objavili nový metóda na riešenie mnohých veľmi dôležitých nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc. Táto metóda sa nazýva metóda problému inverzného rozptylu, pretože v podstate využíva riešenie problému kvantovej mechaniky o rekonštrukcii potenciálu z údajov rozptylu.

2.2. Skupinový solitón

Vyššie sme povedali, že v praxi sa vlny spravidla šíria v skupinách. Podobné skupiny vĺn na vode ľudia pozorovali už od nepamäti. T. Benjaminovi a J. Feyerovi sa podarilo odpovedať na otázku, prečo sú pre vlny na vode také typické „kŕdle“ vĺn, až v roku 1967. Teoretickými výpočtami ukázali, že jednoduchá periodická vlna v hlbokej vode je nestabilná (teraz sa tento jav nazýva Benjamin-Fejérova nestabilita), a preto sa vlny na vode delia kvôli nestabilite do skupín. Rovnicu, ktorá popisuje šírenie vlnových skupín na vode, získal V.E. Zacharov v roku 1968. V tom čase už bola táto rovnica vo fyzike známa a nazývala sa nelineárna Schrödingerova rovnica. V roku 1971 V.E. Zacharov a A.B. Shabat ukázal, že táto nelineárna rovnica má riešenia aj vo forme solitónov, navyše nelineárnu Schrödingerovu rovnicu, ako aj Korteweg-de Vriesovu rovnicu je možné integrovať metódou inverzného rozptylového problému. Solitóny nelineárnej Schrödingerovej rovnice sa líšia od solitónov Korteweg-de Vries diskutovaných vyššie v tom, že zodpovedajú tvaru obálky vlnovej skupiny. Navonok pripomínajú modulované rádiové vlny. Tieto solitóny sa nazývajú skupinové solitóny a niekedy aj obalové solitóny. Tento názov odráža pretrvávanie interakcie obálky balíka vĺn (analogicky k prerušovanej čiare znázornenej na obr. 3), hoci samotné vlny pod obálkou sa pohybujú rýchlosťou odlišnou od skupinovej rýchlosti. V tomto prípade je opísaný tvar obálky

Ryža. 3. Príklad skupinového solitonu (prerušovaná čiara)

závislosť

a(x,t)=a 0 ch -1 ( )

kde a a - amplitúda a l je polovičná ako soliton. Zvyčajne je pod obalom solitonu 14 až 20 vĺn, pričom stredná vlna je najväčšia. S tým súvisí aj známy fakt, že najvyššia vlna v skupine na vode je medzi siedmou a desiatou (deviata vlna). Ak sa v skupine vĺn vytvorilo väčšie množstvo vĺn, potom sa rozpadne na niekoľko skupín.

Nelineárna Schrödingerova rovnica, podobne ako Korteweg-de Vriesova rovnica, je tiež široko používaná pri popise vĺn v rôznych oblastiach fyziky. Túto rovnicu navrhol v roku 1926 vynikajúci rakúsky fyzik E. Schrödinger na analýzu základných vlastností kvantové systémy a pôvodne sa používal pri opise interakcie vnútroatómových častíc. Zovšeobecnená alebo nelineárna Schrödingerova rovnica popisuje súbor javov vo fyzike vlnových procesov. Používa sa napríklad na opísanie účinku vlastného zaostrenia, keď silný laserový lúč pôsobí na nelineárne dielektrické médium a na opísanie šírenia nelineárnych vĺn v plazme.

3. Vyhlásenie problému

3.1. Popis modelu V súčasnosti výrazne rastie záujem o štúdium nelineárnych vlnových procesov v rôznych oblastiach fyziky (napríklad v optike, fyzike plazmy, rádiofyzike, hydrodynamike a pod.). Na štúdium vĺn s malou, ale konečnou amplitúdou v disperzných médiách sa ako modelová rovnica často používa Korteweg-de Vriesova (KdV) rovnica:

ut+ ii x +ba xxx = 0(3.1)

Rovnica KdV sa použila na opis magnetosonických vĺn šíriacich sa striktne cez magnetické pole alebo v uhloch blízkych

.

Hlavné predpoklady, ktoré sa robia pri odvodzovaní rovnice, sú: 1) malá, ale konečná amplitúda, 2) vlnová dĺžka je veľká v porovnaní s dĺžkou rozptylu.

Kompenzáciou účinku nelinearity disperzia umožňuje vytvárať v disperznom prostredí stacionárne vlny s konečnou amplitúdou - osamelé a periodické. Osamotené vlny pre rovnicu KdV sa po práci začali nazývať solitóny. Periodické vlny sa nazývajú knoidálne vlny. Zodpovedajúce vzorce na ich opis sú uvedené v.

3.2. Formulácia diferenciálnej úlohy V tejto práci študujeme numerické riešenie Cauchyho úlohy pre Korteweg-de Vriesovu rovnicu s periodickými podmienkami v priestore v obdĺžniku Q T={(t, X):0< t< T, XÎ [0, l].

ut+ ii x +ba xxx = 0(3.2)

u(x,t)| x=0 =u(x,t)| x=l(3.3)

s počiatočným stavom

u(x,t)| t=0 =u 0 (x) (3,4)

4. Vlastnosti Kortewegovej - de Vriesovej rovnice

4.1. Krátka recenzia výsledky na rovnici KdV. Cauchyho problém pre rovnicu KdV za rôznych predpokladov o u 0 (X) uvažované v mnohých dielach. Problém existencie a jednoznačnosti riešenia s podmienkami periodicity ako okrajovými podmienkami bol v tejto práci riešený metódou konečných rozdielov. Neskôr, za menej silných predpokladov, bola existencia a jedinečnosť dokázaná v článku v priestore L ¥ (0,T,H s (R ​​​​1)), kde s>3/2, a v prípade periodického problému , v priestore L ¥ (0 ,T,H ¥ (C)), kde C je kružnica s dĺžkou rovnajúcou sa bodke, v ruštine sú tieto výsledky uvedené v knihe.

Námorníci už dlho poznajú vysokohorské osamelé vlny, ktoré ničia lode. Dlho sa verilo, že k tomu dochádza iba v otvorený oceán. Nedávne údaje však naznačujú, že v pobrežných oblastiach sa môžu objaviť aj osamelé vražedné vlny (až 20-30 metrov vysoké) alebo solitony (z anglického solitary - „samotár“). Incident v Birminghame Boli sme asi 100 míľ juhozápadne od Durbanu na ceste do Kapského Mesta. Krížnik išiel rýchlo a takmer bez rolovania, stretával sa s miernymi vlnami a vlnami vetra, keď sme zrazu spadli do diery a rútili sa dole v ústrety ďalšej vlne, ktorá sa prehnala cez prvé delové veže a zasiahla náš otvorený kapitánsky mostík. Zrazilo ma a vo výške 10 metrov nad morom som sa ocitol v polmetrovej vrstve vody. Loď zažila taký úder, že si mnohí mysleli, že sme boli torpédovaní. Kapitán okamžite spomalil, ale toto opatrenie sa ukázalo ako márne, pretože sa obnovili mierne plavebné podmienky a nenašli sa žiadne ďalšie „jamy“. Toto je incident, ktorý sa stal v noci so zatemnenou loďou. bol jedným z najvzrušujúcejších na mori. Ľahko verím, že naložená loď sa za takýchto okolností môže potopiť. Takto opisuje britský dôstojník z krížnika Birmingham-. nečakané stretnutie s jedinou katastrofickou vlnou. Tento príbeh sa odohral počas druhej svetovej vojny, takže reakcia posádky, ktorá rozhodla, že krížnik bol torpédovaný, je pochopiteľná. Podobný incident s parníkom Huarita v roku 1909 sa tak dobre neskončil. Viezlo 211 cestujúcich a posádky. Všetci zomreli. Takéto jednotlivé vlny, ktoré sa neočakávane objavia v oceáne, sa v skutočnosti nazývajú zabijácke vlny alebo solitóny. Zdalo by sa. každá búrka sa dá nazvať vrahom. Skutočne, koľko lodí zomrelo počas búrky a umiera aj teraz? Koľko námorníkov našlo miesto posledného odpočinku v hlbinách rozbúreného mora? A predsa vlny. spôsobené morskými búrkami a dokonca ani hurikánmi sa nenazývajú „zabijakmi“. Predpokladá sa, že stretnutie so solitonom je s najväčšou pravdepodobnosťou pri južnom pobreží Afriky. Pri preprave námorné cesty vďaka Suezskému prieplavu sa zmenili a lode sa prestali plaviť okolo Afriky, klesol počet stretnutí so zabijáckymi vlnami. Napriek tomu sa už po druhej svetovej vojne, od roku 1947, asi 12 rokov, stretávali veľmi veľké lode Bosfontein so solitónmi. "Giasterkerk", "Orinfontein" a "Jacherefontein", nepočítajúc menšie miestne kurty. Počas arabsko-izraelskej vojny bol Suezský prieplav prakticky uzavretý a pohyb lodí po Afrike sa opäť zintenzívnil. Zo stretnutia so zabijackou vlnou v júni 1968 zahynul supertanker World Glory s výtlakom viac ako 28 tisíc ton. Cisterna dostala výstrahu pred búrkou a keď sa búrka priblížila, všetko prebehlo podľa pokynov. Nič zlé sa neočakávalo. Ale medzi bežnými veternými vlnami, ktoré nepredstavovali vážne nebezpečenstvo. zrazu povstalo obrovská vlna asi 20 metrov vysoký s veľmi strmým čelom. Zdvihla tanker tak, aby jeho stred spočíval na vlne a prova a korma boli vo vzduchu. Tanker bol naložený ropou a vlastnou váhou sa rozlomil na polovicu. Tieto polovice zostali nejaký čas nadnášať, ale po štyroch hodinách tanker klesol ku dnu. Je pravda, že väčšinu posádky sa podarilo zachrániť. V 70. rokoch pokračovali „útoky“ zabijackych vĺn na lode. V auguste 1973 Neptún zafír, plaviaci sa z Európy do Japonska, 15 míľ od mysu Hermis, s rýchlosťou vetra asi 20 metrov za sekundu, zažil nečakaný úder od osamotenej vlny, ktorá prišla odnikiaľ. Náraz bol taký silný, že prova lode, dlhá asi 60 metrov, sa odlomila od trupu! Loď "Neptune Sapphire" mala najpokročilejší dizajn za tie roky. Napriek tomu sa mu stretnutie so zabijáckou vlnou stalo osudným. Takýchto prípadov bolo popísaných pomerne dosť. Prirodzene, nielen veľké lode, na ktorých sú možnosti na záchranu posádky, spadajú do hrozného zoznamu katastrof. Stretnutie so zabijáckymi vlnami pre malé plavidlá často končí oveľa tragickejšie. Takéto lode nielenže zažívajú najsilnejší úder. schopné ich zničiť, ale na strmej nábežnej hrane sa vlny môžu ľahko prevrátiť. Stáva sa to tak rýchlo, že sa nedá počítať so spásou. Toto nie je cunami. Čo sú to zabíjajúce vlny? Prvá myšlienka, ktorá napadne informovaného čitateľa, je cunami. Po katastrofálnom „nájazde“ gravitačných vĺn na juhovýchodné pobrežie Ázie si mnohí predstavujú cunami ako strašidelnú vodnú stenu so strmým čelom, ktorá padá na breh a odplavuje domy a ľudí. Tsunami sú skutočne schopné veľa. Po objavení sa tejto vlny v blízkosti severných Kuril hydrografi, ktorí študovali následky, objavili loď slušnej veľkosti hodenú cez pobrežné kopce do vnútrozemia ostrova. To znamená, že energia cunami je jednoducho úžasná. Toto je však všetko o cunami, ktoré „útočia“ na pobrežie. V preklade do ruštiny výraz „tsunami“ znamená „veľká vlna v prístave“. Je veľmi ťažké ho nájsť na otvorenom oceáne. Tam výška tejto vlny väčšinou nepresahuje jeden meter a priemerné, typické rozmery sú desiatky centimetrov. A svah je extrémne malý, pretože v takej výške je jeho dĺžka niekoľko kilometrov. Je teda takmer nemožné odhaliť cunami na pozadí tečúcich vĺn vetra alebo vlnobitia. Prečo sa potom pri „útoku“ na pobrežie tsunami stávajú takými desivými? Faktom je, že táto vlna vďaka svojej veľkej dĺžke uvádza vodu do pohybu v celej hĺbke oceánu. A keď sa pri svojom šírení dostane do relatívne plytkých oblastí, všetka táto kolosálna masa vody stúpa z hĺbky. Takto sa „neškodná“ vlna na otvorenom oceáne stáva na pobreží ničivou. Takže zabijácke vlny nie sú cunami. V skutočnosti sú solitóny nezvyčajným a málo prebádaným fenoménom. Nazývajú sa vlny, hoci v skutočnosti sú niečím iným. Na vznik solitónov je, samozrejme, potrebný nejaký prvotný impulz, náraz, inak odkiaľ sa vezme energia, ale nielen. Na rozdiel od konvenčných vĺn sa solitóny šíria na veľké vzdialenosti s veľmi malým rozptylom energie. Toto je záhada, ktorú treba ešte len preskúmať. Solitons prakticky navzájom neinteragujú. Spravidla sa šíria rôznymi rýchlosťami. Samozrejme, môže sa stať, že jeden solitón dobehne druhého a potom sa zrátajú do výšky, no potom sa aj tak opäť rozutečú po svojich cestách. Samozrejme, pridávanie solitónov je zriedkavou udalosťou. Prudký nárast ich strmosti a výšky má však aj iný dôvod. Dôvodom sú podvodné rímsy, cez ktoré solitón „prebieha“. Zároveň sa v podvodnej časti odráža energia a vlna akoby „šplechne“ nahor. Podobnú situáciu na fyzikálnych modeloch skúmala medzinárodná vedecká skupina. Na základe týchto štúdií možno vytýčiť bezpečnejšie trasy lodí. Stále však existuje oveľa viac záhad ako skúmaných prvkov a záhada zabijáckych vĺn stále čaká na svojich výskumníkov. Obzvlášť tajomné sú solitóny vo vodách mora, na takzvanej "hustotnej skokovej vrstve". Tieto solitóny môžu viesť (alebo už viedli) k podmorským katastrofám.