Pri vykonávaní trigonometrických transformácií postupujte podľa týchto tipov:
- Nesnažte sa okamžite prísť so schémou riešenia príkladu od začiatku do konca.
- Nepokúšajte sa previesť celý príklad naraz. Pohybujte sa vpred malými krokmi.
- Pamätajte, že okrem goniometrických vzorcov v trigonometrii môžete stále použiť všetky spravodlivé algebraické transformácie (zátvorky, zmenšovanie zlomkov, skrátené vzorce na násobenie atď.).
- Verte, že všetko bude v poriadku.
Základné goniometrické vzorce
Väčšina vzorcov v trigonometrii sa často používa sprava doľava aj zľava doprava, takže sa tieto vzorce musíte naučiť tak dobre, aby ste mohli jednoducho použiť nejaký vzorec v oboch smeroch. Na začiatok si napíšeme definície goniometrické funkcie. Nech existuje pravouhlý trojuholník:
Potom definícia sínusu je:
Definícia kosínusu:
Definícia dotyčnice:
Definícia kotangens:
Základná trigonometrická identita:
Najjednoduchšie dôsledky základnej trigonometrickej identity:
Vzorce s dvojitým uhlom. Sínus dvojitého uhla:
Kosínus dvojitého uhla:
Dvojitý uhol tangens:
Kotangens s dvojitým uhlom:
Ďalšie trigonometrické vzorce
Goniometrické sčítacie vzorce. Sínus súčtu:
Sínus rozdielu:
Kosínus súčtu:
Kosínus rozdielu:
Tangent súčtu:
Tangenta rozdielu:
Kotangens súčtu:
Rozdiel kotangens:
Goniometrické vzorce na prevod sumy na súčin. Súčet sínusov:
Sínusový rozdiel:
Súčet kosínov:
Kosínový rozdiel:
súčet dotyčníc:
Rozdiel dotyčníc:
Súčet kotangens:
Rozdiel kotangens:
Goniometrické vzorce na prepočet súčinu na súčet. Súčin sínusov:
Súčin sínusu a kosínusu:
Súčin kosínusov:
Vzorce na zníženie stupňa.
Vzorce polovičného uhla.
Trigonometrické redukčné vzorce
Volá sa funkcia kosínus kofunkcia sínusová funkcia a naopak. Podobne funkcie tangens a kotangens sú kofunkcie. Redukčné vzorce možno formulovať podľa nasledujúceho pravidla:
- Ak sa v redukčnom vzorci uhol odpočíta (sčíta) od 90 stupňov alebo 270 stupňov, potom sa redukovaná funkcia zmení na kofunkciu;
- Ak je v redukčnom vzorci uhol odčítaný (pridaný) od 180 stupňov alebo 360 stupňov, názov redukovanej funkcie sa zachová;
- V tomto prípade pred redukovanou funkciou je znamienko, ktoré má redukovaná (t. j. pôvodná) funkcia v príslušnej štvrtine, ak odčítaný (sčítaný) uhol považujeme za ostrý.
Odlievané vzorce sú uvedené vo forme tabuľky:
Autor: trigonometrický kruh je ľahké určiť tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií:
Goniometrické rovnice
Na vyriešenie určitej goniometrickej rovnice je potrebné ju zredukovať na jednu z najjednoduchších goniometrických rovníc, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Pre to:
- Dá sa aplikovať trigonometrické vzorce vyššie. V tomto prípade sa nemusíte pokúšať konvertovať celý príklad naraz, ale musíte postupovať vpred po malých krokoch.
- Netreba zabúdať ani na možnosť transformácie nejakého výrazu pomocou algebraických metód, t.j. napríklad dať niečo zo zátvorky alebo naopak, otvoriť zátvorku, zmenšiť zlomok, použiť skrátený vzorec na násobenie, priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi atď.
- Pri riešení goniometrických rovníc môžete použiť metóda zoskupovania. Treba mať na pamäti, že na to, aby sa súčin viacerých faktorov rovnal nule, stačí, aby sa ktorýkoľvek z nich rovnal nule a zvyšok existoval.
- Uplatňuje sa variabilná náhradná metóda, ako obvykle, rovnica po zavedení náhrady by sa mala zjednodušiť a nemala by obsahovať pôvodnú premennú. Musíte tiež pamätať na opačnú substitúciu.
- Pamätajte, že homogénne rovnice sa často vyskytujú aj v trigonometrii.
- Pri otváraní modulov alebo riešení iracionálnych rovníc s goniometrickými funkciami si treba pamätať a brať do úvahy všetky jemnosti riešenia zodpovedajúcich rovníc s obyčajnými funkciami.
- Pamätajte na ODZ (v goniometrických rovniciach sa obmedzenia ODZ v podstate scvrkávajú na skutočnosť, že nemôžete deliť nulou, ale nezabudnite na ďalšie obmedzenia, najmä na kladnosť výrazov v racionálnych mocninách a pod koreňmi párnych stupňov) . Pamätajte tiež, že hodnoty sínus a kosínus môžu ležať iba medzi mínus jedna a plus jedna vrátane.
Hlavná vec je, že ak neviete, čo robiť, urobte aspoň niečo, zatiaľ čo hlavnou vecou je správne používať trigonometrické vzorce. Ak sa to, čo dostanete, zlepšuje a zlepšuje, potom pokračujte v riešení, a ak sa to zhorší, vráťte sa na začiatok a skúste použiť iné vzorce, tak to robte, kým nenarazíte na správne riešenie.
Vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. Pre sínus existujú dve ekvivalentné formy zápisu riešenia:
Pre ostatné goniometrické funkcie je zápis jedinečný. Pre kosínus:
Pre dotyčnicu:
Pre kotangens:
Riešenie goniometrických rovníc v niektorých špeciálnych prípadoch:
Úspešné, usilovné a zodpovedné plnenie týchto troch bodov, ako aj zodpovedné štúdium záverečných tréningových testov vám umožní ukázať na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej e-mailom (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte aj údajnú chybu. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
Pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens - sú uvedené trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.
V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.
Navigácia na stránke.
Základné goniometrické identity
Hlavné trigonometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.
Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.
Odlievané vzorce
Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, teda odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.
Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.
Sčítacie vzorce
Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj vzorce s viacerými uhlami) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.
Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol .
Vzorce polovičného uhla
Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.
Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.
Redukčné vzorce
Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií k sínusom a kosínusom v prvom stupni, ale s viacerými uhlami. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.
Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosíne
Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.
Univerzálna trigonometrická substitúcia
Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.
Bibliografia.
- Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začiatok rozboru: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
Autorské práva šikovných študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
Trigonometria, trigonometrické vzorce
Sú uvedené vzťahy medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens. trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.
V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.
Základné goniometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkovej kružnice. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.
Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku základné trigonometrické identity.
Začiatok stránky
Odlievané vzorce
Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, teda odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.
Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich aplikácie nájdete v článku o redukčných vzorcoch.
Začiatok stránky
Sčítacie vzorce
Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.
Viac detailné informácie je obsiahnutá v článku adičné vzorce.
Začiatok stránky
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj vzorce s viacerými uhlami) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.
Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol.
Začiatok stránky
Vzorce polovičného uhla
Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.
Ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku Vzorce polovičného uhla.
Začiatok stránky
Redukčné vzorce
Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií k sínusom a kosínusom v prvom stupni, ale s viacerými uhlami. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.
Začiatok stránky
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.
Odvodenie vzorcov, ako aj príklady ich použitia nájdete v článku vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.
Začiatok stránky
Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosíne
Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.
Začiatok stránky
Univerzálna trigonometrická substitúcia
Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.
Ďalšie informácie nájdete v článku univerzálna trigonometrická substitúcia.
Začiatok stránky
- Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. — M.: Osveta, 1993. — 351 s.: chor. — ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začiatok rozboru: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
Trigonometrické vzorce- sú to najpotrebnejšie vzorce v trigonometrii, potrebné na vyjadrenie goniometrických funkcií, ktoré sa vykonávajú pre akúkoľvek hodnotu argumentu.
Sčítacie vzorce.
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Vzorce s dvojitým uhlom.
pretože 2α = cos²α — hriech²α
pretože 2α = 2 cos²α — 1
pretože 2α = 1 - 2 sin²α
hriech 2α = 2 hriechyα cosα
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2 ctgα )
Vzorce s trojitým uhlom.
sin3α = 3sinα - 4sin³α
pretože 3α = 4 cos³α — 3 cosα
tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3 tg²α )
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Vzorce polovičného uhla.
Odlievacie vzorce.
Funkcia / uhol v rad. |
π/2 - α |
π/2 + α |
3π/2 - α |
3π/2 + α |
2π - α |
2π + α |
||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Funkcia / uhol v ° |
90° - a |
90° + a |
180° - a |
180° + a |
270° - a |
270° + a |
360° - a |
360° + a |
Podrobný popis redukčných vzorcov.
Základné goniometrické vzorce.
Základná trigonometrická identita:
sin2α+cos2α=1
Táto identita je výsledkom aplikácie Pytagorovej vety na trojuholník v jednotkovej trigonometrickej kružnici.
Vzťah medzi kosínusom a tangentom:
1/cos 2 α-tan 2 α=1 alebo sek 2 α-tan 2 α=1.
Tento vzorec je dôsledkom základnej goniometrickej identity a získa sa z nej delením ľavej a pravej časti cos2α. Predpokladá sa, že α≠π/2+πn,n∈Z.
Vzťah medzi sínusom a kotangensom:
1/sin 2 α−postieľka 2 α=1 alebo csc 2 α−postieľka 2 α=1.
Tento vzorec vyplýva aj zo základnej goniometrickej identity (získanej z nej delením ľavej a pravej strany o sin2α. Tu sa predpokladá, že α≠πn,n∈Z.
Definícia dotyčnice:
tanα=sinα/cosα,
kde α≠π/2+πn,n∈Z.
Definícia kotangens:
cotα=cosα/sinα,
kde α≠πn,n∈Z.
Dôsledok z definícií tangens a kotangens:
tanα⋅ cotα=1,
kde α≠πn/2,n∈Z.
Definícia sekantu:
secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z
Definícia kosekantu:
cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z
Trigonometrické nerovnosti.
Najjednoduchšie trigonometrické nerovnosti:
sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,
cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,
tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,
cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.
Štvorce goniometrických funkcií.
Vzorce kociek goniometrických funkcií.
Trigonometria Matematika. Trigonometria. Vzorce. Geometria. teória
Uvažovali sme o najzákladnejších goniometrických funkciách (nenechajte sa zmiasť, okrem sínusových, kosínusových, tangens a kotangens existuje množstvo ďalších funkcií, ale o nich neskôr), ale zatiaľ zvážime niektoré základné vlastnosti už preštudovaných funkcií.
Goniometrické funkcie číselného argumentu
Akékoľvek reálne číslo t je prijaté, môže mu byť priradené jednoznačne definované číslo sin(t).
Je pravda, že pravidlo korešpondencie je dosť komplikované a spočíva v nasledujúcom.
Ak chcete nájsť hodnotu sin (t) podľa čísla t, potrebujete:
- umiestnite kruh s číslami súradnicová rovina aby sa stred kružnice zhodoval s počiatkom a začiatočný bod A kružnice zasiahol bod (1; 0);
- nájdite bod na kružnici zodpovedajúci číslu t;
- nájdite ordinátu tohto bodu.
- tento ordinát je požadovaný hriech(t).
V skutočnosti hovoríme o funkcii s = sin(t), kde t je ľubovoľné reálne číslo. Vieme, ako vypočítať niektoré hodnoty tejto funkcie (napríklad sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), atď.) , poznáme niektoré jeho vlastnosti.
Spojenie goniometrických funkcií
Ako dúfam, hádate, všetky goniometrické funkcie sú vzájomne prepojené a aj bez toho, aby ste poznali hodnotu jednej, ju možno nájsť cez druhú.
Napríklad najdôležitejší vzorec celej trigonometrie je základná trigonometrická identita:
\[ hriech^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
Ako vidíte, ak poznáte hodnotu sínusu, môžete nájsť hodnotu kosínusu a naopak.
Trigonometrické vzorce
Tiež veľmi bežné vzorce týkajúce sa sínusu a kosínusu s dotyčnicou a kotangensom:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
Z posledných dvoch vzorcov možno odvodiť ešte jednu trigometrickú identitu, ktorá spája tentoraz tangens a kotangens:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
Teraz sa pozrime, ako tieto vzorce fungujú v praxi.
PRÍKLAD 1. Zjednodušte výraz: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
a) Najprv napíšeme dotyčnicu, pričom ponecháme druhú mocninu:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
Teraz uvedieme všetko pod spoločným menovateľom a dostaneme:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
A nakoniec, ako vidíme, čitateľ môže byť zredukovaný na jednotku podľa základnej goniometrickej identity, výsledkom čoho je: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) S kotangensom vykonávame všetky rovnaké akcie, len menovateľ už nebude mať kosínus, ale sínus a odpoveď dopadne takto:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
Po dokončení tejto úlohy sme odvodili ďalšie dva veľmi dôležité vzorce, ktoré spájajú naše funkcie, ktoré tiež potrebujete poznať ako vlastnú dlaň:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
Musíte poznať naspamäť všetky vzorce prezentované v rámci, inak je ďalšie štúdium trigonometrie bez nich jednoducho nemožné. V budúcnosti bude vzorcov pribúdať a bude ich veľa a ubezpečujem vás, že všetky si určite ešte dlho zapamätáte, alebo možno nebudete, no týchto šesť kúskov by mal poznať KAŽDÝ !
Kompletná tabuľka všetkých základných a zriedkavých trigonometrických redukčných vzorcov.
Tu nájdete trigonometrické vzorce v pohodlnej forme. A trigonometrické redukčné vzorce si môžete pozrieť na inej stránke.
Základné goniometrické identity
sú matematické výrazy pre goniometrické funkcie, ktoré sa vykonávajú pre každú hodnotu argumentu.
- sin² α + cos² α = 1
- tgα ctgα = 1
- tan α = sin α ÷ cos α
- ctg α = cos α ÷ sin α
- 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
- 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
Sčítacie vzorce
- sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
- sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
- cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
- tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
- ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
- ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org
Vzorce s dvojitým uhlom
- cos 2α = cos² α - sin² α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos 2α = 1 - 2 sin² α
- sin2α = 2sinα cosα
- tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
- ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Vzorce s trojitým uhlom
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
- cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
- tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
- ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Redukčné vzorce
- sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
- sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
- cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
- cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
- sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
- sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
Prechod od produktu k sume
- sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
- sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
- cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
Uviedli sme pomerne veľa goniometrických vzorcov, ale ak niečo chýba, napíšte.
Všetko na štúdium » Matematika v škole » Trigonometrické vzorce - cheat sheet
Ak chcete pridať stránku medzi záložky, stlačte Ctrl+D.
skupina s partou užitočná informácia(podpíšte, ak musíte absolvovať skúšku alebo skúšku):
Celá databáza abstraktov, semestrálnych prác, diplomových prác a iné učebné materiály poskytované bezplatne. Používaním materiálov stránky potvrdzujete, že ste si prečítali používateľskú zmluvu a v plnom rozsahu súhlasíte so všetkými jej ustanoveniami.
podrobne sa uvažuje o transformácii skupín všeobecných riešení goniometrických rovníc. Tretia časť sa zaoberá neštandardnými goniometrickými rovnicami, ktorých riešenia sú založené na funkcionálnom prístupe.
Všetky trigonometrické vzorce (rovnice): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
Štvrtá časť sa zaoberá goniometrickými nerovnosťami. Metódy riešenia elementárnych goniometrických nerovností sa podrobne zvažujú na jednotkovej kružnici aj ...
… uhol 1800-α= pozdĺž prepony a ostrého uhla: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Takže v školskom kurze geometrie sa pojem goniometrické funkcie zavádza geometrickými prostriedkami z dôvodu ich väčšej dostupnosti. Tradičná metodologická schéma na štúdium goniometrických funkcií je nasledovná: 1) najprv sa určia goniometrické funkcie pre ostrý uhol obdĺžnikový...
… Domáca úloha 19(3,6), 20(2,4) Stanovenie cieľa Aktualizácia základných vedomostí Vlastnosti goniometrických funkcií Redukčné vzorce nový materiál Hodnoty goniometrických funkcií Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc Konsolidácia Riešenie problémov Účel lekcie: dnes vypočítame hodnoty goniometrických funkcií a vyriešime ...
... formulovaná hypotéza mala riešiť tieto úlohy: 1. Identifikovať úlohu goniometrických rovníc a nerovníc vo vyučovaní matematiky; 2. Vypracovať metodiku formovania zručností pri riešení goniometrických rovníc a nerovníc zameranú na rozvoj goniometrických zobrazení; 3. Experimentálne otestujte účinnosť vyvinutej techniky. Pre riešenia…
Trigonometrické vzorce
Trigonometrické vzorce
Predstavujeme vám rôzne vzorce súvisiace s trigonometriou.
ctg(2α) = | ctg 2 (α) - 1 2ctg (α) |
Všeobecné vzorce
- verzia pre tlač
Definície Sínus uhla α (označenie hriech (α)) je pomer nohy oproti uhlu α k prepone. Kosínus uhla α (označenie cos(α)) je pomer nohy susediacej s uhlom α k prepone. Tangenta uhla α (označenie tg(α)) je pomer ramena protiľahlého k uhlu α k susednému ramenu. Ekvivalentná definícia je pomer sínusu uhla α ku kosínusu toho istého uhla, sin(α)/cos(α). Kotangens uhla α (označenie ctg(α)) je pomer strany susediacej s uhlom α k protiľahlej strane. Ekvivalentnou definíciou je pomer kosínusu uhla α k sínusu toho istého uhla - cos(α)/sin(α). Ďalšie goniometrické funkcie: sekanta — sek(α) = 1/cos(α); kosekant cosec(α) = 1/sin(α). Poznámka Špecificky nepíšeme znamienko * (násobenie), - tam, kde sa píšu dve funkcie za sebou, bez medzery, je implikované. Nápoveda Na odvodenie vzorcov pre kosínus, sínus, tangens alebo kotangens viacerých (4+) uhlov ich stačí napísať podľa vzorcov. kosínus, sínus, tangens alebo kotangens súčtu, alebo redukovať na predchádzajúce prípady, redukovať na vzorce trojitých a dvojitých uhlov. Doplnenie Tabuľka derivátov© školák. Matematika (podpora Branch Tree) 2009—2016
Na tejto stránke nájdete všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré vám pomôžu vyriešiť mnohé cvičenia, pričom samotný výraz výrazne zjednodušia.
Goniometrické vzorce sú matematické rovnosti pre goniometrické funkcie, ktoré sú platné pre všetky platné hodnoty argumentov.
Vzorce nastavujú pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami – sínus, kosínus, tangens, kotangens.
Sínus uhla je y-ová súradnica bodu (ordináta) na jednotkovej kružnici. Kosínus uhla je x-ová súradnica bodu (abscisa).
Tangenta a kotangens sú pomer sínusu ku kosínu a naopak.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
A dva, ktoré sa používajú menej často - sekant, kosekant. Označujú pomery 1 ku kosínusu a sínusu.
`s \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Z definícií goniometrických funkcií môžete vidieť, aké znamienka majú v jednotlivých štvrťrokoch. Znamienko funkcie závisí len od toho, v ktorom kvadrante sa argument nachádza.
Pri zmene znamienka argumentu z „+“ na „-“ nemení jeho hodnotu iba funkcia kosínus. Volá sa to dokonca. Jeho graf je symetrický okolo osi y.
Zvyšné funkcie (sínus, tangens, kotangens) sú nepárne. Keď sa znamienko argumentu zmení z „+“ na „-“, ich hodnota sa tiež zmení na zápornú. Ich grafy sú symetrické podľa pôvodu.
`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Základné goniometrické identity
Základné goniometrické identity sú vzorce, ktoré vytvárajú vzťah medzi goniometrickými funkciami jedného uhla (`sin \\alpha, \cos\\alpha, \tg\\alpha, \ctg\\alpha`) a ktoré umožňujú nájsť hodnotu každej z týchto funkcií prostredníctvom akejkoľvek známej inej.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Vzorce pre súčet a rozdiel uhlov goniometrických funkcií
Vzorce na sčítanie a odčítanie argumentov vyjadrujú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov v zmysle goniometrických funkcií týchto uhlov.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Vzorce s dvojitým uhlom
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \\alpha-tg \ \alpha)2`
Vzorce s trojitým uhlom
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Vzorce polovičného uhla
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Polovičné, dvojité a trojité argumentové vzorce vyjadrujú funkcie `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` týchto argumentov (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) v termínoch argument `\alpha`.
Ich výstup je možné získať z predchádzajúcej skupiny (sčítanie a odčítanie argumentov). Napríklad dvojité uhly identity možno ľahko získať nahradením `\beta` za `\alpha`.
Redukčné vzorce
Vzorce štvorcov (kocky atď.) goniometrických funkcií umožňujú prejsť od 2,3, ... stupňov k goniometrickým funkciám prvého stupňa, ale viac uhlov (`\alfa, \ 3\alpha, \ ... ` alebo `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alfa-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Vzorce sú transformácie súčtu a rozdielu goniometrických funkcií rôznych argumentov na súčin.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Tu sa sčítanie a odčítanie funkcií jedného argumentu prevedie na súčin.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Nasledujúce vzorce konvertujú súčet a rozdiel jednotky a goniometrickej funkcie na súčin.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \\alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(hriech \ \alfa \ hriech \ \beta)`
Vzorce na konverziu funkcií
Vzorce na prevod súčinu goniometrických funkcií s argumentmi `\alpha` a `\beta` na súčet (rozdiel) týchto argumentov.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \\alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))“.
Univerzálna trigonometrická substitúcia
Tieto vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Odlievané vzorce
Redukčné vzorce možno získať pomocou takých vlastností goniometrických funkcií, ako je periodicita, symetria, vlastnosť posunu o daný uhol. Umožňujú previesť ľubovoľné funkcie uhla na funkcie, ktorých uhol je medzi 0 a 90 stupňami.
Pre uhol (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`\pi \pm \alpha`) alebo (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pre uhol (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`2\pi \pm \alpha`) alebo (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \\alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Vyjadrenie niektorých goniometrických funkcií z hľadiska iných
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \\alpha)`
Trigonometria sa doslova prekladá ako "meranie trojuholníkov". Začína sa študovať v škole, podrobnejšie pokračuje na univerzitách. Preto sú potrebné základné vzorce pre trigonometriu, počnúc 10. ročníkom, ako aj pre absolvovanie skúšky. Označujú spojenia medzi funkciami a keďže týchto spojení je veľa, aj samotných vzorcov je dosť. Zapamätať si ich všetky nie je jednoduché a nie je to potrebné – v prípade potreby sa dajú všetky odvodiť.
Goniometrické vzorce sa používajú v integrálnom počte, ako aj v goniometrických zjednodušeniach, výpočtoch a transformáciách.