Kde je okraj pyramídy. Pyramída a jej prvky. Pyramída ako geometrické teleso

Pri riešení úlohy C2 súradnicovou metódou sa mnohí žiaci stretávajú s rovnakým problémom. Nevedia počítať súradnice bodu zahrnuté vo vzorci skalárneho súčinu. Najväčšie ťažkosti sú pyramídy. A ak sú základné body považované za viac-menej normálne, potom sú vrcholy skutočným peklom.

Dnes sa budeme zaoberať pravidelnou štvorhrannou pyramídou. K dispozícii je tiež trojuholníková pyramída (aka - štvorsten). Ide o zložitejší dizajn, preto mu bude venovaná samostatná lekcia.

Začnime s definíciou:

Pravidelná pyramída je taká, v ktorej:

Základňa je pravidelný mnohouholník: trojuholník, štvorec atď.;

Výška pritiahnutá k základni prechádza jej stredom.

Najmä základňa štvoruholníkovej pyramídy je námestie. Rovnako ako Cheops, len o niečo menší.

Nižšie sú uvedené výpočty pre pyramídu so všetkými hranami rovnými 1. Ak to tak nie je vo vašom probléme, výpočty sa nemenia - iba čísla budú iné.

Vrcholy štvoruholníkového ihlana

Nech je teda daný pravidelný štvoruholníkový ihlan SABCD, kde S je vrchol, základňa ABCD je štvorec. Všetky hrany sú rovné 1. Je potrebné zadať súradnicový systém a nájsť súradnice všetkých bodov. Máme:

Zavádzame súradnicový systém s počiatkom v bode A:

Os OX smeruje rovnobežne s hranou AB;
Os OY - rovnobežná s AD. Keďže ABCD je štvorec, AB ⊥ AD ;
Nakoniec os OZ smeruje nahor, kolmo na rovinu ABCD.

Teraz zvážime súradnice. Doplnková konštrukcia: SH - výška pritiahnutá k základni. Pre pohodlie vyberieme základňu pyramídy na samostatnom obrázku. Keďže body A , B , C a D ležia v rovine OXY, ich súradnica je z = 0. Máme:

A = (0; 0; 0) - zhoduje sa s pôvodom;
B = (1; 0; 0) - krok po 1 pozdĺž osi OX od začiatku;
C = (1; 1; 0) - krok o 1 pozdĺž osi OX a o 1 pozdĺž osi OY;
D = (0; 1; 0) - krok len pozdĺž osi OY.
H \u003d (0,5; 0,5; 0) - stred štvorca, stred segmentu AC.

Zostáva nájsť súradnice bodu S. Všimnite si, že súradnice x a y bodov S a H sú rovnaké, pretože ležia na priamke rovnobežnej s osou OZ. Zostáva nájsť súradnicu z pre bod S .

Zvážte trojuholníky ASH a ABH:

AS = AB = 1 podľa podmienky;
Uhol AHS = AHB = 90°, pretože SH je výška a AH ⊥ HB ako uhlopriečky štvorca;
Strana AH - spoločná.

v dôsledku toho pravouhlé trojuholníky ASH a ABH rovný jedna noha a jedna prepona. Takže SH = BH = 0,5 BD. Ale BD je uhlopriečka štvorca so stranou 1. Preto máme:

Celkové súradnice bodu S:

Na záver si zapíšeme súradnice všetkých vrcholov pravidelnej pravouhlej pyramídy:

Čo robiť, keď sú rebrá iné

Ale čo ak sa bočné okraje pyramídy nerovnajú okrajom základne? V tomto prípade zvážte trojuholník AHS:

Trojuholník AHS- pravouhlý, a prepona AS je tiež bočným okrajom pôvodnej pyramídy SABCD . Noha AH sa dá ľahko zvážiť: AH = 0,5 AC. Nájdite zostávajúcu nohu SH podľa Pytagorovej vety. Toto bude súradnica z bodu S.

Úloha. Je daný pravidelný štvoruholníkový ihlan SABCD , na základni ktorého leží štvorec so stranou 1. Bočná hrana BS = 3. Nájdite súradnice bodu S .

Súradnice x a y tohto bodu už poznáme: x = y = 0,5. Vyplýva to z dvoch skutočností:

Priemet bodu S do roviny OXY je bod H;
Zároveň je bod H stredom štvorca ABCD, ktorého všetky strany sú rovné 1.

Zostáva nájsť súradnicu bodu S. Zvážte trojuholník AHS. Je pravouhlá, s preponou AS = BS = 3, noha AH je polovica uhlopriečky. Pre ďalšie výpočty potrebujeme jeho dĺžku:

Pytagorova veta pre trojuholník AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Máme:

Takže súradnice bodu S:

Koncept pyramídy

Definícia 1

Geometrický útvar tvorený mnohouholníkom a bodom, ktorý neleží v rovine obsahujúcej tento mnohouholník, spojený so všetkými vrcholmi mnohouholníka, sa nazýva pyramída (obr. 1).

Mnohouholník, z ktorého je pyramída zložená, sa nazýva základňa pyramídy, trojuholníky získané spojením s bodom sú bočné strany pyramídy, strany trojuholníkov sú strany pyramídy a bod spoločný pre všetkých. trojuholníky je vrchol pyramídy.

Druhy pyramíd

V závislosti od počtu rohov na základni pyramídy ju možno nazvať trojuholníkovou, štvorhrannou atď. (obr. 2).

Obrázok 2

Ďalším typom pyramídy je pravidelná pyramída.

Dovoľte nám predstaviť a preukázať nehnuteľnosť správna pyramída.

Veta 1

Všetky bočné strany pravidelnej pyramídy sú rovnoramenné trojuholníky, ktoré sú si navzájom rovné.

Dôkaz.

Uvažujme pravidelnú $n-$gonálnu pyramídu s vrcholom $S$ s výškou $h=SO$. Opíšme kruh okolo základne (obr. 4).

Obrázok 4

Zvážte trojuholník $SOA$. Podľa Pytagorovej vety dostaneme

Je zrejmé, že každý bočný okraj bude definovaný týmto spôsobom. Preto sú všetky bočné hrany navzájom rovnaké, to znamená, že všetky bočné strany sú rovnoramenné trojuholníky. Dokážme, že sú si navzájom rovní. Keďže základňa je pravidelný mnohouholník, základne všetkých bočných plôch sú si navzájom rovné. V dôsledku toho sú všetky bočné strany rovnaké podľa III znamienka rovnosti trojuholníkov.

Veta bola dokázaná.

Teraz predstavíme nasledujúcu definíciu súvisiacu s pojmom pravidelná pyramída.

Definícia 3

Apotém pravidelnej pyramídy je výška jej bočnej steny.

Je zrejmé, že podľa vety 1 sú všetky apotémy rovnaké.

Veta 2

Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy je definovaná ako súčin pol obvodu základne a apotému.

Dôkaz.

Označme stranu základne $n-$uhoľnej pyramídy $a$ a apotému $d$. Preto sa plocha bočnej plochy rovná

Pretože podľa vety 1 sú všetky strany rovnaké

Veta bola dokázaná.

Ďalším typom pyramídy je zrezaná pyramída.

Definícia 4

Ak je rovina rovnobežná s jej základňou nakreslená cez obyčajný ihlan, potom obrazec vytvorený medzi touto rovinou a rovinou základne sa nazýva zrezaný ihlan (obr. 5).

Obrázok 5. Zrezaná pyramída

Bočné strany zrezanej pyramídy sú lichobežníky.

Veta 3

Plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy je definovaná ako súčin súčtu semiperimetrov základní a apotému.

Dôkaz.

Označme strany podstav $n-$uhoľnej pyramídy $a\ a\ b$ a apotém $d$. Preto sa plocha bočnej plochy rovná

Pretože všetky strany sú si rovné

Veta bola dokázaná.

Príklad úlohy

Príklad 1

Nájdite plochu bočného povrchu zrezaného trojuholníkového ihlana, ak je získaná z pravidelnej pyramídy so základnou stranou 4 a apotémou 5 odrezaním rovinou prechádzajúcou stredovou čiarou bočných plôch.

Riešenie.

Podľa vety o stredná čiara získame, že horná základňa zrezanej pyramídy sa rovná $4\cdot \frac(1)(2)=2$ a apotéma sa rovná $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Potom podľa vety 3 dostaneme

Veľké egyptské pyramídy dobre poznáme, každý si vie predstaviť, ako vyzerajú. Táto reprezentácia nám pomôže pochopiť ich vlastnosti geometrický obrazec ako pyramída.

Pyramída je mnohosten pozostávajúci z plochého mnohouholníka - základne pyramídy, bodu, ktorý neleží v rovine základne - vrcholu pyramídy a všetkých segmentov spájajúcich vrchol s bodmi základne. Segmenty, ktoré spájajú vrchol pyramídy s vrcholom základne, sa nazývajú bočné hrany. Na obr. 1 je znázornená pyramída SABCD. Štvoruholník ABCD je základňa pyramídy, bod S je vrchol pyramídy, segmenty SA, SB, SC a SD sú okraje pyramídy.

Výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na rovinu základne. Na obr. 1 SO je výška pyramídy.

Pyramída sa nazýva n-uholníková, ak jej základňa je n-uholník. Obrázok 1 znázorňuje štvorhrannú pyramídu. Trojuholníková pyramída sa nazýva štvorsten.

Pyramída sa nazýva pravidelná, ak jej základňa je pravidelný mnohouholník a základňa výšky sa zhoduje so stredom tohto mnohouholníka. Bočné hrany pravidelnej pyramídy sú rovnaké, a preto sú bočné steny rovnoramenné trojuholníky. V pravidelnej pyramíde sa výška bočnej steny nakreslenej z vrcholu pyramídy nazýva apotém.

Pyramída má množstvo vlastností.

Všetky uhlopriečky pyramídy patria jej tváram.

Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom:

v blízkosti základne pyramídy možno opísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jeho stredu;
bočné rebrá tvoria s rovinou základne rovnaké uhly a naopak, ak bočné hrany zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou alebo ak je možné opísať kruh v blízkosti základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu, potom všetky bočné hrany pyramídy sú si rovní.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom:

do základne pyramídy možno vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu;
výšky bočných plôch sú rovnaké;
plocha bočného povrchu sa rovná polovici súčinu obvodu základne a výšky bočnej steny.

Zvážte vzorce na nájdenie objemu, plochy povrchu pyramídy.

Objem pyramídy možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

kde S je plocha základne a h je výška.

Ak chcete zistiť celkovú plochu pyramídy, použite vzorec:

S p \u003d Sb + S o,

kde Sp je celkový povrch, Sb je bočný povrch, So je základná plocha.

Zrezaný ihlan je mnohosten uzavretý medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou s jej základňou. Plochy zrezanej pyramídy, ležiace v rovnobežných rovinách, sa nazývajú základne zrezanej pyramídy, ostatné plochy sa nazývajú bočné steny. Základy zrezaného ihlana sú podobné mnohouholníky, bočné strany sú lichobežníky. Zrezaná pyramída, ktorá sa získa z pravidelnej pyramídy, sa nazýva pravidelná. zrezaná pyramída. Bočné steny pravidelného zrezaného lichobežníka sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky, ich výšky sa nazývajú apotémy.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Pyramída- je to mnohosten, ktorý má jednu stranu - základňu pyramídy - ľubovoľný mnohouholník a zvyšok - bočné steny - trojuholníky so spoločným vrcholom, nazývaným vrchol pyramídy. Kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na jej základňu sa nazýva výška pyramídy. Pyramída sa nazýva trojuholníková, štvoruholníková atď., ak základňou pyramídy je trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvoruholník - päťsten atď.

Pyramída, Skrátená pyramída

Správna pyramída

Ak je základňa pyramídy pravidelným mnohouholníkom a výška klesá do stredu základne, potom je pyramída pravidelná. V pravidelnej pyramíde sú všetky bočné hrany rovnaké, všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška trojuholníka bočnej steny pravidelnej pyramídy sa nazýva − apotém pravej pyramídy.

Skrátená pyramída

prierez základňa paralelná pyramída rozdeľuje pyramídu na dve časti. Časť pyramídy medzi jej základňou a touto časťou je zrezaná pyramída . Táto časť pre zrezanú pyramídu je jednou z jej základov. Vzdialenosť medzi základňami zrezaného ihlana sa nazýva výška zrezaného ihlana. Zrezaná pyramída sa nazýva správna, ak bola pyramída, z ktorej bola získaná, správna. Všetky bočné strany pravidelnej zrezanej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky. Výška lichobežníkového bočného povrchu pravidelného zrezaného ihlana sa nazýva - apotém pravidelnej zrezanej pyramídy.

Zvážte vlastnosti pyramíd, v ktorých sú bočné steny kolmé na základňu.

Ak dve susedné bočné strany pyramídy sú kolmé na základňu, potom spoločná bočná hrana týchto plôch je výška pyramídy. Ak to hovorí úloha okraj pyramídy je jej výška, potom hovoríme o tomto type pyramíd.

Plochy pyramídy kolmé na základňu sú pravouhlé trojuholníky.

Ak je základňou pyramídy trojuholník

Bočný povrch takejto pyramídy sa všeobecne hľadá ako súčet plôch všetkých bočných stien.

Základňa pyramídy je ortogonálna projekcia tvár, ktorá nie je kolmá na základňu (v tomto prípade SBC). Takže podľa vety o ortogonálnej projekčnej ploche sa základná plocha rovná súčinu plochy tejto plochy kosínusom uhla medzi ňou a základnou rovinou.

Ak je základňou pyramídy pravouhlý trojuholník

V tomto prípade všetky strany pyramídy sú pravouhlé trojuholníky.

Trojuholníky SAB a SAC sú pravouhlé, pretože SA je výška pyramídy. Trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník.

To, že trojuholník SBC je pravouhlý vyplýva z vety o troch odvesniciach (AB je priemet šikmej SB do roviny podstavy. Keďže AB je podľa podmienky kolmá na BC, tak aj SB je kolmá na BC. ).

Uhol medzi bočnou stranou SBC a základňou je v tomto prípade uhol ABS.

Bočný povrch sa rovná súčtu plôch pravouhlých trojuholníkov:

Keďže v tomto prípade

Ak je základňou pyramídy rovnoramenný trojuholník

V tomto prípade je uhol medzi rovinou bočnej plochy BCS a rovinou základne uhol AFS, kde AF je nadmorská výška, medián a stred rovnoramenného trojuholníka ABC.

Podobne - ak na základni pyramídy leží rovnostranný trojuholník ABC.

Ak je základňou pyramídy rovnobežník

V tomto prípade je základňa pyramídy ortogonálnym priemetom bočných plôch, ktoré nie sú kolmé na základňu.