DEFINÍCIA

Difrakčná mriežka- Toto je najjednoduchšie spektrálne zariadenie pozostávajúce zo systému štrbín (priehľadných pre svetlé oblasti) a nepriehľadných medzier, ktoré sú porovnateľné s vlnovou dĺžkou.

Jednorozmerná difrakčná mriežka pozostáva z rovnobežných štrbín rovnakej šírky, ktoré ležia v rovnakej rovine a sú oddelené medzerami rovnakej šírky, ktoré sú nepriepustné pre svetlo. Za najlepšie sa považujú reflexné difrakčné mriežky. Pozostávajú z kombinácie plôch, ktoré odrážajú svetlo a plôch, ktoré svetlo rozptyľujú. Tieto mriežky sú leštené kovové platne, na ktorých sú rezačkou nanesené svetlo rozptyľujúce ťahy.

Difrakčný obrazec mriežky je výsledkom vzájomnej interferencie vĺn vychádzajúcich zo všetkých štrbín. Pomocou difrakčnej mriežky sa realizuje viaccestná interferencia koherentných svetelných lúčov, ktoré prešli difrakciou a ktoré vychádzajú zo všetkých štrbín.

Charakteristickým znakom difrakčnej mriežky je jej perióda. Perióda difrakčnej mriežky (d) (jej konštanta) sa nazýva hodnota rovnajúca sa:

kde a je šírka štrbiny; b je šírka nepriehľadnej oblasti.

Difrakcia jednorozmernou difrakčnou mriežkou

Predpokladajme, že svetelná vlna s dĺžkou dopadá kolmo na rovinu difrakčnej mriežky. Pretože mriežkové štrbiny sú umiestnené v rovnakých vzdialenostiach od seba, rozdiely v dráhe () prichádzajúce z dvoch susedných štrbín pre smer budú rovnaké pre celú uvažovanú difrakčnú mriežku:

Hlavné minimá intenzity sa pozorujú v smeroch určených podmienkami:

Okrem hlavných miním sa v dôsledku vzájomného rušenia svetelných lúčov, ktoré vychádzajú z dvoch štrbín, lúče v niektorých smeroch navzájom rušia. V dôsledku toho sa objavia ďalšie minimá intenzity. Objavujú sa v tých smeroch, kde je rozdiel v dráhe lúčov nepárne číslo polovičná vlna Podmienkou pre dodatočné minimá je vzorec:

kde N je počet štrbín difrakčnej mriežky; - celočíselné hodnoty okrem 0. V prípade, že mriežka má N slotov, potom medzi dvoma hlavnými maximami je dodatočné minimum, ktoré oddeľuje sekundárne maximá.

Hlavná maximálna podmienka pre difrakčnú mriežku je:

Hodnota sínusu nemôže byť väčšia ako jedna, potom počet hlavných maxím:

Príklady riešenia problémov na tému "Difrakčná mriežka"

PRÍKLAD 1

Cvičenie	Monochromatický lúč svetla s vlnovou dĺžkou dopadá na difrakčnú mriežku kolmo na jej povrch. Difrakčný obrazec sa premieta na plochú obrazovku pomocou šošovky. Vzdialenosť medzi dvomi maximami intenzity prvého rádu je l. Aká je konštanta difrakčnej mriežky, ak je šošovka umiestnená v tesnej blízkosti mriežky a vzdialenosť od nej k obrazovke je L. Uvažujme, že
Riešenie	Ako základ pre riešenie problému používame vzorec, ktorý dáva do vzťahu konštantu difrakčnej mriežky, vlnovú dĺžku svetla a uhol vychýlenia lúčov, ktorý zodpovedá maximálnemu difrakčnému číslu m: Podľa stavu problému Keďže uhol vychýlenia lúčov možno považovať za malý (), predpokladáme, že: Z obr. 1 vyplýva, že: Výraz (1.3) dosadíme do vzorca (1.1) a berieme do úvahy, že dostaneme: Z (1.4) vyjadríme obdobie mriežky:
Odpoveď

PRÍKLAD 2

Cvičenie	Pomocou podmienok z príkladu 1 a výsledku riešenia nájdite počet maxím, ktoré poskytne daná mriežka.
Riešenie	Aby sme určili maximálny uhol vychýlenia svetelných lúčov v našom probléme, nájdeme počet maxím, ktoré môže poskytnúť naša difrakčná mriežka. Na to použijeme vzorec: kde predpokladáme, že pre . Potom dostaneme:

Doteraz sme zvažovali sférická vlnová difrakcia, štúdium difrakčného vzoru v pozorovacom bode, ktorý leží v konečnej vzdialenosti od prekážky ( Fresnelova difrakcia ).

Typ difrakcie, pri ktorej sa vytvára difrakčný obrazec paralelné lúče, sa volá Fraunhoferova difrakcia . Ak sú zdroj a obrazovka v nekonečne, objavia sa paralelné lúče. V praxi sa používajú dve šošovky: v ohnisku jednej - zdroj svetla a v ohnisku druhej - obrazovka.

 

Hoci sa Fraunhoferova difrakcia zásadne nelíši od Fresnelovej difrakcie, tento prípad je prakticky dôležitý, pretože práve tento typ difrakcie sa používa v mnohých difrakčných zariadeniach (napríklad difrakčná mriežka). Okrem toho je tu matematický výpočet jednoduchší a umožňuje nám vyriešiť kvantitatívny problém až do konca (kvalitatívne sme zvážili Fresnelovu difrakciu).

Difrakcia svetla jednou štrbinou

Nech je v súvislom sito štrbina: šírka štrbiny, dĺžka štrbiny (kolmo na rovinu listu) (obr. 9.5). Na štrbinu dopadajú paralelné lúče svetla. Pre zjednodušenie výpočtu predpokladáme, že v rovine štrbiny AB amplitúdy a fázy dopadajúcich vĺn sú rovnaké.

Rozdeľme štrbinu na Fresnelove zóny tak, aby rozdiel optickej dráhy medzi lúčmi prichádzajúcimi zo susedných zón bol rovný .

Ak sa párny počet takýchto zón zmestí do šírky štrbiny, potom v bode ( bočné zameranie šošovky) bude minimálna intenzita, a ak nepárny počet zón, potom maximálna intenzita:

Obrázok bude symetrický hlavne zameranie body . Znamienko plus a mínus zodpovedá uhlom meraným v jednom alebo druhom smere.

Ľahká intenzita. Ako je možné vidieť na obr. 9,5, centrálne maximum intenzitou prevyšuje všetky ostatné.

Uvažujme o vplyve šírky štrbiny.

Pretože minimálna podmienka má tvar , teda

.

(9.4.3)

Z tohto vzorca je zrejmé, že so zväčšujúcou sa šírkou štrbiny b polohy miním sa posúvajú smerom k stredu, stredové maximum sa stáva ostrejším.

So znížením šírky medzery b celý obraz sa roztiahne, rozostrí, roztiahne sa aj stredový pás, ktorý zachytí čoraz väčšiu časť obrazovky a jeho intenzita klesá.

Difrakcia svetla na difrakčnej mriežke

Jednorozmerná difrakčná mriežka je systém veľkého počtu Nštrbiny rovnakej šírky a navzájom rovnobežné v obrazovke, oddelené tiež nepriehľadnými medzerami rovnakej šírky (obr. 9.6).

Difrakčný obrazec na mriežke je definovaný ako výsledok vzájomnej interferencie vĺn vychádzajúcich zo všetkých štrbín, t.j. v strúhanie uskutočnené viaccestné rušenie koherentné difraktované lúče svetla vychádzajúce zo všetkých štrbín.

Označiť: b – šírka štrbiny mriežky; a - vzdialenosť medzi štrbinami; – mriežková konštanta.

Šošovka zhromažďuje všetky lúče, ktoré na ňu dopadajú pod rovnakým uhlom a nezavádza žiadny ďalší rozdiel v dráhe.

Ryža. 9.6	Ryža. 9.7

Nechajte lúč 1 dopadať na šošovku pod uhlom φ ( difrakčný uhol ). svetelná vlna, idúce pod týmto uhlom od štrbiny, vytvára v bode maximálnu intenzitu. Druhý lúč prichádzajúci zo susednej štrbiny pod rovnakým uhlom φ príde do rovnakého bodu. Oba tieto lúče prídu vo fáze a budú sa navzájom zosilňovať, ak je rozdiel optickej dráhy rovný mλ:

Podmienka maximálne pre difrakčnú mriežku bude vyzerať takto:

,

(9.4.4)

kde m= ± 1, ± 2, ± 3, … .

Maximá zodpovedajúce tejto podmienke sa nazývajú hlavné maximá . Hodnota množstva m zodpovedajúce jednému alebo druhému maximu sa nazýva rádu difrakčného maxima.

Na mieste F 0 bude vždy dodržaná nulový alebo centrálny difrakčný pík .

Keďže svetlo dopadajúce na tienidlo prechádza len cez štrbiny v difrakčnej mriežke, podmienka minimálne pre medzeru a bude stave hlavné difrakčné minimum pre mriežku:

.

(9.4.5)

Samozrejme, kedy veľké číslaštrbiny, v bodoch obrazovky zodpovedajúcich hlavným difrakčným minimám bude svetlo padať z niektorých štrbín a tam sa vytvorí vedľajšie účinky difrakčné maximá a minimá(obr. 9.7). Ich intenzita je však v porovnaní s hlavnými maximami nízka (≈ 1/22).

Za podmienky ,

vlny vysielané každou štrbinou budú rušené a objavia sa dodatočné minimá .

Počet štrbín určuje svetelný tok cez mriežku. Čím je ich viac, tým viac energie vlna cez ňu prenesie. Okrem toho ďalšie číslo sloty, tým viac dodatočných miním sa zmestí medzi susedné maximá. V dôsledku toho budú výšky užšie a intenzívnejšie (obrázok 9.8).

Z (9.4.3) je vidieť, že difrakčný uhol je úmerný vlnovej dĺžke λ. To znamená, že difrakčná mriežka rozkladá biele svetlo na zložky a odmieta svetlo s dlhšou vlnovou dĺžkou (červená) pod väčším uhlom (na rozdiel od hranola, kde sa všetko deje naopak).

Táto vlastnosť difrakčných mriežok sa využíva na stanovenie spektrálneho zloženia svetla (difrakčné spektrografy, spektroskopy, spektrometre).

Jedným zo známych efektov, ktoré potvrdzujú vlnovú povahu svetla, sú difrakcia a interferencia. Hlavná oblasť ich aplikáciami sú spektroskopia, v ktorej sa difrakčné mriežky používajú na analýzu spektrálneho zloženia elektromagnetického žiarenia. Vzorec, ktorý popisuje polohu hlavných maxím daných touto mriežkou, je diskutovaný v tomto článku.

Aké sú javy difrakcie a interferencie?

Pred uvažovaním o odvodení vzorca pre difrakčnú mriežku by sme sa mali oboznámiť s javmi, vďaka ktorým je táto mriežka užitočná, teda s difrakciou a interferenciou.

Difrakcia je proces zmeny pohybu čela vlny, keď na svojej ceste narazí na nepriehľadnú prekážku, ktorej rozmery sú porovnateľné s vlnovou dĺžkou. Napríklad, ak prejdete cez malý otvor slnečné svetlo, potom na stene možno pozorovať nie malý svetelný bod (čo by sa malo stať, ak by sa svetlo šírilo priamočiaro), ale svetelný bod nejakej veľkosti. Tento fakt svedčí o vlnovej povahe svetla.

Rušenie je ďalším fenoménom, ktorý je typický len pre vlny. Jeho podstata spočíva v nanášaní vĺn na seba. Ak sú priebehy z viacerých zdrojov zhodné (koherentné), potom možno pozorovať stabilný vzor striedania svetlých a tmavých oblastí na obrazovke. Minimá na takomto obrázku sú vysvetlené príchodom vĺn daný bod v antifáze (pi a -pi) a maximá sú výsledkom vĺn dopadajúcich na uvažovaný bod v jednej fáze (pi a pi).

Oba opísané javy prvýkrát vysvetlil Angličan, keď v roku 1801 skúmal difrakciu monochromatického svetla dvoma tenkými štrbinami.

Huygensov-Fresnelov princíp a aproximácie vzdialeného a blízkeho poľa

Matematický popis javov difrakcie a interferencie je netriviálna úloha. Nájdenie jeho presného riešenia si vyžaduje zložité výpočty zahŕňajúce Maxwellovu teóriu elektromagnetické vlny. Napriek tomu v 20. rokoch 20. storočia Francúz Augustin Fresnel ukázal, že pomocou Huygensových predstáv o sekundárnych zdrojoch vĺn možno tieto javy úspešne opísať. Táto myšlienka viedla k formulácii Huygensovho-Fresnelovho princípu, ktorý je v súčasnosti základom odvodzovania všetkých vzorcov pre difrakciu prekážkami ľubovoľného tvaru.

Napriek tomu aj s pomocou Huygensovho-Fresnelovho princípu vyriešiť problém difrakcie v všeobecný pohľad neuspeje, preto sa pri získavaní vzorcov uchyľuje k niektorým aproximáciám. Hlavná je plochá vlna. Práve tento tvar vlny musí dopadnúť na prekážku, aby bolo možné zjednodušiť množstvo matematických výpočtov.

Ďalšou aproximáciou je poloha obrazovky, kde sa difrakčný obrazec premieta vzhľadom na prekážku. Táto poloha je opísaná Fresnelovým číslom. Počíta sa to takto:

Kde a sú geometrické rozmery prekážky (napríklad štrbina alebo kruhový otvor), λ je vlnová dĺžka, D je vzdialenosť medzi clonou a prekážkou. Ak pre konkrétny experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, potom sa uskutoční aproximácia blízkeho poľa alebo Fresnelova difrakcia.

Rozdiel medzi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakciou spočíva v rozdielnych podmienkach pre jav interferencie v malých a veľkých vzdialenostiach od prekážky.

Odvodenie vzorca pre hlavné maximá difrakčnej mriežky, ktoré bude uvedené neskôr v článku, zahŕňa úvahy o Fraunhoferovej difrakcii.

Difrakčná mriežka a jej typy

Táto mriežka je doska zo skla alebo priehľadného plastu s veľkosťou niekoľkých centimetrov, na ktorej sú nanesené nepriehľadné ťahy rovnakej hrúbky. Ťahy sú umiestnené v konštantnej vzdialenosti d od seba. Táto vzdialenosť sa nazýva mriežková perióda. Dve ďalšie dôležité charakteristiky zariadenia sú mriežková konštanta a a počet priehľadných štrbín N. Hodnota a určuje počet štrbín na 1 mm dĺžky, takže je nepriamo úmerná perióde d.

Existujú dva typy difrakčných mriežok:

• Transparentné, ako je popísané vyššie. Difrakčný obrazec takejto mriežky je výsledkom prechodu čela vlny cez ňu.
• Reflexné. Vyrába sa nanášaním malých drážok na hladký povrch. Difrakcia a interferencia z takejto dosky vznikajú v dôsledku odrazu svetla od vrchov každej drážky.

Bez ohľadu na typ mriežky, myšlienkou jej účinku na čelo vlny je vytvoriť v nej periodickú poruchu. To vedie k vytvoreniu veľkého počtu koherentných zdrojov, ktorých výsledkom interferencie je difrakčný obrazec na obrazovke.

Základný vzorec difrakčnej mriežky

Odvodenie tohto vzorca zahŕňa zváženie závislosti intenzity žiarenia od uhla jeho dopadu na obrazovku. Pri aproximácii vzdialeného poľa sa získa nasledujúci vzorec pre intenzitu I(θ):

I(θ) = I 0 *(sin(β)/β) 2 * 2, kde

a = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));

β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).

Vo vzorci je šírka štrbiny difrakčnej mriežky označená symbolom a. Za difrakciu jednou štrbinou je teda zodpovedný faktor v zátvorkách. Hodnota d je perióda difrakčnej mriežky. Vzorec ukazuje, že faktor v hranatých zátvorkách, kde sa toto obdobie objavuje, opisuje interferenciu zo sady štrbín mriežky.

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete vypočítať hodnotu intenzity pre akýkoľvek uhol dopadu svetla.

Ak nájdeme hodnotu maxima intenzity I(θ), potom môžeme konštatovať, že sa objavujú za podmienky, že α = m*pi, kde m je ľubovoľné celé číslo. Pre maximálnu podmienku dostaneme:

m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) - sin(θ 0)) =>

sin (θ m) - sin (θ 0) \u003d m * λ / d.

Výsledný výraz sa nazýva vzorec pre maximá difrakčnej mriežky. Čísla m sú rádom difrakcie.

Iné spôsoby, ako napísať základný vzorec pre mriežku

Všimnite si, že vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku obsahuje výraz sin(θ 0). Tu uhol 90 odráža smer dopadu čela svetelnej vlny vzhľadom na rovinu mriežky. Keď čelo padá rovnobežne s touto rovinou, potom θ 0 = 0 o . Potom dostaneme výraz pre maximá:

Keďže mriežková konštanta a (nezamieňať so šírkou štrbiny) je nepriamo úmerná hodnote d, vyššie uvedený vzorec možno prepísať z hľadiska difrakčnej mriežkovej konštanty ako:

Aby ste sa vyhli chybám pri dosadzovaní konkrétnych čísel λ, a a d do týchto vzorcov, mali by ste vždy používať príslušné jednotky SI.

Koncept uhlového rozptylu mriežky

Túto hodnotu budeme označovať písmenom D. Podľa matematickej definície sa zapisuje takto:

Fyzikálny význam uhlovej disperzie D je taký, že ukazuje, o aký uhol dθ m sa posunie maximum pre difrakčný rád m, ak sa dopadajúca vlnová dĺžka zmení o dλ.

Ak použijeme tento výraz na mriežkovú rovnicu, dostaneme vzorec:

Disperzia uhlovej difrakčnej mriežky je určená vyššie uvedeným vzorcom. Je vidieť, že hodnota D závisí od rádu m a periódy d.

Čím väčšia je disperzia D, tým vyššie je rozlíšenie danej mriežky.

Rozlíšenie mriežky

Rozlíšenie je chápané ako fyzikálna veličina, ktorá ukazuje, o akú minimálnu hodnotu sa môžu dve vlnové dĺžky líšiť tak, aby sa ich maximá objavili v difrakčnom obrazci oddelene.

Rozlíšenie je určené Rayleighovým kritériom. Hovorí: dve maximá môžu byť oddelené v difrakčnom obrazci, ak je vzdialenosť medzi nimi väčšia ako polovičná šírka každého z nich. Uhlová polovičná šírka maxima pre mriežku je určená vzorcom:

Aθ 1/2 = A/(N*d*cos(0m)).

Rozlíšenie mriežky podľa Rayleighovho kritéria je:

Δθm >Δθ 1/2 alebo D*Δλ>Δθ 1/2.

Nahradením hodnôt D a Δθ 1/2 dostaneme:

Δλ*m/(d*cos(θm))>λ/(N*d*cos(θm) =>

Aλ > A/(m*N).

Toto je vzorec pre rozlíšenie difrakčnej mriežky. Čím väčší je počet ťahov N na platni a čím vyšší je rád difrakcie, tým väčšie je rozlíšenie pre danú vlnovú dĺžku λ.

Difrakčná mriežka v spektroskopii

Napíšme ešte raz základnú rovnicu maxima pre mriežku:

Tu je vidieť, že čím viac vlnová dĺžka dopadá na dosku ťahmi, tým väčšie hodnoty uhlov sa objavia na maximách obrazovky. Inými slovami, ak cez platňu prechádza nemonochromatické svetlo (napríklad biele), potom je na obrazovke vidieť vzhľad maximálnych farieb. Počnúc od centrálneho bieleho maxima (difrakcia nultého rádu), potom sa objavia maximá pre kratšie vlny (fialová, modrá) a potom pre dlhšie (oranžová, červená).

Ďalším dôležitým záverom z tohto vzorca je závislosť uhla θ m od rádu difrakcie. Čím väčšie m, tým väčšia hodnota θ m . To znamená, že farebné čiary budú od seba viac oddelené v maximách pre vysoký rád difrakcie. Táto skutočnosť bola posvätená už pri rozhodovaní o mriežkovom uznesení (pozri predchádzajúci odsek).

Opísané schopnosti difrakčnej mriežky umožňujú jej využitie na analýzu emisných spektier rôznych svietiacich objektov, vrátane vzdialených hviezd a galaxií.

Príklad riešenia problému

Ukážme si, ako použiť vzorec difrakčnej mriežky. Vlnová dĺžka svetla, ktoré dopadá na mriežku, je 550 nm. Je potrebné určiť uhol, v ktorom sa objaví difrakcia prvého rádu, ak je perióda d 4 µm.

Preveďte všetky údaje na jednotky SI a dosaďte do tejto rovnosti:

θ 1 \u003d arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) \u003d 7,9 o.

Ak je clona vo vzdialenosti 1 meter od mriežky, potom sa od stredu centrálneho maxima objaví čiara prvého rádu difrakcie pre vlnu 550 nm vo vzdialenosti 13,8 cm, čo zodpovedá uhol 7,9°.

DEFINÍCIA

Difrakčná mriežka je najjednoduchší spektrálny prístroj. Obsahuje systém štrbín, ktoré oddeľujú nepriehľadné priestory.

Difrakčné mriežky sa delia na jednorozmerné a viacrozmerné. Jednorozmerná difrakčná mriežka pozostáva z paralelných, svetlo priepustných častí rovnakej šírky, ktoré sú umiestnené v rovnakej rovine. Priehľadné plochy oddeľujú nepriehľadné medzery. Pomocou týchto mriežok sa pozorovania vykonávajú v prechádzajúcom svetle.

Sú tam reflexné difrakčné mriežky. Takouto mriežkou je napríklad leštená (zrkadlová) kovová platňa, na ktorú sa nanášajú ťahy frézou. Výsledkom sú oblasti, ktoré odrážajú svetlo a oblasti, ktoré svetlo rozptyľujú. Pozorovanie s takouto mriežkou sa vykonáva v odrazenom svetle.

Difrakčný obrazec mriežky je výsledkom vzájomnej interferencie vĺn, ktoré vychádzajú zo všetkých štrbín. Preto sa pomocou difrakčnej mriežky realizuje viaccestná interferencia koherentných svetelných lúčov, ktoré prešli difrakciou a pochádzajú zo všetkých štrbín.

Obdobie strúhania

Ak označíme šírku štrbiny na mriežkach ako a, šírku nepriehľadnej časti - b, potom súčet týchto dvoch parametrov je perióda mriežky (d):

Perióda difrakčnej mriežky sa niekedy nazýva aj konštanta difrakčnej mriežky. Periódu difrakčnej mriežky možno definovať ako vzdialenosť, na ktorú sa opakujú čiary na mriežke.

Konštantu difrakčnej mriežky možno nájsť, ak je známy počet drážok (N), ktoré má mriežka na 1 mm svojej dĺžky:

Obdobie difrakčnej mriežky je zahrnuté vo vzorcoch, ktoré opisujú difrakčný obrazec na nej. Ak teda monochromatická vlna dopadá na jednorozmernú difrakčnú mriežku kolmú na jej rovinu, potom sa hlavné minimá intenzity pozorujú v smeroch určených podmienkou:

kde je uhol medzi normálou k mriežke a smerom šírenia difraktovaných lúčov.

Okrem hlavných miním sa v dôsledku vzájomného rušenia svetelných lúčov vysielaných dvojicou štrbín v niektorých smeroch navzájom rušia, čím vznikajú dodatočné minimá intenzity. Vznikajú v smeroch, kde rozdiel v dráhe lúčov je nepárny počet polvln. Dodatočná minimálna podmienka je napísaná takto:

kde N je počet štrbín difrakčnej mriežky; nadobudne akúkoľvek celočíselnú hodnotu okrem 0. Ak má mriežka N slotov, potom medzi dvoma hlavnými maximami je dodatočné minimum, ktoré oddeľuje sekundárne maximá.

Podmienkou pre hlavné maximá pre difrakčnú mriežku je výraz:

Hodnota sínusu nemôže presiahnuť jednu, preto počet hlavných maxím (m):

Príklady riešenia problémov

PRÍKLAD 1

Cvičenie	Lúč svetla prechádza cez difrakčnú mriežku s vlnovou dĺžkou . Vo vzdialenosti L od mriežky je umiestnená clona, ​​na ktorej je pomocou šošovky vytvorený difrakčný obrazec. Získa sa, že prvé difrakčné maximum sa nachádza vo vzdialenosti x od centrálneho (obr. 1). Aká je doba mriežky (d)?
Riešenie	Urobme si kresbu. Riešenie úlohy je založené na podmienke pre hlavné maximá difrakčného obrazca: Podľa stavu problému hovoríme o prvom hlavnom maxime, teda . Z obr. 1 dostaneme, že: Z výrazov (1.2) a (1.1) máme: Vyjadríme požadovanú periódu mriežky, dostaneme:
Odpoveď

Pri kolmom (normálnom) dopade paralelného lúča monochromatického svetla na difrakčnú mriežku na obrazovke v ohniskovej rovine zbiehajúcej šošovky, umiestnenej rovnobežne s difrakčnou mriežkou, vzniká nehomogénny vzor rozloženia osvetlenia rôznych častí obrazovky ( difrakčný obrazec).

Hlavné maximá tohto difrakčného obrazca spĺňajú nasledujúce podmienky:

kde n je rádom hlavného difrakčného maxima, d - konštantný (bodka) strúhanie, λ je vlnová dĺžka monochromatického svetla,φ n- uhol medzi normálou k difrakčnej mriežke a smerom k hlavnému difrakčnému maximu n th objednať.

Konštanta (perióda) difrakčnej mriežky s dĺžkou l

kde N - počet štrbín (ťahov) na sekciu difrakčnej mriežky s dĺžkou I.

Spolu s vlnovou dĺžkoučasto používaná frekvencia v vlny.

Pre elektromagnetické vlny (svetlo) vo vákuu

kde c \u003d 3 * 10 8 m / s - rýchlosťšírenie svetla vo vákuu.

Vyberme zo vzorca (1) najťažšie matematicky určené vzorce pre poradie hlavných difrakčných maxím:

kde označuje celú časť čísla d*sin(φ/λ).

Nedostatočne určené analógy vzorcov (4, a,b) bez symbolu [...] v správnych častiach obsahujú potenciálne nebezpečenstvo nahradenia fyzicky založenej alokačnej operácie celá časť čísla operáciou zaokrúhľovacie číslo d*sin(φ/λ) na celočíselnú hodnotu podľa formálnych matematických pravidiel.

Podvedomá tendencia (falošná stopa) nahradiť operáciu extrakcie celej časti čísla d*sin(φ/λ) operácia zaokrúhľovania

toto číslo na celočíselné hodnoty je podľa matematických pravidiel ešte vylepšené testovacie úlohy typ B určiť poradie hlavných difrakčných maxím.

V akýchkoľvek testovacích úlohách typu B sú požadované číselné hodnoty fyzikálnych veličín dohodouzaokrúhlené na celé číslo. V matematickej literatúre však neexistujú jednotné pravidlá (pravidlá) na zaokrúhľovanie čísel.

V referenčnej knihe V. A. Guseva, A. G. Mordkoviča o matematike pre študentov a bieloruštine študijná príručka L. A. Latotina, V. Ya. Chebotarevsky v matematike pre IV. ročník, sú uvedené v podstate dve rovnaké pravidlá pre zaokrúhľovanie čísel. Sú formulované takto: „Pri zaokrúhľovaní desatinný zlomok až po niektorú číslicu sú všetky číslice nasledujúce po tejto číslici nahradené nulami, a ak sú za desatinnou čiarkou, potom sa vyradia. Ak je prvá číslica za touto číslicou väčšia alebo rovná päť, posledná zostávajúca číslica sa zvýši o 1. Ak je prvá číslica za touto číslicou menšia ako 5, posledná zostávajúca číslica sa nezmení.

V referenčnej knihe M. Ya. Vygodského o elementárnej matematike, ktorá prešla dvadsiatimi siedmimi (!) vydaniami, sa píše (s. 74): „Pravidlo 3. Ak je číslo 5 vyradené a nie sú tam žiadne významné čísla za ním, potom sa zaokrúhľuje na najbližšie párne číslo, t. j. posledná uložená číslica zostáva nezmenená, ak je párna, a zosilňuje (zvyšuje sa o 1), ak je nepárna.“

Vzhľadom na existenciu rôznych pravidiel zaokrúhľovania čísel by pravidlá zaokrúhľovania mali byť desatinné čísla výslovne formulovať v „Pokynoch pre študentov“ priložených k úlohám centralizovaného testovania z fyziky. Tento návrh nadobúda ďalší význam, pretože nielen občania Bieloruska a Ruska, ale aj iné krajiny vstupujú na bieloruské univerzity a podstupujú povinné testovanie a nie je známe, aké pravidlá zaokrúhľovania používali pri štúdiu vo svojich krajinách.

Vo všetkých prípadoch budú desatinné čísla zaokrúhlené podľa pravidlá, uvedené v , .

Po vynútenej odbočke sa vráťme k diskusii o uvažovaných fyzických problémoch.

Berúc do úvahy nulu ( n= 0) hlavné maximum a symetrické usporiadanie zostávajúcich hlavných maxím vzhľadom k nemu Celkom pozorované hlavné maximá z difrakčnej mriežky sa vypočítajú podľa vzorcov:

Ak je vzdialenosť od difrakčnej mriežky k obrazovke, na ktorej je difrakčný obrazec pozorovaný, označená H, potom súradnica hlavného difrakčného maxima n rádu pri počítaní od nulového maxima sa rovná

Ak potom (radián) a

Problémy na zvažovanú tému sa často ponúkajú na testoch z fyziky.

Začnime prehľad recenziou ruských testov používaných bieloruskými univerzitami na počiatočná fáza keď testovanie v Bielorusku bolo nepovinné a vykonávali ho jednotlivci vzdelávacie inštitúcie na vlastnú zodpovednosť ako alternatívu k bežnej individuálnej písomnej-ústnej forme prijímacích skúšok.

Test č. 7

A32. Najvyšší rád spektra, ktorý možno pozorovať pri difrakcii svetla s vlnovou dĺžkou λ na difrakčnej mriežke s bodkou d = 3,5 A rovná sa

1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) 8; 5) 3.

Riešenie

Jednofarebnéžiadne svetlo spektrá neprichádza do úvahy. V stave problému by sme mali hovoriť o hlavnom difrakčnom maxime najvyššieho rádu pre kolmý dopad monochromatického svetla na difrakčnú mriežku.

Podľa vzorca (4, b)

Z neurčeného stavu

na množine celých čísel, po zaokrúhlení dostanemen max=4.

Len kvôli nesúladu celočíselnej časti čísla d/λ s hodnotou zaokrúhleného celého čísla je správne riešenie ( n max=3) sa líši od nesprávneho (nmax=4) na testovacej úrovni.

Úžasná miniatúra, napriek chybám v znení, s falošnou stopou jemne upravenou pre všetky tri verzie zaokrúhľovania čísel!

A18. Ak je difrakčná mriežka konštantná d= 2 μm, potom pre biele svetlo normálne dopadajúce na mriežku je 400 nm<λ < 700 нм наибольший полностью наблюдаемый порядок спектра равен

1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.

Riešenie

To je zrejmé n cn \u003d min (n 1 max., n 2 max)

Podľa vzorca (4, b)

Zaokrúhľovanie čísel d/λ k celočíselným hodnotám podľa pravidiel - dostaneme:

Vzhľadom k tomu, že celá časť čísla d/A2 sa líši od svojej zaokrúhlenej celočíselnej hodnoty, táto úloha vám umožňuje objektívne identifikovať správne riešenie(n cn = 2) z nesprávneho ( n cn = 3). Veľký problém s jednou falošnou stopou!

Test CT 2002 č. 3

O 5. Nájdite najvyššie poradie spektra pre žltú čiaru Na (λ = 589 nm), ak konštanta difrakčnej mriežky je d = 2 um.

Riešenie

Úloha je vedecky nesprávne formulovaná. Najprv pri osvetlení difrakčnej mriežkymonochromatickésvetlo, ako je uvedené vyššie, nemôže byť reč o spektre (spektrá). V stave problému by sme mali hovoriť o najvyššom ráde hlavného difrakčného maxima.

Po druhé, v podmienkach úlohy by sa malo uviesť, že svetlo dopadá normálne (kolmo) na difrakčnú mriežku, pretože iba tento špeciálny prípad sa zvažuje v kurze fyziky na stredných vzdelávacích inštitúciách. Nie je možné považovať toto obmedzenie za predvolené: v testoch musia byť špecifikované všetky obmedzenia jasne! Testovacie úlohy by mali byť sebestačné, vedecky správne úlohy.

Číslo 3,4 zaokrúhlené na celé číslo podľa pravidiel aritmetiky - tiež dáva 3. presne tak preto by sa táto úloha mala považovať za jednoduchú a vo všeobecnosti neúspešnú, pretože na úrovni testu neumožňuje objektívne rozlíšiť správne riešenie určené celou časťou čísla 3,4 od nesprávneho riešenia zaokrúhlenou celočíselnou hodnotou čísla 3.4. Rozdiel odhalí až podrobný popis priebehu riešenia, ktorý je urobený v tomto článku.

Dodatok 1. Vyriešte vyššie uvedený problém výmenou v jeho stave d = 2 um až d = 1,6 um. odpoveď: nmax = 2.

Test CT 2002 4

O 5. Svetlo z plynovej výbojky smeruje na difrakčnú mriežku. Difrakčné spektrá žiarenia lampy sa získajú na obrazovke. Linka s vlnovou dĺžkou λ 1 = 510 nm v spektre štvrtého rádu sa zhoduje s čiarou vlnovej dĺžky λ2 v spektre tretieho rádu. Čo sa rovná λ2(v [nm])?

Riešenie

V tomto probléme nie je hlavným záujmom riešenie problému, ale formulácia jeho podmienok.

Pri osvetlení difrakčnou mriežkounemonochromatické svetlo( λ1 , λ2) celkom je prirodzené hovoriť (písať) o difrakčných spektrách, ktoré v zásade neexistujú pri osvetlení difrakčnej mriežkymonochromatické svetlo.

Stav úlohy by mal naznačovať, že svetlo z plynovej výbojky dopadá normálne na difrakčnú mriežku.

Okrem toho mal byť zmenený aj filologický štýl tretej vety v zadaní. Redukuje sluchový obrat pomocou vlnovej dĺžky λ "" , mohol by byť nahradený „čiarou zodpovedajúcou žiareniu vlnovej dĺžky λ "" alebo stručnejšie „čiara zodpovedajúca vlnovej dĺžke λ "" .

Testovacie formulácie musia byť vedecky správne a literárne bezchybné. Testy sú formulované úplne inak ako výskumné a olympiádové úlohy! V testoch by malo byť všetko presné, konkrétne, jednoznačné.

Berúc do úvahy vyššie uvedené objasnenie podmienok úlohy, máme:

Keďže podľa podmienky zadania potom

Test CT 2002 č. 5

O 5. Nájdite najvyšší rád difrakčného maxima pre žltú sodíkovú čiaru s vlnovou dĺžkou 5,89·10 -7 m, ak je perióda difrakčnej mriežky 5 µm.

Riešenie

V porovnaní s úlohou O 5 z testu č. 3 TsT 2002 je táto úloha formulovaná presnejšie, avšak v podmienkach úlohy by sa nemalo hovoriť o „difrakčnom maxime“, ale o „ hlavné difrakčné maximum".

Spolu s hlavné difrakčné maximá, tam sú vždy tiež sekundárne difrakčné píky. Bez vysvetľovania tejto nuansy v školskom kurze fyziky je o to viac potrebné prísne dodržiavať zavedenú vedeckú terminológiu a hovoriť iba o hlavných difrakčných maximách.

Okrem toho je potrebné zdôrazniť, že svetlo dopadá normálne na difrakčnú mriežku.

S vyššie uvedenými objasneniami

Z nedefinovaného stavu

podľa pravidiel matematického zaokrúhľovania čísla 8,49 na celočíselné hodnoty opäť dostaneme 8. Preto aj túto úlohu, rovnako ako tú predošlú, treba považovať za neúspešnú.

Doplnok 2. Vyriešte vyššie uvedený problém výmenou v jeho stave d \u003d 5 mikrónov na (1 \u003d A mikrón. Odpoveď:nmax=6.)

Benefit RIKZ 2003 Test č.6

O 5. Ak je druhé difrakčné maximum vo vzdialenosti 5 cm od stredu obrazovky, potom so zväčšením vzdialenosti od difrakčnej mriežky k obrazovke o 20% bude toto difrakčné maximum vo vzdialenosti ... cm .

Riešenie

Podmienka úlohy je formulovaná neuspokojivo: namiesto „difrakčného maxima“ by malo byť „hlavné difrakčné maximum“, namiesto „zo stredu obrazovky“ – „z nulového hlavného difrakčného maxima“.

Ako je zrejmé z uvedeného obrázku,

Odtiaľ

Benefit RIKZ 2003 Test č.7

O 5. Určte najvyšší rád spektra v difrakčnej mriežke s 500 čiarami na 1 mm, keď je osvetlená svetlom s vlnovou dĺžkou 720 nm.

Riešenie

Podmienka úlohy je vedecky formulovaná mimoriadne neúspešne (pozri spresnenia úloh č. 3 a 5 z CT 2002).

Existujú aj sťažnosti na filologický štýl formulácie úlohy. Namiesto výrazu „v difrakčnej mriežke“ sa malo použiť slovné spojenie „z difrakčnej mriežky“ a namiesto „svetlo s vlnovou dĺžkou“ – „svetlo, ktorého vlnová dĺžka“. Vlnová dĺžka nie je zaťažením vlny, ale jej hlavnou charakteristikou.

S výhradou vysvetlení

Podľa všetkých troch vyššie uvedených pravidiel pre zaokrúhľovanie čísel, zaokrúhlenie čísla 2,78 na celé číslo dáva 3.

Posledná skutočnosť, aj so všetkými nedostatkami vo formulácii podmienky úlohy, je zaujímavá, pretože vám umožňuje rozlíšiť tú správnu na úrovni testu (nmax=2) a nesprávne (nmax=3) riešenia.

V CT z roku 2005 je obsiahnutých veľa úloh k danej téme.

V podmienkach všetkých týchto úloh (B1) je potrebné pridať kľúčové slovo „hlavný“ pred slovné spojenie „difrakčné maximum“ (pozri komentár k úlohe B5 CT 2002, Test č. 5).

Bohužiaľ, vo všetkých variantoch testov B1 CT 2005 sú číselné hodnoty d(l,N) a λ zle vybrané a vždy uvádzané v zlomkoch

počet „desatín“ je menší ako 5, čo neumožňuje rozlíšiť operáciu extrakcie celej časti zlomku (správne riešenie) od operácie zaokrúhľovania zlomku na celočíselnú hodnotu (falošná stopa) na testovacej úrovni. Táto okolnosť spochybňuje účelnosť použitia týchto úloh na objektívne preverenie vedomostí uchádzačov o posudzovanej téme.

Zdá sa, že zostavovatelia testov sa nechali, obrazne povedané, uniesť prípravou rôznych „obloh k jedlu“, bez toho, aby premýšľali o zlepšení kvality hlavnej zložky „jedla“ – výberu číselných hodnôt. d(l,N) a λ aby sa zvýšil počet "desatín" v zlomkoch d/ λ=l/(N* λ).

TT 2005 Možnosť 4

V 1. Na difrakčnej mriežke, ktorej periódad1\u003d 1,2 μm, normálne paralelný lúč monochromatického svetla dopadá s vlnovou dĺžkou λ = 500 nm. Ak je nahradená mriežkou, ktorej periódad2\u003d 2,2 μm, potom sa počet maxím zvýši o ... .

Riešenie

Namiesto „svetla s vlnovou dĺžkou λ"" potreba „vlnová dĺžka svetla λ "". Štýl, štýl a ešte viac štýlu!

Pretože

potom, berúc do úvahy skutočnosť, že X je konšt., a d 2 >di,

Podľa vzorca (4, b)

v dôsledku toho ∆Necelkom. max=2(4-2)=4

Pri zaokrúhľovaní čísel 2,4 a 4,4 na celočíselné hodnoty dostaneme aj 2, respektíve 4. Z tohto dôvodu by mala byť táto úloha uznaná ako jednoduchá a dokonca neúspešná.

Doplnok 3. Vyriešte vyššie uvedený problém výmenou v jeho stave λ = 500 nm zapnuté λ = 433 nm (modrá čiara vo vodíkovom spektre).

Odpoveď: ΔN celkom. max=6

TT 2005 Možnosť 6

V 1. Na difrakčnej mriežke s bodkou d= 2 µm dopadajúci normálne paralelný lúč monochromatického svetla s vlnovou dĺžkou λ =750 nm. Počet maxím, ktoré možno pozorovať v rámci uhla a\u003d 60 °, ktorého stred je kolmý na rovinu mriežky, je ... .

Riešenie

Fráza „svetlo s vlnovou dĺžkou λ “ už bola diskutovaná vyššie v TT 2005 Možnosť 4.

Druhá veta v podmienke tejto úlohy by sa dala zjednodušiť a napísať takto: „Počet pozorovaných hlavných maxím v rámci uhla a = 60°“ a ďalej v texte pôvodnej úlohy.

To je zrejmé

Podľa vzorca (4, a)

Podľa vzorca (5, a)

Táto úloha, rovnako ako predchádzajúca, neumožňuje objektívne určiť úroveň pochopenia témy, o ktorej sa diskutuje, žiadateľmi.

Dodatok 4. Dokončite vyššie uvedenú úlohu a vymeňte ju v jej stave λ = 750 nm λ = 589 nm (žltá čiara v spektre sodíka). Odpoveď: Nie o6sh \u003d 3.

TT 2005 Možnosť 7

V 1. na difrakčnej mriežke sN 1- 400 úderov za l\u003d 1 mm na dĺžku dopadá paralelný lúč monochromatického svetla s vlnovou dĺžkou λ = 400 nm. Ak je nahradená mriežkou sN 2= 800 úderov za l\u003d 1 mm na dĺžku, potom sa počet difrakčných maxím zníži o ... .

Riešenie

Diskusiu o nepresnostiach vo formulácii úlohy vynechávame, keďže sú rovnaké ako v predchádzajúcich úlohách.

Zo vzorcov (4, b), (5, b) vyplýva, že