2. etapa. Príprava na hodnotenie. Definícia faktorov, ich váhy, vývoj bodovacej škály faktorov Výber faktorov Najprv sa musíte rozhodnúť, podľa ktorých faktorov sa bude posudzovať. Ich výber závisí od špecifík činnosti firmy a strategických

Centrovaná náhodná premenná zodpovedajúca RVX sa nazýva rozdiel medzi náhodnou premennou X a jeho matematické očakávanie

Náhodná premenná sa nazýva normalizované ak je jej rozptyl 1. Volá sa centrovaná a normalizovaná náhodná premenná štandardné.

Štandardná náhodná premenná Z, zodpovedajúce náhodnej premennej X sa nachádza podľa vzorca:

(1.24)

1.2.5. Ďalšie číselné charakteristiky

Diskrétna SV móda X definovaná ako taká možná hodnota X m, pre ktoré

Módny súvislý SWX zavolal na skutočné číslo M 0 (X), definovaný ako maximálny bod hustoty rozdelenia pravdepodobnosti f(X).

Teda režim SW X je jeho najpravdepodobnejšia hodnota, ak je takáto hodnota jedinečná. Režim nemusí existovať, môže mať jednu hodnotu (unimodálne rozdelenie) alebo mať viacero hodnôt (multimodálne rozdelenie).

Medián súvislého SWX zavolal na skutočné číslo M D (X) spĺňajúce podmienku

Keďže táto rovnica môže mať veľa koreňov, medián je vo všeobecnosti určený nejednoznačne.

Počiatočný momentm- SW ráduX (ak existuje) sa nazýva reálne číslo m, určený vzorcom

(1.27)

Centrálny moment m-tého rádu jzX(ak existuje) sa nazýva číslo m, určený vzorcom

(1.28)

Matematické očakávanie SW X je jeho prvým počiatočným momentom a rozptyl je jeho druhým ústredným momentom.

Spomedzi momentov vyšších rádov majú mimoriadny význam centrálne momenty 3. a 4. rádu.

Koeficient asymetrie ("skosenie") A(X) sa nazýva množstvo

Koeficient špičatosti ("bodkosti") E(X) SWX sa nazýva množstvo

1.3. Niektoré zákony distribúcie diskrétnych náhodných premenných

1.3.1. Geometrické rozdelenie

Diskrétny SW X má geometrické rozdelenie, ak jeho možné hodnoty sú 0, 1, 2, ..., m, … zodpovedajú pravdepodobnostiam vypočítaným podľa vzorca

kde 0< p< 1,q= 1 –p.

V praxi dochádza ku geometrickému rozdeleniu, keď sa vykoná niekoľko nezávislých pokusov dosiahnuť nejaký výsledok. ALE a pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE pri každom pokuse P(A) =P. SW X je počet zbytočných pokusov (až do prvého experimentu, v ktorom sa udalosť objaví ALE), má geometrické rozdelenie s distribučným radom:

a číselné charakteristiky:

(1.30)

1.3.2. Hypergeometrické rozdelenie

Diskrétny SW X s možnými hodnotami 0, 1, …, m, …,M má hypergeometrické rozdelenie s parametrami N,M,n, ak

(1.31)

kde M≤N,m ≤n,n≤N,m,n,N,M- celé čísla.

K hypergeometrickej distribúcii dochádza v prípadoch, ako sú nasledujúce: existuje N predmetov, z toho M mať určitú vlastnosť. Dostupné N predmety sa vyberajú náhodne n predmety.

SW X – počet objektov so zadaným atribútom medzi vybrané je rozdelený podľa hypergeometrického zákona.

Hypergeometrické rozdelenie sa využíva najmä pri riešení problémov súvisiacich s kontrolou kvality produktov.

Matematické očakávanie náhodnej premennej s hypergeometrickým rozložením je:

(1.32)

Vyššie sme sa oboznámili so zákonitosťami rozdelenia náhodných veličín. Každý distribučný zákon vyčerpávajúcim spôsobom popisuje vlastnosti pravdepodobností náhodnej premennej a umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí spojených s náhodnou premennou. V mnohých otázkach praxe to však nie je potrebné úplný popis a často stačí uviesť len jednotlivé číselné parametre, ktoré charakterizujú podstatné znaky rozdelenia. Napríklad priemer, okolo ktorého sú rozptýlené hodnoty náhodnej premennej, je nejaké číslo, ktoré charakterizuje veľkosť tohto rozptylu. Tieto čísla sú určené na vyjadrenie v stručnej forme najvýznamnejších znakov distribúcie a sú tzv číselné charakteristiky náhodnej premennej.

Medzi číselné charakteristiky náhodné premenné, v prvom rade považujú charakteristiky, ktoré fixujú polohu náhodnej premennej na číselnej osi, t.j. nejaká priemerná hodnota náhodnej premennej, okolo ktorej sú zoskupené jej možné hodnoty. Z charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najväčšiu úlohu očakávaná hodnota, čo sa niekedy jednoducho nazýva stredná hodnota náhodnej premennej.

Predpokladajme, že diskrétny SW?, nadobúda hodnoty x ( , x 2,..., x str s pravdepodobnosťami R j, p 2 ,...y Ptv tie. daný distribučným radom

Je možné, že v týchto experimentoch hodnota x x pozorované N( krát, hodnota x 2 - N 2 krát,..., hodnota x n - N n raz. Zároveň + N 2 +... + Nn = N.

Aritmetický priemer výsledkov pozorovania

Ak N veľké, t.j. N-"Och teda

popisujúce distribučné centrum. Takto získanú priemernú hodnotu náhodnej premennej budeme nazývať matematické očakávanie. Uveďme slovnú formuláciu definície.

Definícia 3.8. matematické očakávanie (MO) diskrétne SV% sa nazýva číslo, rovná súčtu súčin všetkých jeho možných hodnôt podľa pravdepodobnosti týchto hodnôt (zápis M;):

Teraz zvážte prípad, keď je počet možných hodnôt diskrétneho CV? spočítateľný, t.j. máme RR

Vzorec pre matematické očakávanie zostáva rovnaký, len v hornej hranici súčtu P sa nahrádza oo, t.j.

V tomto prípade už dostávame rad, ktorý sa môže rozchádzať, t.j. zodpovedajúci životopis ^ nemusí mať matematické očakávanie.

Príklad 3.8. CB?, dané distribučným radom

Nájdime MO tohto SW.

Riešenie. Podľa definície. tie. Mt, neexistuje.

V prípade spočítateľného počtu hodnôt SW teda získame nasledujúcu definíciu.

Definícia 3.9. matematické očakávanie alebo priemerná hodnota, diskrétny SW, ktorý má spočítateľný počet hodnôt, sa nazýva číslo rovné súčtu radu súčinov všetkých jeho možných hodnôt a zodpovedajúcich pravdepodobností za predpokladu, že tento rad absolútne konverguje, t.j.

Ak tento rad podmienečne diverguje alebo konverguje, potom hovoríme, že CV ^ nemá žiadne matematické očakávanie.

Prejdime od diskrétneho k spojitému SW s hustotou p(x).

Definícia 3.10. matematické očakávanie alebo priemerná hodnota, súvislý SW zavolal číslo rovné

za predpokladu, že tento integrál absolútne konverguje.

Ak sa tento integrál podmienečne diverguje alebo konverguje, potom hovoria, že spojitý CB? nemá žiadne matematické očakávanie.

Poznámka 3.8. Ak sú všetky možné hodnoty náhodnej premennej J;

patrí len do intervalu ( a; b) potom

Matematické očakávanie nie je jedinou polohovou charakteristikou používanou v teórii pravdepodobnosti. Niekedy sa používa napríklad režim a medián.

Definícia 3.11. Móda CB ^ (označenie Mot,) jeho najpravdepodobnejšia hodnota sa nazýva, t.j. taký, pre ktorý je pravdepodobnosť pi alebo hustota pravdepodobnosti p(x) dosiahne svoju najvyššiu hodnotu.

Definícia 3.12. medián SV?, (označenie stretol) sa nazýva taká hodnota, pre ktorú P(t> Met) = P(? > stretol) = 1/2.

Geometricky, pre súvislý JZ, je medián úsečkou tohto bodu na osi oh, pre ktoré sú plochy naľavo a napravo od neho rovnaké a rovné 1/2.

Príklad 3.9. SWt,má distribučné číslo

Poďme nájsť matematické očakávanie, režim a medián SW

Riešenie. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Ja(?) neexistuje.

Príklad 3.10. Kontinuálne CB % má hustotu

Nájdite matematické očakávanie, medián a modus.

Riešenie.

p(x) dosiahne maximum, potom Je zrejmé, že aj medián je rovnaký, keďže oblasť vpravo a ľavá strana od čiary cez bod sú rovnaké.

Okrem charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti sa používa aj množstvo číselných charakteristík na rôzne účely. Medzi nimi sú mimoriadne dôležité momenty - počiatočné a centrálne.

Definícia 3.13. Počiatočný moment k-tého rádu SW?, sa nazýva matematické očakávanie k-tý stupeň tejto hodnoty: = M(t > k).

Z definícií matematického očakávania pre diskrétne a spojité náhodné premenné vyplýva, že

Poznámka 3.9. Je zrejmé, že počiatočným momentom 1. rádu je matematické očakávanie.

Pred definovaním centrálneho momentu zavedieme nový koncept centrovanej náhodnej premennej.

Definícia 3.14. Vycentrované CV je odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania, t.j.

Dá sa to ľahko overiť

Centrovanie náhodnej premennej sa samozrejme rovná prenosu počiatku do bodu M;. Momenty centrovanej náhodnej premennej sa nazývajú centrálne body.

Definícia 3.15. Ústredný moment k-tého rádu SW % sa nazýva matematické očakávanie k-tý stupne centrovanej náhodnej premennej:

Z definície matematického očakávania vyplýva, že

Je zrejmé, že pre akúkoľvek náhodnú premennú ^ centrálny moment 1. rádu nula: s x= M(a 0) = 0.

Pre prax je obzvlášť dôležitý druhý ústredný bod od 2. Nazýva sa to disperzia.

Definícia 3.16. disperzia CB?, sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny zodpovedajúcej centrovanej hodnoty (zápis D?)

Na výpočet rozptylu možno priamo z definície získať nasledujúce vzorce:

Transformáciou vzorca (3.4) môžeme získať nasledujúci vzorec pre výpočet D.L.

Charakteristický je rozptyl SW rozptyl, šírenie hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania.

Rozptyl má rozmer druhej mocniny náhodnej premennej, čo nie je vždy vhodné. Preto je pre prehľadnosť ako charakteristika disperzie vhodné použiť číslo, ktorého rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej. Za týmto účelom extrahujte z disperzie Odmocnina. Výsledná hodnota je tzv smerodajná odchýlka náhodná premenná. Označíme ho ako a: a = l / w.

Pre nezáporný CB? sa niekedy používa ako charakteristika variačný koeficient, rovná pomeru štandardnej odchýlky k matematické očakávanie:

Keď poznáte matematické očakávania a štandardnú odchýlku náhodnej premennej, môžete získať približnú predstavu o rozsahu jej možných hodnôt. V mnohých prípadoch môžeme predpokladať, že hodnoty náhodnej premennej % len občas presahujú interval M; ± Pre. Toto pravidlo pre normálne rozdelenie, ktoré zdôvodníme neskôr, sa nazýva pravidlo troch sigma.

Matematické očakávanie a rozptyl sú najčastejšie používané číselné charakteristiky náhodnej premennej. Z definície matematického očakávania a rozptylu vyplývajú niektoré jednoduché a celkom zrejmé vlastnosti týchto numerických charakteristík.

Protozoavlastnosti matematického očakávania a disperzie.

1. Matematické očakávanie nenáhodnej premennej s rovná sa hodnote c: M(s) = s.

Skutočne, od hodnoty s má iba jednu hodnotu s pravdepodobnosťou 1, potom М(с) = s 1 = s.

2. Rozptyl nenáhodnej premennej c sa rovná nule, t.j. D(c) = 0.

naozaj, DC \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Nenáhodný násobiteľ možno vybrať zo znaku očakávania: M(c^) = c M(?,).

Ukážme si platnosť tejto vlastnosti na príklade diskrétneho RV.

Nech RV je dané distribučným radom

Potom

v dôsledku toho

Vlastnosť sa dokazuje podobne pre spojitú náhodnú premennú.

4. Nenáhodný násobiteľ možno vybrať zo znamienka druhej mocniny:

Čím viac momentov náhodnej premennej je známych, tým podrobnejšiu predstavu o distribučnom zákone máme.

V teórii pravdepodobnosti a jej aplikáciách sa používajú ďalšie dve číselné charakteristiky náhodnej premennej na základe centrálnych momentov 3. a 4. rádu, - koeficient asymetrie \u003d m x, a 1,0 \u003d m x

a 0,1 = M = m y, a 0,1 = m y (7)

sú matematické očakávania náhodných premenných X a Y.

Centrálne momenty prvého rádu sú prirodzene rovné nule.

Počiatočné momenty druhého rádu:

Ústredné momenty druhého rádu:

Prvé dva momenty predstavujú rozptyl a tretí je tzv kovariancia(alebo korelačný moment) náhodné premenné (X,Y), označené ako K xy:

Podľa definície kovariancie

K xy = K yx (11)

tie. keď sa indexy vymenia, kovariancia sa nemení.

Za špeciálny prípad kovariancie možno považovať rozptyl náhodných premenných:

tie. rozptyl náhodných premenných nie je nič iné ako „jeho kovariancia so sebou samým“. (Pre nezávislé náhodné premenné je kovariancia 0. Dokážte to sami).

Je vhodné vyjadriť kovarianciu K xy z hľadiska počiatočných momentov nižších rádov:

K xy = a 1,1 -a 1,0 xa 0,1 alebo K xy = M-M[X] x M[Y] (13)

Je užitočné zapamätať si tento vzorec: kovariancia dvoch náhodných premenných sa rovná matematickému očakávaniu ich súčinu mínus súčin ich matematických očakávaní.

Kovariancia charakterizuje nielen mieru závislosti náhodných premenných, ale aj ich rozptyl okolo bodu (m x , m y).

Rozmer kovariancie sa rovná súčinu rozmerov náhodných premenných X a Y. s x s y .

r xy = K xy /s x s y (14)

Hodnota r xy sa nazýva korelačný koeficient náhodné premenné X a Y. Tento koeficient charakterizuje stupeň len lineárne závislosti týchto veličín. Závislosť sa prejavuje tak, že ako jedna náhodná premenná rastie, má tendenciu rásť (alebo klesať) aj druhá. V prvom prípade r xy >0 a hovoríme to náhodné premenné X a Y sú pozitívne korelované, v druhom r xy<0, и корреляция отрицательна.

Pre ľubovoľné náhodné premenné X a Y

Ak sa kovariancia dvoch náhodných premenných rovná nule: K xy = 0, potom sa náhodné premenné X a Y nazývajú nekorelované, ak K xy ¹0, potom koreloval.

Z nezávislosti náhodných premenných vyplýva ich nekorelácia; ale ich nezávislosť ešte nevyplýva z nekorelácie náhodných veličín (r xy =0). Ak r xy = 0, znamená to len žiadne lineárne spojenie medzi náhodnými premennými; môže existovať akýkoľvek iný typ pripojenia.