Un poligon este o parte a unui plan delimitată de o linie întreruptă închisă. Colțurile unui poligon sunt indicate de punctele vârfurilor poliliniei. Vârfurile de colț ale poligonului și vârfurile poligonului sunt puncte congruente.

Definiție. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.

Proprietățile paralelogramului

1. Laturile opuse sunt egale.
Pe fig. unsprezece AB = CD; î.Hr = ANUNȚ.

2. Unghiurile opuse sunt egale (două unghiuri acute și două obtuze).
Pe fig. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Diagonale (segmente de linie care leagă două vârfuri opuse) se intersectează și punctul de intersecție este împărțit la jumătate.

Pe fig. 11 segmente AO = OC; BO = OD.

Definiție. Un trapez este un patrulater în care două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două nu.

Laturile paralele a sunat-o temeiuri, și celelalte două părți laturi.

Tipuri de trapez

1. Trapez, ale căror laturi nu sunt egale,
numit versatil(Fig. 12).

2. Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel(Fig. 13).

3. Se numește un trapez, în care o latură formează un unghi drept cu bazele dreptunghiular(Fig. 14).

Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor trapezului (Fig. 15) se numește linia mediană a trapezului ( MN). Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.

Un trapez poate fi numit triunghi trunchiat (Fig. 17), prin urmare numele trapezelor sunt similare cu numele triunghiurilor (triunghiurile sunt versatile, isoscele, dreptunghiulare).

Aria unui paralelogram și a unui trapez

Regulă. Zona paralelogramului este egal cu produsul laturii sale cu înălțimea trasă pe această latură.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu privire la oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza solicitărilor sau solicitărilor publice din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Prin urmare, vom numi unul dintre ei mare , al doilea - bază mică trapez. Înălţime un trapez poate fi numit orice segment al unei perpendiculare trasate de la vârfuri la latura opusă corespunzătoare (pentru fiecare vârf sunt două laturi opuse), închise între vârful luat și latura opusă. Dar este posibil să se evidențieze un „tip special” de înălțimi.
Definiția 8. Înălțimea bazei unui trapez este segmentul unei linii drepte perpendiculare pe baze, închis între baze.
Teorema 7 . Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.
Dovada. Să fie dat un trapez ABCD și linia de mijloc KM. Desenați o dreaptă prin punctele B și M. Continuăm latura AD prin punctul D până se intersectează cu BM. Triunghiurile BCm și MPD sunt egale în latură și două unghiuri (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - suprapunere, ∠ BMC=∠ DMP - vertical), prin urmare VM=MP sau punctul M este punctul de mijloc al BP. KM este linia mediană a triunghiului ABP. Conform proprietății liniei de mijloc a triunghiului, KM este paralel cu AP și în special AD și este egal cu jumătate din AP:

Teorema 8 . Diagonalele împart trapezul în patru părți, dintre care două, adiacente laturilor, sunt egale.
Permiteți-mi să vă reamintesc că cifrele se numesc egale dacă au aceeași zonă. Triunghiurile ABD și ACD sunt egale: au înălțimi egale (indicate cu galben) și o bază comună. Aceste triunghiuri sunt partea generala AOD. Zona lor poate fi extinsă după cum urmează:

Tipuri de trapez:
Definiția 9. (Figura 1) Un trapez cu unghi ascuțit este un trapez în care unghiurile adiacente bazei mai mari sunt acute.
Definiția 10. (Figura 2) Un trapez obtuz este un trapez în care unul dintre unghiurile adiacente bazei mai mari este obtuz.
Definiția 11. (Figura 4) Un trapez se numește dreptunghiular, în care o latură este perpendiculară pe baze.
Definiția 12. (Figura 3) Isoscel (isoscel, isoscel) este un trapez, în care laturile sunt egale.

Proprietățile unui trapez isoscel:
Teorema 10 . Unghiurile adiacente fiecăreia dintre bazele unui trapez isoscel sunt egale.
Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, egalitatea unghiurilor A și D cu o bază mai mare AD a unui trapez isoscel ABCD. În acest scop, trasăm o dreaptă prin punctul C paralel cu latura laterală AB. Ea va intersecta baza mare în punctul M. Patrulaterul ABCM este un paralelogram, deoarece prin constructie are doua perechi de laturi paralele. Prin urmare, segmentul CM al dreptei secante cuprinse în interiorul trapezului este egal cu latura sa laterală: CM=AB. De aici este clar că CM=CD, triunghiul CMD este isoscel, ∠CMD=∠CDM, și, prin urmare, ∠A=∠D. Unghiurile adiacente bazei mai mici sunt de asemenea egale, deoarece sunt pentru cele găsite interne unilaterale și au o sumă de două linii.
Teorema 11 . Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.
Dovada. Luați în considerare triunghiurile ABD și ACD. Este egal pe două laturi și unghiul dintre ele (AB=CD, AD este comun, unghiurile A și D sunt egale conform teoremei 10). Prin urmare AC=BD.

Teorema 13 . Diagonalele unui trapez isoscel sunt împărțite de punctul de intersecție în segmente egale corespunzător. Luați în considerare triunghiurile ABD și ACD. Este egal pe două laturi și unghiul dintre ele (AB=CD, AD este comun, unghiurile A și D sunt egale conform teoremei 10). Prin urmare, ∠ ОАD=∠ ОDA, prin urmare unghiurile ОВС și OSV sunt egale ca unghiuri suprapuse corespunzător ODA și ОАD. Reamintim teorema: dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale, atunci acesta este isoscel, prin urmare triunghiurile ОВС și ОAD sunt isoscele, ceea ce înseamnă OS=OB și ОА=OD etc.
Un trapez isoscel este o figură simetrică.
Definiția 13. Axa de simetrie a unui trapez isoscel se numește linie dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor sale.
Teorema 14 . Axa de simetrie a unui trapez isoscel este perpendiculară pe bazele sale.
În teorema 9, am demonstrat că dreapta care unește punctele medii ale bazelor unui trapez trece prin punctul de intersecție al diagonalelor. În continuare (Teorema 13) am demonstrat că triunghiurile AOD și BOC sunt isoscele. OM și OK sunt medianele acestor triunghiuri, respectiv, prin definiție. Reamintim proprietatea unui triunghi isoscel: mediana unui triunghi isoscel, coborât la bază, este și înălțimea triunghiului. Datorită perpendicularității bazelor părților dreptei KM, axa de simetrie este perpendiculară pe baze.
Semne care disting un trapez isoscel printre toate trapezele:
Teorema 15 . Dacă unghiurile adiacente uneia dintre bazele unui trapez sunt egale, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 16 . Dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 17 . Dacă laturile laterale ale trapezului, extinse până la intersecție, formează împreună cu baza sa mare un triunghi isoscel, atunci trapezul este isoscel.
Teorema 18 . Dacă un trapez poate fi înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
Semnul unui trapez dreptunghiular:
Teorema 19 . Orice patrulater cu doar două unghiuri drepte la vârfuri adiacente este un trapez dreptunghic (în mod evident, cele două laturi sunt paralele, deoarece cele unilaterale sunt egale. în cazul în care trei unghiuri drepte sunt dreptunghi)
Teorema 20 . Raza unui cerc înscris într-un trapez este egală cu jumătate din înălțimea bazei.
Dovada acestei teoreme este de a explica că razele trasate la baze se află la înălțimea trapezului. Din punctul O - centrul cercului ABCD înscris în acest trapez, trasăm razele până la punctele de contact cu bazele sale ale trapezului. După cum știți, raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente, prin urmare OK ^ BC și OM ^ AD. Amintiți-vă teorema: dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe a doua. Prin urmare, dreapta OK este de asemenea perpendiculară pe AD. Astfel, prin punctul O trec două drepte perpendiculare pe dreapta AD, care nu poate fi, prin urmare aceste drepte coincid și alcătuiesc perpendiculara comună a KM, care este egală cu suma două raze și este diametrul cercului înscris, deci r=KM/2 sau r=h/2.
Teorema 21 . Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea bazelor.

Dovada: Fie ABCD un trapez dat și AB și CD bazele sale. Fie și AH înălțimea coborâtă de la punctul A la linia CD. Atunci S ABCD = S ACD + S ABC .
Dar S ACD = 1/2AH CD și S ABC = 1/2AH AB.
Prin urmare, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

A doua formulă s-a mutat din patrulater.

\[(\Large(\text(Trapez arbitrar)))\]

Definiții

Un trapez este un patrulater convex în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două laturi nu sunt paralele.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc bazele sale, iar celelalte două laturi se numesc laturile sale.

Înălțimea unui trapez este perpendiculara căzută din orice punct al unei baze la o altă bază.

Teoreme: proprietățile unui trapez

1) Suma unghiurilor laterale este \(180^\circ\) .

2) Diagonalele împart trapezul în patru triunghiuri, dintre care două sunt similare, iar celelalte două sunt egale.

Dovada

1) Pentru că \(AD\parallel BC\), atunci unghiurile \(\angle BAD\) și \(\angle ABC\) sunt unilaterale la aceste drepte și secanta \(AB\) , prin urmare, \(\unghi BAD +\unghi ABC=180^\circ\).

2) Pentru că \(AD\parallel BC\) și \(BD\) este o secantă, apoi \(\angle DBC=\angle BDA\) ca fiind situată peste.
De asemenea, \(\angle BOC=\angle AOD\) ca verticală.
Prin urmare, în două colțuri \(\triunghi BOC \sim \triunghi AOD\).

Să demonstrăm asta \(S_(\triunghi AOB)=S_(\triunghi COD)\). Fie \(h\) înălțimea trapezului. Apoi \(S_(\triunghi ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triunghi ACD)\). Apoi: \

Definiție

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor.

Teorema

Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.

Dovada*

1) Să demonstrăm paralelismul.

Desenați o linie \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) prin punctul \(M\) ). Apoi, după teorema Thales (pentru că \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) punctul \(N"\) este punctul de mijloc al segmentului \(CD\)... Prin urmare, punctele \(N\) și \(N"\) vor coincide.

2) Să demonstrăm formula.

Să rulăm \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Lăsa \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Apoi, după teorema lui Thales, \(M"\) și \(N"\) sunt punctele medii ale segmentelor \(BB"\) și respectiv \(CC"\). Deci \(MM"\) este linia de mijloc \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) este linia de mijloc \(\triangle DCC"\) . De aceea: \

pentru că \(MN\paralel AD\paralel BC\)și \(BB", CC"\perp AD\) , apoi \(B"M"N"C"\) și \(BM"N"C\) sunt dreptunghiuri. Prin teorema lui Thales, \(MN\parallel AD\) și \(AM=MB\) implică faptul că \(B"M"=M"B\) . Prin urmare, \(B"M"N"C"\) și \(BM"N"C\) sunt dreptunghiuri egale, deci \(M"N"=B"C"=BC\) .

În acest fel:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: proprietatea unui trapez arbitrar

Punctele medii ale bazelor, punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și punctul de intersecție al prelungirilor laturilor laterale se află pe aceeași linie dreaptă.

Dovada*
Este recomandat să vă familiarizați cu demonstrația după ce ați studiat subiectul „Triunghiuri similare”.

1) Să demonstrăm că punctele \(P\) , \(N\) și \(M\) se află pe aceeași dreaptă.

Desenați o dreaptă \(PN\) (\(P\) este punctul de intersecție al prelungirilor laturilor, \(N\) este punctul mijlociu al lui \(BC\) ). Lasă-l să intersecteze latura \(AD\) în punctul \(M\) . Să demonstrăm că \(M\) este punctul de mijloc al lui \(AD\) .

Luați în considerare \(\triunghi BPN\) și \(\triunghi APM\) . Ele sunt similare în două unghiuri (\(\angle APM\) - comun, \(\angle PAM=\angle PBN\) ca fiind corespunzătoare la \(AD\parallel BC\) și \(AB\) secante). Mijloace: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Luați în considerare \(\triunghi CPN\) și \(\triunghi DPM\) . Ele sunt similare în două unghiuri (\(\angle DPM\) - comun, \(\angle PDM=\angle PCN\) ca fiind corespunzător la \(AD\parallel BC\) și \(CD\) secante). Mijloace: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

De aici \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Dar \(BN=NC\), deci \(AM=DM\) .

2) Să demonstrăm că punctele \(N, O, M\) se află pe o singură dreaptă.

Fie \(N\) punctul de mijloc al lui \(BC\) , \(O\) punctul de intersecție al diagonalelor. Desenați o linie \(NO\) , aceasta va intersecta latura \(AD\) în punctul \(M\) . Să demonstrăm că \(M\) este punctul de mijloc al lui \(AD\) .

\(\triunghi BNO\sim \triunghi DMO\) la două unghiuri (\(\angle OBN=\angle ODM\) ca situat la \(BC\parallel AD\) și \(BD\) secante; \(\angle BON=\angle DOM\) ca vertical). Mijloace: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

În mod similar \(\triunghi CON\sim \triunghi AOM\). Mijloace: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

De aici \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Dar \(BN=CN\) , de aici \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapez isoscel)))\]

Definiții

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept.

Un trapez se numește isoscel dacă laturile sale sunt egale.

Teoreme: proprietăți ale unui trapez isoscel

1) Un trapez isoscel are unghiuri de bază egale.

2) Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.

3) Cele două triunghiuri formate din diagonale și bază sunt isoscele.

Dovada

1) Considerăm un trapez isoscel \(ABCD\) .

De la vârfurile \(B\) și \(C\) aruncăm în lateral \(AD\) perpendicularele \(BM\) și respectiv \(CN\). Deoarece \(BM\perp AD\) și \(CN\perp AD\) , atunci \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , atunci \(MBCN\) este un paralelogram, deci \(BM = CN\) .

Luați în considerare triunghiuri dreptunghiulare \(ABM\) și \(CDN\) . Deoarece au ipotenuze egale și cateta \(BM\) este egală cu cateta \(CN\) , aceste triunghiuri sunt congruente, prin urmare, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

pentru că \(AB=CD, \unghi A=\unghi D, AD\)- general, apoi pe primul semn. Prin urmare, \(AC=BD\) .

3) Pentru că \(\triunghi ABD=\triunghi ACD\), apoi \(\angle BDA=\angle CAD\) . Prin urmare, triunghiul \(\triunghiul AOD\) este isoscel. Se poate dovedi în mod similar că \(\triunghiul BOC\) este isoscel.

Teoreme: semnele unui trapez isoscel

1) Dacă unghiurile de la baza unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel.

2) Dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acesta este isoscel.

Dovada

Se consideră un trapez \(ABCD\) astfel încât \(\angle A = \angle D\) .

Să completăm trapezul până la triunghiul \(AED\) așa cum se arată în figură. Deoarece \(\angle 1 = \angle 2\) , atunci triunghiul \(AED\) este isoscel și \(AE = ED\) . Unghiurile \(1\) și \(3\) sunt egale ca corespunzătoare dreptelor paralele \(AD\) și \(BC\) și secantei \(AB\) . În mod similar, unghiurile \(2\) și \(4\) sunt egale, dar \(\angle 1 = \angle 2\) , atunci \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), prin urmare, triunghiul \(BEC\) este și el isoscel și \(BE = EC\) .

În cele din urmă \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), adică \(AB = CD\) , care urma să fie demonstrat.

2) Fie \(AC=BD\) . pentru că \(\triunghi AOD\sim \triunghi BOC\), atunci notăm coeficientul lor de asemănare cu \(k\) . Atunci dacă \(BO=x\) , atunci \(OD=kx\) . Similar cu \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

pentru că \(AC=BD\), apoi \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Deci \(\triunghiul AOD\) este isoscel și \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Astfel, conform primului semn \(\triunghi ABD=\triunghi ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\unghi ODA, AD\)- general). Deci \(AB=CD\) , deci.

Un trapez este un caz special de patrulater în care o pereche de laturi este paralelă. Termenul „trapez” provine de la cuvânt grecescτράπεζα, adică „masă”, „masă”. În acest articol vom lua în considerare tipurile de trapez și proprietățile sale. În plus, ne vom da seama cum să calculăm elementele individuale ale acestui exemplu, diagonala unui trapez isoscel, linia mediană, zona etc. Materialul este prezentat în stilul geometriei populare elementare, adică într-un mod ușor accesibil. formă.

Informatii generale

În primul rând, să înțelegem ce este un patrulater. Această figură este un caz special al unui poligon care conține patru laturi și patru vârfuri. Două vârfuri ale unui patrulater care nu sunt adiacente se numesc opuse. Același lucru se poate spune despre două laturi neadiacente. Principalele tipuri de patrulatere sunt paralelogramul, dreptunghiul, romb, pătrat, trapez și deltoid.

Deci, înapoi la trapez. După cum am spus deja, această figură are două laturi care sunt paralele. Se numesc baze. Celelalte două (neparalele) sunt laturile. În materiale de examen și diverse lucrări de control de foarte multe ori puteți îndeplini sarcini legate de trapeze, a căror rezolvare necesită adesea ca studentul să aibă cunoștințe care nu sunt prevăzute de program. Cursul de geometrie școlară prezintă elevilor proprietățile unghiurilor și diagonalelor, precum și linia mediană a unui trapez isoscel. Dar la urma urmei, pe lângă aceasta, figura geometrică menționată are și alte trăsături. Dar mai multe despre ele mai târziu...

Tipuri de trapez

Există multe tipuri de această figură. Cu toate acestea, cel mai adesea se obișnuiește să se ia în considerare două dintre ele - isoscel și dreptunghiular.

1. Trapez dreptunghiular- aceasta este o figură în care una dintre laturi este perpendiculară pe baze. Are două unghiuri care sunt întotdeauna nouăzeci de grade.

2. Un trapez isoscel este o figură geometrică ale cărei laturi sunt egale între ele. Aceasta înseamnă că unghiurile de la baze sunt, de asemenea, egale pe perechi.

Principiile principale ale metodologiei pentru studierea proprietăților unui trapez

Principiul principal este utilizarea așa-numitei abordări sarcini. În esență, nu este nevoie să tastați curs teoretic geometria noilor proprietăți ale acestei figuri. Ele pot fi descoperite și formulate în procesul de rezolvare diverse sarcini(mai bine decât sistemul). În același timp, este foarte important ca profesorul să știe ce sarcini trebuie stabilite elevilor la un moment dat sau altul în procesul educațional. Mai mult, fiecare proprietate a trapezului poate fi reprezentată ca o sarcină cheie în sistemul de sarcini.

Al doilea principiu este așa-numita organizare în spirală a studiului proprietăților „remarcabile” ale trapezului. Aceasta implică o revenire în procesul de învățare la caracteristicile individuale ale unui dat figură geometrică. Astfel, elevilor le este mai ușor să le memoreze. De exemplu, proprietatea a patru puncte. Se poate dovedi atât în ​​studiul asemănării, cât și ulterior cu ajutorul vectorilor. Și aria egală a triunghiurilor adiacente laturilor figurii poate fi dovedită prin aplicarea nu numai a proprietăților triunghiurilor cu înălțimi egale desenate pe laturile care se află pe aceeași linie dreaptă, ci și folosind formula S= 1/ 2(ab*sinα). În plus, puteți lucra pe un trapez inscripționat sau un triunghi dreptunghic pe un trapez circumscris etc.

Utilizarea caracteristicilor „extracurriculare” ale unei figuri geometrice în conținutul unui curs școlar este o tehnologie bazată pe probleme pentru predarea acestora. Apelarea constantă la proprietățile studiate la trecerea prin alte subiecte permite elevilor să dobândească o cunoaștere mai profundă a trapezului și asigură succesul rezolvării sarcinilor. Deci, să începem să studiem această figură minunată.

Elemente și proprietăți ale unui trapez isoscel

După cum am observat deja, laturile acestei figuri geometrice sunt egale. Este cunoscut și ca trapezul drept. De ce este atât de remarcabil și de ce a primit un astfel de nume? Caracteristicile acestei figuri includ faptul că nu numai laturile și colțurile de la baze sunt egale, ci și diagonalele. De asemenea, suma unghiurilor unui trapez isoscel este de 360 ​​de grade. Dar asta nu este tot! Dintre toate trapezele cunoscute, doar în jurul unui isoscel poate fi descris un cerc. Acest lucru se datorează faptului că suma unghiurilor opuse ale acestei figuri este de 180 de grade și numai în această condiție poate fi descris un cerc în jurul patrulaterului. Următoarea proprietate a figurii geometrice luate în considerare este că distanța de la vârful bazei până la proiecția vârfului opus pe linia dreaptă care conține această bază va fi egală cu linia mediană.

Acum să ne dăm seama cum să găsim unghiurile unui trapez isoscel. Luați în considerare o soluție la această problemă, cu condiția ca dimensiunile laturilor figurii să fie cunoscute.

Soluţie

De obicei, un patrulater este de obicei notat cu literele A, B, C, D, unde BS și AD sunt bazele. Într-un trapez isoscel, laturile sunt egale. Vom presupune că dimensiunea lor este X, iar dimensiunile bazelor sunt Y și Z (mai mici, respectiv mai mari). Pentru a efectua calculul, este necesar să se deseneze o înălțime H din unghiul B. Rezultatul este un triunghi dreptunghic ABN, unde AB este ipotenuza, iar BN și AN sunt catetele. Calculăm dimensiunea piciorului AN: scădem pe cel mai mic din baza mai mare și împărțim rezultatul la 2. Îl scriem sub forma unei formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Acum, pentru a calcula unghiul ascuțit al triunghiului, folosim funcția cos. Obținem următoarea înregistrare: cos(β) = Х/F. Acum calculăm unghiul: β=arcos (Х/F). Mai departe, cunoscând un unghi, îl putem determina pe al doilea, pentru aceasta efectuăm o operație aritmetică elementară: 180 - β. Toate unghiurile sunt definite.

Există și o a doua soluție la această problemă. La început, coborâm înălțimea H din colțul B. Calculăm valoarea piciorului BN. Știm că pătratul ipotenuzei triunghi dreptunghic este egală cu suma pătratelor catetelor. Obținem: BN \u003d √ (X2-F2). În continuare, folosim functie trigonometrica tg. Ca rezultat, avem: β = arctg (BN / F). Colt ascutit găsite. În continuare, determinăm în același mod ca prima metodă.

Proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel

Să scriem mai întâi patru reguli. Dacă diagonalele unui trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci:

Înălțimea figurii va fi egală cu suma bazelor împărțită la doi;

Înălțimea și linia mediană sunt egale;

Centrul cercului este punctul în care ;

Dacă latura laterală este împărțită la punctul de contact în segmente H și M, atunci este egală cu rădăcină pătrată produse din aceste segmente;

Patrulaterul, care a fost format din punctele tangente, vârful trapezului și centrul cercului înscris, este un pătrat a cărui latură este egală cu raza;

Aria unei figuri este egală cu produsul bazelor și produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea acesteia.

Trapeze asemănătoare

Acest subiect este foarte convenabil pentru studierea proprietăților acestuia.De exemplu, diagonalele împart trapezul în patru triunghiuri, iar cele adiacente bazelor sunt similare, iar laturile sunt egale. Această afirmație poate fi numită o proprietate a triunghiurilor în care trapezul este împărțit cu diagonalele sale. Prima parte a acestei afirmații este dovedită prin criteriul asemănării în două unghiuri. Pentru a demonstra a doua parte, este mai bine să folosiți metoda prezentată mai jos.

Demonstrarea teoremei

Acceptăm că figura ABSD (AD și BS - bazele trapezului) este împărțită la diagonalele VD și AC. Punctul lor de intersecție este O. Obținem patru triunghiuri: AOS - la baza inferioară, BOS - la baza superioară, ABO și SOD pe laturi. Triunghiurile SOD și BOS au o înălțime comună dacă segmentele BO și OD sunt bazele lor. Obținem că diferența dintre ariile lor (P) este egală cu diferența dintre aceste segmente: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Prin urmare, PSOD = PBOS / K. În mod similar, triunghiurile BOS și AOB au o înălțime comună. Luăm ca baze segmentele CO și OA. Obținem PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K și PAOB \u003d PBOS / K. De aici rezultă că PSOD = PAOB.

Pentru consolidarea materialului, elevii sunt sfătuiți să găsească o legătură între zonele triunghiurilor rezultate, în care trapezul este împărțit cu diagonalele sale, rezolvând următoarea problemă. Se știe că ariile triunghiurilor BOS și AOD sunt egale, este necesar să se găsească aria trapezului. Deoarece PSOD \u003d PAOB, înseamnă că PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Din asemănarea triunghiurilor BOS și AOD rezultă că BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Prin urmare, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obținem PSOD = √ (PBOS * PAOD). Atunci PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

proprietăți de similitudine

Continuând să dezvoltăm acest subiect, putem dovedi altceva caracteristici interesante trapez. Deci, folosind asemănarea, puteți demonstra proprietatea unui segment care trece printr-un punct format prin intersecția diagonalelor acestei figuri geometrice, paralele cu bazele. Pentru aceasta, rezolvăm următoarea problemă: este necesar să găsim lungimea segmentului RK, care trece prin punctul O. Din asemănarea triunghiurilor AOD și BOS rezultă că AO/OS=AD/BS. Din asemănarea triunghiurilor AOP și ASB, rezultă că AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). De aici obținem acel RO \u003d BS * AD / (BS + AD). În mod similar, din similitudinea triunghiurilor DOK și DBS, rezultă că OK \u003d BS * AD / (BS + AD). De aici obținem că RO=OK și RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segmentul de dreaptă care trece prin punctul în care se intersectează diagonalele paralel cu bazeleși care leagă cele două laturi, este divizată de punctul de intersecție. Lungimea sa este media armonică a bazelor figurii.

Luați în considerare următoarea proprietate a unui trapez, care se numește proprietatea a patru puncte. Punctele de intersecție ale diagonalelor (O), intersecțiile continuării laturilor (E), precum și punctele medii ale bazelor (T și W) se află întotdeauna pe aceeași linie. Acest lucru este ușor de demonstrat prin metoda similarității. Triunghiurile rezultate BES și AED sunt similare, iar în fiecare dintre ele medianele ET și EZH împart unghiul de la vârful E în părți egale. Prin urmare, punctele E, T și W se află pe aceeași dreaptă. În același mod, punctele T, O și G sunt situate pe aceeași linie dreaptă.Toate acestea decurg din asemănarea triunghiurilor BOS și AOD. Din aceasta concluzionăm că toate cele patru puncte - E, T, O și W - se vor afla pe o singură linie dreaptă.

Folosind trapeze similare, elevilor li se poate cere să găsească lungimea segmentului (LF) care împarte figura în două similare. Acest segment ar trebui să fie paralel cu bazele. Deoarece trapezele rezultate ALFD și LBSF sunt similare, atunci BS/LF=LF/BP. Rezultă că LF=√(BS*BP). Obținem că segmentul care împarte trapezul în două similare are lungimea egală cu media geometrică a lungimilor bazelor figurii.

Luați în considerare următoarea proprietate de similitudine. Se bazează pe un segment care împarte trapezul în două figuri egale. Acceptăm că trapezul ABSD este împărțit de segmentul EN în două similare. Din vârful B, înălțimea este omisă, care este împărțită de segmentul EH în două părți - B1 și B2. Obținem: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 și PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Apoi, compunem un sistem a cărui primă ecuație este (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 și a doua (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Rezultă că B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) și BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Obținem că lungimea segmentului care împarte trapezul în două egale este egală cu pătratul mediu al lungimilor bazelor: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Inferențe de similitudine

Astfel, am demonstrat că:

1. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor trapezului este paralel cu AD și BS și este egal cu media aritmetică a BS și AD (lungimea bazei trapezului).

2. Linia care trece prin punctul O de intersecție a diagonalelor paralele cu AD și BS va fi egală cu media armonică a numerelor AD și BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Segmentul care împarte trapezul în altele asemănătoare are lungimea mediei geometrice a bazelor BS și AD.

4. Un element care împarte o figură în două egale are lungimea numerelor pătrate medii AD și BS.

Pentru a consolida materialul și a înțelege legătura dintre segmentele considerate, elevul trebuie să le construiască pentru un anumit trapez. El poate afișa cu ușurință linia mediană și segmentul care trece prin punctul O - intersecția diagonalelor figurii - paralel cu bazele. Dar unde vor fi al treilea și al patrulea? Acest răspuns va conduce elevul la descoperirea relației dorite între medii.

Un segment de dreaptă care unește punctele medii ale diagonalelor unui trapez

Luați în considerare următoarea proprietate a acestei figuri. Acceptăm că segmentul MH este paralel cu bazele și bisectează diagonalele. Să numim punctele de intersecție W și W. Acest segment va fi egal cu jumătate de diferență a bazelor. Să analizăm asta mai detaliat. MSH - linia de mijloc a triunghiului ABS, este egală cu BS / 2. MS - linia de mijloc a triunghiului ABD, este egală cu AD / 2. Atunci obținem că ShShch = MShch-MSh, prin urmare, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Centrul de greutate

Să vedem cum este determinat acest element pentru o anumită figură geometrică. Pentru a face acest lucru, este necesar să extindeți bazele în direcții opuse. Ce înseamnă? Este necesar să adăugați baza inferioară la baza superioară - pe oricare dintre laturi, de exemplu, în dreapta. Și partea de jos este extinsă cu lungimea de sus la stânga. Apoi, le conectăm cu o diagonală. Punctul de intersecție al acestui segment cu linia de mijloc a figurii este centrul de greutate al trapezului.

Trapeze înscrise și circumscrise

Să enumerăm caracteristicile unor astfel de figuri:

1. Un trapez poate fi înscris într-un cerc numai dacă este isoscel.

2. Un trapez poate fi descris în jurul unui cerc, cu condiția ca suma lungimilor bazelor lor să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Consecințele cercului înscris:

1. Înălțimea trapezului descris este întotdeauna egală cu două raze.

2. Latura laterală a trapezului descris se observă din centrul cercului în unghi drept.

Primul corolar este evident, iar pentru a-l demonstra pe cel de-al doilea este necesar să se stabilească că unghiul SOD este corect, ceea ce, de fapt, nu va fi nici greu. Dar cunoașterea proprietate dată vă permite să utilizați un triunghi dreptunghic atunci când rezolvați probleme.

Acum specificăm aceste consecințe pentru un trapez isoscel, care este înscris într-un cerc. Obținem că înălțimea este media geometrică a bazelor figurii: H=2R=√(BS*AD). Practicând tehnica principală de rezolvare a problemelor pentru trapeze (principiul desenului cu două înălțimi), elevul trebuie să rezolve următoarea sarcină. Acceptăm că BT este înălțimea cifrei isoscele ABSD. Este necesar să găsiți segmentele AT și TD. Folosind formula descrisă mai sus, acest lucru nu va fi dificil de realizat.

Acum să ne dăm seama cum să determinăm raza unui cerc folosind aria trapezului circumscris. Coborâm înălțimea de sus B la baza AD. Deoarece cercul este înscris într-un trapez, atunci BS + AD \u003d 2AB sau AB \u003d (BS + AD) / 2. Din triunghiul ABN găsim sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Obținem PABSD \u003d (BS + HELL) * R, rezultă că R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Toate formulele liniei mediane a unui trapez

Acum este timpul să trecem la ultimul element al acestei figuri geometrice. Să ne dăm seama cu ce este egală cu linia de mijloc a trapezului (M):

1. Prin baze: M \u003d (A + B) / 2.

2. Prin înălțime, bază și unghiuri:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Prin înălțime, diagonale și unghiul dintre ele. De exemplu, D1 și D2 sunt diagonalele unui trapez; α, β - unghiuri dintre ele:

M = D1*D2*sina/2H = D1*D2*sinp/2H.

4. Prin zonă și înălțime: M = P / N.