a unei persoane conține un anumit plan cu care sufletul a venit aici, toate variantele de desfășurare a evenimentelor, inclusiv. Puteți merge acolo și puteți vedea consecințele deciziilor importante pe care le luăm. De exemplu, despre schimbarea locurilor de muncă și a stilului de viață. Acest lucru se poate face atât în ​​meditații independente, cât și în procese comune stăpân-sclav. Mai jos este o descriere a modului în care s-a făcut acest lucru într-o sesiune

Liniile de probabilitate

Proiectez trei ramuri:

1) rămâne la Moscova la un loc de muncă existent;

2) vinde sau închiriază un apartament și merg în Asia cu prietenii pentru a deveni partener în afacerea lor turistică;

3) opțiune ideală: părăsesc munca, particip la afacerile prietenilor pe bază de proiect, având în același timp propria mea casă, dar nu la Moscova (fie Asia, dar diferită, sau Europa de Est, sau America Latină - o vilă mare luminoasă în care puteți primi oaspeți și puteți efectua retrageri), există un cuplu - propriile parteneriate și au propria lor afacere.

Construim toate cele trei ramuri ca drumuri, vezi dacă sunt ramuri.

Ramura Moscovei este o frânghie puternică, groasă, gri, plictisitoare și de încredere, nu te vei desprinde, nu te vei pierde. Mai multe frânghii mai subțiri provin din frânghie, unele dintre ele sunt mai strălucitoare și mai interesante, dar niciuna nu atrage, strigă sau strălucește. Sentimentul este că încă iubesc Moscova, dar acest subiect a devenit învechit.

Ramura cu Asia și prietenii este foarte strălucitoare și vizuală, dar scurtă și lichidă, sau așa ceva. Îi lipsește potențialul de a se întoarce cu încredere în viitor. Resursă insuficientă.

A treia imagine ideală este împărțită în mai multe puncte geografice de pe hartă, fiecare cu aroma sa specifică. A treia ramură, în interiorul căreia se află propria mea poveste, este cea mai atractivă, desigur, pentru mine. Nu este la fel de tangibilă acum ca Moscova și nici la fel de colorată ca a doua, dar o cheamă. Și strălucește, umplut din interior. Ca o rază vie subțire, pulsează și strălucește.

Alegerea drumului

În această versiune a evenimentelor, mă mișc liber în jurul lumii după bunul plac. Venitul meu este mai mic decât la Moscova, dar este suficient să nu am nevoie de nimic și să nu-mi refuz nimic, chiar dacă cu moderație. Vin la proiecte cu prietenii, ei rămân cu mine. Scriu ceva și lucrez cu oamenii, o fac din plăcere. Există, de asemenea, un fel de proiect de afaceri secular, care este, de asemenea, mai mult sau mai puțin de succes și oferă un venit stabil.

În același timp, există persoană apropiată, cu care vom implementa împreună această poveste, în pereche. Pentru ca acesta să se manifeste, nu este nevoie doar de intenția mea, și va fi necesară o anumită plată de ambele părți, desigur, ca pentru orice alegere. De îndată ce alegi ceva, automat refuzi ceva.. În plus, este întotdeauna înfricoșător și nesigur. Plata ca o renunțare la confortul sau libertatea existentă. Plata ca permisiunea de a intra in viata ta ceva complet nou si necunoscut, desi tentant. Liberul arbitru pur și puritatea intențiilor de ambele părți. Și acolo - cum se va dovedi.. Într-un sens diferit (nu pe o voință pură), acest subiect pur și simplu nu va decola.

Întregul proces este în prezent în curs de dezvoltare. Această ramură este în stadiu de maturizare, iar dacă totul merge bine, atunci se poate manifesta pe deplin în realitatea mea. Vezi dacă există obstacole sau pietre pe această linie ideală pentru mine. Văd un copac căzut, chiar pe drum. Este frică și îndoială de sine. Din serial – e prea bine ca totul să iasă așa, nu se întâmplă așa, toate acestea sunt iluzii și basme inventate de la sine. Eliberez drumul.

Următorul pas important este să luați propria decizie finală - dacă este necesar să atrageți atenția acolo, în această ramură de vis, deoarece nu va fi atât de ușor să „derulați” mai târziu. Înțeleg pentru mine că într-un fel sau altul îl energizez de mult timp și îl activez intern. Și asta nici măcar nu se datorează încăpățânării sau dorinței de a o lua în felul meu.

Lucruri și semne mult mai subtile care semnalează că aceasta este soarta, indiferent cât de tare ar suna. Această ramură devine treptat din ce în ce mai tangibilă. Se condensează, încet și sigur. Deși, desigur, este încă extrem de incert și se poate prăbuși în orice moment, dar există sentimentul că ea însăși vine la mine, acest fir.

Din moment ce a fost mult timp proiectat și predeterminat, ordonat, s-ar putea spune. Și înțeleg unde duce asta. Și cum se dezvoltă. Și că aceasta este desfășurarea corectă a evenimentelor. Chiar dacă uneori îmi este frică să cred.

Și totuși nu ar fi de dorit să cimentăm această ramură. Fă-l rigid și lipsit de ambiguitate .. Nu este nevoie să construiești o legătură rigidă într-un anumit loc sau ocupație sau cu altceva. Îmi doresc să aibă o mulțime de elemente: aer, apă, foc, pământ, astfel încât să respire, să fie flexibil și indestructibil - mobil, transformabil și reconfigurabil. Și pentru ca tot ceea ce se întâmplă în el să fie rezultatul co-creării, nu acțiuni autonome. În orice caz, aceasta este o poveste pereche, nu se poate naște ca constrângere, corectitudinea maximă este importantă aici - în niciun caz nu trebuie să impuneți sau să faceți presiuni .. Totul este liberul arbitru. Și apoi - unde va suna *

Întărirea ramurii cu atenție

Întind o rază din Scânteia mea în direcția acestei ramuri, până în punctul în care aspiră, mă conectez cu ea cu atenția mea. Astfel, scânteia începe să lucreze spre realizarea acestui scop, se ancorează în ea. Poate că nu sunt conștient de acest lucru, dar munca se va desfășura: formarea evenimentelor în spațiu se va desfășura în așa fel încât acest scop să fie cât mai aproape de realitatea mea, de implementarea lui.

Spark Beam se transformă într-un fascicul gravitațional și atrage obiecte și evenimente din acea ramură a probabilităților către mine ca un magnet. Scopul se apropie foarte mult, poți spune că sunt în el acum. Asemenea unui teleport, atunci când nu încerci să te muți într-un loc nou cu tot corpul, ci materializezi spațiul dorit din jurul tău: te adaptezi la țintă și o atragi spre tine. Și cu cât este mai aproape de tine, cu atât voința ta se extinde până la realizarea ei. Și deja Iskra este responsabilă pentru modelarea acelor evenimente care vor presupune întruchiparea acestei ramuri în realitate, îi vor permite să se joace.

Îmi pictez viitorul cu lumina Scânteii mele. E atât de misto acolo, în această linie de probabilități există o poveste foarte frumoasă în care vreau să invit pe toată lumea să viziteze.. O cameră mare, luminoasă, plină de viață, soare și aer.. Îi dau combustibil, o încarc cu potențial astfel încât are posibilitatea de a se manifesta în realitate. Când ești gata să iei o decizie finală sau ai nevoie să vezi niște răspunsuri cu privire la dezvoltarea acestei ramuri, poți pur și simplu să-ți amintești de această stare de atracție, să te bucuri de atmosfera emoțională și de dispoziția acestei camere, să simți emoția creativității și a parteneriatului . Emoția creației este întotdeauna iubire.

Manifestarea si consolidarea rezultatului

Pentru a surprinde acea imagine care pare atât de atractivă, dar nesigură acum, trebuie să lăsați lumina să treacă prin ea, să revărsați emoție, să o încărcați cu pozitiv. Intră în starea de ananda - o ascensiune veselă, o ființă iubitoare și iubită, îndrăgostită și plină de iubire și redirecționează acest combustibil intern într-un scenariu ideal.

Goliți calea și eliminați întrebările. Aliniați-vă cu alte ramuri ale realității care mă înconjoară și cu jucătorii implicați, astfel încât toate acestea să fie sincronizate în loc și în timp. A coincis cu intențiile, voința și libertatea de alegere. Saturați toate acestea cu propria voastră lumină, căldură și dragoste pentru realizarea viitorului vostru. creativitateîn felul în care îți place. Expuneți rezultatul dorit în așa fel încât imaginea să fie imprimată cu lumină pe un film sensibil - pânza evenimentelor viitoare, își arde amprenta în ea ca o proiecție de lumină. Și țineți apăsat puțin pentru ca efectul să fie cât mai luminos.

Acum trebuie să procesați amprenta visului creat, astfel încât să treacă în stratul realității materiale. Următorul pas este stabilizarea. Este necesar să adăugați puțină energie de întuneric și rece imaginii, astfel încât să se cristalizeze și să dobândească un contur mai solid, să treacă din starea de miraj magic în straturi mai dense, să se consolideze și să se manifeste.

Lucrul cu o imprimare negativă .. Rezultatul este literalmente fixat pe o foaie de realitate, aproximativ la fel ca atunci când proiectăm o imagine dintr-un film fotografic analogic pe hârtie fotografică analogică și apoi turnăm pe rând revelatorul și fixatorul, astfel încât să putem vedeți în detaliu ce am surprins cu ajutorul luminii și intențiilor și intrați acolo când este cazul și oportun.

Pentru că pentru comunicarea cu lumea și realizarea creativă Chakra gâtului răspunde, trimit o rază de la chakra gâtului la ramura aleasă. În spatele lui a cerut o rază din a doua chakră, urmată de a treia. Apoi, restul chakrelor au fost conectate, sa dovedit un astfel de duș de raze, ca dintr-o floare cu șapte culori. Spăl și usuc tot ce s-a dovedit, îl umplu de mișcare, de energia materială a pământului, de viziune, de toate calitățile forței vitale și de magnetism, atrag și mai mult ramura probabilității în realitatea mea, o conectez direct cu fiecare dintre centrii chakrei, o prescri acolo în ei..

* o persoană uită că viitorul este multivariat și adesea aderă la modele șablon (acestea sunt de obicei determinate de numerologie, astrologie etc.). De fapt, fiecare dintre noi este un flux, iar fluxul trebuie să curgă, să nu se agățeze de rame, să renunțe cu ușurință la vechiul și să lase să intre noul, să se adapteze. Prin urmare, dacă faci astfel de practici, în niciun caz nu-ți „cimentează” intenția, întrucât lumea oferă mereu opțiuni și mai cool de care noi înșine poate nici nu le conștientizăm, mai ales acum.

Realitatea este multidimensională, opiniile despre ea sunt multidimensionale. Aici sunt afișate doar una sau câteva fețe. Nu ar trebui să le luați drept adevărul suprem, pentru că, ci pentru fiecare nivel de conștiință și. Învățăm să separăm ceea ce este al nostru de ceea ce nu este al nostru, sau să extragem informații în mod autonom)

SECȚIUNI TEMATICE:
| | | | | | | | |

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11,12, 21,13, 31,14, 41,15, 51,16, 61)

● C = (12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● D= (SUMA PUNCTELOR ESTE 2 SAU 3);

● E= (TOTALUL PUNCTELOR ESTE 10).

Descrie evenimentul: DIN= (CIRCUIT ÎNCHIS) pentru fiecare caz.

Soluţie. Să introducem notația: eveniment A- contactul 1 este închis; eveniment LA- contactul 2 este închis; eveniment DIN- circuitul este închis, lumina este aprinsă.

1. Pentru o conexiune în paralel, circuitul este închis când cel puțin unul dintre contacte este închis, deci C = A + B;

2. Pentru o conexiune în serie, circuitul este închis când ambele contacte sunt închise, deci C \u003d A B.

O sarcină. 1.1.4 Au fost realizate două circuite electrice:

Evenimentul A - circuitul este închis, evenimentul A i - eu- al-lea contact este închis. Pentru care dintre ele este raportul

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

Soluţie. Pentru primul circuit, A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), deoarece suma evenimentelor corespunde conexiunii paralele, iar produsul evenimentelor conexiunii seriale. Pentru cea de-a doua schemă A = A1 (A2+A3 A4 A5). Prin urmare, această relație este valabilă pentru a doua schemă.

O sarcină. 1.1.5 Simplificați expresia (A + B)(B + C)(C + A).

Soluţie. Să folosim proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire a evenimentelor.

(A+ B)(B + C)(A + C) =

(AB+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

O sarcină. 1.1.6Demonstrați că evenimentele A, AB și A+B formează un grup complet.

Soluţie. Când rezolvăm problema, vom folosi proprietățile operațiilor pe evenimente. În primul rând, arătăm că aceste evenimente sunt incompatibile între perechi.

Să arătăm acum că suma acestor evenimente dă spațiul evenimentelor elementare.

O sarcină. 1.1.7Folosind schema Euler–Venn, verificați regula de Morgan:

A) Evenimentul AB este umbrit.

B) Evenimentul A - hașura verticală; evenimentul B – hașura orizontală. Eveniment

(A+B) - zonă umbrită.

Dintr-o comparație a figurilor a) și c) rezultă:

O sarcină. 1.2.1În câte moduri pot fi așezate 8 persoane?

1. Într-un rând?

2. Pe masa rotunda?

Soluţie.

1. Numărul dorit de moduri este egal cu numărul de permutări din 8, adică.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Întrucât alegerea primei persoane la masa rotundă nu afectează alternanța elementelor, atunci oricine poate fi luat primul, iar cele rămase vor fi ordonate relativ la cel ales. Această acțiune poate fi efectuată în 8!/8 = 5040 moduri.

O sarcină. 1.2.2Cursul acoperă 5 subiecte. În câte moduri vă puteți face un program pentru sâmbătă dacă vor fi două cupluri diferite în acea zi?

Soluţie. Numărul dorit de moduri este numărul de plasări

De la 5 la 2, deoarece trebuie să țineți cont de ordinea perechilor:

O sarcină. 1.2.3Cum comisiile de examinare, format din 7 persoane, poate fi format din 15 profesori?

Soluţie. Numărul dorit de comisioane (fără să țină cont de comandă) este numărul de combinații de la 15 la 7:

O sarcină. 1.2.4 Dintr-un coș care conține douăzeci de bile numerotate, se aleg 5 bile pentru noroc. Determinați numărul de elemente din spațiul evenimentelor elementare ale acestei experiențe dacă:

Bilele sunt selectate secvențial una după alta cu revenire după fiecare extracție;

Bilele se aleg una cate una fara sa se intoarca;

Se selectează 5 bile deodată.

Soluţie.

Numărul de moduri de extragere a primei mingi din coș este 20. Deoarece bila extrasă este returnată în coș, numărul de modalități de extragere a celei de-a doua mingi este de asemenea 20 și așa mai departe. Apoi, numărul de modalități de extragere a 5 bile în acest caz este 20 20 20 20 20 = 3200000.

Numărul de moduri de extragere a primei mingi din coș este 20. Deoarece bila extrasă nu s-a întors în coș după extracție, numărul de modalități de extragere a celei de-a doua mingi a devenit 19 etc. Apoi, numărul de modalități de extragere 5 bile fără înlocuire este 20 19 18 17 16 = A52 0

Numărul de moduri de a extrage 5 bile din coș simultan este egal cu numărul de combinații de 20 cu 5:

O sarcină. 1.2.5 Se aruncă două zaruri. Găsiți probabilitatea evenimentului A ca cel puțin un 1 să fie aruncat.

Soluţie. Pe fiecare zar poate cădea orice număr de puncte de la 1 la 6. Prin urmare, spațiul evenimentelor elementare conține 36 de rezultate la fel de posibile. Evenimentul A este favorizat de 11 rezultate: (1.1), (1.2), (2.1), (1.3), (3.1), (1.4), (4.1), (1.5), (5.1), (1.6), (6.1), deci

O sarcină. 1.2.6 Literele y, i, i, k, c, f, n sunt scrise pe cartonașe roșii, literele a, a, o, t, t, s, h sunt scrise pe cartonașe albastre După o amestecare amănunțită, ceea ce este mai probabil : de la prima dată din litere pentru a folosi cartonașele roșii pentru a face cuvântul „funcție” sau literele de pe cartonașele albastre pentru a face cuvântul „frecvență”?

Soluţie. Fie evenimentul A cuvântul „funcție” compus aleatoriu din 7 litere, evenimentul B - cuvântul „frecvență” compus aleatoriu din 7 litere. Deoarece sunt ordonate două seturi de 7 litere, numărul tuturor rezultatelor pentru evenimentele A și B este n = 7!. Evenimentul A este favorizat de un rezultat m = 1, deoarece toate literele de pe cartonașele roșii sunt diferite. Evenimentul B este favorizat de m = 2! · 2! rezultate, deoarece literele „a” și „t” apar de două ori. Atunci P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

O sarcină. 1.2.7 La examen, studentului i se oferă 30 de bilete; Fiecare bilet are două întrebări. Din cele 60 de întrebări incluse în bilete, studentul știe doar 40. Aflați probabilitatea ca biletul luat de student să fie format din

1. din problemele cunoscute de el;

2. din întrebări necunoscute lui;

3. dintr-o întrebare cunoscută și una necunoscută.

Soluţie. Fie A evenimentul în care elevul cunoaște răspunsul la ambele întrebări; B - nu cunoaște răspunsul la ambele întrebări; C - știe răspunsul la o întrebare, nu știe răspunsul la alta. Alegerea a două întrebări din 60 se poate face în n = C260 = 60 2 59 = 1770 moduri.

1. Există m = C240 ​​​​= 40 2 39 = 780 de variante de întrebări cunoscute elevului. Atunci P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Alegerea a două întrebări necunoscute din 20 se poate face în m = C220 = 20 2 19 = 190 de moduri. În acest caz

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Există m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 de moduri de a alege un bilet cu o întrebare cunoscută și o întrebare necunoscută. Atunci P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

O sarcină. 1.2.8Unele informații au fost trimise prin trei canale. Canalele funcționează independent unul de celălalt. Găsiți probabilitatea ca informația să atingă scopul

1. Doar pe un canal;

2. Cel puțin un canal.

Soluţie. Fie A un eveniment constând în faptul că informația ajunge la scop printr-un singur canal; B - cel puțin un canal. Experiența este transmiterea de informații prin trei canale. Rezultatul experienței - informația a atins scopul. Indică Ai - informația ajunge la țintă prin canalul i-lea. Spațiul evenimentelor elementare are forma:

Evenimentul B este favorizat de 7 rezultate: toate rezultatele cu excepția Atunci n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 38; P(B) = 7 8.

O sarcină. 1.2.9Un punct apare aleatoriu pe un segment de lungime unitară. Aflați probabilitatea ca distanța de la punct la capetele segmentului să fie mai mare de 1/8.

Soluţie. După condiția problemei, evenimentul dorit este satisfăcut de toate punctele care apar pe intervalul (a; b).

Deoarece lungimea sa este s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, iar lungimea întregului segment este S = 1, probabilitatea necesară este P = s/S = 3/14 = 0,75.

O sarcină. 1.2.10Într-un lot deNproduseKprodusele sunt defecte. Pentru control, sunt selectate m produse. Găsiți probabilitatea ca de la M Produse L Se dovedesc a fi defecte (evenimentul A).

Soluţie. Alegerea m produse din n se poate face în moduri, iar alegerea L defect din k defect - în moduri. După selecție L produsele defecte vor rămâne (m - L) potrivire, situată printre (n - k) produse. Atunci numărul de rezultate care favorizează evenimentul A este

Și probabilitatea dorită

O sarcină. 1.3.1BO urnă conține 30 de bile: 15 roșii, 10 albastre și 5 albe. Găsiți probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu să fie colorată.

Soluţie. Fie evenimentul A - se extrage o bila rosie, evenimentul B - se extrage o bila albastra. Apoi evenimente (A + B) - este extrasă o minge colorată. Avem P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Deoarece

Evenimentele A și B sunt incompatibile, atunci P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

O sarcină. 1.3.2Probabilitatea ca să ningă (un eveniment A ), este egal cu 0.6, Și faptul că va ploua (eveniment B ), este egal cu 0.45. Găsiți probabilitatea de vreme rea dacă probabilitatea de ploaie și ninsoare (eveniment AB ) este egal cu 0.25.

Soluţie. Evenimentele A și B sunt comune, deci P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

O sarcină. 1.3.3BPrima cutie conține 2 bile albe și 10 negre, a doua - 3 bile albe și 9 negre, iar a treia - 6 bile albe și 6 negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Aflați probabilitatea ca toate bilele extrase să fie albe.

Soluţie. Evenimentul A - o minge albă este extrasă din prima casetă, B - din a doua casetă, C - din a treia. Atunci P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Evenimentul ABC - toate eliminate

Bilele sunt albe. Prin urmare, evenimentele A, B, C sunt independente

P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

O sarcină. 1.3.4Bcircuit electric conectat în serie 5 Elemente care funcționează independent unele de altele. Probabilitatea eșecurilor primului, al doilea, al treilea, al patrulea, respectiv al cincilea elemente sunt 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Găsiți probabilitatea ca în circuit să nu existe curent (eveniment A ).

Soluţie. Deoarece elementele sunt conectate în serie, nu va exista curent în circuit dacă cel puțin un element cade. Evenimentul Ai(i =1...5) - va eșua eu- al-lea element. Evoluții

O sarcină. 1.3.5Circuitul este format din blocuri independente conectate într-un sistem cu o intrare și o ieșire.

Eșecul la timp T diverse elemente lanturi - evenimente independente având următoarele probabilităţiP 1 = 0,1; P 2 = 0,2; P 3 = 0,3; P 4 = 0,4. Defectarea oricăruia dintre elemente duce la o întrerupere a semnalului în ramura circuitului în care se află acest element. Găsiți fiabilitatea sistemului.

Soluţie. Dacă evenimentul A - (SISTEMUL ESTE DE FIABILITATE), Ai - (i --a UNITATE FUNcționează DEFECT), atunci A = (A1 + A2)(A3 + A4). Evenimentele A1+A2, A3+A4 sunt independente, evenimentele A1 și A2, A3 și A4 sunt comune. După formulele de înmulțire și adunare a probabilităților

O sarcină. 1.3.6Muncitorul deservește 3 utilaje. Probabilitatea ca în decurs de o oră mașina să nu necesite atenția unui lucrător este de 0,9 pentru prima mașină, 0,8 pentru a doua și 0,7 pentru a treia.

Găsiți probabilitatea ca în decurs de o oră

1. A doua mașină va necesita atenție;

2. Două mașini vor necesita atenție;

3. Cel puțin două mașini vor avea nevoie de atenție.

Soluţie. Fie că Ai - a i-a mașină necesită atenția lucrătorului, - a i-a mașină nu va necesita atenția lucrătorului. Apoi

Spațiul evenimentelor elementare:

1. Evenimentul A - va necesita atenția celui de-al doilea aparat: Apoi

Întrucât evenimentele sunt incompatibile și independente. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Evenimentul B - două mașini vor necesita atenție:

3. Evenimentul C - cel puțin două asomări vor necesita atenție
cov:

O sarcină. 1.3.7Bmașină „Examinator” introdusă 50 întrebări. Studentul este oferit 5 Întrebări și un punct „excelent” se acordă dacă la toate întrebările se răspunde corect. Găsiți probabilitatea de a obține „excelent” dacă studentul s-a pregătit doar 40 întrebări.

Soluţie. A - (PRIMIT "EXCELENT"), Ai - (RĂSPUNS LA I --A ÎNTREBARE). Atunci A = A1A2A3A4A5, avem:

Sau, într-un alt mod - folosind formula clasică de probabilitate: Și

O sarcină. 1.3.8Probabilitățile în care se află piesa necesară asamblatoruluieu, II, III, IVcaseta, respectiv, sunt egale 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Găsiți probabilitatea ca colecționarul să fie nevoit să bifeze toate cele 4 casete (evenimentA).

Soluţie. Lăsați Ai - (Piesa necesară asamblatorului se află în caseta i-a.) Apoi

Întrucât evenimentele sunt incompatibile și independente, atunci

O sarcină. 1.4.1 A fost examinat un grup de 10.000 de persoane cu vârsta peste 60 de ani. S-a dovedit că 4000 de oameni sunt fumători permanenți. 1800 de fumători au prezentat modificări grave la nivelul plămânilor. Dintre nefumători, 1500 de persoane au avut modificări la nivelul plămânilor. Care este probabilitatea ca o persoană examinată aleatoriu cu modificări pulmonare să fie fumătoare?

Soluţie. Să introducem ipotezele: H1 - cel examinat este fumător permanent, H2 - este nefumător. Apoi, după starea problemei

P(H1)= -------=0,4, P(H2)=---------=0,6

Notează cu A evenimentul că persoana examinată prezintă modificări la nivelul plămânilor. Apoi, după starea problemei

Prin formula (1.15) găsim

Probabilitatea dorită ca persoana examinată să fie fumător, conform formulei Bayes, este egală cu

O sarcină. 1.4.2Televizoarele din trei fabrici ies în vânzare: 30% din prima fabrică, 20% din a doua, 50% din a treia. Produsele primei fabrici conțin 20% televizoare cu un defect ascuns, al doilea - 10%, al treilea - 5%. Care este probabilitatea de a obține un televizor funcțional?

Soluţie. Să luăm în considerare următoarele evenimente: A - a fost achiziționat un televizor care poate fi reparat; ipotezele H1, H2, H3 - televizorul a intrat în vânzare din prima, a doua, respectiv a treia fabrică. Conform sarcinii

Prin formula (1.15) găsim

O sarcină. 1.4.3Sunt trei cutii identice. Prima are 20 de bile albe, a doua are 10 bile albe și 10 negre, iar a treia are 20 de bile negre. O bilă albă este extrasă dintr-o casetă aleasă aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie din a doua casetă.

Soluţie. Fie evenimentul A - se scoate o minge albă, ipotezele H1, H2, H3 - se scoate mingea din prima, a doua, respectiv a treia casetă. Din starea problemei găsim

Apoi
Prin formula (1.15) găsim

Prin formula (1.16) găsim

O sarcină. 1.4.4Un mesaj telegrafic constă din semnalele punct și liniuță. Proprietățile statistice ale interferenței sunt de așa natură încât sunt distorsionate în medie 2/5 Mesaje punct și 1/3 Mesaje cu liniuță. Se știe că printre semnalele transmise „punct” și „liniuță” apar în raport 5: 3. Determinați probabilitatea ca un semnal transmis să fie recepționat dacă:

A) se primește un semnal „punct”;

B)semnal liniuță primit.

Soluţie. Lăsați evenimentul A - semnalul „punct” este primit, iar evenimentul B - semnalul „liniuță” este primit.

Se pot face două ipoteze: H1 - se transmite semnalul „punct”, H2 - se transmite semnalul „liniuță”. După condiția P(H1): P(H2) =5: 3. În plus, P(H1 ) + P(H2)= 1. Prin urmare P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. Se știe că

Probabilități de eveniment AȘi B Găsim prin formula probabilității totale:

Probabilitățile dorite vor fi:

O sarcină. 1.4.5Din cele 10 canale radio, 6 canale sunt protejate de interferențe. Probabilitatea ca un canal sigur în timpTnu va eșua este 0,95, pentru un canal neprotejat - 0,8. Găsiți probabilitatea ca două canale selectate aleatoriu să nu eșueze în timpT, iar ambele canale nu sunt protejate de interferențe.

Soluţie. Lăsați evenimentul A - ambele canale nu vor eșua în timpul t, evenimentul A1- Canal securizat selectat A2- Este selectat un canal nesecurizat.

Să scriem spațiul evenimentelor elementare pentru experiment - (sunt selectate două canale):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Ipoteze:

H1 - ambele canale sunt protejate de interferențe;

H2 - primul canal selectat este protejat, al doilea canal selectat nu este protejat de interferențe;

H3 - primul canal selectat nu este protejat, al doilea canal selectat este protejat de interferențe;

H4 - ambele canale selectate nu sunt protejate de interferențe. Apoi

Și

O sarcină. 1.5.1Transmis prin canalul de comunicare 6 Mesaje. Fiecare dintre mesaje poate fi distorsionat de zgomot cu o probabilitate 0.2 Indiferent de ceilalți. Găsiți probabilitatea ca

1. 4 mesaje din 6 nu sunt distorsionate;

2. Cel puțin 3 din 6 au fost transmise distorsionate;

3. Cel puțin un mesaj din 6 este fals;

4. Nu mai mult de 2 din 6 nu sunt distorsionate;

5. Toate mesajele sunt transmise fără distorsiuni.

Soluţie. Deoarece probabilitatea de distorsiune este de 0,2, probabilitatea de a transmite un mesaj fără interferență este de 0,8.

1. Folosind formula Bernoulli (1.17), găsim probabilitatea
rata de transmisie de 4 din 6 mesaje fără interferențe:

2. cel puțin 3 din 6 sunt transmise distorsionate:

3. cel puțin un mesaj din 6 este deranjat:

4. cel puțin un mesaj din 6 este deranjat:

5. toate mesajele sunt transmise fără distorsiuni:

O sarcină. 1.5.2Probabilitatea ca ziua să fie senină vara este de 0,42; probabilitatea unei zile înnorate este de 0,36 și parțial noros este de 0,22. La câte zile din 59 se poate aștepta să fie senin și înnorat?

Soluţie. Se poate observa din starea problemei că este necesar să se caute cel mai probabil număr de zile senine și înnorate.

Pentru zile senine P= 0.42, N= 59. Compunem inegalități (1,20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ lu≤ 25.2 → lu= 25.

Pentru zilele înnorate P= 0.36, N= 59 și

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Prin urmare, 20,16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Astfel, cel mai probabil număr de zile senine lu= 25, zile înnorate - M0 = 21. Apoi vara ne putem aștepta lu+ M0 =46 zile senine și înnorate.

O sarcină. 1.5.3Sunt 110 studenți ai cursului la prelegerea despre teoria probabilităților. Găsiți probabilitatea ca

1. k elevi (k = 0,1,2) dintre cei prezenți s-au născut la 1 septembrie;

2. cel puţin un student al cursului s-a născut la 1 septembrie.

P=1/365 este foarte mic, deci folosim formula Poisson (1.22). Să găsim parametrul Poisson. pentru că

N= 110, atunci λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

Apoi prin formula Poisson

O sarcină. 1.5.4Probabilitatea ca o piesă să nu fie standard este 0.1. Câte detalii trebuie selectate astfel încât cu probabilitatea P = 0.964228 S-ar putea argumenta că frecvența relativă de apariție a pieselor nestandard se abate de la probabilitatea constantă p = 0.1 În termeni absoluti, nu mai mult de 0.01 ?

Soluţie.

Număr necesar N Găsim prin formula (1.25). Avem:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Înlocuiți datele din formula:

Unde găsim

Conform tabelului de valori ale funcției Φ( X) constatăm că

O sarcină. 1.5.5Probabilitatea de defectare în timpul T a unui condensator este de 0,2. Determinați probabilitatea ca în timp T din 100 condensatoare să se defecteze.

1. Exact 10 condensatoare;

2. Cel puțin 20 de condensatoare;

3. Mai puțin de 28 de condensatoare;

4. De la 14 la 26 de condensatoare.

Soluţie. Avem P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Exact 10 condensatoare.

pentru că P Veliko, să folosim teorema locală de Moivre-Laplace:

Calcula

Din moment ce funcţia φ(x)- par, atunci φ (-2,5) = φ (2,50) = 0,0175 (aflam din tabelul cu valorile functiei φ(x). Probabilitatea dorită

2. Cel puțin 20 de condensatoare;

Cerința ca cel puțin 20 din 100 de condensatoare să eșueze înseamnă că fie 20, fie 21, ... sau 100 vor eșua. T1 = 20, T 2=100. Apoi

Conform tabelului cu valorile funcției Φ(x) Să găsim Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Probabilitate necesară:

3. Mai puțin de 28 de condensatoare;

(aici s-a luat în considerare faptul că funcția Laplace Ф(x) este impară).

4. De la 14 la 26 de condensatoare. După condiție M1= 14, m2 = 26.
Calculați x 1,x2:

O sarcină. 1.5.6Probabilitatea de apariție a unui eveniment într-un experiment este egală cu 0,6. Care este probabilitatea ca acest eveniment să apară în majoritatea celor 60 de încercări?

Soluţie. Cantitate M Apariția unui eveniment într-o serie de teste este în interval. „În majoritatea experimentelor” înseamnă asta M Aparține intervalului Prin condiție N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. Calculați x1 și x2:

Variabile aleatoare și distribuțiile lor

O sarcină. 2.1.1Dat un tabel în care linia de sus indică valorile posibile ale unei variabile aleatorii X , iar în partea de jos - probabilitățile lor.

Acest tabel poate fi o serie de distribuție? X ?

Răspuns: Da, deoarece p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

O sarcină. 2.1.2Eliberată 500 Bilete la loterie, și 40 Biletele vor aduce proprietarilor lor un premiu pentru 10000 Freca., 20 Bilete - de 50000 Freca., 10 Bilete - de 100000 Freca., 5 Bilete - de 200000 Freca., 1 Bilet - 500000 Rub., restul - fără victorie. Găsiți legea de distribuție câștigătoare pentru proprietarul unui bilet.

Soluţie.

Valori posibile ale lui X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Probabilitățile acestor valori posibile sunt:

Legea de distribuție dorită:

O sarcină. 2.1.3trăgător, având 5 Cartușe, trage până la prima lovitură în țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este 0.7. Construiți legea de distribuție a numărului de cartușe utilizate, găsiți funcția de distribuțieF(X) și trasați graficul său, găsiți P(2< x < 5).

Soluţie.

Spațiul evenimentelor elementare ale experienței

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Unde evenimentul (1) - a lovit ținta, evenimentul (0) - nu a lovit ținta. Rezultatele elementare corespund următoarelor valori ale valorii aleatorii a numărului de cartușe utilizate: 1, 2, 3, 4, 5. Deoarece rezultatul fiecărei lovituri următoare nu depinde de cel precedent, probabilitățile de valori posibile sunt:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Legea de distribuție dorită:

Găsiți funcția de distribuție F(X), Folosind formula (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X >5, F(x) = 1

Găsiți P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

O sarcină. 2.1.4DanaF(X) a unei variabile aleatoare:

Scrieți seria de distribuție pentru X.

Soluţie.

Din proprietăți F(X) Rezultă că valorile posibile ale variabilei aleatoare X - Puncte de întrerupere a funcției F(X), Și probabilitățile corespunzătoare sunt salturi ale funcției F(X). Găsiți valorile posibile ale variabilei aleatoare X=(0,1,2,3,4).

O sarcină. 2.1.5Setați ce funcție

Este o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare.

Dacă răspunsul este da, găsiți probabilitatea ca corespunzătoare valoare aleatorie preia valori[-3,2].

Soluţie. Să reprezentăm grafic funcțiile F1(x) și F2(x):

Funcția F2(x) nu este o funcție de distribuție, deoarece nu este nedescrescătoare. Funcția F1(x) este

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare, deoarece este nedescrescătoare și satisface condiția (2.3). Să găsim probabilitatea de a atinge intervalul:

O sarcină. 2.1.6Având în vedere densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X :

Găsi:

1. Coeficient C ;

2. functie de distributie F(x) ;

3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în interval(1, 3).

Soluţie. Din condiția de normalizare (2.9) găsim

Prin urmare,

Prin formula (2.10) găsim:

În acest fel,

Prin formula (2.4) găsim

O sarcină. 2.1.7Perioada de nefuncționare aleatorie a echipamentelor electronice în unele cazuri are o densitate de probabilitate

Unde M = lge = 0,4343...

Găsiți funcția de distribuție F(x) .

Soluţie. Prin formula (2.10) găsim

Unde

O sarcină. 2.2.1Este dată o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X :

Găsi valorea estimata, varianță, abatere standard, M, D[-3X + 2].

Soluţie.

Conform formulei (2.12) găsim așteptarea matematică:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. Folosind formula (2.19), găsim dispersia:

O sarcină. 2.2.2Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare continue X , a cărui funcție de distribuție

.

Soluţie. Găsiți densitatea de probabilitate:

Așteptările matematice se găsesc prin formula (2.13):

Găsim dispersia prin formula (2.19):

Să găsim mai întâi așteptările matematice ale pătratului variabilei aleatoare:

Deviație standard

O sarcină. 2.2.3Xare un număr de distribuții:

Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoareY = EX .

Soluţie. M[ Y] = M[ EX ] = e-- 1 0,2 + e0 0,3 + e1 0,4 + e2 0,1 =

0,2 0,3679 + 1 0,3 + 2,71828 0,4 + 7,389 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

O sarcină. 2.2.4Variabilă aleatorie discretă X Poate lua doar două valori X1 Și X2 , și X1< x2. Probabilitate cunoscută P1 = 0,2 Valoare posibilă X1 , valorea estimata M[X] = 3,8 Și dispersie D[X] = 0,16. Aflați legea distribuției unei variabile aleatoare.

Soluţie. Deoarece variabila aleatoare X ia doar două valori x1 și x2, atunci probabilitatea p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

După starea problemei, avem:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Astfel, avem sistemul de ecuații:

Condiție x1

O sarcină. 2.2.5Variabila aleatoare X este supusă legii distribuției, al cărei grafic al densității are forma:

Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard.

Soluţie. Să găsim funcția de distribuție diferențială f(x). În afara intervalului (0, 3) f(x) = 0. Pe intervalul (0, 3) graficul densității este o dreaptă cu panta k = 2/9 care trece prin origine. În acest fel,

Valorea estimata:

Aflați varianța și abaterea standard:

O sarcină. 2.2.6Găsiți așteptările și varianța matematică a sumei punctelor de pe patru zaruri dintr-o singură aruncare.

Soluţie. Să notăm A - numărul de puncte de pe un zar într-o singură aruncare, B - numărul de puncte de pe al doilea zar, C - pe al treilea zar, D - pe al patrulea zar. Pentru variabile aleatoare A, B, C, D, legea distribuției unu.

Atunci M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

O sarcină. 2.3.1Probabilitatea ca o particulă emisă dintr-o sursă radioactivă să fie înregistrată de un contor este egală cu 0.0001. În perioada de observație, 30000 particule. Găsiți probabilitatea ca contorul să fi înregistrat:

1. Exact 3 particule;

2. Nici o particulă;

3. Cel puțin 10 particule.

Soluţie. După condiție P= 30000, P= 0,0001. Evenimentele constând în faptul că sunt înregistrate particule emise dintr-o sursă radioactivă sunt independente; număr P Grozav, dar probabilitatea P Mic, deci folosim distribuția Poisson: Să găsim λ: λ = n P = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Probabilități dorite:

O sarcină. 2.3.2Există 5% piese non-standard în lot. 5 articole au fost selectate aleatoriu. Scrieți legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X - numărul de piese non-standard dintre cele cinci selectate; găsiți așteptările și varianța matematică.

Soluţie. Variabila aleatoare discretă X - numărul de părți nestandard - are o distribuție binomială și poate lua următoarele valori: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Probabilitatea de o piesă nestandard într-un lot p = 5 /100 = 0,05. Să găsim probabilitățile acestor valori posibile:

Să scriem legea de distribuție dorită:

Să găsim caracteristicile numerice:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Sau D[ X] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

O sarcină. 2.3.3Timpul de detectare a țintei radar este distribuit conform legii exponențiale

Unde1/ λ = 10 Sec. - timpul mediu de detectare a țintei. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie găsită în timp5 Inainte de15 Sec. după începerea căutării.

Soluţie. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X În interval (5, 15) Să găsim prin formula (2.8):

La Primim

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

O sarcină. 2.3.4Erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii normale cu parametrii a = 0, σ = 20 Mm. Scrieți funcția de distribuție diferențialăF(X) și găsiți probabilitatea ca măsurarea să fi făcut o eroare în intervalul de la 5 Inainte de 10 Mm.

Soluţie. Să substituim valorile parametrilor a și σ în funcția de distribuție diferențială (2.35):

Folosind formula (2.42), găsim probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X În interval , i.e. A= 0, B= 0,1. Apoi funcția de distribuție diferențială F(x) Va arata ca

Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod ușor de înțeles.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă.

De exemplu, ați decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă? Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță.

Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. ai sunat la 1 Uşă
2. ai sunat la al 2-lea Uşă
3. ai sunat la al 3-lea Uşă

Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten:

A. Pe 1 uşă
b. Pe al 2-lea uşă
în. Pe al 3-lea uşă

Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel. O bifă indică opțiunile atunci când alegerea dvs. se potrivește cu locația unui prieten, o cruce - când nu se potrivește.

Cum vezi totul Poate Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

DAR rezultate favorabile tuturor . Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea dvs. a coincis cu locația unui prieten) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci:

Nu este foarte convenabil să scriem o astfel de formulă, așa că vom lua pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru aceasta trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil, cuvântul „rezultate” ți-a atras atenția. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (pentru noi, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, se obișnuiește să numim rezultatul unor astfel de experimente un rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a deschis un străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sunați la 1 Uşă
2) Sună al 2-lea Uşă

Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) un prieten 1 uşă
b) un prieten pentru al 2-lea uşă

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile. Adică, probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Corect, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent? Adevărat, există.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile pentru orice (fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe margine), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar cozile au căzut. Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea să apară acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. De cât de mult suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile.

Distingerea evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară:

1. Dacă experimentul este efectuat o dată (odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori (o monedă este aruncată o dată, soneria este sună de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se schimbă, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea.

Exemplul 1

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a primi heads-up de două ori la rând?

Soluţie:

Luați în considerare toate opțiunile posibile:

1. vultur vultur
2. vultur cozi
3. cozi-vultur
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, toate opțiunile. Dintre acestea, doar noi suntem mulțumiți. Aceasta este probabilitatea:

Dacă condiția cere pur și simplu găsirea probabilității, atunci răspunsul trebuie dat ca fracție zecimală. Dacă s-ar indica că răspunsul trebuie dat ca procent, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2

Într-o cutie de ciocolată, toate bomboanele sunt ambalate în același ambalaj. Totuși, din dulciuri - cu nuci, coniac, cireșe, caramel și nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci. Dați răspunsul dvs. în procente.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică, luând o bomboană, va fi una dintre cele din cutie.

Și câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3

Într-o cutie de bile. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă acum?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. dintre care sunt albe.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi.

Răspuns:

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

De exemplu, într-o cutie de bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4

În cutie sunt pixuri: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea unor evenimente pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un pix roșu) este de .

Astfel, probabilitatea de a desena NU un pix roșu este -.

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Și dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, aruncând o monedă o dată, să vedem un vultur de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am greșit această listă o dată. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 role, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de harnici ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Luați în considerare exemplul aceleiași, nefericite monede.

Probabilitatea de a veni cap într-un proces? . Acum aruncăm o monedă.

Care este probabilitatea de a obține cozi la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se producă de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența TAILS-EAGLE-TAILS pe ​​flipuri consecutive, am face același lucru.

Probabilitatea de a obține cozi - , capete - .

Probabilitatea de a obține secvența TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o întoarcem o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci aici sunt evenimente incompatibile, aceasta este o anumită secvență dată de evenimente. sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că pierderea unui vultur sau a cozilor este două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea ca o secvență să cadă) (sau oricare alta), atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adăugăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiunile totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe de evenimente incompatibile.

Există o regulă grozavă care vă ajută să nu vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă de ori și vrem să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să scadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Și așa rezultă:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5

Sunt creioane în cutie. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce se va întâmpla? Trebuie să scoatem (roșu SAU verde).

Acum este clar, adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6

Un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea ca un total de 8 să apară?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a cădea dintr-o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

A face exerciţii fizice.

Cred că acum v-a devenit clar când trebuie să numărați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i asa? Hai să facem niște exerciții.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți în care cărțile sunt pică, inimi, 13 bâte și 13 tamburine. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte extrasă înapoi în pachet și amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (Jack, Queen sau King) și As. Secvența în care vor fi extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

1. Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
2. Evenimentele sunt dependente, deoarece după prima carte extrasă, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). Total de valeți, dame, regi și ași în pachet inițial, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage „imaginea” cu prima carte:

   Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că a mai rămas deja o carte în pachet, din care sunt imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:

   Deoarece suntem interesați de situația când ajungem de pe punte: „imagine” ȘI „imagine”, atunci trebuie să înmulțim probabilitățile:

   Răspuns:

3. După ce prima carte este extrasă, numărul de cărți din pachet va scădea, astfel avem două opțiuni:
   1) Cu prima carte scoatem As, a doua - vale, dama sau rege
   2) Cu prima carte scoatem un vale, dama sau rege, a doua - un as. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești un om grozav! Acum, sarcinile pe teoria probabilității în examen veți face clic ca nuci!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Luați în considerare un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este numele unui cub cu numere pe fețe. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm un zar și vrem să vină cu un sau. Și cădem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment favorabil(a nu se confunda cu bine).

Dacă ar cădea, evenimentul ar fi, de asemenea, de bun augur. În total, pot apărea doar două evenimente favorabile.

Câte rele? Deoarece toate evenimentele posibile, atunci cele nefavorabile dintre ele sunt evenimente (acest lucru este dacă cade sau).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Ele denotă probabilitatea cu o literă latină (aparent, din cuvântul englezesc probabilitate - probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectele și). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea ca aruncarea unei monede să cadă pe capete? Și care este probabilitatea unei cozi?
2. Care este probabilitatea ca un număr par să apară atunci când este aruncat un zar? Și cu ce - ciudat?
3. Într-un sertar de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm la întâmplare un creion. Care este probabilitatea de a scoate unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Și câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are un cub, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare :).
   Probabilitate. Cu ciudat, desigur, același lucru.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate deplină

Toate creioanele din sertar sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact la fel de multe evenimente favorabile câte evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este sau.

Un astfel de eveniment se numește cert.

Dacă în cutie sunt creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena unul verde sau unul roșu? Încă o dată. Rețineți următorul lucru: probabilitatea de a trage verde este egală, iar roșu este .

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. Acesta este, suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Amintiți-vă că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a trage verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Arunci o monedă de două ori și vrei să iasă capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Vultur-Vultur, Cozi-Vultur, Cozi-vultur, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Toată varianta. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. Deci, probabilitatea este egală.

Bun. Acum hai să aruncăm o monedă. Numără-te. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări următoare, probabilitatea scade cu un factor. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată când se face o nouă aruncare, rezultatul căruia nu depinde de toate aruncările anterioare. Cu același succes, putem arunca două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. O monedă este aruncată de ori. Care este probabilitatea de a primi cap mai întâi și apoi cozi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea unui vultur este egală. Probabilitatea de cozi de asemenea. Înmulțim:
3. 12 poate fi obținut numai dacă cad două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care se completează unul pe altul la probabilitate deplină. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc în același timp. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, fie capete, fie cozi pot cădea.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente de bun augur pentru toate: verde + roșu. Deci probabilitatea de a desena verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub următoarea formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Sarcini mixte

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatul aruncărilor să fie diferit?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă capetele apar pe primul loc, cozile ar trebui să fie pe locul doi și invers. Se pare că aici există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce ar trebui să se întâmple conectând evenimentele cu sindicatele „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Trebuie să se rostogolească (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o uniune „și”, va exista înmulțire, iar unde „sau” este adunare:

Incearca-l tu insuti:

1. Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară de două ori cu aceeași față?
2. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca suma să scadă puncte?

Solutii:

1. (Capul sus și capul sus) sau (cozile sus și coada sus): .
2. Care sunt optiunile? și. Apoi:
   Rulate (și) sau (și) sau (și): .

Alt exemplu:

Aruncăm o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să triez opțiunile... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi, ... Dar nu trebuie! Să vorbim despre probabilitatea completă. Amintit? Care este probabilitatea ca vulturul nu va scădea niciodată? Este simplu: cozile zboară tot timpul, adică.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre evenimente.

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt acele evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind uniunile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem semnul înmulțirii, iar în loc de „SAU” - adunarea.

Deveniți student la YouClever,

Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la tutorialul YouClever...

Numărul tău este al doisprezecelea, - spuse bradul, notând ceva într-o cărțiță. Flash i-a mulțumit bărbatului și a zburat în cabina lui. , Acum principalul lucru este să nu se adapteze. Sper că zâna nu te va dezamăgi când vom face spectacol..."" - cu aceste gânduri, bruneta a aterizat pe o creangă de lângă foișor, unde deja îl așteptau două persoane. „În sfârșit, ai venit”, unul dintre cei care așteptau, Nick, îi făcu semn cu un zâmbet. Fata cu ochi cenușii cu pătrat întunecat, care este persoana a doua, dădu din cap doar în semn de salut, mergând direct la obiect: - Și sub ce număr facem? întrebă ea, punând pe masă cești de cafea aromată. - Doisprezece, - aşezându-se la masă, răspunse tipul. - Trebuie să repetăm: trebuie să știm cum sună noi trei. -Nu trebuie să facem prea bine, Dragotius, - l-a răcorit fata imediat, - asta e o copertă. După spectacol, pur și simplu vei primi cheia de la amanta noastră, așa cum a promis, - la aceste cuvinte, Flash s-a strâmbat de parcă ar fi mâncat o lămâie, - și Nick va fi inițiat. „Nu vreau să pierd fața în fața întregii curți”, a răspuns Dragotius. „Fash, Diana”, a implorat Nick, uitându-se la cei doi pe rând, „te rog să oprești. Cred că ar trebui să repetim. - Starea de spirit nu este cântec, - mormăi Fash și, fără măcar să mănânce, se duse în camera lui. *acum câteva zile* - Deci, - spuse Konstantin cu un zâmbet vesel, după ce i-a adunat pe Fash și Nick în atelier, - Am două vești. În primul rând, am aranjat cu Regina Albă inițierea ta, Nick. - Cum ai făcut-o? Flash se uită surprins la Lazarev. — Îți spun mai târziu, a zâmbit tatăl lui Nick. - fiule, ai putea sa ne lasi? Blonda a părăsit camera, închizând ușa în urma lui. Konstantin a devenit serios, îndreptându-și privirea spre brunetă: -Fesh, Astarius m-a rugat să-ți spun că Regina Albă i-a promis Cheia de Argint. Trebuie să mergi la Charodol, să participi la Descântece și să iei Cheia de Argint de la Regine, - Dragotius a fost uimit că Astarius i-a încredințat să poarte această cheie, deși a auzit despre ea a doua oară. Profesorul îl prevenise deja, explicându-i că bruneta scăpase din Astrogor... *** Performanța lor a făcut zgomot în regatul zânelor: creaturi cu șase aripi ridicau săgețile ceasului, aplaudau și strigau cu entuziasm. Temerile lui Flash erau nefondate, ceea ce se bucura. Curând a primit o scrisoare pe lista de urmărire, care spunea că el, în calitate de câștigător al farmecelor, ar trebui să vină la miezul nopții la Castelul Alb. Bruneta s-a apropiat de foișor, unde deja stăteau Nick și Diana, care s-au bucurat și ei că spectacolul a avut succes. — Ei bine, se întoarse el spre Fraser într-un mod jucăuș, ne-ați escorta la Castelul Alb, doamnă domnișoară de onoare? - Nick a pufnit în ceașcă, iar Diana doar a zâmbit. De ce nu ai spus că ești o doamnă de serviciu? - Fash s-a așezat la masă - M-am simțit ca un prost când s-au apropiat de mine și mi-au spus că prestația mea cu doamna Diana Fraser, domnișoara de onoare a Majestății Sale, a făcut zgomot! - nici Nick, nici Diana nu s-au putut abține să râdă... *miezul nopții* -Fashiar Dragotsiy, - Regina Albă, care s-a ridicat de pe tron, împodobită pe spate cu crenguțe de aur cu frunze de smarald, a făcut semn cu mâna uneia dintre fete. , - pentru victoria în descântecele și promisiunile lui Astarius, îți voi da Cheia de Argint. Cred că știi că este o mare responsabilitate. Protejează-l, ține-l ca miricul ochilor. — Îți promit, încuviință Flash din cap, privind cu încredere la Regina Zânelor. Ușa se deschise și fata aduse Cheia de argint sprijinită pe o pernă de mătase roșie. Zâna s-a apropiat de el și s-a oprit într-o plecăciune, întinzând o pernă cu o cheie. Flash a luat cu grijă cheia și a făcut o plecăciune în fața Reginei: - Îți mulțumesc cu umilință pentru onoarea făcută mie. Conducătorul Zânelor dădu din cap și flutură mâna, permițându-i lui Fash să meargă la casa de odihnă. Nick a fost luat la început pentru ca el să fie supus inițierii. *** -...și mi-au dat un fel de poțiune de timp. Ei bine, l-am băut. Drept urmare, gradul de oră a treia, - Nick a zâmbit fericit, povestindu-i prietenului său ce sa întâmplat cu el în Castelul Alb. Diana s-a așezat cu ei și a băut calmă cafea, mâncând o chiflă. - Apropo, am și eu niște vești.Lăsând ceașca deoparte, Diana zâmbi, punând o cheie mică de fier pe masă. Pentru o secundă, Flash și Nick se uitară surprinși la cheie, apoi la fată, dar în clipa următoare Dragotsy sări de pe scaun și se repezi să o îmbrățișeze pe Diana, zâmbind bucuros. -Stiam! el a exclamat. zâna înroșită abia a scăpat din brațele tipului: -În primul rând, dă-mi drumul, mă vei sugruma! În al doilea rând, de unde ai știut? - -Ghici, desigur, nu a fost dificil, - a spus un Fash mulțumit. - Zâna curții, cea mai bună studentă, și chiar disperată... Bănuiam că și tu ești menajeră, de îndată ce te-am văzut. - Da, - a tras Nick, care și-a revenit după surprindere, - întâlnirea în pădure cu tine a fost puțin neașteptată. - Ce a fost atât de neașteptat? Diana s-a uitat la prietena ei cu interes. „De exemplu, faptul că ai sărit brusc din întuneric spre noi”, a spus Flash. - Da, - mai tânărul-acum-deja-ceasornicar Lazarev dădu din cap, - Desigur, știam că ne vom întâlni în pădure, dar nu a meritat să sarim din întuneric atât de neașteptat la noi. „Dar e bine că am mers imediat la Charodol”, a chicotit Dragotius. Băieții au dat din cap și au continuat micul dejun...

Noapte. Lumina lunii pline, atârnată pe cerul înstelat, prin vitraliile de pe ferestre a luminat coridoarele mohorâte ale Zmiulanului, de pe pereții cărora se reflecta zgomotul ecou al alergării. - Ei bine, ce fată! mormăi Flash pe nerăsuflate. - S-a speriat, știi... Numai timpul pierdut în zadar! Sper că totuși reușesc să scap... de data asta... Răpindu-se spre Sala de Piatră, s-a rugat să nu-i ia nimeni în cale. Dar totul s-a întâmplat exact invers. În întunericul coridoarelor (unde nu s-au obosit să facă ferestre) Dragotsy s-a izbit de cineva, auzind o voce cunoscută: „Cine aleargă nebun pe aici?! „”. Bruneta a chemat o săgeată de oră și a aprins o lumină pe vârful ei. La lumina unei lămpi improvizate lovită... Vasilisa?! -Tu?! au exclamat cei doi în acelaşi timp. Flash a fost simultan surprins și uşurat: la urma urmei, ei sunt în relaţii bune cu Ogneva, iar ea nu îl va trăda... ei bine, așa spera el. Tipul a crezut că roșcata a experimentat ceva asemănător. -Ce faci aici? Dragotsy întinse mâna către Vasilisa. După ce a acceptat ajutorul, s-a ridicat și s-a periat: - Aș vrea să vă pun aceeași întrebare. — Am fost primul care a întrebat, Flash și-a încrucișat brațele. -Nu contează. În general, nu e treaba ta, - se răsti Vasilisa. — Ei bine, asta înseamnă că ceea ce fac eu nu este treaba ta, a dat Dragotius calm din umeri. Roșcata își strânse buzele și se uită gânditoare la brunetă: - O să-ți spun abia după tine. „Ei bine… eu…” începu Flash, încercând să găsească cuvintele, dar nu ieși nimic. „Bine, vreau să fug”, a scapat Dragotius. Vasilisei făcu ochii mari: -Ești nebun? Flash își dădu ochii peste cap și se uită iritat la Ogneva: - Nu, dar nu vreau să rămân aici. - Dacă ești prins, vei fi pedepsit. Amintește-ți ce s-a întâmplat data trecută, - femeia cu părul roșu și-a încrucișat brațele peste piept. Dragotius se strâmbă: -Ascultă, mai bine să nu mă deranjezi. Vasilisa se uită gânditoare la brunetă: - Păi, nu mă voi amesteca... cu atât mai mult, sunt atât de amabil azi încât nici nu te voi trăda, - Ogneva chicoti și, întorcându-se, a vrut să plece, dar Flash a oprit-o cu o grindină: - Vasilisa, - fata s-a întors și a privit cu așteptare la brunetă, - mulțumesc, - Dragotius a zâmbit și a fugit. Ogneva a zâmbit și s-a îndreptat spre ea... *** -A fost o mare greșeală, nepotule, - Astragor se înălța peste Fesh, pe jumătate gol, întins. Elevii au început să șoptească încet. - Ai încercat să scapi de mai multe ori și ai fost mereu pedepsit... - Shackle, care a venit special să comită masacrul, a scos una dintre vergele și a făcut cu mâna de câteva ori. Se auzi un trosnet. - Sper că veți înțelege că este inutil să alergați, - marele spirit al lui Osla a întors spatele infractorului, fața - către restul studenților: - Cred că asta vă va servi de exemplu și pentru voi. Tija, tăind prin aer, a trecut imediat peste spatele lui Flash, lăsând dungi roșii, chiar sângeroase. Lovitură după lovitură. Bruneta a suportat cu stoicitate toate loviturile, emitând doar ocazional un geamăt pe jumătate - jumătate vuiet. Ucenicii l-au privit cu un fel de răutate. Numai Vasilisa și Zakharra se uitară entuziasmate la brunetă... *** Flash stătea în temniță și se gândi. Anterior, pur și simplu l-au băgat în temniță, lăsându-l fără mâncare, dar acum, se pare, unchiul său este obosit că nepotul său este pedepsit atât de ușor. Bruneta a ridicat din umeri, făcând o strâmbă de durere. Nu dădea atenție frigului, umezelii, cufundat în gânduri. A fost scos din gânduri de sunetul pașilor care răsună pe coridor. Curând, Vasilisa a ieșit sub lumina torței. Flash s-a dus imediat la baruri: -Ce faci aici? - Ține, - Ogneva și-a pus mâna între gratii și i-a dat lui Dragotsy o bucată destul de decentă de pâine încă caldă cu semințe. Flash a luat mâncarea. - Și care sunt aceste accese de generozitate? a chicotit el. - Acest Zakharra mi-a cerut să trec. N-au lăsat-o să treacă, - Ogneva a ridicat din umeri. - Adică Zakharra nu avea voie să intre, dar tu, cel care nu ești rudă cu Astragor, ai fost lăsat în liniște? Bruneta chicoti. „Ei bine, nu mă hotărăsc”, Vasilisa a ridicat din nou din umeri, cu toate acestea, Flash a observat emoție în ochii ei. — Ei bine, o voi întreba pe Zaharra despre asta mai târziu, spuse Dragotius calm, mușcând niște pâine. „Întreabă-mă, dar trebuie să plec deja”, s-a întors Ogneva și a mers calm spre colț și s-a întors în spatele lui. Curând, Flash a auzit sunetul alergării și a chicotit. Totuși, aceasta este inițiativa ei. Probabil, a fugit la sora ei pentru a negocia pentru orice eventualitate „”...