Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoști câteva caracteristici numerice, ceea ce face posibilă prezentarea principalelor caracteristici variabilă aleatorieîn formă scurtă.
Aceste cantități sunt în primul rând valorea estimatași dispersie .
Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilităţilor. Desemnat ca .
cu cel mai mult într-un mod simplu așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X(w), se găsesc ca integralăLebesgueîn ceea ce priveşte măsura probabilităţii R original spațiu de probabilitate
De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:
unde este setul tuturor valorilor posibile X.
Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X este prin distribuție R X. De exemplu, dacă X- variabilă aleatoare cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate Borelfuncţie X , apoi:
În cazul în care un F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):
în timp ce integrabilitatea X in ce sens ( * ) corespunde finiturii integralei
În cazuri specifice, dacă X Are distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități , atunci
dacă X are o distribuție absolut continuă cu o densitate de probabilitate p(x), apoi
în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.
- Valorea estimata valoare constantă este egal cu aceasta valoare:
C- constant;
- M=C.M[X]
- Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente = produsul așteptărilor lor matematice:
L=M[X]+L[Y]
dacă Xși Y independent.
dacă seria converge:
Algoritm pentru calcularea așteptării matematice.
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate numere naturale; echivalează fiecare valoare cu o probabilitate diferită de zero.
1. Înmulțiți perechile pe rând: x i pe pi.
2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.
De exemplu, pentru n = 4 :
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.
Exemplu: Găsiți așteptările matematice după formula.
Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X , dată pe un spațiu de probabilitate discret, este numărul m =M[X]=∑x i p i , dacă seria converge absolut.
Atribuirea serviciului. Cu un serviciu online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F(X).
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare
- Așteptarea matematică a unei constante este egală cu ea însăși: M[C]=C , C este o constantă;
- M=C M[X]
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M=M[X]+M[Y]
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M=M[X] M[Y] dacă X și Y sunt independenți.
Proprietăți de dispersie
- Dispersia unei valori constante este egală cu zero: D(c)=0.
- Factorul constant poate fi scos de sub semnul de dispersie prin pătratul: D(k*X)= k 2 D(X).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pentru varianță, formula de calcul este valabilă:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Aflați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare Z=9X-8Y+7 .
Soluţie. Pe baza proprietăților așteptărilor matematice: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Pe baza proprietăților de dispersie: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritm pentru calcularea așteptării matematice
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; Atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.- Înmulțiți perechile unul câte unul: x i cu p i .
- Adunăm produsul fiecărei perechi x i p i .
De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemplul #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Așteptările matematice se găsesc prin formula m = ∑x i p i .
Așteptări matematice M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersia se găsește prin formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersia D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Abaterea standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Exemplul #2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Soluţie. Valoarea a se găsește din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24=3 a , de unde a = 0,08
Exemplul #3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Soluţie.
Aici trebuie să faceți o formulă pentru a găsi varianța d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
unde așteptarea m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pentru datele noastre
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
În consecință, este necesar să găsiți rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
O alegem pe cea care satisface condiția x 1
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.
Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu medie. variabilă aleatorie. Dispersia unei variabile aleatoare - o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice.
În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatoare folosind caracteristici numerice.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să ajungem la conceptul de așteptare matematică. Fie ca masa unei substanțe să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n. Mai mult, fiecare punct material are o masă care îi corespunde cu o probabilitate de p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să alegeți un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare astfel obţinută X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1 A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt de 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru o persoană care cumpără un bilet?
Soluţie. Vom găsi câștigul mediu dacă suma totală de câștiguri, care este egală cu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și în următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților și probabilitatea de a le primi.
Exemplul 2 Editura a decis să publice o nouă carte. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Soluţie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de cochilii care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Soluţie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de scoici:
.
Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .
Proprietăți de așteptare
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.
Proprietatea 1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar DIN, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.
Să fie variabile aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și slabi. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete
dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:
.
Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Soluţie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y constitui
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.
Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.
Soluţie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceleași așteptări matematice. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât este mai mare riscul investiției. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Să prezentăm proprietățile dispersiei.
Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Soluţie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatorie ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția
Exemplul 8 Variabilă aleatorie discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare.
Exemplul 9 O urna contine 6 bile albe si 4 negre. Din urnă se iau 3 bile. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date este:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .
După cum se știe deja, legea distribuției caracterizează complet o variabilă aleatoare. Totuși, legea distribuției este adesea necunoscută și trebuie să te limitezi la informații mai puține. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total; se numesc astfel de numere caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.
Așteptările matematice sunt una dintre caracteristicile numerice importante.
Așteptările matematice sunt aproximativ egale cu valoarea medie a unei variabile aleatorii.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.
Dacă o variabilă aleatoare este caracterizată printr-o serie finită de distribuție:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
apoi așteptarea matematică M(X) este determinată de formula:
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue sunt determinate de egalitatea:
unde este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X.
Exemplul 4.7. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte care cad atunci când este aruncat un zar.
Soluţie:
Valoare aleatoare X ia valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6. Să facem legea distribuției sale:
| X | ||||||
| R |
Atunci așteptarea matematică este:
Proprietățile așteptărilor matematice:
1. Așteptările matematice ale unei constante sunt egale cu constanta însăși:
M(S)=S.
2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:
M(CX) = CM(X).
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M(XY) = M(X)M(Y).
Exemplul 4.8. Variabile aleatoare independente Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare XY.
Soluţie.
Să găsim așteptările matematice pentru fiecare dintre aceste mărimi:
variabile aleatoare Xși Y independent, deci așteptările matematice dorite:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Consecinţă. Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.
Exemplul 4.9. Se trag 3 lovituri cu probabilitati de a lovi tinta egale cu p 1 = 0,4; p2= 0,3 și p 3= 0,6. Aflați așteptările matematice ale numărului total de rezultate.
Soluţie.
Numărul de lovituri la prima lovitură este o variabilă aleatorie X 1, care poate lua doar două valori: 1 (lovitură) cu probabilitate p 1= 0,4 și 0 (rată) cu probabilitate q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Așteptarea matematică a numărului de lovituri în prima lovitură este egală cu probabilitatea de a lovi:
În mod similar, găsim așteptările matematice ale numărului de lovituri în a doua și a treia lovitură:
M(X 2)= 0,3 și M (X 3) \u003d 0,6.
Numărul total de lovituri este, de asemenea, o variabilă aleatorie constând din suma loviturilor din fiecare dintre cele trei lovituri:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Așteptările matematice dorite X găsim prin teorema matematicii, așteptarea sumei.
- numarul de baieti din 10 nou-nascuti.
Este destul de clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar în următorii zece copii născuți pot exista:
Sau băieți - unul si numai unul dintre opțiunile enumerate.
Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:
- distanta de saritura in lungime (în unele unități).
Nici măcar maestrul sportului nu este în stare să prevadă :)
Totuși, care sunt ipotezele tale?
2) Variabilă aleatoare continuă - ia toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.
Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională
Mai întâi, să analizăm o variabilă aleatorie discretă, apoi - continuu.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
- aceasta este conformitateîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel: 
Termenul este destul de comun rând
distributie, dar în unele situații sună ambiguu și, prin urmare, voi respecta „legea”.
Si acum punct foarte important: din moment ce variabila aleatoare neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:
sau, dacă este scris pliat:
Deci, de exemplu, legea distribuției probabilităților punctelor de pe un zar are următoarea formă: 
Fără comentarii.
Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua doar valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:
Exemplul 1
Unele jocuri au următoarea lege de distribuire a plăților: 
…probabil că visezi de mult timp la astfel de sarcini :) Hai să-ți spun un secret – și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.
Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu: 
Îl expunem pe „partizanul”: 
– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.
Control: de ce ai nevoie pentru a te asigura.
Răspuns:
Nu este neobișnuit când legea distribuției trebuie elaborată independent. Pentru această utilizare definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:
Exemplul 2
În cutie sunt 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă 1000 de ruble fiecare, iar restul - 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - mărimea câștigurilor, dacă un bilet este extras aleatoriu din casetă.
Soluţie: după cum ați observat, este obișnuit să plasați valorile unei variabile aleatoare în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.
În total, sunt 50 - 12 = 38 de astfel de bilete, iar conform definiție clasică:
este probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să nu câștige.
Restul cazurilor sunt simple. Probabilitatea de a câștiga ruble este:
Verificarea: - și acesta este un moment deosebit de plăcut al unor astfel de sarcini!
Răspuns: legea impusă de distribuire a plăților: 
Următoarea sarcină pentru o decizie independentă:
Exemplul 3
Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.
... Stiam ca ti-a fost dor de el :) Ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică este util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
În termeni simpli, asta valoarea medie aşteptată cu teste repetate. Lasă o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități 
respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma de produse toate valorile sale după probabilitățile corespunzătoare:
sau în formă pliată: 
Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:
Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic: 
Apare întrebarea: este chiar profitabil să joci acest joc? ... cine are impresii? Așa că nu poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată probabilități de câștig:
Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.
Nu aveți încredere în impresii - aveți încredere în numere!
Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung vom fi inevitabil ruinați. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.
Din toate cele de mai sus, rezultă că așteptarea matematică NU este o valoare aleatorie.
Sarcina creativă pentru cercetare independentă:
Exemplul 4
Domnul X joacă la ruleta europeană după următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe roșu. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare - profitul acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copeici. Cum in medie jucătorul pierde la fiecare sută de pariuri?
Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). În cazul unei căderi „roșii”, jucătorului i se plătește un pariu dublu, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului.
Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilități. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege și tabele de distribuție, deoarece este stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Doar modificări de la sistem la sistem
