Caracteristicile DSW și proprietățile lor. Așteptări matematice, varianță, abatere standard

Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Totuși, atunci când este imposibil de găsit legea distribuției, sau acest lucru nu este necesar, se poate limita la găsirea unor valori, numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare. Aceste valori determină o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile unei variabile aleatoare și gradul de dispersie a acestora în jurul acestei valori medii.

așteptări matematice O variabilă aleatoare discretă este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și a probabilităților acestora.

Așteptările matematice există dacă seria de pe partea dreaptă a egalității converge absolut.

Din punct de vedere al probabilității, putem spune că valorea estimata aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.

Exemplu. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este cunoscută. Găsiți așteptările matematice.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Soluţie:

9.2 Proprietăți de așteptare

1. Aşteptare matematică valoare constantă egală cu cea mai constantă.

2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării.

3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

Această proprietate este valabilă pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.

4. Aşteptarea matematică a sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma aşteptărilor matematice ale termenilor.

Această proprietate este valabilă și pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.

Să fie efectuate n încercări independente, probabilitatea de apariție a evenimentului A în care este egală cu p.

Teorema. Așteptarea matematică M(X) a numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare încercare.

Exemplu. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice ale lui X și Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Soluţie:

9.3 Dispersia unei variabile aleatoare discrete

Cu toate acestea, așteptările matematice nu pot caracteriza pe deplin un proces aleatoriu. Pe lângă așteptarea matematică, trebuie să introduceți o valoare care caracterizează abaterea valorilor unei variabile aleatoare de la așteptarea matematică.

Această abatere este egală cu diferența dintre variabila aleatoare și așteptarea ei matematică. În acest caz, așteptarea matematică a abaterii este zero. Acest lucru se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, altele sunt negative și, ca urmare a anulării lor reciproce, se obține zero.

Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică.

În practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii.

Prin urmare, se folosește o altă metodă.

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptările matematice ale pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptărilor sale matematice.

Dovada. Ținând cont de faptul că așteptarea matematică M (X) și pătratul așteptării matematice M 2 (X) sunt valori constante, putem scrie:

Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete dată de legea distribuției.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Soluție: .

9.4 Proprietăţi de dispersie

1. Dispersia unei valori constante este zero. .

2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. .

3. Varianta sumei a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. .

4. Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile. .

Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea p de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitățile de apariție și de neapariție. a evenimentului în fiecare proces.

9.5 Abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete

Deviație standard variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței.

Teorema. Deviația pătratică medie a sumei unui număr finit de variabile aleatoare independente reciproc este rădăcină pătrată din suma pătratelor abaterilor standard ale acestor mărimi.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Așteptări și variații matematice - bezbotvy

✪ Teoria probabilității 15: Așteptări matematice

✪ Așteptări matematice

✪ Așteptări și variații matematice. Teorie

✪ Așteptări matematice în tranzacționare

Subtitrări

Definiție

Să fie dat o probabilitate spațiu (Ω, A, P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))și valoarea aleatoare definită pe acesta X (\displaystyle X). Adică, prin definiție, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) ) este o funcție măsurabilă. Dacă există o integrală Lebesgue a X (\displaystyle X) prin spatiu Ω (\displaystyle \Omega ), atunci se numește așteptarea matematică sau valoarea medie (așteptată) și se notează M [ X ] (\displaystyle M[X]) sau E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega)\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)

Formule de bază pentru așteptările matematice

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).

Așteptarea matematică a unei distribuții discrete

P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1) )^(\infty )p_(i)=1),

atunci rezultă direct din definiţia integralei Lebesgue că

M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).

Așteptarea matematică a unei valori întregi

P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)

atunci așteptarea sa matematică poate fi exprimată în termenii funcția generatoare a secvenței ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))

ca valoarea primei derivate la unitate: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Dacă așteptarea matematică X (\displaystyle X) infinit, atunci lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty ) si vom scrie P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )

Acum să luăm funcția de generare Q (s) (\displaystyle Q(s)) secvenţe de „cozi” ale distribuţiei ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))

q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)

Această funcție generatoare este legată de funcția definită anterior P (s) (\displaystyle P(s)) proprietate: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s))) la | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Din aceasta, conform teoremei valorii medii, rezultă că așteptarea matematică este pur și simplu egală cu valoarea acestei funcție la unitate:

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))

Așteptarea matematică a unei distribuții absolut continue

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).

Așteptările matematice ale unui vector aleatoriu

Lăsa X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R) ^(n)) este un vector aleatoriu. Apoi, prin definiție

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots,M)^(\top )),

adică așteptarea matematică a unui vector este determinată componentă cu componentă.

Așteptarea matematică a transformării unei variabile aleatoare

Lăsa g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) ) este o funcție Borel  astfel încât variabila aleatoare Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X)) are o așteptare matematică finită. Atunci formula este valabilă pentru aceasta:

M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty)g(x_(i))p_(i )),

dacă X (\displaystyle X) are o distribuție discretă;

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x) f_(X)(x)\,dx),

dacă X (\displaystyle X) are o distribuţie absolut continuă.

Dacă distribuţia P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X)) variabilă aleatorie X (\displaystyle X) forma generala, deci

M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\, \mathbb (P) ^(X)(dx)).

În cazul special când g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), Valorea estimata M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M\left=M) numit k (\displaystyle k)-al-lea moment al variabilei aleatoare.

Cele mai simple proprietăți ale așteptărilor matematice

• Așteptarea matematică a unui număr este numărul însuși.

M [ a ] ​​​​ = a (\displaystyle M[a]=a) a ∈ R (\displaystyle a\in \mathbb (R) )- constant;

• Așteptarea matematică este liniară, adică

M [ a X + b Y ] = a M [ X ] + b M [ Y ] (\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]), Unde X , Y (\displaystyle X,Y) sunt variabile aleatoare cu o așteptare matematică finită și a , b ∈ R (\displaystyle a,b\in \mathbb (R) )- constante arbitrare; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] (\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]); M [ X ] = M [ Y ] (\displaystyle M[X]=M[Y]). M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] (\displaystyle M=M[X]M[Y]).

1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși M(S)=S .
2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării: M(CX)=CM(X)
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorema. Așteptarea matematică M(x) a numărului de apariții a evenimentelor A în n încercări independente este egală cu produsul acestor încercări cu probabilitatea de apariție a evenimentelor în fiecare încercare: M(x) = np.

Lăsa X este o variabilă aleatoare și M(X) este așteptarea sa matematică. Considerați ca o nouă variabilă aleatoare diferența X - M(X).

Abaterea este diferența dintre o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică.

Abaterea are următoarea lege de distribuție:

Soluție: Aflați așteptările matematice:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Să scriem legea distribuției abaterii pătratului:

Rezolvare: Aflați așteptarea M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Să scriem legea de distribuție a variabilei aleatoare X 2

x2
P	0.1	0.6	0.3

Să găsim așteptările matematice M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Dispersia dorită D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Proprietăți de dispersie:

1. Dispersia unei valori constante DIN este egal cu zero: D(C)=0
2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianta sumei variabilelor aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție și neapariție a unui eveniment într-o singură încercare D(X)=npq

Pentru a estima dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii, pe lângă varianță, servesc și alte caracteristici. Printre acestea se numără abaterea standard.

Abaterea standard a unei variabile aleatoare X numită rădăcina pătrată a varianței:

σ(X) = √D(X) (4)

Exemplu. Variabila aleatoare X este dată de legea distribuției

X
P	0.1	0.4	0.5

Găsiți abaterea standard σ(x)

Rezolvare: Aflați așteptarea matematică X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Să aflăm așteptarea matematică a lui X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Aflați dispersia: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Abaterea standard dorită σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorema. Abaterea standard a sumei unui număr finit de variabile aleatoare reciproc independente este egală cu rădăcina pătrată a sumei abaterilor standard pătrate ale acestor variabile:

Exemplu. Sunt 3 cărți de matematică și 3 de fizică pe un raft cu 6 cărți. Trei cărți sunt alese la întâmplare. Găsiți legea de distribuție a numărului de cărți de matematică între cărțile selectate. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.

Așteptarea matematică este, definiția

Mat așteptare este unul dintre cele mai importante concepte din statistica matematică și teoria probabilității, care caracterizează distribuția valorilor sau probabilități variabilă aleatorie. De obicei exprimată ca o medie ponderată a tuturor parametrilor posibili ai unei variabile aleatorii. Este utilizat pe scară largă în analiza tehnică, studiul seriilor de numere, studiul proceselor continue și pe termen lung. Este important în evaluarea riscurilor, prezicerea indicatorilor de preț atunci când se tranzacționează pe piețele financiare și este utilizat în dezvoltarea de strategii și metode de tactici de joc în teoria jocurilor de noroc.

șahmat în așteptare- aceasta este valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuție probabilități variabila aleatoare este considerata in teoria probabilitatii.

Mat așteptare este măsură a valorii medii a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X notat M(x).

Așteptările matematice (Media populației) este

Mat așteptare este

Mat așteptare esteîn teoria probabilității, media ponderată a tuturor valorilor posibile pe care le poate lua această variabilă aleatorie.

Mat așteptare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare cu probabilitățile acestor valori.

Așteptările matematice (Media populației) este

Mat așteptare este beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și a unei distanțe lungi.

Mat așteptare esteîn teoria jocurilor de noroc, suma de câștiguri pe care un speculator le poate câștiga sau pierde, în medie, pentru fiecare pariu. În limbajul jocurilor de noroc speculatorii acesta este uneori numit „avantaj speculant” (dacă este pozitivă pentru speculator) sau „marginea casei” (dacă este negativă pentru speculator).

Așteptările matematice (Media populației) este

Mat așteptare este profit pe câștig înmulțit cu medie profit, minus pierderea înmulțită cu pierderea medie.

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare în teoria matematică

Una dintre caracteristicile numerice importante ale unei variabile aleatorii este așteptarea. Să introducem conceptul de sistem de variabile aleatoare. Luați în considerare un set de variabile aleatoare care sunt rezultatele aceluiași experiment aleatoriu. Dacă este una dintre valorile posibile ale sistemului, atunci evenimentul corespunde unei anumite probabilități care satisface axiomele Kolmogorov. O funcție definită pentru orice valori posibile ale variabilelor aleatoare se numește lege de distribuție comună. Această funcție vă permite să calculați probabilitățile oricăror evenimente din. În special, articulație lege distribuția variabilelor aleatoare și, care iau valori din mulțime și, este dată de probabilități.

Termenul „mat. expectation” a fost introdus de Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) și provine din conceptul de „valoare așteptată a plății”, care a apărut pentru prima dată în secolul al XVII-lea în teoria jocurilor de noroc în lucrările lui Blaise Pascal și Christian Huygens. Cu toate acestea, prima înțelegere teoretică și evaluare completă a acestui concept a fost dată de Pafnuty Lvovich Cebyshev (mijlocul secolului al XIX-lea).

Lege distribuțiile variabilelor numerice aleatoare (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descriu complet comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale cantității studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare sunt așteptarea, varianța, modul și mediana.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete sunt suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile lor corespunzătoare. Uneori mat. așteptarea se numește medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pe un număr mare de experimente. Din definiția covorașului de așteptare, rezultă că valoarea sa nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt o variabilă non-aleatorie (constantă).

Așteptările matematice au o semnificație fizică simplă: dacă o unitate de masă este plasată pe o linie dreaptă, plasând o anumită masă în anumite puncte (de exemplu distribuție discretă), sau „untând” cu o anumită densitate (pentru o distribuție absolut continuă), atunci punctul corespunzător așteptării va fi coordonata „centrului de greutate” al dreptei.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr, care este, așa cum ar fi, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare a lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m la dreapta”, indicăm prin aceasta o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care îi descrie amplasarea pe axa numerică, adică descriere a pozitiei.

Dintre caracteristicile situației din teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea unei variabile aleatoare, care uneori se numește pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Luați în considerare o variabilă aleatorie X, care are valori posibile x1, x2, …, xn cu probabilităţi p1, p2, …, pn. Trebuie să caracterizăm printr-un anumit număr poziția valorilor variabilei aleatoare pe axa x cu luând în considerare că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să se folosească așa-numita „medie ponderată” a valorilor xi, iar fiecare valoare xi în timpul medierii ar trebui luată în considerare cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare X, pe care o vom nota M|X|:

Această medie ponderată se numește așteptarea mat a variabilei aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul de mat. așteptări. Mat. Așteptarea unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.

Mat. așteptarea unei variabile aleatoare X datorită unui fel de dependență de media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii cu un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip ca și dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare se apropie (converge în probabilitate) de stratul său. aşteptare. Din prezența unei relații între frecvență și probabilitate, se poate deduce ca o consecință existența unei relații similare între media aritmetică și așteptarea matematică. Într-adevăr, luați în considerare o variabilă aleatorie X, caracterizată printr-o serie de distribuții:

Lasă-l să fie produs N experimente independente, în fiecare dintre ele valoarea X capătă o anumită valoare. Să presupunem că valoarea x1 a apărut m1 ori, valoare x2 a apărut m2 ori, sens general xi a aparut de mie ori. Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale lui X, care, spre deosebire de covorașele de așteptare M|X| vom nota M*|X|:

Cu o creștere a numărului de experimente N frecvente pi va aborda (converge în probabilitate) probabilitățile corespunzătoare. Prin urmare, media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare M|X| cu o creștere a numărului de experimente, se va apropia (converge în probabilitate) de așteptările sale. Relația formulată mai sus între media aritmetică și mat. așteptarea este conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari.

Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că anumite medii sunt stabile pe un număr mare de experimente. Aici vorbim despre stabilitatea mediei aritmetice a unei serii de observații de aceeași valoare. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape deloc aleatoriu” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - mat. aşteptare.

Proprietatea de stabilitate a mediilor pentru un număr mare de experimente este ușor de verificat experimental. De exemplu, cântărind un corp în laborator pe cântare precise, obținem de fiecare dată o nouă valoare ca urmare a cântăririi; pentru a reduce eroarea de observație cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de observat că, odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri), media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin, iar cu un număr suficient de mare de experimente practic încetează să se schimbe.

Trebuie remarcat faptul că cea mai importantă caracteristică a poziției unei variabile aleatoare este mat. așteptare - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se facă exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care mat. nu există nicio așteptare, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge. Cu toate acestea, pentru practică, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ. De obicei, variabilele aleatoare cu care avem de-a face au o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare mat.

Pe lângă cele mai importante dintre caracteristicile poziției unei variabile aleatoare - valoarea așteptării - sunt uneori folosite în practică și alte caracteristici ale poziției, în special modul și mediana variabilei aleatoare.

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă”, strict vorbind, se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă. Figurile arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.

Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, se spune că distribuția este „polimodală”.

Uneori există distribuții care au la mijloc nu un maxim, ci un minim. Astfel de distribuții sunt numite „antimodale”.

În cazul general, modul și așteptarea unei variabile aleatoare nu coincid. În cazul special când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există un covor. așteptare, atunci coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.

O altă caracteristică a poziției este adesea folosită - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei utilizată numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definită formal și pentru o variabilă discontinuă. Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este bisectată.

În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana coincide cu mat. așteptări și modă.

Așteptarea matematică este o valoare medie, o variabilă aleatoare - o caracteristică numerică a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare. În modul cel mai general, așteptarea mat a unei variabile aleatoare X(w) este definită ca integrala Lebesgue în raport cu măsura probabilității Rîn spațiul de probabilitate inițial:

Mat. așteptarea poate fi calculată și ca integrală Lebesgue a X prin distribuție de probabilitate px cantități X:

Într-un mod natural, se poate defini conceptul de variabilă aleatoare cu așteptări infinite. Un exemplu tipic este timpul de repatriere în unele plimbări aleatorii.

Cu ajutorul mat. așteptările sunt definite de multe caracteristici numerice și funcționale ale distribuției (ca așteptarea matematică a funcțiilor corespunzătoare ale unei variabile aleatoare), de exemplu, funcție generatoare, funcție caracteristică, momente de orice ordin, în special varianță, covarianță.

Așteptările matematice (Media populației) este

Așteptarea matematică este o caracteristică a locației valorilor unei variabile aleatoare (valoarea medie a distribuției sale). În această calitate, așteptarea matematică servește ca un parametru de distribuție „tipic” și rolul său este similar cu rolul momentului static - coordonata centrului de greutate al distribuției de masă - în mecanică. Din alte caracteristici ale locației, cu ajutorul cărora distribuția este descrisă în termeni generali - mediane, moduri, așteptare diferă prin valoarea mai mare pe care aceasta și caracteristica de împrăștiere corespunzătoare - varianța - o au în teoremele limită ale teoriei probabilităților. Cu cea mai mare completitudine, semnificația matelor de așteptare este dezvăluită de legea numerelor mari (inegalitatea lui Cebyshev) și legea întărită a numerelor mari.

Așteptările matematice (Media populației) este

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete

Să existe o variabilă aleatorie care poate lua una dintre mai multe valori numerice (de exemplu, numărul de puncte dintr-o aruncare de zar poate fi 1, 2, 3, 4, 5 sau 6). Adesea în practică, pentru o astfel de valoare, se pune întrebarea: ce valoare ia „în medie” cu un număr mare de teste? Care va fi randamentul nostru mediu (sau pierderea) din fiecare dintre operațiunile riscante?

Să presupunem că există un fel de loterie. Vrem să înțelegem dacă este profitabil sau nu să participăm la el (sau chiar să participăm în mod repetat, în mod regulat). Să presupunem că fiecare al patrulea bilet câștigă, premiul va fi de 300 de ruble, iar orice bilet - 100 de ruble. Cu un număr infinit de participări, așa se întâmplă. În trei sferturi din cazuri, vom pierde, fiecare trei pierderi va costa 300 de ruble. În fiecare al patrulea caz, vom câștiga 200 de ruble. (premiul minus costul), adică pentru patru participări, pierdem în medie 100 de ruble, pentru una - o medie de 25 de ruble. În total, rata medie a ruinei noastre va fi de 25 de ruble pe bilet.

Aruncăm un zar. Dacă nu este înșelăciune (fără a deplasa centrul de greutate etc.), atunci câte puncte vom avea în medie la un moment dat? Deoarece fiecare opțiune este la fel de probabilă, luăm media aritmetică stupidă și obținem 3,5. Deoarece aceasta este MEDIE, nu trebuie să vă indignați că nicio aruncare anume nu va da 3,5 puncte - ei bine, acest cub nu are o față cu un astfel de număr!

Acum să rezumam exemplele noastre:

Să aruncăm o privire la poza de mai sus. În stânga este un tabel cu distribuția unei variabile aleatoare. Valoarea lui X poate lua una dintre n valori posibile (date în rândul de sus). Nu pot exista alte valori. Sub fiecare valoare posibilă, probabilitatea acesteia este semnată mai jos. În dreapta este o formulă, unde M(X) se numește mat. aşteptare. Semnificația acestei valori este că, cu un număr mare de încercări (cu un eșantion mare), valoarea medie va tinde spre această așteptare.

Să revenim la același cub de joc. Mat. așteptarea numărului de puncte la aruncare este de 3,5 (calculați-vă folosind formula dacă nu credeți). Să presupunem că ai aruncat-o de câteva ori. Au căzut 4 și 6. În medie, a ieșit 5, adică departe de 3,5. L-au aruncat din nou, au căzut 3, adică în medie (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Cumva departe de covoraș. așteptări. Acum fă un experiment nebun - rostogolește cubul de 1000 de ori! Și dacă media nu este exact 3,5, atunci va fi aproape de asta.

Să numărăm mat. în așteptarea loteriei descrise mai sus. Tabelul va arăta astfel:

Atunci șah-mat așteptările va fi, așa cum am stabilit mai sus.:

Alt lucru este că este și „pe degete”, fără formulă, ar fi greu dacă ar fi mai multe opțiuni. Ei bine, să presupunem că au fost 75% bilete pierdute, 20% bilete câștigătoare și 5% bilete câștigătoare.

Acum câteva proprietăți ale covorașului așteptării.

Mat. așteptarea este liniară. Este ușor să demonstrezi:

Multiplicatorul constant este permis să fie scos din semnul șahmat. așteptări, adică:

Acesta este un caz special al proprietății de liniaritate a covorașelor de așteptare.

O altă consecință a liniarității mat. așteptări:

adica mat. așteptarea sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare.

Fie X, Y variabile aleatoare independente, apoi:

Acest lucru este, de asemenea, ușor de dovedit) X Yîn sine este o variabilă aleatorie, în timp ce valorile inițiale ar putea lua nși m valori, respectiv, atunci X Y poate lua valori nm. fiecare dintre valori este calculată pe baza faptului că probabilitățile de evenimente independente sunt înmulțite. Ca rezultat, obținem asta:

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue

Variabilele aleatoare continue au o astfel de caracteristică precum densitatea distribuției (densitatea probabilității). De fapt, caracterizează situația în care o variabilă aleatorie ia mai des unele valori din mulțimea numerelor reale, unele - mai rar. De exemplu, luați în considerare această diagramă:

Aici X- de fapt o variabilă aleatorie, f(x)- densitatea distribuţiei. Judecând după acest grafic, în timpul experimentelor, valoarea X va fi adesea un număr apropiat de zero. sanse de a depasi 3 sau să fie mai puțin -3 mai degrabă pur teoretic.

Dacă densitatea distribuției este cunoscută, atunci covorașul de așteptare este căutat după cum urmează:

Să fie, de exemplu, o distribuție uniformă:

Să găsim un covoraș. asteptare:

Acest lucru este destul de în concordanță cu înțelegerea intuitivă. Să spunem dacă obținem o mulțime de numere reale aleatoare cu o distribuție uniformă, fiecare dintre segmente |0; 1| , atunci media aritmetică ar trebui să fie de aproximativ 0,5.

Proprietățile covorașelor de așteptare - liniaritate etc., aplicabile pentru variabile aleatoare discrete, se aplică și aici.

Relația așteptărilor matematice cu alți indicatori statistici

LA statistic analiză, alături de așteptările mat, există un sistem de indicatori interdependenți care reflectă omogenitatea fenomenelor și stabilitatea proceselor. Adesea, indicatorii de variație nu au o semnificație independentă și sunt utilizați pentru analiza ulterioară a datelor. Excepție este coeficientul de variație, care caracterizează omogenitatea date ce este valoros statistic caracteristică.

Gradul de variabilitate sau stabilitate proceselorîn știința statistică poate fi măsurată folosind mai mulți indicatori.

Cel mai important indicator care caracterizează variabilitate variabilă aleatoare, este Dispersia, care este cel mai strâns și direct legat de covoraș. aşteptare. Acest parametru este utilizat activ în alte tipuri de analize statistice (testarea ipotezelor, analiza relațiilor cauză-efect etc.). La fel ca deviația liniară medie, varianța reflectă și măsura răspândirii dateîn jurul mediei.

Este util să traducem limbajul semnelor în limbajul cuvintelor. Rezultă că varianța este pătratul mediu al abaterilor. Adică, mai întâi se calculează valoarea medie, apoi se ia diferența dintre fiecare valoare inițială și cea medie, se pune la pătrat, se adună și apoi se împarte la numărul de valori din această populație. Diferențăîntre o singură valoare și medie reflectă măsura abaterii. Este pătrat pentru a se asigura că toate abaterile devin numere exclusiv pozitive și pentru a evita anularea reciprocă a abaterilor pozitive și negative atunci când sunt însumate. Apoi, având în vedere abaterile pătrate, calculăm pur și simplu media aritmetică. Medie - pătrat - abateri. Abaterile sunt pătrate și se ia în considerare media. Răspunsul la cuvântul magic „dispersie” este doar trei cuvinte.

Cu toate acestea, în forma sa pură, cum ar fi, de exemplu, media aritmetică sau , dispersia nu este utilizată. Este mai degrabă un indicator auxiliar și intermediar care este utilizat pentru alte tipuri de analiză statistică. Nici măcar nu are o unitate de măsură normală. Judecând după formulă, acesta este pătratul unității de date originale.

Așteptările matematice (Media populației) este

Să măsurăm o variabilă aleatoare N de ori, de exemplu, măsurăm viteza vântului de zece ori și dorim să găsim valoarea medie. Cum este valoarea medie legată de funcția de distribuție?

Sau vom arunca zarurile de un număr mare de ori. Numărul de puncte care vor cădea pe zar în timpul fiecărei aruncări este o variabilă aleatorie și poate lua orice valoare naturală de la 1 la 6. N tinde spre un număr foarte specific - mat. așteptare Mx. În acest caz, Mx = 3,5.

Cum a apărut această valoare? Lăsa să intre Nîncercări n1 odată ce scăde 1 punct, n2 ori - 2 puncte și așa mai departe. Apoi numărul de rezultate în care a scăzut un punct:

În mod similar, pentru rezultatele când 2, 3, 4, 5 și 6 puncte au căzut.

Să presupunem acum că știm distribuțiile variabilei aleatoare x, adică știm că variabila aleatoare x poate lua valorile x1, x2,..., xk cu probabilități p1, p2,... , pk.

Așteptarea mat Mx a unei variabile aleatoare x este:

Așteptările matematice nu sunt întotdeauna o estimare rezonabilă a unei variabile aleatorii. Deci, pentru a estima salariul mediu, este mai rezonabil să folosim conceptul de mediană, adică o astfel de valoare încât numărul de persoane care primesc mai puțin decât mediana salariuși mare, potrivire.

Probabilitatea p1 ca variabila aleatoare x să fie mai mică decât x1/2 și probabilitatea p2 ca variabila aleatoare x să fie mai mare decât x1/2 sunt aceleași și egale cu 1/2. Mediana nu este determinată în mod unic pentru toate distribuțiile.

Abatere standard sau standardîn statistică se numește gradul de abatere a datelor observaționale sau a seturilor de la valoarea MEDIE. Notat cu literele s sau s. O abatere standard mică indică faptul că datele sunt grupate în jurul mediei, iar o abatere standard mare indică faptul că datele inițiale sunt departe de aceasta. Abaterea standard este egală cu rădăcina pătrată a unei mărimi numită varianță. Este media sumei diferențelor pătrate ale datelor inițiale care se abat de la medie. Abaterea standard a unei variabile aleatoare este rădăcina pătrată a varianței:

Exemplu. În condiții de testare, când trageți la o țintă, calculați varianța și abaterea standard a unei variabile aleatorii:

Variație- fluctuaţia, variabilitatea valorii atributului în unităţi ale populaţiei. Valorile numerice separate ale unei caracteristici care apar în populația studiată se numesc variante de valoare. Insuficiența valorii medii pentru o caracterizare completă a populației face necesară completarea valorilor medii cu indicatori care să permită evaluarea tipicității acestor medii prin măsurarea fluctuației (variației) trăsăturii studiate. Coeficientul de variație se calculează cu formula:

Variație de interval(R) este diferența dintre valorile maxime și minime ale trăsăturii în populația studiată. Acest indicator oferă cea mai generală idee despre fluctuația trăsăturii studiate, așa cum arată diferență numai între valorile limită ale variantelor. Dependența de valorile extreme ale atributului conferă intervalului de variație un caracter instabil, aleatoriu.

Abaterea liniară medie este media aritmetică a abaterilor absolute (modulo) ale tuturor valorilor populației analizate față de valoarea medie a acestora:

Așteptări matematice în teoria jocurilor de noroc

Mat așteptare este suma medie de bani pe care un speculator de jocuri de noroc poate câștiga sau pierde la un anumit pariu. Acesta este un concept foarte semnificativ pentru un speculator, deoarece este fundamental pentru evaluarea majorității situațiilor de joc. Așteptarea matelui este, de asemenea, cel mai bun instrument pentru analizarea aspectului de bază a cărților și a situațiilor de joc.

Să presupunem că joci monedă cu un prieten, făcând un pariu egal de 1 USD de fiecare dată, indiferent de ce se întâmplă. Cozi - ai câștigat, capete - ai pierdut. Șansele ca acesta să apară cozi sunt unu la unu și pariați de la 1 USD la 1 USD. Astfel, așteptarea ta de șah-mat este zero, pentru că matematic vorbind, nu poți ști dacă vei conduce sau vei pierde după două aruncări sau după 200.

Câștigul tău orar este zero. Plata orară este suma de bani pe care vă așteptați să o câștigați într-o oră. Puteți arunca o monedă de 500 de ori într-o oră, dar nu veți câștiga sau pierde pentru că șansele tale nu sunt nici pozitive, nici negative. Dacă te uiți, din punctul de vedere al unui speculator serios, un astfel de sistem de rate nu este rău. Dar este doar o pierdere de timp.

Dar să presupunem că cineva dorește să parieze 2 USD împotriva 1 USD în același joc. Atunci ai imediat o așteptare pozitivă de 50 de cenți de la fiecare pariu. De ce 50 cenți? În medie, câștigi un pariu și pierzi al doilea. Pariați pe primul și pierdeți 1 USD, pariați pe al doilea și câștigați 2 USD. Ai pariat 1 dolar de două ori și ai avans cu 1 dolar. Deci, fiecare dintre pariurile de un dolar ți-a dat 50 cenți.

Dacă moneda cade de 500 de ori într-o oră, câștigul tău orar va fi deja de 250 USD, deoarece. în medie ai pierdut unul dolar De 250 de ori și a câștigat două dolar de 250 de ori. 500 $ minus 250 $ este egal cu 250 $, care este câștigul total. Rețineți că valoarea așteptată, care este suma pe care o câștigați în medie la un singur pariu, este de 50 de cenți. Ați câștigat 250 USD punând un dolar de 500 de ori, ceea ce înseamnă 50 de cenți din pariul dvs.

Așteptările matematice (Media populației) este

Mat. așteptările nu au nimic de-a face cu rezultatele pe termen scurt. Adversarul tău, care a decis să parieze 2 dolari împotriva ta, te-ar putea învinge la primele zece aruncări consecutive, dar tu, cu un avantaj la pariuri 2 la 1, toate celelalte fiind egale, câștigi 50 de cenți la fiecare pariu de 1 dolar sub orice pariu. circumstanțe. Nu contează dacă câștigi sau pierzi un pariu sau mai multe pariuri, ci doar cu condiția să ai suficienți bani pentru a compensa cu ușurință costurile. Dacă continuați să pariați în același mod, atunci, pe o perioadă lungă de timp, câștigurile dvs. se vor apropia de suma valorilor așteptate în aruncări individuale.

De fiecare dată când faci un cel mai bun pariu (un pariu care poate fi profitabil pe termen lung) când cotele sunt în favoarea ta, ești obligat să câștigi ceva la el, indiferent dacă îl pierzi sau nu într-o mână dată. Dimpotrivă, dacă ai făcut un pariu mai rău (un pariu care este neprofitabil pe termen lung) când cotele nu sunt în favoarea ta, pierzi ceva, indiferent dacă câștigi sau pierzi mâna.

Așteptările matematice (Media populației) este

Pariezi cu cel mai bun rezultat dacă așteptările tale sunt pozitive și este pozitiv dacă șansele sunt în favoarea ta. Pariând cu cel mai prost rezultat, ai o așteptare negativă, care se întâmplă atunci când șansele sunt împotriva ta. Speculatorii serioși pariază doar cu cel mai bun rezultat, cu cel mai rău - ei renunță. Ce înseamnă șansele în favoarea ta? S-ar putea să ajungi să câștigi mai mult decât aduc șansele reale. Şansele reale de a lovi cozile sunt de 1 la 1, dar obţii 2 la 1 datorită raportului de pariere. În acest caz, șansele sunt în favoarea ta. Cu siguranță obțineți cel mai bun rezultat cu o așteptare pozitivă de 50 de cenți per pariu.

Iată un exemplu mai complex. așteptări. Prietenul notează numerele de la unu la cinci și pariază 5 USD pe 1 USD că nu vei alege numărul. Sunteți de acord cu un astfel de pariu? Care este așteptarea aici?

În medie, vei greși de patru ori. Pe baza acestui lucru, șansele împotriva ta să ghicești numărul va fi de 4 la 1. șansele sunt că vei pierde un dolar într-o singură încercare. Cu toate acestea, câștigi 5 la 1, cu posibilitatea de a pierde 4 la 1. Prin urmare, cotele sunt în favoarea ta, poți lua pariul și spera la cel mai bun rezultat. Dacă faci acest pariu de cinci ori, în medie vei pierde de patru ori 1 USD și vei câștiga 5 USD o dată. Pe baza acestui fapt, pentru toate cele cinci încercări, veți câștiga 1 USD cu o așteptare matematică pozitivă de 20 de cenți per pariu.

Un speculator care va câștiga mai mult decât pariază, ca în exemplul de mai sus, prinde șansele. În schimb, el distruge șansele atunci când se așteaptă să câștige mai puțin decât a pariat. Speculatorul de pariuri poate avea așteptări pozitive sau negative, în funcție de faptul că prinde sau distruge cotele.

Dacă pariezi 50 USD pentru a câștiga 10 USD cu o șansă de 4 la 1 de câștig, vei obține o așteptare negativă de 2 USD, deoarece în medie, vei câștiga de patru ori 10 USD și vei pierde 50 USD o dată, ceea ce arată că pierderea pe pariu va fi de 10 USD. Dar dacă pariezi 30 USD pentru a câștiga 10 USD, cu aceleași șanse de a câștiga 4 la 1, atunci în acest caz ai o așteptare pozitivă de 2 USD, deoarece câștigi din nou de patru ori 10$ și pierzi 30$ o dată, adică profit la 10 USD. Aceste exemple arată că primul pariu este rău, iar al doilea este bun.

Mat. așteptarea este centrul oricărei situații de joc. Când o casă de pariuri încurajează fanii fotbalului să parieze 11 USD pentru a câștiga 10 USD, ei au o așteptare pozitivă de 50 de cenți pentru fiecare 10 USD. Dacă cazinoul plătește chiar și bani din linia de trecere Craps, atunci așteptarea pozitivă a casei este de aproximativ 1,40 USD pentru fiecare 100 USD; acest joc este structurat astfel încât toți cei care pariază pe această linie pierd în medie 50,7% și câștigă 49,3% din timp. Fără îndoială, această așteptare pozitivă aparent minimă este cea care aduce profituri uriașe proprietarilor de cazinouri din întreaga lume. După cum a remarcat proprietarul cazinoului Vegas World, Bob Stupak, „O miime la sută probabilitatea negativă pe o distanță suficient de lungă îl va falimenta pe cel mai bogat om din lume.

Așteptări matematice când joci poker

Jocul de Poker este cel mai ilustrativ și mai ilustrativ exemplu în ceea ce privește utilizarea teoriei și proprietăților saltelei de așteptare.

Mat. Valoarea așteptată în Poker - beneficiul mediu de pe urma unei anumite decizii, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și a unei distanțe lungi. Pokerul de succes înseamnă acceptarea întotdeauna a mișcărilor cu o așteptare matematică pozitivă.

Așteptările matematice (Media populației) este

Sensul matematic. așteptarea când jucam poker constă în faptul că întâlnim adesea variabile aleatorii atunci când luăm o decizie (nu știm ce cărți are adversarul în mână, care cărți vor veni în rundele ulterioare comerţul). Trebuie să luăm în considerare fiecare dintre soluții din punctul de vedere al teoriei numerelor mari, care spune că la un eșantion suficient de mare, valoarea medie a unei variabile aleatoare va tinde spre medie.

Printre formulele speciale pentru calcularea covorașelor de așteptare, următoarele sunt cele mai aplicabile în poker:

Când joci covorașul de poker. așteptările pot fi calculate atât pentru pariuri, cât și pentru apeluri. În primul caz, fold equity trebuie luat în considerare, în al doilea, cotele proprii ale potului. La evaluarea mat. așteptarea cutare sau cutare mișcare, trebuie amintit că pliul are întotdeauna o așteptare zero. Astfel, aruncarea cărților va fi întotdeauna o decizie mai profitabilă decât orice mișcare negativă.

Așteptările matematice (Media populației) este

Așteptarea îți spune la ce te poți aștepta (sau să pierzi) pentru fiecare risc pe care ți-l asumi. Cazinourile câștigă bani deoarece așteptarea șahmat de la toate jocurile care se practică în ele este în favoarea cazinoului. Cu o serie de jocuri suficient de lungă, se poate aștepta ca clientul să-și piardă pe a lui bani pentru că „probabilitatea” este în favoarea cazinoului. Cu toate acestea, speculatorii profesioniști de cazinou își limitează jocurile la perioade scurte de timp, crescând astfel șansele în favoarea lor. Același lucru este valabil și pentru investiții. Dacă așteptările tale sunt pozitive, poți câștiga mai mulți bani făcând multe tranzacții într-o perioadă scurtă de timp. perioadă timp. Așteptările reprezintă procentul tău de profit pe câștig înmulțit cu profitul tău mediu minus probabilitatea de pierdere înmulțită cu pierderea medie.

Pokerul poate fi văzut și în termeni de șah-mat. Puteți presupune că o anumită mișcare este profitabilă, dar în unele cazuri poate să nu fie cea mai bună, deoarece o altă mutare este mai profitabilă. Să presupunem că ați lovit un full în pokerul cu cinci cărți. Adversarul tău pariază. Știi că dacă crești, el va suna. Așa că ridicarea pare cea mai bună tactică. Dar dacă ridicați pariul, cei doi speculatori rămași vor renunța cu siguranță. Dar dacă vei da pariu, vei fi complet sigur că ceilalți doi speculatori după tine vor face la fel. Când ridicați pariul, obțineți o unitate și, pur și simplu, sunând - două. Deci, apelarea vă oferă o valoare așteptată pozitivă mai mare și este cea mai bună tactică.

Mat. așteptarea poate oferi și o idee despre care tactici de poker sunt mai puțin profitabile și care sunt mai profitabile. De exemplu, dacă joci o anumită mână și crezi că pierderea ta medie este de 75 de cenți, inclusiv ante-urile, atunci ar trebui să joci acea mână deoarece acest lucru este mai bine decât plierea când ante este de $1.

Un alt motiv important pentru înțelegerea esenței mat. așteptarea este că îți oferă un sentiment de liniște, indiferent dacă ai câștigat pariul sau nu: dacă ai făcut un pariu bun sau ai renunțat la timp, vei ști că ai câștigat sau ai economisit o anumită sumă de bani pe care speculatorul mai slab ar putea-o. nu salva. Este mult mai greu să renunți dacă ești frustrat că adversarul tău are o mână mai bună la remiză. Cu toate acestea, ceea ce economisești nejucând, în loc să pariezi, se adaugă la câștigurile tale pe noapte sau pe lună.

Amintiți-vă doar că, dacă ați schimbat mâna, adversarul dvs. v-ar apela și, după cum veți vedea în articolul Teorema fundamentală a pokerului, acesta este doar unul dintre avantajele dvs. Ar trebui să te bucuri când se întâmplă asta. Poți chiar să înveți să te bucuri de o mână pierdută, pentru că știi că alți speculatori în locul tău ar pierde mult mai mult.

După cum s-a menționat în exemplul jocului de monede de la început, raportul profitului orar este legat de așteptările mat, iar acest concept este deosebit de important pentru speculatorii profesioniști. Când ai de gând să joci poker, trebuie să estimi mental cât de mult poți câștiga într-o oră de joc. În cele mai multe cazuri, va trebui să te bazezi pe intuiție și experiență, dar poți folosi și niște calcule matematice. De exemplu, dacă joci draw lowball și vezi că trei jucători pariază 10 USD și apoi trag două cărți, ceea ce este o tactică foarte proastă, poți să calculezi singur că de fiecare dată când pariază 10 USD pierd aproximativ 2 USD. Fiecare dintre ei face acest lucru de opt ori pe oră, ceea ce înseamnă că toți trei pierd aproximativ 48 de dolari pe oră. Sunteți unul dintre cei patru speculatori rămași, care sunt aproximativ egali, așa că acești patru speculatori (și voi dintre ei) trebuie să împartă 48 USD și fiecare va obține un profit de 12 USD pe oră. Tariful tău orar în acest caz este pur și simplu partea ta din suma de bani pierdută de trei speculatori răi într-o oră.

Așteptările matematice (Media populației) este

Pe o perioadă lungă de timp, profitul total al speculatorului este suma așteptărilor sale matematice în distribuții separate. Cu cât joci mai mult cu așteptări pozitive, cu atât câștigi mai mult și, invers, cu cât joci mai multe mâini cu așteptări negative, cu atât pierzi mai mult. Ca rezultat, ar trebui să acordați prioritate unui joc care vă poate maximiza așteptările pozitive sau să o anulați pe cea negativă, astfel încât să vă puteți maximiza câștigul orar.

Așteptări matematice pozitive în strategia de joc

Dacă știi să numeri cărțile, s-ar putea să ai un avantaj față de cazinou dacă nu observă și te dau afară. Cazinourile iubesc speculatorii beți și urăsc contoarele de cărți. Avantajul vă va permite să câștigați de mai multe ori decât pierdeți în timp. Gestionarea bună a banilor folosind calcule de șah-mat vă poate ajuta să profitați mai mult de marginea dvs. și să vă reduceți pierderile. Fără un avantaj, ar fi mai bine să dai banii unor organizații de caritate. În jocul de la bursă, avantajul este dat de sistemul jocului, care creează mai mult profit decât pierderi, diferența preturi si comisioane. nici unul managementul capitalului nu va salva un sistem de joc prost.

O așteptare pozitivă este definită de o valoare mai mare decât zero. Cu cât acest număr este mai mare, cu atât așteptările statistice sunt mai puternice. Dacă valoarea este mai mică decât zero, atunci așteptarea va fi și ea negativă. Cu cât modulul unei valori negative este mai mare, cu atât situația este mai proastă. Dacă rezultatul este zero, atunci așteptarea este prag de rentabilitate. Poți câștiga doar atunci când ai o așteptare matematică pozitivă, un sistem de joc rezonabil. Jocul pe intuiție duce la dezastru.

Aşteptarea matematică şi

Așteptările matematice sunt un indicator statistic destul de solicitat și popular în implementarea tranzacționării bursiere pe piețele financiare. pieţelor. În primul rând, acest parametru este utilizat pentru a analiza succesul comerţul. Nu este greu de ghicit că, cu cât această valoare este mai mare, cu atât mai mult motiv pentru a considera comerțul studiat cu succes. Desigur, analiză muncă trader nu poate fi realizat doar cu ajutorul acestui parametru. Cu toate acestea, valoarea calculată împreună cu alte metode de evaluare a calității muncă, poate îmbunătăți semnificativ acuratețea analizei.

Așteptările Mat este adesea calculată în serviciile de monitorizare a contului de tranzacționare, ceea ce vă permite să evaluați rapid munca depusă la depozit. Ca excepții, putem cita strategiile care folosesc „depășirea” tranzacțiilor pierdute. Comerciant norocul îl poate însoți de ceva timp și, prin urmare, este posibil să nu existe deloc pierderi în munca lui. În acest caz, nu se va putea naviga doar după așteptare, deoarece riscurile folosite în lucrare nu vor fi luate în considerare.

În tranzacționarea pe piaţă așteptarea mat este folosită cel mai adesea atunci când se prezică profitabilitatea unei strategii de tranzacționare sau când se prognozează veniturile comerciant pe baza statisticilor anterioare licitare.

Așteptările matematice (Media populației) este

În ceea ce privește gestionarea banilor, este foarte important să înțelegeți că atunci când faceți tranzacții cu o așteptare negativă, nu există nicio schemă management bani, care cu siguranță pot aduce profituri mari. Dacă vei continua să joci bursa de valoriîn aceste condiţii, indiferent de metodă management bani, îți vei pierde întregul cont, indiferent cât de mare a fost la început.

Această axiomă nu este valabilă numai pentru jocurile cu așteptări negative sau tranzacții, este valabilă și pentru jocurile cu cote par. Prin urmare, singurul caz în care aveți șansa de a beneficia pe termen lung este atunci când faceți tranzacții cu o așteptare matematică pozitivă.

Diferența dintre așteptarea negativă și așteptarea pozitivă este diferența dintre viață și moarte. Nu contează cât de pozitivă sau cât de negativă este așteptarea; ceea ce contează este dacă este pozitiv sau negativ. Prin urmare, înainte de a lua în considerare problemele de management capital trebuie să găsești un joc cu o așteptare pozitivă.

Dacă nu aveți acel joc, atunci nicio sumă de gestionare a banilor din lume nu vă va salva. Pe de altă parte, dacă aveți o așteptare pozitivă, atunci este posibil, printr-un management adecvat al banilor, să o transformați într-o funcție de creștere exponențială. Nu contează cât de mică este așteptarea pozitivă! Cu alte cuvinte, nu contează cât de profitabil este un sistem de tranzacționare bazat pe un singur contract. Dacă aveți un sistem care câștigă 10 USD per contract pentru o singură tranzacție (după comisioane și derapaj), pot fi utilizate tehnici de management capitalîntr-un fel de a-l face mai profitabil decât un sistem care arată un profit mediu de 1.000 USD per tranzacție (după comisioane și derapaj).

Ceea ce contează nu este cât de profitabil a fost sistemul, ci cât de sigur se poate spune că sistemul va arăta măcar un profit minim în viitor. Prin urmare, cea mai importantă pregătire care poate fi făcută este să vă asigurați că sistemul prezintă o valoare așteptată pozitivă în viitor.

Pentru a avea o valoare așteptată pozitivă în viitor, este foarte important să nu limitezi gradele de libertate ale sistemului tău. Acest lucru se realizează nu numai prin eliminarea sau reducerea numărului de parametri care trebuie optimizați, ci și prin reducerea cât mai multor reguli de sistem. Fiecare parametru pe care îl adăugați, fiecare regulă pe care o faceți, fiecare modificare mică pe care o faceți sistemului reduce numărul de grade de libertate. În mod ideal, doriți să construiți un sistem destul de primitiv și simplu, care va aduce constant un mic profit pe aproape orice piață. Din nou, este important să înțelegeți că nu contează cât de profitabil este un sistem, atâta timp cât este profitabil. pe care le câștigați în tranzacționare va fi câștigat printr-un management eficient al banilor.

Așteptările matematice (Media populației) este

Un sistem de tranzacționare este pur și simplu un instrument care vă oferă o așteptare matematică pozitivă, astfel încât gestionarea banilor să poată fi utilizată. Sistemele care funcționează (afișează cel puțin un profit minim) doar pe una sau câteva piețe, sau au reguli sau parametri diferiți pentru piețe diferite, cel mai probabil nu vor funcționa în timp real pentru mult timp. Problema majorității comercianților tehnici este că ei petrec prea mult timp și efort optimizând diferitele reguli și parametri ai unui sistem de tranzacționare. Acest lucru dă rezultate complet opuse. În loc să irosești energie și timp de calculator pe creșterea profiturilor sistemului de tranzacționare, direcționează-ți energia către creșterea nivelului de fiabilitate al obținerii profitului minim.

Știind că managementul capitalului- acesta este doar un joc de numere care necesită utilizarea așteptărilor pozitive, comerciantul poate înceta să caute „sfântul graal” al tranzacționării pe bursă. În schimb, poate începe să-și testeze metoda de tranzacționare, să afle cât de logică este această metodă, dacă dă așteptări pozitive. Metodele adecvate de gestionare a banilor aplicate oricărei metode de tranzacționare, chiar și foarte mediocre, vor face restul muncii.

Pentru ca orice comerciant să aibă succes în munca sa, el trebuie să rezolve cele mai importante trei sarcini: Pentru a se asigura că numărul de tranzacții reușite depășește greșelile și calculele greșite inevitabile; Configurați-vă sistemul de tranzacționare astfel încât oportunitatea de a câștiga bani să fie cât mai des posibil; Obțineți un rezultat pozitiv stabil al operațiunilor dumneavoastră.

Și aici, pentru noi, comercianții care lucrează, șah-mat poate fi de un bun ajutor. așteptare. Acest termen din teoria probabilității este unul dintre cheie. Cu el, puteți oferi o estimare medie a unei valori aleatorii. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt similare cu centrul de greutate, dacă ne imaginăm toate probabilitățile posibile ca puncte cu mase diferite.

În legătură cu o strategie de tranzacționare, pentru evaluarea eficienței acesteia, cel mai des este folosită așteptarea de profit (sau pierdere). Acest parametru este definit ca suma produselor nivelurilor date de profit și pierdere și probabilitatea apariției acestora. De exemplu, strategia de tranzacționare dezvoltată presupune că 37% din toate operațiunile vor aduce profit, iar restul - 63% - vor fi neprofitabile. În același timp, media sursa de venit dintr-o tranzacție reușită va fi de 7 dolari, iar pierderea medie va fi egală cu 1,4 dolari. Să calculăm mat. așteptări de tranzacționare pe un astfel de sistem:

Ce înseamnă acest număr? Se spune că, urmând regulile acestui sistem, în medie, vom primi 1.708 de dolari din fiecare tranzacție încheiată. Deoarece scorul de eficiență rezultat este mai mare decât zero, un astfel de sistem poate fi utilizat pentru muncă reală. Dacă, ca urmare a calculului covorașului, așteptarea se dovedește a fi negativă, atunci aceasta indică deja o pierdere medie și aceasta va duce la ruină.

Suma profitului pe tranzacție poate fi exprimată și ca valoare relativă sub formă de %. De exemplu:

Procentul de venit la 1 tranzacție - 5%;

Procentul de operațiuni de tranzacționare reușite - 62%;

Procentul de pierdere la 1 tranzacție - 3%;

Procentul tranzacțiilor nereușite - 38%;

În acest caz, mat. asteptarea va fi:

Adică tranzacția medie va aduce 1,96%.

Este posibil să se dezvolte un sistem care, în ciuda predominanței tranzacțiilor în pierdere, va da un rezultat pozitiv, deoarece MO>0.

Cu toate acestea, așteptarea singură nu este suficientă. Este dificil să câștigi bani dacă sistemul oferă foarte puține semnale de tranzacționare. În acest caz, va fi comparabilă cu dobânda bancară. Fiecare operațiune să aducă în medie doar 0,5 dolari, dar dacă sistemul presupune 1000 de tranzacții pe an? Aceasta va fi o sumă foarte serioasă într-un timp relativ scurt. De aici rezultă în mod logic că un alt semn distinctiv al unui sistem de tranzacționare bun poate fi considerat o perioadă scurtă de deținere.

Surse și link-uri

dic.academic.ru - dicționar academic online

mathematics.ru - site educațional despre matematică

nsu.ru - site-ul web educațional al Universității de Stat din Novosibirsk

webmath.ru - un portal educațional pentru studenți, solicitanți și școlari.

site-ul educațional de matematică exponenta.ru

ru.tradimo.com - școală de comerț online gratuită

crypto.hut2.ru - resursă de informații multidisciplinare

poker-wiki.ru - enciclopedie liberă a pokerului

sernam.ru - Biblioteca științifică a publicațiilor selectate de științe naturale

reshim.su - site web

unfx.ru - Forex la UNFX: instruire, semnale de tranzacționare, management al încrederii

- - așteptare matematică Una dintre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare, numită adesea media ei teoretică. Pentru o variabilă aleatoare discretă X, matematică ...... Manualul Traducătorului Tehnic

VALOREA ESTIMATA- (valoare așteptată) Valoarea medie a distribuției variabilei economice pe care o poate lua. Dacă pt este prețul bunului la momentul t, așteptarea sa matematică este notată de Ept. Pentru a indica momentul în care ...... Dicționar economic

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare. Aşteptarea matematică este o mărime deterministă. Media aritmetică a realizărilor unei variabile aleatoare este o estimare a așteptărilor matematice. In medie… … Terminologia oficială este (valoarea medie) a unei variabile aleatoare o caracteristică numerică a unei variabile aleatoare. Dacă o variabilă aleatoare dată într-un spațiu de probabilitate (vezi Teoria probabilității), atunci M. o. MX (sau EX) este definit ca integrala Lebesgue: unde... Enciclopedie fizică

VALOREA ESTIMATA- o variabilă aleatoare este caracteristica sa numerică. Dacă o variabilă aleatoare X are o funcție de distribuție F(x), atunci M. o. va fi: . Dacă distribuția lui X este discretă, atunci М.о.: , unde x1, x2, ... sunt valori posibile ale variabilei aleatoare discrete X; p1... Enciclopedia Geologică

VALOREA ESTIMATA- Engleză. valorea estimata; limba germana Erwartung mathematische. Media stocastică sau centrul de dispersie al unei variabile aleatoare. antinazi. Enciclopedia de Sociologie, 2009... Enciclopedia Sociologiei

Valorea estimata- Vezi și: Așteptarea condiționată Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, este considerată în teoria probabilității. În literatura engleză și în matematică ... ... Wikipedia

Valorea estimata- 1.14 Așteptările matematice E (X) unde xi valorile unei variabile aleatoare discrete; p = P (X = xi); f(x) este densitatea unei variabile aleatoare continue * Dacă această expresie există în sensul convergenței absolute Sursa... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Cărți

Folosim cookie-uri pentru cea mai buna prezentare a site-ului nostru. Continuând să utilizați acest site, sunteți de acord cu aceasta. O.K

Conceptul de așteptare matematică poate fi luat în considerare folosind exemplul aruncării unui zar. La fiecare aruncare, punctele pierdute sunt înregistrate. Valorile naturale în intervalul 1 - 6 sunt folosite pentru a le exprima.

După un anumit număr de aruncări, folosind calcule simple, puteți găsi media aritmetică a punctelor căzute.

Pe lângă eliminarea oricăreia dintre valorile intervalului, această valoare va fi aleatorie.

Și dacă mărești de mai multe ori numărul aruncărilor? Cu un număr mare de aruncări, valoarea medie aritmetică a punctelor se va apropia de un anumit număr, care în teoria probabilității se numește așteptare matematică.

Deci, așteptarea matematică este înțeleasă ca valoarea medie a unei variabile aleatoare. Acest indicator poate fi prezentat și ca o sumă ponderată a valorilor probabile.

Acest concept are mai multe sinonime:

• Rău;
• valoarea medie;
• indicator central de tendință;
• primul moment.

Cu alte cuvinte, nu este altceva decât un număr în jurul căruia sunt distribuite valorile unei variabile aleatorii.

În diverse sfere ale activității umane, abordările pentru înțelegerea așteptărilor matematice vor fi oarecum diferite.

Poate fi privit ca:

• beneficiul mediu primit din adoptarea unei hotărâri, în cazul în care o astfel de decizie este considerată din punct de vedere al teoriei numerelor mari;
• suma posibilă de câștig sau pierdere (teoria jocurilor de noroc), calculată în medie pentru fiecare dintre pariuri. În argo, ele sună ca „avantajul jucătorului” (pozitiv pentru jucător) sau „avantaj de cazinou” (negativ pentru jucător);
• procentul din profitul primit din câștiguri.

Așteptările matematice nu sunt obligatorii pentru absolut toate variabilele aleatoare. Este absent pentru cei care au o discrepanță în suma sau integrala corespunzătoare.

Proprietăți de așteptare

Ca orice parametru statistic, așteptarea matematică are următoarele proprietăți:

Formule de bază pentru așteptările matematice

Calculul așteptării matematice poate fi efectuat atât pentru variabile aleatoare caracterizate atât de continuitate (formula A) cât și de discretitate (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, unde xi sunt valorile variabilei aleatoare, pi sunt probabilitățile:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, unde f(x) este o densitate de probabilitate dată.

Exemple de calcul a așteptărilor matematice

Exemplul A.

Este posibil să aflați înălțimea medie a gnomilor din basmul despre Albă ca Zăpada. Se știe că fiecare dintre cei 7 gnomi avea o anumită înălțime: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 și 0,81 m.

Algoritmul de calcul este destul de simplu:

• găsiți suma tuturor valorilor indicatorului de creștere (variabilă aleatorie):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Suma rezultată este împărțită la numărul de gnomi:
  6,31:7=0,90.

Astfel, înălțimea medie a gnomilor într-un basm este de 90 cm. Cu alte cuvinte, aceasta este așteptarea matematică a creșterii gnomilor.

Formula de lucru - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Implementarea practică a așteptărilor matematice

La calculul unui indicator statistic al așteptării matematice se recurge în diverse domenii de activitate practică. În primul rând, vorbim despre sfera comercială. La urma urmei, introducerea acestui indicator de către Huygens este legată de determinarea șanselor care pot fi favorabile, sau, dimpotrivă, nefavorabile, pentru un anumit eveniment.

Acest parametru este utilizat pe scară largă pentru evaluarea riscurilor, mai ales când vine vorba de investiții financiare.
Deci, în afaceri, calculul așteptărilor matematice acționează ca o metodă de evaluare a riscului la calcularea prețurilor.

De asemenea, acest indicator poate fi utilizat atunci când se calculează eficacitatea anumitor măsuri, de exemplu, privind protecția muncii. Datorită acesteia, puteți calcula probabilitatea de apariție a unui eveniment.

Un alt domeniu de aplicare a acestui parametru este managementul. Poate fi calculat și în timpul controlului calității produsului. De exemplu, folosind mat. așteptări, puteți calcula numărul posibil de piese defecte de fabricație.

Așteptările matematice sunt, de asemenea, indispensabile în cursul prelucrării statistice a rezultatelor obținute în cursul cercetării științifice. De asemenea, vă permite să calculați probabilitatea unui rezultat dorit sau nedorit al unui experiment sau studiu, în funcție de nivelul de realizare a obiectivului. La urma urmei, realizarea sa poate fi asociată cu câștig și profit, iar nerealizarea sa - ca o pierdere sau pierdere.

Utilizarea așteptărilor matematice în Forex

Aplicarea practică a acestui parametru statistic este posibilă atunci când se efectuează tranzacții pe piața valutară. Poate fi folosit pentru a analiza succesul tranzacțiilor comerciale. Mai mult, o creștere a valorii așteptărilor indică o creștere a succesului acestora.

De asemenea, este important de reținut că așteptarea matematică nu trebuie considerată ca fiind singurul parametru statistic utilizat pentru a analiza performanța unui comerciant. Utilizarea mai multor parametri statistici împreună cu valoarea medie mărește uneori acuratețea analizei.

Acest parametru sa dovedit bine în monitorizarea observațiilor conturilor de tranzacționare. Datorită lui, se realizează o evaluare rapidă a lucrărilor efectuate pe contul de depozit. În cazurile în care activitatea comerciantului este de succes și acesta evită pierderile, nu se recomandă utilizarea doar a calculului așteptărilor matematice. În aceste cazuri, riscurile nu sunt luate în considerare, ceea ce reduce eficacitatea analizei.

Studiile efectuate asupra tacticii comercianților indică faptul că:

• cele mai eficiente sunt tacticile bazate pe intrări aleatorii;
• cele mai puțin eficiente sunt tacticile bazate pe intrări structurate.

Pentru a obține rezultate pozitive, este la fel de important:

• tactici de gestionare a banilor;
• strategii de ieșire.

Folosind un astfel de indicator precum așteptarea matematică, putem presupune care va fi profitul sau pierderea atunci când investim 1 dolar. Se știe că acest indicator, calculat pentru toate jocurile practicate în cazinou, este în favoarea instituției. Acesta este ceea ce vă permite să faceți bani. În cazul unei serii lungi de jocuri, probabilitatea de a pierde bani de către client crește semnificativ.

Jocurile jucătorilor profesioniști sunt limitate la perioade mici de timp, ceea ce crește șansele de câștig și reduce riscul de a pierde. Același model se observă și în efectuarea operațiunilor de investiții.

Un investitor poate câștiga o sumă semnificativă cu o așteptare pozitivă și un număr mare de tranzacții într-o perioadă scurtă de timp.

Așteptarea poate fi considerată ca diferența dintre procentul profitului (PW) înmulțit cu profitul mediu (AW) și probabilitatea pierderii (PL) înmulțit cu pierderea medie (AL).

Ca exemplu, luați în considerare următoarele: poziție - 12,5 mii de dolari, portofoliu - 100 mii de dolari, risc pe depozit - 1%. Rentabilitatea tranzacțiilor este de 40% din cazuri cu un profit mediu de 20%. În cazul unei pierderi, pierderea medie este de 5%. Calcularea așteptărilor matematice pentru o tranzacție dă o valoare de 625 USD.