Sper că după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Cu ajutorul discriminantului se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru a rezolva incomplet ecuații pătratice folosiți alte metode pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? aceasta ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați discriminantul D.

D \u003d b 2 - 4ac.

În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul zero, apoi x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. rezolva ecuatia x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Răspuns: - 3,5; unu.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete după schema din figura 1.

Aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca un polinom de formă standard

A x 2 + bx + c, altfel poți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi exemplul 2 soluția de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie pe primul loc, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bx, iar apoi termenul liber Cu.

La rezolvarea ecuației pătratice de mai sus și a ecuației pătratice cu un coeficient par pentru al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă cu al doilea termen coeficientul este par (b = 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unitatea și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată de rezolvat sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă a soluției pătratului redus
ecuații. Luați în considerare exemplul aplicării formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. rezolva ecuatia

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3

Puteți vedea că coeficientul de la x din această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi, să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama figură D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și împărțind, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 = 0 Rezolvăm această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind bine formulele prezentate în diagrama din figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Transformarea unei ecuații pătratice complete într-una incompletă arată astfel (pentru cazul \(b=0\)):

Pentru cazurile în care \(c=0\) sau când ambii coeficienți sunt egali cu zero, totul este similar.

Vă rugăm să rețineți că \(a\) nu este egal cu zero, nu poate fi egal cu zero, deoarece în acest caz se transformă în:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

În primul rând, trebuie să înțelegeți că ecuația pătratică incompletă este încă, prin urmare, poate fi rezolvată în același mod ca și ecuația pătratică obișnuită (prin). Pentru a face acest lucru, adăugăm pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(3x^2-27=0\)
Soluţie :

		Avem o ecuație pătratică incompletă cu coeficientul \(b=0\). Adică, putem scrie ecuația sub următoarea formă:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		De fapt, aici este aceeași ecuație ca la început, dar acum poate fi rezolvată ca un pătrat obișnuit. Mai întâi notăm coeficienții.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calculați discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Să găsim rădăcinile ecuației folosind formulele \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Scrieți răspunsul

Răspuns : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(-x^2+x=0\)
Soluţie :

		Din nou, o ecuație pătratică incompletă, dar acum coeficientul \(c\) este egal cu zero. Scriem ecuația ca fiind completă.

O ecuație pătratică incompletă diferă de ecuațiile clasice (complete) prin faptul că factorii sau termenul liber sunt egali cu zero. Graficul unor astfel de funcții sunt parabole. În funcție de aspectul general, acestea sunt împărțite în 3 grupe. Principiile soluției pentru toate tipurile de ecuații sunt aceleași.

Nu este nimic dificil în a determina tipul unui polinom incomplet. Cel mai bine este să luați în considerare principalele diferențe în exemplele ilustrative:

1. Dacă b = 0, atunci ecuația este ax 2 + c = 0.
2. Dacă c = 0, atunci expresia ax 2 + bx = 0 ar trebui rezolvată.
3. Dacă b = 0 și c = 0, atunci polinomul devine o egalitate de tip ax 2 = 0.

Cel din urmă caz ​​este mai mult o posibilitate teoretică și nu apare niciodată în testele de cunoștințe, deoarece singura valoare adevărată a lui x în expresie este zero. În viitor, vor fi luate în considerare metode și exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete 1) și 2) ale tipurilor.

Algoritm general pentru găsirea de variabile și exemple cu o soluție

Indiferent de tipul de ecuație, algoritmul de soluție se reduce la următorii pași:

1. Aduceți expresia într-o formă convenabilă pentru a găsi rădăcini.
2. Faceți calcule.
3. Scrieți răspunsul.

Este mai ușor să rezolvi ecuații incomplete prin factorizarea părții stângi și lăsând zero în partea dreaptă. Astfel, formula pentru o ecuație pătratică incompletă pentru găsirea rădăcinilor se reduce la calcularea valorii lui x pentru fiecare dintre factori.

Puteți învăța cum să rezolvați numai în practică, așa că să luăm în considerare un exemplu specific de găsire a rădăcinilor unei ecuații incomplete:

După cum puteți vedea, în acest caz b = 0. Factorizăm partea stângă și obținem expresia:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Evident, produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Cerințe similare sunt îndeplinite de valorile variabilei x1 = 0,5 și (sau) x2 = -0,5.

Pentru a face față ușor și rapid sarcinii de descompunere trinom pătrat multiplicatori, ar trebui să vă amintiți următoarea formulă:

Dacă nu există un termen liber în expresie, sarcina este mult simplificată. Va fi suficient doar să găsiți și să scoateți numitorul comun. Pentru claritate, luați în considerare un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma ax2 + bx = 0.

Să scoatem variabila x din paranteze și să obținem următoarea expresie:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Pe baza logicii, concluzionăm că x1 = 0 și x2 = -3.

Modul tradițional de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete

Ce se va întâmpla dacă aplicăm formula discriminantă și încercăm să găsim rădăcinile polinomului, cu coeficienți egali cu zero? Să luăm un exemplu dintr-o colecție de sarcini tipice pentru examenul de stat unificat la matematică în 2017, îl vom rezolva folosind formule standard și metoda factorizării.

7x 2 - 3x = 0.

Calculați valoarea discriminantului: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Rezultă că polinomul are două rădăcini:

Acum, rezolvați ecuația prin factorizare și comparați rezultatele.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

După cum puteți vedea, ambele metode dau același rezultat, dar a doua modalitate de a rezolva ecuația s-a dovedit a fi mult mai ușoară și mai rapidă.

teorema lui Vieta

Dar ce să faci cu iubita teoremă Vieta? Poate fi aplicată această metodă cu un trinom incomplet? Să încercăm să înțelegem aspectele reducerii ecuații complete la forma clasică ax2 + bx + c = 0.

De fapt, este posibil să se aplice teorema lui Vieta în acest caz. Este necesar doar să aducem expresia la vedere generala, înlocuind termenii lipsă cu zero.

De exemplu, cu b = 0 și a = 1, pentru a elimina posibilitatea de confuzie, sarcina trebuie scrisă sub forma: ax2 + 0 + c = 0. Apoi raportul dintre suma și produsul rădăcinilor și factorii polinomului pot fi exprimați după cum urmează:

Calculele teoretice ajută la familiarizarea cu esența problemei și necesită întotdeauna dezvoltarea abilităților în rezolvarea unor probleme specifice. Să ne întoarcem din nou la cartea de referință a sarcinilor tipice pentru examen și să găsim un exemplu potrivit:

Scriem expresia într-o formă convenabilă pentru aplicarea teoremei Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Următorul pas este crearea unui sistem de condiții:

Evident, rădăcinile polinomului pătrat vor fi x 1 \u003d 4 și x 2 \u003d -4.

Acum, să exersăm aducerea ecuației într-o formă generală. Luați următorul exemplu: 1/4× x 2 – 1 = 0

Pentru a aplica teorema Vieta expresiei, trebuie să scăpați de fracție. Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu 4 și priviți rezultatul: x2– 4 = 0. Egalitatea rezultată este gata să fie rezolvată prin teorema Vieta, dar este mult mai ușor și mai rapid să obțineți răspunsul prin simpla transferare a c = 4 la partea dreapta ecuații: x2 = 4.

Rezumând, ar trebui spus că cel mai bun mod solutii ecuații incomplete este factorizarea, este cea mai simplă și rapidă metodă. Dacă întâmpinați dificultăți în procesul de găsire a rădăcinilor, puteți contacta metoda traditionala găsirea rădăcinilor prin discriminant.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Discriminantul vă permite să rezolvați orice ecuație pătratică folosind formula generala, care are următoarea formă:

Formula discriminantă depinde de gradul polinomului. Formula de mai sus este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de următoarea formă:

Discriminantul are următoarele proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți:

* „D” este 0 când polinomul are rădăcini multiple (rădăcini egale);

* „D” este polinom simetricîn raport cu rădăcinile polinomului și, prin urmare, este un polinom în coeficienții săi; mai mult, coeficienții acestui polinom sunt numere întregi, indiferent de extensia în care sunt luate rădăcinile.

Să presupunem că ni se oferă o ecuație pătratică de următoarea formă:

1 ecuație

După formula avem:

Deoarece \, atunci ecuația are 2 rădăcini. Să le definim:

Unde pot rezolva ecuația prin rezolvatorul online discriminant?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faci este să introduci datele în solutor. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! * Mai departe în textul „KU”. Prieteni, s-ar părea că la matematică poate fi mai ușor decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii oferă Yandex pe cerere pe lună. Iată ce s-a întâmplat, aruncați o privire:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni sunt căutați pe lună aceasta informatie, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an scolar- cererile vor fi de două ori mai mari. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că acei băieți și fete care au absolvit de mult școala și se pregătesc pentru examen caută aceste informații, iar școlarii încearcă și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care spun cum să rezolv această ecuație, am decis să contribu și eu și să public materialul. În primul rând, doresc ca vizitatorii să vină pe site-ul meu la această solicitare; în al doilea rând, în alte articole, când apare discursul „KU”, voi da un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși cu numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - împărțirea ecuațiilor în trei clase se face condiționat:

1. Au două rădăcini.

2. * Au o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Este demn de remarcat aici că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinii sunt următoarele:

*Aceste formule trebuie cunoscute pe de rost.

Puteți nota imediat și puteți decide:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

De această ocazie, când discriminantul este zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Așa este, este, dar...

Această reprezentare este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, rezultă două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci două rădăcini ar trebui să fie scrise în răspuns:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală, poți scrie și spune că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina număr negativ nu este extras, deci nu există soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Iată cum arată geometric soluția. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole, vom analiza în detaliu soluția unei inegalități pătratice).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c - numere date, unde a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) sau niciunul (discriminantul este negativ). Mai multe despre funcția pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Luați în considerare exemple:

Exemplul 1: Decide 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puteți împărți imediat părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificați-o. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Avem că x 1 \u003d 11 și x 2 \u003d 11

În răspuns, este permis să scrieți x = 11.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Un pic de teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obțineți două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Luați în considerare cazuri speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Se rezolvă cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația ia forma:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația ia forma:

Transformați, factorizați:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care permit rezolvarea ecuațiilor cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitate

A + b+ c = 0, apoi

— dacă pentru coeficienții ecuației AX 2 + bx+ c=0 egalitate

A+ cu =b, apoi

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma coeficienților este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, deci

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitate A+ cu =b, mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0 coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 - bx + c \u003d 0, coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în ecuaţie ax 2 + bx - c = 0 coeficient "b" este egal (a 2 – 1), și coeficientul „c” egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 - bx - c \u003d 0, coeficientul „b” este egal cu (a 2 - 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, se poate exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În concluzie, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, puteți rezolva imediat multe ecuații pătratice oral.

În plus, teorema lui Vieta. convenabil deoarece după rezolvarea ecuației pătratice în mod obișnuit (prin discriminant), se pot verifica rădăcinile rezultate. Recomand să faci asta tot timpul.

METODA DE TRANSFER

Prin această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, parcă „transferat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda de transfer. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

În cazul în care un A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Conform teoremei Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Care este rațiunea? Vezi ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, atunci se obțin doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul de la x 2:

A doua rădăcină (modificată) este de 2 ori mai mare.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă aruncăm trei de un fel, atunci împărțim rezultatul la 3 și așa mai departe.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp ur-ie şi examenul.

Voi spune pe scurt despre importanța ei - TREBUIE SĂ POȚI DECIDE rapid și fără să stai pe gânduri, trebuie să cunoști pe de rost formulele rădăcinilor și discriminantului. Multe dintre sarcinile care fac parte din sarcinile USE se reduc la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv a celor geometrice).

Ce este de remarcat!

1. Forma ecuației poate fi „implicita”. De exemplu, este posibilă următoarea intrare:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o valoare necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.