Să luăm două litere Xși y. Produs unde A- un număr se numește monom. Gradul său este k+l. Suma monomiilor se numește polinom. Spre deosebire de polinoamele cu o variabilă, pentru polinoamele cu un numar mare variabilele nu au o notație standard acceptată în mod obișnuit.
La fel ca polinoamele dintr-o variabilă, polinoamele din două variabile pot fi factorizate. O extindere importantă este extinderea diferenței n- grade pe care le cunoști n=2și 3 :


Aceste formule sunt ușor generalizate la arbitrare n:

Sumă n- gradele se descompun ușor în cazul în care n ciudat. Termenul poate fi reprezentat ca și utilizați formula de extindere a diferențelor n- gradele al-lea.

Polinoame simetrice
Dintre polinoamele în două variabile, un rol important îl joacă polinoamele simetrice, adică polinoamele care nu se schimbă atunci când literele sunt rearanjate. Xși y.

Polinom simetric- un polinom în n variabile, care nu se modifică cu toate permutările variabilelor incluse în acesta.

Exemple

• Polinoame simetrice de bază - polinoame de formă

definit pentru , acesta este:

Conceptul de polinom

Definiția 1

Monomial sunt numerele, variabilele, gradele și produsele lor.

Definiția 2

Polinom este suma monomiilor.

Exemplu: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definiția 4

Forma standard a unui monom-- scrierea unui monom sub forma unui produs al unui număr și al puterilor naturale ale variabilelor incluse în monom.

Definiția 5

Polinom de formă standard este un polinom format din monomii de forma standard, care nu are termeni similari.

Definiția 6

Gradul unui monom-- suma tuturor puterilor variabilelor incluse în monom.

Definiția 7

Gradul unui polinom de formă standard este cel mai mare grad al puterilor monomiilor sale.

Pentru conceptul de polinom din mai multe variabile se pot distinge cazuri speciale: un binom și un trinom.

Definiția 8

Binom este un polinom cu doi membri.

Exemplu: $(6b)^6+(13ac)^5$.

Definiția 9

Trinom este un polinom cu trei termeni.

Exemplu: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Următoarele operații pot fi efectuate pe polinoame: polinoamele pot fi adunate între ele și scăzute unele de altele, înmulțite între ele, iar un polinom poate fi înmulțit cu un monom.

Suma polinoamelor

Polinoamele pot fi adăugate între ele. Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplul 1

Adăugați polinoamele $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ și $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca o sumă:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Să extindem parantezele:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Vedem că rezultatul sumei acestor două polinoame este, de asemenea, un polinom.

Diferența de polinoame

Exemplul 2

Scădeți polinomul $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ din polinomul $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca diferență:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Să extindem parantezele:

Amintiți-vă că, dacă există un semn minus în fața parantezelor, atunci, la deschiderea parantezelor, semnele din paranteze se vor schimba în cele opuse.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Aducem termeni similari, ca rezultat obținem:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vedem că rezultatul diferenței acestor două polinoame este, de asemenea, un polinom.

Produse de monom și polinom

Înmulțirea unui monom cu un polinom are ca rezultat întotdeauna un polinom.

Schema de înmulțire a unui monom cu un polinom.

• se face o lucrare.
• parantezele sunt deschise. Pentru a deschide parantezele, la înmulțire, este necesar să înmulțiți fiecare monom cu fiecare termen al polinomului și să le adunați.
• numere grupate cu numere, aceleași variabile între ele.
• se înmulțesc numerele și se adună puterile variabilelor identice corespunzătoare.

Exemplul 3

Înmulțiți monomul $(-m^2n)$ cu polinomul $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Soluţie.

Să creăm o lucrare:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Să extindem parantezele:

\[\left(-m^2n\\right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\\right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Înmulțind, obținem.

Polinoamele din una și mai multe variabile sunt studiate în detaliu în cursul algebrei superioare. În acest capitol vom lua în considerare doar câteva întrebări ale teoriei polinoamelor cu coeficienți numerici în mai multe variabile, care nu sunt acoperite în cursul algebrei superioare, dar cu care, totuși, fiecare profesor de matematică ar trebui să le cunoască.

Să fie un câmp numeric arbitrar, niște variabile independente care preiau orice valoare din câmp

Orice produs al formei

unde A este un număr din câmpul unor numere întregi nenegative, se numește monom în variabile peste câmp.Factorul numeric A se numește coeficientul monomului.

Dacă coeficientul A al monomului este egal cu zero, atunci monomul pentru orice valori numerice ale variabilelor este egal cu zero, adică este identic egal cu zero; se numește monomul zero și se notează cu simbolul 0. Dacă coeficientul A este diferit de zero, atunci monomul se numește diferit de monomul zero sau pe scurt diferit de zero.

Exponentul cu care o variabilă intră într-un monom diferit de zero se numește gradul unui monom relativ la variabilă.

Deci, de exemplu, există un monom de gradul al patrulea față de și un grad al zecelea față de setul de variabile

Monomul zero nu i se atribuie niciun grad.

Două monomii diferite de zero în variabile

sunt numite similare dacă fiecare dintre variabile intră ambele monomii în același grad, dacă Cu alte cuvinte, monomiile nenule din aceleași variabile sunt numite similare dacă diferă una de cealaltă doar prin coeficienți.

Deci, de exemplu, monomiile sunt similare.

mai multe monomii similare în variabile dintr-un câmp numeric pot fi înlocuite cu monomiul identic

in care fiecare dintre variabile intra in aceeasi masura ca in termeni si al caror coeficient este egal cu suma coeficientilor termenilor.

Într-adevăr, întrucât coeficienții aparțin unui câmp numeric și operațiile de adunare și înmulțire a numerelor zero sunt legate printr-o lege distributivă,

pentru orice valori ale variabilelor aparținând câmpului De exemplu:

Întrucât operația de înmulțire într-un câmp numeric este comutativă și asociativă, produsul

mai multe monomii în variabile dintr-un câmp numeric este identică cu monomiul

al cărui coeficient este egal cu produsul coeficienții factorilor-monomii, iar fiecare dintre variabile este inclusă în produsul-monom în grad, egal cu suma exponenți ai acestei variabile în toți factorii-monomii. În consecință, produsul mai multor monomii de forma (1) poate fi întotdeauna înlocuit cu monomiul identic al formei (2).

De exemplu,

O expresie care se obține din variabile prin operații de adunare și înmulțire se numește polinom în variabile peste un câmp

De exemplu,

este un polinom în variabile peste câmpul numerelor reale.

Uneori, același polinom poate fi considerat pe câmpuri numerice diferite. Deci, dacă coeficienții unui polinom sunt numere raționale, iar variabilele iau doar valori raționale, atunci acest polinom este considerat a fi dat în câmpul numerelor raționale. Dar întrucât numerele raționale sunt cuprinse în domeniul numerelor reale, precum și în domeniul numerelor complexe, acest polinom poate fi considerat peste câmpul numerelor reale sau complexe, presupunând că variabilele independente iau orice valori reale sau complexe. Deci, de exemplu, un polinom poate fi considerat în câmpul numerelor raționale, reale sau complexe. Deoarece ca urmare a înmulțirii și adunării numerelor câmpului obținem numerele aceluiași câmp, valorile polinomului pentru orice valori numerice ale variabilelor independente aparțin aceluiași câmp numeric peste care polinomul este considerat.

În conformitate cu definiția identității a două expresii analitice, două polinoame din aceleași variabile sunt numite identice (sau identic egale) dacă, pentru orice valori numerice ale acestor variabile, valorile polinoamelor sunt egale.

Înlocuirea unui polinom cu polinomul său identic se numește transformare identică a polinomului dat. Numerele incluse în polinoamele de variabile date peste câmpul numeric și valorile variabilelor pe care le iau aparțin câmpului numeric. transformări identice polinoamele date peste un câmp numeric se realizează pe baza legilor operațiilor asupra numerelor câmpului și a regulilor care decurg din aceste legi, adică pe baza legilor comutative și asociative.

adunarea și înmulțirea și legea distributivă a înmulțirii adunării relative, precum și regulile pentru operațiile asupra numerelor care decurg din aceste legi.

Prin definiție, orice polinom în variabile peste un câmp numeric se formează din numerele câmpului și variabile independente prin operațiile de adunare și înmulțire. Extinzând parantezele din polinom, dacă există, și efectuând înmulțirea monomiilor, obținem o sumă de forma identică cu polinomul dat

unde unele numere sunt din câmp și unele sunt numere întregi nenegative.

Prin urmare, orice polinom din variabile dintr-un câmp numeric poate fi scris ca o sumă de monomii dintr-un câmp P:

Prin urmare, uneori este dată următoarea definiție a unui polinom:

Un polinom în variabile peste un câmp numeric este o funcție care poate fi reprezentată ca o sumă a mai multor monomii în variabile peste un câmp P:

Dacă printre monomiile incluse în polinomul (1) există unele similare, atunci le grupăm, rearanjand termenii dacă este necesar și înlocuim fiecare grup de monomii similare cu monomiul său identic, adică dăm termeni similari.

După reducerea termenilor similari, coeficienții unor termeni monomi pot fi egali cu zero, adică unii dintre termeni pot fi

monomii nule. Vom exclude astfel de termeni. Ca urmare a tuturor acestora, polinomul se va scrie ca o sumă de monoame neasemănătoare în perechi, identic egale cu polinomul dat. Dacă, după reducerea unor termeni similari, toți termenii polinomului sunt monoame zero, atunci polinomul va fi identic egal cu zero. Un astfel de polinom se numește polinom nul și este notat cu simbolul 0.

Scrierea unui polinom ca o sumă de monomi care nu sunt asemănătoare în perechi sau ca un polinom nul se numește forma canonică sau reprezentarea canonică a polinomului. De exemplu, notația este forma canonică a polinomului

Din cele de mai sus rezultă că orice polinom din mai multe variabile poate fi scris în formă canonică. Orice monom în variabile este un caz special al unui polinom, și anume, un polinom a cărui formă canonică are un singur termen.

din mai multe variabile. Să ne amintim mai întâi noțiunea de polinom și definițiile legate de această noțiune.

Definiția 1

Polinom este suma monomiilor.

Definiția 2

Termeni polinomi sunt toate monomiile incluse în polinom.

Definiția 3

Un polinom de formă standard este un polinom format din monomii de formă standard care nu are membri similari.

Definiția 4

Gradul unui polinom de formă standard este cel mai mare grad al puterilor monomiilor sale.

Introducem acum direct definiția unui polinom în două variabile.

Definiția 5

Un polinom ai cărui membri au doar două variabile distincte se numește polinom în două variabile.

Exemplu: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Următoarele operații pot fi efectuate pe binoame: binomurile pot fi adunate între ele și scăzute unele de altele, înmulțite între ele și, de asemenea, înmulțite cu un binom și ridicate la orice putere.

Suma polinoamelor din două variabile

Luați în considerare suma binoamelor folosind un exemplu

Exemplul 1

Adăugați binomele $(xy)^5+(3x)^5$ și $(3x)^5-(xy)^5$

Soluţie.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca o sumă:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Să extindem parantezele:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

Răspuns:$(6x)^5$.

Diferența de polinoame în două variabile

Exemplul 2

Scădeți binomul $(3x)^5-(xy)^5$ din binomul $(xy)^5+(3x)^5$

Soluţie.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca diferență:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Să extindem parantezele:

Amintiți-vă că, dacă există un semn minus în fața parantezelor, atunci, la deschiderea parantezelor, semnele din paranteze se vor schimba în cele opuse.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Aducem termeni similari, ca rezultat obținem:

\[(2xy)^5\]

Răspuns:$(2xy)^5$.

Produse ale unui monom și ale unui polinom în două variabile

Înmulțirea unui monom cu un polinom are ca rezultat întotdeauna un polinom.

Schema de înmulțire a unui monom cu un polinom

• se face o lucrare.
• parantezele sunt deschise. Pentru a deschide parantezele în timpul înmulțirii, este necesar să înmulțiți fiecare monom cu fiecare termen al polinomului și să le adunați.
• numere grupate cu numere, aceleași variabile între ele.
• se înmulțesc numerele și se adună puterile variabilelor identice corespunzătoare.

Exemplul 3

Înmulțiți monomul $x^2y$ cu polinomul $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Soluţie.

Să creăm o lucrare:

Să extindem parantezele:

Înmulțind, obținem:

Răspuns:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Produsul a două polinoame în două variabile

Regula de înmulțire a unui polinom cu un polinom: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, este necesar să se înmulțească fiecare membru al primului polinom cu fiecare membru al celui de-al doilea polinom, se adună produsele rezultate și se aduce polinomul rezultat la un forma standard.

Conceptul de polinom

Definiția 1

Monomial sunt numerele, variabilele, gradele și produsele lor.

Definiția 2

Polinom este suma monomiilor.

Exemplu: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definiția 4

Forma standard a unui monom-- scrierea unui monom sub forma unui produs al unui număr și al puterilor naturale ale variabilelor incluse în monom.

Definiția 5

Polinom de formă standard este un polinom format din monomii de forma standard, care nu are termeni similari.

Definiția 6

Gradul unui monom-- suma tuturor puterilor variabilelor incluse în monom.

Definiția 7

Gradul unui polinom de formă standard este cel mai mare grad al puterilor monomiilor sale.

Pentru conceptul de polinom din mai multe variabile se pot distinge cazuri speciale: un binom și un trinom.

Definiția 8

Binom este un polinom cu doi membri.

Exemplu: $(6b)^6+(13ac)^5$.

Definiția 9

Trinom este un polinom cu trei termeni.

Exemplu: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Următoarele operații pot fi efectuate pe polinoame: polinoamele pot fi adunate între ele și scăzute unele de altele, înmulțite între ele, iar un polinom poate fi înmulțit cu un monom.

Suma polinoamelor

Polinoamele pot fi adăugate între ele. Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplul 1

Adăugați polinoamele $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ și $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca o sumă:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Să extindem parantezele:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Vedem că rezultatul sumei acestor două polinoame este, de asemenea, un polinom.

Diferența de polinoame

Exemplul 2

Scădeți polinomul $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ din polinomul $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca diferență:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Să extindem parantezele:

Amintiți-vă că, dacă există un semn minus în fața parantezelor, atunci, la deschiderea parantezelor, semnele din paranteze se vor schimba în cele opuse.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Aducem termeni similari, ca rezultat obținem:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vedem că rezultatul diferenței acestor două polinoame este, de asemenea, un polinom.

Produse de monom și polinom

Înmulțirea unui monom cu un polinom are ca rezultat întotdeauna un polinom.

Schema de înmulțire a unui monom cu un polinom.

• se face o lucrare.
• parantezele sunt deschise. Pentru a deschide parantezele, la înmulțire, este necesar să înmulțiți fiecare monom cu fiecare termen al polinomului și să le adunați.
• numere grupate cu numere, aceleași variabile între ele.
• se înmulțesc numerele și se adună puterile variabilelor identice corespunzătoare.

Exemplul 3

Înmulțiți monomul $(-m^2n)$ cu polinomul $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Soluţie.

Să creăm o lucrare:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Să extindem parantezele:

\[\left(-m^2n\\right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\\right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Înmulțind, obținem.