Sistemul inegalităților Se obișnuiește să se numească orice set de două sau mai multe inegalități care conțin o cantitate necunoscută.
Această formulare este ilustrată în mod clar, de exemplu, de astfel sisteme de inegalităţi:
Rezolvați sistemul de inegalități - înseamnă a găsi toate valorile unei variabile necunoscute pentru care se realizează fiecare inegalitate a sistemului sau a demonstra că nu există astfel de .
Deci, pentru fiecare individ inegalități de sistem calculați variabila necunoscută. În plus, din valorile rezultate, le selectează numai pe cele care sunt adevărate atât pentru prima cât și pentru a doua inegalități. Prin urmare, la înlocuirea valorii alese, ambele inegalități ale sistemului devin corecte.
Să analizăm soluția mai multor inegalități:
Plasați unul sub cealaltă pereche de linii numerice; pune valoarea pe partea de sus X, sub care prima inegalitate o ( X> 1) devin adevărate, iar în partea de jos, valoarea X, care sunt soluția celei de-a doua inegalități ( X> 4).
Prin compararea datelor de pe linii numerice, rețineți că soluția pentru ambele inegalităților va fi X> 4. Răspunde, X> 4.
Exemplul 2
Calculând primul inegalitate obținem -3 X< -6, или X> 2, al doilea - X> -8 sau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, sub care primul inegalitatea sistemului, iar pe linia numerică inferioară, toate acele valori X, sub care se realizează a doua inegalitate a sistemului.
Comparând datele, constatăm că ambele inegalităților va fi implementat pentru toate valorile X plasat de la 2 la 8. Seturi de valori X denota dubla inegalitate 2 < X< 8.
Exemplul 3 Sa gasim
În această lecție, vom începe studiul sistemelor de inegalități. În primul rând, vom lua în considerare sistemele de inegalități liniare. La începutul lecției, vom lua în considerare unde și de ce apar sistemele de inegalități. În continuare, vom studia ce înseamnă rezolvarea unui sistem și vom aminti uniunea și intersecția mulțimilor. În final, vom rezolva exemple specifice pentru sisteme de inegalități liniare.
Subiect: dietăinegalitățile reale și sistemele lor
Lecţie:Principalconcepte, rezolvarea sistemelor de inegalități liniare
Până acum, am rezolvat inegalitățile individuale și le-am aplicat metoda intervalului, acestea ar putea fi inegalități liniare, și pătrat și rațional. Acum să trecem la rezolvarea sistemelor de inegalități - mai întâi sisteme liniare. Să ne uităm la un exemplu de unde vine necesitatea de a lua în considerare sistemele de inegalități.
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții
Funcția există atunci când există ambele rădăcini pătrate, adică.
Cum se rezolvă un astfel de sistem? Este necesar să găsim toți x care satisfac atât prima cât și cea de-a doua inegalități.
Desenați pe axa x mulțimea soluțiilor primei și celei de-a doua inegalități.
Soluția noastră este intervalul de intersecție a două raze.
Această metodă de reprezentare a soluției unui sistem de inegalități este uneori numită metoda acoperișului.
Soluția sistemului este intersecția a două mulțimi.
Să reprezentăm acest lucru grafic. Avem o mulțime A de natură arbitrară și o mulțime B de natură arbitrară care se intersectează.
Definiție: Intersecția a două mulțimi A și B este o a treia mulțime care constă din toate elementele incluse atât în A cât și în B.
Luați în considerare, folosind exemple specifice de rezolvare a sistemelor liniare de inegalități, cum să găsiți intersecții ale mulțimilor de soluții ale inegalităților individuale incluse în sistem.
Rezolvați sistemul de inegalități:
Răspuns: (7; 10].
4. Rezolvați sistemul 
De unde poate veni a doua inegalitate a sistemului? De exemplu, din inegalitate
Notăm grafic soluțiile fiecărei inegalități și găsim intervalul de intersecție a acestora.
Astfel, dacă avem un sistem în care una dintre inegalități satisface orice valoare a lui x, atunci acesta poate fi eliminat.
Răspuns: sistemul este inconsecvent.
Am luat în considerare probleme tipice de suport, la care se reduce soluția oricărui sistem liniar de inegalități.
Luați în considerare următorul sistem.
7. 
Uneori, un sistem liniar este dat de o dublă inegalitate; luați în considerare acest caz.
8. 
Am considerat sisteme de inegalități liniare, înțelese de unde provin, considerate sisteme tipice la care toate sistemele liniare se reduc și am rezolvat unele dintre ele.
1. Mordkovich A.G. si altele.Algebra Clasa a IX-a: Proc. Pentru invatamantul general Instituţii.- ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. şi altele.Algebră Clasa 9: Caiet de sarcini pentru elevi institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și alții - ed. a IV-a. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
3. Yu. N. Makarychev, Algebră. Clasa a 9-a: manual. pentru studenții din învățământul general. instituții / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Ed. a VII-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebră. Clasa a 9-a a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XII-a, șters. — M.: 2010. — 224 p.: ill.
6. Algebră. Clasa a 9-a La 2 ore Partea 2. Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. - Ed. a XII-a, Rev. — M.: 2010.-223 p.: ill.
1. Portalul Științelor Naturii ().
2. Complex educațional și metodologic electronic pentru pregătirea claselor 10-11 pt examen de admitereîn informatică, matematică, limba rusă ().
4. Centrul de Învățământ „Tehnologia Educației” ().
5. College.ru secțiunea de matematică ().
1. Mordkovich A.G. et al. Algebră Clasa 9: Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. nr. 53; 54; 56; 57.
Programul de rezolvare a inegalităților liniare, pătrate și fracționale nu oferă doar răspunsul la problemă, ci conduce solutie detaliata cu explicații, adică afiseaza procesul de rezolvare in vederea verificarii cunostintelor de matematica si/sau algebra.
Mai mult, dacă în procesul de rezolvare a uneia dintre inegalități este necesar să se rezolve, de exemplu, ecuație pătratică, apoi este afișată și soluția sa detaliată (este inclusă în spoiler).
Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătire pentru munca de control, părinții să controleze soluționarea inegalităților de către copiii lor.
Acest program poate fi util elevilor de liceu scoli de invatamant generalîn pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.
Reguli pentru introducerea inegalităților
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
În plus, numere fracționare poate fi introdus nu numai ca zecimală, ci și ca fracție obișnuită.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
întreaga parte separate de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Parantezele pot fi folosite la introducerea expresiilor. În acest caz, la rezolvarea inegalității, expresiile sunt mai întâi simplificate.
De exemplu: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Alegeți semnul de inegalitate dorit și introduceți polinoamele în câmpurile de mai jos.
Rezolvați sistemul de inegalități S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Un pic de teorie.
Sisteme de inegalități cu o necunoscută. Intervalele numerice
Te-ai familiarizat cu conceptul de sistem în clasa a VII-a și ai învățat cum să rezolvi sisteme de ecuații liniare cu două necunoscute. În continuare, vor fi luate în considerare sistemele de inegalități liniare cu o necunoscută. Seturile de soluții ale sistemelor de inegalități pot fi scrise folosind intervale (intervale, semiintervale, segmente, raze). Veți învăța și despre notarea intervalelor numerice.
Dacă în inegalitățile \(4x > 2000 \) și \(5x \leq 4000 \) numărul necunoscut x este același, atunci aceste inegalități sunt considerate împreună și se spune că formează un sistem de inegalități: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Acolada arată că trebuie să găsiți astfel de valori ale lui x pentru care ambele inegalități ale sistemului se transformă în inegalități numerice adevărate. Acest sistem este un exemplu de sistem de inegalități liniare cu o necunoscută.
Soluția unui sistem de inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care toate inegalitățile sistemului se transformă în inegalități numerice adevărate. A rezolva un sistem de inegalități înseamnă a găsi toate soluțiile acestui sistem sau a stabili că nu există.
Inegalitățile \(x \geq -2 \) și \(x \leq 3 \) pot fi scrise ca o dublă inegalitate: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Soluțiile sistemelor de inegalități cu o necunoscută sunt mulțimi numerice diferite. Aceste seturi au nume. Deci, pe axa reală, mulțimea numerelor x astfel încât \(-2 \leq x \leq 3 \) este reprezentată de un segment cu capete în punctele -2 și 3.
| -2 | 3 |
Dacă \(a este un segment și este notat cu [a; b]
Dacă \(un interval și notat cu (a; b)
Mulțimi de numere \(x \) care satisfac inegalitățile \(a \leq x prin semiintervale și sunt notate cu [a; b) și respectiv (a; b]
Se numesc segmente, intervale, semiintervale și raze intervale numerice.
În acest fel, lacune de număr poate fi dat sub formă de inegalităţi.
O soluție a unei inegalități cu două necunoscute este o pereche de numere (x; y) care transformă această inegalitate într-o inegalitate numerică adevărată. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor ei. Deci, soluțiile inegalității x > y vor fi, de exemplu, perechi de numere (5; 3), (-1; -1), deoarece \(5 \geq 3 \) și \(-1 \geq - 1\)
Rezolvarea sistemelor de inegalități
Ați învățat deja cum să rezolvați inegalitățile liniare cu o necunoscută. Aflați ce sunt un sistem de inegalități și o soluție a sistemului. Prin urmare, procesul de rezolvare a sistemelor de inegalități cu o necunoscută nu vă va provoca dificultăți.
Și totuși ne amintim: pentru a rezolva un sistem de inegalități, trebuie să rezolvați fiecare inegalitate separat și apoi să găsiți intersecția acestor soluții.
De exemplu, sistemul original de inegalități a fost redus la forma:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Pentru a rezolva acest sistem de inegalități, marcați soluția fiecărei inegalități pe axa reală și găsiți intersecția lor:
| -2 | 3 |
Intersecția este segmentul [-2; 3] - aceasta este soluția sistemului original de inegalități.
ECUATII LINEARE SI INEGUALITATI I
§ 23 Sisteme de inegalităţi liniare
Un sistem de inegalități liniare este orice set de două sau mai multe inegalități liniare care conține aceeași cantitate necunoscută.
Exemple de astfel de sisteme sunt:
A rezolva un sistem de inegalități înseamnă a găsi toate valorile mărimii necunoscute pentru care fiecare inegalitate a sistemului este satisfăcută.
Să rezolvăm sistemele de mai sus.
Să plasăm două drepte numerice una sub alta (Fig. 31); în partea de sus nota acele valori X , sub care prima inegalitate ( X > 1), iar în partea de jos - acele valori X , sub care a doua inegalitate este satisfăcută ( X > 4).
Comparând rezultatele pe liniile numerice, observăm că ambele inegalități vor fi satisfăcute simultan pentru X > 4. Răspunde, X > 4.
Prima inegalitate dă -3 X < -б, или X > 2, iar al doilea - X > -8 sau X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , sub care prima inegalitate a sistemului este satisfăcută, iar pe a doua linie reală, situată sub prima, toate acele valori X , pentru care a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută (Fig. 32).
Compararea acestor două rezultate arată că ambele inegalități vor fi valabile simultan pentru toate valorile X , încheiat de la 2 la 8. Ansamblul acestor valori X se scrie ca o dublă inegalitate 2< X < 8.
Exemplul 3. Rezolvați un sistem de inegalități
Prima inegalitate a sistemului dă 5 X < 10, или X < 2, второе X > 4. Astfel, orice număr care satisface ambele inegalități simultan nu trebuie să fie mai mare de 2 și nu mai mult de 4 (Fig. 33).
Dar nu există astfel de numere. Prin urmare, acest sistem de inegalități nu este satisfăcut pentru nicio valoare X . Astfel de sisteme de inegalități se numesc inconsistente.
Exerciții
Rezolvați aceste sisteme de inegalități (Nr. 179 -184):
Rezolvați inegalitățile (nr. 185, 186):
185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.
Găsiți valorile valide ale literelor incluse în datele de egalitate (nr. 187, 188):
Rezolvați inegalitățile (nr. 189, 190):
189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oh < 5.
191. Care ar trebui să fie temperatura a 10 litri de apă, astfel încât atunci când este amestecată cu 6 litri de apă la o temperatură de 15 °, să se obțină apă cu o temperatură de cel puțin 30 ° și nu mai mult de 40 °?
192. O latură a unui triunghi are 4 cm, iar suma celorlalte două este de 10 cm. Aflați aceste laturi dacă sunt exprimate ca numere întregi.
193. Se știe că sistemul a două inegalități liniare nu este satisfăcut pentru nicio valoare a mărimii necunoscute. Este posibil să spunem că inegalitățile individuale ale acestui sistem nu sunt satisfăcute pentru nicio valoare a mărimii necunoscute?
Definiția 1 . set de puncte din spațiu R n , ale cărui coordonate satisfac ecuația A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ A n X n = b, se numește ( n - 1 hiperplan )-dimensional în n-spaţiul dimensional.
Teorema 1. Hiperplanul împarte tot spațiul în două semi-spații. Semi-spațiul este o mulțime convexă.
Intersecția unui număr finit de semi-spații este o mulțime convexă.
Teorema 2 . Rezolvarea unei inegalități liniare cu n necunoscut
A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ A n X n b
este unul dintre semi-spațiile în care întregul spațiu este împărțit de hiperplan
A 1 X 1 + A 2 X 2 +…+A n X n= b.
Luați în considerare un sistem din m inegalități liniare cu n necunoscut.
Soluția fiecărei inegalități a sistemului este un anumit semi-spațiu. Soluția sistemului va fi intersecția tuturor semi-spațiilor. Acest set va fi închis și convex.
Rezolvarea sistemelor de inegalități liniare
cu două variabile
Să fie dat un sistem m inegalități liniare în două variabile.
Soluția fiecărei inegalități va fi unul dintre semiplanurile în care întregul plan este împărțit de linia corespunzătoare. Soluția sistemului va fi intersecția acestor semiplane. Această problemă poate fi rezolvată grafic în plan X 1 0 X 2 .
37. Reprezentarea unui poliedru convex
Definiția 1. Închis convex stabilit limitat în R n având un număr finit puncte de colț, se numește convex n-poliedru dimensional.
Definiția 2 . Un convex închis nemărginit se instalează R n , care are un număr finit de puncte de colț, se numește regiune poliedrică convexă.
Definiția 3 . Multe DARR n se numește mărginit dacă există n-minge dimensională care conține acest set.
Definiția 4. O combinație liniară convexă de puncte este o expresie în care t i , .
Teorema (teorema de reprezentare pentru un poliedru convex). Orice punct al unui poliedru convex poate fi reprezentat ca o combinație liniară convexă a punctelor sale de colț.
38. Aria soluțiilor admisibile ale sistemului de ecuații și inegalități.
Să fie dat un sistem m ecuații liniare și inegalități cu n necunoscut.
Definiția 1 . Punct R n se numește soluție posibilă a sistemului dacă coordonatele sale satisfac ecuațiile și inegalitățile sistemului. Totalitatea tuturor solutii posibile se numește domeniul soluțiilor posibile (ROA) al sistemului.
Definiția 2. O posibilă soluție ale cărei coordonate sunt nenegative se numește soluție admisibilă a sistemului. Setul tuturor soluțiilor admisibile se numește regiunea soluțiilor admisibile (ODD) a sistemului.
Teorema 1 . ODE este o submulțime închisă, convexă, mărginită (sau nemărginită). R n.
Teorema 2. O soluție admisibilă a sistemului este o referință dacă și numai dacă acest punct este punctul de colț al ODS.
Teorema 3 (teorema privind reprezentarea ODT-ului). Dacă EDO este o mulțime mărginită, atunci orice soluție admisibilă poate fi reprezentată ca o combinație liniară convexă a punctelor de colț ale EDO (sub forma unei combinații liniare convexe a soluțiilor suport ale sistemului).
Teorema 4 (teorema privind existenta unei solutii suport a sistemului). Dacă sistemul are cel puțin o soluție admisibilă (ODR), atunci printre soluțiile admisibile există cel puțin o soluție de referință.
