Galime atlikti aritmetinių trupmenų dauginimą ir dalijimą, pavyzdžiui:

jei raidės a, b, c ir d reiškia aritmetinius sveikuosius skaičius.

Kyla klausimas, ar šios lygybės negalioja, jei a, b, c ir d reiškia: 1) kai kuriuos aritmetiniai skaičiai ir 2) bet kokie santykiniai skaičiai.

Visų pirma, turėsite atsižvelgti į sudėtingas trupmenas, pavyzdžiui:

Šių pavyzdžių jau pakanka, kad būtų patikrintas lygčių, susijusių su trupmenų dauginimu ir dalyba, pagrįstumui, kai skaičiai a, b, c ir d yra bet kokia (visa ar trupmeninė) aritmetika. Atkreipkite dėmesį, kad yra tik 2 pagrindinės lygybės, būtent:

Dabar belieka apsvarstyti, ar šios lygybės galioja, jei kai kurie skaičiai a, b, c ir d yra neigiami: jei, pavyzdžiui, a neigiamas skaičius, b, c ir d yra teigiami, tada trupmena yra neigiama, o trupmena yra teigiama; todėl, pavyzdžiui, padalijus iš turi gauti neigiamą skaičių, bet matome, kad pagal mūsų prielaidą išraiška turi išreikšti ir neigiamą skaičių, t.y., lygybė pateisinama ir šiuo atveju. Taip pat lengva atsižvelgti į kitas a, b, c ir d ženklų prielaidas. Šio svarstymo rezultatas – tikėjimas lygybių pagrįstumu

ir tuo atveju, kai a, b, c ir d išreiškia bet kokius santykinius skaičius, t. y. daugybos ir dalybos algebrinės trupmenos galioja tos pačios taisyklės kaip ir aritmetikai.

Dabar galime atlikti algebrinių trupmenų dauginimą ir dalijimą. Didžiausias sunkumas čia yra trupmenų, gautų padauginus ar padalijus, sumažinimo klausimas. Jei algebrinės trupmenos yra vienanarės, tai gauto rezultato sumažinimas nesukels jokių sunkumų, o jei trupmenos yra algebrinės, tai pirmiausia reikia suskaičiuoti kiekvienos iš šių trupmenų skaitiklį ir vardiklį.

Šioje pamokoje apžvelgsime algebrinių trupmenų dauginimo ir dalijimo taisykles, taip pat šių taisyklių taikymo pavyzdžius. Algebrinių trupmenų daugyba ir dalijimas niekuo nesiskiria nuo paprastųjų trupmenų daugybos ir dalybos. Tačiau kintamųjų buvimas lemia šiek tiek sudėtingesnius būdus, kaip supaprastinti gautas išraiškas. Nepaisant to, kad trupmenas dauginti ir dalyti yra lengviau nei jas sudėti ir atimti, šios temos studijos turi būti vertinamos labai atsakingai, nes joje yra daug „spąstų“, į kuriuos paprastai nekreipiama dėmesio. Pamokos metu ne tik išnagrinėsime trupmenų dauginimo ir dalybos taisykles, bet ir analizuosime niuansus, kurie gali kilti jas taikant.

Tema:Algebrinės trupmenos. Aritmetiniai veiksmai su algebrinėmis trupmenomis

Pamoka:Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba

Algebrinių trupmenų daugybos ir dalybos taisyklės yra visiškai panašios į paprastųjų trupmenų daugybos ir dalybos taisykles. Prisiminkite juos:

Tai yra, norint padauginti trupmenas, reikia padauginti jų skaitiklius (tai bus sandaugos skaitiklis) ir padauginti jų vardiklius (tai bus sandaugos vardiklis).

Dalijimas iš trupmenos yra dauginimas iš atvirkštinės trupmenos, tai yra, norint padalyti dvi trupmenas, reikia padauginti pirmąją iš jų (dividentą) iš atvirkštinės antrosios (daliklio).

Nepaisant šių taisyklių paprastumo, daugelis žmonių, spręsdami pavyzdžius šia tema, daro klaidų daugeliu ypatingų atvejų. Pažvelkime atidžiau į šiuos ypatingus atvejus:

Visose šiose taisyklėse naudojome šį faktą: .

Išspręskime keletą paprastųjų trupmenų daugybos ir padalijimo pavyzdžių, kad prisimintume, kaip naudoti nurodytas taisykles.

1 pavyzdys

Pastaba: mažindami trupmenas naudojome skaičiaus išplėtimą į pagrindiniai veiksniai. Prisiminkite tai pirminiai skaičiai vadinami tokiais sveikieji skaičiai, kurie dalijasi tik patys ir patys. Likę numeriai yra vadinami sudedamoji dalis . Skaičius nėra nei pirminis, nei sudėtinis. Pavyzdžiai pirminiai skaičiai: .

2 pavyzdys

Dabar panagrinėkime vieną iš ypatingų atvejų paprastosios trupmenos.

3 pavyzdys

Kaip matote, paprastųjų trupmenų dauginimas ir padalijimas, jei taisyklės taikomos teisingai, nėra sunku.

Apsvarstykite algebrinių trupmenų dauginimą ir padalijimą.

4 pavyzdys

5 pavyzdys

Atkreipkite dėmesį, kad galima ir netgi būtina sumažinti trupmenas po daugybos pagal tas pačias taisykles, kurias anksčiau nagrinėjome algebrinių trupmenų mažinimo pamokose. Apsvarstykite keletą paprasti pavyzdžiai ypatingiems atvejams.

6 pavyzdys

7 pavyzdys

Dabar pažvelkime į dar keletą sunkūs pavyzdžiai trupmenoms dauginti ir dalyti.

8 pavyzdys

9 pavyzdys

10 pavyzdys

11 pavyzdys

12 pavyzdys

13 pavyzdys

Prieš tai nagrinėjome trupmenas, kuriose ir skaitiklis, ir vardiklis buvo vienanariai. Tačiau kai kuriais atvejais reikia padauginti arba padalyti trupmenas, kurių skaitikliai ir vardikliai yra daugianariai. Šiuo atveju taisyklės išlieka tos pačios, o redukcijai reikia naudoti sutrumpintos daugybos ir skliaustų formules.

14 pavyzdys

15 pavyzdys

16 pavyzdys

17 pavyzdys

18 pavyzdys

Šioje pamokoje apžvelgsime algebrinių trupmenų dauginimo ir dalybos taisykles, taip pat šių taisyklių taikymo pavyzdžius. Algebrinių trupmenų daugyba ir atėmimas niekuo nesiskiria nuo paprastųjų trupmenų daugybos ir dalybos. Tačiau kintamųjų buvimas lemia šiek tiek sudėtingesnius būdus, kaip supaprastinti gautas išraiškas. Nepaisant to, kad trupmenas dauginti ir dalyti yra lengviau nei jas sudėti ir atimti, šios temos tyrimą reikia žiūrėti labai atsakingai, nes joje yra daug „spąstų“, į kuriuos paprastai nekreipiama dėmesio. Pamokos metu ne tik išnagrinėsime trupmenų dauginimo ir dalybos taisykles, bet ir analizuosime niuansus, kurie gali kilti jas taikant.

Tema:Algebrinės trupmenos. Aritmetiniai veiksmai su algebrinėmis trupmenomis

Pamoka:Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba

1. Paprastųjų ir algebrinių trupmenų daugybos ir dalybos taisyklės

Algebrinių trupmenų dauginimo ir dalijimo taisyklės yra lygiai tokios pačios kaip ir paprastųjų trupmenų dauginimo ir dalijimo taisyklės. Prisiminkite juos:

Tai yra, norint padauginti trupmenas, reikia padauginti jų skaitiklius (tai bus sandaugos skaitiklis) ir padauginti jų vardiklius (tai bus sandaugos vardiklis).

Dalijimas iš trupmenos yra dauginimas iš atvirkštinės trupmenos, tai yra, norint padalyti dvi trupmenas, reikia padauginti pirmąją iš jų (dividentą) iš atvirkštinės antrosios (daliklio).

2. Ypatingi trupmenų daugybos ir dalybos taisyklių taikymo atvejai

Nepaisant šių taisyklių paprastumo, daugelis žmonių, spręsdami pavyzdžius šia tema, daro klaidų daugeliu ypatingų atvejų. Pažvelkime atidžiau į šiuos ypatingus atvejus:

Visose šiose taisyklėse naudojome šį faktą: .

3. Paprastųjų trupmenų daugybos ir dalybos pavyzdžiai

Išspręskime keletą paprastųjų trupmenų daugybos ir padalijimo pavyzdžių, kad prisimintume, kaip naudoti nurodytas taisykles.

1 pavyzdys

Pastaba: mažindami trupmenas naudojome skaičių skaidymą į pirminius veiksnius. Prisiminkite tai pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, kurie dalijasi tik iš savęs ir iš savęs. Likę numeriai yra vadinami sudedamoji dalis. Skaičius nėra nei pirminis, nei sudėtinis. Pirminių skaičių pavyzdžiai: .

2 pavyzdys

Dabar panagrinėkime vieną iš ypatingų atvejų su paprastosiomis trupmenomis.

3 pavyzdys

Kaip matote, paprastųjų trupmenų dauginimas ir padalijimas, jei taisyklės taikomos teisingai, nėra sunku.

4. Algebrinių trupmenų daugybos ir dalybos pavyzdžiai (paprasti atvejai)

Apsvarstykite algebrinių trupmenų dauginimą ir padalijimą.

4 pavyzdys

5 pavyzdys

Atkreipkite dėmesį, kad galima ir netgi būtina sumažinti trupmenas po daugybos pagal tas pačias taisykles, kurias anksčiau nagrinėjome algebrinių trupmenų mažinimo pamokose. Panagrinėkime keletą paprastų ypatingų atvejų pavyzdžių.

6 pavyzdys

7 pavyzdys

Dabar panagrinėkime keletą sudėtingesnių trupmenų daugybos ir padalijimo pavyzdžių.

8 pavyzdys

9 pavyzdys

10 pavyzdys

11 pavyzdys

12 pavyzdys

13 pavyzdys

5. Algebrinių trupmenų daugybos ir dalybos pavyzdžiai (sunkūs atvejai)

Prieš tai nagrinėjome trupmenas, kuriose ir skaitiklis, ir vardiklis buvo vienanariai. Tačiau kai kuriais atvejais reikia padauginti arba padalyti trupmenas, kurių skaitikliai ir vardikliai yra daugianariai. Šiuo atveju taisyklės išlieka tos pačios, o redukcijai reikia naudoti sutrumpintos daugybos ir skliaustų formules.

14 pavyzdys

Tema: Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba

Išsilavinimas yra tai, kas lieka, kai viskas, kas išmokta, jau pamiršta.

Laue

Tikslai:

Švietimas:

pataisykite ZUN temoje

atlikti pirminę dabartinę žinių kontrolę

dirbti spragas

Kuriama:

prisidėti prie komunikacinės kompetencijos ugdymo, t.y. gebėjimas efektyviai dirbti su kitais.

prisidėti prie bendradarbiavimo kompetencijos ugdymo, t.y. gebėjimas dirbti poromis.

prisidėti prie problemų sprendimo kompetencijos ugdymo, t.y. gebėjimas suprasti sunkumų neišvengiamumą vykdant bet kokią veiklą.

Švietimas:

įskiepyti gebėjimą adekvačiai įvertinti draugo atliktą darbą;

dirbant poromis, ugdyti savitarpio pagalbos, palaikymo savybes.

Metodinis:

sukurti sąlygas individualumui pasireikšti, pažintinė veikla studentai;

parodyti pamokos metodiką su rezultatų dizainu mokymosi veikla ir jų tyrimo metodai, remiantis kompetencija pagrįstu požiūriu.

Įranga: lenta, spalvota kreida. Lentelė „Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba“; kortelės už individualus darbas, atminties kortelės. Nemokama minutės užduotis.

Per užsiėmimus

Laiko organizavimas

Pamokos planas užrašomas lentoje:

Burnos treniruotė.

Individualus darbas.

Problemų sprendimas.

Darbas poromis.

Pamokos santrauka.

Namų darbai.

Mokytojas: Senais laikais Rusijoje buvo manoma, kad jei žmogus išmano matematiką, tai reiškia aukščiausias laipsnis mokymasis. O gebėjimas teisingai matyti ir girdėti yra pirmas žingsnis į išmintį. Noriu, kad šiandien visi jūsų klasės mokiniai parodytų, kokie jie išmintingi ir kaip gerai išmano 7 klasės algebrą.

Taigi, pamokos tema „Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba“ Paskutinėje pamokoje pradėjote mokytis Ši tema, ir aptarėme, kodėl tai studijuojame. Prisiminkime, kur tai pravers per kelias pamokas.

Mokiniai: Dėl bendras veiksmas su algebrinėmis trupmenomis, sprendžiant lygtis, taigi ir uždavinius.

Mokytojas: Net senais laikais Rusijoje sakydavo, kad dauginimas yra kančia, o dalyba – bėda. Kiekvienas, galintis greitai ir tiksliai dauginti ir dalyti, buvo laikomas puikiu matematiku.

Kokius tikslus išsikelsite sau?

Mokiniai: Toliau studijuokite temą, išmokite greitai ir tiksliai dauginti ir dalyti.

Mokytojas: Siekdami savo tikslų, mes (atidarome lentoje parašytą planą, ištariame)

1. Burnos apšilimas: (per tą laiką 3 - 4 žmonės poromis išsprendžia trupmenų mažinimo simuliatorių) faktorizuokite užpildydami spragas

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

sumažinti frakciją

Frakcijos, trupmenos, trupmenos plaka supjaustykite jų negailėkite.

rasti klaidą, padarytą dauginant ir dalijant algebrines trupmenas

Mokytojas: Kur klaida? Kodėl padaryta klaida? Kokios taisyklės mokinys nežinojo? Ką tu žinai? Kaip tai padaryti teisingai?

2. Darbas sąsiuvinyje, № iš vadovėlio 488 (1) Analizė, sprendimas, patikrinimas.

Mokytojas: O dabar turėsite galimybę parodyti savo žinias laikydami testą, o kad įkvėpčiau dirbti, aš perskaitysiu eilėraštį „Kad mokytojas parašytų“ 5 „jūsų dienoraštyje, spėk skaitiklį padauginti iš skaitiklį akimirksniu, ir kad mokytojas būtų tavimi patenkintas, pirmąjį vardiklį padauginate iš antrojo "

Savikontrolė, abipusis patikrinimas. Pagal kriterijus (iškabinti lentoje) B-1 (321), B-2 (132) pagal teisingus kodus, vertinimas poromis. pradinis rezultatas. Apskaičiavimai.

Darbas su klaidomis poromis „mokinys ir mokytojas“

Jei porose klaidų nėra, užduotį atlieka per laisvą minutę.

Supaprastinkite išraišką ir suraskite jos vertę kada

5. Pamokos santrauka

Pamokos pabaigoje norėčiau jūsų paklausti, kokios darbo rūšys jums sukėlė sunkumų? Kodėl manote? Ką naujo išmokote? Kuris iš jūsų yra patenkintas savo darbu klasėje? Ar manote, kad pamokos pradžioje užsibrėžti tikslai buvo pasiekti?

Mokytojas: Pamoką norėčiau užbaigti prancūzų inžinieriaus fiziko Laue žodžiais: „Išsilavinimas yra tai, kas lieka, kai viskas, ko išmokome, jau pamiršta“

Tikiuosi, kad nepamiršite šios medžiagos, kad taip neatsitiktų, turite net užpildyti d / z Nr. 486 487 488.

Video pamoka „Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba. Algebrinės trupmenos padidinimas iki laipsnio "- pagalba vesti matematikos pamoką nurodyta tema. Vaizdo pamokos pagalba mokytojui lengviau formuoti mokinių gebėjimą atlikti algebrinių trupmenų daugybą ir dalybą. Vaizdinėje priemonėje detaliai, suprantamai aprašyti pavyzdžiai, kuriuose atliekamos daugybos ir dalybos operacijos. Medžiaga gali būti demonstruojama mokytojo paaiškinimo metu arba tapti atskira pamokos dalimi.

Siekiant suformuoti gebėjimą spręsti algebrinių trupmenų dauginimo ir dalybos uždavinius, sprendinio aprašymo metu pateikiami svarbūs komentarai, akimirkos, reikalaujančios įsiminti ir gilaus supratimo, išryškinamos spalva, paryškintu šriftu, rodyklėmis. Vaizdo pamokos pagalba mokytojas gali padidinti pamokos efektyvumą. Ši vaizdinė priemonė padės greitai ir efektyviai pasiekti mokymosi tikslus.

Vaizdo įrašo pamoka prasideda įvadu į temą. Po to nurodoma, kad daugybos ir dalybos su algebrinėmis trupmenomis operacijos atliekamos panašiai kaip operacijos su paprastosiomis trupmenomis. Ekrane rodomos trupmenų daugybos, dalybos ir eksponencijos taisyklės. Trupmenų dauginimas parodomas naudojant pažodinius parametrus. Pažymima, kad dauginant trupmenas, dauginami skaitikliai, taip pat vardikliai. Taip gaunama gauta trupmena a/b c/d=ac/bd. Trupmenų padalijimas parodomas naudojant išraišką a/b:c/d kaip pavyzdį. Nurodoma, kad dalybos operacijai atlikti reikia į skaitiklį įrašyti dividendo skaitiklio ir daliklio vardiklio sandaugą. Dalinio vardiklis yra dividendo vardiklio ir daliklio skaitiklio sandauga. Taigi dalybos operacija virsta dividendo trupmenos ir daliklio trupmenos atvirkštinio skaičiaus dauginimo operacija. Padidinimas iki trupmenos laipsnio prilygsta trupmenai, kurioje skaitiklis ir vardiklis padidinami iki nurodytos laipsnio.

Toliau pateikiamas sprendimo pavyzdys. 1 pavyzdyje turite atlikti veiksmus (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, antrosios trupmenos, įtrauktos į sandaugą, skaitiklis išskaidomas į veiksnius. Naudojant sutrumpintos daugybos formules, transformuojama x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y). Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami. Atlikus operacijas aišku, kad skaitiklyje ir vardiklyje yra faktorių, kuriuos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Dėl transformacijų gaunama trupmena (x + y) 2 / 2x. Taip pat atsižvelgiama į veiksmų 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 atlikimą. Į visus skaitiklius ir vardiklius atsižvelgiama į faktorizavimo galimybę, bendrų faktorių paskirstymą. Tada skaitikliai ir vardikliai dauginami. Po padauginimo daromi sumažinimai. Transformacijos rezultatas yra trupmena 2(a-b)/7a.

Nagrinėjamas pavyzdys, kuriame būtina atlikti veiksmus (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2. Norėdami išspręsti išraišką, pirmosios trupmenos skaitiklį siūloma konvertuoti naudojant sutrumpintą daugybos formulę x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1). Pagal trupmenų padalijimo taisyklę pirmoji trupmena dauginama iš antrosios atvirkštinės vertės. Padauginus skaitiklius ir vardiklius, gaunama trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai. Jie mažėja. Rezultatas yra trupmena (x-1) 2 m. Čia taip pat aprašytas pavyzdžio (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) sprendimas. Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, skaitikliui konvertuoti naudojama sutrumpinta daugybos formulė. Taip pat paverčiamas trupmenos vardiklis. Tada pirmoji trupmena padauginama iš antrosios trupmenos atvirkštinio skaičiaus. Po daugybos atliekamos transformacijos, skaitiklio ir vardiklio sumažinimai bendrais veiksniais. Rezultatas yra trupmena - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Atkreipiamas mokinių dėmesys į tai, kaip keičiasi skaitiklio ir vardiklio ženklai dauginant.

Trečiame pavyzdyje reikia atlikti operacijas su trupmenomis ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . Sprendžiant šį pavyzdį, taikoma trupmenos pakėlimo į laipsnį taisyklė. Tiek pirmoji, tiek antroji trupmenos pakeliamos iki laipsnio. Jie konvertuojami pakeliant skaitiklį ir vardiklį į laipsnį. Be to, norint konvertuoti trupmenų vardiklius, naudojama sutrumpinta daugybos formulė, išryškinanti bendrą koeficientą. Norėdami padalyti pirmąją trupmeną iš antrosios, turite padauginti pirmąją trupmeną iš antrosios atvirkštinės vertės. Skaitiklis ir vardiklis sudaro išraiškas, kurias galima sumažinti. Po konvertavimo gaunama trupmena (x-2) / 27x 3 (x + 2).

Video pamoka „Algebrinių trupmenų daugyba ir dalyba. Algebrinės trupmenos didinimas iki laipsnio “naudojamas tradicinės matematikos pamokos efektyvumui padidinti. Medžiaga gali būti naudinga mokytojui, teikiančiam mokymąsi nuotoliniu būdu. Išsamus aiškus pavyzdžių sprendimo aprašymas padės studentams, kurie savarankiškai įsisavina dalyką arba reikalauja papildomų užsiėmimų.