Ką reiškia faktorizuoti? Kaip tai padaryti? Ko galima išmokti išskaidžius skaičių į pirminius veiksnius? Atsakymai į šiuos klausimus iliustruojami konkrečiais pavyzdžiais.

Apibrėžimai:

Pirminis skaičius yra skaičius, turintis tiksliai du skirtingus daliklius.

Sudėtinis skaičius yra skaičius, turintis daugiau nei du daliklius.

suirti natūralusis skaičiusį veiksnius reiškia pavaizduoti jį kaip natūraliųjų skaičių sandaugą.

Suskaičiuoti natūralųjį skaičių į pirminius veiksnius reiškia pavaizduoti jį kaip pirminių skaičių sandaugą.

Pastabos:

• Išplečiant pirminį skaičių, vienas iš veiksnių yra lygus vienam, o kitas – pačiam šiam skaičiui.
• Nėra prasmės kalbėti apie vienybės skilimą į veiksnius.
• Sudėtinį skaičių galima išskaidyti į veiksnius, kurių kiekvienas skiriasi nuo 1.

	Išskaidykime skaičių 150. Pavyzdžiui, 150 yra 15 kartų 10. 15 yra sudėtinis skaičius. Jį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 5 ir 3. 10 yra sudėtinis skaičius. Jį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 5 ir 2. Užrašę jų išplėtimus į pirminius koeficientus, o ne į 15 ir 10, gavome skaičiaus 150 išplėtimą.
	Skaičius 150 gali būti apskaičiuotas ir kitaip. Pavyzdžiui, 150 yra skaičių 5 ir 30 sandauga. 5 yra pirminis skaičius. 30 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti pavaizduotas kaip 10 ir 3 sandauga. 10 yra sudėtinis skaičius. Jį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 5 ir 2. Skaičiaus 150 išskaidymą į pirminius veiksnius gavome kitu būdu.
	Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis ir antrasis plėtiniai yra vienodi. Jie skiriasi tik daugiklių tvarka. Įprasta daugiklius rašyti didėjančia tvarka.
Bet koks sudėtinis skaičius gali būti unikaliu būdu išskaidytas į pirminius veiksnius iki veiksnių eilės.

Kai suyra dideli skaičiai pirminiams veiksniams naudokite stulpelio žymėjimą:

	Mažiausias pirminis skaičius, iš kurio 216 dalijasi, yra 2. Padalinkite 216 iš 2. Gauname 108.
	Gautas skaičius 108 dalijasi iš 2. Atlikime padalijimą. Rezultatas - 54.
	Pagal dalijimosi iš 2 testą, skaičius 54 dalijasi iš 2. Po padalijimo gauname 27.
	Skaičius 27 baigiasi nelyginiu skaičiumi 7. Tai Nedalijama iš 2. Kitas pirminis skaičius yra 3. 27 padalinkite iš 3. Gauname 9. Mažiausias pirminis Skaičius, iš kurio 9 dalijasi, yra 3. Trys yra pats savaime pirminis skaičius, jis dalijasi iš savęs ir iš vieneto. Padalinkime 3 iš savęs. Dėl to gavome 1.

• Skaičius dalijasi tik iš tų pirminių skaičių, kurie yra jo skaidymo dalis.
• Skaičius dalijasi tik iš tų sudėtinių skaičių, kurių išskaidymas į pirminius veiksnius visiškai jame yra.

Apsvarstykite pavyzdžius:

	4900 dalijasi iš pirminių skaičių 2, 5 ir 7 (jie įtraukiami į skaičiaus 4900 išplėtimą), bet nesidalija, pavyzdžiui, iš 13.
	11 550 75. Taip yra todėl, kad skaičiaus 75 išplėtimas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus 11550 išplėtimą. Padalijimo rezultatas bus 2, 7 ir 11 koeficientų sandauga. 11550 nesidalija iš 4, nes išplečiant 4 yra papildomas 2.

Raskite skaičiaus a dalijimosi iš skaičiaus b koeficientą, jei šie skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius taip a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Skaičiaus b skaidymas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus a skaidymą.
	A dalijimo iš b rezultatas yra trijų skaičių, likusių a plėtinyje, sandauga. Taigi atsakymas yra: 30.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija. 2006 m.
3. Depmanas I.Ya., Vilenkinas N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. - M.: Švietimas, 1989 m.
4. Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 kl. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
5. Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
6. Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O., Volkovas M.V. Matematika: Pašnekovės vadovėlis 5-6 kl vidurinė mokykla. - M .: Edukacija, Matematikos mokytojų biblioteka, 1989 m.

1. Interneto portalas Matematika-na.ru ().
2. Interneto portalas Math-portal.ru ().

Namų darbai

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. Nr.127, Nr.129, Nr.141.
2. Kitos užduotys: Nr.133, Nr.144.

Viskas prasideda nuo geometrinės progresijos. Pirmoje paskaitoje apie seriją (žr 18.1. Pagrindiniai apibrėžimai) įrodėme, kad ši funkcija yra serijų suma , o serija konverguoja į funkciją ties
. Taigi,

.

Užrašykime keletą šios serijos atmainų. Keičiama X ant - X , mes gauname

keičiant X ant
mes gauname

ir kt.; visų šių eilučių konvergencijos sritis yra ta pati:
.

2.
.

Visos šios funkcijos išvestinės taške X =0 yra lygūs
, taip serialas atrodo

.

Šios serijos konvergencijos sritis yra visa skaitinė ašis (6 skyriaus pavyzdys 18.2.4.3. Laipsnių eilutės konvergencijos spindulys, konvergencijos intervalas ir konvergencijos sritis), Štai kodėl
adresu
. Dėl to likęs Teiloro formulės terminas
. Taigi serija susilieja
bet kuriuo metu X .

3.
.

Ši serija visiškai sutampa

, o jo suma tikrai lygi
. Likęs Taylor formulės terminas turi formą
, kur
arba
- ribota funkcija, a
(tai įprastas ankstesnio išplėtimo terminas).

4.
.

Šį išplėtimą, kaip ir ankstesnius, galima gauti nuosekliai skaičiuojant išvestines, tačiau elgsimės kitaip. Atskirkime ankstesnę seriją pagal terminą:

Konvergencija prie funkcijos visoje ašyje išplaukia iš laipsnių eilučių diferenciacijos pagal terminą teoremos.

5. Įrodykite patys, kad sveikojo skaičiaus ašyje , .

6.
.

Šios funkcijos serija vadinama dvinario serija. Čia apskaičiuosime išvestines.

…Maklaurino serija turi formą

Mes ieškome konvergencijos intervalo: todėl konvergencijos intervalas yra
. Mes nenagrinėsime likusio termino ir eilučių elgesio konvergencijos intervalo galuose; pasirodo, kad kada
serija absoliučiai suartėja abiejuose taškuose
, adresu
serija sąlyginai susilieja taške
ir skiriasi taške
, adresu
skiriasi abiejuose taškuose.

7.
.

Čia mes panaudosime faktą, kad
. Nuo tada, po kiekvieno laikotarpio integracijos,

Šios eilutės konvergencijos sritis yra pusės intervalas
, funkcijos konvergencija vidiniuose taškuose išplaukia iš teoremos dėl laipsnių eilučių integravimo po termino taške X =1 – iš funkcijos ir laipsnių eilučių sumos tęstinumo visuose taškuose, savavališkai arti X =1 kairėje. Atkreipkite dėmesį, kad imant X =1, rasime eilutės sumą.

8. Integruodami seriją po termino, gauname funkcijos išplėtimą
. Atlikite visus skaičiavimus patys, užrašykite konvergencijos sritį.

9. Parašykime funkcijos išplėtimą
pagal dvinario eilutės formulę su
: . Vardiklis
vaizduojamas kaip , dvigubas faktorialas
reiškia visų natūraliųjų skaičių, turinčių tokį patį lygumą, sandaugą , neviršijantis . Išplėtimas susilieja su funkcija
. Terminų požiūriu integruojant jį nuo 0 iki X , mes gauname . Pasirodo, ši serija susilieja su funkcija visame intervale
; adresu X =1 gauname dar vieną gražų skaičiaus vaizdą :
.

18.2.6.2. Funkcijų išplėtimo serijoje uždavinių sprendimas. Dauguma problemų, kai reikia išplėsti elementariąją funkciją į galių eilutę
, išspręsta naudojant standartinius išplėtimus. Laimei, bet kuri pagrindinė elementari funkcija turi savybę, leidžiančią tai padaryti. Panagrinėkime keletą pavyzdžių.

1. Išskaidykite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas. . Serija susilieja ties
.

2. Išplėskite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas.
. Konvergencijos sritis:
.

3. Išplėskite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas. . Serija susilieja ties
.

4. Išskaidykite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas. . Serija susilieja ties
.

5. Išskaidykite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas. . Konvergencijos sritis
.

6. Išplėskite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas. Išplėtimas į paprastų racionalių antrojo tipo trupmenų seriją gaunamas diferencijuojant atitinkamus pirmojo tipo trupmenų plėtimus. Šiame pavyzdyje. Be to, diferencijuojant pagal terminą, galima gauti funkcijų išplėtimus
,
ir tt

7. Išskaidykite funkciją
pagal laipsnius
.

Sprendimas. Jei racionali trupmena nėra paprasta, ji pirmiausia pavaizduojama kaip suma paprastosios trupmenos:
, tada tęskite kaip 5 pavyzdyje: , kur
.

Natūralu, kad toks požiūris netaikomas, pavyzdžiui, funkcijos išskaidymui pagal laipsnius X . Čia, jei jums reikia gauti pirmuosius Taylor serijos terminus, paprasčiausias būdas yra rasti reikšmes taške X =0 reikiamas pirmųjų išvestinių skaičius.

Šis internetinis skaičiuotuvas skirtas funkcijai faktorinizuoti.

Pavyzdžiui, koeficientas: x 2 /3-3x+12 . Parašykime kaip x^2/3-3*x+12 . Taip pat galite naudotis šia paslauga, kur visi skaičiavimai išsaugomi Word formatu.

Pavyzdžiui, išskaidyti į terminus. Parašykime kaip (1-x^2)/(x^3+x) . Norėdami pamatyti sprendimo eigą, spustelėkite Rodyti veiksmus . Jei jums reikia gauti rezultatą Word formatu, naudokite šią paslaugą.

Pastaba: skaičius "pi" (π) rašomas kaip pi ; kvadratinė šaknis kaip sqrt , pvz., sqrt(3) , tg liestinė rašoma kaip tan . Atsakymą rasite skyriuje Alternatyva.

1. Jei pateikiama paprasta išraiška, pavyzdžiui, 8*d+12*c*d , tai išraiškos faktoriavimas reiškia išraiškos faktorinavimą. Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrus veiksnius. Šią išraišką rašome taip: 4*d*(2+3*c) .
2. Išreikškite sandaugą kaip du dvejetainius: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Čia jau reikia rasti keletą bendrų faktorių: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Išimame (x+7z) ir gauname: (x+7z)(x + 3y) .

taip pat žiūrėkite Daugiavardžių padalijimas kampu (rodomi visi padalijimo iš stulpeliu žingsniai)

Naudinga mokytis faktorizavimo taisyklių sutrumpintos daugybos formulės, su kuria bus aišku, kaip atidaryti skliaustus su kvadratu:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab + b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 – b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringo metodai

Išmokęs keletą gudrybių faktorizavimas sprendimai gali būti klasifikuojami taip:

1. Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas.
2. Ieškokite bendro veiksnio.

Kiekvienas natūralusis skaičius, išskyrus vieną, turi du ar daugiau faktorių. Pavyzdžiui, skaičius 7 dalijasi tik iš 1 ir 7 be liekanos, tai yra, jis turi du daliklius. O skaičius 8 turi daliklius 1, 2, 4, 8, tai yra, iš karto net 4 daliklius.

Kuo skiriasi pirminiai ir sudėtiniai skaičiai

Skaičiai, turintys daugiau nei du veiksnius, vadinami sudėtiniais skaičiais. Skaičiai, turintys tik du daliklius, vieną ir patį skaičių, vadinami pirminiais skaičiais.

Skaičius 1 turi tik vieną padalijimą, būtent patį skaičių. Vienetas netaikomas pirminiams arba sudėtiniams skaičiams.

• Pavyzdžiui, skaičius 7 yra pirminis, o skaičius 8 yra sudėtinis.

Pirmieji 10 pirmųjų skaičių: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Skaičius 2 yra vienintelis lyginis pirminis skaičius, visi kiti pirminiai skaičiai yra nelyginiai.

Skaičius 78 yra sudėtinis, nes be 1 ir savęs jis dar dalijasi iš 2. Padalijus iš 2 gauname 39. Tai yra 78 = 2 * 39. Tokiais atvejais sakoma, kad skaičius buvo išskaičiuotas iš 2 ir 39.

Bet kurį sudėtinį skaičių galima išskaidyti į du veiksnius, kurių kiekvienas yra didesnis nei 1. Su pirminiu skaičiumi toks triukas neveiks. Taip eina.

Skaičių išskaidymas į pirminius veiksnius

Kaip minėta aukščiau, bet kurį sudėtinį skaičių galima išskaidyti į du veiksnius. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 210. Šį skaičių galima išskaidyti į du koeficientus 21 ir 10. Tačiau skaičiai 21 ir 10 taip pat yra sudėtiniai, išskaidykime juos į du veiksnius. Gauname 10 = 2*5, 21=3*7. Ir dėl to skaičius 210 jau suskaidytas į 4 veiksnius: 2,3,5,7. Šie skaičiai jau yra pirminiai ir jų negalima išskaidyti. Tai yra, mes išskaidėme skaičių 210 į pirminius veiksnius.

Išskaidant sudėtinius skaičius į pirminius veiksnius, jie dažniausiai rašomi didėjančia tvarka.

Reikėtų atsiminti, kad bet koks sudėtinis skaičius gali būti išskaidytas į pirminius veiksnius ir, be to, unikaliu būdu, iki permutacijos.

• Paprastai, skaidant skaičių į pirminius veiksnius, naudojami dalijimosi ženklai.

Išskaidykime skaičių 378 į pirminius veiksnius

Rašysime skaičius, atskirdami juos vertikalia juosta. Skaičius 378 dalijasi iš 2, nes baigiasi 8. Dalindami gauname skaičių 189. Skaičiaus 189 skaitmenų suma dalijasi iš 3, vadinasi, pats skaičius 189 dalijasi iš 3. Rezultatas - 63.

Skaičius 63 taip pat dalijasi iš 3, remiantis dalijamumu. Gauname 21, skaičių 21 vėl galima padalyti iš 3, gauname 7. Septyni dalijasi tik iš savęs, gauname vieną. Tai užbaigia padalijimą. Dešinėje po eilutės gavome pirminius veiksnius, į kuriuos išskaidomas skaičius 378.

378|2
189|3
63|3
21|3