B) Skaičių eilutė

Apsvarstykite skaičių eilutę (6 pav.):

Apsvarstykite racionaliųjų skaičių aibę

Kiekvienas racionalus skaičius yra pavaizduotas tam tikru skaičių eilutės tašku. Taigi, skaičiai pažymėti paveikslėlyje.

Įrodykime tai.

Įrodymas. Tegu bus trupmena: . Turime teisę laikyti šią trupmeną nesumažinamą. Nuo tada - skaičius yra lyginis: - nelyginis. Vietoj jo pakeitę išraišką, randame: , iš kur tai yra lyginis skaičius. Mes gavome prieštaravimą, kuris patvirtina teiginį.

Taigi, ne visi skaičių ašies taškai reiškia racionalius skaičius. Tie taškai, kurie neatspindi racionalių skaičių, reiškia vadinamus skaičius neracionalus.

Bet koks formos skaičius , yra sveikasis arba neracionalus skaičius.

Skaitiniai tarpai

Skaitiniai segmentai, intervalai, pusintervalai ir spinduliai vadinami skaitiniais intervalais.

Nelygybė, apibrėžianti skaitinį atotrūkį	Skaičių tarpo žymėjimas	Skaičių diapazono pavadinimas	Jis skamba taip:
a ≤ x ≤ b	[a; b]	Skaitinis segmentas	Segmentas nuo a iki b
a< x < b	(a; b)	Intervalas	Intervalas nuo a iki b
a ≤ x< b	[a; b)	Pusės intervalas	Pusė intervalo nuo a prieš b, įskaitant a.
a< x ≤ b	(a; b]	Pusės intervalas	Pusė intervalo nuo a prieš b, įskaitant b.
x ≥ a	[a; +∞)	skaičių spindulys	Skaičių spindulys nuo a iki plius begalybės
x > a	(a; +∞)	Atidarykite skaičių spindulį	Atidarykite skaičių spindulį nuo a iki plius begalybės
x ≤ a	(-∞; a]	skaičių spindulys	Skaičių spindulys nuo minus begalybės iki a
x< a	(-∞; a)	Atidarykite skaičių spindulį	Atidarykite skaičių spindulį nuo minus begalybės iki a

Pavaizduokime skaičius koordinačių eilutėje a ir b, taip pat numerį x tarp jų.

Visų skaičių, atitinkančių sąlygą, rinkinys a ≤ x ≤ b, paskambino skaitinis segmentas arba tik pjūvis. Jis pažymėtas taip: a; b]-Jis skamba taip: segmentas nuo a iki b.

Sąlygą atitinkančių skaičių rinkinys a< x < b , paskambino intervalas. Jis pažymėtas taip: a; b)

Jis skamba taip: intervalas nuo a iki b.

Skaičių aibės, atitinkančios sąlygas a ≤ x< b или a<x ≤ b, yra vadinami pusės intervalais. Pavadinimai:

Nustatykite ≤ x< b обозначается так:[a; b), skaitomas taip: pusės intervalas nuo a prieš b, įskaitant a.

Daug a<x ≤ b pažymėta taip: a; b], skamba taip: pusės intervalas nuo a prieš b, įskaitant b.

Dabar įsivaizduokite Rėjus su tašku a, kurio dešinėje ir kairėje yra skaičių rinkinys.

a, tenkinantis sąlygą x ≥ a, paskambino skaičių spindulys.

Jis pažymėtas taip: a; +∞) – skamba taip: skaitinis spindulys iš a iki plius begalybės.

Daug skaičių taško dešinėje a atitinkanti nelygybę x > a, paskambino atidaryti skaičių spindulį.

Jis pažymėtas taip: a; +∞) – skamba taip: atviras skaitinis pluoštas iš a iki plius begalybės.

a, tenkinantis sąlygą x ≤ a, paskambino skaičių eilutė nuo minus begalybės ikia .

Jis paženklintas taip: -∞; a]-Jis skamba taip: skaitinis spindulys nuo minus begalybės iki a.

Skaičių rinkinys taško kairėje a atitinkanti nelygybę x< a , paskambino atviras skaitmeninis pluoštas nuo minus begalybės ikia .

Jis pažymėtas taip: -∞; a) – Jis skamba taip: atviras skaitinis spindulys nuo minus begalybės iki a.

Realiųjų skaičių aibė pavaizduota visa koordinačių linija. Jis vadinamas skaičių eilutė. Jis paženklintas taip: - ∞; + ∞ )

3) Tiesinės lygtys ir nelygybės su vienu kintamuoju, jų sprendiniai:

Lygtis, turinti kintamąjį, vadinama lygtimi su vienu kintamuoju arba lygtimi su vienu nežinomu. Pavyzdžiui, lygtis su vienu kintamuoju yra 3(2x+7)=4x-1.

Lygties šaknis arba sprendinys yra kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa tikrąja skaitine lygybe. Pavyzdžiui, skaičius 1 yra lygties 2x+5=8x-1 sprendimas. Lygtis x2+1=0 neturi sprendimo, nes kairė lygties pusė visada yra didesnė už nulį. Lygtis (x+3)(x-4)=0 turi dvi šaknis: x1= -3, x2=4.

Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad šaknų nėra.

Lygtys vadinamos lygiavertėmis, jei visos pirmosios lygties šaknys yra antrosios lygties šaknys ir atvirkščiai, visos antrosios lygties šaknys yra pirmosios lygties šaknys arba jei abi lygtys neturi šaknų. Pavyzdžiui, lygtys x-8=2 ir x+10=20 yra lygiavertės, nes pirmosios lygties šaknis x=10 yra ir antrosios lygties šaknis, ir abi lygtys turi tą pačią šaknį.

Sprendžiant lygtis, naudojamos šios savybės:

Jei lygtyje perkelsime terminą iš vienos dalies į kitą, keisdami jo ženklą, gausime lygtį, lygiavertę duotajai.

Jei abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, tada gaunama lygtis, kuri yra lygiavertė duotajai.

Lygtis ax=b, kur x yra kintamasis, o a ir b yra kai kurie skaičiai, vadinama tiesine lygtimi su vienu kintamuoju.

Jei a¹0, tai lygtis turi unikalų sprendimą.

Jei a=0, b=0, tai bet kuri x reikšmė tenkina lygtį.

Jei a=0, b¹0, tai lygtis neturi sprendinių, nes 0x=b nevykdoma jokiai kintamojo vertei.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Atverkime skliaustus abiejose lygties dalyse, visus terminus su x perkelkime į kairę lygties pusę, o terminus, kuriuose x nėra į dešinę, gausime:

16x-15x=88-40-12

2 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

x3-2x2-98x+18=0;

Šios lygtys nėra tiesinės, tačiau parodysime, kaip tokias lygtis galima išspręsti.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. sandauga lygi nuliui, jei vienas iš faktorių lygus nuliui, gauname x1=0; x2 = .

Atsakymas: 0; .

Kairiosios lygties pusės koeficientas:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), t.y. (x-2) (x-3) (x+3) = 0. Tai rodo, kad šios lygties sprendiniai yra skaičiai x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Pavaizduokime 7x kaip 3x+4x, tada turime: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, taigi x1=-3, x2=-4.

Atsakymas: -3; - keturi.
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Prisiminkite skaičiaus modulio apibrėžimą:

Pavyzdžiui: ½3½=3, ½0½=0, ½–4½= 4.

Šioje lygtyje po modulio ženklu yra skaičiai x-1 ir x + 1. Jei x yra mažesnis nei -1, tada x+1 yra neigiamas, tada ½x+1½ = -x-1. Ir jei x>-1, tai ½x+1½=x+1. Jei x=-1 ½x+1½=0.

Šiuo būdu,

Panašiai

a) Apsvarstykite šią lygtį½x+1½+½x-1½=3, kai x£-1, ji atitinka lygtį -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , šis skaičius priklauso aibei x£-1.

b) Tegu -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Apsvarstykite atvejį x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Šis skaičius priklauso aibei x>1.

Atsakymas: x1=-1,5; x2 = 1,5.
4 pavyzdys. Išspręskite lygtį:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Parodykime trumpą lygties sprendimo įrašą, išplečiant modulio ženklą „intervalais“.

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Atsakymas: [-2; 0]
5 pavyzdys. Išspręskite lygtį: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), visoms parametro a reikšmėms.

Ši lygtis iš tikrųjų turi du kintamuosius, bet mano, kad x yra nežinomas, o a yra parametras. Reikia išspręsti lygtį kintamojo x atžvilgiu bet kuriai parametro a reikšmei.

Jei a = 1, tada lygtis yra 0 × x = 0, bet kuris skaičius atitinka šią lygtį.

Jei a \u003d -1, tada lygtis yra 0 × x \u003d -2, ši lygtis netenkina jokio skaičiaus.

Jei a¹1, a¹-1, tada lygtis turi unikalų sprendimą.

Atsakymas: jei a=1, tai x yra bet koks skaičius;

jei a=-1, tai sprendinių nėra;

jei a¹±1, tada .

B) Tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju.

Jei kintamajam x suteikiama kokia nors skaitinė reikšmė, tai gauname skaitinę nelygybę, išreiškiančią teisingą arba klaidingą teiginį. Pavyzdžiui, duokime nelygybę 5x-1>3x+2. Su x=2 gauname 5 2-1> 3 2+2 - teisingas teiginys (tikrasis skaitinis teiginys); jei x=0 gauname 5·0-1>3·0+2 – klaidingas teiginys. Bet kokia kintamojo reikšmė, kuriai duotoji nelygybė su kintamuoju virsta tikra skaitine nelygybe, vadinama nelygybės sprendimu. Išspręsti nelygybę su kintamuoju reiškia rasti visų jos sprendinių aibę.

Dvi nelygybės su vienu kintamuoju x vadinamos lygiavertėmis, jei šių nelygybių sprendinių aibės yra vienodos.

Pagrindinė nelygybės sprendimo idėja yra tokia: duotą nelygybę pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte duotajai; gauta nelygybė vėl pakeičiama paprastesne ekvivalentine nelygybe ir pan.

Tokie pakeitimai atliekami remiantis šiais teiginiais.

1 teorema. Jeigu bet kuris nelygybės su vienu kintamuoju narys perkeliamas iš vienos nelygybės dalies į kitą su priešingu ženklu, nelygybės ženklą paliekant nepakeistą, tai bus gauta nelygybė, lygiavertė duotajai.

2 teorema. Jei abi nelygybės dalis su vienu kintamuoju padauginsime arba padalinsime iš to paties teigiamo skaičiaus, o nelygybės ženklą nepakeissime, tai bus gauta nelygybė, lygiavertė duotajai.

3 teorema. Jei abi nelygybės su vienu kintamuoju dalys dauginamos arba dalijamos iš to paties neigiamas skaičius, keičiant nelygybės ženklą į priešingą, tada gauname nelygybę, lygiavertę duotajai.

Formos ax+b>0 nelygybė (atitinkamai ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Atidarę skliaustus, gauname 2x-6 + 5-5x³6x-15,

Tarp skaičių rinkinių, tai yra rinkiniai, kurių objektai yra skaičiai, išskiria vadinamuosius skaičių spragos. Jų vertė slypi tame, kad labai lengva įsivaizduoti aibę, atitinkančią nurodytą skaitinį diapazoną, ir atvirkščiai. Todėl jų pagalba patogu užrašyti nelygybės sprendinių aibę.

Šiame straipsnyje mes analizuosime visų tipų skaitinius intervalus. Čia pateikiame jų pavadinimus, įvedame žymėjimą, koordinačių tiesėje nubrėžiame skaitinius intervalus, taip pat parodome, kurios paprasčiausios nelygybės jas atitinka. Pabaigoje vaizdžiai pateiksime visą informaciją skaitinių intervalų lentelės forma.

Puslapio naršymas.

Skaitinių intervalų tipai

Kiekvienas skaitinis intervalas turi keturis neatsiejamai susijusius dalykus:

• skaičių diapazono pavadinimas,
• atitinkama nelygybė arba dviguba nelygybė,
• paskirtis,
• o jo geometrinis vaizdas koordinačių linijos atvaizdo pavidalu.

Bet kurį skaitinį intervalą galima nurodyti bet kuriuo iš trijų paskutinių sąrašo būdų: arba nelygybe, arba žymėjimu, arba jo atvaizdu koordinačių tiesėje. Be to, pagal šį priskyrimo būdą, pavyzdžiui, pagal nelygybę, lengvai atkuriami kiti (mūsų atveju žymėjimas ir geometrinis vaizdas).

Pereikime prie specifikos. Apibūdinkime visus skaitinius intervalus keturiose aukščiau nurodytose pusėse.

Pradėkime nuo skaitinio intervalo, vadinamo, aprašymo atidaryti skaičių spindulį. Atkreipkite dėmesį, kad būdvardis „skaitinis“ dažnai praleidžiamas, todėl pavadinimas paliekamas atviras.

Šis skaitinis intervalas atitinka paprasčiausias nelygybes su vienu x formos kintamuoju a , kur a yra tikrasis skaičius. Tai yra, pagal parašytų nelygybių reikšmę atvirąjį skaičių spindulį sudaro visi, kurie yra mažesni už skaičių a (nelygybės x atveju a).

Skaičių aibė, tenkinanti nelygybę x a , kaip (a, +∞) .

Belieka parodyti geometrinį atviros sijos vaizdą, iš jo paaiškės, kad svarstomas skaitinis intervalas tokį pavadinimą gavo neatsitiktinai. Atsigręžkime į. Yra žinoma, kad tarp jo taškų ir realių skaičių yra vienas su vienu atitikimas, kuris leidžia koordinačių liniją vadinti skaičių tiese. O kai kalbame apie lyginant skaičius pastebėjome, kad didesnis skaičius yra koordinačių linijos dešinėje nuo mažesnio, o mažesnis yra kairėje nuo didesnio. Remiantis šiais samprotavimais, nelygybė x a - taškai, esantys taško a dešinėje. Pats skaičius a šių nelygybių netenkina, siekiant tai pabrėžti brėžinyje, jis vaizduojamas kaip taškas su tuščiu centru. Virš taškų, atitinkančių nelygybę tenkinančius skaičius, pavaizduotas įstrižas atspalvis:

Iš aukščiau pateiktų brėžinių matyti, kad šie skaitiniai intervalai atitinka skaičių eilutės dalis, kurios yra spinduliai pradedant nuo taško a , bet neįtraukiant paties taško a. Kitaip tariant, tai spinduliai be pradžios. Iš čia ir kilo pavadinimas – atviras skaičių spindulys.

Pateiksime keletą konkrečių atvirų skaitmeninių spindulių pavyzdžių. Taigi griežta nelygybė x>−3 apibrėžia atvirą skaičių spindulį. Jis taip pat apibrėžiamas žymėjimu (−3, ∞) . O koordinačių tiesėje šis skaitinis intervalas yra taškų rinkinys, esantis į dešinę nuo taško, kurio koordinatė −3, neįskaitant paties taško. Kitas pavyzdys: nelygybė x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Mes pereiname prie šios formos skaitinių intervalų - skaičių spinduliai. Geometriškai jie skiriasi nuo atvirų sijų tuo, kad sijos pradžia nėra išmesta. Kitaip tariant, tokio tipo skaitinių intervalų geometrinis vaizdas yra pilnavertis spindulys.

Kalbant apie skaitinių spindulių nurodymą naudojant nelygybes, jie atitinka negriežtas nelygybes x≤a arba x≥a . Jie žymimi (−∞, a] ir . O skaitinės atkarpos geometrinis vaizdas yra atkarpa kartu su jos galais:


Pavyzdžiui, skaitmeninė atkarpa, kuri pateikiama dviguba nelygybe, gali būti pažymėta kaip , koordinačių tiesėje jis atitinka atkarpą, kurios galai yra taškuose, kurių koordinačių šaknis iš dviejų ir šaknis iš trijų.

Belieka tik pasakyti apie vadinamus skaitinius intervalus pusės intervalais. Jie, taip sakant, yra tarpinė parinktis tarp intervalo ir atkarpos, nes juose yra vienas iš ribinių taškų. Pusiaus intervalai pateikiami dvigubomis nelygybėmis a

Skaitinių intervalų lentelė

Taigi, ankstesnėje pastraipoje apibrėžėme ir apibūdinome šiuos skaitinius intervalus:

• atviras skaičių spindulys;
• skaičių spindulys;
• intervalas;
• pusės intervalas.

Patogumui visus duomenis apie skaitinius intervalus apibendriname lentelėje. Įdėkime į jį skaitinio intervalo pavadinimą, jį atitinkančią nelygybę, užrašą ir vaizdą koordinačių tiesėje. Gauname štai ką diapazono lentelė:

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Tarp skaičių aibių yra aibių, kuriose objektai yra skaitiniai intervalai. Nurodant aibę lengviau nustatyti pagal intervalą. Todėl sprendinių aibes užrašome skaitiniais intervalais.

Šiame straipsnyje pateikiami atsakymai į klausimus apie skaitinius tarpus, pavadinimus, žymėjimą, tarpų atvaizdus koordinačių tiesėje, nelygybių atitikimą. Apibendrinant, bus nagrinėjama spragų lentelė.

1 apibrėžimas

Kiekvienam skaičių intervalui būdinga:

• vardas;
• paprastos ar dvigubos nelygybės buvimas;
• paskyrimas;
• geometrinis vaizdas koordinačių tiesėje.

Skaitinis diapazonas nustatomas naudojant bet kokius 3 metodus iš aukščiau pateikto sąrašo. Tai yra, naudojant nelygybę, žymėjimą, vaizdus koordinačių linijoje. Šis metodas yra labiausiai pritaikytas.

Padarykime skaitinių intervalų aprašymą su aukščiau nurodytomis pusėmis:

2 apibrėžimas

• Atidarykite skaičių spindulį. Pavadinimas atsirado dėl to, kad jis praleistas, paliekant atvirą.

Šis intervalas turi atitinkamas nelygybes x< a или x >a , kur a yra tikrasis skaičius. Tai yra, ant tokio spindulio yra visi realieji skaičiai, mažesni už a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Skaičių aibė, kuri tenkins x formos nelygybę< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , kaip (a , + ∞) .

Geometrinė atviros sijos reikšmė atsižvelgia į skaitinio tarpo buvimą. Tarp koordinačių linijos taškų ir jos skaičių yra atitikimas, dėl kurio linija vadinama koordinačių linija. Jei reikia palyginti skaičius, tada koordinačių eilutėje didesnis skaičius yra dešinėje. Tada formos x nelygybė< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – taškai, esantys dešinėje. Pats skaičius spręsti netinkamas, todėl brėžinyje pažymėtas išmuštu tašku. Tarpas, kurio reikia, išryškinamas perinti. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Iš aukščiau pateikto paveikslo matyti, kad skaitiniai tarpai atitinka tiesės dalį, tai yra spindulius, prasidedančius a. Kitaip tariant, jie vadinami spinduliais be pradžios. Todėl jis buvo vadinamas atviruoju skaičių spinduliu.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys

Esant duotai griežtai nelygybei x > − 3, duotas atviras spindulys. Šis įrašas gali būti pavaizduotas kaip koordinatės (− 3 , ∞) . Tai yra, visi taškai yra dešinėje nei -3.

2 pavyzdys

Jei turime x formos nelygybę< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

3 apibrėžimas

• skaičių spindulys. Geometrinė prasmė yra ta, kad pradžia nėra atmesta, kitaip tariant, spindulys palieka savo naudingumą.

Jo priskyrimas vyksta negriežtomis x ≤ a arba x ≥ a formos nelygybėmis. Šiam tipui priimtinas specialus formos žymėjimas (− ∞ , a ] ir [ a , + ∞), o laužtinio skliausto buvimas reiškia, kad taškas įtrauktas į sprendinį arba aibę. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Iliustruojančiame pavyzdyje nustatykime skaitinį spindulį.

3 pavyzdys

Formos x ≥ 5 nelygybė atitinka žymėjimą [ 5 , + ∞) , tada gauname tokios formos spindulį:

4 apibrėžimas

• Intervalas. Nustatymas naudojant intervalus rašomas naudojant dvigubas nelygybes a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

4 pavyzdys

Intervalo pavyzdys – 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

5 apibrėžimas

• Skaitmeninė eilutė.Šis intervalas skiriasi tuo, kad apima ribinius taškus, tada jis turi formą a ≤ x ≤ b . Tokia negriežta nelygybė sako, kad rašant kaip skaitinį segmentą, naudojami laužtiniai skliaustai [ a , b ], o tai reiškia, kad taškai įtraukiami į aibę ir vaizduojami užpildyti.

5 pavyzdys

Atsižvelgdami į atkarpą, gauname, kad jo specifikacija galima naudojant dvigubą nelygybę 2 ≤ x ≤ 3 , kuri pavaizduota kaip 2 , 3 . Ant koordinačių linijos duotas taškas bus įtrauktas į tirpalą ir nuspalvintas.

6 apibrėžimas 6 pavyzdys

Jei yra pusintervalas (1 , 3 ] , tai jo žymėjimas gali būti dvigubos nelygybės 1 forma< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

7 apibrėžimas

Spragas galima parodyti taip:

• atviras skaičių spindulys;
• skaičių spindulys;
• intervalas;
• skaitinis segmentas;
• pusės intervalas.

Norint supaprastinti skaičiavimo procesą, būtina naudoti specialią lentelę, kurioje yra visų tipų tiesios linijos skaitinių intervalų žymėjimai.

vardas	nelygybė	Paskyrimas	Vaizdas
Atidarykite skaičių spindulį	x< a	- ∞ , a
	x > a	a , +∞
skaičių spindulys	x ≤ a	(-∞, a]
	x ≥ a	[ a , +∞)
Intervalas	a< x < b	a, b
Skaitinis segmentas	a ≤ x ≤ b	a, b
Pusės intervalas

Atsakymas – aibė (-∞;+∞) vadinama skaičių tiese, o bet koks skaičius – šios linijos tašku. Tegul a yra savavališkas tikrosios tiesės taškas ir δ

Teigiamas skaičius. Intervalas (a-δ; a+δ) vadinamas taško a δ kaimynyste.

Aibė X apribota iš viršaus (iš apačios), jei yra toks skaičius c, kad bet kuriam x ∈ X tenkinama nelygybė x≤с (x≥c). Skaičius c šiuo atveju vadinamas viršutine (apatinė) aibės X riba. Aibė, apribota ir aukščiau, ir žemiau, vadinama ribotąja. Mažiausias (didžiausias) iš viršutinių (apatinių) aibės paviršių vadinamas tikslia šios aibės viršutine (apatinė) riba.

Skaitinis intervalas yra sujungta realiųjų skaičių aibė, ty tokia, kad jei šiai aibei priklauso 2 skaičiai, tai visi tarp jų esantys skaičiai taip pat priklauso šiai aibei. Yra keletas tam tikra prasme skirtingų netuščių skaitinių intervalų tipų: linija, atviras spindulys, uždaras spindulys, linijos segmentas, pusės intervalas, intervalas

Skaičių eilutė

Visų realiųjų skaičių aibė dar vadinama skaičių eilute. Jie rašo.

Praktikoje nėra reikalo atskirti koordinatės arba skaičių tiesės sąvokos geometrine prasme ir skaičių tiesės sąvokos, įvestos šiuo apibrėžimu. Todėl šie skirtingos sąvokosžymimas tuo pačiu terminu.

atvira sija

Skaičių rinkinys, toks, kad arba vadinamas atviruoju skaičių spinduliu. Rašyti arba atitinkamai: .

uždara sija

Skaičių rinkinys, toks, kad arba vadinamas uždaru skaičių spinduliu. Rašyti arba atitinkamai:

Skaičių rinkinys, vadinamas skaičiaus segmentu.

komentuoti. Apibrėžime tai nenurodoma. Manoma, kad atvejis yra įmanomas. Tada skaitinis intervalas virsta tašku.

Intervalas

Skaičių rinkinys, pavyzdžiui, vadinamas skaitiniu intervalu.

komentuoti. Atviro spindulio, tiesios linijos ir intervalo pavadinimų sutapimas nėra atsitiktinis. Atviras spindulys gali būti suprantamas kaip intervalas, kurio vienas iš galų yra pašalintas iki begalybės, o skaičių tiesė - kaip intervalas, kurio abu galai yra pašalinti iki begalybės.

Pusės intervalas

Skaičių rinkinys, toks, kad arba vadinamas skaitiniu pusintervalu.

Rašykite arba atitinkamai

3.Funkcija.Funkcijų grafikas. Funkcijos nustatymo būdai.

Atsakymas - Jei pateikiami du kintamieji x ir y, tai jie sako, kad kintamasis y yra kintamojo x funkcija, jei yra toks ryšys tarp šių kintamųjų, kuris leidžia kiekvienai reikšmei vienareikšmiškai nustatyti y reikšmę.

Žymėjimas F = y(x) reiškia, kad mes svarstome funkciją, kuri leidžia bet kuriai nepriklausomo kintamojo x reikšmei (iš tų, kurias argumentas x apskritai gali priimti), kad būtų galima rasti atitinkamą priklausomo kintamojo y reikšmę.

Funkcijos nustatymo būdai.

Funkciją galima apibrėžti formule, pavyzdžiui:

y \u003d 3x2 - 2.

Funkciją galima pateikti grafiku. Naudodami grafiką galite nustatyti, kuri funkcijos reikšmė atitinka nurodytą argumento reikšmę. Paprastai tai yra apytikslė funkcijos reikšmė.

4. Pagrindinės funkcijos charakteristikos: monotoniškumas, paritetas, periodiškumas.

Atsakymas - Periodiškumo apibrėžimas. Funkcija f vadinama periodine, jei yra toks skaičius
, kad f(x+
)=f(x), visiems x D(f). Natūralu, kad tokių skaičių yra be galo daug. Mažiausias teigiamas skaičius ^ T vadinamas funkcijos periodu. Pavyzdžiai. A. y \u003d cos x, T \u003d 2 . B. y \u003d tg x, T \u003d . S. y = (x), T = 1. D. y = , ši funkcija nėra periodinė. Pariteto apibrėžimas. Funkcija f iškviečiama net tada, jei visiems x iš D(f) tenkinama savybė f(-x) = f(x). Jei f (-x) = -f (x), tada funkcija vadinama nelygine. Jei nė vienas iš šių santykių netenkinamas, tada funkcija vadinama bendrosios formos funkcija. Pavyzdžiai. A. y \u003d cos (x) - lygus; B. y \u003d tg (x) – nelyginis; S. y \u003d (x); y=sin(x+1) – bendrosios funkcijos. Monotonijos apibrėžimas. Funkcija f: X -> R vadinama didėjančia (mažėjančia), jei kuri nors yra
sąlyga įvykdyta:
Apibrėžimas. Funkcija X -> R laikoma monotoniška X, jei ji didėja arba mažėja X. Jei f yra monotoniškas kai kuriuose X poaibiuose, tada jis vadinamas dalimis monotonišku. Pavyzdys. y \u003d cos x yra monotoninė funkcija.