); showPlots(;0 noAxes0 );

Ryžiai. 1.10: stačiakampis

1.3 Lygiagrečių pjūvių piramidėje savybės

1.3.1 Teoremos apie pjūvius piramidėje

Jei piramidę (1.11) kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai kraštai ir aukštis šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

2) atkarpoje gaunamas daugiakampis (abcde), panašus į pagrindą;

3) pjūvio ir pagrindo plotai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršaus kvadratai.

1) Tiesės ab ir AB gali būti laikomos dviejų lygiagrečių plokštumų (pagrindo ir sekantinės) susikirtimo su trečiąja plokštuma ASB tiesėmis; taigi abkAB. Dėl tos pačios priežasties bckBC, cdkCD.... ir amkAM; taigi

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) Iš trikampių ASB ir aSb, tada BSC ir bSc ir tt panašumo gauname:

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc:

BC bc = CS cS ; CS cS = CD CD;

BC bc = CD kompaktinis diskas

Taip pat įrodysime likusių daugiakampių ABCDE ir abcde kraštinių proporcingumą, kadangi, be to, šie daugiakampiai turi atitinkamus kampus (susidaro lygiagrečios ir vienodai nukreiptos kraštinės), jie yra panašūs. Panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai; Štai kodėl

AB ab = AS as = M msS ;






set2D(1; 9; 1; 14);

;0 brūkšnys0 );

			Ryžiai. 1.11: Piramidė
p5 = pointPlot(
p5 = pointPlot(

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 ir 0; 0 b 0; 0 c 0; 0d0; 0M0; 0m0; 0S0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Pasekmė

Taisyklingoje nupjautinėje piramidėje viršutinis pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, panašus į apatinį pagrindą, o šoniniai paviršiai yra lygūs ir lygiašoniai trapecijos (1.11).

Bet kurios iš šių trapecijų aukštis vadinamas taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1.3.3 Lygiagrečios pjūvio teorema piramidėje

Jei dvi vienodo aukščio piramidės plokštumos pjaustomos tuo pačiu atstumu nuo viršaus, lygiagrečios bazės, tada atkarpų plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Tegul (1.12) B ir B1 yra dviejų piramidžių pagrindų plotai, H – kiekvienos iš jų aukštis, b ir b1 – atkarpų plotai plokštumose, lygiagrečiomis pagrindams ir tokiu pat atstumu h nuo viršūnių.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = planšetė(			;0 rodyklė0 );

p11 = tableplot(			;0 rodyklė0 );

p12 = tableplot(			;0 rodyklė0 );

p13 = tableplot(			;0 rodyklė0 );

p14 = tableplot(				;0 brūkšnys0 );

Klausimas:

Piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Bazinis plotas yra 1690 dm2, o skerspjūvio plotas yra 10 dm2. Kokiu santykiu, skaičiuojant nuo viršaus, pjūvio plokštuma dalija piramidės aukštį?

Atsakymai:

lygiagreti plokštuma išpjauna piramidę, panašią į šią (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Panašūs klausimai

Testas tema: „Prieveiksmių rašyba“ Tikriname prieveiksmių priesagų rašybą, atskiriame ir ištisinė rašyba ne su prieveiksmiais, sujungti, atskirti, brūkšnelis prieveiksmiai 1 variantas. 1. Atidarykite skliaustus. Pažymėkite „trečią papildomą“: a) sėdėjo (nejudėdamas); matė (ne) tikiuosi; dainavo (ne)garsiai; b) visai (ne)vėluoja; visai (ne)gražus; labai (ne) padorus; c) (ne) draugiškas; (ne) savaip; (netinkamai; d) (ne)juokinga; (ne) gluminantis; (ne) arti, bet toli; e) itin (ne)prievartingai; labai (ne)patrauklus; visai (ne)grasinantis; 2. „Ne“ rašoma kartu visuose serijos žodžiuose: a) (ne)tiesa; (ne)veve; (ne) malonus; visai (ne)įdomu; b) (nesistebėti); (neteisybė; visai (ne)toli; (ne) linksmas; c) (ne) nuoširdžiai; (ne) gražus; (ne) pasipiktinęs; (nereiklus; d) (nežinojimas); (ne) atvykęs; (ne) nesąmonė; (ne laiku; 3. Pasirinkite eilutę su neigiamais prieveiksmiais: a) visai ne; niekas; niekur; su niekuo; b) niekur niekas; niekada; niekur; c) visai ne; visai ne; niekur; nėra reikalo; 4. Raskite "trečią papildomą": a) n ... beveik išsigandusi; n ... kaip nerado; n ... kiek kartų; b) n ... kur eiti; n ... kam klausti; n ... kad ir kaip pavydėtų; c) n ... kad ir kaip būtų nusiminęs; n ... kai nepyksti; n ... kur tikėtis; 5. "Нн" parašyta visais serijos žodžiais: a) beshe ... apie verpimą; kalbėjo išsigandęs...oi; desperatiškai dirbo...oi; b) staiga suvirpėjo... oi; nupiešė kvalifikuotą ... oh; ne darbo laikas... oi; c) kalbėjo susijaudinęs ... apie; netikėtai paliko... oi; puta atsakė... oi; 6. Apibrėžkite sakinį prieveiksmiu: a) Susirinkimas susijaudinęs ... dėl pranešimo. b) Visuomenė jaudinosi... oi. c) Ji kalbėjo susijaudinusi... oh. Prieveiksmyje rašoma __________________________________________ 7. Įterpkite trūkstamas raides. Pažymėkite „ketvirtas papildomas“: a) karštas ...; šviežias…; puikus...; Gerai…; b) daugiau...; melodingas...; klampus ..; baisu...; c) bagažas ... m; jau ... m; dėvėti ... th; peilis ... m; d) raugėti ... nok; skvorch ... nok; vyšnia ... nka; ežiukas ... nok; 8. Užrašykite raides, žyminčias prieveiksmius, kurie rašomi su priesagomis - a ir - o: a o a) iš toli ...; b) atnaujinti...; c) kurčias...; d) teisingai...; e) balta...; e) prašyti...; g) nuo mažens...; h) sausas...; i) sūnūs...; Užrašykite prieveiksmį, kuriame nėra priesagų - a ir - o: _______________________________ 2 variantas. 1. Atidarykite skliaustus. Pažymėkite „trečią papildomą“: a) visai (ne)įdomu; visiškai (ne)įdomu; toli (ne) smagu; b) (ne) draugiškas; (ne) mūsų būdu; (neteisinga; c) (ne)darni; (ne) draugiškas; (ne)gerai, bet blogai; d) skaityti (ne)raiškiai; atrodė (ne) suglumęs; gyveno (ne)toli; e) labai (ne)gražu; tai niekada nevėlu; itin (ne) apgalvotai; 2. „Ne“ rašoma kartu visais serijos žodžiais: a) (ne) truputį; (ne)juokingas; (in) suprantamas; (ne)slepiasi; b) (ne) nerūpestingai; (nenoširdumas; (ne gražus; (ne) apgalvotas; c) toli (ne) smagu; (ne)norėjo; (netoli; (bėda; d) (ne) laiku; (judėti; (ne)tarimas; (ne) pasitikėti; 3. Pažymėkite eilutę su neigiamais prieveiksmiais: a) nieko; niekur; niekur; daug; b) visai ne; nėra reikalo; negali būti; niekur; c) nieko; niekas; Niekas; niekas; 4. Raskite "trečią papildomą": a) nebuvo ... kur; n...kodėl klausti; n ... kai buvo kučeris; b) neskaudėjo n ... truputį; n ... kiek jis neliūdėjo; n...kur apsistoti; c) n ... kur aš neisiu; n ... kai aš neklausiu; Buvau n ... kada; 5. „N“ rašoma visuose serijos žodžiuose: a) gatvėje nepučia vėjas ... o; atsakymas mintis ... apie; nežda atėjo ... oh-negada ... oi; b) kalbėjo išmintingai ... apie; pateko į vėją... oi; puta pasakė... oi; c) įnirtingai sukosi... oi; dainavo skvarbiai... oi; dirbo entuziastingai... oi; 6. Apibrėžkite sakinį prieveiksmiu: a) Jo sprendimas bus svarstomas ... o, profesionaliai. B) Jis visada elgiasi apgalvotai... oi. C) Viskas buvo kruopščiai apgalvota ... oh. 7. Įdėkite trūkstamas raides. Pažymėkite „ketvirtą papildomą“: a) kalbėkite bendrai...; karšta...; šviežias…; alinantis…; b) draugas ... į; dirželis ... prie; gaidys ... į; vish ... nka; c) daugiau...; protestuoja...; skambina...; baisu...; d) gydytojas ... m; greitas ... m; spausdinti…t; išsaugoti ... t; 8. Į langelius įrašykite raides, žyminčias prieveiksmius, kurie rašomi su priesagomis - a ir - o: a o a) pirmas ...; b) nuo mažens...; c) užsidegti...; d) paliko...; e) švarus...; e) karšta...; g) paliko...; h) tamsus...; i) ilgą laiką...; Užrašykite prieveiksmį, kuriame nėra priesagų - a ir - o: ______________________________

Kaip galite pastatyti piramidę? Ant paviršiaus R Sukurkite kokį nors daugiakampį, pavyzdžiui, penkiakampį ABCDE. Iš lėktuvo R imame tašką S. Sujungę tašką S atkarpomis su visais daugiakampio taškais, gauname piramidę SABCDE (pav.).

Taškas S vadinamas viršūnė, ir daugiakampis ABCDE - pagrinduši piramidė. Taigi piramidė su viršūne S ir pagrindu ABCDE yra visų atkarpų, kur M ∈ ABCDE, sąjunga.

Vadinami trikampiai SAB, SBC, SCD, SDE, SEA šoniniai veidai piramidės, bendrosios šoninių paviršių pusės SA, SB, SC, SD, SE - šoniniai šonkauliai.

Piramidės vadinamos trikampis, keturkampis, n-kampis priklausomai nuo pagrindo kraštų skaičiaus. Ant pav. pateikiami trikampių, keturkampių ir šešiakampių piramidžių atvaizdai.

Plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę, vadinama įstrižainės, ir gautas skerspjūvis - įstrižainės. Ant pav. 186 viena iš įstrižinių pjūvių šešiakampė piramidė užtamsintas.

Statmens atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos, vadinama piramidės aukščiu (šios atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmens pagrindas).

Piramidė vadinama teisinga jei piramidės pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą.

Visi šoniniai veidai teisinga piramidė yra lygiašoniai trikampiai. Taisyklingoje piramidėje visi šoniniai kraštai sutampa.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus, vadinamas apotema piramidės. Visi taisyklingosios piramidės apotemai sutampa.

Jei pagrindo pusę pažymėsime kaip a, ir apotema per h, tada vieno piramidės šoninio paviršiaus plotas yra 1/2 ai.

Visų piramidės šoninių paviršių plotų suma vadinama šoninio paviršiaus plotas piramidės ir žymimas S puse.

Kadangi taisyklingosios piramidės šoninis paviršius susideda iš n tada sutampantys veidai

S pusė = 1/2 ahn= P h / 2 ,

kur P yra piramidės pagrindo perimetras. Vadinasi,

S pusė = P h / 2

t.y. taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos.

Bendras piramidės paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę

S = S ocn. + S pusė. .

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui jos pagrindo ploto sandaugos Socn. iki H aukščio:

V = 1/3 S ocn. N.

Šios ir kai kurių kitų formulių išvedimas bus pateiktas vėlesniame skyriuje.

Dabar statykime piramidę kitu būdu. Pateikiame daugiakampį kampą, pavyzdžiui, penkiakampį, kurio viršūnė S (pav.).

Nubrėžkite plokštumą R kad jis kirstų visas tam tikro daugiakampio kampo briaunas skirtinguose taškuose A, B, C, D, E (pav.). Tada piramidė SABCDE gali būti laikoma daugiakampio kampo ir puserdvės sankirta su riba R, kuriame yra viršūnė S.

Akivaizdu, kad visų piramidės paviršių skaičius gali būti savavališkas, bet ne mažesnis kaip keturi. Kai plokštuma kerta trikampį kampą, gaunama trikampė piramidė, kuri turi keturis paviršius. Bet kokia trikampė piramidė kartais vadinama tetraedras, o tai reiškia keturkampį.

nupjauta piramidė galima gauti, jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindo plokštumai.

Ant pav. pateiktas keturkampės nupjautinės piramidės vaizdas.

Taip pat vadinamos nupjautos piramidės trikampis, keturkampis, n-kampis priklausomai nuo pagrindo kraštų skaičiaus. Iš nupjautos piramidės konstrukcijos matyti, kad ji turi du pagrindus: viršutinį ir apatinį. Nupjautinės piramidės pagrindai yra du daugiakampiai, kurių kraštinės yra poromis lygiagrečios. Nupjautos piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

Aukštis Nupjautoji piramidė yra statmens atkarpa, nubrėžta iš bet kurio viršutinio pagrindo taško į apatinio pagrindo plokštumą.

Teisinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir pjūvio plokštumos, lygiagrečios pagrindui. Taisyklingos nupjautinės piramidės (trapecijos) šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotema.

Galima įrodyti, kad taisyklingos nupjautinės piramidės šoninės briaunos sutampa, visi šoniniai paviršiai sutampa, o visi apotemai sutampa.

Jei teisingai sutrumpinta n- anglies piramidė kiaurai a ir b nžymi viršutinio ir apatinio pagrindo šonų ilgius ir per h- apotemos ilgis, tada kiekvieno piramidės šoninio paviršiaus plotas yra

1 / 2 (a + b n) h

Visų piramidės šoninių paviršių plotų suma vadinama jos šoninio paviršiaus plotu ir žymima S puse. . Akivaizdu, kad įprastam sutrumpėjusiam n- anglies piramidė

S pusė = n 1 / 2 (a + b n) h.

Nes pa= P ir nb n\u003d P 1 - nupjautos piramidės pagrindų perimetrai, tada

S pusė \u003d 1/2 (P + P 1) h ,

y., taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei jos pagrindų ir apotemos perimetrų sumos sandaugos.

Atkarpa lygiagreti piramidės pagrindui

Teorema. Jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis bus padalinti į proporcingas dalis;

2) atkarpoje gausite daugiakampį, panašų į pagrindą;

3) pjūvio ir pagrindo plotai susieti kaip jų atstumų nuo viršaus kvadratai.

Pakanka įrodyti trikampės piramidės teoremą.

Kadangi lygiagrečias plokštumas išilgai lygiagrečių tiesių kerta trečioji plokštuma, tai (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (pav.).

Lygiagrečios linijos supjausto kampo kraštines į proporcingas dalis, taigi

Todėl ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 ir

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 ir

Šiuo būdu,

Atitinkami trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 kampai yra kongruentingi, kaip kampai su lygiagrečiomis ir vienodai nukreiptomis kraštinėmis. Štai kodėl

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Panašių trikampių plotai yra susieti kaip atitinkamų kraštinių kvadratai:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

Vadinasi,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorema. Jei dvi vienodo aukščio piramidės vienodu atstumu nuo viršūnės išskaidomos plokštumos, lygiagrečios pagrindams, tai atkarpų plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Tegu (84 pav.) B ir B 1 yra dviejų piramidžių pagrindų plotai, H – kiekvienos iš jų aukštis, b ir b 1 - skerspjūvio plotai plokštumose, lygiagrečiomis pagrindams ir tokiu pat atstumu nuimti nuo viršūnių h.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: ir \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
kur
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: arba \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Pasekmė. Jei B \u003d B 1, tada ir b = b 1 , t.y. jei dvi vienodo aukščio piramidės turi vienodus pagrindus, tai atkarpos, esančios vienodu atstumu nuo viršaus, taip pat yra lygios.

Kitos medžiagos

TREČIAS SKYRIUS

POLIEDRALIAI

1. LYGIAUSIA IR PIRAMIDĖ

Lygiagrečių pjūvių piramidėje savybės

74. Teorema. Jei piramidė (83 plėtra) kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai kraštai ir aukštis šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

2) skerspjūvis yra daugiakampis (a B C D E ), panašus į žemę;

3) pjūvio ir pagrindo plotai yra susiję kaip jų atstumų nuo viršaus kvadratai.

1) Tiesioginis ab ir AB gali būti laikomos dviejų lygiagrečių plokštumų (pagrindo ir sekantinės) susikirtimo su trečiąja plokštuma ASB tiesėmis; Štai kodėl ab||AB (§ 16). Dėl tos pačios priežasties bc||BC, cd||CD, ... ir adresu||AM; taigi

S a / a A = S b / b B = S c / c C=...=S m / m M

2) Iš trikampių panašumo ASB ir a S b, tada BSC ir b S c ir tt išvestis:

AB / ab= BS / bs; BS / bs= pr. Kr / bc ,

AB / ab= pr. Kr / bc

pr. Kr / bc= CS / cs; CS / cs= CD / cd iš kur pr / bc= CD / cd .

Taip pat įrodysime likusių daugiakampių ABCDE ir kraštinių proporcingumą a B C D E. Be to, kadangi šie daugiakampiai turi vienodus atitinkamus kampus (susidaro lygiagrečios ir vienodai nukreiptos kraštinės), jie yra panašūs.

3) Daugiakampių panašumų plotai siejami kaip panašių kraštinių kvadratai; Štai kodėl

75. Pasekmė. Teisingas nupjauta piramidė viršutinis pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, panašus į apatinį pagrindą, o šoniniai paviršiai yra lygūs ir lygiašoniai trapecijos(83 plėtra).

Bet kurios iš šių trapecijų aukštis vadinamas apotema taisyklinga nupjauta piramidė.

76. Teorema. Jei dvi vienodo aukščio piramidės vienodu atstumu nuo viršūnės išskaidomos plokštumos, lygiagrečios pagrindams, tai atkarpų plotai yra proporcingi pagrindų plotams.

Pagal ankstesnę teoremą turėsime:

77. Pasekmė. Jei B \u003d B 1, tada ir b = b 1 , t.y. jei dvi vienodo aukščio piramidės turi vienodus pagrindus, tai atkarpos, esančios vienodu atstumu nuo viršaus, taip pat yra lygios.