Kaip ir Euklido geometrijoje, taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra vienas iš pagrindinės figūros išgaubti keturkampiai. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.
Susisiekus su
Lygiagretainio apibrėžimas
išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.
Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, yra keturkampis ABCD. Kraštinės vadinamos pagrindais (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šios viršūnės pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.
Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.
Šonai ir kampai: santykio ypatybės
Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:
- Priešingos pusės poromis yra identiškos.
- Kampai, kurie yra priešingi vienas kitam, yra lygūs poromis.
Įrodymas: apsvarstykite ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami keturkampį ABCD padalijus tiese AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės kriterijus).
Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, o tai reiškia, kad jie yra identiški: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat yra identiškos poromis, tai ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.
Figūros įstrižainių charakteristikos
Pagrindinis bruožasšios lygiagretainės tiesės: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.
Įrodymas: tegul m. E yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.
AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantus ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.
Pagal antrąjį lygybės ženklą ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE yra: AE = CE, BE = DE ir, be to, jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.
Gretimų kampų ypatybės
Gretimose pusėse kampų suma yra 180° nes jie yra toje pačioje pusėje lygiagrečios linijos ir sekantas. Keturkampiui ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Bisektoriaus savybės:
- , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
- priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
- trikampis, gautas nubrėžus pusiausvyrą, bus lygiašonis.
Lygiagretainio charakteristikų nustatymas teorema
Šios figūros ypatybės išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri skamba taip: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.
Įrodymas: Tegul keturkampio ABCD linijos AC ir BD susikerta t. E. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pirmuoju trikampių lygybės ženklu). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai sekanto AC susikirtimo kampai linijoms AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || pr. Kr. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.
Figūros ploto apskaičiavimas
Šios figūros plotas rasti keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.
Įrodymas: Iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenus BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD yra lygus stačiakampiui EBCF, nes jie taip pat susideda iš proporcingų skaičių: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad ši sritis geometrinė figūra yra taip pat kaip stačiakampis:
S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.
Norėdami nustatyti bendroji formulė lygiagretainio plotas, pažymėkite aukštį kaip hb, ir šoną b. Atitinkamai:
Kiti būdai rasti plotą
Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.
,
Spr-ma – plotas;
a ir b yra jos kraštinės
α - kampas tarp atkarpų a ir b.
Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nupjauna taisyklingas trikampis, kurio parametrai yra trigonometrinės tapatybės, tai yra . Pavertę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.
Per lygiagretainio ir kampo įstrižaines, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.
Įrodymas: AC ir BD susikerta sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.
Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti iš išraiškos , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Kadangi , tada skaičiavimuose naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC= d 1 ir BE+DE=BD= d 2 , ploto formulė sumažinama iki:
.
Taikymas vektorinėje algebroje
Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent: dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiirneyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.
Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – tai yra. - kuriame vektorius ir . Toliau statome lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.
Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės
Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:
- a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
- d 1 ir d 2 , γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
- h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;
| Parametras | Formulė |
| Šalių paieška | |
| išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso | 
|
| įstrižai ir į šoną | 
|
| per aukštį ir priešingą viršūnę | |
| Įstrižainių ilgio radimas | |
| šonuose ir viršaus dydis tarp jų | |
| išilgai šonų ir viena iš įstrižainių | 
IšvadaLygiagretainis, kaip vienas iš pagrindinių geometrijos figūrų, naudojamas gyvenime, pavyzdžiui, statybose apskaičiuojant sklypo plotą ar atliekant kitus matavimus. Todėl žinios apie skiriamuosius požymius ir įvairių jo parametrų skaičiavimo metodus gali būti naudingos bet kuriuo gyvenimo metu. |
Sprendžiant problemas šia tema, be pagrindinės savybės lygiagretainis ir atitinkamas formules, galite atsiminti ir taikyti:
- Lygiagretainio vidinio kampo bisektorius atkerta iš jo lygiašonį trikampį
- Vidinių kampų bisektoriai, esantys greta vienos iš lygiagretainio kraštinių, yra statmeni vienas kitam
- Bisektoriai, kylantys iš priešingų vidinių lygiagretainio kampų, lygiagrečiai vienas kitam arba yra vienoje tiesėje
- Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratų sumai
- Lygiagretainio plotas yra pusė įstrižainių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp jų sinuso.
Panagrinėkime užduotis, kurias sprendžiant naudojamos šios savybės.
1 užduotis.
Lygiagretainio ABCD kampo C bisektorius kerta kraštinę AD taške M ir kraštinės AB tęsinį už taško A taške E. Raskite lygiagretainio perimetrą, jei AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Sprendimas.
1. Trikampis CMD lygiašonis. (1 nuosavybė). Todėl CD = MD = 3 cm.
2. Trikampis EAM yra lygiašonis.
Todėl AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetras ABCD = 20 cm.
Atsakymas. 20 cm
2 užduotis.
Išgaubtame keturkampyje ABCD brėžiamos įstrižainės. Yra žinoma, kad trikampių ABD, ACD, BCD plotai yra lygūs. Įrodykite, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis.
Sprendimas.
1. Tegu BE yra trikampio ABD aukštis, CF – trikampio ACD aukštis. Kadangi pagal uždavinio sąlygą trikampių plotai yra lygūs ir jie turi bendrą pagrindą AD, tai šių trikampių aukščiai yra vienodi. BE = CF.
2. BE, CF yra statmenos AD. Taškai B ir C yra toje pačioje AD linijos pusėje. BE = CF. Todėl linija BC || REKLAMA. (*)
3. Tegu AL yra trikampio ACD aukštis, BK – trikampio BCD aukštis. Kadangi pagal uždavinio sąlygą trikampių plotai yra lygūs ir jie turi bendrą pagrindą CD, tai šių trikampių aukščiai yra vienodi. AL = BK.
4. AL ir BK yra statmenos CD. Taškai B ir A yra toje pačioje tiesios linijos CD pusėje. AL = BK. Todėl eilutė AB || CD (**)
5. Sąlygos (*), (**) reiškia, kad ABCD yra lygiagretainis.
Atsakymas. Įrodyta. ABCD yra lygiagretainis.
3 užduotis.
Lygiagretainio ABCD kraštinėse BC ir CD atitinkamai pažymėti taškai M ir H, kad atkarpos BM ir HD susikirstų taške O;<ВМD = 95 о,
Sprendimas.
1. Trikampyje DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Stačiame trikampyje DHC Tada<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Bet CD = AB. Tada AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Atsakymas: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4 užduotis. Viena iš 4√6 ilgio lygiagretainio įstrižainių sudaro 60° kampą su pagrindu, o antroji įstrižainė sudaro 45° kampą su tuo pačiu pagrindu. Raskite antrąją įstrižainę. Sprendimas.
1. AO = 2√6. 2. Taikykite sinuso teoremą trikampiui AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Atsakymas: 12.
5 užduotis. Lygiagretainio, kurio kraštinės yra 5√2 ir 7√2, mažesnis kampas tarp įstrižainių yra lygus mažesniam lygiagretainio kampui. Raskite įstrižainių ilgių sumą. Sprendimas.
Tegu lygiagretainio įstrižainės yra d 1, d 2, o kampas tarp įstrižainių ir mažesniojo lygiagretainio kampo lygus φ. 1. Suskaičiuokime du skirtingus S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Gauname lygybę 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f arba 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Naudodami santykį tarp lygiagretainio kraštinių ir įstrižainių, užrašome lygybę (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Sukurkime sistemą: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Padauginkite antrąją sistemos lygtį iš 2 ir pridėkite prie pirmosios. Gauname (d 1 + d 2) 2 = 576. Taigi Id 1 + d 2 I = 24. Kadangi d 1, d 2 yra lygiagretainio įstrižainių ilgiai, tai d 1 + d 2 = 24. Atsakymas: 24.
6 užduotis. Lygiagretainio kraštinės yra 4 ir 6. Smailusis kampas tarp įstrižainių lygus 45 o. Raskite lygiagretainio plotą. Sprendimas.
1. Iš trikampio AOB, naudodamiesi kosinuso teorema, užrašome ryšį tarp lygiagretainio kraštinės ir įstrižainių. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Panašiai rašome santykį trikampiui AOD. Atsižvelgiame į tai<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Gauname lygtį d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Mes turime sistemą Iš antrosios lygties atėmę pirmąjį, gauname 2d 1 d 2 √2 = 80 arba d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Pastaba:Šiame ir ankstesniame uždavinyje nereikia visiškai spręsti sistemos, numatant, kad šiame uždavinyje plotui apskaičiuoti reikia įstrižainių sandaugos. Atsakymas: 10. 7 užduotis. Lygiagretainio plotas yra 96, o jo kraštinės yra 8 ir 15. Raskite mažesnės įstrižainės kvadratą. Sprendimas.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Atlikime pakeitimą formulėje. Gauname 96 = 8 15 sin VAD. Taigi nuodėmė VAD = 4/5. 2. Rasti cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BLOGAS = 1. cos 2 BLOGAS = 9/25. Pagal uždavinio sąlygą randame mažesnės įstrižainės ilgį. Įstrižainė BD bus mažesnė, jei kampas BAD smailus. Tada BLOGAS = 3/5. 3. Iš trikampio ABD, pasitelkę kosinuso teoremą, randame įstrižainės BD kvadratą. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Atsakymas: 145.
Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti geometrijos problemą? svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį. Lygiagretainė – geometrinė figūra, dažnai randama geometrijos kurso (planimetrijos skyriaus) užduotyse. Pagrindiniai šio keturkampio bruožai yra priešingų kampų lygybė ir dviejų lygiagrečių priešingų kraštinių porų buvimas. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra rombas, stačiakampis, kvadratas. Šio tipo daugiakampio plotą galima apskaičiuoti keliais būdais. Panagrinėkime kiekvieną iš jų. Norėdami apskaičiuoti lygiagretainio plotą, galite naudoti jo kraštinės reikšmes, taip pat ant jo nuleisto aukščio ilgį. Tokiu atveju gauti duomenys bus patikimi tiek apie žinomą pusę – figūros pagrindą, tiek jei turite figūros pusę. Tokiu atveju norima vertė bus gauta pagal formulę: S = a * h(a) = b * h(b), Pavyzdys: lygiagretainio pagrindo reikšmė yra 7 cm, statmeno, nuleisto į jį iš priešingos viršūnės, ilgis yra 3 cm. Sprendimas: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Apsvarstykite atvejį, kai žinote dviejų figūros pusių dydį ir kampo, kurį jie sudaro vienas su kitu, laipsnį. Pateikti duomenys taip pat gali būti naudojami lygiagretainio plotui rasti. Šiuo atveju formulės išraiška atrodys taip: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Pavyzdys: lygiagretainio pagrindas yra 10 cm, jo kraštinė yra 4 cm mažesnė. Bukas figūros kampas yra 135°. Sprendimas: nustatykite antrosios pusės vertę: 10 - 4 \u003d 6 cm. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2. Žinomų tam tikro daugiakampio įstrižainių verčių buvimas, taip pat kampas, kurį jos susidaro dėl jų susikirtimo, leidžia nustatyti figūros plotą. S = (d1*d2)/2*sinγ, S yra sritis, kurią reikia nustatyti, Prieš išmokdami rasti lygiagretainio plotą, turime prisiminti, kas yra lygiagretainis ir kas vadinamas jo aukščiu. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios (guli lygiagrečiose tiesėse). Statmenas, nubrėžtas iš savavališko taško, esančio priešingoje tiesėje, kurioje yra ši pusė, yra vadinamas lygiagretainio aukščiu. Kvadratas, stačiakampis ir rombas yra specialūs lygiagretainio atvejai. Lygiagretainio plotas žymimas (S). S=a*h, kur a yra pagrindas, h yra aukštis, nubrėžtas prie pagrindo. S=a*b*sinα, kur a ir b yra pagrindai, o α yra kampas tarp bazių a ir b. S \u003d p * r, kur p yra pusiau perimetras, r yra apskritimo, įrašyto į lygiagretainį, spindulys. Lygiagretainio plotas, kurį sudaro vektoriai a ir b, yra lygus nurodytų vektorių sandaugos moduliui, būtent: Apsvarstykite pavyzdį Nr. 1: pateiktas lygiagretainis, kurio kraštinė yra 7 cm, o aukštis yra 3 cm. Kaip rasti lygiagretainio plotą, mums reikia sprendimo formulės. Taigi S = 7x3. S = 21. Atsakymas: 21 cm 2. Apsvarstykite pavyzdį Nr. 2: Pagrindai yra 6 ir 7 cm, o kampas tarp pagrindų yra 60 laipsnių. Kaip rasti lygiagretainio plotą? Išspręsti naudojama formulė: Taigi pirmiausia randame kampo sinusą. Sinusas 60 \u003d 0,5, atitinkamai S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Atsakymas: 21 cm 2. Tikiuosi, kad šie pavyzdžiai padės jums išspręsti problemas. Ir atminkite, kad svarbiausia yra formulių išmanymas ir atidumas Lygiagretainis yra keturkampis, kurio kraštinės poromis lygiagrečios. Šiame paveikslėlyje priešingos pusės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške ir padalija jį pusiau. Lygiagrečios srities formulės leidžia rasti vertę per šonus, aukštį ir įstrižaines. Lygiagretainis taip pat gali būti pavaizduotas ypatingais atvejais. Jie laikomi stačiakampiu, kvadratu ir rombu. Ši byla laikoma klasikine ir nereikalauja tolesnio tyrimo. Geriau atsižvelgti į formulę, kaip apskaičiuoti plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. Skaičiuojant naudojamas tas pats metodas. Jei pateikiami šonai ir kampas tarp jų, tada plotas apskaičiuojamas taip: Tarkime, kad mums duotas lygiagretainis, kurio kraštinės a = 4 cm, b = 6 cm. Kampas tarp jų yra α = 30°. Raskime sritį: Apsvarstykite lygiagretainio ploto per įstrižaines apskaičiavimo pavyzdį. Pateikiame lygiagretainį, kurio įstrižainės D = 7 cm, d = 5 cm. Kampas tarp jų yra α = 30°. Pakeiskite duomenis formulėje: Žinodami lygiagretainio ploto formulę įstrižainės atžvilgiu, galite išspręsti daug įdomių problemų. Pažvelkime į vieną iš jų.
(
(Kadangi stačiakampiame trikampyje koja, esanti priešais 30 o kampą, yra lygi pusei hipotenuzės).
savo srities būdai.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!
Raskite lygiagretainio plotą, jei žinoma kraštinė ir aukštis
Raskite lygiagretainio plotą, jei žinomos 2 kraštinės ir kampas tarp jų
Raskite lygiagretainio plotą, jei žinomos įstrižainės ir kampas tarp jų
S = (d1*d2)/2*sinφ,
d1, d2 yra žinomos (arba apskaičiuotos) įstrižainės,
γ, φ yra kampai tarp įstrižainių d1 ir d2.Formulės lygiagretainio plotui rasti
Pirmiausia panagrinėkime lygiagretainio ploto apskaičiavimo pagal aukštį ir pusę, į kurią jis nuleistas, pavyzdį.
Lygiagretainio plotas, išreikštas įstrižainėmis
Lygiagretainio ploto formulė įstrižainėmis leidžia greitai rasti vertę.
Skaičiavimams reikia kampo, esančio tarp įstrižainių, vertės.
Lygiagretainio ploto per įstrižainę apskaičiavimo pavyzdys davė puikų rezultatą - 8,75.
Užduotis: Duotas lygiagretainis, kurio plotas 92 kv. žr. taškas F yra jo šono BC viduryje. Raskime trapecijos ADFB plotą, kuris bus mūsų lygiagretainyje. Pirmiausia nupieškime viską, ką gavome pagal sąlygas.
Pereikime prie sprendimo: 
Pagal mūsų sąlygas, ah \u003d 92, ir atitinkamai, jūsų trapecijos plotas bus lygus 
