Apibrėžimas. Jei kiekvienam natūraliam skaičiui n priskiriamas skaičius xn, tai sakome, kad duota seka

x1, x2, …, xn = (xn)

Bendrasis sekos elementas yra n funkcija.

Taigi seka gali būti vertinama kaip funkcija.

Seką galite nurodyti įvairiais būdais – svarbiausia, kad būtų nurodytas bet kurio sekos nario gavimo būdas.

Pavyzdys. (xn) = ((-1)n) arba (xn) = -1; vienas; - vienas; vienas; …

(xn) = (sinn/2) arba (xn) = 1; 0; vienas; 0; …

Galite apibrėžti šias sekų operacijas:

Sekos dauginimas iš skaičiaus m: m(xn) = (mxn), t.y. mx1, mx2, …

Sekų sudėjimas (atėmimas): (xn) (yn) = (xn yn).

Sekų sandauga: (xn)(yn) = (xnyn).

Sekų koeficientas: ties (yn) 0.

Apribotos ir neapribotos sekos.

Apibrėžimas. Seka (xn) vadinama ribota, jei yra toks skaičius M>0, kad bet kuriai n nelygybė yra teisinga:

tie. visi sekos nariai priklauso intervalui (-M; M).

Apibrėžimas. Sakoma, kad seka (xn) yra apribota iš viršaus, jei bet kuriam n yra toks skaičius M, kad xn M.

Apibrėžimas. Sakoma, kad seka (xn) yra apribota iš apačios, jei bet kuriam n yra toks skaičius M, kad xn M

Pavyzdys. (xn) = n – apribota iš apačios (1, 2, 3, … ).

Apibrėžimas. Skaičius a vadinamas sekos (xn) riba, jei bet kuriam teigiamam >0 yra toks skaičius N, kad visiems n > N tenkinama sąlyga: Rašoma: lim xn = a.

Šiuo atveju seka (xn) susilieja su n.

Savybė: Jei atmesime bet kokį sekos narių skaičių, gaunamos naujos sekos, o jei viena iš jų susilieja, tai ir kita suartėja.

Pavyzdys. Įrodyti, kad sekos riba yra lim .

Tegu teisinga n > N, t.y. . Tai galioja , Taigi, jei N yra sveikasis skaičius , tada aukščiau pateiktas teiginys yra teisingas.

Pavyzdys. Parodykite, kad n seka yra 3, riba yra 2.

Iš viso: (xn) = 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Akivaizdu, kad egzistuoja toks skaičius n, kad, t.y. lim (xn) = 2.

Teorema. Seka negali turėti daugiau nei vienos ribos.

Įrodymas. Tarkime, kad seka (xn) turi dvi ribas a ir b, kurios nėra lygios viena kitai.

xn a; xnb; a b.

Tada pagal apibrėžimą egzistuoja skaičius >0 toks, kad

Jei funkcija apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N, tai tokia funkcija vadinama begaline skaičių seka. Paprastai skaitinė seka žymima kaip (Xn), kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei N.

Skaičių seką galima pateikti pagal formulę. Pavyzdžiui, Xn=1/(2*n). Taigi kiekvienam natūraliajam skaičiui n priskiriame tam tikrą apibrėžtą sekos elementą (Xn).

Jei dabar paeiliui imsime n lygų 1,2,3, …, gausime seką (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Sekos tipai

Seka gali būti ribota arba neribota, didėjanti arba mažėjanti.

Seka (Xn) iškviečia ribotas jei yra du skaičiai m ir M, kad bet kuriai n, priklausančiai natūraliųjų skaičių aibei, lygybė m<=Xn

seka (Xn), neribota, vadinama neribota seka.

didėja jei visiems teigiamiems sveikiesiems skaičiams n galioja ši lygybė: X(n+1) > Xn. Kitaip tariant, kiekvienas sekos narys, pradedant nuo antrojo, turi būti didesnis nei ankstesnis narys.

Seka (Xn) vadinama silpsta, jei visiems teigiamiems sveikiesiems skaičiams n galioja ši lygybė X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Sekos pavyzdys

Patikrinkime, ar sekos 1/n ir (n-1)/n mažėja.

Jei seka mažėja, tada X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) – Xn = 1/(n+1) – 1/n = –1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Taigi seka (n-1)/n yra didėja.

3. Skaičių sekos riba

3.1. Skaičių sekos samprata ir natūralaus argumento funkcija

Apibrėžimas 3.1. Skaičių seka (toliau – tiesiog seka) yra tvarkinga skaičiuojama skaičių rinkinys

{x1x2x3 ... }.

Atkreipkite dėmesį į du dalykus.

1. Sekoje yra be galo daug skaičių. Jei yra baigtinis skaičių skaičius, tai nėra seka!

2. Visi skaičiai yra sutvarkyti, tai yra, išdėstyti tam tikra tvarka.

Toliau dažnai naudosime sekos santrumpą ( xn}.

Tam tikros operacijos gali būti atliekamos su sekomis. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.

1. Sekos dauginimas iš skaičiaus.

Pasekmė c×{ xn) yra seka su elementais ( c× xn), tai yra

c×{ x1x2x3 ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Sekų sudėjimas ir atėmimas.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

arba, tiksliau,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Sekų dauginimas.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Sekų skirstymas.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Natūralu, kad šiuo atveju daroma prielaida, kad visi yn¹ 0.

Apibrėžimas 3.2. Pasekmė ( xn) vadinamas apribotu iš viršaus, jei https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Seka (xn) vadinama ribota, jei ji apribota ir aukščiau, ir žemiau.

3.2. Sekos riba. Be galo didelė seka

Apibrėžimas 3.3. Skaičius a vadinama sekos riba ( xn) adresu n linkęs į begalybę, jei

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> jei .

Jie sako, kad jei.

Apibrėžimas 3.4. Pasekmė ( xn) vadinamas be galo dideliu if (tai yra, jei ).

3.3. Be galo maža seka.

Apibrėžimas 3.5. Seka (xn) vadinama be galo maža, jei , tai yra, jei .

Be galo mažos sekos turi šias savybes.

1. Be galo mažų sekų suma ir skirtumas taip pat yra be galo maža seka.

2. Be galo maža seka yra ribojama.

3. Be galo mažos sekos ir ribotosios sekos sandauga yra be galo maža seka.

4. Jei ( xn) yra be galo didelė seka, tada prasideda nuo kai kurių N, seka (1/ xn), ir tai yra be galo maža seka. Ir atvirkščiai, jei ( xn) yra be galo maža seka ir viskas xn skiriasi nuo nulio, tada (1/ xn) yra be galo didelė seka.

3.4. konvergencinės sekos.

Apibrėžimas 3.6. Jei yra pabaigos apribojimas https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Jeigu , tada .

3.5. Perėjimas prie ribos nelygybėse.

3.1 teorema. Jei, pradedant nuo kai kurių N, visi xn ³ b, tada.

Pasekmė. Jei, pradedant nuo kai kurių N, visi xn ³ yn, tada .

komentuoti. Atkreipkite dėmesį, kad jei, pradedant nuo kai kurių N, visi xn > b, tada , tai yra, pereinant prie ribos, griežta nelygybė gali tapti negriežta.

3.2 teorema.(„Dviejų policininkų teorema“) Jei, pradedant nuo kai kurių N, galioja šios savybės

1..gif" width="163" height="33 src=">,

tada egzistuoja.

3.6. Monotoninės sekos riba.

Apibrėžimas 3.7. Pasekmė ( xn) vadinamas monotoniškai didėjančiu, jei toks yra n xn+1 ³ xn.

Pasekmė ( xn) vadinamas griežtai monotoniškai didėjančiu, jei toks yra n xn+1> xn.

xn­.

Apibrėžimas 3.8. Pasekmė ( xn) vadinamas monotoniškai mažėjančiu, jei toks yra n xn+1 £ xn.

Pasekmė ( xn) vadinamas griežtai monotoniškai mažėjančiu, jei toks yra n xn+1< xn.

Abu šie atvejai yra derinami su simboliu xn¯.

Teorema apie monotoninės sekos ribos egzistavimą.

1. Jei seka ( xn) yra monotoniškai didėjantis (mažėjantis) ir ribojamas iš viršaus (iš apačios), tada jis turi baigtinę ribą, lygią sup( xn) (inf( xn}).

2 Jei seka ( xn) monotoniškai didėja (mažėja), bet nėra ribojamas iš viršaus (iš apačios), tada turi ribą, lygią +¥ (-¥).

Remiantis šia teorema, įrodoma, kad yra vadinamoji nepaprastoji riba

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Ji vadinama sekos poseka ( xn}.

3.3 teorema. Jei seka ( xn) suartėja ir jo riba yra a, tada bet kuri jo poseka taip pat suartėja ir turi tą pačią ribą.

Jeigu ( xn) yra be galo didelė seka, tada bet kuri jos poseka taip pat yra be galo didelė.

Bolzano-Weierstrass lema.

1. Iš bet kurios apribotos sekos galima išskirti poseką, kuri susilieja į baigtinę ribą.

2. Iš bet kurios neapribotos sekos galima išskirti be galo didelę poseką.

Remiantis šia lema, įrodomas vienas pagrindinių ribų teorijos rezultatų - Bolzano ir Koši konvergencijos kriterijus.

Kad seka ( xn) buvo baigtinė riba, tai būtina ir pakanka

Seka, kuri tenkina šią savybę, vadinama pagrindine seka arba seka, kuri susilieja savaime.

Įvadas…………………………………………………………………………………3

1.Teorinė dalis………………………………………………………………….4

Pagrindinės sąvokos ir terminai…………………………………………………….4

1.1 Sekų tipai……………………………………………………………6

1.1.1.Ribotos ir neribotos skaičių sekos…..6

1.1.2. Sekų monotoniškumas…………………………………………6

1.1.3. Be galo mažos ir be galo mažos sekos…….7

1.1.4. Begalybės mažų sekų savybės……………………8

1.1.5 Konvergentinės ir divergentinės sekos bei jų savybės...…9

1.2 Sekos apribojimas……………………………………………………….11

1.2.1.Teoremos apie sekų ribas…………………………………………………………………15

1.3.Aritmetinė progresija…………………………………………………………17

1.3.1. Aritmetinės progresijos savybės………………………………………..17

1.4 Geometrinė progresija……………………………………………………..19

1.4.1. Geometrinės progresijos savybės………………………………………….19

1.5. Fibonačio skaičiai…………………………………………………………………..21

1.5.1 Fibonačio skaičių ryšys su kitomis žinių sritimis……………………….22

1.5.2. Fibonačio skaičių serijos naudojimas gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti………………………………………………………………………………….23

2. Nuosavas tyrimas……………………………………………………….28

Išvada…………………………………………………………………………….30

Naudotos literatūros sąrašas……………………………………………..31

Įvadas.

Skaičių sekos yra labai įdomi ir informatyvi tema. Šią temą rasite užduotyse padidėjęs sudėtingumas studentams siūlo autoriai didaktinės medžiagos, užduotyse matematikos olimpiados, stojamieji egzaminaiį Aukštesnįjį Švietimo įstaigos ir per egzaminą. Man įdomu sužinoti matematinių sekų ryšį su kitomis žinių sritimis.

Tikslas tiriamasis darbas: Išplėskite žinias apie skaičių seką.

1. Apsvarstykite seką;

2. Apsvarstykite jo savybes;

3. Apsvarstykite sekos analitinę užduotį;

4. Parodykite savo vaidmenį plėtojant kitas žinių sritis.

5. Parodykite, kaip naudojama Fibonačio skaičių serija gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti.

1. Teorinė dalis.

Pagrindinės sąvokos ir terminai.

Apibrėžimas. Skaičių seka yra y = f(x), x О N formos funkcija, kur N yra natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), žymima y = f(n) arba y1, y2 ,…, yn,…. Reikšmės y1, y2, y3,… vadinamos atitinkamai pirmaisiais, antraisiais, trečiaisiais, … sekos nariais.

Skaičius a vadinamas sekos x \u003d ( x n ) riba, jei savavališkai iš anksto nustatytas savavališkai mažas teigiamas skaičiusε natūralusis skaičius N toks, kad visoms n>N nelygybė |x n - a|< ε.

Jei skaičius a yra sekos x \u003d (x n) riba, tada jie sako, kad x n linkę į a, ir rašo

.

Seka (yn) vadinama didėjančia, jei kiekvienas jos narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis nei ankstesnis:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Seka (yn) vadinama mažėjančia, jei kiekvienas jos narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis nei ankstesnis:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Didėjančias ir mažėjančias sekas vienija bendras terminas – monotoninės sekos.

Seka vadinama periodine, jei egzistuoja natūralusis skaičius T, kuriame, pradedant nuo kurio nors n, galioja lygybė yn = yn+T. Skaičius T vadinamas periodo ilgiu.

Aritmetinė progresija yra seka (an), kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygi sumai ankstesnis narys ir tas pats skaičius d vadinamas aritmetine progresija, o skaičius d – aritmetinės progresijos skirtumu.

Šiuo būdu, aritmetinė progresija yra skaitinė seka (an), kurią rekursyviai pateikia santykiai

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrinė progresija yra seka, kurios visi nariai yra ne nuliai, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q.

Taigi geometrinė progresija yra skaitinė seka (bn), kurią rekursyviai pateikia santykiai

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Sekų tipai.

1.1.1 Apribotos ir neapribotos sekos.

Sakoma, kad seka (bn) yra apribota iš viršaus, jei egzistuoja toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n tenkinama nelygybė bn≤ M;

Sakoma, kad seka (bn) yra apribota iš apačios, jei egzistuoja toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n tenkinama nelygybė bn≥ M;

Pavyzdžiui:

1.1.2 Sekų monotoniškumas.

Seka (bn) vadinama nedidėjančia (nemažėjančia), jei bet kurio skaičiaus n nelygybė bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) yra teisinga;

Seka (bn) vadinama mažėjančia (didėjančia), jei bet kurio skaičiaus n nelygybė bn > bn+1 (bn

Mažėjančios ir didėjančios sekos vadinamos griežtai monotoniškomis, nedidėjančiomis – monotoninėmis plačiąja prasme.

Sekos, apribotos tiek aukščiau, tiek žemiau, vadinamos apribotomis.

Visų šių tipų seka vadinama monotoniška.

1.1.3 Be galo didelės ir mažos sekos.

Be galo maža seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į nulį.

Seka an vadinama be galo maža, jei

Funkcija taško x0 kaimynystėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcija begalybėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→.+∞ f(x)=0 arba ℓimx→-∞ f(x)=0

Taip pat be galo maža yra funkcija, kuri yra skirtumas tarp funkcijos ir jos ribos, tai yra, jei ℓimx→.+∞ f(x)=а, tai f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Be galo didelė seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į begalybę.

Seka an vadinama be galo didele, jei

ℓimn→0 an=∞.

Funkcija taško x0 kaimynystėje vadinama begaline, jei ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė begalybėje, jei

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ arba ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Be galo mažų sekų savybės.

Dviejų be galo mažų sekų suma taip pat yra be galo maža seka.

Dviejų be galo mažų sekų skirtumas taip pat yra be galo maža seka.

Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų algebrinė suma taip pat yra be galo maža seka.

Apribotos sekos ir be galo mažos sekos sandauga yra be galo maža seka.

Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų sandauga yra be galo maža seka.

Bet kuri be galo maža seka yra ribojama.

Jei stacionari seka yra be galo maža, tai visi jos elementai, pradedant nuo kai kurių, yra lygūs nuliui.

Jei visa begalinė seka susideda iš tų pačių elementų, tai šie elementai yra nuliai.

Jei (xn) yra be galo didelė seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/xn), kuri yra be galo maža. Tačiau jei (xn) yra nulis elementų, seka (1/xn) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo maža.

Jei (an) yra be galo maža seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/an), kuri yra be galo didelė. Tačiau jei (an) yra nulis elementų, seka (1/an) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo didelė.

1.1.5 Konvergentinės ir divergentinės sekos ir jų savybės.

Konvergentinė seka – tai aibės X elementų seka, kuri šioje aibėje turi ribą.

Divergentinė seka yra seka, kuri nėra konvergentiška.

Kiekviena be galo maža seka yra konvergentiška. Jo riba yra nulis.

Bet kokio baigtinio elementų skaičiaus pašalinimas iš begalinės sekos neturi įtakos nei tos sekos konvergencijai, nei ribai.

Bet kuri konvergencinė seka yra ribojama. Tačiau ne kiekviena ribota seka susilieja.

Jei seka (xn) suartėja, bet nėra be galo maža, tai, pradedant nuo kokio nors skaičiaus, apibrėžiama seka (1/xn), kuri yra ribojama.

Konvergencinių sekų suma taip pat yra konvergentinė seka.

Konvergencinių sekų skirtumas taip pat yra konvergentinė seka.

Konvergencinių sekų sandauga taip pat yra konvergentinė seka.

Dviejų konvergencinių sekų koeficientas apibrėžiamas pradedant nuo kurio nors elemento, nebent antroji seka yra be galo maža. Jei yra apibrėžtas dviejų konvergencinių sekų koeficientas, tai yra konvergencinė seka.

Jei konvergencinė seka yra apribota žemiau, tada nė viena iš jos apatinių ribų neviršija jos ribos.

Jei konvergencinė seka ribojama iš viršaus, tai jos riba neviršija nė vienos viršutinės ribos.

Jei kurio nors skaičiaus vienos konvergentinės sekos sąlygos neviršija kitos konvergentinės sekos narių, tai pirmosios sekos riba taip pat neviršija antrosios ribos.