Մենք դիտարկեցինք մի քանի ֆիզիկապես բոլորովին տարբեր համակարգեր և համոզվեցինք, որ շարժման հավասարումները վերածվում են նույն ձևի

Ֆիզիկական համակարգերի միջև տարբերությունները հայտնվում են միայն տարբեր սահմանումքանակները և տարբեր ֆիզիկական զգացողությունփոփոխական x: դա կարող է լինել կոորդինատ, անկյուն, լիցք, հոսանք և այլն: Նկատի ունեցեք, որ այս դեպքում, ինչպես հետևում է հավասարման (1.18) կառուցվածքից, մեծությունը միշտ ունի հակադարձ ժամանակի չափ:

Հավասարումը (1.18) նկարագրում է այսպես կոչված ներդաշնակ թրթռումներ.

Հավասարումը ներդաշնակ թրթռումներ(1.18) գծային է դիֆերենցիալ հավասարումերկրորդ կարգը (քանի որ այն պարունակում է փոփոխականի երկրորդ ածանցյալը x). Հավասարման գծայինությունը նշանակում է, որ

եթե որևէ գործառույթ կա x(t)այս հավասարման լուծումն է, ապա ֆունկցիան Cx(t)կլինի նաև նրա լուծումը ( Գկամայական հաստատուն է);

եթե գործառույթներ x 1 (տ)և x 2 (տ)այս հավասարման լուծումներն են, ապա դրանց գումարը x 1 (տ) + x 2 (տ)կլինի նաև նույն հավասարման լուծումը:

Ապացուցված է նաև մաթեմատիկական թեորեմ, ըստ որի երկրորդ կարգի հավասարումն ունի երկու անկախ լուծում։ Մնացած բոլոր լուծումները, ըստ գծայինության հատկությունների, կարելի է ստանալ որպես դրանց գծային համակցություններ։ Ուղղակի տարբերակմամբ հեշտ է ստուգել, ​​որ անկախ գործառույթները և բավարարում են (1.18) հավասարումը: Այսպիսով, այս հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

որտեղ C1,C2կամայական հաստատուններ են: Այս լուծումը կարող է ներկայացվել նաև այլ ձևով. Ներկայացնում ենք քանակը

և սահմանել անկյունը հետևյալ կերպ.

Այնուհետև ընդհանուր լուծումը (1.19) գրվում է այսպես

Եռանկյունաչափության բանաձևերի համաձայն՝ փակագծերում արտահայտությունն է

Վերջապես հասնում ենք Հարմոնիկ տատանումների հավասարման ընդհանուր լուծումորպես:

Ոչ բացասական արժեք Ականչեց տատանումների ամպլիտուդ, - տատանումների սկզբնական փուլը. Ամբողջ կոսինուսի փաստարկը` համակցությունը կոչվում է տատանումների փուլ.

(1.19) և (1.23) արտահայտությունները միանգամայն համարժեք են, ուստի մենք կարող ենք օգտագործել դրանցից որևէ մեկը պարզության համար: Երկու լուծումներն էլ ժամանակի պարբերական ֆունկցիաներ են։ Իսկապես, սինուսը և կոսինուսը պարբերական են՝ կետով . Հետևաբար, ներդաշնակ տատանումներ կատարող համակարգի տարբեր վիճակներ կրկնվում են որոշ ժամանակ անց տ*, որի համար տատանման փուլը ստանում է աճ, որը բազմապատիկ է :

Այստեղից հետևում է, որ

Այս ժամանակներից ամենաքիչը

կանչեց տատանումների ժամանակաշրջան (նկ. 1.8), ա - իր շրջանաձև (ցիկլային) հաճախականությունը.

Բրինձ. 1.8.

Նրանք նաև օգտագործում են հաճախականությունը երկմտանք

Համապատասխանաբար, շրջանաձև հաճախականությունը հավասար է մեկ տատանումների քանակին վայրկյան.

Այսպիսով, եթե համակարգը ժամանակին տբնութագրվում է փոփոխականի արժեքով x (t),ապա, նույն արժեքը, փոփոխականը կունենա որոշ ժամանակ անց (նկ. 1.9), այսինքն

Նույն արժեքը, իհարկե, որոշ ժամանակ անց կկրկնվի։ 2Տ, ԶՏև այլն:

Բրինձ. 1.9. Տատանումների ժամանակաշրջան

Ընդհանուր լուծումը ներառում է երկու կամայական հաստատուններ ( C 1, C 2կամ Ա, ա), որոնց արժեքները պետք է որոշվեն երկուով նախնական պայմանները. Սովորաբար (թեև ոչ պարտադիր) նրանց դերը խաղում է փոփոխականի սկզբնական արժեքներով x(0)և դրա ածանցյալը։

Օրինակ բերենք. Թող հարմոնիկ տատանումների հավասարման լուծումը (1.19) նկարագրի զսպանակային ճոճանակի շարժումը։ Կամայական հաստատունների արժեքները կախված են նրանից, թե ինչպես ենք մենք հանել ճոճանակը հավասարակշռությունից: Օրինակ, մենք գարունը քաշեցինք հեռավորության վրա և բաց թողեց գնդակը առանց նախնական արագության: Այս դեպքում

Փոխարինող t = 0(1.19), մենք գտնում ենք հաստատունի արժեքը 2-ից

Այսպիսով, լուծումը նման է.

Բեռի արագությունը հայտնաբերվում է ժամանակի տարբերությամբ

Փոխարինելով այստեղ տ = 0, գտե՛ք հաստատունը 1-ից:

Վերջապես

Համեմատելով (1.23) հետ՝ գտնում ենք, որ տատանման լայնությունն է, և դրա սկզբնական փուլը հավասար է զրոյի.

Այժմ մենք այլ կերպ ենք հանում ճոճանակը հավասարակշռությունից: Եկեք հարվածենք բեռին, որպեսզի այն ձեռք բերի նախնական արագություն, բայց հարվածի ժամանակ գործնականում չշարժվի։ Այնուհետև մենք ունենք այլ նախնական պայմաններ.

մեր լուծումը կարծես

Բեռի արագությունը կփոխվի օրենքի համաձայն.

Դնենք այստեղ.

Թրթռումների ամենապարզ տեսակներն են ներդաշնակ թրթռումներ- տատանումներ, որոնցում տատանվող կետի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից ժամանակի ընթացքում փոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն:

Այսպիսով, շրջագծի շուրջ գնդակի միատեսակ պտույտով նրա պրոյեկցիան (ստվերը լույսի զուգահեռ ճառագայթների մեջ) կատարում է ներդաշնակ տատանողական շարժում ուղղահայաց էկրանի վրա (նկ. 1):

Հարմոնիկ թրթռումների ժամանակ հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժը նկարագրվում է ձևի հավասարմամբ (այն կոչվում է ներդաշնակ շարժման կինեմատիկական օրենք).

որտեղ x - տեղաշարժ - արժեք, որը բնութագրում է տատանման կետի դիրքը t ժամանակի նկատմամբ հավասարակշռության դիրքի նկատմամբ և չափվում է հավասարակշռության դիրքից մինչև տվյալ պահին կետի դիրքի հեռավորությունը. Ա - տատանումների ամպլիտուդա - մարմնի առավելագույն տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից. T - տատանումների ժամանակաշրջան - մեկ ամբողջական տատանման ժամանակը; դրանք. ամենափոքր բացըժամանակ, որից հետո կրկնվում են տատանումը բնութագրող ֆիզիկական մեծությունների արժեքները. - նախնական փուլ;

Տատանման փուլը t ժամանակում. Տատանման փուլը փաստարկն է պարբերական ֆունկցիա, որը տատանման տրված ամպլիտուդի համար որոշում է վիճակը տատանողական համակարգ(տեղափոխում, արագություն, արագացում) մարմնի ցանկացած ժամանակ:

Եթե ​​սկզբնական պահին տատանվող կետը առավելագույնս տեղահանված է հավասարակշռության դիրքից, ապա, և կետի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից փոխվում է օրենքի համաձայն.

Եթե ​​տատանվող կետը գտնվում է կայուն հավասարակշռության դիրքում, ապա կետի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից փոխվում է օրենքի համաձայն.

V արժեքը՝ պարբերաշրջանի փոխադարձը և հավասար է 1 վրկ-ում կատարված ամբողջական տատանումների թվին, կոչվում է տատանումների հաճախականություն.

Եթե ​​t ժամանակի ընթացքում մարմինը կատարում է N ամբողջական տատանումներ, ապա

արժեք , ցույց տալով, թե մարմինը քանի տատանում է կատարում s-ում, կոչվում է ցիկլային (շրջանաձև) հաճախականություն.

Հարմոնիկ շարժման կինեմատիկական օրենքը կարելի է գրել այսպես.

Գրաֆիկորեն, տատանվող կետի տեղաշարժի կախվածությունը ժամանակից ներկայացված է կոսինուսով (կամ սինուսոիդով):

Նկար 2, a-ն ցույց է տալիս գործի համար տատանվող կետի տեղաշարժի ժամանակային կախվածությունը հավասարակշռության դիրքից:

Եկեք պարզենք, թե ինչպես է տատանվող կետի արագությունը փոխվում ժամանակի հետ: Դա անելու համար մենք գտնում ենք այս արտահայտության ժամանակային ածանցյալը.

որտեղ է արագության պրոյեկցիայի ամպլիտուդը x առանցքի վրա:

Այս բանաձևը ցույց է տալիս, որ ներդաշնակ տատանումների ժամանակ մարմնի արագության պրոյեկցիան x առանցքի վրա նույնպես փոխվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն՝ նույն հաճախականությամբ, տարբեր ամպլիտուդով և առաջ է անցնում խառնման փուլից (նկ. 2, բ) .

Արագացման կախվածությունը պարզելու համար մենք գտնում ենք արագության պրոյեկցիայի ժամանակային ածանցյալը.

որտեղ է արագացման պրոյեկցիայի ամպլիտուդը x առանցքի վրա:

Հարմոնիկ տատանումների դեպքում արագացման պրոյեկցիան հանգեցնում է փուլային հերթափոխին k-ով (նկ. 2, գ):

§ 6. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏատանումներՀիմնական բանաձևեր

Հարմոնիկ թրթիռային հավասարում

որտեղ X -տատանվող կետի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից. տ- ժամանակ; ԲԱՅՑ,ω, φ- համապատասխանաբար ամպլիտուդ, անկյունային հաճախականություն, տատանումների սկզբնական փուլ; - այս պահին տատանումների փուլը տ.

Անկյունային տատանումների հաճախականություն

որտեղ ν և T-ը տատանումների հաճախականությունն ու ժամանակաշրջանն են:

Հարմոնիկ տատանումներ կատարող կետի արագությունը,

Հարմոնիկ արագացում

Լայնություն ԲԱՅՑստացված տատանումները, որոնք ստացվում են մեկ ուղիղ գծի երկայնքով տեղի ունեցող նույն հաճախականությամբ երկու տատանումներ ավելացնելով, որոշվում է բանաձևով.

որտեղ ա 1 և ԲԱՅՑ 2 - տատանումների բաղադրիչների ամպլիտուդները; φ 1 և φ 2 - դրանց սկզբնական փուլերը:

Ստացված տատանումների սկզբնական φ փուլը կարելի է գտնել բանաձևից

Զարկերի հաճախականությունը, որոնք առաջանում են երկու տատանումների ավելացումից, որոնք տեղի են ունենում նույն ուղիղ գծի երկայնքով տարբեր, բայց արժեքով մոտ հաճախականություններով ν 1 և ν 2,

A 1 և A 2 ամպլիտուդներով և φ 1 և φ 2 սկզբնական փուլերով երկու փոխադարձ ուղղահայաց տատանումներին մասնակցող կետի հետագծի հավասարումը.

Եթե ​​տատանումների բաղադրիչների φ 1 և φ 2 սկզբնական փուլերը նույնն են, ապա հետագծի հավասարումը ձև է ստանում.

այսինքն, կետը շարժվում է ուղիղ գծով:

Այն դեպքում, երբ փուլային տարբերությունը, հավասարումը ստանում է ձև

այսինքն՝ կետը շարժվում է էլիպսի երկայնքով:

Նյութական կետի ներդաշնակ թրթռումների դիֆերենցիալ հավասարում

, կամ , որտեղ m-ը կետի զանգվածն է; կ- քվազի-առաձգական ուժի գործակիցը ( կ=տω 2).

Հարմոնիկ տատանումներ կատարող նյութական կետի ընդհանուր էներգիան,

Զսպանակի վրա կախված մարմնի (գարնանային ճոճանակ) տատանումների ժամանակաշրջանը.

որտեղ մ- մարմնի զանգված; կ- գարնանային կոշտություն: Բանաձևը վավեր է առաձգական թրթռումների համար այն սահմաններում, որոնցում կատարվում է Հուկի օրենքը (մարմնի զանգվածի համեմատ զսպանակի փոքր զանգվածով):

Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը

որտեղ լ- ճոճանակի երկարությունը; է- ձգողության արագացում. Ֆիզիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջան

որտեղ Ջ- առանցքի շուրջ տատանվող մարմնի իներցիայի պահը

տատանումներ; ա- ճոճանակի զանգվածի կենտրոնի հեռավորությունը տատանման առանցքից.

Ֆիզիկական ճոճանակի երկարությունը կրճատվել է:

Վերոնշյալ բանաձևերը ճշգրիտ են անսահման փոքր ամպլիտուդների դեպքում: Վերջավոր ամպլիտուդների համար այս բանաձևերը տալիս են միայն մոտավոր արդյունքներ: Ժամկետաշրջանի արժեքի սխալը չի ​​գերազանցում 1%-ը ամպլիտուդներում:

Առաձգական թելի վրա կախված մարմնի ոլորման թրթռումների շրջանը,

որտեղ Ջ- մարմնի իներցիայի պահը առաձգական թելի հետ համընկնող առանցքի նկատմամբ. կ- առաձգական թելի կոշտությունը, որը հավասար է առաձգական մոմենտի հարաբերակցությանը, որը տեղի է ունենում թելը ոլորվելիս այն անկյան հետ, որով ոլորվում է թելը:

Խոնավ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարում , կամ ,

որտեղ r- դիմադրության գործակից; դ - խոնավացման գործակիցը: ω 0 - թրթռումների բնական անկյունային հաճախականություն *

Խոնավացված տատանումների հավասարումը

որտեղ A(t)- այս պահին խոնավացած տատանումների ամպլիտուդը t;ω-ն նրանց անկյունային հաճախականությունն է:

Խոնավացված տատանումների անկյունային հաճախականությունը

О Խոնավեցված տատանումների ամպլիտուդության կախվածությունը ժամանակից

Ի

որտեղ ԲԱՅՑ 0 - այս պահին տատանումների ամպլիտուդը տ=0.

Լոգարիթմական տատանումների նվազում

որտեղ A(t)և A(t+T)- երկու հաջորդական տատանումների ամպլիտուդները, որոնք ժամանակի ընթացքում միմյանցից բաժանվում են կետով:

Հարկադիր թրթռումների դիֆերենցիալ հավասարում

որտեղ է արտաքին պարբերական ուժը, որը գործում է տատանվող նյութական կետի վրա և առաջացնում է հարկադիր տատանումներ. Ֆ 0 - դրա ամպլիտուդային արժեքը;

Հարկադիր թրթռումների ամպլիտուդ

Ռեզոնանսային հաճախականություն և ռեզոնանսային ամպլիտուդ և

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ 1Կետը տատանվում է ըստ օրենքի x(t)=, որտեղ A=2տե՛ս Որոշել սկզբնական փուլը φ, եթե

x(0)=սմ և X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента տ=0.

Լուծում. Մենք օգտագործում ենք շարժման հավասարումը և արտահայտում ենք տեղաշարժը տվյալ պահին տ=0 մինչև սկզբնական փուլը.

Այստեղից մենք գտնում ենք նախնական փուլը.

* Ներդաշնակ տատանումների նախկինում տրված բանաձեւերում նույն արժեքը պարզապես նշվում էր ω-ով (առանց 0 ինդեքսի):

Տրված արժեքները փոխարինեք այս արտահայտությամբ x(0) և ԲԱՅՑ:φ= = . Փաստարկի արժեքը բավարարվում է երկու անկյունային արժեքներով.

Որպեսզի որոշենք, թե φ անկյան այս արժեքներից որը նույնպես բավարարում է պայմանը, մենք նախ գտնում ենք.

Փոխարինելով այս արտահայտության մեջ արժեքը տ=0 և հերթափոխով սկզբնական փուլերի արժեքները և, մենք գտնում ենք

Տ լավ, ինչպես միշտ Ա>0 և ω>0, ապա միայն սկզբնական փուլի առաջին արժեքը բավարարում է պայմանը: Այսպիսով, ցանկալի նախնական փուլը

Ֆ-ի գտնված արժեքի հիման վրա մենք կկառուցենք վեկտորային դիագրամ (նկ. 6.1): Օրինակ 2Նյութական կետ զանգվածով տ\u003d 5 գ-ը կատարում է ներդաշնակ տատանումներ հաճախականությամբ ν =0,5 Հց. Տատանումների ամպլիտուդ Ա=3 սմ Որոշել՝ 1) արագությունը υ միավորներ այն պահին, երբ օֆսեթը x== 1,5 սմ; 2) կետի վրա ազդող առավելագույն ուժը F max. 3) Նկ. 6.1 ընդհանուր էներգիա Ետատանվող կետ.

և մենք ստանում ենք արագության բանաձևը՝ վերցնելով տեղաշարժի առաջին անգամ ածանցյալը.

Արագությունը տեղաշարժով արտահայտելու համար ժամանակը պետք է բացառել (1) և (2) բանաձևերից: Դա անելու համար մենք երկու հավասարումները քառակուսի ենք դնում, առաջինը բաժանում ենք ԲԱՅՑ 2 , երկրորդը A 2 ω 2-ի վրա և ավելացրեք.

, կամ

υ-ի վերջին հավասարման լուծում , գտնել

Այս բանաձևի համաձայն հաշվարկներ կատարելով՝ մենք ստանում ենք

Պլյուս նշանը համապատասխանում է այն դեպքին, երբ արագության ուղղությունը համընկնում է առանցքի դրական ուղղության հետ. X,մինուս նշան - երբ արագության ուղղությունը համընկնում է առանցքի բացասական ուղղության հետ X.

Հարմոնիկ տատանումների ժամանակ տեղաշարժը, բացի (1) հավասարումից, կարող է որոշվել նաև հավասարմամբ.

Այս հավասարման հետ նույն լուծումը կրկնելով՝ ստանում ենք նույն պատասխանը.

2. Կետի վրա ազդող ուժը գտնում ենք Նյուտոնի երկրորդ օրենքի համաձայն.

որտեղ ա -կետի արագացում, որը մենք ստանում ենք՝ վերցնելով արագության ժամանակային ածանցյալը.

Արագացման արտահայտությունը փոխարինելով (3) բանաձևով, մենք ստանում ենք

Այստեղից էլ ուժի առավելագույն արժեքը

Այս հավասարման մեջ փոխարինելով π, ν, արժեքները, տև Ա,գտնել

3. Տատանվող կետի ընդհանուր էներգիան կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարն է, որը հաշվարկվում է ժամանակի ցանկացած պահի համար:

Ընդհանուր էներգիան հաշվարկելու ամենահեշտ ձևն այն պահին է, երբ կինետիկ էներգիան հասնում է իր առավելագույն արժեքին: Այս պահին պոտենցիալ էներգիան զրո է: Այսպիսով, ընդհանուր էներգիան Ետատանման կետը հավասար է առավելագույն կինետիկ էներգիային

Մենք որոշում ենք առավելագույն արագությունը բանաձևից (2)՝ սահմանելով. . Արագության արտահայտությունը փոխարինելով (4) բանաձևով, մենք գտնում ենք

Փոխարինելով քանակների արժեքները այս բանաձևի մեջ և կատարելով հաշվարկներ՝ մենք ստանում ենք

կամ mcJ.

Օրինակ 3Բարակ ձողի ծայրերում լ= 1 մ և քաշը մ 3 =400 գ փոքր գնդիկներն ամրացվում են զանգվածներով մ 1=200 գ և մ 2 = 300 գ. Ձողը տատանվում է հորիզոնական առանցքի շուրջ՝ ուղղահայաց

dicular ձողով և անցնելով դրա միջով (կետ O-ում Նկար 6.2-ում): Սահմանել ժամկետը Տգավազանով առաջացած թրթռումները.

Լուծում. Ֆիզիկական ճոճանակի տատանումների շրջանը, որը գնդիկներով ձող է, որոշվում է հարաբերությամբ.

որտեղ Ջ- t -դրա զանգվածը; լ ԻՑ - հեռավորությունը ճոճանակի զանգվածի կենտրոնից մինչև առանցքը:

Այս ճոճանակի իներցիայի պահը հավասար է գումարինգնդակների իներցիայի պահերը Ջ 1 և Ջ 2 եւ ձող Ջ 3:

Գնդակները որպես նյութական կետեր վերցնելով՝ արտահայտում ենք դրանց իներցիայի պահերը.

Քանի որ առանցքը անցնում է գավազանի միջով, ապա դրա իներցիայի պահն այս առանցքի շուրջ Ջ 3 = =. Ստացված արտահայտությունների փոխարինում Ջ 1 , Ջ 2 և Ջ 3 բանաձևով (2), մենք գտնում ենք ֆիզիկական ճոճանակի իներցիայի ընդհանուր պահը.

Այս բանաձևով հաշվարկներ կատարելով՝ մենք գտնում ենք

Բրինձ. 6.2 Ճոճանակի զանգվածը բաղկացած է գնդիկների զանգվածից և ձողի զանգվածից.

Հեռավորությունը լ ԻՑ մենք գտնում ենք ճոճանակի զանգվածի կենտրոնը տատանման առանցքից՝ ելնելով հետևյալ նկատառումներից. Եթե ​​առանցքը Xուղղեք ձողի երկայնքով և հավասարեցրեք սկզբնակետը կետի հետ Օ,ապա ցանկալի հեռավորությունը լհավասար է ճոճանակի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատին, այսինքն.

Մեծությունների արժեքների փոխարինում մ 1 , մ 2 , մ, լև կատարելով հաշվարկներ՝ մենք գտնում ենք

Հաշվարկներ կատարելով (1) բանաձևի համաձայն, մենք ստանում ենք ֆիզիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը.

Օրինակ 4Ֆիզիկական ճոճանակը երկարությամբ ձող է լ= 1 մ և քաշը 3 տ 1 Հետտրամագծով և զանգվածով օղակով ամրացված է նրա ծայրերից մեկին տ 1 . Հորիզոնական առանցք Օզ

ճոճանակն անցնում է իրեն ուղղահայաց ձողի միջով (նկ. 6.3): Սահմանել ժամկետը Տնման ճոճանակի տատանումները.

Լուծում. Ֆիզիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը որոշվում է բանաձևով

(1)

որտեղ Ջ- ճոճանակի իներցիայի պահը տատանման առանցքի նկատմամբ. t -դրա զանգվածը; լԳ - հեռավորությունը ճոճանակի զանգվածի կենտրոնից մինչև տատանման առանցքը.

Ճոճանակի իներցիայի պահը հավասար է ձողի իներցիայի մոմենտների գումարին Ջ 1 և օղակ Ջ 2:

(2).

Ձողի իներցիայի պահը ձողին ուղղահայաց և դրա զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ որոշվում է բանաձևով. . Այս դեպքում t= 3տ 1 և

Մենք գտնում ենք օղակի իներցիայի պահը՝ օգտագործելով Շտայների թեորեմը , որտեղ Ջ- կամայական առանցքի շուրջ իներցիայի պահը. Ջ 0 - իներցիայի պահը տվյալ առանցքին զուգահեռ զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ. ա -նշված առանցքների միջև հեռավորությունը. Կիրառելով այս բանաձևը օղակի վրա, մենք ստանում ենք

Փոխարինվող արտահայտություններ Ջ 1 և Ջ 2 բանաձևով (2), մենք գտնում ենք ճոճանակի իներցիայի պահը պտտման առանցքի նկատմամբ.

Հեռավորությունը լ ԻՑ ճոճանակի առանցքից մինչև նրա զանգվածի կենտրոնն է

Արտահայտությունները փոխարինելով (1) բանաձևով Ջ, լգ և ճոճանակի զանգվածը, մենք գտնում ենք նրա տատանման ժամանակաշրջանը.

Այս բանաձևով հաշվարկելուց հետո մենք ստանում ենք Տ\u003d 2.17 վ.

Օրինակ 5Միևնույն ուղղության երկու տատանումներ գումարվում են՝ արտահայտված հավասարումներով. X 2 = =, որտեղ ԲԱՅՑ 1 = 1 սմ, Ա 2 \u003d 2 սմ, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Որոշեք տատանման բաղադրիչների φ 1 և φ 2 սկզբնական փուլերը

բանի. 2. Գտի՛ր ամպլիտուդան ԲԱՅՑև ստացված տատանումների սկզբնական φ փուլը։ Գրի՛ր ստացված տատանման հավասարումը։

Լուծում. 1. Հարմոնիկ տատանումների հավասարումն ունի ձևը

Խնդրի պայմանում տրված հավասարումները փոխակերպենք նույն ձևի.

(2) արտահայտությունների (1) հավասարության համեմատությունից մենք գտնում ենք առաջին և երկրորդ տատանումների սկզբնական փուլերը.

Ուրախ և ուրախ.

2. Ամպլիտուդը որոշելու համար ԲԱՅՑարդյունքում ստացված տատանումներից, հարմար է օգտագործել ներկայացված վեկտորային դիագրամը բրինձ. 6.4. Համաձայն կոսինուսի թեորեմի՝ ստանում ենք

որտեղ է տատանման բաղադրիչների փուլային տարբերությունը.Քանի որ , ապա, փոխարինելով հայտնաբերված φ 2 և φ 1 արժեքները, մենք ստանում ենք ռադ:

Փոխարինեք արժեքները ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 և ձևակերպեք (3) և կատարեք հաշվարկները.

Ա= 2,65 սմ.

Ստացված տատանումների սկզբնական φ փուլի φ շոշափողը կարող է որոշվել անմիջապես Նկ. 6.4: , որտեղից էլ սկզբնական փուլը

Հարմոնիկ թրթռումները թրթռանքներ են, որոնցում ֆիզիկական քանակությունժամանակի ընթացքում փոխվում է ներդաշնակ (սինուսոիդային, կոսինուսային) օրենքի համաձայն։ Հարմոնիկ տատանումների հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
X(t) = A∙cos(ω t+φ)
կամ
X(t) = A∙sin(ω t+φ)

X - t ժամանակի հավասարակշռության դիրքից շեղում
A - տատանումների լայնություն, A-ի չափը նույնն է, ինչ X-ի չափը
ω - ցիկլային հաճախականություն, ռադ/վ (ռադիաններ վայրկյանում)
φ - նախնական փուլ, ռադ
t - ժամանակ, ս
T - տատանումների ժամանակաշրջան, ս
f - տատանումների հաճախականություն, Հց (Հերց)
π - հաստատուն մոտավորապես հավասար է 3,14, 2π=6,28

Տատանումների ժամանակաշրջանը, հաճախականությունը հերցում և ցիկլային հաճախականությունը կապված են հարաբերություններով:
ω=2πf, T=2π/ω, f=1/T, f=ω/2π
Այս հարաբերությունները հիշելու համար հարկավոր է հասկանալ հետևյալը.
ω, f, T պարամետրերից յուրաքանչյուրը եզակիորեն որոշում է մյուսներին։ Տատանումները նկարագրելու համար բավական է օգտագործել այս պարամետրերից մեկը:

T պարբերությունը մեկ տատանման ժամանակն է, հարմար է այն օգտագործել տատանումների գրաֆիկները գծելու համար։
Ցիկլային հաճախականություն ω - օգտագործվում է տատանումների հավասարումները գրելու համար, թույլ է տալիս կատարել մաթեմատիկական հաշվարկներ։
Հաճախականություն f - տատանումների թիվը մեկ միավորի ժամանակի համար, օգտագործվում է ամենուր: Հերցով մենք չափում ենք ռադիոների լարման հաճախականությունը, ինչպես նաև բջջային հեռախոսների տիրույթը: Երաժշտական ​​գործիքները լարելիս լարերի թրթռումների հաճախականությունը չափվում է հերցով։

(ωt+φ) արտահայտությունը կոչվում է տատանման փուլ, իսկ φ-ի արժեքը՝ սկզբնական փուլ, քանի որ այն հավասար է տատանման փուլին t=0 պահին։

Սինուսի և կոսինուսի գործառույթները նկարագրում են կողմերի հարաբերությունները ուղղանկյուն եռանկյուն. Հետեւաբար, շատերը չեն հասկանում, թե ինչպես են այդ գործառույթները կապված ներդաշնակ տատանումների հետ: Այս հարաբերությունը ցուցադրվում է միատեսակ պտտվող վեկտորով: Միատեսակ պտտվող վեկտորի պրոյեկցիան կատարում է ներդաշնակ տատանումներ։
Ստորև նկարը ցույց է տալիս երեք ներդաշնակ տատանումների օրինակ: Հաճախականությամբ հավասար, բայց փուլով և ամպլիտուդով տարբեր:

Սկզբնական փուլի ընտրությունը թույլ է տալիս ներդաշնակ տատանումները նկարագրելիս սինուսային ֆունկցիայից անցնել կոսինուսի ֆունկցիայի.

Ընդհանրացված ներդաշնակ տատանում դիֆերենցիալ ձևով.

Որպեսզի ներդաշնակ օրենքի համաձայն ազատ տատանումներ տեղի ունենան, անհրաժեշտ է, որ մարմինը հավասարակշռության դիրք վերադարձնելու հակված ուժը համաչափ լինի մարմնի տեղափոխմանը հավասարակշռության դիրքից և ուղղված լինի տեղաշարժին հակառակ ուղղությամբ։ :

որտեղ է տատանվող մարմնի զանգվածը.

Ֆիզիկական համակարգը, որում կարող են գոյություն ունենալ ներդաշնակ տատանումներ, կոչվում է ներդաշնակ տատանվող,իսկ ներդաշնակ տատանումների հավասարումն է ներդաշնակ տատանվող հավասարումը.

1.2. Թրթռումների ավելացում

Հազվադեպ չէ, երբ համակարգը միաժամանակ մասնակցում է երկու կամ ավելի անկախ տատանումների: Այս դեպքերում ձևավորվում է տատանողական բարդ շարժում, որն առաջանում է թրթիռները միմյանց վրա դնելով (ավելացնելով): Ակնհայտ է, որ տատանումների գումարման դեպքերը կարող են լինել շատ բազմազան։ Դրանք կախված են ոչ միայն ավելացված տատանումների քանակից, այլ նաև տատանումների պարամետրերից, դրանց հաճախականություններից, փուլերից, ամպլիտուդներից, ուղղություններից։ Հնարավոր չէ վերանայել տատանումների գումարման դեպքերի բոլոր հնարավոր բազմազանությունը, հետևաբար մենք կսահմանափակվենք միայն առանձին օրինակներ դիտարկելով:

Հարմոնիկ տատանումների ավելացում՝ ուղղված մեկ ուղիղ գծով

Դիտարկենք նույն ժամանակահատվածի հավասարապես ուղղորդված տատանումների ավելացումը, որոնք տարբերվում են սկզբնական փուլով և ամպլիտուդով: Ավելացված տատանումների հավասարումները տրված են հետևյալ ձևով.

որտեղ և կան տեղաշարժեր; և ամպլիտուդներն են. և ավելացված տատանումների սկզբնական փուլերն են։

Նկ.2.

Ստացված տատանման ամպլիտուդը հարմար է որոշել վեկտորային դիագրամի միջոցով (նկ. 2), որի վրա ամպլիտուդների և ամփոփված տատանումների վեկտորները գծագրված են անկյուններով և առանցքի վրա, իսկ ընդհանուր տատանման ամպլիտուդային վեկտորը ստացվում է. զուգահեռագծի կանոնը.

Եթե ​​մենք հավասարաչափ պտտենք վեկտորների համակարգը (զուգահեռագիծ) և վեկտորները նախագծենք առանցքի վրա. , ապա դրանց պրոյեկցիաները կկատարեն ներդաշնակ տատանումներ՝ համապատասխան տրված հավասարումներ. Վեկտորների փոխադարձ դասավորությունը և միևնույն ժամանակ մնում է անփոփոխ, ուստի ստացված վեկտորի պրոյեկցիայի տատանողական շարժումը նույնպես ներդաշնակ կլինի:

Սա ենթադրում է եզրակացություն, որ ընդհանուր շարժումը ներդաշնակ տատանում է, որն ունի տվյալ ցիկլային հաճախականություն: Մենք սահմանում ենք ամպլիտուդի մոդուլը ԲԱՅՑարդյունքում տատանում. Անկյունի մեջ (զուգահեռագծի հակառակ անկյունների հավասարությունից):

հետևաբար,

այստեղից: .

Համաձայն կոսինուսի թեորեմի՝

Ստացված տատանումների սկզբնական փուլը որոշվում է.

Ֆազի և ամպլիտուդի փոխհարաբերությունները հնարավորություն են տալիս գտնել ստացված շարժման ամպլիտուդը և սկզբնական փուլը և կազմել դրա հավասարումը.

ծեծում է

Եկեք դիտարկենք այն դեպքը, երբ երկու ավելացված տատանումների հաճախականությունները քիչ են տարբերվում միմյանցից, և թող ամպլիտուդները լինեն նույնը, իսկ սկզբնական փուլերը, այսինքն.

Մենք վերլուծական կերպով ավելացնում ենք այս հավասարումները.

Եկեք փոխակերպվենք

Բրինձ. 3.

Քանի որ այն դանդաղ է փոխվում, արժեքը չի կարելի անվանել ամպլիտուդ բառի ամբողջական իմաստով (ամպլիտուդան հաստատուն արժեք է)։ Պայմանականորեն, այս արժեքը կարելի է անվանել փոփոխական ամպլիտուդ: Նման տատանումների գրաֆիկը ներկայացված է Նկ.3-ում: Ավելացված տատանումները ունեն նույն ամպլիտուդները, բայց տարբեր ժամանակաշրջաններ, մինչդեռ պարբերությունները և մի փոքր տարբերվում են միմյանցից: Նման տատանումներ ավելացնելիս նկատվում են հարվածներ։ Վայրկյանում զարկերի քանակը որոշվում է ավելացված տատանումների հաճախականությունների տարբերությամբ, այսինքն.

Բիթերը կարող են դիտվել, երբ հնչում են երկու կարգավորիչ պատառաքաղներ, եթե հաճախականությունները և թրթռումները մոտ են միմյանց:

Փոխադարձ ուղղահայաց տատանումների գումարում

Թող նյութական կետմիաժամանակ մասնակցում է երկու ներդաշնակ տատանումների, որոնք տեղի են ունենում նույն պարբերություններով երկու փոխադարձ ուղղահայաց ուղղություններով: Այս ուղղությունները կարող են կապված լինել ուղղանկյուն համակարգկոորդինատները՝ սկզբնակետը դնելով կետի հավասարակշռության դիրքում: Նշենք C կետի տեղաշարժը առանցքների և համապատասխանաբար և միջով . (նկ. 4):

Դիտարկենք մի քանի հատուկ դեպքեր.

1). Տատանումների սկզբնական փուլերը նույնն են

Հետհաշվարկի սկզբի պահն ընտրենք այնպես, որ երկու տատանումների սկզբնական փուլերը հավասար լինեն զրոյի։ Այնուհետև առանցքների երկայնքով տեղաշարժերը և կարող են արտահայտվել հավասարումներով.

Այս հավասարությունները բաժանելով տերմին առ անդամ՝ ստանում ենք C կետի հետագծի հավասարումները.
կամ .

Հետևաբար, երկու փոխադարձ ուղղահայաց տատանումների ավելացման արդյունքում Գ կետը տատանվում է սկզբնակետով անցնող ուղիղ հատվածով (նկ. 4)։

Բրինձ. չորս.

2). Սկզբնական փուլային տարբերությունն է :

Տատանումների հավասարումները այս դեպքում ունեն ձև.

Կետային հետագծի հավասարում.

Հետևաբար, C կետը տատանվում է ուղիղ հատվածի երկայնքով, որն անցնում է սկզբնակետով, բայց գտնվում է այլ քառակուսիներում, քան առաջին դեպքում: Լայնություն ԲԱՅՑերկու դիտարկված դեպքերում էլ արդյունքում տատանումները հավասար են.

3). Սկզբնական փուլային տարբերությունն է .

Տատանումների հավասարումները ունեն ձև.

Առաջին հավասարումը բաժանեք, իսկ երկրորդը՝.

Երկու հավասարությունները քառակուսի ենք դնում և ավելացնում։ Ստացված տատանվող կետի շարժման հետագծի համար ստանում ենք հետևյալ հավասարումը.

C տատանվող կետը շարժվում է կիսաառանցքներով էլիպսի երկայնքով և . Հավասար ամպլիտուդներով ընդհանուր շարժման հետագիծը կլինի շրջան: Ընդհանուր դեպքում, համար, բայց բազմապատիկ, այսինքն. , փոխադարձ ուղղահայաց տատանումներ ավելացնելիս, տատանվող կետը շարժվում է կորերի երկայնքով, որոնք կոչվում են Lissajous թվեր։

Lissajous գործիչներ

Lissajous-ի գործիչներ- փակ հետագծեր, որոնք գծված են մի կետով, որը միաժամանակ կատարում է երկու ներդաշնակ տատանումներ երկու փոխադարձ ուղղահայաց ուղղություններով:

Առաջին անգամ ուսումնասիրվել է ֆրանսիացի գիտնական Ժյուլ Անտուան ​​Լիսաժոյի կողմից: Նկարների ձևը կախված է երկու տատանումների ժամանակաշրջանների (հաճախականությունների), փուլերի և ամպլիտուդների փոխհարաբերությունից(նկ. 5):

Նկ.5.

Երկու պարբերաշրջանների հավասարության ամենապարզ դեպքում թվերը էլիպսեր են, որոնք փուլային տարբերությամբ կամ այլասերվում են գծային հատվածների, իսկ փուլային տարբերությամբ և ամպլիտուդների հավասարությամբ վերածվում են շրջանագծի։ Եթե ​​երկու տատանումների ժամանակաշրջանները ճշգրիտ չեն համընկնում, ապա փուլային տարբերությունը անընդհատ փոխվում է, ինչի արդյունքում էլիպսը անընդհատ դեֆորմացվում է։ Երբ զգալիորեն տարբեր ժամանակաշրջաններ Lissajous թվերը չեն նկատվում: Այնուամենայնիվ, եթե ժամանակաշրջանները կապված են որպես ամբողջ թվեր, ապա երկու պարբերաշրջանների ամենափոքր բազմապատիկին հավասար ժամանակային միջակայքից հետո շարժվող կետը նորից վերադառնում է նույն դիրքին. ստացվում են ավելի բարդ ձևի Lissajous թվեր:
Lissajous-ի ֆիգուրները տեղավորվում են ուղղանկյունի մեջ, որի կենտրոնը համընկնում է կոորդինատների սկզբնավորման հետ, իսկ կողմերը զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին և գտնվում են դրանց երկու կողմերում՝ տատանումների ամպլիտուդներին հավասար հեռավորությունների վրա (նկ. 6):