Դեկարտյան կոորդինատների ներդրումը տարածության մեջ. Կետերի միջև հեռավորությունը. Հատվածի կեսի կոորդինատները.

Դասի նպատակները.

Ուսումնական: Դիտարկենք կոորդինատային համակարգի և տարածության կետի կոորդինատների հայեցակարգը. դուրս բերել հեռավորության բանաձևը կոորդինատներով. ստացիր հատվածի միջնակետի կոորդինատների բանաձևը.

Զարգացող: Նպաստել ուսանողների տարածական երևակայության զարգացմանը. նպաստել խնդիրների լուծմանը և ուսանողների տրամաբանական մտածողության զարգացմանը:

Ուսումնական: Դաստիարակություն ճանաչողական գործունեություն, պատասխանատվության զգացում, հաղորդակցության մշակույթ, երկխոսության մշակույթ։

Սարքավորումներ. Նկարչական պարագաներ, շնորհանդես, DER

Դասի տեսակը. Դաս սովորելու նոր նյութ

Դասի կառուցվածքը.

Կազմակերպման ժամանակ.

Հիմնական գիտելիքների թարմացում.

Նոր նյութ սովորելը.

Նոր գիտելիքների թարմացում

Դասի ամփոփում.

Դասերի ժամանակ

Պատմությունից հաղորդագրություն Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ»(Ուսանող)

Երկրաչափական, ֆիզիկական, քիմիական խնդիրԿարող եք օգտագործել տարբեր կոորդինատային համակարգեր՝ ուղղանկյուն, բևեռային, գլանաձև, գնդաձև:

Հանրակրթական դասընթացն ուսումնասիրում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հարթության վրա և տարածության մեջ։ Հակառակ դեպքում այն ​​կոչվում է Դեկարտյան կոորդինատային համակարգ՝ ի պատիվ ֆրանսիացի փիլիսոփա Ռենե Դեկարտի (1596 - 1650), ով առաջին անգամ ներմուծեց կոորդինատները երկրաչափություն։

(Ուսանողի պատմություն Ռենե Դեկարտի մասին):

Ռենե Դեկարտը ծնվել է 1596 թվականին Ֆրանսիայի հարավում գտնվող Լա քաղաքում, ազնվական ընտանիքում։ Հայրս ուզում էր Ռենեից սպա սարքել։ Դրա համար 1613 թվականին նա Ռենեին ուղարկեց Փարիզ։ Երկար տարիներ Դեկարտը ստիպված էր մնալ բանակում, մասնակցել ռազմական արշավներին Հոլանդիայում, Գերմանիայում, Հունգարիայում, Չեխիայում, Իտալիայում, Լա Ռոշալ Հուգենոտ ամրոցի պաշարման մեջ: Բայց Ռենեն հետաքրքրված էր փիլիսոփայությամբ, ֆիզիկայով և մաթեմատիկայով։ Փարիզ ժամանելուց անմիջապես հետո նա հանդիպեց Վիետայի աշակերտին՝ այն ժամանակվա ականավոր մաթեմատիկոս Մերսենին, իսկ հետո՝ ֆրանսիացի այլ մաթեմատիկոսների հետ։ Լինելով բանակում՝ Դեկարտը բոլորն իր ազատ ժամանակնվիրված մաթեմատիկային։ Սովորել է գերմանական հանրահաշիվ, ֆրանսիական և հունական մաթեմատիկա։

1628 թվականին Լա Ռոշալիի գրավումից հետո Դեկարտը թողնում է բանակը։ Նա մենակյաց կյանք է վարում՝ գիտական ​​աշխատանքի պլանավորված ծավալուն ծրագրերն իրականացնելու համար։

Դեկարտը իր ժամանակի մեծագույն փիլիսոփա և մաթեմատիկոս էր։ Դեկարտի ամենահայտնի ստեղծագործությունը նրա Երկրաչափությունն է։ Դեկարտը ներկայացրեց կոորդինատների համակարգը, որն այսօր օգտագործում են բոլորը: Նա համապատասխանություն հաստատեց թվերի և ուղիղ հատվածների միջև և այդպիսով ներմուծեց հանրահաշվական մեթոդը երկրաչափություն։ Դեկարտի այս հայտնագործությունները հսկայական խթան հաղորդեցին ինչպես երկրաչափության, այնպես էլ մաթեմատիկայի ու օպտիկայի այլ ճյուղերի զարգացմանը։ Հնարավոր է դարձել մեծությունների կախվածությունը պատկերել գրաֆիկորեն կոորդինատային հարթություն, թվեր՝ հատվածներ և կատարում են թվաբանական գործողություններ հատվածների և այլ երկրաչափական մեծությունների, ինչպես նաև տարբեր ֆունկցիաների վրա։ Դա բոլորովին նոր մեթոդ էր, որն առանձնանում էր գեղեցկությամբ, շնորհքով ու պարզությամբ։

Կրկնություն. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա:

Հարցեր.

Ի՞նչ է կոորդինատային համակարգը հարթության մեջ:

Ինչպե՞ս են որոշվում հարթության վրա գտնվող կետի կոորդինատները:

Որո՞նք են ծագման կոորդինատները:

Ո՞րն է հատվածի միջնակետի կոորդինատների և հարթության կետերի միջև եղած հեռավորության բանաձևը:

Նոր նյութ սովորելը.

Տիեզերքում ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ընդհանուր ծագմամբ փոխադարձ ուղղահայաց կոորդինատային գծերի եռակի է: Ընդհանուր ծագումը նշվում է տառովՕ.

Օ - abscissa,

Oh - y առանցքը,

Օզ- կիրառական առանցք

Երեք հարթություններ, որոնք անցնում են Ox և Oy, Oy և O կոորդինատային առանցքներովզ, Օզև Ox-ը կոչվում են կոորդինատային հարթություններ՝ Oxy, Oyզ, ՕզX.

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տարածության յուրաքանչյուր կետ M կապված է թվերի եռակի՝ դրա կոորդինատների հետ:

M (x, y,զ), որտեղ x-ը աբսցիսա է, y-ը օրդինատն է,զ- դիմում.

Կոորդինատների համակարգ տիեզերքում

Կետերի կոորդինատները

Կետերի միջև հեռավորությունը

1 (x 1 ;y 1 ;զ 1 ) և Ա 2 (x 2 ;y 2 ;զ 2 )

Այնուհետեւ A կետերի միջեւ հեռավորությունը 1 և Ա 2 հաշվարկվում է այսպես.

Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները

Երկու կամայական կետ կա Ա 1 (x 1 ;y 1 ;զ 1 ) և Ա 2 (x 2 ;y 2 ;զ 2 ) Այնուհետև Ա հատվածի միջնակետը 1 Ա 2 կլինի C կետ x, y, z կոորդինատներով, որտեղ

Որոշում կայացնելու հմտությունների ձեռքբերում.

1) Գտեք կոորդինատները ուղղանկյուն կանխատեսումներմիավորներԱ (1, 3, 4) և

Բ (5, -6, 2) դեպի՝

ԻնքնաթիռՕքսի ; բ) ինքնաթիռՕյզ ; գ) առանցքԵզ ; դ) առանցքՕզ .

Պատասխան՝ ա) (1, 3, 0), (5, -6, 0); բ) (0, 3, 4), (0, -6, 2); գ) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

դ) (0, 0, 4), (0, 0, 2):

2) Որքա՞ն հեռու է կետըԱ (1, -2, 3) կոորդինատային հարթությունից.

ա)Օքսի ; բ)Օքսզ ; մեջ)Օյզ ?

Պատասխան՝ ա) 3; բ) 2; 1-ում

3) Գտե՛ք հատվածի միջնամասի կոորդինատները.

ա)ԱԲ , եթեԱ (1, 2, 3) ևԲ (-1, 0, 1); բ)CD , եթեԳ (3, 3, 0) ևԴ (3, -1, 2).

Պատասխան՝ ա) (1, 1, 2); բ) (3, 1, 1):

5. Տնային առաջադրանք. Ա.Վ.Պոգորելովի «Երկրաչափություն 10-11» դասագիրք էջ 23 - 25, էջ 53 պատասխան թիվ 1 - 3 հարցերին; №7, №10(1)

6. Դասի արդյունքը.

Աղյուսակ

Մակերեւույթի վրա

Տիեզերքում

Սահմանում. Կոորդինատային համակարգը երկու հատվող կոորդինատային առանցքների բազմություն է, որտեղ այդ առանցքները հատվում են՝ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը և առանցքներից յուրաքանչյուրի միավոր հատվածները։

Սահմանում. Կոորդինատային համակարգը երեք կոորդինատային առանցքների ամբողջություն է, որտեղ այդ առանցքները հատվում են՝ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, և առանցքներից յուրաքանչյուրի միավոր հատվածները։

2 կացին,

OU - y առանցք,

OX - abscissa առանցք

3 առանցք,

OX - abscissa առանցք,

ОУ – y առանցք,

OZ - կիրառական առանցք:

OX-ը ուղղահայաց է OU-ին

OX-ը ուղղահայաց է OU-ին,

OX-ը ուղղահայաց է OZ-ին,

OU-ն ուղղահայաց է OZ-ին

(Օհ; Օհ)

(OOO)

Ուղղություն, մեկ գիծ

Կետերի միջև հեռավորությունը.

Կետերի միջև հեռավորությունը

Հատվածի կեսի կոորդինատները.

Միջին կետի կոորդինատները

Հարցեր.

Ինչպես մտնել դեկարտյան համակարգկոորդինատները Ինչից է այն բաղկացած:

Ինչպե՞ս են որոշվում տարածության կետի կոորդինատները:

Որքա՞ն է կոորդինատային առանցքների հատման կետի կոորդինատը:

Որքա՞ն է հեռավորությունը կոորդինատների սկզբնակետից մինչև տվյալ կետը:

Ո՞րն է հատվածի միջնակետի կոորդինատների և տարածության կետերի միջև եղած հեռավորության բանաձևը:

Ուսանողների գնահատում

7. Անդրադարձ

Դասի վրա

Ես գտա, որ …

սովորեցի…

Ինձ դուր է գալիս…

Ես դժվարանում էի...

Իմ տրամադրությունը…

գրականություն.

Ա.Վ. Պոգորելով. Ձեռնարկ 10-11. M. «Լուսավորություն», 2010 թ

Ի.Ս. Պետրակովը։ Մաթեմատիկական շրջանակներ 8-10-րդ դասարաններում. Մ, «Լուսավորություն», 1987

Ստորև բերված հոդվածում կքննարկվեն հատվածի միջին կոորդինատները գտնելու հարցերը նրա կոորդինատների առկայության դեպքում որպես սկզբնական տվյալներ։ ծայրահեղ կետեր. Բայց մինչ հարցի ուսումնասիրությանը անցնելը ներկայացնում ենք մի շարք սահմանումներ.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Սահմանում 1

Գծային հատված- երկու կամայական կետեր միացնող ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է հատվածի ծայրեր: Որպես օրինակ, թող դրանք լինեն A և B կետերը և, համապատասխանաբար, A B հատվածը:

Եթե ​​A B հատվածը շարունակվի երկու ուղղություններով A և B կետերից, ապա կստանանք A B ուղիղ գիծ: Այնուհետև A B հատվածը ստացված ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է A և B կետերով: A B հատվածը միավորում է A և B կետերը, որոնք նրա ծայրերն են, ինչպես նաև դրանց միջև ընկած կետերի բազմությունը: Եթե, օրինակ, վերցնենք ցանկացած կամայական K կետ, որը գտնվում է A և B կետերի միջև, ապա կարող ենք ասել, որ K կետը գտնվում է A B հատվածի վրա:

Սահմանում 2

Կտրեք երկարությունըտրված մասշտաբով հատվածի ծայրերի միջև հեռավորությունն է (միավոր երկարության հատված): A B հատվածի երկարությունը նշում ենք հետևյալ կերպ՝ A B .

Սահմանում 3

միջնակետԳծային հատվածի մի կետ, որը հավասար է նրա ծայրերից: Եթե ​​A B հատվածի կեսը նշանակվի C կետով, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ A C \u003d C B

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային O x և դրա վրա անհամապատասխան կետեր՝ A և B: Այս կետերը համապատասխանում են իրական թվերին x Ա և x Բ. C կետը A B հատվածի միջնակետն է. անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը x C.

Քանի որ C կետը A B հատվածի միջնակետն է, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ | A C | = | Գ Բ | . Կետերի միջև հեռավորությունը որոշվում է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլով, այսինքն.

| A C | = | Գ Բ | ⇔ x C - x A = x B - x C

Այնուհետև հնարավոր է երկու հավասարություն՝ x C - x A = x B - x C և x C - x A = - (x B - x C)

Առաջին հավասարությունից մենք ստանում ենք բանաձև C կետի կոորդինատի համար. x C \u003d x A + x B 2 (հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը):

Երկրորդ հավասարությունից ստանում ենք՝ x A = x B , ինչը անհնար է, քանի որ սկզբնական տվյալների մեջ՝ անհամապատասխան կետեր: Այս կերպ, A (x A) ծայրերով A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշելու բանաձևը. B (xB):

Ստացված բանաձեւը հիմք կհանդիսանա հարթության վրա կամ տարածության վրա հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշելու համար։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y հարթության վրա, երկու կամայական չհամընկնող կետեր՝ տրված A x A, y A և B x B, y B կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջնակետն է: C կետի համար անհրաժեշտ է որոշել x C և y C կոորդինատները:

Վերլուծության համար վերցնենք այն դեպքը, երբ A և B կետերը չեն համընկնում և չեն գտնվում նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ A x, A y; B x, B y և C x, C y - A, B և C կետերի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա (ուղիղ գծեր O x և O y):

Ըստ կառուցման՝ A A x, B B x, C C x ուղիղները զուգահեռ են; գծերը նույնպես զուգահեռ են միմյանց: Սրա հետ մեկտեղ, ըստ Թալեսի թեորեմի, A C \u003d C B հավասարությունից հետևում են հավասարությունները՝ A x C x \u003d C x B x և A y C y \u003d C y B y, և նրանք, իր հերթին, նշեք, որ C x կետը A x B x հատվածի միջինն է, իսկ C y-ը A y B y հատվածի միջինն է: Եվ հետո, հիմնվելով ավելի վաղ ստացված բանաձևի վրա, մենք ստանում ենք.

x C = x A + x B 2 և y C = y A + y B 2

Նույն բանաձևերը կարող են օգտագործվել այն դեպքում, երբ A և B կետերը գտնվում են նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա: Մենք այս դեպքի մանրամասն վերլուծություն չենք անցկացնի, այն կդիտարկենք միայն գրաֆիկորեն.

Ամփոփելով վերը նշված բոլորը՝ A B հատվածի կեսի կոորդինատները հարթության վրա ծայրերի կոորդինատներով A (x A, y A) և B(x B, y B) սահմանվում է որպես:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային համակարգ О x y z և երկու կամայական կետեր A (x A, y A, z A) և B (x B, y B, z B) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է որոշել C կետի կոորդինատները, որը A B հատվածի միջինն է:

A x, A y, A z; B x , B y , B z և C x , C y , C z բոլորի կանխատեսումներ են տրված միավորներկոորդինատային համակարգի առանցքի վրա։

Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ հավասարությունները ճշմարիտ են՝ A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Հետևաբար, C x, C y, C z կետերը համապատասխանաբար A x B x, A y B y, A z B z հատվածների միջնակետերն են: Հետո, Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները որոշելու համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Ստացված բանաձևերը կիրառելի են նաև այն դեպքերում, երբ A և B կետերը գտնվում են կոորդինատային գծերից մեկի վրա. առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա; մեկ կոորդինատային հարթությունում կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին ուղղահայաց հարթությունում:

Հատվածի միջին հատվածի կոորդինատների որոշում նրա ծայրերի շառավղային վեկտորների կոորդինատների միջոցով

Հատվածի միջին կոորդինատները գտնելու բանաձևը կարող է ստացվել նաև ըստ վեկտորների հանրահաշվական մեկնաբանության։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ O x y, կետեր՝ A (x A, y A) և B (x B, x B) կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջնակետն է:

Ըստ վեկտորների վրա գործողությունների երկրաչափական սահմանման՝ ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ O C → = 1 2 · O A → + O B → . C կետն այս դեպքում O A → և O B → վեկտորների հիման վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է, այսինքն. անկյունագծերի կեսի կետը Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները հավասար են կետի կոորդինատներին, ապա ճիշտ են հավասարությունները՝ O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y Բ) . Կատարենք մի քանի գործողություններ վեկտորների վրա կոորդինատներով և ստացենք.

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Հետևաբար, C կետն ունի կոորդինատներ.

x A + x B 2, y A + y B 2

Անալոգիայով սահմանվում է բանաձև՝ տարածության մեջ հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու համար.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Վերևում ստացված բանաձևերի օգտագործումը ներառող առաջադրանքների թվում կան և՛ այնպիսիք, որոնցում հարցն ուղղակիորեն պետք է հաշվարկի հատվածի կեսի կոորդինատները, և՛ նրանք, որոնք ներառում են տվյալ պայմանները այս հարցին բերելը. «միջին» տերմինը: հաճախ օգտագործվում է, նպատակը հատվածի ծայրերից մեկի կոորդինատները գտնելն է, ինչպես նաև համաչափության վերաբերյալ խնդիրներ, որոնց լուծումն ընդհանուր առմամբ նույնպես չպետք է դժվարություններ առաջացնի այս թեման ուսումնասիրելուց հետո։ Դիտարկենք բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ.հարթության վրա՝ A (- 7, 3) և B (2, 4) կոորդինատներով կետեր: Անհրաժեշտ է գտնել A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները։

Լուծում

A B հատվածի կեսը նշանակենք C կետով: Դրա կոորդինատները կորոշվեն որպես հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը, այսինքն. A և B կետերը.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Պատասխանել A B հատվածի կեսի կոորդինատները - 5 2, 7 2:

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ.Հայտնի են A B C եռանկյան կոորդինատները՝ A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) ։ Անհրաժեշտ է գտնել A M միջնագծի երկարությունը:

Լուծում

1. Խնդրի պայմանով A M-ը միջինն է, ինչը նշանակում է, որ M-ը B C հատվածի միջնակետն է: Առաջին հերթին, մենք գտնում ենք B C հատվածի կեսի կոորդինատները, այսինքն. M միավոր:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Քանի որ մենք այժմ գիտենք մեդիանայի երկու ծայրերի կոորդինատները (կետեր A և M), մենք կարող ենք օգտագործել բանաձևը կետերի միջև հեռավորությունը որոշելու և A M միջնայի երկարությունը հաշվարկելու համար.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Պատասխան. 58

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ.Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված է զուգահեռականաչափ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1: Տրված են C 1 (1, 1, 0) կետի կոորդինատները, և սահմանվում է M կետը, որը B D 1 անկյունագծի միջնակետն է և ունի M (4, 2, - 4) կոորդինատները: Անհրաժեշտ է հաշվարկել Ա կետի կոորդինատները։

Լուծում

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, որը բոլոր անկյունագծերի միջնակետն է: Ելնելով այս պնդումից՝ կարող ենք նկատի ունենալ, որ խնդրի պայմաններով հայտնի M կետը А С 1 հատվածի միջինն է։ Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները գտնելու բանաձևի հիման վրա մենք գտնում ենք A կետի կոորդինատները՝ x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Պատասխան. A կետի կոորդինատները (7, 3, - 8) .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Շատ հաճախ C2 խնդրի մեջ պահանջվում է աշխատել հատվածը կիսով չափ բաժանող կետերի հետ: Նման կետերի կոորդինատները հեշտությամբ հաշվարկվում են, եթե հայտնի են հատվածի ծայրերի կոորդինատները։

Այսպիսով, թող հատվածը տրվի իր ծայրերով՝ A \u003d (x a; y a; z a) և B \u003d (x b; y b; z b) կետերով: Այնուհետև հատվածի կեսի կոորդինատները - մենք այն նշում ենք H կետով - կարելի է գտնել բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, հատվածի միջնամասի կոորդինատները նրա ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականն են:

· Առաջադրանք . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 միավորի խորանարդը տեղադրվում է կոորդինատային համակարգում այնպես, որ x, y և z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի երկայնքով, և սկզբնաղբյուրը համընկնում է A կետի հետ: K կետը A 1 B եզրի միջնակետը մեկ: Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները:

Լուծում. Քանի որ K կետը A 1 B 1 հատվածի միջինն է, դրա կոորդինատները հավասար են ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականին։ Եկեք գրենք ծայրերի կոորդինատները՝ A 1 = (0; 0; 1) և B 1 = (1; 0; 1): Այժմ եկեք գտնենք K կետի կոորդինատները.

Պատասխանել K = (0.5; 0; 1)

· Առաջադրանք . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 միավորի խորանարդը տեղադրվում է կոորդինատների համակարգում այնպես, որ x, y և z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի երկայնքով, իսկ սկզբնաղբյուրը համընկնում է A կետի հետ: Գտեք կոորդինատները: L կետի, որտեղ նրանք հատում են A 1 B 1 C 1 D 1 քառակուսու անկյունագծերը:

Լուծում. Պլանաչափության ընթացքից հայտնի է, որ քառակուսու անկյունագծերի հատման կետը հավասար է նրա բոլոր գագաթներից։ Մասնավորապես, A 1 L = C 1 L, այսինքն. L կետը A 1 C 1 հատվածի միջնակետն է: Բայց A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), ուստի մենք ունենք.

Պատասխանել L = (0.5; 0.5; 1)

Անալիտիկ երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները.
Գործողություններ վեկտորների հետ կոորդինատներում

Առաջադրանքները, որոնք կքննարկվեն, շատ ցանկալի է սովորել, թե ինչպես լուծել դրանք ամբողջությամբ ավտոմատ կերպով, և բանաձևերը. անգիր անել, նույնիսկ դիտմամբ մի հիշեք, նրանք իրենք կհիշեն =) Սա շատ կարևոր է, քանի որ ամենապարզ տարրական օրինակներԱնալիտիկ երկրաչափության այլ խնդիրներ հիմնված են, և զայրացնող կլինի լրացուցիչ ժամանակ հատկացնել գրավատներին ուտելու վրա: Շապիկի վերևի կոճակները պետք չէ ամրացնել, շատ բաներ քեզ ծանոթ են դպրոցից։

Նյութի ներկայացումը կանցնի զուգահեռ ընթացքով՝ և՛ հարթության, և՛ տիեզերքի համար: Այն պատճառով, որ բոլոր բանաձեւերը ... դուք ինքներդ կտեսնեք:

Թող A (X 1; y 1) և B (x 2; y 2) երկու կամայական կետեր լինեն, իսկ C (x; y) AB հատվածի միջնակետը: Գտե՛ք C կետի x, y կոորդինատները։

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ AB հատվածը զուգահեռ չէ y առանցքին, այսինքն՝ X 1 X 2: Եկեք ուղիղ գծեր գծենք A, B, C կետերի միջով՝ y առանցքին զուգահեռ (նկ. 173): Նրանք կանցնեն x առանցքը A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0) կետերում: Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ C 1 կետը կլինի A 1 B 1 հատվածի միջնակետը։

Քանի որ C 1 կետը AiBi հատվածի միջինն է, ապա A 1 C 1 \u003d B 1 C 1, ինչը նշանակում է, որ Ix - X 1 I \u003d Ix - X 2 I: Հետևում է, որ կամ x - x 1 \ u003d x - x 2, կամ (x - x 1) \u003d - (x-x 2):
Առաջին հավասարությունն անհնար է, քանի որ x 1 x 2: Հետեւաբար, երկրորդը ճիշտ է. Եվ դրանից բխում է բանաձեւը

Եթե ​​x 1 \u003d x 2, այսինքն, AB հատվածը զուգահեռ է y առանցքին, ապա բոլոր երեք կետերը A 1, B 1, C 1 ունեն նույն աբսցիսա: Այսպիսով, բանաձևը այս դեպքում ևս մնում է ճշմարիտ.
Գ կետի օրդինատը նույնպես հանդիպում է. A, B, C կետերով գծվում են x-առանցքին զուգահեռ ուղիղներ: Ստացվում է բանաձեւը

Խնդիր (15). Տրված են ABCD զուգահեռագծի երեք գագաթներ՝ A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2): Գտե՛ք չորրորդ D գագաթի կոորդինատները և անկյունագծերի հատման կետերը:

Լուծում. Անկյունագծերի հատման կետը նրանցից յուրաքանչյուրի միջնակետն է: Հետևաբար, դա AC հատվածի միջնակետն է, ինչը նշանակում է, որ այն ունի կոորդինատներ

Այժմ, իմանալով անկյունագծերի հատման կետի կոորդինատները, մենք գտնում ենք չորրորդ D գագաթի x, y կոորդինատները: Օգտագործելով այն փաստը, որ անկյունագծերի հատման կետը BD հատվածի միջնակետն է, մենք ունենք.

A. V. Pogorelov, Երկրաչափություն 7-11-րդ դասարանների համար, Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար

• Հատվածի կեսի կոորդինատները.

Դասի նպատակները

• Ընդլայնեք հասկացությունների ձեր հորիզոնները:
• Ծանոթացե՛ք նոր սահմանումներին և հիշե՛ք արդեն ուսումնասիրված մի քանիսը։
• Սովորեք կիրառել ձևերի հատկությունները խնդիրներ լուծելիս:
• Զարգացնող - զարգացնել ուսանողների ուշադրությունը, հաստատակամությունը, հաստատակամությունը, տրամաբանական մտածողություն, մաթեմատիկական խոսք.
• Ուսումնական - դասի միջոցով զարգացնել միմյանց նկատմամբ ուշադիր վերաբերմունք, սերմանել ընկերներին լսելու կարողություն, փոխօգնություն, անկախություն:

Դասի նպատակները

• Ստուգեք ուսանողների՝ խնդիրները լուծելու կարողությունը:

Դասի պլան

1. Բացման խոսք.
2. Նախկինում սովորած նյութի կրկնություն:
3. Հատվածի կեսի կոորդինատները.
4. Տրամաբանական առաջադրանքներ.

բացման խոսք

Նախքան թեմայի վերաբերյալ բուն նյութին անցնելը, ես կցանկանայի մի փոքր խոսել հատվածի մասին, ոչ միայն որպես մաթեմատիկական սահմանում: Շատ գիտնականներ փորձել են նայեք հատվածին այլ կերպնրա մեջ ինչ-որ անսովոր բան տեսավ. Որոշ տաղանդավոր նկարիչները ստիպել են երկրաչափական ձևերին տրամադրություն և հույզեր փոխանցել.

Կան բազմաթիվ տեսություններ այն մասին, թե ինչպես է գույնը ազդում մեր տրամադրության վրա և ինչու:

Գույնը կարելի է զգալ, այն սերտորեն կապված է մեր հույզերի հետ։ Բնության գույնը, ճարտարապետությունը, բույսերը, հագուստը, որը մեզ շրջապատում է, աստիճանաբար ազդում է մեր տրամադրության վրա։

Մասնագետների կարծիքով՝ գունային սխեման կարող է ազդել մարդու վրա։

• Կարմիրգույնը կարող է ուրախացնել, ուժ տալ:
• ՎարդագույնԳույնը խորհրդանշում է խաղաղություն և հանգստություն։
• Նարնջագույնտաք, անհանգիստ գույն է, որը տալիս է էներգիա և բարձր տրամադրություն:
• Կայսերական Չինաստանում դեղինԱյն համարվում էր այնպիսի սուրբ գույն, որ միայն կայսրը կարող էր դեղին հագուստ կրել: Եգիպտացիներն ու մայաները դեղինը համարում էին Արեգակի գույնը և հարգում էին նրա կյանքը պահպանելու ուժը: Դեղին ծաղիկներկարող է ուրախացնել և ուրախացնել, երբ վատ ես զգում:
• Կանաչ- բուժիչ գույն. Հավասարակշռության և ներդաշնակության զգացում է առաջացնում:
• Կապույտուժեղացնում է ստեղծագործական ունակությունները.
• Մանուշակ- մտածողության, հոգևորության և խաղաղության գույնը: Այն կապված է ինտուիցիայի և ուրիշների հանդեպ մտահոգության հետ:
• Սպիտակընդհանուր առմամբ համարվում է մաքրության և անմեղության գույնը: Այն նաև կապված է ոգեշնչման, լուսավորության, հոգևորության և սիրո հետ:

Բայց քանի հոգի այդքան կարծիք ունի։ Յուրաքանչյուր ոք ունի իր ճշմարտությունը:

Կա նաև մի հետաքրքիր տեսություն, թե ինչպես գծի կամ գծի հատվածի ձևն իր բնավորությամբ.

Ձևը, ինչպես գույնը, առարկայի հատկություն է: Ձեւը- սրանք տեսանելի օբյեկտի արտաքին ուրվագծերն են, որոնք արտացոլում են դրա տարածական կողմերը (ձև, լատիներենից թարգմանված, - արտաքին տեսք): Այն ամենը, ինչ մեզ շրջապատում է, ունի որոշակի ձև: Նրա կառուցողական կառուցվածքն ու իմաստային բովանդակությունը հասկանալն ու պատկերելը արվեստագետի խնդիրն է։ Իսկ մենք՝ որպես հեռուստադիտող, պետք է կարողանանք կարդալ պատկերը, վերծանել կերպարն ու իմաստը տարբեր ձևեր. Թղթի թերթիկի և համակարգչի էկրանի վրա ձև է ձևավորվում, երբ գիծը փակվում է: Հետևաբար, ձևի բնույթը կախված է այն գծի բնույթից, որով այն ձևավորվում է:

Այս տողերից ո՞րը կարող է արտահայտել հանգստություն, զայրույթ, անտարբերություն, հուզմունք, ուրախություն։

Այս դեպքում մեկ պատասխան չի կարող լինել։ Օրինակ՝ փշոտ գիծը կարող է արտահայտել զայրույթը, փառաբանությունը կամ բուռն ուրախությունը, որը սահմանակից է անխոհեմությանը:

Ի՞նչ տրամադրություն կամ զգացում է համապատասխանում այս տողերից յուրաքանչյուրին:

Ինչպե՞ս է ձևը կախված այն գծի բնույթից, որով այն ձևավորվում է:

Նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնություն

Տիեզերքում

Կան երկու կամայական կետեր A1(x 1 ;y 1 ;z 1) և A2 (x 2 ;y 2 ;z 2): Այնուհետև A1A2 հատվածի միջնակետը կլինի կետը ԻՑ x, y, z կոորդինատներով, որտեղ

Հատվածի բաժանում տրված հարաբերակցությամբ

Եթե ​​x 1 և y 1 A կետի կոորդինատներն են, իսկ x 2 և y 2-ը B կետի կոորդինատներն են, ապա C կետի x և y կոորդինատները, որոնք բաժանում են AB հատվածը առնչությամբ, որոշվում են բանաձևերով.

Եռանկյան մակերեսը ըստ նրա A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) գագաթների հայտնի կոորդինատների համաձայն, հաշվարկվում է բանաձևով:

Այս բանաձևով ստացված թիվը պետք է ընդունվի բացարձակ արժեքով:

Օրինակ #1

Գտե՛ք AB հատվածի միջնակետը:

Պատասխան.Հատվածի միջին կետի կոորդինատներն են (1.5;2)

Օրինակ #2.

Գտե՛ք AB հատվածի միջնակետը:

Պատասխան.Հատվածի միջին կետի կոորդինատներն են (21;0)

Օրինակ #3.

Գտե՛ք C կետի կոորդինատները, եթե AC=5.5 և CB=19.5:

A(1;7), B(43;-4)

Պատասխան.Կետ C(10.24;4.58)

Առաջադրանքներ

Առաջադրանք թիվ 1

Գտե՛ք DB հատվածի միջնակետը:

Առաջադրանք թիվ 2.

Գտե՛ք CD հատվածի միջնակետը:

Ինչպես են արձանները պատրաստում.

Շատ հայտնի քանդակագործների մասին ասում են, որ այն հարցին, թե ինչպես է նրանց հաջողվում նման հրաշալի արձաններ պատրաստել, պատասխանը եղել է. Տարբեր գրքերում կարող եք կարդալ Միքելանջելոյի, Թորվալդսենի, Ռոդենի մասին։

Նույն կերպ կարելի է ձեռք բերել ցանկացած սահմանափակ հարթություն երկրաչափական պատկերԴուք պետք է վերցնեք մի քանի քառակուսի, որի մեջ այն ընկած է, ապա կտրեք այն ամենը, ինչ ավելորդ է: Սակայն պետք է ոչ թե անմիջապես կտրել, այլ աստիճանաբար, ամեն քայլափոխի, շրջանագծի տեսք ունեցող կտորը դեն նետել։ Այս դեպքում շրջանակն ինքնին դուրս է շպրտվում, իսկ նրա սահմանը՝ շրջանագիծը, մնում է նկարում։

Առաջին հայացքից թվում է, թե այս կերպ կարելի է ձեռք բերել միայն որոշակի տեսակի թվեր։ Բայց ամբողջ խնդիրն այն է, որ նրանք դեն են նետում ոչ թե մեկ կամ երկու շրջան, այլ անսահման, ավելի ճիշտ՝ հաշվելի շրջանակներ։ Այսպիսով, դուք կարող եք ստանալ ցանկացած գործիչ: Դա ստուգելու համար բավական է հաշվի առնել, որ այն շրջանագծերի բազմությունը, որոնց համար կենտրոնի և՛ շառավիղը, և՛ երկու կոորդինատները ռացիոնալ են, հաշվելի է։

Իսկ այժմ ցանկացած պատկեր ստանալու համար բավական է վերցնել այն պարունակող քառակուսին (մարմարե բլոկ) և գցել վերը նշված տեսակի բոլոր այն շրջանակները, որոնք չեն պարունակում մեզ անհրաժեշտ պատկերի ոչ մի կետ։ Եթե, այնուամենայնիվ, շրջանակները դուրս են նետվում ոչ թե քառակուսուց, այլ ամբողջ հարթությունից, ապա նկարագրված մեթոդով կարելի է ստանալ նաև անսահմանափակ թվեր։

Հարցեր

1. Ի՞նչ է կտրվածքը:
   
2. Ի՞նչ է հատվածը:
3. Ինչպե՞ս կարող եք գտնել հատվածի միջին կետը:

Օգտագործված աղբյուրների ցանկը

1. Կուզնեցով Ա.Վ., մաթեմատիկայի ուսուցիչ (5-9-րդ դասարաններ), Կիև
2. «Միայնակ Պետական ​​քննություն 2006. Մաթեմատիկա. Ուսումնական և ուսումնական նյութեր ուսանողների պատրաստման համար / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 թ.
3. Mazur K. I. «M. I. Scanavi-ի խմբագրած ժողովածուի մաթեմատիկայի հիմնական մրցակցային խնդիրների լուծումը»
4. Լ. Ս. Աթանասյան, Վ.Ֆ.

Դասի վրա աշխատելը

Կուզնեցով Ա.Վ.

Պոտուռնակ Ս.Ա.

Տատյանա Պրոսնյակովա