X առանցքի խաչմերուկները պետք է լուծեն y1=y2 հավասարումը, այսինքն՝ k1x+b1=k2x+b2:

Փոխակերպեք այս անհավասարությունը՝ ստանալով k1x-k2x=b2-b1: Այժմ արտահայտեք x՝ x=(b2-b1)/(k1-k2): Այս կերպ դուք կգտնեք գրաֆիկների հատման կետը, որը գտնվում է OX առանցքի երկայնքով: Գտի՛ր y առանցքի հատման կետը: Պարզապես ֆունկցիաներից որևէ մեկում փոխարինեք ավելի վաղ գտած x-ի արժեքը:

Նախորդ տարբերակը հարմար է գծապատկերների համար: Եթե ​​ֆունկցիան է, օգտագործեք հետևյալ հրահանգները: Ինչպես գծային ֆունկցիայի դեպքում, գտե՛ք x-ի արժեքը։ Դա անելու համար որոշեք քառակուսի հավասարում. 2x² + 2x - 4=0 հավասարման մեջ գտե՛ք (հավասարումը բերված է որպես օրինակ): Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևը՝ D= b² - 4ac, որտեղ b-ը X-ից առաջ արժեք է, իսկ c-ն՝ թվային արժեք:

Փոխարինելով թվային արժեքները՝ դուք կստանաք D= 4 + 4*4= 4+16= 20 նման արտահայտություն: Հավասարումները կախված են դիսկրիմինանտի արժեքից: Այժմ ստացված դիսկրիմինանտից (հերթով) ավելացրեք կամ հանեք արմատը b փոփոխականի արժեքին «-» նշանով և բաժանեք a գործակցի արտադրյալի կրկնակի վրա: Այսպիսով, դուք կգտնեք հավասարման արմատները, այսինքն՝ հատման կետերի կոորդինատները:

Ֆունկցիաների գրաֆիկներն ունեն մի առանձնահատկություն՝ OX առանցքը կհատվի երկու անգամ, այսինքն՝ կգտնեք x առանցքի երկու կոորդինատ։ Եթե ​​դուք ստանում եք պարբերական X-ն ընդդեմ Y արժեքի, ապա իմացեք, որ գրաֆիկը հատվում է x-ի առանցքի հետ անսահման թվով կետերում: Ստուգեք, արդյոք գտել եք խաչմերուկի կետերը: Դա անելու համար X արժեքները փոխարինեք f(x)=0 հավասարման մեջ:

Աղբյուրներ:

• Գտեք ուղիղների հատման կետերը

Եթե ​​գիտեք a-ի արժեքը, ապա կարող եք ասել, որ լուծել եք քառակուսի հավասարում, քանի որ դրա արմատները շատ հեշտությամբ կգտնվեն։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտի բանաձևը.
• -Բազմապատկման աղյուսակի իմացություն

Հրահանգ

Առնչվող տեսանյութեր

Օգտակար խորհուրդ

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը կարող է լինել դրական, բացասական կամ հավասար 0-ի:

Աղբյուրներ:

• Քառակուսային հավասարումների լուծում
• խտրական է նույնիսկ

Հուշում 3. Ինչպես գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները

y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, կոորդինատները x, որոնց համար դրանք բավարարում են y \u003d f (x) կապը: Ֆունկցիայի գրաֆիկը տեսողականորեն ցույց է տալիս ֆունկցիայի վարքը և հատկությունները: Գրաֆիկ կառուցելու համար սովորաբար ընտրվում են x փաստարկի մի քանի արժեքներ և դրանց համար հաշվարկվում են y=f(x) ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները: Գրաֆիկի ավելի ճշգրիտ և տեսողական կառուցման համար օգտակար է գտնել դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ:

Հրահանգ

X առանցքը (X առանցքը) հատելիս ֆունկցիայի արժեքը 0 է, այսինքն. y=f(x)=0: X-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է լուծել f(x)=0 հավասարումը։ Ֆունկցիայի դեպքում ստանում ենք ax+b=0 հավասարումը և գտնում ենք x=-b/a:

Այսպիսով, X առանցքը հատվում է (-b/a,0) կետում։

Ավելի բարդ դեպքերում, օրինակ, x-ից y-ի քառակուսային կախվածության դեպքում, f (x) \u003d 0 հավասարումը ունի երկու արմատ, հետևաբար, x առանցքը հատվում է երկու անգամ: y-ի x-ից կախվածության դեպքում, օրինակ y=sin(x), ունի անսահման թվով հատման կետեր x առանցքի հետ։

X առանցքի հետ ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները գտնելու ճիշտությունը ստուգելու համար անհրաժեշտ է փոխարինել հայտնաբերված x f (x) արժեքները: Հաշվարկված x-երից որևէ մեկի համար արտահայտության արժեքը պետք է հավասար լինի 0-ի:

Հրահանգ

Նախ անհրաժեշտ է քննարկել խնդրի լուծման համար հարմար կոորդինատային համակարգի ընտրությունը։ Սովորաբար, նման խնդիրների դեպքում եռանկյուններից մեկը տեղադրվում է 0X առանցքի վրա այնպես, որ մի կետը համընկնում է սկզբնակետին: Ուստի չպետք է շեղվել որոշման ընդհանուր ընդունված կանոններից և անել նույնը (տե՛ս նկ. 1): Եռանկյունը նշելու մեթոդն ինքնին հիմնարար դեր չի խաղում, քանի որ դուք միշտ կարող եք գնալ դրանցից մեկին (որը կարող եք տեսնել ավելի ուշ):

Թող ցանկալի եռանկյունը տրվի նրա կողմերի երկու վեկտորներով՝ համապատասխանաբար AC և AB a(x1, y1) և b(x2, y2): Ընդ որում, ըստ կառուցման y1=0. BC-ի երրորդ կողմը համապատասխանում է c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), ըստ այս նկարազարդման։ Ա կետը տեղադրված է կոորդինատների սկզբնաղբյուրում, այսինքն՝ դրա կոորդինատները A(0, 0): Դա նույնպես հեշտ է տեսնել կոորդինատները B (x2, y2), a C (x1, 0): Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ եռանկյան սահմանումը երկու վեկտորով ինքնաբերաբար համընկել է նրա սահմանմանը երեք կետով։

Հաջորդը, դուք պետք է լրացնեք ցանկալի եռանկյունը դրան համապատասխանող ABDC զուգահեռագծին: Ընդ որում, որ կետում խաչմերուկներզուգահեռագծի անկյունագծերը, դրանք բաժանված են այնպես, որ AQ-ն ABC եռանկյան միջինն է, A-ից իջնում ​​է BC կողմը: s անկյունագծային վեկտորը պարունակում է այս մեկը և զուգահեռագծի կանոնով a-ի և b-ի երկրաչափական գումարն է: Այնուհետև s = a + b, և դրա կոորդինատները s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2): Նույնը կոորդինատներըկլինի նաև D(x1+x2, y2) կետում։

Այժմ դուք կարող եք անցնել ուղիղ գծի հավասարման կազմմանը, որը պարունակում է s, միջին AQ և, ամենակարևորը, ցանկալի կետը: խաչմերուկներՄիջին H. Քանի որ վեկտորն ինքնին ուղեցույց է այս ուղիղի համար, և հայտնի է նաև նրան պատկանող A (0, 0) կետը, ամենապարզը հարթ գծի հավասարումն օգտագործելն է կանոնական ձևով. (x. -x0) / m =(y-y0)/n: Այստեղ (x0, y0) կոորդինատներըուղիղ գծի կամայական կետ (կետ А(0, 0)), և (m, n) – կոորդինատները s (վեկտոր (x1+x2, y2): Եվ այսպես, ցանկալի l1 տողը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x/(x1+x2)=y/ y2:

Այն գտնելու հենց ճանապարհը խաչմերուկում է: Հետևաբար, պետք է գտնել ևս մեկ ուղիղ գիծ, ​​որը պարունակում է այսպես կոչված, դրա համար նկ. Մեկ այլ զուգահեռագիծ АPBC-ի 1 կառուցում, որի g=a+c =g(2x1-x2, -y2) անկյունագիծը պարունակում է երկրորդ միջին CW-ն՝ իջեցված C-ից AB կողմ: Այս անկյունագիծը պարունակում է C կետը (x1, 0), կոորդինատներըորը կխաղա (x0, y0) դերը, իսկ ուղղության վեկտորն այստեղ կլինի g(m, n)=g(2x1-x2, -y2): Այստեղից l2-ը տրվում է հավասարմամբ՝ (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2):

Որոշ երկրաչափական խնդիրներ կոորդինատային մեթոդով լուծելիս անհրաժեշտ է գտնել ուղիղների հատման կետի կոորդինատները։ Ամենից հաճախ պետք է փնտրել հարթության վրա երկու գծերի հատման կետի կոորդինատները, բայց երբեմն անհրաժեշտ է դառնում որոշել տարածության մեջ երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները։ Այս հոդվածում մենք կզբաղվենք երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատների հայտնաբերմամբ։

Էջի նավարկություն.

Երկու ուղիղների հատման կետը սահմանում է։

Նախ որոշենք երկու ուղիղների հատման կետը։

Այսպիսով, հարթության վրա ընդհանուր հավասարումներով սահմանված երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել տրված ուղիղների հավասարումներից կազմված համակարգ։

Դիտարկենք լուծման օրինակ.

Օրինակ.

Գտե՛ք նշված երկու ուղիղների հատման կետը ուղղանկյուն համակարգկոորդինատները հարթության վրա x-9y+14=0 և 5x-2y-16=0 հավասարումներով:

Լուծում.

Մեզ տրված է տողերի երկու ընդհանուր հավասարումներ, որոնցից մենք կկազմենք համակարգ. . Ստացված հավասարումների համակարգի լուծումները հեշտությամբ կարելի է գտնել, եթե դրա առաջին հավասարումը լուծվում է x փոփոխականի նկատմամբ և այս արտահայտությունը փոխարինվում է երկրորդ հավասարմամբ.

Հավասարումների համակարգի գտնված լուծումը մեզ տալիս է երկու ուղիղների հատման կետի ցանկալի կոորդինատները։

Պատասխան.

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 և 5x-2y-16=0:

Այսպիսով, հարթության վրա ընդհանուր հավասարումներով սահմանված երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելը վերածվում է երկու անհայտ փոփոխականներով երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծման: Բայց ի՞նչ, եթե հարթության վրա ուղիղները տրված են ոչ թե ընդհանուր, այլ այլ տիպի հավասարումներով (տե՛ս հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարման տեսակները)։ Այս դեպքերում նախ կարող եք ուղիղների հավասարումները բերել ընդհանուր ձևի և միայն դրանից հետո գտնել հատման կետի կոորդինատները։

Օրինակ.

եւ .

Լուծում.

Տրված ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելուց առաջ կրճատում ենք դրանց հավասարումները ընդհանուր տեսարան. Պարամետրային հավասարումներից անցում ուղիղ գծի այս ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը հետևյալն է.

Այժմ մենք կիրականացնենք անհրաժեշտ գործողությունները գծի կանոնական հավասարմամբ.

Այսպիսով, ուղիղների հատման կետի ցանկալի կոորդինատները ձևի հավասարումների համակարգի լուծումն են. . Այն լուծելու համար մենք օգտագործում ենք.

Պատասխան.

M 0 (-5, 1)

Հարթության մեջ երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելու ևս մեկ եղանակ կա։ Հարմար է այն օգտագործել, երբ տողերից մեկը տրված է ձևի պարամետրային հավասարումներով , իսկ մյուսը՝ տարբեր ձևի ուղիղ գծի հավասարումը։ Այս դեպքում մեկ այլ հավասարման մեջ x և y փոփոխականների փոխարեն կարող եք փոխարինել արտահայտությունները. և , որից հնարավոր կլինի ստանալ այն արժեքը, որը համապատասխանում է տվյալ գծերի հատման կետին։ Այս դեպքում գծերի հատման կետն ունի կոորդինատներ:

Գտնենք նախորդ օրինակի ուղիղների հատման կետի կոորդինատները այսպես.

Օրինակ.

Որոշի՛ր ուղիղների հատման կետի կոորդինատները եւ .

Լուծում.

Ուղղակի արտահայտության հավասարման մեջ փոխարինի՛ր.

Լուծելով ստացված հավասարումը, մենք ստանում ենք. Այս արժեքը համապատասխանում է գծերի ընդհանուր կետին եւ . Մենք հաշվարկում ենք հատման կետի կոորդինատները՝ ուղիղ գիծը փոխարինելով պարամետրային հավասարումների մեջ.
.

Պատասխան.

M 0 (-5, 1) .

Պատկերն ամբողջացնելու համար պետք է քննարկել ևս մեկ կետ.

Նախքան հարթության մեջ երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելը, օգտակար է համոզվել, որ տվյալ ուղիղներն իսկապես հատվում են։ Եթե ​​պարզվի, որ սկզբնական գծերը համընկնում են կամ զուգահեռ են, ապա այդպիսի ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելու մասին խոսք լինել չի կարող։

Դուք, իհարկե, կարող եք անել առանց այդպիսի ստուգման և անմիջապես կազմել ձևի հավասարումների համակարգ և լուծել այն: Եթե ​​հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում, ապա այն տալիս է այն կետի կոորդինատները, որտեղ հատվում են սկզբնական ուղիղները։ Եթե ​​հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, ապա կարող ենք եզրակացնել, որ սկզբնական ուղիղները զուգահեռ են (քանի որ չկա x և y իրական թվերի այնպիսի զույգ, որը միաժամանակ կբավարարի տրված ուղիղների երկու հավասարումները): Հավասարումների համակարգի անսահման բազմության լուծումների առկայությունից հետևում է, որ սկզբնական տողերը անսահման շատ են. ընդհանուր կետեր, այսինքն՝ համընկնում են։

Եկեք նայենք այս իրավիճակներին համապատասխանող օրինակներին:

Օրինակ.

Պարզեք, արդյոք ուղիղները և հատվում են, և եթե հատվում են, ապա գտե՛ք հատման կետի կոորդինատները։

Լուծում.

Գծերի տրված հավասարումները համապատասխանում են հավասարումներին և . Եկեք լուծենք այս հավասարումներից կազմված համակարգը .

Ակնհայտ է, որ համակարգի հավասարումները գծային են արտահայտված միմյանց միջոցով (համակարգի երկրորդ հավասարումը ստացվում է առաջինից՝ նրա երկու մասերը բազմապատկելով 4-ով), հետևաբար, հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Այսպիսով, հավասարումները և սահմանում են նույն ուղիղը, և մենք չենք կարող խոսել այդ ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելու մասին:

Պատասխան.

Հավասարումները և որոշում են նույն ուղիղ գիծը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxy, ուստի մենք չենք կարող խոսել հատման կետի կոորդինատները գտնելու մասին:

Օրինակ.

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետի կոորդինատները և , Եթե հնարավոր է.

Լուծում.

Խնդրի պայմանն ընդունում է, որ գծերը կարող են չհատվել։ Կազմենք այս հավասարումների համակարգը։ Կիրառելի է դրա լուծման համար, քանի որ այն թույլ է տալիս հաստատել հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը կամ անհամապատասխանությունը, և եթե այն համատեղելի է, գտնել լուծում.

Համակարգի վերջին հավասարումը Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքից հետո վերածվել է սխալ հավասարության, հետևաբար, հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի։ Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ սկզբնական ուղիղները զուգահեռ են, և մենք չենք կարող խոսել այդ ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելու մասին։

Երկրորդ լուծումը.

Եկեք պարզենք, արդյոք տրված ուղիղները հատվում են:

- նորմալ գծի վեկտոր , և վեկտորը գծի նորմալ վեկտորն է . Եկեք ստուգենք կատարումը և : հավասարություն ճշմարիտ է, քանի որ, հետևաբար, տրված տողերի նորմալ վեկտորները համագիծ են: Այնուհետեւ, այս տողերը զուգահեռ են կամ համընկնում են: Այսպիսով, մենք չենք կարող գտնել սկզբնական գծերի հատման կետի կոորդինատները։

Պատասխան.

Անհնար է գտնել տվյալ ուղիղների հատման կետի կոորդինատները, քանի որ այդ ուղիղները զուգահեռ են։

Օրինակ.

Գտե՛ք 2x-1=0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները և եթե հատվում են.

Լուծում.

Մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ, որոնք տրված տողերի ընդհանուր հավասարումներ են. . Այս հավասարումների համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից , ուստի հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում, որը ցույց է տալիս տրված ուղիղների հատումը։

Գծերի հատման կետի կոորդինատները գտնելու համար մենք պետք է լուծենք համակարգը.

Ստացված լուծումը մեզ տալիս է ուղիղների հատման կետի կոորդինատները, այսինքն. 2x-1=0 և .

Պատասխան.

Գտնելով տարածության մեջ երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները.

Եռաչափ տարածության մեջ երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները հայտնաբերված են նույն կերպ։

Դիտարկենք օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարումներով տարածության մեջ տրված երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները և .

Լուծում.

Տրված տողերի հավասարումներից կազմում ենք հավասարումների համակարգ. . Այս համակարգի լուծումը մեզ կտա տարածության մեջ գծերի հատման կետի ցանկալի կոորդինատները։ Գտնենք հավասարումների գրավոր համակարգի լուծումը։

Համակարգի հիմնական մատրիցն ունի ձև , իսկ ընդլայնված .

Եկեք սահմանենք A և T մատրիցայի աստիճանը: Մենք օգտագործում ենք

Պետք է որոշի երկրաչափական խնդիրկոորդինատների մեթոդ, պահանջվում է հատման կետ, որի կոորդինատներն օգտագործվում են լուծման մեջ։ Ստեղծվում է իրավիճակ, երբ պահանջվում է հարթության վրա փնտրել երկու ուղիղների հատման կոորդինատները կամ որոշել նույն ուղիղների կոորդինատները տարածության մեջ։ այս հոդվածըդիտարկում է տվյալ ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները գտնելու դեպքերը.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Անհրաժեշտ է սահմանել երկու ուղիղների հատման կետերը.

Հարթության վրա ուղիղների հարաբերական դիրքի հատվածը ցույց է տալիս, որ դրանք կարող են համընկնել, լինել զուգահեռ, հատվել մեկ ընդհանուր կետում կամ հատվել։ Տիեզերքում երկու ուղիղները կոչվում են հատվող, եթե ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Գծերի հատման կետի սահմանումը հնչում է այսպես.

Սահմանում 1

Երկու ուղիղների հատման կետը կոչվում է դրանց հատման կետ: Այսինքն՝ ուղիղների հատման կետը հատման կետն է։

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնելուց առաջ անհրաժեշտ է դիտարկել ստորև բերված օրինակը.

Եթե ​​հարթության վրա կա O x y կոորդինատային համակարգ, ապա տրվում են երկու ուղիղներ a և b։ A տողը համապատասխանում է A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ձևի ընդհանուր հավասարմանը, b տողի համար՝ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0: Այնուհետև M 0 (x 0, y 0) հարթության ինչ-որ կետ է, անհրաժեշտ է որոշել, թե արդյոք M 0 կետը կլինի այս ուղիղների հատման կետը:

Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է հավատարիմ մնալ սահմանմանը. Այնուհետև ուղիղները պետք է հատվեն մի կետում, որի կոորդինատները A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 և A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 հավասարումների լուծումն են: Սա նշանակում է, որ հատման կետի կոորդինատները փոխարինվում են բոլոր տրված հավասարումներով: Եթե ​​փոխարինելիս նրանք տալիս են ճիշտ նույնականացում, ապա M 0 (x 0 , y 0) համարվում է նրանց հատման կետը:

Օրինակ 1

Տրված է երկու հատվող ուղիղ 5 x - 2 y - 16 = 0 և 2 x - 5 y - 19 = 0: Արդյո՞ք M 0 կետը կոորդինատներով (2, - 3) կլինի հատման կետ:

Լուծում

Որպեսզի ուղիղների հատումը իրական լինի, անհրաժեշտ է, որ M 0 կետի կոորդինատները բավարարեն ուղիղների հավասարումները։ Սա ստուգվում է դրանք փոխարինելով: Մենք դա հասկանում ենք

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Երկու հավասարումներն էլ ճշմարիտ են, ինչը նշանակում է, որ M 0 (2, - 3) տրված ուղիղների հատման կետն է:

Մենք այս լուծումը պատկերում ենք ստորև բերված նկարի կոորդինատային գծի վրա:

Պատասխան.տրված կետկոորդինատներով (2, - 3) կլինի տրված ուղիղների հատման կետը։

Օրինակ 2

Արդյո՞ք 5 x + 3 y - 1 = 0 և 7 x - 2 y + 11 = 0 ուղիղները կհատվեն M 0 (2, - 3) կետում:

Լուծում

Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է բոլոր հավասարումների մեջ փոխարինել կետի կոորդինատները։ Մենք դա հասկանում ենք

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Երկրորդ հավասարությունը ճիշտ չէ, ինչը նշանակում է, որ տվյալ կետը չի պատկանում 7 x - 2 y + 11 = 0 տողին։ Այսպիսով, մենք ունենք, որ M 0 կետը ուղիղների հատման կետ չէ:

Գծագրից պարզ երևում է, որ M 0-ը գծերի հատման կետը չէ։ Նրանք ունեն ընդհանուր կետ կոորդինատների հետ (- 1 , 2):

Պատասխան.կոորդինատներով կետը (2, - 3) տվյալ ուղիղների հատման կետը չէ։

Մենք դիմում ենք հարթության վրա տրված հավասարումների միջոցով գտնել երկու ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները:

Երկու հատվող a և b ուղիղները տրվում են A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 և A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ձևի հավասարումներով, որոնք տեղակայված են O x y-ում: M 0 հատման կետը նշանակելիս մենք ստանում ենք, որ պետք է շարունակենք կոորդինատների որոնումը A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 և A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 հավասարումների համաձայն:

Սահմանումից ակնհայտ է, որ M 0-ը ուղիղների հատման ընդհանուր կետ է։ Այս դեպքում նրա կոորդինատները պետք է բավարարեն A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 և A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 հավասարումները: Այլ կերպ ասած, սա ստացված համակարգի լուծումն է A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0:

Սա նշանակում է, որ հատման կետի կոորդինատները գտնելու համար անհրաժեշտ է համակարգին ավելացնել բոլոր հավասարումները և լուծել այն։

Օրինակ 3

Տրված է երկու տող x - 9 y + 14 = 0 և 5 x - 2 y - 16 = 0 հարթության վրա: պետք է գտնել դրանց խաչմերուկը:

Լուծում

Հավասարման վիճակի վերաբերյալ տվյալները պետք է հավաքվեն համակարգում, որից հետո մենք ստանում ենք x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0: Այն լուծելու համար առաջին հավասարումը լուծվում է x-ի համար, արտահայտությունը փոխարինվում է երկրորդով.

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Ստացված թվերն այն կոորդինատներն են, որոնք անհրաժեշտ էր գտնել:

Պատասխան. M 0 (4, 2) x - 9 y + 14 = 0 և 5 x - 2 y - 16 = 0 ուղիղների հատման կետն է:

Կոորդինատների որոնումը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծմանը: Եթե ​​պայմանի համաձայն տրված է հավասարման այլ ձև, ապա այն պետք է իջեցնել նորմալ ձևի։

Օրինակ 4

Որոշե՛ք x - 5 = y - 4 - 3 և x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները։

Լուծում

Սկսելու համար անհրաժեշտ է հավասարումները բերել ընդհանուր ձևի: Այնուհետև ստանում ենք, որ x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R-ը փոխակերպվում է այսպես.

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Այնուհետև վերցնում ենք x - 5 = y - 4 - 3 կանոնական ձևի հավասարումը և փոխակերպում։ Մենք դա հասկանում ենք

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Այսպիսով, մենք ունենք, որ կոորդինատները հատման կետն են

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Եկեք կիրառենք Քրամերի մեթոդը՝ կոորդինատները գտնելու համար.

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Պատասխան. M 0 (- 5 , 1) .

Գոյություն ունի հարթության վրա գտնվող գծերի հատման կետի կոորդինատները գտնելու ևս մեկ եղանակ։ Այն կիրառելի է, երբ տողերից մեկը տրված է x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R ձևի պարամետրային հավասարումներով։ Այնուհետև x-ին փոխարինում են x = x 1 + a x λ և y = y 1 + a y λ, որտեղ մենք ստանում ենք λ = λ 0, որը համապատասխանում է x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 կոորդինատներ ունեցող հատման կետին:

Օրինակ 5

Որոշե՛ք x = 4 + 9 ուղղի հատման կետի կոորդինատները · λ y = 2 + λ , λ ∈ R և x - 5 = y - 4 - 3։

Լուծում

Անհրաժեշտ է փոխարինում կատարել x - 5 \u003d y - 4 - 3 x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք.

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Լուծելիս ստանում ենք, որ λ = - 1 ։ Սա ենթադրում է, որ x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R և x - 5 = y - 4 - 3 ուղիղների միջև կա հատման կետ: Կոորդինատները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է λ = - 1 արտահայտությունը փոխարինել պարամետրային հավասարման մեջ։ Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1:

Պատասխան. M 0 (- 5 , 1) .

Թեման ամբողջությամբ հասկանալու համար անհրաժեշտ է իմանալ որոշ նրբերանգներ։

Նախ պետք է հասկանալ գծերի գտնվելու վայրը: Երբ հատվեն, կոորդինատները կգտնենք, մնացած դեպքերում լուծում չի լինի։ Այս ստուգումից խուսափելու համար մենք կարող ենք կազմել համակարգ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Եթե լուծում կա, եզրակացնում ենք, որ ուղիղները հատվում են: Եթե ​​լուծում չկա, ապա դրանք զուգահեռ են։ Երբ համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ, ապա ասում են, որ դրանք նույնն են:

Օրինակ 6

Տրված տողերը x 3 + y - 4 = 1 և y = 4 3 x - 4: Որոշեք, թե արդյոք նրանք ունեն ընդհանուր կետ:

Լուծում

Պարզեցնելով տրված հավասարումները՝ ստանում ենք 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 և 4 3 x - y - 4 = 0:

Հետագա լուծման համար անհրաժեշտ է հավաքել հավասարումները համակարգում.

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումները արտահայտվում են միմյանց միջոցով, ապա ստանում ենք անսահման թվով լուծումներ։ Այնուհետև x 3 + y - 4 = 1 և y = 4 3 x - 4 հավասարումները սահմանում են նույն ուղիղ գիծը: Հետեւաբար, խաչմերուկային կետեր չկան:

Պատասխան.տրված հավասարումները սահմանում են նույն ուղիղ գիծը։

Օրինակ 7

Գտե՛ք 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 և 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 հատվող ուղիղների կետի կոորդինատները։

Լուծում

Պայմանով՝ հնարավոր է, որ գծերը չհատվեն։ Գրի՛ր հավասարումների համակարգ և լուծի՛ր. Լուծման համար անհրաժեշտ է օգտագործել Գաուսի մեթոդը, քանի որ դրա օգնությամբ հնարավոր է ստուգել հավասարումը համատեղելիության համար: Մենք ստանում ենք ձևի համակարգ.

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Մենք սխալ հավասարություն ենք ստացել, ուստի համակարգը լուծումներ չունի։ Մենք եզրակացնում ենք, որ գծերը զուգահեռ են: Խաչմերուկներ չկան։

Երկրորդ լուծումը.

Նախ անհրաժեշտ է որոշել գծերի խաչմերուկի առկայությունը:

n 1 → = (2 , 2 - 3) 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 գծի նորմալ վեկտորն է, ապա n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - վեկտորը: նորմալ վեկտորուղիղ գծի համար 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0:

Անհրաժեշտ է ստուգել n 1 → = (2, 2 - 3) և n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) վեկտորների համակողմանիությունը: Մենք ստանում ենք 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 ձևի հավասարություն: Դա ճիշտ է, քանի որ 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0: Դրանից բխում է, որ վեկտորները համագիծ են։ Սա նշանակում է, որ գծերը զուգահեռ են և չունեն հատման կետեր:

Պատասխան.հատման կետեր չկան, գծերը զուգահեռ են։

Օրինակ 8

Գտե՛ք տրված 2 x - 1 = 0 և y = 5 4 x - 2 ուղիղների հատման կոորդինատները։

Լուծում

Լուծելու համար մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ։ Մենք ստանում ենք

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Գտեք հիմնական մատրիցի որոշիչը: Դրա համար 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2: Քանի որ նա չէ զրո, համակարգն ունի 1 լուծում. Դրանից բխում է, որ գծերը հատվում են: Եկեք լուծենք հատման կետերի կոորդինատները գտնելու համակարգը.

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Ստացանք, որ տրված ուղիղների հատման կետն ունի M 0 (1 2 , - 11 8) կոորդինատները։

Պատասխան. M 0 (1 2 , - 11 8) .

Գտնելով տարածության մեջ երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

Նույն կերպ հայտնաբերվում են տարածության ուղիղների հատման կետերը։

Երբ տրված են a և b տողերը կոորդինատային հարթությունՄոտ x y z հատվող հարթությունների հավասարումներով, ապա կա ուղիղ a, որը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով տրված համակարգը A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C. 2 z + D 1 \u003d 0 և ուղիղ գիծը b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0:

Երբ M 0 կետը ուղիղների հատման կետն է, ապա դրա կոորդինատները պետք է լինեն երկու հավասարումների լուծումներ։ Համակարգում ստանում ենք գծային հավասարումներ.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Դիտարկենք նման առաջադրանքները օրինակներով:

Օրինակ 9

Գտե՛ք տրված ուղիղների հատման կետի կոորդինատները x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 և 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0.

Լուծում

Կազմում ենք x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 համակարգը և լուծում ենք այն։ Կոորդինատները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել մատրիցով. Այնուհետև մենք ստանում ենք   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 ձևի հիմնական մատրիցը և ընդլայնված մատրիցը T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4: Մենք որոշում ենք մատրիցայի աստիճանը ըստ Գաուսի:

Մենք դա հասկանում ենք

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Հետևում է, որ ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը 3 է: Այնուհետև x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 հավասարումների համակարգը տալիս է միայն մեկ լուծում:

Հիմնական մինորն ունի 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 որոշիչը, ապա վերջին հավասարումը չի տեղավորվում: Մենք ստանում ենք, որ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Համակարգի լուծում x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3:

Այսպիսով, մենք ունենք, որ հատման կետը x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 և 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ունի կոորդինատներ (1, - 3, 0):

Պատասխան. (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 ձևի համակարգ. = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ունի միայն մեկ լուծում: Այսպիսով, a և b ուղիղները հատվում են:

Մնացած դեպքերում հավասարումը լուծում չունի, այսինքն՝ չկան նաև ընդհանուր կետեր։ Այսինքն՝ կոորդինատներով կետ գտնել հնարավոր չէ, քանի որ այն գոյություն չունի։

Հետևաբար, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z ձևի համակարգ. + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 լուծվում է Գաուսի մեթոդով: Իր անհամատեղելիությամբ գծերը չեն հատվում։ Եթե ​​կան անսահման թվով լուծումներ, ապա դրանք համընկնում են։

Կարող եք որոշում կայացնել՝ հաշվարկելով մատրիցայի հիմնական և ընդլայնված աստիճանը, այնուհետև կիրառել Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը։ Մենք ստանում ենք լուծումների մեկ, շատ կամ իսպառ բացակայություն։

Օրինակ 10

Տրված են x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 և x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 ուղիղների հավասարումները։ Գտեք հատման կետը:

Լուծում

Նախ, եկեք ստեղծենք հավասարումների համակարգ: Մենք ստանում ենք, որ x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0: Մենք լուծում ենք այն Գաուսի մեթոդով.

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Ակնհայտ է, որ համակարգը լուծումներ չունի, ինչը նշանակում է, որ գծերը չեն հատվում։ Խաչմերուկ չկա։

Պատասխան.ոչ մի հատման կետ:

Եթե ​​ուղիղները տրված են կոնական կամ պարամետրային հավասարումների միջոցով, ապա անհրաժեշտ է դրանք հասցնել հատվող հարթությունների հավասարումների ձևի, այնուհետև գտնել կոորդինատները։

Օրինակ 11

Տրված է երկու տող x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R և x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z-ում: Գտեք հատման կետը:

Լուծում

Մենք ուղիղ գծեր ենք սահմանում երկու հատվող հարթությունների հավասարումներով։ Մենք դա հասկանում ենք

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Մենք գտնում ենք 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 կոորդինատները, դրա համար մենք հաշվարկում ենք մատրիցայի շարքերը: Մատրիցայի վարկանիշը ​3 է, իսկ հիմնական մինորը 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 է, ինչը նշանակում է, որ վերջին հավասարումը պետք է բացառվի համակարգից: Մենք դա հասկանում ենք

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Համակարգը լուծենք Քրամերի մեթոդով։ Մենք ստանում ենք, որ x = - 2 y = 3 z = - 5: Այստեղից ստանում ենք, որ տրված ուղիղների հատումից ստացվում է կետ (- 2 , 3 , - 5) կոորդինատներով։

Պատասխան. (- 2 , 3 , - 5) .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ուղղահայաց գիծ

Այս առաջադրանքը, հավանաբար, դպրոցական դասագրքերում ամենատարածվածներից և պահանջվածներից է: Այս թեմայի վրա հիմնված առաջադրանքները բազմազան են: Սա երկու ուղիղների հատման կետի սահմանումն է, սա սկզբնական գծի մի կետով ինչ-որ անկյան տակ անցնող ուղիղ գծի հավասարման սահմանումն է։

Մենք կանդրադառնանք այս թեմային՝ օգտագործելով մեր հաշվարկներում ստացված տվյալները

Հենց այնտեղ է դիտարկվել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման վերածումը թեքությամբ հավասարման և հակառակը, և ըստ տվյալ պայմանների ուղիղ գծի մնացած պարամետրերի որոշումը։

Ի՞նչ է մեզ պակասում, որպեսզի լուծենք այն խնդիրները, որոնց նվիրված է այս էջը։

1. Երկու հատվող գծերի միջև անկյուններից մեկի հաշվարկման բանաձևերը.

Եթե ​​ունենք երկու ուղիղ, որոնք տրված են հավասարումներով.

ապա անկյուններից մեկը հաշվարկվում է այսպես.

2. Տրված կետով անցնող թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը

Բանաձև 1-ից մենք կարող ենք տեսնել երկու սահմանային պետություններ

ա) երբ այդ ժամանակ և, հետևաբար, այս երկու տրված ուղիղները զուգահեռ են (կամ համընկնում են)

բ) երբ , ապա , և հետևաբար այս ուղիղները ուղղահայաց են, այսինքն՝ հատվում են ուղիղ անկյան տակ։

Որո՞նք կարող են լինել նախնական տվյալներ նման խնդիրների լուծման համար, բացառությամբ տրված ուղիղ գծի:

Ուղղի մի կետ և այն անկյունը, որով երկրորդ ուղիղը հատում է այն

Գծի երկրորդ հավասարումը

Ի՞նչ խնդիրներ կարող է լուծել բոտը:

1. Տրված են երկու ուղիղներ (բացահայտ կամ անուղղակի, օրինակ՝ երկու կետով): Հաշվի՛ր հատման կետը և այն անկյունները, որոնցով դրանք հատվում են։

2. Տրվում է մեկ ուղիղ, մի կետ ուղիղ գծի վրա և մեկ անկյուն: Որոշիր ուղիղ գծի հավասարումը, որը հատում է տրվածը նշված անկյան տակ

Օրինակներ

Հավասարումներով տրված են երկու ուղիղ. Գտե՛ք այս ուղիղների հատման կետը և այն անկյունները, որոնցով նրանք հատվում են

տող_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Մենք ստանում ենք հետևյալ արդյունքը

Առաջին տողի հավասարումը

y = 2,2 x + (1,2)

Երկրորդ տողի հավասարումը

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Երկու ուղիղների հատման անկյուն (աստիճաններով)

-42.357454705937

Երկու ուղիղների հատման կետ

x=-3,5

y=-6,5

Մի մոռացեք, որ երկու տողերի պարամետրերը բաժանված են ստորակետով, իսկ յուրաքանչյուր տողի պարամետրերը` ստորակետով:

Գիծն անցնում է երկու կետերով (1:-4) և (5:2) . Գտե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է (-2:-8) կետով և հատում սկզբնական գիծը 30 աստիճան անկյան տակ:

Մեկ ուղիղ գիծ մեզ հայտնի է, քանի որ հայտնի է երկու կետ, որով այն անցնում է։

Մնում է որոշել երկրորդ ուղիղ գծի հավասարումը։ Մեզ հայտնի է մի կետ, իսկ երկրորդի փոխարեն նշվում է այն անկյունը, որով առաջին տողը հատում է երկրորդը։

Ամեն ինչ կարծես թե հայտնի է, բայց այստեղ գլխավորը չսխալվելն է։ Խոսքը անկյան (30 աստիճան) մասին է ոչ թե x առանցքի և ուղիղի, այլ առաջին և երկրորդ տողերի միջև։

Դրա համար մենք հրապարակում ենք այսպես. Եկեք որոշենք առաջին տողի պարամետրերը և պարզենք, թե ինչ անկյան տակ է այն հատում x առանցքը:

տող xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Ընդհանուր հավասարում Ax+By+C = 0

Գործակից A = -6

Գործոն B = 4

Գործակից C = 22

Գործակից a= 3.6666666666667

Գործակից b = -5,5

Գործակից k = 1,5

Առանցքի թեքության անկյունը (աստիճաններով) f = 56.309932474019

Գործակից p = 3,0508510792386

Գործակից q = 2,5535900500422

Կետերի միջև հեռավորությունը=7.211102550928

Մենք տեսնում ենք, որ առաջին գիծը հատում է առանցքը անկյան տակ 56.309932474019 աստիճան:

Աղբյուրի տվյալները հստակ չեն ասում, թե ինչպես է երկրորդ տողը հատում առաջինը: Ի վերջո, հնարավոր է երկու գիծ գծել, որոնք բավարարում են պայմանները, առաջինը պտտվել է 30 աստիճան ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ երկրորդը 30 աստիճան հակառակ ուղղությամբ:

Եկեք հաշվենք դրանք

Եթե ​​երկրորդ գիծը պտտվում է 30 աստիճանով ՀԱԿԱՌԱՋ ԺԱՄԱՑՈՒՑԻՉԻ ուղղությամբ, ապա երկրորդ գիծը կունենա հատման աստիճան x առանցքի հետ։ 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 աստիճաններ

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Ուղիղ գծի պարամետրերը ըստ տրված պարամետրերի

Ընդհանուր հավասարում Ax+By+C = 0

Գործակից A = 23.011106998916

Գործոն B = -1,4840558255286

Գործակից C = 34,149767393603

Ուղիղ գծի հավասարումը x/a+y/b = 1 հատվածներում

Գործակից a= -1,4840558255286

Գործակից b = 23.011106998916

Ուղիղ գծի հավասարումը անկյունային գործակցով y = kx + b

Գործակից k = 15,505553499458

Անկյուն առանցքի նկատմամբ (աստիճաններով) f = 86.309932474019

x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 ուղիղի նորմալ հավասարումը

Գործակից p = -1,4809790664999

Գործակից q = 3,0771888256405

Կետերի միջև հեռավորությունը=23.058912962428

Հեռավորությունը կետից ուղիղ li =

այսինքն՝ մեր երկրորդ տողի հավասարումը y= է 15.505553499458x+ 23.011106998916

Երկչափ տարածության մեջ երկու ուղիղները հատվում են միայն մեկ կետում՝ տրված կոորդինատներով (x, y): Քանի որ երկու ուղիղներն էլ անցնում են իրենց հատման կետով, կոորդինատները (x, y) պետք է բավարարեն այս ուղիղները նկարագրող երկու հավասարումները։ Որոշ առաջադեմ հմտություններով դուք կարող եք գտնել պարաբոլների և այլ քառակուսի կորերի հատման կետերը:

Քայլեր

Երկու ուղիղների հատման կետ

Գրե՛ք յուրաքանչյուր տողի հավասարումը` մեկուսացնելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող «y» փոփոխականը:Հավասարման այլ տերմիններ պետք է տեղադրվեն հավասարման աջ կողմում: Միգուցե «y»-ի փոխարեն ձեզ տրված հավասարումը պարունակի f (x) կամ g (x) փոփոխականը; այս դեպքում մեկուսացնել նման փոփոխականը. Փոփոխականը մեկուսացնելու համար կատարեք համապատասխան մաթեմատիկական գործողություններ հավասարման երկու կողմերում:

• Եթե ​​տողերի հավասարումները ձեզ չեն տրվում՝ ձեզ հայտնի տեղեկատվության հիման վրա։
• Օրինակ. Տրված ուղիղ գծեր, որոնք նկարագրված են հավասարումներով և y − 12 = − 2 x (\ցուցադրման ոճ y-12=-2x). Երկրորդ հավասարման «y»-ը մեկուսացնելու համար հավասարման երկու կողմերին ավելացրեք 12 թիվը.

1. Դուք փնտրում եք երկու ուղիղների հատման կետը, այսինքն՝ այն կետը, որի (x,y) կոորդինատները բավարարում են երկու հավասարումներին։ Քանի որ «y» փոփոխականը յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում է, յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել։ Գրի՛ր նոր հավասարում.

   • Օրինակ. Որովհետեւ y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)և y = 12 - 2x (\displaystyle y=12-2x), ապա կարող ենք գրել հետևյալ հավասարությունը.

2. Գտե՛ք «x» փոփոխականի արժեքը։Նոր հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական «x»: «x»-ը գտնելու համար մեկուսացրեք այս փոփոխականը հավասարման ձախ կողմում՝ կատարելով համապատասխան մաթեմատիկա հավասարման երկու կողմերում: Դուք պետք է ավարտեք x = __ նման հավասարում (եթե չեք կարող դա անել, տես այս բաժինը):

   • Օրինակ. x + 3 = 12 − 2 x (\ցուցադրման ոճ x+3=12-2x)
   • Ավելացնել 2x (\displaystyle 2x)հավասարման յուրաքանչյուր կողմում.
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Հավասարման յուրաքանչյուր կողմից հանեք 3.
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Հավասարման յուրաքանչյուր կողմը բաժանեք 3-ի.
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Օգտագործեք «x» փոփոխականի գտնված արժեքը «y» փոփոխականի արժեքը հաշվարկելու համար։Դա անելու համար փոխարինեք գտնված «x» արժեքը հավասարման (ցանկացած) ուղիղ գծում:

   • Օրինակ. x = 3 (\displaystyle x=3)և y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Ստուգեք պատասխանը.Դա անելու համար փոխարինեք «x» արժեքը մեկ այլ ուղիղ գծի հավասարման մեջ և գտեք «y» արժեքը: Եթե ​​դուք ստանում եք տարբեր «y» արժեքներ, ստուգեք, որ ձեր հաշվարկները ճիշտ են:

   • Օրինակ: x = 3 (\displaystyle x=3)և y = 12 - 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\ցուցադրման ոճ y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Դուք ստացել եք նույն «y» արժեքը, այնպես որ ձեր հաշվարկներում սխալներ չկան:

5. Գրի՛ր կոորդինատները (x, y):Հաշվարկելով «x» և «y» արժեքները, դուք գտել եք երկու տողերի հատման կետի կոորդինատները: Գրի՛ր հատման կետի կոորդինատները (x, y) ձևով։

   • Օրինակ. x = 3 (\displaystyle x=3)և y=6 (\displaystyle y=6)
   • Այսպիսով, երկու ուղիղները հատվում են մի կետում կոորդինատներով (3,6):

6. Հաշվարկներ հատուկ դեպքերում.Որոշ դեպքերում «x» փոփոխականի արժեքը հնարավոր չէ գտնել: Բայց դա չի նշանակում, որ դուք սխալվել եք: Հատուկ դեպք է տեղի ունենում, երբ բավարարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

   • Եթե ​​երկու ուղիղները զուգահեռ են, դրանք չեն հատվում: Այս դեպքում «x» փոփոխականը պարզապես կկրճատվի, և ձեր հավասարումը կվերածվի անիմաստ հավասարության (օրինակ. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)) Այս դեպքում պատասխանի մեջ գրիր, որ գծերը չեն հատվում կամ լուծում չկա։
   • Եթե ​​երկու հավասարումներն էլ նկարագրում են մեկ ուղիղ գիծ, ​​ապա կլինեն անսահման թվով հատման կետեր: Այս դեպքում «x» փոփոխականը պարզապես կկրճատվի, և ձեր հավասարումը կվերածվի խիստ հավասարության (օրինակ. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)) Այս դեպքում ձեր պատասխանում գրեք, որ երկու տողերը համընկնում են։

   Քառակուսային ֆունկցիաների հետ կապված խնդիրներ

   1. Քառակուսային ֆունկցիայի սահմանում.Քառակուսային ֆունկցիայի մեջ մեկ կամ մի քանի փոփոխականներ ունեն երկրորդ աստիճան (բայց ոչ ավելի բարձր), օրինակ. x 2 (\displaystyle x^(2))կամ y 2 (\displaystyle y^(2)). Քառակուսային ֆունկցիաների գրաֆիկները կորեր են, որոնք չեն կարող հատվել կամ հատվել մեկ կամ երկու կետերում: Այս բաժնում մենք ձեզ կպատմենք, թե ինչպես գտնել քառակուսի կորերի հատման կետը կամ կետերը:

   2. Վերագրեք յուրաքանչյուր հավասարում` մեկուսացնելով հավասարման ձախ կողմում գտնվող «y» փոփոխականը:Հավասարման այլ տերմիններ պետք է տեղադրվեն հավասարման աջ կողմում:

      • Օրինակ. Գտե՛ք գրաֆիկների հատման կետ(ներ): x 2 + 2 x − y = − 1 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+2x-y=-1)և
      • Մեկուսացրեք «y» փոփոխականը հավասարման ձախ կողմում.
      • և y = x + 7 (\ցուցադրման ոճ y=x+7) .
      • Այս օրինակում ձեզ տրվում է մեկ քառակուսի ֆունկցիա և մեկ գծային ֆունկցիա. Հիշեք, որ եթե ձեզ տրված են երկու քառակուսի ֆունկցիաներ, ապա հաշվարկները նույնն են, ինչ ստորև ներկայացված քայլերը:

   3. Հավասարեցրեք յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի արտահայտությունները:Քանի որ «y» փոփոխականը յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում է, յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի արտահայտությունները կարելի է հավասարեցնել։

      • Օրինակ. y = x 2 + 2 x + 1 (\ցուցադրման ոճ y=x^(2)+2x+1)և y = x + 7 (\ցուցադրման ոճ y=x+7)

   4. Ստացված հավասարման բոլոր տերմինները փոխանցեք դրան ձախ կողմ, իսկ աջ կողմում գրեք 0։Դա անելու համար կատարեք հիմնական մաթեմատիկական գործողություններ: Սա թույլ կտա լուծել ստացված հավասարումը:

      • Օրինակ. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+2x+1=x+7)
      • Հավասարման երկու կողմերից հանել «x».
      • x 2 + x + 1 = 7 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+x+1=7)
      • Հավասարման երկու կողմերից հանել 7.

   5. Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը.Հավասարման բոլոր պայմանները փոխանցելով նրա ձախ կողմին՝ ստանում եք քառակուսի հավասարում։ Այն կարելի է լուծել երեք եղանակով՝ օգտագործելով հատուկ բանաձեւ, և.

      • Օրինակ. x 2 + x − 6 = 0 (\ցուցադրման ոճ x^(2)+x-6=0)
      • Հավասարումը գործոնավորելիս ստացվում է երկու երկանդամ, որոնք բազմապատկելով տալիս են սկզբնական հավասարումը։ Մեր օրինակում առաջին անդամը x 2 (\displaystyle x^(2))կարելի է տարրալուծել x*x-ի։ Կատարեք հետևյալ գրառումը՝ (x)(x) = 0
      • Մեր օրինակում -6-ը կարող է գործոնավորվել հետևյալ կերպ. − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Մեր օրինակում երկրորդ անդամը x է (կամ 1x): Ավելացրե՛ք կտրման գործակիցների յուրաքանչյուր զույգ (-6 մեր օրինակում), մինչև ստանաք 1: Մեր օրինակում ընդհատման գործակիցների ճիշտ զույգն են -2 և 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), որովհետեւ − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Լրացրե՛ք բացերը գտնված թվերի զույգով՝ .

   6. Մի մոռացեք երկու գրաֆիկների հատման երկրորդ կետի մասին:Եթե ​​խնդիրը լուծեք արագ և ոչ շատ ուշադիր, կարող եք մոռանալ երկրորդ հատման կետի մասին: Ահա թե ինչպես գտնել երկու հատման կետերի «x» կոորդինատները.

      • Օրինակ (ֆակտորինգ). Եթե ​​հավասարման մեջ (x − 2) (x + 3) = 0 (\ցուցադրման ոճ (x-2) (x+3)=0)Փակագծերի արտահայտություններից մեկը հավասար կլինի 0-ի, այնուհետև ամբողջ հավասարումը հավասար կլինի 0-ի: Հետևաբար, այն կարող ենք գրել այսպես. x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) և x + 3 = 0 (\ցուցադրման ոճ x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (այսինքն, դուք գտել եք հավասարման երկու արմատ):
      • Օրինակ (բանաձևի օգտագործում կամ հավելում լրիվ քառակուսի) . Այս մեթոդներից մեկը կիրառելիս լուծման գործընթացում կհայտնվի քառակուսի արմատ: Օրինակ, մեր օրինակի հավասարումը կընդունի ձևը x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Հիշեք, որ քառակուսի արմատ վերցնելիս կստանաք երկու լուծում. Մեր դեպքում. 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), և 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Այսպիսով, գրեք երկու հավասարումներ և գտեք երկու x արժեք:

   7. Գրաֆիկները հատվում են մի կետում կամ ընդհանրապես չեն հատվում:Նման իրավիճակներ են առաջանում, երբ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

      • Եթե ​​գրաֆիկները հատվում են մի կետում, ապա քառակուսի հավասարումը բաժանվում է հավասար գործոնների, օրինակ՝ (x-1) (x-1) = 0, և 0-ի քառակուսի արմատը հայտնվում է բանաձևում ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))) Այս դեպքում հավասարումն ունի միայն մեկ լուծում.
      • Եթե ​​գրաֆիկներն ընդհանրապես չեն հատվում, ապա հավասարումը չի ֆակտորիզացվում, և քառակուսի արմատը բացասական թիվ(օրինակ, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))) Այս դեպքում պատասխանում գրեք, որ լուծում չկա։