Ո՞րն է կետի պրոյեկցիան: Կետային պրոյեկցիա. Պրոյեկցիա, պրոյեկցիայի տեսակները

Մի շարք մանրամասների պատկերներ կառուցելու համար անհրաժեշտ է կարողանալ գտնել առանձին կետերի կանխատեսումները։ Օրինակ, դժվար է նկարել նկարում ներկայացված մասի վերևի տեսքը: 139 առանց A, B, C, D, E, F և այլն կետերի հորիզոնական ելուստների կառուցման:

Օբյեկտի մակերեսին տրված մեկով կետերի պրոյեկցիաները գտնելու խնդիրը լուծվում է հետևյալ կերպ. Նախ, հայտնաբերվում են այն մակերեսի կանխատեսումները, որոնց վրա գտնվում է կետը: Այնուհետև գծելով միացման գիծ դեպի պրոյեկցիան, որտեղ մակերեսը ներկայացված է գծով, գտնվում է կետի երկրորդ պրոյեկցիան։ Երրորդ պրոյեկցիան գտնվում է կապի գծերի խաչմերուկում:

Դիտարկենք մի օրինակ։

Տրված են մասի երեք ելուստ (նկ. 140, ա)։ Տրված է տեսանելի մակերևույթի վրա ընկած A կետի հորիզոնական պրոյեկցիան. Մենք պետք է գտնենք այս կետի մյուս կանխատեսումները:

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է օժանդակ գիծ քաշել: Եթե տրված է երկու տեսարան, ապա գծագրում օժանդակ գծի տեղը ընտրվում է կամայականորեն՝ վերևի տեսքից աջ, որպեսզի ձախ կողմի տեսքը լինի հիմնական տեսքից անհրաժեշտ հեռավորության վրա (նկ. 141)։

Եթե արդեն կառուցված է երեք տեսարան (նկ. 142, ա), ապա օժանդակ գծի տեղը չի կարելի կամայականորեն ընտրել; պետք է գտնել այն կետը, որով այն կանցնի: Դա անելու համար բավական է շարունակել մինչև համաչափության առանցքի հորիզոնական և պրոֆիլային ելուստների փոխադարձ հատումը և ստացված k կետի միջով (նկ. 142, բ) գծել ուղիղ գծի հատված 45 ° անկյան տակ, որը կլինի օժանդակ ուղիղ գիծ։

Եթե չկան համաչափության առանցքներ, ապա շարունակեք մինչև k 1 կետի խաչմերուկը և ցանկացած դեմքի պրոֆիլային պրոյեկցիաները, որոնք նախագծված են ուղիղ գծի հատվածների տեսքով (նկ. 142, բ):

Նկարելով օժանդակ ուղիղ գիծ՝ նրանք սկսում են կառուցել կետի ելուստները (տե՛ս նկ. 140, բ)։

A կետի ճակատային ա» և պրոֆիլային ա» պրոյեկցիաները պետք է տեղակայվեն այն մակերեսի համապատասխան ելքերի վրա, որին պատկանում է A կետը։ Նկ. 140, բ դրանք ընդգծված են գունավոր։ Գծե՛ք կապի գծեր, ինչպես նշված է սլաքներով: Մակերեւույթի ելուստների հետ կապի գծերի խաչմերուկներում հայտնաբերվում են ցանկալի պրոյեկցիաները a» և a»:

B, C, D կետերի պրոյեկցիաների կառուցումը ցույց է տրված նկ. 140, սլաքներով կապի գծերում։ Կետերի տրված կանխատեսումները գունավոր են։ Հաղորդակցման գծերը գծվում են այն պրոյեկցիայի վրա, որի վրա մակերեսը պատկերված է որպես գիծ, և ոչ թե որպես գործիչ: Հետևաբար, սկզբում հայտնաբերվում է C կետից ճակատային պրոյեկցիան, C կետից պրոֆիլի պրոյեկցիան որոշվում է հաղորդակցության գծերի հատման միջոցով:

Եթե որևէ պրոյեկցիայի վրա մակերեսը գծով պատկերված չէ, ապա կետերի ելուստները կառուցելու համար պետք է օգտագործվի օժանդակ հարթություն: Օրինակ՝ տրված է A կետի ճակատային d պրոյեկցիա՝ ընկած կոնի մակերեսին (նկ. 143, ա): Հիմքին զուգահեռ կետի միջով գծվում է օժանդակ հարթություն, որը կհատի կոնը շրջանագծով. նրա ճակատային պրոյեկցիան ուղիղ գծի հատված է, իսկ հորիզոնական պրոյեկցիան՝ այս հատվածի երկարությանը հավասար տրամագծով շրջան (նկ. 143, բ): a կետից դեպի այս շրջանագիծը կապի գիծ գծելով՝ ստացվում է A կետի հորիզոնական պրոյեկցիան։

A կետի պրոֆիլային պրոյեկցիան a» սովորական եղանակով հանդիպում է կապի գծերի խաչմերուկում։

Նույն կերպ կարելի է գտնել կետի ելուստները, որոնք ընկած են, օրինակ, բուրգի կամ գնդակի մակերեսին։ Բուրգը ինքնաթիռով հատելիս. բազայի հետ զուգահեռև տրված կետով անցնելով՝ ձևավորվում է հիմքի նման մի կերպար։ Տվյալ կետի կանխատեսումները ընկած են այս նկարի կանխատեսումների վրա:

Պատասխանել հարցերին

1. Ո՞ր անկյան տակ է գծված օժանդակ գիծը:

2. Որտե՞ղ է գծված օժանդակ գիծը, եթե տրված են առջևի և վերևի տեսքերը, բայց պետք է ձախից տեսարան կառուցել:

3. Ինչպե՞ս որոշել օժանդակ գծի տեղը երեք տեսակի առկայության դեպքում:

4. Ի՞նչ եղանակով է կառուցվում կետի պրոյեկցիաները ըստ տրվածի, եթե օբյեկտի մակերևույթներից մեկը ներկայացված է գծով:

5. Ինչի համար երկրաչափական մարմիններիսկ ո՞ր դեպքերում են հայտնաբերվում դրանց մակերեսի վրա տրված կետի ելուստները՝ օգտագործելով օժանդակ հարթությունը:

§ 20-ի առաջադրանքներ

Վարժություն 68

Գրեք աշխատանքային գրքույկ, դիտումներում թվերով նշված կետերի որ պրոյեկցիաները համապատասխանում են ուսուցչի կողմից ձեզ ցույց տված օրինակի տեսողական պատկերի տառերով նշված կետերին (նկ. 144, ա-դ):

Վարժություն 69

Նկ. 145, a-b տառերընշված է որոշ գագաթների միայն մեկ պրոյեկցիայի միջոցով: Ուսուցչի կողմից ձեզ տրված օրինակում գտե՛ք այս գագաթների մնացած ելքերը և նշանակե՛ք դրանք տառերով։ Օրինակներից մեկում կառուցե՛ք օբյեկտի եզրերին տրված կետերի բացակայող պրոյեկցիաները (նկ. 145, դ և ե): Գունավոր ընդգծիր այն եզրերի ելուստները, որոնց վրա գտնվում են կետերը:Առաջադրանքը կատարիր թափանցիկ թղթի վրա՝ ծածկելով դասագրքի էջում:Կարիք չկա նորից նկարել Նկ.145:

Վարժություն 70

Գտե՛ք օբյեկտի տեսանելի մակերեսների վրա մեկ պրոյեկցիայի կողմից տրված կետերի բացակայող ելքերը (նկ. 146): Նշեք դրանք տառերով: Գույնով ընդգծիր կետերի տրված կանխատեսումները: Տեսողական պատկերը կօգնի ձեզ լուծել խնդիրը: Առաջադրանքը կարելի է կատարել ինչպես աշխատանքային գրքում, այնպես էլ թափանցիկ թղթի վրա՝ այն ծածկելով դասագրքի էջում։ Վերջին դեպքում վերագծեք Նկ. 146-ը պարտադիր չէ։

Վարժություն 71

Ուսուցչի կողմից ձեզ տրված օրինակում նկարեք երեք տեսակ (նկ. 147): Կառուցեք օբյեկտի տեսանելի մակերեսների վրա տրված կետերի բացակայող պրոյեկցիաները: Գույնով ընդգծիր կետերի տրված կանխատեսումները: Նշեք բոլոր կետերի կանխատեսումները: Կետերի կանխատեսումներ կառուցելու համար օգտագործեք օժանդակ ուղիղ գիծ: Կատարեք տեխնիկական գծագիր և կիրառեք դրա վրա տրված միավորներ.

Այս հոդվածը երկու հարցի պատասխանն է՝ «Ի՞նչ է» և «Ինչպես գտնել հարթության վրա կետի նախագծման կոորդինատները«? Նախ, տրվում է անհրաժեշտ տեղեկատվություն պրոյեկցիայի և դրա տեսակների մասին: Այնուհետև տրված է հարթության վրա կետի պրոյեկցիայի սահմանումը և տրված է գրաֆիկական նկարազարդում: Դրանից հետո մեթոդ է ստացվել հարթության վրա կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները գտնելու համար։ Եզրափակելով՝ վերլուծվում են օրինակների լուծումներ, որոնցում հաշվարկվում են տվյալ կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները տվյալ հարթության վրա։

Էջի նավարկություն.

Պրոյեկցիա, պրոյեկցիայի տեսակները՝ անհրաժեշտ տեղեկատվություն։

Տարածական պատկերներն ուսումնասիրելիս գծագրության մեջ հարմար է օգտագործել դրանց պատկերները։ Տարածական գործչի գծագրությունը այսպես կոչված պրոյեկցիաայս ցուցանիշը դեպի ինքնաթիռ: Ինքնաթիռի վրա տարածական գործչի պատկերի կառուցման գործընթացը տեղի է ունենում որոշակի կանոնների համաձայն: Այսպիսով, հարթության վրա տարածական պատկերի կառուցման գործընթացը, կանոնների մի շարքի հետ միասին, որոնցով իրականացվում է այս գործընթացը, կոչվում է. պրոյեկցիաթվեր այս հարթության վրա: Այն հարթությունը, որում կառուցված է պատկերը, կոչվում է պրոյեկցիոն հարթություն.

Կախված այն կանոններից, որոնցով իրականացվում է պրոյեկցիան, կան կենտրոնականև զուգահեռ նախագծում. Մենք չենք մանրամասնի, քանի որ դա դուրս է այս հոդվածի շրջանակներից:

Երկրաչափության մեջ հիմնականում օգտագործվում է զուգահեռ պրոյեկցիայի հատուկ դեպք. ուղղահայաց պրոյեկցիա, որը նաև կոչվում է ուղղանկյուն. Այս տեսակի պրոյեկցիայի անվանման մեջ հաճախ բաց է թողնվում «ուղղահայաց» ածականը։ Այսինքն, երբ երկրաչափության մեջ խոսում են հարթության վրա պատկերի պրոյեկցիայի մասին, սովորաբար նկատի ունեն, որ այս պրոյեկցիան ստացվել է ուղղահայաց պրոյեկցիայի միջոցով (եթե, իհարկե, այլ բան նախատեսված չէ):

Հարկ է նշել, որ պատկերի պրոյեկցիան հարթության վրա այս նկարի բոլոր կետերի պրոյեկցիաների ամբողջությունն է պրոյեկցիոն հարթության վրա: Այլ կերպ ասած, որոշակի գործչի պրոյեկցիան ստանալու համար անհրաժեշտ է հարթության վրա գտնել այս պատկերի կետերի պրոյեկցիաները։ Հոդվածի հաջորդ պարբերությունը պարզապես ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է գտնել կետի պրոյեկցիան հարթության վրա:

Կետի պրոյեկցիան հարթության վրա - սահմանում և նկարազարդում:

Եվս մեկ անգամ շեշտում ենք, որ կխոսենք կետի հարթության վրա ուղղահայաց պրոյեկցիայի մասին։

Եկեք կառուցենք կոնստրուկցիաներ, որոնք կօգնեն մեզ սահմանել կետի պրոյեկցիան հարթության վրա:

Թող եռաչափ տարածության մեջ մեզ տրվի M 1 կետ և հարթություն: Մ 1 կետով ուղիղ a գծենք հարթությանը ուղղահայաց։ Եթե M 1 կետը հարթության մեջ չէ, ապա a ուղիղի և հարթության հատման կետը նշանակում ենք H 1: Այսպիսով, ըստ կառուցման, H 1 կետը M 1 կետից դեպի հարթություն ընկած ուղղահայաց հիմքն է:

Սահմանում.

M 1 կետի պրոյեկցիան հարթության վրաինքնին M 1 կետն է, եթե , կամ H 1 կետը, եթե .

Հետևյալ սահմանումը համարժեք է հարթության վրա կետի նախագծման այս սահմանմանը:

Սահմանում.

Կետի պրոյեկցիան հարթության վրա- սա կա՛մ ինքը կետն է, եթե այն գտնվում է տվյալ հարթության մեջ, կա՛մ այս կետից տվյալ հարթություն ընկած ուղղահայաց հիմքը:

Ստորև բերված գծագրում H 1 կետը M 1 կետի պրոյեկցիան է հարթության վրա. M 2 կետը գտնվում է հարթության մեջ, հետևաբար M 2-ը հենց M 2 կետի պրոյեկցիան է հարթության վրա:

Հարթության վրա կետի պրոյեկցիայի կոորդինատների որոնում – օրինակների լուծում.

Թող Oxyz-ը ներկայացվի եռաչափ տարածության մեջ, կետ և ինքնաթիռ։ Եկեք մեր առջեւ խնդիր դնենք՝ որոշել M 1 կետի հարթության վրա պրոյեկցիայի կոորդինատները։

Խնդրի լուծումը տրամաբանորեն բխում է կետի հարթության վրա պրոյեկցիայի սահմանումից։

M 1 կետի պրոյեկցիան հարթության վրա նշեք H 1 : Ըստ սահմանման՝ կետի պրոյեկցիան հարթության վրա, H 1-ը տվյալ հարթության և հարթությանը ուղղահայաց M 1 կետով անցնող a ուղիղ գծի հատման կետն է։ Այսպիսով, M 1 կետի հարթության վրա պրոյեկցիայի ցանկալի կոորդինատներն են a ուղիղի և հարթության հատման կետի կոորդինատները:

հետևաբար, գտնել կետի նախագծման կոորդինատները ինքնաթիռում ձեզ անհրաժեշտ է՝

Դիտարկենք օրինակներ։

Օրինակ.

Գտեք կետի նախագծման կոորդինատները դեպի ինքնաթիռ .

Լուծում.

Խնդրի պայմանում մեզ տրվում է ձևի հարթության ընդհանուր հավասարում , ուստի այն կազմելու կարիք չունի։

Գրենք a ուղիղի կանոնական հավասարումները, որն անցնում է տվյալ հարթությանը ուղղահայաց M 1 կետով։ Դա անելու համար մենք ստանում ենք a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները: Քանի որ a ուղիղը ուղղահայաց է տվյալ հարթությանը, a ուղիղի ուղղության վեկտորը հարթության նորմալ վեկտորն է. . Այն է, - ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր a . Այժմ մենք կարող ենք գրել ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները տարածության մեջ, որն անցնում է կետով և ունի ուղղության վեկտոր :
.

Կետի հարթության վրա պրոյեկցիայի պահանջվող կոորդինատները ստանալու համար մնում է որոշել գծի հատման կետի կոորդինատները. և ինքնաթիռ . Դա անելու համար ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներից անցնում ենք երկու հատվող հարթությունների հավասարումների, կազմում ենք հավասարումների համակարգ. և գտնել դրա լուծումը: Մենք օգտագործում ենք:

Այսպիսով, կետի պրոյեկցիան դեպի ինքնաթիռ ունի կոորդինատներ.

Պատասխան.

Օրինակ.

AT ուղղանկյուն համակարգ Oxyz կոորդինատները եռաչափ տարածության մեջ տրվում են կետեր և . Որոշե՛ք M 1 կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները ABC հարթության վրա:

Լուծում.

Նախ գրենք երեք տրված կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը.

Բայց եկեք դիտարկենք այլընտրանքային մոտեցում:

Ստացնենք կետի միջով անցնող a գծի պարամետրային հավասարումները և ուղղահայաց ABC հարթությանը: Ինքնաթիռի նորմալ վեկտորն ունի կոորդինատներ, հետևաբար՝ վեկտոր a ուղիղի ուղղության վեկտորն է: Այժմ մենք կարող ենք գրել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները տարածության մեջ, քանի որ գիտենք ուղիղ գծի կետի կոորդինատները ( ) և դրա ուղղության վեկտորի կոորդինատները ( ):

Մնում է որոշել գծի հատման կետի կոորդինատները և ինքնաթիռներ։ Դա անելու համար մենք հարթության հավասարման մեջ փոխարինում ենք.
.

Այժմ պարամետրային հավասարումներով հաշվարկեք x, y և z փոփոխականների արժեքները հետևյալում.
.

Այսպիսով, M 1 կետի պրոյեկցիան ABC հարթության վրա ունի կոորդինատներ:

Պատասխան.

Եզրափակելով՝ եկեք քննարկենք ինչ-որ կետի պրոյեկցիայի կոորդինատները գտնելը կոորդինատային ինքնաթիռներև կոորդինատային հարթություններին զուգահեռ հարթություններ:

կետային կանխատեսումներ Կոորդինատային հարթություններին Oxy, Oxz և Oyz կոորդինատներով կետերն են և համապատասխանաբար. Եվ կետի կանխատեսումները ինքնաթիռում և , որոնք զուգահեռ են համապատասխանաբար Oxy, Oxz և Oyz կոորդինատային հարթություններին, կոորդինատներով կետեր են. և .

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են ստացվել այս արդյունքները:

Օրինակ՝ գտնենք կետի պրոյեկցիան ինքնաթիռի վրա (մյուս դեպքերը նման են դրան):

Այս հարթությունը զուգահեռ է Oyz կոորդինատային հարթությանը և նրա նորմալ վեկտոր. Վեկտորը Oyz հարթությանը ուղղահայաց ուղղի ուղղության վեկտորն է։ Այնուհետև տրված հարթությանը ուղղահայաց M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներն ունեն ձև .

Գտե՛ք ուղիղի և հարթության հատման կետի կոորդինատները։ Դա անելու համար նախ փոխարինում ենք հավասարության հավասարման մեջ՝ , և կետի պրոյեկցիան

Բուգրով Յա.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Առաջին հատոր՝ Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։

Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Անալիտիկ երկրաչափություն.

Դիտարկենք կետերի ելքերը երկու հարթությունների վրա, որոնց համար վերցնում ենք երկու ուղղահայաց հարթություն (նկ. 4), որոնք կանվանենք հորիզոնական ճակատային և հարթություններ: Այս հարթությունների հատման գիծը կոչվում է պրոյեկցիոն առանցք։ Մենք մեկ կետ A նախագծում ենք դիտարկված հարթությունների վրա՝ օգտագործելով հարթ պրոյեկցիա. Դրա համար անհրաժեշտ է Aa և A ուղղահայացները տվյալ կետից իջեցնել դիտարկվող հարթությունների վրա։

Հորիզոնական հարթության վրա պրոյեկցիան կոչվում է պլանի տեսքմիավորներ ԲԱՅՑ, և պրոյեկցիան ա?ճակատային հարթության վրա կոչվում է ճակատային պրոյեկցիա.

Այն կետերը, որոնք պետք է նախագծվեն նկարագրական երկրաչափության մեջ, սովորաբար նշվում են լատինատառ մեծատառերով: A, B, C. Փոքր տառերը օգտագործվում են կետերի հորիզոնական կանխատեսումները նշանակելու համար: ա, բ, գ... Ճակատային ելուստները նշվում են փոքր տառերով՝ վերևում հարվածով ա?, բ?, գ?…

Օգտագործվում է նաև հռոմեական I, II, ... թվերով կետերի նշանակումը, իսկ դրանց կանխատեսումների համար՝ արաբական 1, 2 ... և 1?, 2? ...

Երբ հորիզոնական հարթությունը պտտվում է 90°-ով, կարելի է ձեռք բերել գծագիր, որում երկու հարթությունները գտնվում են նույն հարթության վրա (նկ. 5): Այս նկարը կոչվում է կետային հողամաս.

Ուղղահայաց գծերի միջով Ահև հա?նկարել հարթություն (նկ. 4): Ստացված հարթությունը ուղղահայաց է ճակատային և հորիզոնական հարթություններին, քանի որ այն պարունակում է այդ հարթություններին ուղղահայացներ: հետևաբար, տրված ինքնաթիռըհարթությունների հատման գծին ուղղահայաց։ Ստացված ուղիղ գիծը հատում է հորիզոնական հարթությունը ուղիղ գծով աա x, իսկ ճակատային հարթությունը՝ ուղիղ գծով հա՞ X. Ուղիղ աահ և հա՞ x-ն ուղղահայաց են հարթությունների հատման առանցքին: Այն է Աաաա?ուղղանկյուն է:

Հորիզոնական և ճակատային պրոյեկցիայի հարթությունները համատեղելիս աև ա?ընկած կլինի հարթությունների հատման առանցքին մեկ ուղղահայաց վրա, քանի որ երբ հորիզոնական հարթությունը պտտվում է, հատվածների ուղղահայացությունը աա x և հա՞ x-ը կոտրված չէ:

Մենք դա ստանում ենք պրոյեկցիոն դիագրամի վրա աև ա?ինչ-որ կետ ԲԱՅՑմիշտ պառկեք հարթությունների հատման առանցքին միևնույն ուղղահայաց վրա:

Երկու կանխատեսում ա և ա?ինչ-որ կետի A-ն կարող է եզակիորեն որոշել իր դիրքը տարածության մեջ (նկ. 4): Դա հաստատվում է նրանով, որ ա պրոյեկցիայից դեպի հորիզոնական հարթություն ուղղահայաց կառուցելիս այն կանցնի Ա կետով: Նմանապես, պրոյեկցիայի ուղղահայացը ա?դեպի ճակատային հարթություն կանցնի կետով ԲԱՅՑ, այսինքն կետ ԲԱՅՑընկած է միաժամանակ երկու որոշակի գծերի վրա: Ա կետը նրանց հատման կետն է, այսինքն՝ որոշակի է։

Դիտարկենք ուղղանկյուն Աաա X ա?(նկ. 5), որի համար ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

1) կետային հեռավորություն ԲԱՅՑճակատային հարթությունից հավասար է իր հորիզոնական պրոյեկցիայի հեռավորությանը a հարթությունների հատման առանցքից, այսինքն.

հա? = աա X;

2) կետային հեռավորությունը ԲԱՅՑելուստների հորիզոնական հարթությունից հավասար է նրա ճակատային պրոյեկցիայի հեռավորությանը ա?հարթությունների հատման առանցքից, այսինքն.

Ահ = հա՞ X.

Այլ կերպ ասած, նույնիսկ առանց հողամասի վրա գտնվող կետի, օգտագործելով միայն դրա երկու կանխատեսումները, կարող եք պարզել, թե պրոյեկցիոն հարթություններից յուրաքանչյուրից ինչ հեռավորության վրա է գտնվում այս կետը:

Երկու պրոյեկցիոն հարթությունների հատումը տարածությունը բաժանում է չորս մասի, որոնք կոչվում են քառորդներ(նկ. 6):

Ինքնաթիռների հատման առանցքը հորիզոնական հարթությունը բաժանում է երկու քառորդի՝ առջևի և հետևի, իսկ ճակատային հարթությունը՝ վերին և ստորին քառորդների։ Առաջին քառորդի սահմաններ են համարվում ճակատային հարթության վերին հատվածը և հորիզոնական հարթության առաջի մասը։

Դիագրամը ստանալուց հետո հորիզոնական հարթությունը պտտվում է և համընկնում ճակատային հարթության հետ (նկ. 7): Այս դեպքում հորիզոնական հարթության ճակատը կհամընկնի ճակատային հարթության ներքևի մասի հետ, իսկ հորիզոնական հարթության հետևի մասը՝ ճակատային հարթության վերին մասի հետ։

8-11 նկարներում ներկայացված են A, B, C, D կետերը, որոնք գտնվում են տարածության տարբեր հատվածներում: A կետը առաջին քառորդում է, B կետը երկրորդում, C կետը երրորդում, իսկ D կետը չորրորդում:

Երբ կետերը գտնվում են դրանց առաջին կամ չորրորդ քառորդներում հորիզոնական կանխատեսումներգտնվում են հորիզոնական հարթության առջևի մասում, իսկ գծապատկերի վրա դրանք ընկած են հարթությունների հատման առանցքի տակ: Երբ կետը գտնվում է երկրորդ կամ երրորդ քառորդում, դրա հորիզոնական պրոյեկցիան ընկած կլինի հորիզոնական հարթության հետևի մասում, իսկ հողամասում այն կլինի հարթությունների հատման առանցքի վերևում:

Առջևի կանխատեսումներկետերը, որոնք գտնվում են առաջին կամ երկրորդ քառորդներում, ընկած կլինեն ճակատային հարթության վերին մասում, իսկ գծապատկերի վրա՝ հարթությունների հատման առանցքի վերևում: Երբ կետը գտնվում է երրորդ կամ չորրորդ եռամսյակում, նրա ճակատային պրոյեկցիան գտնվում է հարթությունների հատման առանցքից ցածր:

Ամենից հաճախ իրական շինություններում գործիչը տեղադրվում է տարածության առաջին քառորդում։

Որոշ կոնկրետ դեպքերում կետը ( Ե) կարող է ընկած լինել հորիզոնական հարթության վրա (նկ. 12): Այս դեպքում դրա հորիզոնական պրոյեկցիան e-ն և կետը ինքնին կհամընկնեն: Նման կետի ճակատային պրոյեկցիան կլինի ինքնաթիռների հատման առանցքի վրա:

Այն դեպքում, երբ կետը Դեպիընկած է ճակատային հարթության վրա (նկ. 13), դրա հորիզոնական պրոյեկցիան կընկած է ինքնաթիռների հատման առանցքի վրա, իսկ ճակատային k?ցույց է տալիս այդ կետի իրական գտնվելու վայրը:

Նման կետերի համար նշանը, որ այն ընկած է պրոյեկցիոն հարթություններից մեկի վրա, այն է, որ նրա պրոյեկցիաներից մեկը գտնվում է հարթությունների հատման առանցքի վրա:

Եթե մի կետ ընկած է պրոյեկցիոն հարթությունների հատման առանցքի վրա, ապա այն և նրա երկու ելուստները համընկնում են:

Երբ կետը չի գտնվում պրոյեկցիոն հարթությունների վրա, այն կոչվում է կետ ընդհանուր դիրքը . Հետևյալում, եթե չկան հատուկ նշաններ, ապա դիտարկվող կետը ընդհանուր դիրքի կետ է:

2. Պրոյեկցիոն առանցքի բացակայություն

Բացատրելու համար, թե ինչպես կարելի է ձեռք բերել կետի մոդելային պրոյեկցիաները ուղղահայաց պրոյեկցիոն հարթությունների վրա (նկ. 4), անհրաժեշտ է վերցնել հաստ թղթի կտոր՝ ձգված ուղղանկյունի տեսքով: Այն պետք է թեքվի ելուստների միջև: Ծալովի գիծը կպատկերի հարթությունների հատման առանցքը: Եթե դրանից հետո թեքված թղթի կտորը նորից ուղղվի, մենք ստանում ենք նկարում պատկերվածի նման գծապատկեր։

Երկու պրոյեկցիոն ինքնաթիռները գծագրության հարթության հետ համատեղելով՝ դուք չեք կարող ցույց տալ ծալման գիծը, այսինքն՝ գծապատկերի վրա չգծել հարթությունների հատման առանցքը:

Դիագրամի վրա կառուցելիս միշտ պետք է տեղադրեք կանխատեսումներ աև ա?Ա կետը մեկ ուղղահայաց գծի վրա (նկ. 14), որն ուղղահայաց է հարթությունների հատման առանցքին։ Հետևաբար, նույնիսկ եթե հարթությունների հատման առանցքի դիրքը մնում է չսահմանված, բայց դրա ուղղությունը որոշված է, հարթությունների հատման առանցքը կարող է ուղղահայաց լինել միայն գծապատկերի ուղիղ գծին։ հա?.

Եթե կետային դիագրամի վրա պրոյեկցիոն առանցք չկա, ինչպես առաջին նկարում 14 ա, կարող եք պատկերացնել այս կետի դիրքը տարածության մեջ: Դա անելու համար նկարեք գծին ուղղահայաց ցանկացած վայրում հա?պրոյեկցիայի առանցքը, ինչպես երկրորդ նկարում (նկ. 14) և թեքեք գծագիրը այս առանցքի երկայնքով: Եթե կետերում վերականգնենք ուղղահայացները աև ա?նախքան դրանք հատվելը, դուք կարող եք միավոր ստանալ ԲԱՅՑ. Պրոյեկցիոն առանցքի դիրքը փոխելիս ստացվում են կետի տարբեր դիրքեր պրոյեկցիոն հարթությունների նկատմամբ, սակայն պրոյեկցիայի առանցքի դիրքի անորոշությունը չի ազդում տարածության մի քանի կետերի կամ թվերի հարաբերական դիրքի վրա։

3. Կետի պրոյեկցիաներ երեք պրոյեկցիոն հարթությունների վրա

Դիտարկենք պրոյեկցիաների պրոֆիլային հարթությունը: Երկու ուղղահայաց հարթությունների վրա պրոյեկցիաները սովորաբար որոշում են գործչի դիրքը և հնարավորություն են տալիս պարզել նրա իրական չափերն ու ձևը: Բայց լինում են դեպքեր, երբ երկու կանխատեսումը բավարար չէ։ Այնուհետեւ կիրառեք երրորդ պրոյեկցիայի կառուցումը:

Երրորդ պրոյեկցիոն հարթությունն իրականացվում է այնպես, որ այն միաժամանակ ուղղահայաց լինի երկու պրոյեկցիոն հարթություններին (նկ. 15): Երրորդ ինքնաթիռը կոչվում է պրոֆիլը.

Նման կոնստրուկցիաներում կոչվում է հորիզոնական և ճակատային հարթությունների ընդհանուր գիծ առանցք X , հորիզոնական և պրոֆիլային հարթությունների ընդհանուր գիծը - առանցք ժամը և ճակատային և պրոֆիլային հարթությունների ընդհանուր ուղիղ գիծը. առանցք զ . Կետ Օ, որը պատկանում է բոլոր երեք հարթություններին, կոչվում է սկզբնակետ։

Նկար 15ա-ն ցույց է տալիս կետը ԲԱՅՑև դրա երեք կանխատեսումները: Պրոյեկցիա պրոֆիլի հարթության վրա ( ա??) կոչվում են պրոֆիլի պրոյեկցիաև նշել ա??.

Ստանալ Ա կետի դիագրամ, որը բաղկացած է երեք կանխատեսումներից ա, ա, անհրաժեշտ է կտրել y առանցքի երկայնքով բոլոր հարթություններից գոյացած եռանկյունը (նկ. 15բ) և միավորել այս բոլոր հարթությունները ճակատային պրոյեկցիայի հարթության հետ։ Հորիզոնական հարթությունը պետք է պտտվի առանցքի շուրջ X, իսկ պրոֆիլի հարթությունը գտնվում է առանցքի մոտ զՆկար 15-ի սլաքով նշված ուղղությամբ:

Նկար 16-ը ցույց է տալիս կանխատեսումների դիրքը հա, հա՞և ա??միավորներ ԲԱՅՑ, ստացվել է բոլոր երեք հարթությունները գծագրման հարթության հետ համատեղելու արդյունքում։

Կտրման արդյունքում y-առանցքը գծապատկերի վրա առաջանում է երկու տարբեր տեղերում։ Հորիզոնական հարթության վրա (նկ. 16) այն վերցնում է ուղղահայաց դիրք (առանցքին ուղղահայաց): X), իսկ պրոֆիլի հարթության վրա՝ հորիզոնական (առանցքին ուղղահայաց զ).

Նկար 16-ում ներկայացված են երեք կանխատեսումներ հա, հա՞և ա??Ա կետերը ունեն խիստ սահմանված դիրք գծապատկերի վրա և ենթակա են միանշանակ պայմանների.

աև ա?միշտ պետք է տեղակայված լինի մեկ ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, որն ուղղահայաց է առանցքին X;

ա?և ա??միշտ պետք է տեղակայված լինի նույն հորիզոնական գծի վրա, որն ուղղահայաց է առանցքին զ;

3) երբ գծվում է հորիզոնական պրոյեկցիայի և հորիզոնական գծի միջով, բայց պրոֆիլային պրոյեկցիայի միջոցով ա??- ուղղահայաց ուղիղ գիծ, կառուցված գծերը անպայմանորեն հատվելու են պրոյեկցիոն առանցքների միջև անկյան կիսաչափի վրա, քանի որ նկարը Օաժամը ա 0 ա n-ը քառակուսի է:

Կետի երեք պրոյեկցիա կառուցելիս անհրաժեշտ է ստուգել յուրաքանչյուր կետի բոլոր երեք պայմանների կատարումը։

4. Կետերի կոորդինատները

Տիեզերքում կետի դիրքը կարելի է որոշել օգտագործելով երեք թվեր, որոնք կոչվում են իր կոորդինատները. Յուրաքանչյուր կոորդինատ համապատասխանում է մի կետի հեռավորությանը որոշ պրոյեկցիոն հարթությունից:

Կետային հեռավորություն ԲԱՅՑդեպի պրոֆիլի հարթությունը կոորդինատն է X, որտեղ X = հա՞(նկ. 15), հեռավորությունը դեպի ճակատային հարթություն - y կոորդինատով, և y = հա՞, իսկ հորիզոնական հարթության հեռավորությունը կոորդինատն է զ, որտեղ զ = աԱ.

Նկար 15-ում A կետը զբաղեցնում է ուղղանկյուն տուփի լայնությունը, և այս տուփի չափումները համապատասխանում են այս կետի կոորդինատներին, այսինքն՝ կոորդինատներից յուրաքանչյուրը ներկայացված է Նկար 15-ում չորս անգամ, այսինքն.

x \u003d a A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = ա յ ա?.

Դիագրամում (նկ. 16) x և z կոորդինատները տեղի են ունենում երեք անգամ.

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Բոլոր հատվածները, որոնք համապատասխանում են կոորդինատին X(կամ զ) զուգահեռ են միմյանց: Համակարգել ժամըերկու անգամ ներկայացված է ուղղահայաց առանցքով.

y \u003d Oa y \u003d a x a

և երկու անգամ՝ հորիզոնական տեղակայված.

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Այս տարբերությունն առաջացել է այն պատճառով, որ y-առանցքը դիագրամի վրա առկա է երկու տարբեր դիրքերում:

Հարկ է նշել, որ յուրաքանչյուր պրոյեկցիայի դիրքը գծապատկերի վրա որոշվում է միայն երկու կոորդինատներով, մասնավորապես.

1) հորիզոնական - կոորդինատներ Xև ժամը,

2) ճակատային - կոորդինատներ xև զ,

3) պրոֆիլը` կոորդինատները ժամըև զ.

Օգտագործելով կոորդինատները x, yև զ, դիագրամի վրա կարող եք կառուցել կետի կանխատեսումներ։

Եթե A կետը տրված է կոորդինատներով, ապա դրանց գրառումը սահմանվում է հետևյալ կերպ. X; y; զ).

Կետերի կանխատեսումներ կառուցելիս ԲԱՅՑպետք է ստուգվեն հետևյալ պայմանները.

1) հորիզոնական և ճակատային ելուստներ աև ա? X X;

2) ճակատային և պրոֆիլային պրոեկցիաներ ա?և ա?պետք է տեղակայված լինի առանցքի նույն ուղղահայաց վրա զ, քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր կոորդինատ զ;

3) հորիզոնական պրոյեկցիա և նաև հանվել առանցքից X, ինչպես պրոֆիլի պրոյեկցիան աառանցքից հեռու զ, քանի որ պրոյեկցիան ah? իսկ հա՞ ունեն ընդհանուր կոորդինատ ժամը.

Եթե կետը գտնվում է նախագծման հարթություններից որևէ մեկում, ապա դրա կոորդինատներից մեկը հավասար է զրոյի:

Երբ կետը գտնվում է նախագծման առանցքի վրա, նրա երկու կոորդինատները զրո են:

Եթե կետը գտնվում է սկզբնակետում, ապա նրա բոլոր երեք կոորդինատները զրո են:

Նկար 15ա-ն ցույց է տալիս կետը ԲԱՅՑև դրա երեք կանխատեսումները: Պրոյեկցիա պրոֆիլի հարթության վրա ( ա) կոչվում են պրոֆիլի պրոյեկցիաև նշել ա.

Նկար 16-ը ցույց է տալիս կանխատեսումների դիրքը ա, աև ամիավորներ ԲԱՅՑ, ստացվել է բոլոր երեք հարթությունները գծագրման հարթության հետ համատեղելու արդյունքում։

Նկար 16-ում ներկայացված են երեք կանխատեսումներ ա, աև աԱ կետերը ունեն խիստ սահմանված դիրք գծապատկերի վրա և ենթակա են միանշանակ պայմանների.

աև ամիշտ պետք է տեղակայված լինի մեկ ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, որն ուղղահայաց է առանցքին X;

աև ամիշտ պետք է տեղակայված լինի նույն հորիզոնական գծի վրա, որն ուղղահայաց է առանցքին զ;

3) երբ գծվում է հորիզոնական պրոյեկցիայի և հորիզոնական գծի միջով, բայց պրոֆիլային պրոյեկցիայի միջոցով ա- ուղղահայաց ուղիղ գիծ, կառուցված գծերը անպայմանորեն հատվելու են պրոյեկցիոն առանցքների միջև անկյան կիսաչափի վրա, քանի որ նկարը Օաժամը ա 0 ա n-ը քառակուսի է:

Կետի երեք պրոյեկցիա կառուցելիս անհրաժեշտ է ստուգել յուրաքանչյուր կետի բոլոր երեք պայմանների կատարումը։

Կետերի կոորդինատները

Կետային հեռավորություն ԲԱՅՑդեպի պրոֆիլի հարթությունը կոորդինատն է X, որտեղ X = a˝A(նկ. 15), հեռավորությունը դեպի ճակատային հարթություն - y կոորդինատով, և y = աա, իսկ հորիզոնական հարթության հեռավորությունը կոորդինատն է զ, որտեղ զ = աԱ.

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Դիագրամում (նկ. 16) x և z կոորդինատները տեղի են ունենում երեք անգամ.

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

y \u003d Oa y \u003d a x a

և երկու անգամ՝ հորիզոնական տեղակայված.

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Այս տարբերությունն առաջացել է այն պատճառով, որ y-առանցքը դիագրամի վրա առկա է երկու տարբեր դիրքերում:

1) հորիզոնական - կոորդինատներ Xև ժամը,

2) ճակատային - կոորդինատներ xև զ,

3) պրոֆիլը` կոորդինատները ժամըև զ.

Օգտագործելով կոորդինատները x, yև զ, դիագրամի վրա կարող եք կառուցել կետի կանխատեսումներ։

Եթե A կետը տրված է կոորդինատներով, ապա դրանց գրառումը սահմանվում է հետևյալ կերպ. X; y; զ).

Կետերի կանխատեսումներ կառուցելիս ԲԱՅՑպետք է ստուգվեն հետևյալ պայմանները.

1) հորիզոնական և ճակատային ելուստներ աև ա X X;

2) ճակատային և պրոֆիլային պրոեկցիաներ աև ապետք է տեղակայված լինի առանցքի նույն ուղղահայաց վրա զ, քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր կոորդինատ զ;

3) հորիզոնական պրոյեկցիա և նաև հանվել առանցքից X, ինչպես պրոֆիլի պրոյեկցիան աառանցքից հեռու զ, քանի որ a′ և a˝ պրոյեկցիաներն ունեն ընդհանուր կոորդինատ ժամը.

Եթե կետը գտնվում է նախագծման հարթություններից որևէ մեկում, ապա դրա կոորդինատներից մեկը հավասար է զրոյի:

Երբ կետը գտնվում է նախագծման առանցքի վրա, նրա երկու կոորդինատները զրո են:

Եթե կետը գտնվում է սկզբնակետում, ապա նրա բոլոր երեք կոորդինատները զրո են:

Ուղիղ գծի պրոյեկցիա

Գիծ սահմանելու համար անհրաժեշտ է երկու կետ. Կետը սահմանվում է հորիզոնական և ճակատային հարթությունների վրա երկու ելուստներով, այսինքն՝ ուղիղ գիծը որոշվում է՝ օգտագործելով դրա երկու կետերի կանխատեսումները հորիզոնական և ճակատային հարթությունների վրա:

Նկար 17-ը ցույց է տալիս կանխատեսումները ( աև ա, բև բ) երկու կետ ԲԱՅՑև Բ. Նրանց օգնությամբ որոշ ուղիղ գծի դիրքը ԱԲ. Այս կետերի նույնանուն կանխատեսումները միացնելիս (այսինքն. աև բ, աև բ) կարող եք կանխատեսումներ ստանալ աբև աբուղիղ AB.

Նկար 18-ը ցույց է տալիս երկու կետերի ելուստները, իսկ 19-րդ նկարը ցույց է տալիս դրանց միջով անցնող ուղիղ գծի կանխատեսումները:

Եթե ուղիղ գծի ելքերը որոշվում են նրա երկու կետերի ելուստներով, ապա դրանք նշվում են երկու հարակից լատինատառով, որոնք համապատասխանում են ուղիղ գծի վրա վերցված կետերի ելուստների նշանակումներին. ուղիղ գիծ կամ առանց հարվածների - հորիզոնական պրոյեկցիայի համար:

Եթե դիտարկենք ոչ թե ուղիղ գծի առանձին կետերը, այլ դրա կանխատեսումները որպես ամբողջություն, ապա այդ կանխատեսումները նշվում են թվերով։

Եթե ինչ-որ կետ ԻՑընկած է ուղիղ գծի վրա ԱԲ, նրա պրոյեկցիաները с և с́ գտնվում են նույն գծի պրոյեկցիաների վրա աբև աբ. Նկար 19-ը ցույց է տալիս այս իրավիճակը:

Ուղիղ հետքեր

ուղիղ հետք- սա նրա հատման կետն է ինչ-որ հարթության կամ մակերեսի հետ (նկ. 20):

Հորիզոնական ուղի ուղիղինչ-որ կետ կոչվում է Հորտեղ գիծը հանդիպում է հորիզոնական հարթությանը, և ճակատային- կետ Վ, որում այս ուղիղ գիծը հանդիպում է ճակատային հարթությանը (նկ. 20):

Նկար 21ա-ն ցույց է տալիս ուղիղ գծի հորիզոնական հետքը և նրա ճակատային հետքը՝ Նկար 21բ-ում:

Երբեմն դիտարկվում է նաև ուղիղ գծի պրոֆիլի հետքը, Վ- պրոֆիլային հարթության հետ ուղիղ գծի հատման կետը.

Հորիզոնական հետքը գտնվում է հորիզոնական հարթությունում, այսինքն՝ դրա հորիզոնական պրոյեկցիան հհամընկնում է այս հետքի հետ, իսկ ճակատային հընկած է x առանցքի վրա: Ճակատային հետքը գտնվում է ճակատային հարթությունում, ուստի նրա ճակատային պրոյեկցիան ν́ համընկնում է դրա հետ, իսկ հորիզոնական v-ն՝ x առանցքի վրա։

Այսպիսով, Հ = հ, և Վ= v. Հետևաբար, ուղիղ գծի հետքերը նշելու համար կարող են օգտագործվել տառեր հև v.

Գծի տարբեր դիրքեր

Ուղիղ գիծը կոչվում է ուղղակի ընդհանուր դիրքորոշում, եթե այն ոչ զուգահեռ է, ոչ էլ ուղղահայաց պրոյեկցիոն հարթություններին։ Ընդհանուր դիրքում գծի ելքերը նույնպես ոչ զուգահեռ են, ոչ ուղղահայաց են պրոյեկցիայի առանցքներին:

Ուղիղ գծեր, որոնք զուգահեռ են նախագծման հարթություններից մեկին (ուղղահայաց առանցքներից մեկին):Նկար 22-ը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, որը զուգահեռ է հորիզոնական հարթությանը (ուղղահայաց z-առանցքին), հորիզոնական ուղիղ գիծ է. Նկար 23-ը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, որը զուգահեռ է ճակատային հարթությանը (ուղղահայաց առանցքին ժամը), ճակատային ուղիղ գիծն է. Նկար 24-ը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, որը զուգահեռ է պրոֆիլի հարթությանը (ուղղահայաց առանցքին X), պրոֆիլի ուղիղ գիծ է։ Չնայած այն հանգամանքին, որ այս ուղիղներից յուրաքանչյուրը ուղիղ անկյուն է կազմում առանցքներից մեկի հետ, նրանք չեն հատում այն, այլ միայն հատվում են դրա հետ։

Շնորհիվ այն բանի, որ հորիզոնական գիծը (նկ. 22) զուգահեռ է հորիզոնական հարթությանը, դրա ճակատային և պրոֆիլային ելքերը զուգահեռ կլինեն այն առանցքներին, որոնք սահմանում են հորիզոնական հարթությունը, այսինքն՝ առանցքները։ Xև ժամը. Հետևաբար կանխատեսումներ աբ|| Xև a˝b˝|| ժամը զ. Հորիզոնական պրոյեկցիան ab կարող է ցանկացած դիրք ընդունել սյուժեի վրա:

Ճակատային գծի (նկ. 23) պրոյեկցիայում աբ|| x և a˝b˝ || զ, այսինքն՝ դրանք ուղղահայաց են առանցքին ժամը, և հետևաբար այս դեպքում ճակատային պրոյեկցիան աբգիծը կարող է ցանկացած դիրք գրավել։

Պրոֆիլի գծում (նկ. 24) աբ|| y, աբ|| զ, և երկուսն էլ ուղղահայաց են x առանցքին: Պրոյեկցիա a˝b˝կարող է տեղադրվել դիագրամի վրա ցանկացած ձևով:

Երբ դիտարկվում է այն հարթությունը, որը նախագծում է հորիզոնական գիծը ճակատային հարթության վրա (նկ. 22), դուք կարող եք տեսնել, որ այն նախագծում է նաև այս գիծը պրոֆիլային հարթության վրա, այսինքն՝ այն հարթություն է, որը գծում է գիծը միանգամից երկու պրոյեկցիոն հարթության վրա. ճակատային և պրոֆիլը: Այս պատճառով այն կոչվում է կրկնակի նախագծող հարթություն. Նույն կերպ, ճակատային գծի համար (նկ. 23) կրկնակի ելնող հարթությունն այն արձակում է հորիզոնական և պրոֆիլային ելուստների հարթությունների վրա, իսկ պրոֆիլի համար (նկ. 23)՝ հորիզոնական և ճակատային ելուստների հարթությունների վրա։ .

Երկու կանխատեսումներ չեն կարող սահմանել ուղիղ գիծ: Երկու կանխատեսում 1 և մեկպրոֆիլի ուղիղ գիծը (նկ. 25), առանց դրանց վրա այս ուղիղ գծի երկու կետերի ելուստները նշելու, չի որոշի այս ուղիղ գծի դիրքը տարածության մեջ:

Համաչափության երկու տրված հարթություններին ուղղահայաց հարթությունում կարող է լինել անսահման թվով ուղիղներ, որոնց համար տրված են գծապատկերի տվյալները. 1 և մեկնրանց կանխատեսումներն են։

Եթե կետը գտնվում է գծի վրա, ապա նրա կանխատեսումները բոլոր դեպքերում ընկած են այս գծի նույնանուն պրոյեկցիաների վրա: Հակառակ իրավիճակը միշտ չէ, որ ճիշտ է պրոֆիլի գծի համար: Դրա կանխատեսումների վրա դուք կարող եք կամայականորեն նշել որոշակի կետի կանխատեսումները և վստահ չլինել, որ այդ կետը գտնվում է տվյալ գծի վրա:

Բոլոր երեք հատուկ դեպքերում (նկ. 22, 23 և 24) ուղիղ գծի դիրքը ելուստների հարթության նկատմամբ նրա կամայական հատվածն է։ ԱԲ, վերցված յուրաքանչյուր ուղիղ գծի վրա, նախագծվում է պրոյեկցիոն հարթություններից մեկի վրա՝ առանց աղավաղման, այսինքն՝ այն հարթության վրա, որին այն զուգահեռ է։ Գծի հատված ԱԲհորիզոնական ուղիղ գիծը (նկ. 22) տալիս է իրական չափի պրոեկցիա հորիզոնական հարթության վրա ( աբ = ԱԲ); գծի հատված ԱԲճակատային ուղիղ գիծ (Նկար 23) - ամբողջ չափով ճակատային հարթության V հարթության վրա ( աբ = ԱԲ) և հատվածը ԱԲպրոֆիլի ուղիղ գիծ (նկ. 24) - պրոֆիլի հարթության վրա լրիվ չափով Վ (a˝b˝\u003d AB), այսինքն, հնարավոր է չափել գծագրի վրա հատվածի իրական չափը:

Այսինքն՝ գծագրերի օգնությամբ կարելի է որոշել անկյունների բնական չափերը, որոնք քննարկվող գիծը կազմում է պրոյեկցիոն հարթությունների հետ։

Անկյունը, որը կազմում է ուղիղ գիծը հորիզոնական հարթության հետ Հ, ընդունված է նշել α տառը, ճակատային հարթությամբ՝ β տառը, պրոֆիլային հարթությամբ՝ γ տառը։

Դիտարկվող ուղիղ գծերից որևէ մեկը չունի հետք իրեն զուգահեռ հարթության վրա, այսինքն՝ հորիզոնական ուղիղ գիծը չունի հորիզոնական հետք (նկ. 22), ճակատային ուղիղ գիծը չունի ճակատային հետք (նկ. 23), իսկ պրոֆիլը։ ուղիղ գիծը պրոֆիլային հետք չունի (նկ. 24):

Տիեզերքում և հարթության վրա պատկերների հատկությունների ուսումնասիրությունը անհնար է առանց կետի և այնպիսի երկրաչափական առարկաների միջև եղած հեռավորություններին իմանալու, ինչպիսիք են ուղիղ գիծը և հարթությունը: Այս հոդվածում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել այս հեռավորությունները՝ դիտարկելով կետի պրոյեկցիան հարթության և գծի վրա:

Ուղիղ գծի հավասարումը երկչափ և եռաչափ տարածությունների համար

Կետի ուղիղ գծից և հարթությունից հեռավորությունների հաշվարկն իրականացվում է այդ օբյեկտների վրա դրա պրոյեկցիայի միջոցով: Այս կանխատեսումները գտնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչ ձևով են տրված ուղիղների և հարթությունների հավասարումները: Սկսենք առաջինից։

Ուղիղ գիծը կետերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է ստանալ նախորդից՝ փոխանցվելով միմյանց զուգահեռ վեկտորներին։ Օրինակ, կա M և N կետ: Նրանց միացնող MN վեկտորը տանում է M-ը N: Կա նաև երրորդ կետ P: Եթե MP¯ կամ NP¯ վեկտորը զուգահեռ է MN¯-ին, ապա բոլոր երեք կետերը գտնվում են նույն տողը և ձևավորեք այն:

Կախված տարածության չափից՝ ուղիղ գիծը սահմանող հավասարումը կարող է փոխել դրա ձևը։ Այսպիսով, y կոորդինատի հայտնի գծային կախվածությունը x-ից տարածության մեջ նկարագրում է հարթություն, որը զուգահեռ է երրորդ z առանցքին: Այս առումով, այս հոդվածում մենք կքննարկենք միայն ուղիղ գծի վեկտորային հավասարումը: Այն ունի նույն ձևը հարթության և եռաչափ տարածության համար:

Տիեզերքում ուղիղ գիծ կարելի է տալ հետևյալ արտահայտությամբ.

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α*(a; b; c)

Այստեղ զրոյական ինդեքսներով կոորդինատների արժեքները համապատասխանում են գծին պատկանող ինչ-որ կետի, u¯(a; b; c) ուղղության վեկտորի կոորդինատներն են, որն ընկած է տվյալ գծի վրա, α-ն կամայական իրական թիվ է, փոխելով, որը կարող եք ստանալ գծի բոլոր կետերը: Այս հավասարումը կոչվում է վեկտոր:

Հաճախ վերը նշված հավասարումը գրվում է ընդլայնված ձևով.

Նմանապես, դուք կարող եք գրել հավասարում ուղիղ գծի համար, որը գտնվում է հարթության մեջ, այսինքն՝ երկչափ տարածության մեջ.

(x; y) = (x 0; y 0) + α*(a; b);

Հարթության հավասարում

Որպեսզի կարողանաք գտնել կետից մինչև պրոյեկցիոն հարթությունների հեռավորությունը, դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես է նշված հարթությունը: Ճիշտ այնպես, ինչպես ուղիղ գիծը, այն կարող է ներկայացվել մի քանի ձևով: Այստեղ մենք դիտարկում ենք միայն մեկը՝ ընդհանուր հավասարումը։

Ենթադրենք, որ M(x 0; y 0; z 0) կետը պատկանում է հարթությանը, և n¯(A; B; C) վեկտորը ուղղահայաց է դրան, ապա բոլոր (x; y; z) կետերի համար. հարթությունում հավասարությունը վավեր կլինի.

A*x + B*y + C*z + D = 0, որտեղ D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Պետք է հիշել, որ հարթության այս ընդհանուր հավասարման մեջ A, B և C գործակիցները հարթությանը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են։

Հեռավորությունների հաշվարկն ըստ կոորդինատների

Նախքան կետի հարթության և ուղիղ գծի վրա պրոյեկցիաների դիտարկումը անցնելը, պետք է հիշել, թե ինչպես պետք է հաշվարկել երկու հայտնի կետերի միջև հեռավորությունը:

Թող լինի երկու տարածական կետ.

A 1 (x 1; y 1; z 1) և A 2 (x 2; y 2; z 2)

Այնուհետև նրանց միջև հեռավորությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)

Օգտագործելով այս արտահայտությունը, որոշվում է նաև A 1 A 2 ¯ վեկտորի երկարությունը:

Հարթության դեպքի համար, երբ երկու կետ տրված է ընդամենը մի զույգ կոորդինատներով, մենք կարող ենք գրել նմանատիպ հավասարություն՝ առանց դրանում z-ով անդամի առկայության.

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Այժմ մենք դիտարկում ենք կետի հարթության վրա ուղիղ գծի և տարածության հարթության վրա պրոյեկցիայի տարբեր դեպքեր:

Կետը, գիծը և նրանց միջև հեռավորությունը

Ենթադրենք, որ կա ինչ-որ կետ և գիծ.

P2 (x1; y 1);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Այս երկրաչափական օբյեկտների միջև հեռավորությունը կհամապատասխանի վեկտորի երկարությանը, որի սկիզբը գտնվում է P 2 կետում, իսկ վերջը գտնվում է նշված գծի P կետում, որի համար P 2 P ¯ վեկտորը ուղղահայաց է: այս տողին: P կետը կոչվում է P 2 կետի պրոյեկցիա դիտարկվող գծի վրա։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս P 2 կետը, նրա հեռավորությունը d ուղիղ գծից, ինչպես նաև ուղղորդող վեկտորը v 1 ¯: Նաև գծի վրա ընտրվում է կամայական P 1 կետ և նրանից գծվում է վեկտոր դեպի P 2: Այստեղ P կետը համընկնում է այն վայրի հետ, որտեղ ուղղահայացը հատում է ուղիղը:

Երևում է, որ նարնջագույն և կարմիր սլաքները կազմում են զուգահեռագիծ, որի կողմերն են P 1 P 2 ¯ և v 1 ¯ վեկտորները, իսկ բարձրությունը d է: Երկրաչափությունից հայտնի է, որ զուգահեռագծի բարձրությունը գտնելու համար դրա մակերեսը պետք է բաժանել հիմքի երկարության վրա, որի վրա ուղղահայացն իջեցված է։ Քանի որ զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկվում է որպես նրա կողմերի վեկտորի արտադրյալ, մենք ստանում ենք d-ի հաշվարկման բանաձևը.

դ = ||/|v 1 ¯|

Այս արտահայտության բոլոր վեկտորները և կետերի կոորդինատները հայտնի են, այնպես որ կարող եք օգտագործել այն առանց փոխակերպումների:

Այս խնդիրը կարող էր այլ կերպ լուծվել։ Դրա համար պետք է գրել երկու հավասարումներ.

P 2 P ¯ և v 1 ¯-ի սկալյար արտադրյալը պետք է հավասար լինի զրոյի, քանի որ այս վեկտորները փոխադարձաբար ուղղահայաց են.
P կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն ուղիղ գծի հավասարումը։

Այս հավասարումները բավական են՝ գտնելու P կոորդինատները, իսկ հետո d երկարությունը՝ օգտագործելով նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևը։

Գտեք ուղիղի և կետի միջև հեռավորությունը

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես օգտագործել այս տեսական տեղեկատվությունը կոնկրետ խնդիր լուծելու համար: Ենթադրենք, հայտնի են հետևյալ կետն ու ուղիղը.

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Հարկավոր է գտնել հարթության վրա գծի վրա պրոյեկցիոն կետերը, ինչպես նաև M-ից մինչև գիծ հեռավորությունը։

Գտնվելիք պրոյեկցիան նշեք M 1 կետով (x 1 ; y 1): Մենք այս խնդիրը լուծում ենք նախորդ պարբերությունում նկարագրված երկու եղանակով:

Մեթոդ 1. Ուղղության վեկտորը v 1 ¯ կոորդինատներն ունի (0; 2): Զուգահեռագիծ կառուցելու համար մենք ընտրում ենք ուղիղին պատկանող մի կետ։ Օրինակ՝ կոորդինատներով կետ (3; 1): Այնուհետև զուգահեռագծի երկրորդ կողմի վեկտորը կունենա կոորդինատներ.

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք այն վեկտորների արտադրյալը, որոնք սահմանում են զուգահեռագծի կողմերը.

Մենք այս արժեքը փոխարինում ենք բանաձևով, ստանում ենք d հեռավորությունը M-ից ուղիղ գիծ.

Մեթոդ 2. Այժմ այլ կերպ գտնենք ոչ միայն հեռավորությունը, այլ նաև M-ի ուղիղ գծի վրա պրոյեկցիայի կոորդինատները, ինչպես պահանջում է խնդրի պայմանը։ Ինչպես նշվեց վերևում, խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է կազմել հավասարումների համակարգ։ Այն կունենա հետևյալ ձևը.

(x 1 -5) * 0 + (y 1 +3) * 2 = 0;
(x 1; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Եկեք լուծենք այս համակարգը.

Կոորդինատի սկզբնական կետի պրոյեկցիան ունի M 1 (3; -3): Այնուհետև ցանկալի հեռավորությունը հետևյալն է.

դ = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Ինչպես տեսնում եք, լուծման երկու եղանակներն էլ տվել են նույն արդյունքը, ինչը ցույց է տալիս կատարված մաթեմատիկական գործողությունների ճիշտությունը։

Կետի պրոյեկցիան հարթության վրա

Այժմ հաշվի առեք, թե ինչ է տիեզերքում տրված կետի պրոյեկցիան որոշակի հարթության վրա: Հեշտ է կռահել, որ այս պրոյեկցիան նույնպես մի կետ է, որը սկզբնականի հետ միասին կազմում է հարթությանը ուղղահայացվեկտոր.

Ենթադրենք, որ պրոյեկցիան M կետի հարթության վրա ունի հետևյալ կոորդինատները.

Ինքնաթիռը նկարագրված է հավասարմամբ.

A*x + B*y + C*z + D = 0

Այս տվյալների հիման վրա մենք կարող ենք ձևակերպել ուղիղ գծի հավասարումը, որը հատում է հարթությունը ուղիղ անկյան տակ և անցնում M և M 1 միջով.

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α*(A; B; C)

Այստեղ զրոյական ինդեքսներով փոփոխականները M կետի կոորդինատներն են: M 1 կետի հարթության վրա դիրքը կարելի է հաշվարկել՝ հիմնվելով այն բանի վրա, որ դրա կոորդինատները պետք է բավարարեն երկու գրված հավասարումները: Եթե խնդիրը լուծելիս այս հավասարումները բավարար չեն, ապա կարող են օգտագործվել MM 1 ¯-ի զուգահեռության պայմանը և տվյալ հարթության ուղեցույցի վեկտորը:

Ակնհայտորեն, հարթությանը պատկանող կետի պրոյեկցիան համընկնում է ինքն իր հետ, իսկ համապատասխան հեռավորությունը զրոյական է։

Խնդիր կետի և հարթության հետ

Թող տրվի M(1; -1; 3) կետ և հարթություն, որը նկարագրված է հետևյալով ընդհանուր հավասարումը:

Դուք պետք է հաշվարկեք նախագծման կոորդինատները կետի հարթության վրա և հաշվարկեք այս երկրաչափական օբյեկտների միջև հեռավորությունը:

Սկզբից մենք կառուցում ենք M-ով անցնող և նշված հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գծի հավասարումը։ Կարծես թե.

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Նշանակենք այն կետը, որտեղ այս ուղիղը հատում է հարթությունը՝ M 1: Հարթության և ուղիղ գծի հավասարումները պետք է բավարարվեն, եթե M 1 կոորդինատները փոխարինվեն դրանց մեջ: Հստակ գրելով ուղիղ գծի հավասարումը, մենք ստանում ենք հետևյալ չորս հավասարումները.

X 1 + 3 * y 1 -2 * z 1 + 4 = 0;
y 1 \u003d -1 + 3 * α;

Վերջին հավասարությունից ստանում ենք α պարամետրը, այնուհետև այն փոխարինում ենք նախավերջին և երկրորդ արտահայտության մեջ՝ ստանում ենք.

y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \u003d -3 / 2 * z 1 + 3.5;
x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 \u003d 1/2 * z 1 - 1/2

Մենք y 1 և x 1 արտահայտությունը փոխարինում ենք հարթության հավասարման մեջ, ունենք.

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3.5) -2*z 1 + 4 = 0

Որտեղ ենք մենք ստանում.

y 1 \u003d -3 / 2 * 15/7 + 3.5 \u003d 2/7;
x 1 = 1/2 * 15/7 - 1/2 = 4/7

Մենք որոշել ենք, որ M կետի պրոյեկցիան տվյալ հարթության վրա համապատասխանում է կոորդինատներին (4/7; 2/7; 15/7):

Հիմա եկեք հաշվարկենք հեռավորությունը |MM 1 ¯|: Համապատասխան վեկտորի կոորդինատներն են.

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Պահանջվող հեռավորությունը հետևյալն է.

դ = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1.6

Երեք նախագծման կետեր

Գծագրերի պատրաստման ժամանակ հաճախ անհրաժեշտ է լինում ձեռք բերել հատվածների պրոյեկցիաներ միմյանց ուղղահայաց երեք հարթությունների վրա: Հետևաբար, օգտակար է դիտարկել, թե ինչպիսին կլինեն կոորդինատներով M կետի (x 0; y 0; z 0) կանխատեսումները երեք կոորդինատային հարթությունների վրա:

Դժվար չէ ցույց տալ, որ xy հարթությունը նկարագրված է z = 0 հավասարմամբ, xz հարթությունը համապատասխանում է y = 0 արտահայտությանը, իսկ մնացած yz հարթությունը նշանակվում է x = 0-ով: Հեշտ է կռահել, որ կանխատեսումները. 3 հարթության մի կետը հավասար կլինի.

x = 0-ի համար: (0; y 0; z 0);
y = 0-ի համար (x 0; 0; z 0);
z = 0-ի համար (x 0; y 0; 0)

Որտե՞ղ է կարևոր իմանալ կետի կանխատեսումները և հարթությունների հեռավորությունները:

Տվյալ հարթության վրա կետերի պրոյեկցիայի դիրքի որոշումը կարևոր է թեքված պրիզմաների և բուրգերի մակերեսի մակերեսը և ծավալը գտնելիս: Օրինակ, բուրգի գագաթից մինչև հիմքի հարթությունը հեռավորությունը բարձրությունն է: Վերջինս ներառված է այս ցուցանիշի ծավալի բանաձեւում։

Կետից ուղիղ գիծ և հարթություն կանխատեսումների և հեռավորությունների որոշման դիտարկված բանաձևերը և մեթոդները բավականին պարզ են: Կարևոր է միայն հիշել հարթության և գծի հավասարումների համապատասխան ձևերը, ինչպես նաև ունենալ լավ տարածական երևակայություն՝ դրանք հաջողությամբ կիրառելու համար։