Որտեղ է բուրգի եզրը: Բուրգը և դրա տարրերը. Բուրգը որպես երկրաչափական մարմին

C2 խնդիրը կոորդինատային մեթոդով լուծելիս շատ ուսանողներ բախվում են նույն խնդրին: Չեն կարողանում հաշվարկել կետի կոորդինատներըներառված է սկալյար արտադրանքի բանաձևում: Ամենամեծ դժվարություններն են բուրգեր. Իսկ եթե բազային կետերը քիչ թե շատ նորմալ են համարվում, ապա գագաթներն իսկական դժոխք են։

Այսօր մենք գործ կունենանք կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հետ։ Կա նաև եռանկյուն բուրգ (aka - քառաեդրոն) Սա ավելի բարդ դիզայն է, ուստի առանձին դաս կնվիրվի դրան:

Սկսենք սահմանումից.

Սովորական բուրգն այն բուրգն է, որտեղ.

Հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է՝ եռանկյուն, քառակուսի և այլն;

Հիմքին գծված բարձրությունն անցնում է նրա կենտրոնով։

Մասնավորապես, քառանկյուն բուրգի հիմքն է քառակուսի. Ճիշտ այնպես, ինչպես Cheops-ը, միայն մի փոքր ավելի փոքր:

Ստորև բերված են բուրգի հաշվարկները, որոնց բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի: Եթե դա այդպես չէ ձեր խնդրի դեպքում, ապա հաշվարկները չեն փոխվում, պարզապես թվերը տարբեր կլինեն:

Քառանկյուն բուրգի գագաթներ

Այսպիսով, թող տրվի SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգ, որտեղ S-ը գագաթն է, ABCD-ի հիմքը քառակուսի է։ Բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի: Պահանջվում է մտնել կոորդինատային համակարգ և գտնել բոլոր կետերի կոորդինատները: Մենք ունենք:

Մենք ներկայացնում ենք կոորդինատային համակարգ A կետի սկզբնավորմամբ.

OX առանցքն ուղղված է AB եզրին զուգահեռ;
OY առանցք - AD-ին զուգահեռ: Քանի որ ABCD-ն քառակուսի է, AB ⊥ AD ;
Վերջապես, OZ առանցքը ուղղված է դեպի վեր՝ ABCD հարթությանը ուղղահայաց:

Այժմ մենք դիտարկում ենք կոորդինատները: Լրացուցիչ կոնստրուկցիա. SH - բարձրությունը ձգված է դեպի հիմքը: Հարմարության համար մենք բուրգի հիմքը կհանենք առանձին պատկերով։ Քանի որ A , B , C և D կետերը գտնվում են OXY հարթությունում, դրանց կոորդինատը z = 0 է: Մենք ունենք.

A = (0; 0; 0) - համընկնում է ծագման հետ;
B = (1; 0; 0) - քայլ առ 1 OX առանցքի երկայնքով սկզբնակետից;
C = (1; 1; 0) - քայլ առ 1 OX առանցքի երկայնքով և 1-ով OY առանցքի երկայնքով;
D = (0; 1; 0) - քայլեք միայն OY առանցքի երկայնքով:
H \u003d (0.5; 0.5; 0) - քառակուսի կենտրոն, AC հատվածի կեսը:

Մնում է գտնել Ս կետի կոորդինատները։ Նշենք, որ S և H կետերի x և y կոորդինատները նույնն են, քանի որ դրանք գտնվում են OZ առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա: Մնում է գտնել S կետի z կոորդինատը:

Դիտարկենք ASH և ABH եռանկյունները.

AS = AB = 1 պայմանով;
Անկյուն AHS = AHB = 90°, քանի որ SH-ն բարձրությունն է, իսկ AH ⊥ HB՝ որպես քառակուսի անկյունագծեր;
Side AH - ընդհանուր:

հետևաբար, ուղղանկյուն եռանկյուններ ASH և ABH հավասարմեկ ոտք և մեկ հիպոթենուզ: Այսպիսով, SH = BH = 0,5 BD: Բայց BD-ն 1-ին կողմ ունեցող քառակուսու անկյունագիծն է: Այսպիսով, մենք ունենք.

S կետի ընդհանուր կոորդինատները.

Եզրափակելով, մենք գրում ենք կանոնավոր ուղղանկյուն բուրգի բոլոր գագաթների կոորդինատները.

Ինչ անել, երբ կողոսկրերը տարբեր են

Բայց ի՞նչ, եթե բուրգի կողային եզրերը հավասար չեն հիմքի եզրերին: Այս դեպքում հաշվի առեք AHS եռանկյունը.

Եռանկյուն AHS- ուղղանկյուն, իսկ AS հիպոթենուզը նույնպես սկզբնական SABCD բուրգի կողային եզրն է: Ոտքը AH հեշտությամբ համարվում է. AH = 0.5 AC: Գտեք մնացած ոտքը SH ըստ Պյութագորասի թեորեմի. Սա կլինի z կոորդինատը S կետի համար:

Առաջադրանք. Տրված է SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգ, որի հիմքում ընկած է 1 կողմով քառակուսի: Կողային եզր BS = 3. Գտե՛ք S կետի կոորդինատները:

Մենք արդեն գիտենք այս կետի x և y կոորդինատները՝ x = y = 0,5: Սա բխում է երկու փաստից.

S կետի պրոյեկցիան OXY հարթության վրա H կետն է;
Միևնույն ժամանակ, H կետը ABCD քառակուսու կենտրոնն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են 1-ի:

Մնում է գտնել Ս կետի կոորդինատը։ Դիտարկենք AHS եռանկյունը: Այն ուղղանկյուն է, AS = BS = 3 հիպոթենուսով, AH ոտքը անկյունագծի կեսն է: Հետագա հաշվարկների համար մեզ անհրաժեշտ է դրա երկարությունը.

Պյութագորասի թեորեմ AHS եռանկյան համար. AH 2 + SH 2 = AS 2: Մենք ունենք:

Այսպիսով, S կետի կոորդինատները.

Բուրգի հայեցակարգ

Սահմանում 1

Երկրաչափական պատկերը, որը ձևավորվում է բազմանկյունով և այն կետով, որը չի գտնվում այս բազմանկյունը պարունակող հարթության մեջ և կապված է բազմանկյան բոլոր գագաթներին, կոչվում է բուրգ (նկ. 1):

Այն բազմանկյունը, որից կազմված է բուրգը, կոչվում է բուրգի հիմք, կետի հետ միանալուց ստացված եռանկյունները բուրգի կողային երեսներն են, եռանկյունների կողմերը՝ բուրգի կողմերը, իսկ բոլորի համար ընդհանուր կետը։ եռանկյունները բուրգի գագաթն են:

Բուրգերի տեսակները

Կախված բուրգի հիմքի անկյունների քանակից, այն կարելի է անվանել եռանկյուն, քառանկյուն և այլն (նկ. 2):

Նկար 2.

Բուրգի մեկ այլ տեսակ սովորական բուրգն է:

Եկեք ներկայացնենք և ապացուցենք սեփականությունը ճիշտ բուրգ.

Թեորեմ 1

Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են, որոնք հավասար են միմյանց:

Ապացույց.

Դիտարկենք սովորական $n-$gonal բուրգը $S$ բարձրության $h=SO$ գագաթով: Նկարագրենք հիմքի շուրջ շրջան (նկ. 4):

Նկար 4

Դիտարկենք $SOA$ եռանկյունը: Պյութագորասի թեորեմով մենք ստանում ենք

Ակնհայտ է, որ ցանկացած կողային եզր կսահմանվի այս կերպ: Այսպիսով, բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, այսինքն, բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են: Եկեք ապացուցենք, որ նրանք հավասար են միմյանց։ Քանի որ հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, բոլոր կողային երեսների հիմքերը հավասար են միմյանց: Հետևաբար, բոլոր կողային երեսները հավասար են եռանկյունների հավասարության III նշանի համաձայն։

Թեորեմն ապացուցված է.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք կանոնավոր բուրգ հասկացության հետ կապված հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 3

Կանոնավոր բուրգի ապոտեմը նրա կողային երեսի բարձրությունն է։

Ակնհայտ է, որ թեորեմ 1-ով բոլոր ապոթեմները հավասար են:

Թեորեմ 2

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը սահմանվում է որպես հիմքի կիսաշրջագծի և ապոտեմի արտադրյալ:

Ապացույց.

$n-$ածխային բուրգի հիմքի կողմը նշանակենք $a$-ով, իսկ ապոտեմը $d$-ով։ Հետևաբար, կողային դեմքի մակերեսը հավասար է

Քանի որ թեորեմ 1-ով բոլոր կողմերը հավասար են, ուրեմն

Թեորեմն ապացուցված է.

Բուրգի մեկ այլ տեսակ է կտրված բուրգը:

Սահմանում 4

Եթե իր հիմքին զուգահեռ հարթությունը գծվում է սովորական բուրգի միջով, ապա այս հարթության և հիմքի հարթության միջև ձևավորված պատկերը կոչվում է կտրված բուրգ (նկ. 5):

Նկար 5. Կտրված բուրգ

Կտրված բուրգի կողային երեսները trapezoids են:

Թեորեմ 3

Կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը սահմանվում է որպես հիմքերի կիսաշրջագծերի գումարի և ապոտեմի արտադրյալ:

Ապացույց.

$n-$ածխային բուրգի հիմքերի կողմերը նշանակենք համապատասխանաբար $a\ և\ b$-ով, իսկ ապոտեմը $d$-ով։ Հետևաբար, կողային դեմքի մակերեսը հավասար է

Քանի որ բոլոր կողմերը հավասար են, ուրեմն

Թեորեմն ապացուցված է.

Առաջադրանքի օրինակ

Օրինակ 1

Գտեք կտրված եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսի մակերեսը, եթե այն ստացվել է 4-րդ հիմքով և ապոտեմ 5-ով կանոնավոր բուրգից՝ կտրվելով կողային երեսների միջին գծով անցնող հարթությամբ:

Լուծում.

մասին թեորեմի համաձայն միջին գիծմենք ստանում ենք, որ կտրված բուրգի վերին հիմքը հավասար է $4\cdot \frac(1)(2)=2$-ի, իսկ ապոտեմը հավասար է $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$-ի։

Այնուհետև, թեորեմ 3-ով, մենք ստանում ենք

Մենք լավ գիտենք եգիպտական մեծ բուրգերը, բոլորը կարող են պատկերացնել, թե ինչ տեսք ունեն դրանք։ Այս ներկայացումը կօգնի մեզ հասկանալ այդպիսիների առանձնահատկությունները երկրաչափական պատկերինչպես բուրգը:

Բուրգը բազմանկյուն է, որը բաղկացած է հարթ բազմանկյունից՝ բուրգի հիմքից, կետ, որը չի գտնվում հիմքի հարթությունում՝ բուրգի գագաթին և գագաթը հիմքի կետերի հետ կապող բոլոր հատվածներից: Այն հատվածները, որոնք միացնում են բուրգի գագաթը հիմքի գագաթին, կոչվում են կողային եզրեր։ Նկ. 1-ը ցույց է տալիս SABCD բուրգը: ABCD քառանկյունը բուրգի հիմքն է, S կետը բուրգի գագաթն է, SA, SB, SC և SD հատվածները բուրգի եզրերն են:

Բուրգի բարձրությունը բուրգի գագաթից դեպի հիմքի հարթությունն ընկած ուղղահայացն է: Նկ. 1 SO-ը բուրգի բարձրությունն է:

Բուրգը կոչվում է n-gonal, եթե դրա հիմքը n-gon է: Նկար 1-ում ներկայացված է քառանկյուն բուրգ: Եռանկյուն բուրգը կոչվում է քառանիստ:

Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ բարձրության հիմքը համընկնում է այս բազմանկյան կենտրոնի հետ։ Կանոնավոր բուրգի կողային եզրերը հավասար են, և, հետևաբար, կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են: Կանոնավոր բուրգում բուրգի գագաթից գծված կողային երեսի բարձրությունը կոչվում է ապոտեմ։

Բուրգը մի շարք հատկություններ ունի.

Բուրգի բոլոր անկյունագծերը պատկանում են նրա դեմքերին:

Եթե բոլոր կողային եզրերը հավասար են, ապա.

բուրգի հիմքի մոտ կարելի է նկարագրել շրջան, և բուրգի գագաթը նախագծված է նրա կենտրոնում.
կողային կողիկներ են ձևավորվում հիմքի հարթության հետ հավասար անկյուններև հակառակը, եթե կողային ծայրերը հավասար անկյուններ են կազմում բազային հարթության հետ կամ եթե բուրգի հիմքի մոտ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել, և բուրգի գագաթը ցցված է կենտրոնի մեջ, ապա բուրգի բոլոր կողային եզրերը։ հավասար են.

Եթե կողային երեսները մեկ անկյան տակ թեքված են դեպի բազային հարթությունը, ապա.

բուրգի հիմքում կարելի է շրջան գրել, իսկ բուրգի գագաթը նախագծված է նրա կենտրոնում.
կողային երեսների բարձրությունները հավասար են.
կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողային երեսի բարձրության արտադրյալի կեսին:

Դիտարկենք բուրգի ծավալը, մակերեսի մակերեսը գտնելու բանաձևերը:

Բուրգի ծավալը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.

որտեղ S-ը հիմքի մակերեսն է, իսկ h-ը՝ բարձրությունը:

Բուրգի ընդհանուր մակերեսը գտնելու համար օգտագործեք բանաձևը.

S p \u003d S b + S o,

որտեղ S p-ը մակերեսի ընդհանուր մակերեսն է, S b-ը կողային մակերեսն է, S o-ը հիմքի մակերեսն է:

Կտրված բուրգը բուրգի հիմքի և դրա հիմքին զուգահեռ կտրող հարթության միջև պարփակված բազմանիստ բուրգ է։ Կտրված բուրգի երեսները, որոնք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում, կոչվում են կտրված բուրգի հիմքեր, մնացած երեսները՝ կողային երեսներ։ Կտրված բուրգի հիմքերը նման բազմանկյուններ են, կողային երեսները՝ trapezoids։ Կտրված բուրգը, որը ստացվում է կանոնավոր բուրգից, կոչվում է կանոնավոր։ կտրված բուրգ. Կանոնավոր կտրված տրապիզոնի կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ տրապիզոիդներ են, դրանց բարձրությունները կոչվում են ապոթեմներ։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Բուրգ- սա պոլիէդրոն է, որն ունի մեկ դեմք՝ բուրգի հիմքը՝ կամայական բազմանկյուն, իսկ մնացածը՝ կողային երեսներ՝ ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ, որոնք կոչվում են բուրգի գագաթ: Բուրգի գագաթից մինչև դրա հիմքն ընկած ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրությունը. Բուրգը կոչվում է եռանկյուն, քառանկյուն և այլն, եթե բուրգի հիմքը եռանկյուն է, քառանկյուն և այլն։ Եռանկյուն բուրգը քառաեդրոն է՝ քառաեդրոն։ Քառանկյուն - հնգանկյուն և այլն:

Բուրգ, Կտրված բուրգ

Ճիշտ բուրգ

Եթե բուրգի հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և բարձրությունը նվազում է մինչև հիմքի կենտրոնը, ապա բուրգը կանոնավոր է։ Կանոնավոր բուրգում բոլոր կողային եզրերը հավասար են, բոլոր կողային երեսները հավասար հավասարաչափ եռանկյուններ են: Կանոնավոր բուրգի կողային երեսի եռանկյան բարձրությունը կոչվում է − աջ բուրգի ապոտեմ.

Կտրված բուրգ

խաչաձեւ հատվածը բազան զուգահեռբուրգը բուրգը բաժանում է երկու մասի. Բուրգի հատվածն իր հիմքի և այս հատվածի միջև է կտրված բուրգ . Կտրված բուրգի այս հատվածը դրա հիմքերից մեկն է: Կտրված բուրգի հիմքերի միջև հեռավորությունը կոչվում է կտրված բուրգի բարձրություն: Կտրված բուրգը կոչվում է ճիշտ, եթե ճիշտ է եղել այն բուրգը, որից այն ստացվել է: Կանոնավոր կտրված բուրգի բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ տրապիզոիդներ են: Կանոնավոր կտրված բուրգի տրապիզոիդ կողային երեսի բարձրությունը կոչվում է. կանոնավոր կտրված բուրգի ապոտեմ.

Դիտարկենք բուրգերի հատկությունները, որոնցում կողային երեսները ուղղահայաց են հիմքին:

Եթե Բուրգի երկու հարակից կողային երեսները ուղղահայաց են հիմքին, ապա Այս երեսների ընդհանուր կողային եզրը բուրգի բարձրությունն է. Եթե առաջադրանքն ասում է, որ բուրգի եզրը նրա բարձրությունն է, ապա խոսքը այս տեսակի բուրգերի մասին է։

Բուրգի երեսները, որոնք ուղղահայաց են հիմքին, ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Եթե բուրգի հիմքը եռանկյուն է

Նման բուրգի կողային մակերեսը սովորաբար դիտվում է որպես բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումար:

Բուրգի հիմքն է ուղղանկյուն պրոյեկցիադեմք, որը ուղղահայաց չէ հիմքին (այս դեպքում՝ SBC): Այսպիսով, ըստ ուղղանկյուն նախագծման տարածքի թեորեմի, բազային տարածքը հավասար է այս դեմքի տարածքի արտադրյալին նրա և բազային հարթության միջև անկյան կոսինուսով:

Եթե բուրգի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է

Այս դեպքում բուրգի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն եռանկյունիներ են.

SAB և SAC եռանկյունները ուղղանկյուն են, քանի որ SA բուրգի բարձրությունն է: ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

SBC եռանկյան ուղղանկյուն լինելու փաստը բխում է երեք ուղղանկյունների թեորեմից (AB-ն թեք SB-ի պրոյեկցիան է հիմքի հարթության վրա։ Քանի որ AB-ն պայմանով ուղղահայաց է BC-ին, ապա SB-ն նույնպես ուղղահայաց է BC-ին։ )

SBC կողմի երեսի և հիմքի միջև ընկած անկյունն այս դեպքում ABS անկյունն է:

Կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսների գումարին.

Քանի որ այս դեպքում

Եթե բուրգի հիմքը հավասարաչափ եռանկյուն է

Այս դեպքում BCS կողային երեսի հարթության և հիմքի հարթության միջև ընկած անկյունը AFS անկյունն է, որտեղ AF-ը հավասարաչափ եռանկյան ABC բարձրությունն է, միջինը և կիսաչափը:

Նմանապես, եթե բուրգի հիմքում ընկած է ABC հավասարակողմ եռանկյունը:

Եթե բուրգի հիմքը զուգահեռագիծ է

Այս դեպքում բուրգի հիմքը հանդիսանում է հիմքին ոչ ուղղահայաց կողային երեսների ուղղանկյուն ելուստ:

Եթե հիմքը բաժանենք երկու եռանկյունի, ապա

որտեղ α և β, համապատասխանաբար, ADS և CDS հարթությունների և բազային հարթությունների միջև եղած անկյուններն են:

Եթե BF-ն և BK-ն զուգահեռագծի բարձրություններն են, ապա BFS անկյունը CDS կողմի երեսի թեքության անկյունն է դեպի բազային հարթությունը, իսկ BKS անկյունը ADS երեսի թեքության անկյունն է:

(գծանկարը արված է այն դեպքի համար, երբ B-ն բութ անկյուն է):

Եթե բուրգի հիմքը ABCD ռոմբ է, ապա BFS և BKS անկյունները հավասար են: ABS և CBS եռանկյունները, ինչպես նաև ADS և CDS եռանկյունները նույնպես այս դեպքում հավասար են:

Եթե բուրգի հիմքը ուղղանկյուն է

Այս դեպքում SAD կողային երեսի հարթության և հիմքի հարթության միջև անկյունը SAB անկյունն է,