Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասարան: 11

Դաս 1

Թեմա: 11-րդ դասարան (քննության նախապատրաստում)

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում.

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. (2 ժամ)

Նպատակները:

• Համակարգել, ընդհանրացնել, ընդլայնել ուսանողների գիտելիքներն ու հմտությունները՝ կապված եռանկյունաչափության բանաձևերի կիրառման և ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ։

Սարքավորումներ դասի համար.

Դասի կառուցվածքը.

1. Օրգմոմենտ
2. Թեստավորում նոութբուքերի վրա. Արդյունքների քննարկում.
3. Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում
4. Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում
5. Անկախ աշխատանք.
6. Դասի ամփոփում. Տնային առաջադրանքի բացատրություն.

1. Կազմակերպչական պահ. (2 րոպե)

Ուսուցիչը ողջունում է ներկաներին, հայտարարում դասի թեման, հիշում է, որ նախկինում առաջադրանք է տրված կրկնել եռանկյունաչափության բանաձևերը և ուսանողներին դնում է թեստավորման:

2. Փորձարկում. (15 րոպե + 3 րոպե քննարկում)

Նպատակը եռանկյունաչափական բանաձևերի իմացության և դրանք կիրառելու կարողության ստուգումն է։ Յուրաքանչյուր ուսանող իր սեղանին ունի նոութբուք, որի մեջ կա թեստային տարբերակ:

Կարող է լինել ցանկացած թվով տարբերակներ, ես դրանցից մեկի օրինակը կտամ.

I տարբերակ.

Պարզեցնել արտահայտությունները.

ա) հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները

1. մեղք 2 3y + cos 2 3y + 1;

բ) ավելացման բանաձևեր

3. sin5x - sin3x;

գ) արտադրանքը գումարի վերածելը

6. 2sin8y cos3y;

դ) կրկնակի անկյունային բանաձևեր

7.2sin5x cos5x;

ե) կես անկյունային բանաձևեր

զ) եռակի անկյան բանաձևեր

է) ունիվերսալ փոխարինում

ը) աստիճանի իջեցում

16. cos 2 (3x/7);

Յուրաքանչյուր բանաձևի դիմաց նոութբուքի վրա գտնվող ուսանողները տեսնում են իրենց պատասխանները:

Աշխատանքն ակնթարթորեն ստուգվում է համակարգչի կողմից։ Արդյունքները ցուցադրվում են մեծ էկրանի վրա, որպեսզի բոլորը տեսնեն:

Ինչպես նաև աշխատանքի ավարտից հետո ճիշտ պատասխանները ցուցադրվում են սովորողների դյուրակիր համակարգիչների վրա։ Յուրաքանչյուր աշակերտ տեսնում է, թե որտեղ է կատարվել սխալը և ինչ բանաձեւեր է պետք կրկնել:

3. Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում. (25 րոպե)

Նպատակն է կրկնել, մշակել և համախմբել եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի կիրառումը։ Քննությունից B7 խնդիրների լուծում.

Այս փուլում նպատակահարմար է դասարանը բաժանել ուժեղ (աշխատել ինքնուրույն՝ հետագա ստուգմամբ) և թույլ ուսանողների խմբերի, ովքեր աշխատում են ուսուցչի հետ:

Առաջադրանք ուժեղ ուսանողների համար (նախապես պատրաստված տպագիր հիմունքներով). Հիմնական շեշտը դրվում է կրճատման և կրկնակի անկյունային բանաձևերի վրա՝ համաձայն USE 2011 թ.

Պարզեցրեք արտահայտությունները (ուժեղ սովորողների համար).

Զուգահեռաբար ուսուցիչը աշխատում է թույլ սովորողների հետ՝ աշակերտների թելադրանքով էկրանին առաջադրանքներ քննարկելով ու լուծելով։

Հաշվարկել.

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Պարզեցնել.

Հերթը հասավ քննարկելու ուժեղ խմբի աշխատանքի արդյունքները։

Էկրանին հայտնվում են պատասխաններ, ինչպես նաև տեսախցիկի օգնությամբ ցուցադրվում է 5 տարբեր սովորողների աշխատանքը (յուրաքանչյուրի համար մեկ առաջադրանք)։

Թույլ խումբը տեսնում է պայմանն ու լուծման եղանակը։ Կա քննարկում, վերլուծություն։ Տեխնիկական միջոցների կիրառմամբ դա տեղի է ունենում արագ։

4. Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. (30 րոպե.)

Նպատակը ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը կրկնել, համակարգել և ընդհանրացնելն է՝ գրանցելով դրանց արմատները։ Բ3 խնդրի լուծում.

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում, անկախ նրանից, թե ինչպես ենք այն լուծել, հանգեցնում է ամենապարզին:

Առաջադրանքը կատարելիս ուսանողները պետք է ուշադրություն դարձնեն առանձին դեպքերի և ընդհանուր ձևի հավասարումների արմատները գրելու և վերջին հավասարման մեջ արմատների ընտրությանը:

Լուծել հավասարումներ.

Գրի՛ր պատասխանի ամենափոքր դրական արմատը:

5. Անկախ աշխատանք (10ր.)

Նպատակն է՝ ստուգել ձեռք բերված հմտությունները, բացահայտել խնդիրները, սխալները և դրանց վերացման ուղիները։

Ուսանողի ընտրությամբ առաջարկվում է աշխատանքի բազմազանություն:

Տարբերակ «3»-ի համար

1) Գտեք արտահայտության արժեքը

2) Պարզեցրե՛ք 1 - sin 2 3α - cos 2 3α արտահայտությունը

3) Լուծե՛ք հավասարումը

Տարբերակ «4»-ի համար

1) Գտեք արտահայտության արժեքը

2) Լուծե՛ք հավասարումը Գրեք ձեր պատասխանի ամենափոքր դրական արմատը:

Տարբերակ «5»-ի համար

1) Գտեք tgα, եթե

2) Գտե՛ք հավասարման արմատը Գրեք ձեր պատասխանի ամենափոքր դրական արմատը:

6. Դասի ամփոփում (5ր.)

Ուսուցիչը ամփոփում է այն փաստը, որ դասի կրկնվող և համախմբված եռանկյունաչափական բանաձևերը, ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը:

Տնային առաջադրանքը նշանակվում է (նախապես պատրաստված է տպագիր հիմունքներով) հաջորդ դասին տեղում ստուգումով։

Լուծել հավասարումներ.

9)

10) Տվեք ձեր պատասխանը որպես ամենափոքր դրական արմատ:

Դաս 2

Թեմա: 11-րդ դասարան (քննության նախապատրաստում)

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ. Արմատային ընտրություն. (2 ժամ)

Նպատակները:

• Ընդհանրացնել և համակարգել գիտելիքները տարբեր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման վերաբերյալ:
• Նպաստել ուսանողների մաթեմատիկական մտածողության զարգացմանը, դիտարկելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, դասակարգելու կարողությանը:
• Խրախուսեք ուսանողներին հաղթահարել մտավոր գործունեության գործընթացում առկա դժվարությունները, ինքնատիրապետումը, իրենց գործունեության ներդաշնակությունը:

Սարքավորումներ դասի համար. KRMu, նոութբուքեր յուրաքանչյուր ուսանողի համար:

Դասի կառուցվածքը.

1. Օրգմոմենտ
2. Քննարկում d/s and samot. վերջին դասի աշխատանքը
3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների կրկնություն:
4. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում
5. Արմատների ընտրություն եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ.
6. Անկախ աշխատանք.
7. Դասի ամփոփում. Տնային աշխատանք.

1. Կազմակերպչական պահ (2 րոպե)

Ուսուցիչը ողջունում է ներկաներին, հայտարարում դասի թեման և աշխատանքային պլանը։

2. ա) Տնային աշխատանքների վերլուծություն (5 րոպե).

Նպատակը կատարողականությունը ստուգելն է: Տեսախցիկի օգնությամբ մեկ աշխատանք ցուցադրվում է էկրանին, մնացածը ընտրողաբար հավաքվում են, որպեսզի ուսուցիչը ստուգի։

բ) Անկախ աշխատանքի վերլուծություն (3 րոպե).

Նպատակը սխալները շտկելն է, դրանք հաղթահարելու ուղիներ նշել։

Էկրանին պատասխաններն ու լուծումներն են, սովորողները նախապես թողարկել են իրենց աշխատանքը։ Վերլուծությունն արագ է ընթանում.

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների կրկնություն (5 րոպե)

Նպատակն է հիշել եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդները։

Հարցրեք ուսանողներին, թե եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ինչ մեթոդներ գիտեն: Ընդգծեք, որ կան այսպես կոչված հիմնական (հաճախ օգտագործվող) մեթոդներ.

• փոփոխական փոխարինում,
• ֆակտորիզացիա,
• միատարր հավասարումներ,

և կան կիրառական մեթոդներ.

• Գումարը արտադրյալի և արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևերի համաձայն.
• կրճատման բանաձևերով,
• ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում
• օժանդակ անկյունի ներդրում,
• բազմապատկումը որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով:

Հարկ է նաև հիշել, որ մեկ հավասարումը կարող է լուծվել տարբեր ձևերով:

4. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում (30 րոպե)

Նպատակն է ընդհանրացնել և համախմբել գիտելիքներն ու հմտությունները այս թեմայի վերաբերյալ, նախապատրաստվել USE-ից C1-ի լուծմանը:

Նպատակահարմար եմ համարում ուսանողների հետ միասին լուծել յուրաքանչյուր մեթոդի հավասարումներ։

Աշակերտը թելադրում է լուծումը, ուսուցիչը գրում է պլանշետի վրա, ամբողջ գործընթացը ցուցադրվում է էկրանին։ Սա թույլ կտա արագ և արդյունավետ կերպով վերականգնել նախկինում ծածկված նյութը ձեր հիշողության մեջ:

Լուծել հավասարումներ.

1) փոփոխական փոփոխություն 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ֆակտորիզացիա 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) միատարր հավասարումներ sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) գումարը փոխակերպելով cos5x + cos7x = cos(π + 6x) արտադրյալին

5) արտադրյալը վերածելով 2sinx sin2x + cos3x = 0 գումարի

6) մեղքի աստիճանի իջեցում2x - մեղք 2 2x + մեղք 2 3x \u003d 0.5

7) ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում sinx + 5cosx + 5 = 0:

Այս հավասարումը լուծելիս պետք է նշել, որ այս մեթոդի կիրառումը հանգեցնում է սահմանման տիրույթի նեղացման, քանի որ սինուսը և կոսինուսը փոխարինվում են tg(x/2)-ով։ Հետևաբար, պատասխանը գրելուց առաջ անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք π + 2πn, n Z բազմությունից թվերն այս հավասարման ձիեր են։

8) օժանդակ անկյան ներմուծում √3sinx + cosx - √2 = 0

9) բազմապատկում ինչ-որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով cosx cos2x cos4x = 1/8:

5. Եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների ընտրություն (20 ր.)

Քանի որ բուհ ընդունվելիս թեժ մրցակցության պայմաններում քննության մեկ առաջին մասի լուծումը բավարար չէ, ուսանողների մեծ մասը պետք է ուշադրություն դարձնի երկրորդ մասի առաջադրանքներին (C1, C2, C3):

Ուստի դասի այս փուլի նպատակն է վերհիշել նախկինում ուսումնասիրված նյութը, պատրաստվել C1 խնդրի լուծմանը USE-ից 2011թ.

Կան եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնցում պատասխանը գրելիս պետք է ընտրել արմատները: Դա պայմանավորված է որոշ սահմանափակումներով, օրինակ՝ կոտորակի հայտարարը հավասար չէ զրոյի, զույգ աստիճանի արմատի տակ արտահայտությունը ոչ բացասական է, լոգարիթմի նշանի տակ դրված արտահայտությունը դրական է և այլն։

Նման հավասարումները համարվում են ավելացված բարդության հավասարումներ և USE տարբերակում դրանք գտնվում են երկրորդ մասում, այն է՝ C1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Կոտորակը զրոյական է, եթե այնուհետև օգտագործելով միավորի շրջանակը, մենք կընտրենք արմատները (տես Նկար 1)

Նկար 1.

ստանում ենք x = π + 2πn, n Z

Պատասխան՝ π + 2πn, n Z

Էկրանի վրա արմատների ընտրությունը ցուցադրվում է գունավոր պատկերով շրջանագծի վրա:

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, իսկ աղեղը, միևնույն ժամանակ, չի կորցնում իր նշանակությունը։ Հետո

Օգտագործելով միավորի շրջանակը, ընտրեք արմատները (տես Նկար 2)

Նկար 2.

5)

Եկեք անցնենք համակարգին.

Համակարգի առաջին հավասարման մեջ մենք կատարում ենք փոփոխության մատյան 2 (sinx) = y, ապա ստանում ենք հավասարումը. Վերադարձ դեպի համակարգ

օգտագործելով միավորի շրջանակը, մենք ընտրում ենք արմատները (տես Նկար 5),

Նկար 5

6. Անկախ աշխատանք (15ր.)

Նպատակն է համախմբել և ստուգել նյութի յուրացումը, բացահայտել սխալները և նախանշել դրանք շտկելու ուղիները:

Աշխատանքն առաջարկվում է երեք տարբերակով՝ նախապես պատրաստված տպագիր հիմունքներով՝ ուսանողների ընտրությամբ։

Հավասարումները կարելի է լուծել ամեն կերպ։

Տարբերակ «3»-ի համար

Լուծել հավասարումներ.

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Տարբերակ «4»-ի համար

Լուծել հավասարումներ.

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Տարբերակ «5»-ի համար

Լուծել հավասարումներ.

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Դասի ամփոփում, տնային առաջադրանք (5ր.)

Ուսուցիչը ամփոփում է դասը, ևս մեկ անգամ ուշադրություն հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ եռանկյունաչափական հավասարումը կարող է լուծվել մի քանի ձևով: Արագ արդյունքի հասնելու լավագույն միջոցը այն է, որը լավագույնս սովորում է կոնկրետ ուսանողի կողմից:

Քննությանը նախապատրաստվելիս պետք է համակարգված կրկնել հավասարումների լուծման բանաձեւերն ու մեթոդները։

Բաշխվում են տնային աշխատանքները (նախապես պատրաստված տպագիր հիմունքներով) և մեկնաբանվում են որոշ հավասարումների լուծման ուղիներ։

Լուծել հավասարումներ.

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) մեղք 2 x + մեղք 2 2x - մեղք 2 3x - մեղք 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

«Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում» տեսադասը կոչված է ձևավորելու սովորողների եռանկյունաչափական խնդիրների լուծման հմտությունները՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները: Տեսադասի ընթացքում դիտարկվում են եռանկյունաչափական ինքնությունների տեսակները, դրանց կիրառմամբ խնդիրների լուծման օրինակներ։ Օգտագործելով տեսողական միջոցներ՝ ուսուցչի համար ավելի հեշտ է հասնել դասի նպատակներին: Նյութի վառ ներկայացումը նպաստում է կարևոր կետերի մտապահմանը: Անիմացիոն էֆեկտների և ձայնային գործողությունների օգտագործումը թույլ է տալիս ամբողջությամբ փոխարինել ուսուցչին նյութը բացատրելու փուլում: Այսպիսով, օգտագործելով այս տեսողական միջոցը մաթեմատիկայի դասերին, ուսուցիչը կարող է բարձրացնել դասավանդման արդյունավետությունը:

Տեսադասի սկզբում հայտարարվում է դրա թեման. Այնուհետև վերհիշվում են ավելի վաղ ուսումնասիրված եռանկյունաչափական ինքնությունները: Էկրանին ցուցադրվում են sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t հավասարությունները, որտեղ t≠π/2+πk kϵZ-ի համար, ctg t=cos t/sin t, ճիշտ է t≠πk, որտեղ kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2-ում, որտեղ kϵZ, որը կոչվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ: Նշվում է, որ այս ինքնությունները հաճախ օգտագործվում են խնդիրների լուծման ժամանակ, որտեղ անհրաժեշտ է ապացուցել հավասարությունը կամ պարզեցնել արտահայտությունը:

Հետագայում դիտարկվում են այս ինքնությունների կիրառման օրինակներ խնդիրները լուծելու համար: Նախ, առաջարկվում է դիտարկել արտահայտությունների պարզեցման խնդիրների լուծումը: Օրինակ 1-ում անհրաժեշտ է պարզեցնել cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t արտահայտությունը։ Օրինակը լուծելու համար սկզբում փակցված է cos 2 t ընդհանուր գործակիցը: Փակագծերում նման փոխակերպման արդյունքում ստացվում է 1-cos 2 t արտահայտությունը, որի արժեքը եռանկյունաչափության հիմնական նույնությունից հավասար է sin 2 t։ Արտահայտության փոխակերպումից հետո ակնհայտ է, որ փակագծերից կարելի է հանել ևս մեկ ընդհանուր գործոն sin 2 t, որից հետո արտահայտությունը ստանում է sin 2 t ձևը (sin 2 t + cos 2 t)։ Նույն հիմնական նույնությունից մենք հանգում ենք փակագծերում դրված արտահայտության արժեքը 1-ի: Պարզեցման արդյունքում ստանում ենք cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t:

Օրինակ 2-ում cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) արտահայտությունը նույնպես պետք է պարզեցվի: Քանի որ արժեքը արտահայտությունը երկու կոտորակների համարիչներում է, այն կարելի է փակագծերով դուրս բերել որպես ընդհանուր գործակից: Այնուհետև փակագծերում կոտորակները վերածվում են ընդհանուր հայտարարի՝ բազմապատկելով (1- sint)(1+ sint): Նմանատիպ տերմինների կրճատումից հետո համարիչում մնում է 2, իսկ հայտարարի մեջ 1-ը՝ sin 2 t։ Էկրանի աջ կողմում հիշվում է հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունը sin 2 t+cos 2 t=1: Օգտագործելով այն՝ մենք գտնում ենք cos կոտորակի հայտարարը 2 t։ Կոտորակը նվազեցնելուց հետո մենք ստանում ենք ծախս / (1- sint) + ծախս / (1 + sint) \u003d 2 / արժեք արտահայտության պարզեցված ձև:

Հաջորդիվ դիտարկում ենք ինքնությունների ապացուցման օրինակներ, որոնցում կիրառվում են եռանկյունաչափության հիմնական ինքնությունների մասին ձեռք բերված գիտելիքները: Օրինակ 3-ում անհրաժեշտ է ապացուցել ինքնությունը (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Էկրանի աջ կողմում ցուցադրվում են երեք ինքնություն, որոնք անհրաժեշտ կլինեն ապացույցի համար՝ tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t և tg t=sin t/cos t սահմանափակումներով: Ինքնությունն ապացուցելու համար նախ բացվում են փակագծերը, որից հետո ձևավորվում է մի արտադրյալ, որն արտացոլում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության արտահայտությունը tg t·ctg t=1։ Այնուհետև, ըստ կոտանգենսի սահմանումից ստացված ինքնության, փոխակերպվում է ctg 2 t: Փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է 1-cos 2 t արտահայտությունը։ Օգտագործելով հիմնական ինքնությունը, մենք գտնում ենք արտահայտության արժեքը: Այսպիսով, ապացուցված է, որ (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Օրինակ 4-ում անհրաժեշտ է գտնել tg 2 t+ctg 2 t արտահայտության արժեքը, եթե tg t+ctg t=6: Արտահայտությունը գնահատելու համար նախ քառակուսի են դնում հավասարման աջ և ձախ կողմերը (tg t+ctg t) 2 =6 2: Կրճատված բազմապատկման բանաձևը ցուցադրվում է էկրանի աջ կողմում: Արտահայտության ձախ կողմի փակագծերը բացելուց հետո գոյանում է tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t գումարը, որի փոխակերպման համար կարելի է կիրառել tg t ctg t=1 եռանկյունաչափական նույնականություններից մեկը, որի ձևը հիշեցվում է էկրանի աջ կողմում: Փոխակերպումից հետո ստացվում է tg 2 t+ctg 2 t=34 հավասարությունը։ Հավասարության ձախ կողմը համընկնում է խնդրի պայմանի հետ, ուստի պատասխանը 34 է։ Խնդիրը լուծված է։

«Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում» տեսադասը խորհուրդ է տրվում օգտագործել դպրոցական մաթեմատիկայի ավանդական դասին։ Նաև նյութը օգտակար կլինի հեռավար ուսուցում իրականացնող ուսուցչին: Եռանկյունաչափական խնդիրների լուծման հմտություն ձևավորելու համար:

ՏԵՔՍՏԻ ՄԵԿՆԱԲԱՆՈՒԹՅՈՒՆ.

«Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում».

Հավասարություն

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (սինուս քառակուսի te գումարած կոսինուս քառակուսի te հավասար է մեկ)

2) tgt =, t ≠ + πk, kϵZ (te-ի տանգենսը հավասար է te-ի սինուսի և te-ի կոսինուսի հարաբերությանը, երբ te-ը հավասար չէ pi-ին երկու գումարած pi ka-ին, ka-ն պատկանում է zet-ին)

3) ctgt = , t ≠ πk, kϵZ-ում (te-ի կոտանգենսը հավասար է te-ի կոսինուսի և te-ի սինուսի հարաբերությունին, երբ te-ը հավասար չէ ka-ի գագաթնակետին, որը պատկանում է z-ին):

4)tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ-ի համար

կոչվում են հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ։

Հաճախ դրանք օգտագործվում են եռանկյունաչափական արտահայտությունները պարզեցնելու և ապացուցելու համար։

Դիտարկենք այս բանաձևերի օգտագործման օրինակները եռանկյունաչափական արտահայտությունները պարզեցնելիս:

ՕՐԻՆԱԿ 1. Պարզեցնել արտահայտությունը՝ cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t: (արտահայտություն a կոսինուս քառակուսի te հանած te-ի չորրորդ աստիճանի կոսինուսը գումարած te-ի չորրորդ աստիճանի սինուս):

Լուծում. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 տ) = մեղք 2 տ 1= մեղք 2 տ

(հանում ենք ընդհանուր գործակիցը կոսինուս քառակուսի te, փակագծերում ստանում ենք միասնության և կոսինուսի քառակուսու տարբերությունը, որը հավասար է սինուսի քառակուսուն առաջին նույնությամբ: Ստանում ենք չորրորդի սինուսի գումարը. te աստիճանը կոսինուս քառակուսի te և սինուս քառակուսի te: Սինուս քառակուսի te ընդհանուր գործակիցը կհանվի փակագծերից դուրս, փակագծերում ստանում ենք կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների գումարը, որն ըստ հիմնական եռանկյունաչափության. ինքնությունը, հավասար է 1-ի: Արդյունքում մենք ստանում ենք սինուսի քառակուսի te):

ՕՐԻՆԱԿ 2. Պարզեցնել արտահայտությունը՝ + .

(արտահայտությունը կարող է լինել երկու կոտորակների գումար առաջին կոսինուսի te համարիչում հայտարարի մեկ մինուս տե, երկրորդ կոսինուսի te համարիչում՝ երկրորդի հայտարարում գումարած sine te):

(Փակագծերից հանում ենք կոսինուս te ընդհանուր գործակիցը, իսկ փակագծերում բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, որը մեկ մինուս տե-ի արտադրյալն է մեկ գումարած sine te-ի վրա։

Համարիչում ստանում ենք՝ մեկ գումարած sine te գումարած մեկ մինուս sine te, տալիս ենք համանմանները, համարիչը հավասար է երկուսի՝ նմանները բերելուց հետո։

Հայտարարում կարող եք կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևը (քառակուսիների տարբերությունը) և ստանալ միավորի և սինուսի քառակուսու տարբերությունը, որը, ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության.

հավասար է տե կոսինուսի քառակուսուն։ Կոսինուսով կրճատելուց հետո ստանում ենք վերջնական պատասխանը. երկուսը բաժանվում են կոսինուսով te):

Դիտարկենք այս բանաձևերի օգտագործման օրինակները եռանկյունաչափական արտահայտությունների ապացուցման մեջ:

ՕՐԻՆԱԿ 3. Ապացուցեք նույնականությունը (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (te-ի տանգենսի քառակուսիների և te-ի սինուսի և կոտանգենսի քառակուսու տարբերության արտադրյալը te-ը հավասար է te-ի սինուսի քառակուսուն):

Ապացույց.

Փոխակերպենք հավասարության ձախ կողմը.

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - մեղք 2 t ∙ = 1 - cos 2 տ = մեղք 2 տ

(Բացենք փակագծերը, նախապես ստացված հարաբերությունից հայտնի է, որ te-ի տանգենսի քառակուսիների արտադրյալը te-ի կոտանգենսով հավասար է մեկին: Հիշեցնենք, որ te-ի կոտանգենսը հավասար է կոսինուսի հարաբերությանը. te-ի սինուսին, ինչը նշանակում է, որ կոտանգենսի քառակուսին te-ի կոսինուսի քառակուսու հարաբերությունն է te-ի սինուսի քառակուսու հարաբերակցությունը:

Te-ի սինուսի քառակուսու կրճատումից հետո մենք ստանում ենք միության և te-ի քառակուսու կոսինուսի տարբերությունը, որը հավասար է te-ի քառակուսու սինուսին): Ք.Ե.Դ.

ՕՐԻՆԱԿ 4. Գտե՛ք tg 2 t + ctg 2 t արտահայտության արժեքը, եթե tgt + ctgt = 6:

(te-ի շոշափողի և տե-ի կոտանգենսի քառակուսիների գումարը, եթե շոշափողի և կոտանգենսի գումարը վեց է):

Լուծում. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Եկեք քառակուսի դարձնենք սկզբնական հավասարության երկու մասերը.

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te-ի տանգենսի և te-ի կոտանգենսի գումարի քառակուսին վեց քառակուսի է): Հիշեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը. Երկու մեծությունների գումարի քառակուսին հավասար է առաջինի քառակուսուն գումարած առաջինի և երկրորդի արտադրյալի կրկնապատիկը, գումարած երկրորդի քառակուսին: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Ստանում ենք tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36:

Քանի որ te-ի շոշափողի և te-ի կոտանգենսի արտադրյալը հավասար է մեկին, ապա tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te-ի տանգենսի քառակուսիների և te-ի և երկուի կոտանգենսի քառակուսիների գումարը հավասար է. երեսուն վեց),

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասարան: 11

Դաս 1

Թեմա: 11-րդ դասարան (քննության նախապատրաստում)

Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում.

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. (2 ժամ)

Նպատակները:

• Համակարգել, ընդհանրացնել, ընդլայնել ուսանողների գիտելիքներն ու հմտությունները՝ կապված եռանկյունաչափության բանաձևերի կիրառման և ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ։

Սարքավորումներ դասի համար.

Դասի կառուցվածքը.

1. Օրգմոմենտ
2. Թեստավորում նոութբուքերի վրա. Արդյունքների քննարկում.
3. Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում
4. Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում
5. Անկախ աշխատանք.
6. Դասի ամփոփում. Տնային առաջադրանքի բացատրություն.

1. Կազմակերպչական պահ. (2 րոպե)

Ուսուցիչը ողջունում է ներկաներին, հայտարարում դասի թեման, հիշում է, որ նախկինում առաջադրանք է տրված կրկնել եռանկյունաչափության բանաձևերը և ուսանողներին դնում է թեստավորման:

2. Փորձարկում. (15 րոպե + 3 րոպե քննարկում)

Նպատակը եռանկյունաչափական բանաձևերի իմացության և դրանք կիրառելու կարողության ստուգումն է։ Յուրաքանչյուր ուսանող իր սեղանին ունի նոութբուք, որի մեջ կա թեստային տարբերակ:

Կարող է լինել ցանկացած թվով տարբերակներ, ես դրանցից մեկի օրինակը կտամ.

I տարբերակ.

Պարզեցնել արտահայտությունները.

ա) հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները

1. մեղք 2 3y + cos 2 3y + 1;

բ) ավելացման բանաձևեր

3. sin5x - sin3x;

գ) արտադրանքը գումարի վերածելը

6. 2sin8y cos3y;

դ) կրկնակի անկյունային բանաձևեր

7.2sin5x cos5x;

ե) կես անկյունային բանաձևեր

զ) եռակի անկյան բանաձևեր

է) ունիվերսալ փոխարինում

ը) աստիճանի իջեցում

16. cos 2 (3x/7);

Յուրաքանչյուր բանաձևի դիմաց նոութբուքի վրա գտնվող ուսանողները տեսնում են իրենց պատասխանները:

Աշխատանքն ակնթարթորեն ստուգվում է համակարգչի կողմից։ Արդյունքները ցուցադրվում են մեծ էկրանի վրա, որպեսզի բոլորը տեսնեն:

Ինչպես նաև աշխատանքի ավարտից հետո ճիշտ պատասխանները ցուցադրվում են սովորողների դյուրակիր համակարգիչների վրա։ Յուրաքանչյուր աշակերտ տեսնում է, թե որտեղ է կատարվել սխալը և ինչ բանաձեւեր է պետք կրկնել:

3. Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում. (25 րոպե)

Նպատակն է կրկնել, մշակել և համախմբել եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի կիրառումը։ Քննությունից B7 խնդիրների լուծում.

Այս փուլում նպատակահարմար է դասարանը բաժանել ուժեղ (աշխատել ինքնուրույն՝ հետագա ստուգմամբ) և թույլ ուսանողների խմբերի, ովքեր աշխատում են ուսուցչի հետ:

Առաջադրանք ուժեղ ուսանողների համար (նախապես պատրաստված տպագիր հիմունքներով). Հիմնական շեշտը դրվում է կրճատման և կրկնակի անկյունային բանաձևերի վրա՝ համաձայն USE 2011 թ.

Պարզեցրեք արտահայտությունները (ուժեղ սովորողների համար).

Զուգահեռաբար ուսուցիչը աշխատում է թույլ սովորողների հետ՝ աշակերտների թելադրանքով էկրանին առաջադրանքներ քննարկելով ու լուծելով։

Հաշվարկել.

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Պարզեցնել.

Հերթը հասավ քննարկելու ուժեղ խմբի աշխատանքի արդյունքները։

Էկրանին հայտնվում են պատասխաններ, ինչպես նաև տեսախցիկի օգնությամբ ցուցադրվում է 5 տարբեր սովորողների աշխատանքը (յուրաքանչյուրի համար մեկ առաջադրանք)։

Թույլ խումբը տեսնում է պայմանն ու լուծման եղանակը։ Կա քննարկում, վերլուծություն։ Տեխնիկական միջոցների կիրառմամբ դա տեղի է ունենում արագ։

4. Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. (30 րոպե.)

Նպատակը ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը կրկնել, համակարգել և ընդհանրացնելն է՝ գրանցելով դրանց արմատները։ Բ3 խնդրի լուծում.

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում, անկախ նրանից, թե ինչպես ենք այն լուծել, հանգեցնում է ամենապարզին:

Առաջադրանքը կատարելիս ուսանողները պետք է ուշադրություն դարձնեն առանձին դեպքերի և ընդհանուր ձևի հավասարումների արմատները գրելու և վերջին հավասարման մեջ արմատների ընտրությանը:

Լուծել հավասարումներ.

Գրի՛ր պատասխանի ամենափոքր դրական արմատը:

5. Անկախ աշխատանք (10ր.)

Նպատակն է՝ ստուգել ձեռք բերված հմտությունները, բացահայտել խնդիրները, սխալները և դրանց վերացման ուղիները։

Ուսանողի ընտրությամբ առաջարկվում է աշխատանքի բազմազանություն:

Տարբերակ «3»-ի համար

1) Գտեք արտահայտության արժեքը

2) Պարզեցրե՛ք 1 - sin 2 3α - cos 2 3α արտահայտությունը

3) Լուծե՛ք հավասարումը

Տարբերակ «4»-ի համար

1) Գտեք արտահայտության արժեքը

2) Լուծե՛ք հավասարումը Գրեք ձեր պատասխանի ամենափոքր դրական արմատը:

Տարբերակ «5»-ի համար

1) Գտեք tgα, եթե

2) Գտե՛ք հավասարման արմատը Գրեք ձեր պատասխանի ամենափոքր դրական արմատը:

6. Դասի ամփոփում (5ր.)

Ուսուցիչը ամփոփում է այն փաստը, որ դասի կրկնվող և համախմբված եռանկյունաչափական բանաձևերը, ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը:

Տնային առաջադրանքը նշանակվում է (նախապես պատրաստված է տպագիր հիմունքներով) հաջորդ դասին տեղում ստուգումով։

Լուծել հավասարումներ.

9)

10) Տվեք ձեր պատասխանը որպես ամենափոքր դրական արմատ:

Դաս 2

Թեմա: 11-րդ դասարան (քննության նախապատրաստում)

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ. Արմատային ընտրություն. (2 ժամ)

Նպատակները:

• Ընդհանրացնել և համակարգել գիտելիքները տարբեր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման վերաբերյալ:
• Նպաստել ուսանողների մաթեմատիկական մտածողության զարգացմանը, դիտարկելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, դասակարգելու կարողությանը:
• Խրախուսեք ուսանողներին հաղթահարել մտավոր գործունեության գործընթացում առկա դժվարությունները, ինքնատիրապետումը, իրենց գործունեության ներդաշնակությունը:

Սարքավորումներ դասի համար. KRMu, նոութբուքեր յուրաքանչյուր ուսանողի համար:

Դասի կառուցվածքը.

1. Օրգմոմենտ
2. Քննարկում d/s and samot. վերջին դասի աշխատանքը
3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների կրկնություն:
4. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում
5. Արմատների ընտրություն եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ.
6. Անկախ աշխատանք.
7. Դասի ամփոփում. Տնային աշխատանք.

1. Կազմակերպչական պահ (2 րոպե)

Ուսուցիչը ողջունում է ներկաներին, հայտարարում դասի թեման և աշխատանքային պլանը։

2. ա) Տնային աշխատանքների վերլուծություն (5 րոպե).

Նպատակը կատարողականությունը ստուգելն է: Տեսախցիկի օգնությամբ մեկ աշխատանք ցուցադրվում է էկրանին, մնացածը ընտրողաբար հավաքվում են, որպեսզի ուսուցիչը ստուգի։

բ) Անկախ աշխատանքի վերլուծություն (3 րոպե).

Նպատակը սխալները շտկելն է, դրանք հաղթահարելու ուղիներ նշել։

Էկրանին պատասխաններն ու լուծումներն են, սովորողները նախապես թողարկել են իրենց աշխատանքը։ Վերլուծությունն արագ է ընթանում.

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների կրկնություն (5 րոպե)

Նպատակն է հիշել եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդները։

Հարցրեք ուսանողներին, թե եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ինչ մեթոդներ գիտեն: Ընդգծեք, որ կան այսպես կոչված հիմնական (հաճախ օգտագործվող) մեթոդներ.

• փոփոխական փոխարինում,
• ֆակտորիզացիա,
• միատարր հավասարումներ,

և կան կիրառական մեթոդներ.

• Գումարը արտադրյալի և արտադրյալը գումարի վերածելու բանաձևերի համաձայն.
• կրճատման բանաձևերով,
• ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում
• օժանդակ անկյունի ներդրում,
• բազմապատկումը որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով:

Հարկ է նաև հիշել, որ մեկ հավասարումը կարող է լուծվել տարբեր ձևերով:

4. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում (30 րոպե)

Նպատակն է ընդհանրացնել և համախմբել գիտելիքներն ու հմտությունները այս թեմայի վերաբերյալ, նախապատրաստվել USE-ից C1-ի լուծմանը:

Նպատակահարմար եմ համարում ուսանողների հետ միասին լուծել յուրաքանչյուր մեթոդի հավասարումներ։

Աշակերտը թելադրում է լուծումը, ուսուցիչը գրում է պլանշետի վրա, ամբողջ գործընթացը ցուցադրվում է էկրանին։ Սա թույլ կտա արագ և արդյունավետ կերպով վերականգնել նախկինում ծածկված նյութը ձեր հիշողության մեջ:

Լուծել հավասարումներ.

1) փոփոխական փոփոխություն 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ֆակտորիզացիա 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) միատարր հավասարումներ sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) գումարը փոխակերպելով cos5x + cos7x = cos(π + 6x) արտադրյալին

5) արտադրյալը վերածելով 2sinx sin2x + cos3x = 0 գումարի

6) մեղքի աստիճանի իջեցում2x - մեղք 2 2x + մեղք 2 3x \u003d 0.5

7) ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում sinx + 5cosx + 5 = 0:

Այս հավասարումը լուծելիս պետք է նշել, որ այս մեթոդի կիրառումը հանգեցնում է սահմանման տիրույթի նեղացման, քանի որ սինուսը և կոսինուսը փոխարինվում են tg(x/2)-ով։ Հետևաբար, պատասխանը գրելուց առաջ անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք π + 2πn, n Z բազմությունից թվերն այս հավասարման ձիեր են։

8) օժանդակ անկյան ներմուծում √3sinx + cosx - √2 = 0

9) բազմապատկում ինչ-որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով cosx cos2x cos4x = 1/8:

5. Եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների ընտրություն (20 ր.)

Քանի որ բուհ ընդունվելիս թեժ մրցակցության պայմաններում քննության մեկ առաջին մասի լուծումը բավարար չէ, ուսանողների մեծ մասը պետք է ուշադրություն դարձնի երկրորդ մասի առաջադրանքներին (C1, C2, C3):

Ուստի դասի այս փուլի նպատակն է վերհիշել նախկինում ուսումնասիրված նյութը, պատրաստվել C1 խնդրի լուծմանը USE-ից 2011թ.

Կան եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնցում պատասխանը գրելիս պետք է ընտրել արմատները: Դա պայմանավորված է որոշ սահմանափակումներով, օրինակ՝ կոտորակի հայտարարը հավասար չէ զրոյի, զույգ աստիճանի արմատի տակ արտահայտությունը ոչ բացասական է, լոգարիթմի նշանի տակ դրված արտահայտությունը դրական է և այլն։

Նման հավասարումները համարվում են ավելացված բարդության հավասարումներ և USE տարբերակում դրանք գտնվում են երկրորդ մասում, այն է՝ C1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Կոտորակը զրոյական է, եթե այնուհետև օգտագործելով միավորի շրջանակը, մենք կընտրենք արմատները (տես Նկար 1)

Նկար 1.

ստանում ենք x = π + 2πn, n Z

Պատասխան՝ π + 2πn, n Z

Էկրանի վրա արմատների ընտրությունը ցուցադրվում է գունավոր պատկերով շրջանագծի վրա:

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի, իսկ աղեղը, միևնույն ժամանակ, չի կորցնում իր նշանակությունը։ Հետո

Օգտագործելով միավորի շրջանակը, ընտրեք արմատները (տես Նկար 2)

Վորոնկովա Օլգա Իվանովնա

MBOU «Միջնակարգ դպրոց

թիվ 18"

Էնգելս, Սարատովի մարզ.

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ.

«Եռանկյունաչափական արտահայտությունները և դրանց փոխակերպումները»

Ներածություն ……………………………………………………………………………………………..3

Գլուխ 1 Եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպումների օգտագործման առաջադրանքների դասակարգում ……………………………………………………………

1.1. Հաշվարկային առաջադրանքներ եռանկյունաչափական արտահայտությունների արժեքները……….5

1.2.Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցման առաջադրանքներ .... 7

1.3. Թվային եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման առաջադրանքներ ... ..7

1.4 Խառը առաջադրանքներ……………………………………………………….

Գլուխ 2

2.1 Թեմատիկ կրկնություն 10-րդ դասարանում……………………………………………….11

Թեստ 1……………………………………………………………………………………..12

Թեստ 2……………………………………………………………………………………..13

Թեստ 3…………………………………………………………………………………..14

2.2 Վերջնական կրկնություն 11-րդ դասարանում……………………………………………………15

Թեստ 1…………………………………………………………………………………..17

Թեստ 2……………………………………………………………………………………..17

Թեստ 3……………………………………………………………………………………..18

Եզրակացություն………………………………………………………………………………………………………………………

Օգտագործված գրականության ցանկ……………………………………………….20

Ներածություն.

Այսօրվա պայմաններում ամենագլխավոր հարցը հետևյալն է՝ «Ինչպե՞ս կարող ենք օգնել ուսանողների գիտելիքների որոշ բացերի վերացմանը և նրանց զգուշացնել քննության հնարավոր սխալներից»: Այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է ուսանողների կողմից հասնել ծրագրային նյութի ոչ թե ֆորմալ յուրացման, այլ դրա խորը և գիտակցված ըմբռնմանը, բանավոր հաշվարկների և փոխակերպումների արագության զարգացմանը, ինչպես նաև ամենապարզը լուծելու հմտությունների զարգացմանը: խնդիրներ «մտքում». Պետք է համոզել ուսանողներին, որ միայն ակտիվ դիրքի առկայության դեպքում, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մեջ, գործնական հմտությունների, հմտությունների ձեռքբերման և դրանց կիրառման դեպքում կարելի է հույս դնել իրական հաջողության վրա: Քննությանը պատրաստվելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել բոլոր հնարավորությունները, այդ թվում՝ 10-11-րդ դասարանների ընտրովի առարկաները, սովորողների հետ պարբերաբար վերլուծել բարդ առաջադրանքները՝ ընտրելով դրանք լուծելու ամենառացիոնալ տարբերակը դասարանում և հավելյալ պարապմունքներում։դրական արդյունք էՏիպիկ խնդիրների լուծման ոլորտը կարելի է ձեռք բերել, եթե մաթեմատիկայի ուսուցիչները ստեղծենՈւսանողների լավ հիմնական վերապատրաստում, մեր առջև բացված խնդիրների լուծման նոր ուղիներ որոնել, ակտիվ փորձարկել, կիրառել ժամանակակից մանկավարժական տեխնոլոգիաներ, մեթոդներ, տեխնիկա, որոնք նպաստավոր պայմաններ են ստեղծում ուսանողների արդյունավետ ինքնիրացման և ինքնորոշման համար: սոցիալական նոր պայմաններ.

Եռանկյունաչափությունը դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի անբաժանելի մասն է։ Լավ գիտելիքները և եռանկյունաչափության ուժեղ հմտությունները վկայում են մաթեմատիկական մշակույթի բավարար մակարդակի մասին, մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և մի շարք տեխնիկական գիտությունների հաջող ուսումնասիրության անփոխարինելի պայման:առարկաներ.

Աշխատանքի արդիականությունը. Դպրոցների շրջանավարտների մի զգալի մասը մաթեմատիկայի այս կարևոր հատվածում տարեցտարի շատ վատ պատրաստվածություն է ցուցաբերում, ինչի մասին վկայում են անցած տարիների արդյունքները (ավարտվածության տոկոսը 2011թ.-48.41%, 2012թ.-51.05%), անցնելու վերլուծությունից ի վեր: Պետական ​​միասնական քննությունը ցույց տվեց, որ ուսանողները շատ սխալներ են թույլ տալիս կոնկրետ այս բաժնի առաջադրանքները կատարելիս կամ ընդհանրապես նման առաջադրանքներ չեն կատարում։ Մեկում Եռանկյունաչափության պետական ​​քննության հարցերը հանդիպում են գրեթե երեք տեսակի առաջադրանքների մեջ. Սա B5 առաջադրանքի ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն է, իսկ B7 առաջադրանքի եռանկյունաչափական արտահայտությունների հետ աշխատանքը և B14 առաջադրանքի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը, ինչպես նաև B12 առաջադրանքները, որոնցում կան ֆիզիկական երևույթներ նկարագրող և եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող բանաձևեր: . Եվ սա միայն B-ի առաջադրանքների մի մասն է: Բայց կան նաև սիրված եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ C1 արմատների ընտրությամբ, և «ոչ այնքան սիրելի» երկրաչափական առաջադրանքներ՝ C2 և C4:

Օբյեկտիվ. Վերլուծել USE առաջադրանքների նյութը B7, որը նվիրված է եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպմանը և դասակարգել առաջադրանքները՝ ըստ թեստերում դրանց ներկայացման ձևի:

Աշխատանքը բաղկացած է երկու գլխից՝ ներածություն և վերջաբան։ Ներածությունում ընդգծվում է աշխատանքի արդիականությունը։ Առաջին գլխում տրված է միասնական պետական ​​քննության թեստային առաջադրանքներում եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպումների օգտագործման առաջադրանքների դասակարգում (2012 թ.):

Երկրորդ գլխում դիտարկվում է «Եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում» թեմայի կրկնության կազմակերպումը 10, 11 դասարաններում և մշակվում են թեստեր այս թեմայով։

Հղումների ցանկը ներառում է 17 աղբյուր։

Գլուխ 1. Եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպումների օգտագործման առաջադրանքների դասակարգում:

Միջնակարգ (ամբողջական) կրթության ստանդարտին և ուսանողների պատրաստվածության մակարդակի պահանջներին համապատասխան, եռանկյունաչափության հիմունքների իմացության առաջադրանքները ներառված են պահանջների կոդավորիչում:

Եռանկյունաչափության հիմունքները սովորելը առավել արդյունավետ կլինի, երբ.

ուսանողները դրական մոտիվացիա կունենան կրկնելու նախկինում ուսումնասիրված նյութը.

Ուսումնական գործընթացում կիրականացվի ուսանողակենտրոն մոտեցում.

կկիրառվի առաջադրանքների համակարգ, որը նպաստում է ուսանողների գիտելիքների ընդլայնմանը, խորացմանը, համակարգմանը.

կկիրառվեն մանկավարժական առաջադեմ տեխնոլոգիաներ.

Քննությանը պատրաստվելու համար գրականությունը և ինտերնետային ռեսուրսները վերլուծելուց հետո մենք առաջարկել ենք առաջադրանքների B7 հնարավոր դասակարգումներից մեկը (KIM USE 2012-եռանկյունաչափություն). առաջադրանքներ հաշվարկելու համար:եռանկյունաչափական արտահայտությունների արժեքներ; համար առաջադրանքներթվային եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում; հանձնարարություններ բառացի եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման համար; խառը առաջադրանքներ.

1.1. Հաշվարկային առաջադրանքներ եռանկյունաչափական արտահայտությունների արժեքները.

Պարզ եռանկյունաչափության խնդիրների ամենատարածված տեսակներից մեկը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների հաշվարկն է դրանցից մեկի արժեքով.

ա) Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության և դրա հետևանքների օգտագործումը.

Օրինակ 1 . Գտեք, եթե
և
.

Լուծում.
,
,

Որովհետեւ , ապա
.

Պատասխանել.

Օրինակ 2 . Գտեք
, եթե
եւ .

Լուծում.
,
,
.

Որովհետեւ , ապա
.

Պատասխանել. .

բ) Կրկնակի անկյունային բանաձևերի օգտագործումը.

Օրինակ 3 . Գտեք
, եթե
.

Լուծում. , .

Պատասխանել.
.

Օրինակ 4 . Գտեք արտահայտության արժեքը
.

Լուծում. .

Պատասխանել.
.

1. Գտեք , եթե
և
. Պատասխանել. -0.2

2. Գտեք , եթե
և
. Պատասխանել. 0.4

3. Գտեք
, եթե . Պատասխանել. -12.884. Գտեք
, եթե
. Պատասխանել. -0,845. Գտեք արտահայտության արժեքը.
. Պատասխանել. 66. Գտեք արտահայտության արժեքը
.Պատասխանել. -19

1.2.Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցման առաջադրանքներ. Կրճատման բանաձևերը պետք է լավ տիրապետեն ուսանողներին, քանի որ դրանք հետագայում կօգտագործվեն երկրաչափության, ֆիզիկայի և հարակից այլ առարկաների դասերին:

Օրինակ 5 . Պարզեցնել արտահայտությունները
.

Լուծում. .

Պատասխանել.
.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1. Պարզեցրեք արտահայտությունը
. Պատասխանել. 0.62. Գտեք
, եթե
և. Պատասխանել. 10.563. Գտեք արտահայտության արժեքը
, եթե
. Պատասխանել. 2

1.3. Թվային եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման առաջադրանքներ.

Թվային եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպման առաջադրանքների հմտություններն ու կարողությունները զարգացնելիս պետք է ուշադրություն դարձնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակի, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարության և պարբերականության հատկությունների իմացությանը:

ա) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ճշգրիտ արժեքների օգտագործումը որոշ անկյունների համար.

Օրինակ 6 . Հաշվիր
.

Լուծում.
.

Պատասխանել.
.

բ) Օգտագործելով պարիտետի հատկությունները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Օրինակ 7 . Հաշվիր
.

Լուծում. .

Պատասխանել.

մեջ) Պարբերականության հատկությունների օգտագործումըեռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Օրինակ 8 . Գտեք արտահայտության արժեքը
.

Լուծում. .

Պատասխանել.
.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1. Գտեք արտահայտության արժեքը
. Պատասխանել. -40,52. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը
. Պատասխանել. 17

3. Գտեք արտահայտության արժեքը
. Պատասխանել. 6

. Պատասխանել. -24
Պատասխանել. -64

1.4 Խառը առաջադրանքներ.

Հավաստագրման թեստային ձևն ունի շատ նշանակալի առանձնահատկություններ, ուստի կարևոր է ուշադրություն դարձնել միաժամանակ մի քանի եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործման հետ կապված խնդիրներին:

Օրինակ 9 Գտեք
, եթե
.

Լուծում.
.

Պատասխանել.
.

Օրինակ 10 . Գտեք
, եթե
և
.

Լուծում. .

Որովհետեւ , ապա
.

Պատասխանել.
.

Օրինակ 11. Գտեք
, եթե .

Լուծում. , ,
,
,
,
,
.

Պատասխանել.

Օրինակ 12. Հաշվիր
.

Լուծում. .

Պատասխանել.
.

Օրինակ 13 Գտեք արտահայտության արժեքը
, եթե
.

Լուծում. .

Պատասխանել.
.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1. Գտեք
, եթե
. Պատասխանել. -1,75
2. Գտեք
, եթե
. Պատասխանել. 33. Գտեք
, եթե .Պատասխանել. 0,254. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը
, եթե
. Պատասխանել. 0.35. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը
, եթե
. Պատասխանել. 5

Գլուխ 2. Եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպումը թեմայի վերջնական կրկնության կազմակերպման մեթոդական ասպեկտներ.

Ուսումնական առաջադիմության հետագա բարելավմանը նպաստող կարևորագույն խնդիրներից մեկը, ուսանողների շրջանում խորը և ամուր գիտելիքների ձեռքբերումը նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնության խնդիրն է։ Պրակտիկան ցույց է տալիս, որ 10-րդ դասարանում ավելի նպատակահարմար է կազմակերպել թեմատիկ կրկնություն; 11-րդ դասարանում՝ եզրափակիչ կրկնությունը.

2.1. Թեմատիկ կրկնություն 10-րդ դասարանում.

Մաթեմատիկական նյութի վրա աշխատելու ընթացքում հատկապես կարևոր է դառնում յուրաքանչյուր ավարտված թեմայի կամ դասընթացի մի ամբողջ հատվածի կրկնությունը։

Թեմատիկ կրկնությամբ ուսանողների գիտելիքները թեմայի վերաբերյալ համակարգվում են դրա անցման վերջին փուլում կամ ընդմիջումից հետո:

Թեմատիկ կրկնության համար հատկացվում են հատուկ դասեր, որոնց վրա կենտրոնացված և ընդհանրացված է մեկ կոնկրետ թեմայի նյութը։

Դասին կրկնությունն իրականացվում է զրույցի միջոցով՝ այս զրույցին սովորողների լայն ներգրավվածությամբ։ Դրանից հետո ուսանողներին հանձնարարվում է կրկնել որոշակի թեմա և զգուշացվում է, որ թեստերի վրա կրեդիտային աշխատանք է լինելու։

Թեմայի վերաբերյալ թեստը պետք է ներառի դրա բոլոր հիմնական հարցերը: Աշխատանքի ավարտից հետո վերլուծվում են բնորոշ սխալները և կազմակերպվում է կրկնություն՝ դրանք վերացնելու համար:

Թեմատիկ կրկնության դասերի համար առաջարկում ենք մշակված թեստային փաստաթղթերԵռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում» թեմայով։

Թեստ թիվ 1

Թեստ թիվ 2

Թեստ թիվ 3

Պատասխանների աղյուսակ

Փորձարկում

2.2. Վերջնական կրկնություն 11-րդ դասարանում.

Վերջնական կրկնությունն իրականացվում է մաթեմատիկայի դասընթացի հիմնական հարցերի ուսումնասիրության վերջնական փուլում և իրականացվում է այս բաժնի կամ ամբողջ դասընթացի ուսումնական նյութի ուսումնասիրության տրամաբանական կապով:

Ուսումնական նյութի վերջնական կրկնությունն ունի հետևյալ նպատակները.

1. Ամբողջ ուսումնական դասընթացի նյութի ակտիվացում՝ դրա տրամաբանական կառուցվածքը հստակեցնելու և առարկայական և միջառարկայական հարաբերությունների շրջանակներում համակարգ կառուցելու համար:

2. Կրկնության գործընթացում դասընթացի հիմնական խնդիրների վերաբերյալ ուսանողների գիտելիքների խորացում և հնարավորության դեպքում ընդլայնում.

Բոլոր շրջանավարտների համար մաթեմատիկայի պարտադիր քննության համատեքստում USE-ի աստիճանական ներդրումը ուսուցիչներին ստիպում է նոր մոտեցում ցուցաբերել դասերի պատրաստման և անցկացման հարցում՝ հաշվի առնելով անհրաժեշտությունը ապահովելու, որ բոլոր ուսանողները տիրապետեն ուսումնական նյութին հիմնական մակարդակում, ինչպես նաև մոտիվացված ուսանողների համար, ովքեր հետաքրքրված են բուհ ընդունվելու համար բարձր միավորներ հավաքելու, նյութի բարձր և բարձր մակարդակով յուրացման դինամիկ առաջընթացով:

Վերջնական կրկնության դասերում կարող եք դիտարկել հետևյալ առաջադրանքները.

Օրինակ 1 . Հաշվիր արտահայտության արժեքը։Լուծում. =
= =
=
=
=
=0,5. Պատասխանել. 0.5. Օրինակ 2 Նշեք ամենամեծ ամբողջ արժեքը, որը կարող է ընդունել արտահայտությունը
.

Լուծում. Որովհետեւ
կարող է վերցնել ցանկացած արժեք, որը պատկանում է հատվածին [–1; 1], ապա
վերցնում է հատվածի ցանկացած արժեք [–0.4; 0.4], հետևաբար. Արտահայտության ամբողջական արժեքը մեկն է՝ 4 թիվը։

Պատասխան՝ 4 Օրինակ 3 . Պարզեցրեք արտահայտությունը
.

Լուծում. Օգտագործենք խորանարդների գումարը գործակցելու բանաձևը՝ . Մենք ունենք

Մենք ունենք:
.

Պատասխան՝ 1

Օրինակ 4 Հաշվիր
.

Լուծում. .

Պատասխան՝ 0,28

Վերջնական կրկնության դասերի համար առաջարկում ենք մշակված թեստեր «Եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում» թեմայով։

Նշեք ամենամեծ ամբողջ թիվը, որը չի գերազանցում 1-ը

Եզրակացություն.

Աշխատելով այս թեմայի վերաբերյալ համապատասխան մեթոդաբանական գրականության միջոցով՝ կարող ենք եզրակացնել, որ դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում եռանկյունաչափական վերափոխումների հետ կապված առաջադրանքները լուծելու կարողությունն ու հմտությունները շատ կարևոր են:

Կատարված աշխատանքների ընթացքում իրականացվել է առաջադրանքների դասակարգում Բ7. Հաշվի են առնվել 2012 թվականի CMM-ներում առավել հաճախ օգտագործվող եռանկյունաչափական բանաձևերը: Տրված են լուծումներով առաջադրանքների օրինակներ: Քննությանը նախապատրաստվելիս գիտելիքների կրկնությունն ու համակարգումը կազմակերպելու համար մշակվել են տարբերվող թեստեր:

Ցանկալի է շարունակել սկսած աշխատանքը՝ նկատի ունենալով B5 առաջադրանքի ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը, B14 առաջադրանքի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուսումնասիրությունը, առաջադրանքը B12, որում կան ֆիզիկական երևույթներ նկարագրող և եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող բանաձևեր.

Եզրափակելով՝ կցանկանայի նշել, որ քննություն հանձնելու արդյունավետությունը մեծապես պայմանավորված է նրանով, թե որքանով է արդյունավետ կազմակերպվում նախապատրաստական ​​գործընթացը կրթության բոլոր մակարդակներում՝ բոլոր կատեգորիաների ուսանողների հետ: Եվ եթե մեզ հաջողվի ձևավորել ուսանողների անկախությունը, պատասխանատվությունը և պատրաստակամությունը՝ շարունակելու սովորել նրանց հետագա կյանքում, ապա մենք ոչ միայն կկատարենք պետության և հասարակության պատվերը, այլև կբարձրացնենք մեր սեփական ինքնագնահատականը։

Ուսումնական նյութի կրկնությունը ուսուցչից պահանջում է ստեղծագործական աշխատանք. Նա պետք է հստակ կապ ապահովի կրկնության տեսակների միջև, իրականացնի կրկնության խորը մտածված համակարգ։ Կրկնությունը կազմակերպելու արվեստին տիրապետելը ուսուցչի խնդիրն է։ Ուսանողների գիտելիքների ուժը մեծապես կախված է դրա լուծումից։

գրականություն.

Vygodsky Ya.Ya., Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ. -Մ.: Նաուկա, 1970:

Հանրահաշվի ավելացված դժվարության առաջադրանքներ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք ավագ դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար / Բ.Մ. Իվլև, Ա.Մ. Աբրամով, Յու.Պ. Դուդնիցինը, Ս.Ի. Շվարցբուրդ. - Մ.: Լուսավորություն, 1990:

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի կիրառումը արտահայտությունների վերափոխման համար (10-րդ դասարան) // Մանկավարժական գաղափարների փառատոն. 2012-2013 թթ.

Կորյանով Ա.Գ. , Պրոկոֆև Ա.Ա. Քննությանը պատրաստում ենք լավ ուսանողների և գերազանց ուսանողների։ - Մ.: Մանկավարժական համալսարան «Առաջին սեպտեմբերի», 2012.- 103 էջ.

Կուզնեցովա Է.Ն.Եռանկյունաչափական արտահայտությունների պարզեցում. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում տարբեր մեթոդներով (քննության նախապատրաստում). 11-րդ դասարան. 2012-2013 թթ.

Kulanin E.D. 3000 մրցակցային խնդիրներ մաթեմատիկայի մեջ. 4-րդ id., ճիշտ է. և լրացուցիչ - Մ.: Ռոլֆ, 2000 թ.

Մորդկովիչ Ա.Գ. Հանրակրթական դպրոցում եռանկյունաչափության ուսումնասիրության մեթոդական խնդիրներ // Մաթեմատիկա դպրոցում. 2002. Թիվ 6:

Պիչուրին Լ.Ֆ. Եռանկյունաչափության և ոչ միայն դրա մասին՝ -Մ. Լուսավորություն, 1985

Ռեշետնիկով Ն.Ն. Եռանկյունաչափությունը դպրոցում՝ -Մ. Մանկավարժական համալսարան «Առաջին Սեպտեմբեր», 2006, lk 1:

Շաբունին Մ.Ի., Պրոկոֆև Ա.Ա. Մաթեմատիկա. Հանրահաշիվ. Մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ: Անձնագիր մակարդակ. Դասագիրք 10-րդ դասարանի համար - M .: BINOM: Գիտելիքների լաբորատորիա, 2007 թ.

Ուսումնական պորտալ՝ քննությանը պատրաստվելու համար։

Պատրաստվում ենք մաթեմատիկայի քննությանը «Օ՜, այս եռանկյունաչափությունը: http://festival.1september.ru/articles/621971/

Նախագիծ «Մաթեմատիկա՞ Հե՞շտ!!!» http://www.resolventa.ru/