Այնտեղ, որտեղ λ-ն հավասար է միևնույն իրադարձությունների դեպքերի միջին թվին անկախ թեստեր, այսինքն. λ = n × p, որտեղ p-ն իրադարձության հավանականությունն է մեկ փորձության ժամանակ, e = 2,71828:
Պուասոնի օրենքի բաշխման շարքն ունի հետևյալ ձևը.
Ծառայության հանձնարարություն. Առցանց հաշվիչը օգտագործվում է Poisson-ի բաշխումը կառուցելու և շարքի բոլոր բնութագրերը հաշվարկելու համար՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, շեղում և ստանդարտ շեղում: Որոշմամբ հաշվետվությունը կազմվում է Word ձևաչափով։
Այն դեպքում, երբ n-ը մեծ է, և λ = p n > 10, Պուասոնի բանաձևը տալիս է շատ կոպիտ մոտարկում, և P n (m) հաշվարկելու համար օգտագործվում են տեղական և ինտեգրալ Moivre-Laplace թեորեմները:
X պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը
Պուասոնի բաշխման մաթեմատիկական ակնկալիքըM[X] = λ
Պուասոնի բաշխման շեղում
D[X] = λ
Օրինակ #1. Սերմերը պարունակում են 0,1% մոլախոտեր։ Որքա՞ն է 2000 սերմերի պատահական ընտրության մեջ 5 մոլախոտի սերմ գտնելու հավանականությունը:
Լուծում.
p հավանականությունը փոքր է, իսկ n թիվը մեծ է։ np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Ակնկալվող արժեքը M[X] = λ = 2
Ցրվածություն D[X] = λ = 2
Օրինակ #2. Տարեկանի սերմերի մեջ կա մոլախոտի 0,4% սերմեր։ Կազմե՛ք մոլախոտերի քանակի բաշխման օրենքը 5000 սերմի պատահական ընտրությամբ: Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:
Լուծում. Ակնկալիք՝ M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Տարբերակում՝ D[X] = λ = 20
Բաշխման օրենք.
| X | 0 | 1 | 2 | … | մ | … |
| Պ | e-20 | 20e-20 | 200e-20 | … | 20 մետր -20 / մետր! | … |
Օրինակ #3. Հեռախոսակայանում սխալ միացում է տեղի ունենում 1/200 հավանականությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ 200 կապերի մեջ կլինեն.
ա) ճիշտ մեկ սխալ կապ.
բ) երեքից պակաս սխալ միացումներ.
գ) երկուից ավելի սխալ միացումներ:
Լուծում.Ըստ խնդրի պայմանի՝ իրադարձության հավանականությունը փոքր է, ուստի օգտագործում ենք Պուասոնի բանաձևը (15)։
ա) Տրված է՝ n = 200, p = 1/200, k = 1. Գտե՛ք P 200 (1):
Մենք ստանում ենք. 
. Այնուհետեւ P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679:
բ) Տրված է՝ n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Մենք ունենք՝ a = 1: 
գ) Տրված է՝ n = 200, p = 1/200, k > 2. Գտե՛ք P 200 (k > 2):
Այս խնդիրը կարելի է լուծել ավելի պարզ՝ գտնել հակառակ իրադարձության հավանականությունը, քանի որ այս դեպքում պետք է ավելի քիչ տերմիններ հաշվարկել։ Նախորդ դեպքը հաշվի առնելով՝ ունենք
Դիտարկենք այն դեպքը, երբ n-ը բավականաչափ մեծ է, իսկ p-ն բավականաչափ փոքր է. մենք դնում ենք np = a, որտեղ a-ն ինչ-որ թիվ է: Այս դեպքում ցանկալի հավանականությունը որոշվում է Poisson բանաձևով.
t տևողության ժամանակում k իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը կարելի է գտնել նաև Պուասոնի բանաձևի միջոցով.
որտեղ λ-ն իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունն է, այսինքն՝ իրադարձությունների միջին թիվը, որոնք ի հայտ են գալիս մեկ միավորի ժամանակ:
Օրինակ #4. Մասի թերի լինելու հավանականությունը 0,005 է։ Ստուգված է 400 մաս։ Նշեք 3-ից ավելի մասերի թերի լինելու հավանականությունը հաշվարկելու բանաձևը:
Օրինակ թիվ 5. Դրանց զանգվածային արտադրության մեջ թերի մասերի հայտնվելու հավանականությունը հավասար է պ. որոշել այն հավանականությունը, որ N մասերի խմբաքանակը պարունակում է ա) ճիշտ երեք մաս. բ) ոչ ավելի, քան երեք թերի մասեր.
p=0.001; N=4500
Լուծում.
p հավանականությունը փոքր է, իսկ n թիվը մեծ է։ np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
X պատահական փոփոխականն ունի միջակայք (0,1,2,...,m): Այս արժեքների հավանականությունը կարելի է գտնել բանաձևով.
Գտնենք X բաշխման սերիան։
Այստեղ λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999 
Այնուհետև հավանականությունը, որ N մասերի խմբաքանակը պարունակում է ճիշտ երեք մաս, հավասար է. 
Այնուհետև հավանականությունը, որ N մասերի խմբաքանակը պարունակում է ոչ ավելի, քան երեք թերի մասեր.
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Օրինակ թիվ 6. Ավտոմատ հեռախոսակայանը ժամում միջինը N զանգ է ստանում: Որոշեք հավանականությունը, որ տվյալ րոպեի ընթացքում նա կստանա՝ ա) ուղիղ երկու զանգ. բ) ավելի քան երկու զանգ.
N = 18
Լուծում.
Մեկ րոպեում ԱԹՍ-ն ստանում է միջինը λ = 18/60 րոպե: = 0,3
Ենթադրելով, որ մեկ րոպեում PBX-ում ստացված զանգերի պատահական X թիվը,
հնազանդվում է Պուասոնի օրենքին, բանաձևով մենք գտնում ենք ցանկալի հավանականությունը
Գտնենք X բաշխման սերիան։
Այստեղ λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222 
Հավանականությունը, որ նա կստանա ուղիղ երկու զանգ տվյալ րոպեի ընթացքում, հետևյալն է.
P (2) = 0,03334
Հավանականությունը, որ նա կստանա ավելի քան երկու զանգ տվյալ րոպեի ընթացքում, հետևյալն է.
P(x>2) = 1 - 0.7408 - 0.2222 - 0.03334 = 0.00366
Օրինակ թիվ 7. Մենք դիտարկում ենք երկու տարր, որոնք աշխատում են միմյանցից անկախ: Գործողության ժամանակի տևողությունը ունի էքսպոնենցիալ բաշխում λ1 = 0,02 պարամետրով առաջին տարրի համար և λ2 = 0,05 երկրորդ տարրի համար: Գտեք հավանականությունը, որ 10 ժամում. ա) երկու տարրերն էլ անթերի կաշխատեն. բ) միայն Հավանականություն, որ #1 տարրը չի ձախողվի 10 ժամվա ընթացքում.
Լուծում.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0.02 * 10 \u003d 0.8187
Հավանականությունը, որ #2 տարրը չի ձախողվի 10 ժամում, հետևյալն է.
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0.05 * 10 \u003d 0.6065
ա) երկու տարրերն էլ անթերի կաշխատեն.
P (2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0,8187 * 0,6065 = 0,4966
բ) միայն մեկ տարր կխափանվի:
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321
Օրինակ թիվ 7. Արտադրությունը տալիս է ամուսնության 1%-ը։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հետազոտության վերցված 1100 ապրանքներից 17-ից ոչ ավելին մերժվի։
Նշումքանի որ այստեղ n*p =1100*0.01=11 > 10, անհրաժեշտ է օգտագործել
Ինչպես սկսեցին ստանալ հարցումները. «Որտե՞ղ է Պուասոնը. Որտե՞ղ են Պուասոնի բանաձևի առաջադրանքները: եւ այլն. Եվ այսպես, ես կսկսեմ մասնավոր օգտագործումՊուասոնի բաշխում - նյութի մեծ պահանջարկի պատճառով:
Առաջադրանքը ցավալի էյֆորիկ է ծանոթ.
Եվ հետևյալ երկու առաջադրանքները սկզբունքորեն տարբերվում են նախորդներից.
Օրինակ 4
Պատահական փոփոխականը ենթակա է Պուասոնի օրենքին մաթեմատիկական ակնկալիքով: Գտեք հավանականությունը, որ տրված պատահական փոփոխականը իր մաթեմատիկական ակնկալիքից փոքր արժեք կընդունի:
Տարբերությունն այն է, որ այստեղ խոսքը հենց Պուասոնի բաշխման մասին է։
ԼուծումՊատահական փոփոխականը արժեքներ է ընդունում 
հավանականություններով.
Պայմանով, և այստեղ ամեն ինչ պարզ է. միջոցառումը բաղկացած է երեքից անհամատեղելի արդյունքներ:
Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը կստանա իր մաթեմատիկական ակնկալիքից պակաս արժեք:
Պատասխանել:
Համանման ընկալման խնդիր.
Օրինակ 5
Պատահական փոփոխականը ենթակա է Պուասոնի օրենքին մաթեմատիկական ակնկալիքով: Գտե՛ք հավանականությունը, որ տվյալ պատահական փոփոխականը դրական արժեք է ընդունում։
Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։
Բացի այդ մոտարկումերկանդամ բաշխում(Օրինակներ 1-3), Poisson-ի բաշխումը լայն կիրառություն է գտել հերթերի տեսությունհավանական հատկանիշի համար ամենապարզըիրադարձությունների հոսք: Ես կփորձեմ հակիրճ լինել.
Թող որոշ համակարգ ստանա հարցումներ (հեռախոսազանգեր, մուտքային հաճախորդներ և այլն): Դիմումների հոսքը կոչվում է ամենապարզըեթե այն բավարարում է պայմաններին ստացիոնարությունը, հետևանքների բացակայությունև սովորական. Ստացիոնարությունը ենթադրում է, որ կիրառությունների ինտենսիվությունը մշտականև կախված չէ օրվա ժամից, շաբաթվա օրվանից կամ այլ ժամանակային շրջանակներից: Այսինքն՝ «ռիկ ժամ» չկա ու չկա «մեռյալ ժամ»։ Հետևանքների բացակայությունը նշանակում է, որ նոր հավելվածների հայտնվելու հավանականությունը կախված չէ «նախապատմությունից», այսինքն. նման բան չկա, որ «մի տատիկը պատմել է», իսկ մյուսները «ներս են վազել» (կամ հակառակը՝ փախել են): Եվ, վերջապես, սովորականության հատկությունը բնութագրվում է նրանով, որ համար բավականաչափ փոքրժամանակային ընդմիջում գրեթե անհնար է երկու կամ ավելի հավելվածների տեսքը: — Երկու պառավ դռան մոտ։ - ոչ, շնորհակալություն, ավելի հարմար է կտրել հերթականությամբ:
Այսպիսով, թող ինչ-որ համակարգ ստանա հարցումների ամենապարզ հոսքը միջին ինտենսիվությամբդիմումները որոշակի ժամանակի միավորում (րոպե, ժամ, օր կամ որևէ այլ). Հետո հավանականությունը, որ որոշակի ժամանակահատվածի համար, համակարգը կստանա ճշգրիտ հարցումներ, հավասար է.
Օրինակ 6
Տաքսի դիսպետչերին ուղղված զանգերը ներկայացնում են ամենապարզ Պուասոնի հոսքը՝ ժամում 30 զանգի միջին ինտենսիվությամբ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ՝ ա) 1 րոպեում. Կստացվի 2-3 զանգ, բ) հինգ րոպեի ընթացքում կլինի առնվազն մեկ զանգ։
ԼուծումՕգտագործեք Poisson բանաձևը.
ա) Հաշվի առնելով հոսքի կայունությունը, մենք հաշվարկում ենք զանգերի միջին թիվը 1 րոպեում.
զանգեր՝ միջինը մեկ րոպե:
Համաձայն անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմի.
- հավանականությունը, որ 1 րոպեում 2-3 զանգ կստացվի կառավարման սենյակում.
բ) Հաշվարկել զանգերի միջին թիվը հինգ րոպեի համար. 
9. Պուասոնի և Գաուսի բաշխման օրենքը
Պուասոնի օրենքը. Նրա մեկ այլ անվանումը հազվագյուտ իրադարձությունների ra-որոշման օրենքն է։ Պուասոնի օրենքը (P.P.) կիրառվում է այն դեպքերում, երբ դա քիչ հավանական է, և, հետևաբար, P/C/R-ի կիրառումը տեղին չէ:
Օրենքի առավելություններն են՝ հաշվարկի հարմարավետությունը, տվյալ ժամանակահատվածում հավանականությունը հաշվարկելու հնարավորությունը, ժամանակը մեկ այլով փոխարինելու հնարավորությունը։ շարունակական արժեք, օրինակ, գծային չափերը.
Պուասոնի օրենքը ունի հետևյալ ձևը.
և ասվում է հետևյալ կերպ. A իրադարձության առաջացման հավանականությունը m անգամ n անկախ փորձարկումներում արտահայտվում է (59) ձևի բանաձևով, որտեղ a = pr-ը p(A) միջին արժեքն է, իսկ a-ն՝ Պուասոնի օրենքի միակ պարամետրը:
Նորմալ բաշխման օրենքը (Գաուսի օրենք). Պրակտիկան հաստատունորեն հաստատում է, որ սխալների բաշխման օրենքները բավարար մոտավորությամբ ենթարկվում են Գաուսի օրենքին, երբ չափում են մի շարք պարամետրեր՝ սկսած գծային և անկյունային չափսերից մինչև պողպատի հիմնական մեխանիկական հատկությունների բնութագրերը:
Նորմալ բաշխման օրենքի հավանականության խտությունը (այսուհետ՝ N. R.) ունի ձև
որտեղ x 0-ը պատահական փոփոխականի միջին արժեքն է.
? նույն պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումն է.
e \u003d 2.1783 ... - բնական լոգարիթմի հիմքը.
W-ն պարամետր է, որը բավարարում է պայմանը։
Նորմալ բաշխման օրենքի լայն կիրառման պատճառը տեսականորեն որոշվում է Լյապունովի թեորեմով։
Հայտնի X 0-ով և. f(x) ֆունկցիայի կորի օրդինատները կարելի է հաշվարկել բանաձևով
որտեղ t-ը նորմալացված փոփոխական է,
(t) հավանականության խտությունը z. Եթե մենք փոխարինենք z-ը և (t)-ը բանաձևում, ապա այն հետևյալն է.
Curve Z.N.R. հաճախ կոչվում է Գաուսի կոր, այս օրենքը նկարագրում է բնության շատ երևույթներ:
6. Գերհամակարգին անցնելու օրենքը Սպառելով զարգացման հնարավորությունները՝ համակարգը ներառվում է գերհամակարգում՝ որպես մասերից մեկը. որտեղ հետագա զարգացումտեղի է ունենում գերհամակարգային մակարդակում: Այս օրենքի մասին մենք արդեն խոսել ենք։ Անցնենք դինամիկային։ Այն ներառում է օրենքներ, որոնք
Ինտերֆեյս. դիզայնի նոր ուղղություններ գրքից համակարգչային համակարգեր հեղինակ Ռասկին Ջեֆ Գործիքավորում գրքից հեղինակ Բաբաև Մ Ա4.4.1. Ֆիթսի օրենքը Եկեք պատկերացնենք, որ դուք կուրսորը տեղափոխում եք էկրանին ցուցադրվող կոճակը: Կոճակը այս քայլի թիրախն է: Կուրսորի մեկնարկային դիրքը և թիրախ օբյեկտի մոտակա կետը միացնող ուղիղ գծի երկարությունը Ֆիտսի օրենքում սահմանվում է որպես հեռավորություն: Վրա
Ջերմային ճարտարագիտություն գրքից հեղինակ Բուրխանովա Նատալյա4.4.2. Հիկի օրենքը Նախքան կուրսորը թիրախ տեղափոխելը կամ մի շարք տարբերակներից որևէ այլ գործողություն կատարելը, օգտագործողը պետք է ընտրի այդ օբյեկտը կամ գործողությունը: Հիկի օրենքը ասում է, որ երբ կա n ընտրության տարբերակ, ընտրելու ժամանակն է
Հաշվողական լեզվաբանություն բոլորի համար. առասպելներ գրքից: Ալգորիթմներ. Լեզու հեղինակ Անիսիմով Անատոլի Վասիլևիչ6. Պատահական փոփոխականների բաշխման վիճակագրություն Պատահական փոփոխականների հիմնական բնութագրերը.1. Դիրքի չափումներ: Դրանք կոչվում են (համարվող) կետեր, որոնց շուրջ տատանվում են մեծությունների բնութագրերը: Պատահական փոփոխականի էմպիրիկ արժեքների գումարը xi-ով.
Գիտության ֆենոմեն [Էվոլյուցիայի կիբեռնետիկ մոտեցում] գրքից հեղինակ Տուրչին Վալենտին Ֆեդորովիչ10. Երկանդամների և բազմանդամների բաշխման օրենքները. Անհավանական բաշխում. Էքսցենտրիկության բաշխման օրենք 1. Երկանդամ բաշխման օրենք. Այս օրենքը մաթեմատիկորեն արտահայտվում է (q + p)2 երկանդամության ընդլայնման բանաձևով հետևյալ ձևով, որտեղ n! - կարդալ
Նանոտեխնոլոգիա [Գիտություն, նորարարություն և հնարավորություն] գրքից Ֆոսթեր Լինի կողմից11. Բաշխման այլ օրենքներ Տեխնիկական արդյունաբերության մեջ, ներառյալ գործիքաշինությունը, օգտագործվում են բաշխման այլ օրենքներ, բացի վերը նշվածներից: Այս դեպքում պատահական փոփոխականների բաշխումն արդեն ըստ դրանց ամենատարբեր պարամետրերի է։
Էլեկտրատեխնիկայի պատմություն գրքից հեղինակ Հեղինակների թիմ22. Բոյլ-Մարիոտի օրենքը Գազի իդեալական օրենքներից մեկը Բոյլ-Մարիոտի օրենքն է, որն ասում է՝ գազի P ճնշման և V ծավալի արտադրյալը հաստատուն է գազի մշտական զանգվածի և ջերմաստիճանի դեպքում։ Այս հավասարությունը կոչվում է իզոթերմի հավասարում։ Իզոթերմը ցուցադրվում է
Ակնառու հայտնագործությունների և գյուտերի պատմություն գրքից (էլեկտրատեխնիկա, էլեկտրաէներգետիկ արդյունաբերություն, ռադիոէլեկտրոնիկա) հեղինակ Շնեյբերգ Յան Աբրամովիչ23. Գեյ-Լյուսակի օրենքը Գեյ-Լյուսակի օրենքը ասում է. m = կոնստ. իզոբարային հավասարման անվանումը ՖՎ դիագրամի վրա իզոբարը պատկերված է ուղիղ գծով,
Հեղինակի գրքից24. Չարլզի օրենքը Չարլզի օրենքը ասում է, որ գազի ճնշման հարաբերակցությունը նրա ջերմաստիճանին հաստատուն է, եթե գազի ծավալը և զանգվածը անփոփոխ են՝ P / T = m / MО R / V = Const at V = const, m = կոնստ.. Իզոխորը պատկերված է P առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի ՖՎ դիագրամի վրա, և
Հեղինակի գրքից30. Էներգիայի պահպանման և փոխակերպման օրենքը Թերմոդինամիկայի առաջին օրենքը հիմնված է էներգիայի պահպանման և փոխակերպման համընդհանուր օրենքի վրա, որը սահմանում է, որ էներգիան ոչ ստեղծվում է, ոչ էլ անհետանում: Թերմոդինամիկ գործընթացին մասնակցող մարմինները փոխազդում են միմյանց հետ:
Հեղինակի գրքիցԳՈՐՏԻ Արքայադուստրը ԵՎ ԿԱՅՈՒՆՈՒԹՅԱՆ ՕՐԵՆՔԸ Ինչպես արդեն նշվեց ավելի վաղ (աբստրակցիայի օրենքը), պարզունակ մտածողությունը կարողացավ վերլուծել կոնկրետ երևույթները և սինթեզել նոր վերացական համակարգեր: Քանի որ գիտակցության կողմից կառուցված ցանկացած առարկա ընկալվում էր որպես կենդանի և կենդանի
Հեղինակի գրքից1.1. Էվոլյուցիայի հիմնական օրենքը Կյանքի էվոլյուցիայի գործընթացում, որքան մեզ հայտնի է, միշտ եղել և այժմ կա կենդանի նյութի ընդհանուր զանգվածի աճ և դրա կազմակերպման բարդացում: Կազմակերպության բարդացում կենսաբանական կազմավորումներ, բնությունն աշխատում է փորձով և սխալմամբ
Հեղինակի գրքից4.2. Մուրի օրենքը Իր ամենապարզ ձևով Մուրի օրենքը պնդում է, որ տրանզիստորի շղթայի խտությունը կրկնապատկվում է 18 ամիսը մեկ: Օրենքի հեղինակությունը վերագրվում է հայտնի Intel ընկերության հիմնադիրներից մեկին՝ Գորդոն Մուրին։ Խիստ ասած՝ ներս
Պուասոնի բաշխում - երկանդամ բաշխման դեպք երբ փորձությունների թիվը nբավականաչափ մեծ, և հավանականությունը էջզարգացումները Ափոքր().
Պուասոնի բաշխումը կոչվում է նաև հազվագյուտ իրադարձությունների բաշխում։ Օրինակ՝ ծնունդը տարի երրորդկամ չորս երկվորյակներ, նույն բաշխման օրենքը կիրառվում է մեկ միավոր ժամանակում քայքայվող ռադիոակտիվ ատոմների քանակի նկատմամբ և այլն։
Հազվագյուտ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը հաշվարկվում է Պուասոնի բանաձևով :
,
որտեղ միրադարձության դեպքերի թիվը Ա;
Պուասոնի բաշխման միջին արժեքը;
ե\u003d 2.7183 - բնական լոգարիթմի հիմքը:
Պուասոնի օրենքը կախված է մեկ պարամետրից. λ (լամբդա), որի իմաստը հետևյալն է՝ դա և՛ մաթեմատիկական ակնկալիքն է, և՛ պատահական փոփոխականի շեղումը, որը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն։
Պուասոնի բաշխման առաջացման պայմանները
Դիտարկենք այն պայմանները, որոնց դեպքում առաջանում է Պուասոնի բաշխումը:
Նախ, Պուասոնի բաշխումը երկանդամ բաշխման սահմանն է երբ փորձերի քանակը nաճում է անորոշ ժամանակով (հակված է դեպի անսահմանություն) և միաժամանակ հավանականությունը էջմեկ փորձի հաջողությունը անորոշ ժամանակով նվազում է (հակված է զրոյի), բայց այնպես, որ դրանց արդյունքը npսահմանի մեջ մնում է հաստատուն և հավասար λ (lambde):
Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ ապացուցված է, որ Պուասոնի բաշխումը պարամետրով λ = npկարող է մոտավորապես կիրառվել երկանդամի փոխարեն, երբ փորձերի թիվը nշատ բարձր է, և հավանականությունը էջշատ փոքր է, այսինքն, յուրաքանչյուր անհատական փորձի մեջ, իրադարձությունը Ահայտնվում է չափազանց հազվադեպ:
Երկրորդ, Պուասոնի բաշխումը տեղի է ունենում, երբ կա իրադարձությունների հոսք, որը կոչվում է ամենապարզ (կամ անշարժ Պուասոնի հոսք) . Իրադարձությունների հոսքը իրադարձությունների հաջորդականությունն է, ինչպիսիք են զանգերի ժամանումը դեպի կապի հանգույց, այցելուների ժամանումը խանութ, գնացքների ժամանումը կույտի վրա և այլն: Poisson հոսքը ունի հետևյալ հատկությունները.
- կայունություն. առաջացման հավանականություն մորոշակի ժամանակահատվածում իրադարձությունները հաստատուն են և կախված չեն ժամանակի ծագումից, այլ կախված են միայն ժամանակի միջակայքի երկարությունից.
- սովորական. փոքր ժամանակային ընդմիջումով երկու կամ ավելի իրադարձությունների հավանականությունը աննշան է՝ համեմատած մեկ իրադարձության այն հարվածելու հավանականության հետ.
- ոչ մի հետևանք. առաջացման հավանականություն միրադարձությունները որոշակի ժամանակահատվածում կախված չեն նրանից, թե քանի իրադարձություն է տեղի ունեցել նախորդ ժամանակահատվածում:
Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի բնութագրերը
Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի բնութագրերը.
ակնկալվող արժեք;
ստանդարտ շեղում;
շեղում.
Poisson-ի բաշխումը և հաշվարկները MS Excel-ում
Պուասոնի բաշխման հավանականությունը Պ(մ) և ինտեգրալ ֆունկցիայի արժեքը Ֆ(մ) կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով MS Excel POISSON.DIST ֆունկցիան: Համապատասխան հաշվարկի պատուհանը ներկայացված է ստորև (սեղմեք մկնիկի ձախ կոճակը՝ մեծացնելու համար):
MS Excel-ը պահանջում է մուտքագրել հետևյալ տվյալները.
- x- իրադարձությունների քանակը մ;
- միջին;
- ինտեգրալ - տրամաբանական արժեք՝ 0 - եթե Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել հավանականությունը Պ(մ) և 1 - եթե հավանականությունը Ֆ(մ).
Օրինակների լուծում Պուասոնի բաշխմամբ
Օրինակ 1Հեռահաղորդակցական ընկերության մենեջերը որոշել է հաշվարկել հավանականությունը, որ 0, 1, 2, ... զանգեր կհասնեն որոշակի փոքր քաղաք հինգ րոպեի ընթացքում։ Պատահականորեն ընտրվել են հինգ րոպեանոց ընդմիջումներ, հաշվվել է դրանցից յուրաքանչյուրի զանգերի քանակը և հաշվարկվել է զանգերի միջին քանակը.
Հաշվեք հինգ րոպեի ընթացքում 6 զանգ ստանալու հավանականությունը։
Լուծում. Պուասոնի բանաձևի համաձայն մենք ստանում ենք.
Մենք ստանում ենք նույն արդյունքը՝ օգտագործելով MS Excel POISSON.DIST ֆունկցիան (ինտեգրալ արժեքի արժեքը 0 է).
Պ(6 ) = POISSON.DIST(6, 4.8, 0) = 0.1398:
Հաշվարկենք հավանականությունը, որ հինգ րոպեի ընթացքում ոչ ավելի, քան 6 զանգ (ինտեգրալ արժեքի արժեքը 1 է).
Պ(≤6 ) = POISSON.DIST(6; 4.8; 1) = 0.7908:
Ինքներդ լուծեք օրինակը և հետո տեսեք լուծումը
Օրինակ 2Արտադրողը որոշակի քաղաք է ուղարկել 1000 փորձարկված, այսինքն՝ սպասարկվող հեռուստացույց։ Փոխադրման ժամանակ հեռուստացույցի խափանման հավանականությունը 0,003 է։ Այսինքն՝ այս դեպքում գործում է Պուասոնի բաշխման օրենքը։ Գտեք հավանականությունը, որ բոլոր առաքված հեռուստացույցներից սխալ կլինեն. 1) երկու հեռուստացույց. 2) երկու հեռուստացույցից պակաս.
Մենք շարունակում ենք միասին օրինակներ լուծել
Օրինակ 3Հաճախորդների զանգերի կենտրոնը զանգերի հոսք է ստանում րոպեում 0,8 զանգի ինտենսիվությամբ: Գտեք հավանականությունը, որ 2 րոպեից. ա) զանգեր չեն գա. բ) կգա ուղիղ մեկ զանգ. գ) կգա առնվազն մեկ զանգ:
Շատ գործնական խնդիրներում պետք է գործ ունենալ պատահական փոփոխականների հետ, որոնք բաշխված են հատուկ օրենքի համաձայն, որը կոչվում է Պուասոնի օրենք:
Դիտարկենք մի ընդհատվող պատահական փոփոխական, որը կարող է ընդունել միայն ամբողջ թիվ, ոչ բացասական արժեքներ.
և այս արժեքների հաջորդականությունը տեսականորեն անսահմանափակ է:
Պատահական փոփոխականը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, եթե այն որոշակի արժեք ստանալու հավանականությունը արտահայտվում է բանաձևով.
որտեղ a-ն որոշակի դրական արժեք է, որը կոչվում է Պուասոնի օրենքի պարամետր:
Պատահական փոփոխականի բաշխման շարքը, որը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, ունի ձև.
Նախ, եկեք համոզվենք, որ (5.9.1) բանաձևով տրված հավանականությունների հաջորդականությունը կարող է լինել բաշխման շարք, այսինքն. որ բոլոր հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի։ Մենք ունենք:
.
Նկ. 5.9.1-ը ցույց է տալիս Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի բաշխման բազմանկյունները, որոնք համապատասխանում են պարամետրի տարբեր արժեքներին: Հավելվածի 8-րդ աղյուսակում թվարկված են տարբեր արժեքները:
Եկեք սահմանենք Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի հիմնական բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք և շեղում: Մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանմամբ
.
Գումարի առաջին կիսամյակը (համապատասխան) զրոԱյսպիսով, գումարումը կարելի է սկսել հետևյալով.
Նշենք; ապա
. (5.9.2)
Այսպիսով, պարամետրը ոչ այլ ինչ է, քան պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք:
Դիսպերսիան որոշելու համար մենք նախ գտնում ենք քանակի երկրորդ սկզբնական պահը.
Նախկինում ապացուցվածի համաձայն
Ավելին,
Այսպիսով, Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի դիսպերսիան հավասար է նրա մաթեմատիկական ակնկալիքին։
Պուասոնի բաշխման այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է պրակտիկայում՝ որոշելու համար, թե արդյոք այն վարկածը, որ պատահական փոփոխականը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն, իրական է։ Դա անելու համար փորձից որոշեք պատահական փոփոխականի վիճակագրական բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքները և շեղումները: Եթե դրանց արժեքները մոտ են, ապա դա կարող է փաստարկ ծառայել Պուասոնի բաշխման վարկածի օգտին. այս բնութագրերի կտրուկ տարբերությունը, ընդհակառակը, վկայում է վարկածի դեմ։
Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի համար եկեք որոշենք հավանականությունը, որ այն կընդունի տվյալ արժեքից ոչ պակաս արժեք։ Նշանակենք այս հավանականությունը.
Ակնհայտ է, որ հավանականությունը կարող է հաշվարկվել որպես գումար
Այնուամենայնիվ, շատ ավելի հեշտ է դա որոշել հակառակ իրադարձության հավանականությունից.
(5.9.4)
Մասնավորապես, հավանականությունը, որ արժեքը դրական արժեք կընդունի, արտահայտվում է բանաձևով
(5.9.5)
Մենք արդեն նշել ենք, որ շատ գործնական առաջադրանքներ հանգեցնում են Պուասոնի բաշխման: Դիտարկենք այս տեսակի բնորոշ խնդիրներից մեկը:
Թող կետերը պատահականորեն բաշխվեն x առանցքի Ox-ի վրա (նկ. 5.9.2): Ենթադրենք, որ պատահական բաշխումմիավորները բավարարում են հետևյալ պայմանները.
1. Հատվածի վրա տվյալ քանակի կետերին հարվածելու հավանականությունը կախված է միայն այս հատվածի երկարությունից, բայց կախված չէ x առանցքի վրա նրա դիրքից։ Այլ կերպ ասած, կետերը բաշխված են x առանցքի վրա նույն միջին խտությամբ։ Նշենք այս խտությունը (այսինքն՝ միավորի երկարության միավորների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը) որպես .
2. Կետերը բաշխված են x առանցքի վրա միմյանցից անկախ, այսինքն. Տվյալ հատվածի այս կամ այն թվով միավորներ խփելու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե դրանցից քանիսն են ընկել որևէ այլ հատվածի վրա, որը չի համընկնում դրա հետ:
3. Երկու կամ ավելի կետերից փոքր տարածքին հարվածելու հավանականությունը չնչին է մեկ կետին հարվածելու հավանականության համեմատ (այս պայմանը նշանակում է երկու կամ ավելի կետերի համընկնման գործնական անհնարինություն):
Առանձնացնենք որոշակի երկարության հատված աբսցիսայի առանցքի վրա և դիտարկենք դիսկրետ պատահական փոփոխական՝ այս հատվածի վրա ընկնող կետերի թիվը: Քանակի հնարավոր արժեքները կլինեն
Քանի որ կետերը միմյանցից անկախ ընկնում են հատվածի վրա, տեսականորեն հնարավոր է, որ դրանց թիվը կամայականորեն մեծ լինի, այսինքն. շարքը (5.9.6) շարունակվում է անորոշ ժամանակով:
Եկեք ապացուցենք, որ պատահական փոփոխականն ունի Պուասոնի բաշխման օրենքը: Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք հավանականությունը, որ կոնկրետ կետերը ընկնում են հատվածի վրա:
Եկեք նախ լուծենք ավելին պարզ առաջադրանք. Դիտարկենք մի փոքր հատված Ox առանցքի վրա և հաշվարկեք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ կետ ընկնի այս հատվածի վրա: Մենք կվիճարկենք հետևյալ կերպ. Այս հատվածի վրա ընկած կետերի քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքն ակնհայտորեն հավասար է (քանի որ միավորի երկարության վրա միջինում կան միավորներ): Համաձայն 3 պայմանի՝ փոքր հատվածի համար կարելի է անտեսել դրա վրա երկու կամ ավելի կետերի ընկնելու հնարավորությունը։ Հետևաբար, կայքի վրա ընկած կետերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորապես հավասար կլինի դրա վրա մեկ կետ ընկնելու հավանականությանը (կամ, որը համարժեք է մեր պայմաններում, գոնե մեկին):
Այսպիսով, մինչև ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքրերը, ժամը, մենք կարող ենք ենթադրել, որ հավանականությունը, որ մեկ (առնվազն մեկ) կետ ընկնի կայքում, հավասար է , և հավանականությունը, որ ոչ մեկը չի ընկնի, հավասար է .
Եկեք սա օգտագործենք հատվածի վրա ճշգրիտ կետերին հարվածելու հավանականությունը հաշվարկելու համար: Հատվածը բաժանեք երկարության հավասար մասերի: Եկեք համաձայնենք տարրական հատվածը անվանել «դատարկ», եթե այն չի պարունակում մեկ կետ, և «զբաղված», եթե գոնե մեկը ընկել է դրա մեջ։ Ըստ վերը նշվածի, հավանականությունը, որ հատվածը «գրավվելու» է, մոտավորապես հավասար է. հավանականությունը, որ այն «դատարկ» կլինի. Քանի որ, համաձայն 2-րդ պայմանի, չհամընկնող հատվածներում կետերի հարվածներն անկախ են, ապա մեր n հատվածները կարելի է համարել որպես անկախ «փորձեր», որոնցից յուրաքանչյուրում հատվածը կարող է «զբաղեցնել» հավանականությամբ: Գտեք հավանականությունը, որ հատվածների մեջ կլինի հենց «զբաղված»: Ըստ կրկնության թեորեմի՝ այս հավանականությունը հավասար է
կամ, նշելով
(5.9.7)
Բավական մեծ արժեքի դեպքում այս հավանականությունը մոտավորապես հավասար է հատվածի վրա ճշգրիտ կետերին հարվածելու հավանականությանը, քանի որ հատվածի վրա երկու կամ ավելի կետերի հարվածը աննշան հավանականություն ունի: -ի ճշգրիտ արժեքը գտնելու համար (5.9.7) արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է անցնել սահմանին՝
(5.9.8)
Եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը սահմանային նշանի տակ.
(5.9.9)
Առաջին կոտորակը և վերջին կոտորակի հայտարարը (5.9.9) ժամը ակնհայտորեն հակված են միասնության: Արտահայտությունը կախված չէ. Վերջին կոտորակի համարիչը կարող է փոխակերպվել հետևյալ կերպ.
(5.9.10)
Երբ և արտահայտությունը (5.9.10) հակված է . Այսպիսով, ապացուցվել է, որ հատվածի մեջ ճշգրիտ կետերի հավանականությունը արտահայտվում է բանաձևով
որտեղ, այսինքն. X մեծությունը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն՝ պարամետրով.
Նկատի ունեցեք, որ արժեքի իմաստը յուրաքանչյուր հատվածի միավորների միջին քանակն է:
Մեծությունը (հավանականությունը, որ X-ը դրական կլինի) մեջ այս դեպքըարտահայտում է հավանականությունը, որ առնվազն մեկ կետ ընկնի հատվածի վրա.
Այսպիսով, մենք տեսանք, որ Պուասոնի բաշխումը տեղի է ունենում, երբ որոշ կետեր (կամ այլ տարրեր) միմյանցից անկախ պատահական դիրք են զբաղեցնում, և այդ կետերի թիվը, որոնք ընկնում են ինչ-որ տարածքի մեջ, հաշվվում է։ Մեր դեպքում նման «տարածքը» x-ի առանցքի հատվածն էր։ Այնուամենայնիվ, մեր եզրակացությունը հեշտությամբ կարելի է տարածել հարթության (կետերի պատահական հարթ դաշտ) և տարածության (կետերի պատահական տարածական դաշտ) կետերի բաշխման դեպքում։ Հեշտ է ապացուցել, որ եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.
1) միավորները միջին խտությամբ դաշտում վիճակագրորեն բաշխված են հավասարաչափ.
2) միավորներն ինքնուրույն ընկնում են չհամընկնող շրջանների.
3) կետերը հայտնվում են առանձին, և ոչ թե զույգերով, եռյակներով և այլն, ապա ցանկացած տարածքի (հարթ կամ տարածական) ընկնող կետերի քանակը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն.
որտեղ է տարածքի մեջ ընկնող կետերի միջին թիվը:
Հարթ գործի համար
որտեղ է գտնվում շրջանի տարածքը; տարածական համար
որտեղ է տարածաշրջանի ծավալը.
Նկատի ունեցեք, որ հատվածի կամ տարածքի մեջ ընկնող կետերի քանակի Պուասոնի բաշխման համար հաստատուն խտության () պայմանը էական չէ: Եթե մյուս երկու պայմանները բավարարված են, ապա Պուասոնի օրենքը դեռ գործում է, միայն a պարամետրը դրանում այլ արտահայտություն է ստանում. պարզ բազմապատկումխտությունը տարածքի երկարության, տարածքի կամ ծավալի վրա, սակայն փոփոխական խտությունը ինտեգրելով հատվածի, տարածքի կամ ծավալի վրա։ (Այս մասին ավելին տե՛ս թիվ 19.4)
Գծի, հարթության կամ ծավալի վրա ցրված պատահական կետերի առկայությունը միակ պայմանը չէ, որով տեղի է ունենում Պուասոնի բաշխումը։ Կարելի է, օրինակ, ապացուցել, որ Պուասոնի օրենքը սահմանափակող է երկանդամ բաշխման համար.
, (5.9.12)
եթե փորձերի թիվը միաժամանակ ուղղենք դեպի անսահմանություն, իսկ հավանականությունը՝ զրոյի, և դրանց արտադրյալը մնա հաստատուն.
Իրոք, երկանդամ բաշխման այս սահմանափակող հատկությունը կարելի է գրել այսպես.
. (5.9.14)
Բայց պայմանից (5.9.13) հետևում է, որ
(5.9.15) փոխարինելով (5.9.14)՝ մենք ստանում ենք հավասարությունը
, (5.9.16)
ինչը հենց նոր մեր կողմից ապացուցվեց մեկ այլ առիթով։
Երկանդամ օրենքի այս սահմանափակող հատկությունը հաճախ օգտագործվում է գործնականում: Ենթադրենք, որ կատարվում են մեծ թվով անկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձությունը շատ փոքր հավանականություն ունի։ Այնուհետև հաշվարկելու հավանականությունը, որ իրադարձությունը տեղի կունենա ճշգրիտ մեկ անգամ, կարող եք օգտագործել մոտավոր բանաձևը.
, (5.9.17)
որտեղ է այդ Պուասոնի օրենքի պարամետրը, որը մոտավորապես փոխարինում է երկանդամ բաշխմանը։
Պուասոնի օրենքի այս հատկությունից՝ մեծ թվով փորձերով և իրադարձության փոքր հավանականությամբ արտահայտել երկանդամ բաշխումը, գալիս է նրա անունը, որը հաճախ օգտագործվում է վիճակագրության դասագրքերում՝ հազվագյուտ երևույթների օրենք:
Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ կապված Poisson-ի բաշխման հետ պրակտիկայի տարբեր ոլորտներից:
Օրինակ 1. Ավտոմատ հեռախոսակայանը զանգեր է ստանում ժամում զանգերի միջին խտությամբ: Ենթադրելով, որ ցանկացած ժամանակահատվածում զանգերի թիվը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, գտեք այն հավանականությունը, որ երկու րոպեում կայան կհասնի ուղիղ երեք զանգ:
Լուծում. Երկու րոպեում զանգերի միջին թիվը հետևյալն է.
քառ. Թիրախին խոցելու համար գոնե մեկ բեկորը բավական է խոցելու համար։ Գտեք թիրախին խոցելու հավանականությունը դադարման կետի տվյալ դիրքի համար:
Լուծում. . Օգտագործելով բանաձևը (5.9.4) մենք գտնում ենք առնվազն մեկ հատվածին հարվածելու հավանականությունը.
(Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք Հավելվածի Աղյուսակ 2):
Օրինակ 7. Պաթոգեն միկրոբների միջին խտությունը մեկում խորանարդ մետրօդը 100. Նմուշի համար վերցվում է 2 խմ. դմ օդ։ Գտեք հավանականությունը, որ դրա մեջ կգտնվի առնվազն մեկ միկրոբ։
Լուծում. Ընդունելով ծավալում մանրէների քանակի Պուասոնի բաշխման վարկածը՝ մենք գտնում ենք.
Օրինակ 8. Որոշ թիրախի ուղղությամբ արձակվում է 50 անկախ կրակոց: Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,04 է։ Օգտագործելով երկանդամ բաշխման սահմանափակող հատկությունը (բանաձև (5.9.17)) գտե՛ք թիրախի հարվածի մոտավորապես հավանականությունը՝ արկ չկա, մեկ արկ, երկու արկ։
Լուծում. Մենք ունենք . Համաձայն հայտի 8-րդ աղյուսակի՝ մենք գտնում ենք հավանականությունները.
