Յուրաքանչյուր անհատական արժեք ամբողջությամբ որոշվում է իր բաշխման գործառույթով: Նաև գործնական խնդիրներ լուծելու համար բավական է իմանալ մի քանիսը թվային բնութագրեր, ինչը հնարավորություն է տալիս ներկայացնել հիմնական հատկանիշները պատահական փոփոխականկարճ ձևով.
Այս քանակները հիմնականում ակնկալվող արժեքըև ցրվածություն .
Ակնկալվող արժեքը- պատահական փոփոխականի միջին արժեքը հավանականության տեսության մեջ: Նշանակված է որպես.
առավելապես պարզ ձևովպատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք X(w), հանդիպում են որպես անբաժանելիԼեբեգհավանականության չափման նկատմամբ Ռ սկզբնական հավանականության տարածություն
Դուք կարող եք նաև գտնել արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը որպես Լեբեգի ինտեգրալ-ից Xհավանականությունների բաշխմամբ R Xքանակները X:
որտեղ է բոլոր հնարավոր արժեքների հավաքածուն X.
Գործառույթների մաթեմատիկական ակնկալիք պատահական փոփոխականից Xբաշխման միջոցով է R X. Օրինակ, եթե X- պատահական փոփոխական արժեքներով և f(x)- միանշանակ Բորելֆունկցիան X , ապա՝
Եթե F(x)- բաշխման գործառույթ X, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը ներկայացելի է անբաժանելիLebesgue - Stieltjes (կամ Riemann - Stieltjes):
մինչդեռ ինտեգրելիությունը Xինչ իմաստով ( * ) համապատասխանում է ինտեգրալի վերջավորությանը
Հատուկ դեպքերում, եթե XԱյն ունի դիսկրետ բաշխումհավանական արժեքներով x k, k=1, 2, . , և հավանականությունները, ապա
եթե Xունի բացարձակ շարունակական բաշխում՝ հավանականության խտությամբ p(x), ապա
այս դեպքում մաթեմատիկական ակնկալիքի առկայությունը համարժեք է համապատասխան շարքի կամ ինտեգրալի բացարձակ սերտաճմանը։
Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.
- Ակնկալվող արժեքը հաստատուն արժեքհավասար է այս արժեքին.
Գ- մշտական;
- M=C.M[X]
- Պատահականորեն վերցված արժեքների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին.
- Անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը = նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալը.
M=M[X]+M[Y]
եթե Xև Յանկախ.
եթե շարքը համընկնում է.
Մաթեմատիկական ակնկալիքը հաշվարկելու ալգորիթմ.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականների հատկությունները. նրանց բոլոր արժեքները կարող են վերահամարակալվել բնական թվեր; յուրաքանչյուր արժեք հավասարեցրեք ոչ զրոյական հավանականությամբ:
1. Հերթով բազմապատկեք զույգերը. x iվրա պի.
2. Ավելացնել յուրաքանչյուր զույգի արտադրյալը x i p i.
Օրինակ, համար n = 4 :
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիաաստիճանաբար այն կտրուկ աճում է այն կետերում, որոնց հավանականությունը դրական նշան ունի։
Օրինակ:Բանաձևով գտե՛ք մաթեմատիկական ակնկալիքը.
X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը (միջին արժեքը), որը տրված է հավանականության դիսկրետ տարածության վրա, m =M[X]=∑x i p i թիվն է, եթե շարքը բացարձակապես համընկնում է:
Ծառայության հանձնարարություն. Առցանց ծառայության հետ հաշվարկվում են մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը(տես օրինակ): Բացի այդ, գծվում է F(X) բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները
- Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքն իրեն. M[C]=C , C-ն հաստատուն է;
- M=C M[X]
- Պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին. M=M[X]+M[Y]
- Անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին. M=M[X] M[Y], եթե X-ը և Y-ն անկախ են:
Դիսպերսիայի հատկությունները
- Հաստատուն արժեքի դիսպերսիան հավասար է զրոյի՝ D(c)=0:
- Դիսպերսիոն նշանի տակից կարելի է հանել հաստատուն գործակիցը՝ այն քառակուսի դնելով. D(k*X)= k 2 D(X):
- Եթե X և Y պատահական փոփոխականները անկախ են, ապա գումարի շեղումը հավասար է շեղումների գումարին. D(X+Y)=D(X)+D(Y):
- Եթե X և Y պատահական փոփոխականները կախված են՝ D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Տարբերության համար հաշվողական բանաձևը վավեր է.
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Օրինակ. Հայտնի են X և Y երկու անկախ պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքները և շեղումները՝ M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6: Գտե՛ք Z=9X-8Y+7 պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:
Լուծում. Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունների հիման վրա՝ M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Դիսպերսիոն հատկությունների հիման վրա՝ D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Մաթեմատիկական ակնկալիքը հաշվարկելու ալգորիթմ
Դիսկրետ պատահական փոփոխականների հատկությունները. նրանց բոլոր արժեքները կարող են վերահամարակալվել բնական թվերով. Յուրաքանչյուր արժեք նշանակեք ոչ զրոյական հավանականություն:- Զույգերը մեկ առ մեկ բազմապատկեք x i-ով p i-ով:
- Յուրաքանչյուր զույգի արտադրյալը ավելացնում ենք x i p i:
Օրինակ, n = 4-ի համար՝ m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Օրինակ #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| պի | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Մաթեմատիկական ակնկալիքը գտնում ենք m = ∑x i p i բանաձևով:
Մաթեմատիկական ակնկալիք M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Դիսպերսիան գտնում ենք d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 բանաձեւով։
Դիսպերսիա D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Ստանդարտ շեղում σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Օրինակ #2. Դիսկրետ պատահական փոփոխականն ունի հետևյալ բաշխման շարքը.
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| Ռ | ա | 0,32 | 2ա | 0,41 | 0,03 |
Լուծում. a արժեքը հայտնաբերվում է հարաբերությունից՝ Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 կամ 0,24 = 3 a , որտեղից a = 0,08
Օրինակ #3. Որոշեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, եթե հայտնի է նրա շեղումը, և x 1
p 1 = 0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3
d(x)=12,96
Լուծում.
Այստեղ դուք պետք է կազմեք d (x) շեղումը գտնելու բանաձև.
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
որտեղ ակնկալիք m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Մեր տվյալների համար
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
կամ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Համապատասխանաբար, անհրաժեշտ է գտնել հավասարման արմատները, և դրանք կլինեն երկուսը:
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Մենք ընտրում ենք այն մեկը, որը բավարարում է x 1 պայմանը
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0.3
Կլինեն նաև ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ, որոնց պատասխանները կարող եք տեսնել։
Մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը պատահական փոփոխականի ամենատարածված թվային բնութագրերն են: Նրանք բնութագրում են բաշխման ամենակարևոր առանձնահատկությունները՝ նրա դիրքը և ցրվածության աստիճանը։ Մաթեմատիկական ակնկալիքը հաճախ կոչվում է պարզապես միջին: պատահական փոփոխական. Պատահական փոփոխականի ցրում - ցրվածության հատկանիշ, պատահական փոփոխականի ցրում իր մաթեմատիկական ակնկալիքների շուրջ:
Պրակտիկայի շատ խնդիրներում պատահական փոփոխականի` բաշխման օրենքի ամբողջական, սպառիչ նկարագրությունը կամ հնարավոր չէ ձեռք բերել, կամ ընդհանրապես անհրաժեշտ չէ: Այս դեպքերում դրանք սահմանափակվում են պատահական փոփոխականի մոտավոր նկարագրությամբ՝ օգտագործելով թվային բնութագրերը:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք
Գանք մաթեմատիկական ակնկալիք հասկացությանը։ Թող որոշ նյութի զանգվածը բաշխվի x առանցքի կետերի միջև x1 , x 2 , ..., x n. Ընդ որում, յուրաքանչյուր նյութական կետ ունի իրեն համապատասխան զանգված՝ հավանականությամբ էջ1 , էջ 2 , ..., էջ n. Պահանջվում է x առանցքի վրա ընտրել մեկ կետ, որը բնութագրում է նյութական կետերի ամբողջ համակարգի դիրքը՝ հաշվի առնելով դրանց զանգվածները։ Բնական է որպես այդպիսի կետ վերցնել նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը։ Սա պատահական փոփոխականի կշռված միջինն է X, որում յուրաքանչյուր կետի աբսցիսա xեսմտնում է համապատասխան հավանականությանը հավասար «կշիռով»։ Այսպիսով ստացված պատահական փոփոխականի միջին արժեքը Xկոչվում է նրա մաթեմատիկական ակնկալիք։
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այս արժեքների հավանականությունների գումարն է.
Օրինակ 1Կազմակերպել է շահումով շահող վիճակախաղ. Առկա է 1000 շահում, որից 400-ը՝ 10-ական ռուբլի։ 300-20 ռուբլի յուրաքանչյուրը 200-100 ռուբլի յուրաքանչյուրը: և յուրաքանչյուրը 100-200 ռուբլի: Որքա՞ն է միջին շահումը մեկ տոմս գնած անձի համար:
Լուծում. Մենք կգտնենք միջին շահումը, եթե շահումների ընդհանուր գումարը, որը հավասար է 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 ռուբլի, բաժանվի 1000-ի (շահումների ընդհանուր գումարը): Այնուհետեւ մենք ստանում ենք 50000/1000 = 50 ռուբլի: Բայց միջին շահույթը հաշվարկելու արտահայտությունը կարող է ներկայացվել նաև հետևյալ կերպ.
Մյուս կողմից, այս պայմաններում, շահումների գումարը պատահական փոփոխական է, որը կարող է վերցնել 10, 20, 100 և 200 ռուբլի արժեքներ: համապատասխանաբար 0,4 հավասար հավանականություններով; 0.3; 0.2; 0.1. Հետևաբար, ակնկալվող միջին վճարումը հավասար է հատուցումների չափի արտադրանքի և դրանք ստանալու հավանականության գումարին:
Օրինակ 2Հրատարակիչը որոշել է նոր գիրք հրատարակել։ Նա պատրաստվում է գիրքը վաճառել 280 ռուբլով, որից 200-ը կտան իրեն, 50-ը՝ գրախանութին, 30-ը՝ հեղինակին։ Աղյուսակը տեղեկատվություն է տալիս գրքի հրատարակման արժեքի և գրքի որոշակի քանակի օրինակների վաճառքի հավանականության մասին:
Գտեք հրատարակչի ակնկալվող շահույթը:
Լուծում. Պատահական «շահույթ» փոփոխականը հավասար է վաճառքից ստացված եկամտի և ծախսերի արժեքի տարբերությանը: Օրինակ, եթե վաճառվում է գրքի 500 օրինակ, ապա վաճառքից ստացված եկամուտը կազմում է 200 * 500 = 100 000, իսկ հրատարակման արժեքը՝ 225 000 ռուբլի։ Այսպիսով, հրատարակչին սպառնում է 125000 ռուբլու վնաս։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է պատահական փոփոխականի՝ շահույթի ակնկալվող արժեքները.
| Թիվ | Շահույթ xես | Հավանականություն էջես | xես էջես |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Ընդամենը: | 1,00 | 25000 |
Այսպիսով, մենք ստանում ենք հրատարակչի շահույթի մաթեմատիկական ակնկալիքը.
.
Օրինակ 3Մեկ կրակոցով հարվածելու հնարավորություն էջ= 0.2. Որոշեք խեցիների սպառումը, որոնք ապահովում են հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որը հավասար է 5-ի:
Լուծում. Նույն ակնկալիքների բանաձևից, որը մենք օգտագործել ենք մինչ այժմ, մենք արտահայտում ենք x- պատյանների սպառումը.
.
Օրինակ 4Որոշեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը xերեք կրակոցով հարվածների քանակը, եթե յուրաքանչյուր կրակոցով հարվածելու հավանականությունը էջ = 0,4 .
Հուշում. գտեք պատահական փոփոխականի արժեքների հավանականությունը Բեռնուլիի բանաձևը .
Ակնկալիքային հատկություններ
Դիտարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները:
Գույք 1.Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս հաստատունին.
Գույք 2.Մշտական գործոնը կարելի է դուրս բերել ակնկալիքի նշանից.
Գույք 3.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին (տարբերությանը).
Գույք 4.Պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.
Գույք 5.Եթե պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները Xնույն թվով նվազում (մեծացում). ԻՑ, ապա դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը կնվազի (մեծանա) նույն թվով.
Երբ չես կարող սահմանափակվել միայն մաթեմատիկական ակնկալիքով
Շատ դեպքերում միայն մաթեմատիկական ակնկալիքը չի կարող համարժեք կերպով բնութագրել պատահական փոփոխականը:
Թույլ տվեք պատահական փոփոխականներ Xև Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.
| Իմաստը X | Հավանականություն |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Իմաստը Յ | Հավանականություն |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Այս մեծությունների մաթեմատիկական ակնկալիքները նույնն են՝ հավասար զրոյի.
Այնուամենայնիվ, դրանց բաշխումը տարբեր է. Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել միայն արժեքներ, որոնք քիչ են տարբերվում մաթեմատիկական ակնկալիքից և պատահական փոփոխականից Յկարող է ընդունել արժեքներ, որոնք զգալիորեն շեղվում են մաթեմատիկական ակնկալիքներից: Նմանատիպ օրինակ. միջին աշխատավարձը հնարավորություն չի տալիս գնահատել բարձր և ցածր վարձատրվող աշխատողների համամասնությունը: Այսինքն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքով չի կարելի դատել, թե դրանից ինչ շեղումներ են հնարավոր գոնե միջինում։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել պատահական փոփոխականի շեղումը:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ցրում
ցրվածությունդիսկրետ պատահական փոփոխական Xկոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք մաթեմատիկական ակնկալիքից դրա շեղման քառակուսու վրա.
Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը Xնրա շեղման քառակուսի արմատի թվաբանական արժեքն է.
.
Օրինակ 5Հաշվարկել պատահական փոփոխականների շեղումները և ստանդարտ շեղումները Xև Յ, որի բաշխման օրենքները տրված են վերը նշված աղյուսակներում:
Լուծում. Պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքները Xև Յ, ինչպես վերը նշված է, հավասար են զրոյի: Համաձայն դիսպերսիայի բանաձևի Ե(X)=Ե(y)=0 մենք ստանում ենք.
Այնուհետև պատահական փոփոխականների ստանդարտ շեղումները Xև Յկազմում
.
Այսպիսով, նույն մաթեմատիկական ակնկալիքներով, պատահական փոփոխականի շեղումը Xշատ փոքր և պատահական Յ- էական. Սա դրանց բաշխման տարբերության հետեւանք է։
Օրինակ 6Ներդրողն ունի 4 այլընտրանքային ներդրումային ծրագիր. Աղյուսակում ամփոփված են տվյալ նախագծերում ակնկալվող շահույթի վերաբերյալ տվյալները՝ համապատասխան հավանականությամբ։
| Նախագիծ 1 | Նախագիծ 2 | Նախագիծ 3 | Նախագիծ 4 |
| 500, Պ=1 | 1000, Պ=0,5 | 500, Պ=0,5 | 500, Պ=0,5 |
| 0, Պ=0,5 | 1000, Պ=0,25 | 10500, Պ=0,25 | |
| 0, Պ=0,25 | 9500, Պ=0,25 |
Յուրաքանչյուր այլընտրանքի համար գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը:
Լուծում. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են այս քանակները հաշվարկվում 3-րդ այլընտրանքի համար.
Աղյուսակը ամփոփում է բոլոր այլընտրանքների համար գտնված արժեքները:
Բոլոր այլընտրանքներն ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները: Սա նշանակում է, որ երկարաժամկետ հեռանկարում բոլորն ունեն նույն եկամուտը։ Ստանդարտ շեղումը կարող է մեկնաբանվել որպես ռիսկի չափիչ. որքան մեծ է այն, այնքան մեծ է ներդրման ռիսկը: Ներդրողը, ով մեծ ռիսկ չի ցանկանում, կընտրի նախագիծ 1, քանի որ այն ունի ամենափոքր ստանդարտ շեղումը (0): Եթե ներդրողը նախընտրում է ռիսկը և բարձր եկամտաբերությունը կարճ ժամանակահատվածում, ապա նա կընտրի ամենամեծ ստանդարտ շեղումով նախագիծը՝ նախագիծ 4։
Դիսպերսիայի հատկությունները
Ներկայացնենք դիսպերսիայի հատկությունները։
Գույք 1.Հաստատուն արժեքի դիսպերսիան զրո է.
Գույք 2.Հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել ցրման նշանից՝ այն քառակուսի դնելով.
.
Գույք 3.Պատահական փոփոխականի շեղումը հավասար է այս արժեքի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքին, որից հանվում է հենց արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսին.
,
որտեղ 
.
Գույք 4.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) շեղումը հավասար է դրանց շեղումների գումարին (տարբերությանը).
Օրինակ 7Հայտնի է, որ դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք՝ −3 և 7։ Բացի այդ, հայտնի է մաթեմատիկական ակնկալիքը. Ե(X) = 4. Գտեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումը:
Լուծում. Նշել ըստ էջհավանականությունը, որով պատահական փոփոխականը արժեք է ընդունում x1 = −3 . Հետո արժեքի հավանականությունը x2 = 7 կլինի 1 - էջ. Եկեք դուրս բերենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հավասարումը.
Ե(X) = x 1 էջ + x 2 (1 − էջ) = −3էջ + 7(1 − էջ) = 4 ,
որտեղ մենք ստանում ենք հավանականությունները. էջ= 0,3 և 1 - էջ = 0,7 .
Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.
| X | −3 | 7 |
| էջ | 0,3 | 0,7 |
Մենք հաշվարկում ենք այս պատահական փոփոխականի դիստրիանսը՝ օգտագործելով շեղումների 3 հատկության բանաձևը.
Դ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Ինքներդ գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, այնուհետև տեսեք լուծումը
Օրինակ 8Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք. Այն վերցնում է 3-ի ավելի մեծ արժեքը 0,4 հավանականությամբ: Բացի այդ, հայտնի է պատահական փոփոխականի շեղումը Դ(X) = 6. Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:
Օրինակ 9Սուրը պարունակում է 6 սպիտակ և 4 սև գնդակներ: Կաթսայից վերցվում է 3 գնդակ։ Նկարված գնդակների մեջ սպիտակ գնդիկների թիվը դիսկրետ պատահական փոփոխական է X. Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:
Լուծում. Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել 0, 1, 2, 3 արժեքները: Համապատասխան հավանականությունները կարելի է հաշվարկել հավանականությունների բազմապատկման կանոն. Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| էջ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Հետևաբար այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.
Մ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Տրված պատահական փոփոխականի շեղումը հետևյալն է.
Դ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք և դիսպերսիա
Շարունակական պատահական փոփոխականի համար մաթեմատիկական ակնկալիքի մեխանիկական մեկնաբանությունը կպահպանի նույն իմաստը. զ(x) Ի տարբերություն դիսկրետ պատահական փոփոխականի, որի համար ֆունկցիայի արգումենտը xեսկտրուկ փոխվում է, շարունակական պատահական փոփոխականի համար արգումենտը շարունակաբար փոխվում է: Բայց շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնպես կապված է դրա միջին արժեքի հետ:
Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել որոշակի ինտեգրալներ . Եթե տրված է շարունակական պատահական փոփոխականի խտության ֆունկցիա, ապա այն ուղղակիորեն մտնում է ինտեգրանդ: Եթե տրված է հավանականության բաշխման ֆունկցիա, ապա այն տարբերակելով՝ պետք է գտնել խտության ֆունկցիան։
Շարունակական պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների թվաբանական միջինը կոչվում է իր մաթեմատիկական ակնկալիք, որը նշվում է կամ .
Ինչպես արդեն հայտնի է, բաշխման օրենքը լիովին բնութագրում է պատահական փոփոխականը: Այնուամենայնիվ, բաշխման օրենքը հաճախ անհայտ է, և պետք է սահմանափակվել ավելի քիչ տեղեկություններով: Երբեմն նույնիսկ ավելի շահավետ է օգտագործել թվեր, որոնք ընդհանուր առմամբ նկարագրում են պատահական փոփոխականը. այդպիսի թվեր են կոչվում Պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը.
Մաթեմատիկական ակնկալիքը կարևոր թվային բնութագրերից է։
Մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորապես հավասար է պատահական փոփոխականի միջին արժեքին:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքնրա բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է:
Եթե պատահական փոփոխականը բնութագրվում է վերջավոր բաշխման շարքով.
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| Ռ | p 1 | p 2 | էջ 3 | … | r p |
ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը M(X)որոշվում է բանաձևով.
Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը որոշվում է հավասարությամբ.
որտեղ է պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը X.
Օրինակ 4.7.Գտեք այն միավորների թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որոնք ընկնում են զառ նետելիս:
Լուծում:
Պատահական արժեք Xվերցնում է 1, 2, 3, 4, 5, 6 արժեքները։ Եկեք կազմենք դրա բաշխման օրենքը.
| X | ||||||
| Ռ |
Այնուհետև մաթեմատիկական ակնկալիքը հետևյալն է.
Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.
1. Հաստատուն արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ինքնին հաստատունին.
M(S)=S.
2. Մշտական գործոնը կարելի է դուրս բերել ակնկալիքի նշանից.
M(CX) = CM(X):
3. Երկու անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.
M(XY) = M(X)M(Y):
Օրինակ 4.8. Անկախ պատահական փոփոխականներ Xև Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.
| X | Յ | ||||||
| Ռ | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Ռ | 0,8 | 0,2 |
Գտեք XY պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:
Լուծում.
Եկեք գտնենք այս մեծություններից յուրաքանչյուրի մաթեմատիկական ակնկալիքները.
պատահական փոփոխականներ Xև Յանկախ, ուստի ցանկալի մաթեմատիկական ակնկալիքը.
M(XY) = M(X)M(Y)=
Հետևանք.Մի քանի փոխադարձ անկախ պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին:
4. Երկու պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին.
M(X + Y) = M(X) + M(Y):
Հետևանք.Մի քանի պատահական փոփոխականների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է տերմինների մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին։
Օրինակ 4.9.Արձակվում է 3 կրակոց՝ թիրախը խոցելու հավանականությամբ p 1 = 0,4; p2= 0,3 և էջ 3= 0,6. Գտեք հարվածների ընդհանուր թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը:
Լուծում.
Առաջին կրակոցի վրա հարվածների քանակը պատահական փոփոխական է X 1, որը կարող է ընդունել միայն երկու արժեք՝ 1 (հարվածել) հավանականությամբ p 1= 0,4 և 0 (բաց թողնել) հավանականությամբ q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Առաջին կրակոցի հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է հարվածելու հավանականությանը.
Նմանապես, մենք գտնում ենք երկրորդ և երրորդ կրակոցների հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքները.
M(X 2)= 0,3 և M (X 3) \u003d 0,6.
Հիթերի ընդհանուր թիվը նույնպես պատահական փոփոխական է, որը բաղկացած է երեք կրակոցներից յուրաքանչյուրի հարվածների գումարից.
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Ցանկալի մաթեմատիկական ակնկալիք Xմենք գտնում ենք մաթեմատիկականի թեորեմով՝ գումարի ակնկալիքը։
- տղաների թիվը 10 նորածինների մեջ.
Միանգամայն պարզ է, որ այս թիվը նախապես հայտնի չէ, և ծնված հաջորդ տասը երեխաների մեջ կարող են լինել.
Կամ տղաներ - մեկ ու միակթվարկված տարբերակներից։
Եվ մարզավիճակը պահելու համար մի փոքր ֆիզիկական դաստիարակություն.
- երկար ցատկի հեռավորություն (որոշ միավորներում).
Նույնիսկ սպորտի վարպետն ի վիճակի չէ դա գուշակել :)
Այնուամենայնիվ, որո՞նք են ձեր վարկածները։
2) Շարունակական պատահական փոփոխական - վերցնում է բոլորըթվային արժեքներ որոշ վերջավոր կամ անսահման միջակայքից:
Նշում DSV և NSV հապավումները տարածված են կրթական գրականության մեջ
Նախ, եկեք վերլուծենք դիսկրետ պատահական փոփոխականը, այնուհետև՝ շարունակական.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը
- սա համապատասխանությունայս քանակի հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների միջև: Ամենից հաճախ օրենքը գրված է աղյուսակում. 
Տերմինը բավականին տարածված է շարք
բաշխում, բայց որոշ իրավիճակներում դա երկիմաստ է հնչում, և հետևաբար ես հավատարիմ կմնամ «օրենքին»։
Իսկ հիմա շատ կարևոր կետ: քանի որ պատահական փոփոխականը անպայմանկընդունի արժեքներից մեկը, ապա ձևավորվում են համապատասխան իրադարձությունները ամբողջական խումբիսկ դրանց առաջացման հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.
կամ, եթե գրված է ծալված.
Այսպիսով, օրինակ, մահացու վրա կետերի հավանականությունների բաշխման օրենքը ունի հետևյալ ձևը. 
Առանց մեկնաբանության.
Դուք կարող եք տպավորություն ունենալ, որ դիսկրետ պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել միայն «լավ» ամբողջ թվեր: Եկեք ցրենք պատրանքը. դրանք կարող են լինել ամեն ինչ.
Օրինակ 1
Որոշ խաղեր ունեն վճարման բաշխման հետևյալ օրենքը. 
…Երևի վաղուց էիք երազում նման խնդիրների մասին :) Մի գաղտնիք ասեմ՝ ես էլ։ Հատկապես աշխատանքն ավարտելուց հետո դաշտի տեսություն.
Լուծումքանի որ պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել երեք արժեքներից միայն մեկը, ձևավորվում են համապատասխան իրադարձություններ ամբողջական խումբ, ինչը նշանակում է, որ դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի. 
Մենք մերկացնում ենք «կուսակցականին». 
– այսպիսով, պայմանական միավորներ շահելու հավանականությունը 0,4 է:
Վերահսկում. այն, ինչ ձեզ հարկավոր է համոզվելու համար:
Պատասխանել:
Հազվադեպ չէ, երբ բաշխման օրենքը պետք է ինքնուրույն կազմվի: Այս օգտագործման համար հավանականության դասական սահմանում, Իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման / գումարման թեորեմներև այլ չիպսեր տերվերա:
Օրինակ 2
Տուփում կա 50 վիճակախաղի տոմս, որոնցից 12-ը շահում են, իսկ 2-ը շահում են 1000-ական ռուբլի, իսկ մնացածը՝ 100-ական ռուբլի։ Կազմեք բաշխման օրենք պատահական փոփոխականի համար.
ԼուծումԻնչպես նկատեցիք, սովորական է պատահական փոփոխականի արժեքները տեղադրել աճման կարգով. Հետևաբար, մենք սկսում ենք ամենափոքր շահումներից, մասնավորապես ռուբլով:
Ընդհանուր առմամբ, կա 50 - 12 = 38 այդպիսի տոմս, և ըստ դասական սահմանում:
պատահականորեն խաղարկված տոմսը չշահելու հավանականությունն է:
Մնացած դեպքերը պարզ են. Ռուբլի շահելու հավանականությունը հետևյալն է.
Ստուգում. - և սա հատկապես հաճելի պահ է նման առաջադրանքների համար:
ՊատասխանելՊահանջվող վարձատրության բաշխման օրենքը. 
Անկախ որոշման համար հետևյալ առաջադրանքը.
Օրինակ 3
Հավանականությունը, որ կրակողը կհարվածի թիրախին, մեծ է. Կազմեք բաշխման օրենք պատահական փոփոխականի համար՝ հարվածների քանակը 2 կրակոցից հետո:
... Գիտեի, որ կարոտել ես :) Հիշում ենք բազմապատկման և գումարման թեորեմներ. Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։
Բաշխման օրենքը ամբողջությամբ նկարագրում է պատահական փոփոխականը, բայց գործնականում օգտակար է (և երբեմն ավելի օգտակար) իմանալ դրա միայն մի մասը: թվային բնութագրեր .
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք
Պարզ ասած, սա միջին ակնկալվող արժեքըկրկնակի փորձարկումներով: Թող պատահական փոփոխականը ընդունի արժեքներ հավանականություններով 
համապատասխանաբար. Այնուհետև այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ապրանքների գումարըդրա բոլոր արժեքները համապատասխան հավանականություններով.
կամ ծալովի տեսքով. 
Եկեք հաշվարկենք, օրինակ, պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ զառի վրա ընկած միավորների քանակը.
Հիմա հիշենք մեր հիպոթետիկ խաղը. 
Հարց է առաջանում՝ արդյոք նույնիսկ ձեռնտու է այս խաղը խաղալը։ ... ով ինչ-որ տպավորություններ ունի: Այսպիսով, դուք չեք կարող ասել «անհեթեթ»! Բայց այս հարցին կարելի է հեշտությամբ պատասխանել՝ հաշվարկելով մաթեմատիկական ակնկալիքը, փաստորեն. կշռված միջինհաղթելու հավանականությունը.
Այսպիսով, այս խաղի մաթեմատիկական ակնկալիքը կորցնելով.
Մի վստահեք տպավորություններին, վստահեք թվերին:
Այո, այստեղ դուք կարող եք հաղթել 10 կամ նույնիսկ 20-30 անգամ անընդմեջ, բայց երկարաժամկետ հեռանկարում մենք անխուսափելիորեն կործանվելու ենք: Իսկ ես քեզ խորհուրդ չէի տա նման խաղեր խաղալ :) Դե, գուցե միայն հաճույքի համար.
Վերոհիշյալ բոլորից հետևում է, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական արժեք չէ:
Ստեղծագործական առաջադրանք անկախ հետազոտության համար.
Օրինակ 4
Mr X-ը եվրոպական ռուլետկա է խաղում հետևյալ համակարգով՝ նա անընդհատ 100 ռուբլի է խաղադրում կարմիրի վրա։ Կազմեք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը՝ դրա վարձատրությունը: Հաշվեք շահումների մաթեմատիկական ակնկալիքը և կլորացրեք այն մինչև կոպեկ: Ինչպես միջինարդյո՞ք խաղացողը պարտվում է յուրաքանչյուր հարյուր խաղադրույքի համար:
Հղում Եվրոպական ռուլետկա պարունակում է 18 կարմիր, 18 սև և 1 կանաչ հատված («զրո»): «Կարմիրի» դուրս գալու դեպքում խաղացողին վճարվում է կրկնակի խաղադրույք, հակառակ դեպքում այն գնում է կազինոյի եկամուտին.
Կան բազմաթիվ այլ ռուլետկա համակարգեր, որոնց համար կարող եք ստեղծել ձեր սեփական հավանականության աղյուսակները: Բայց սա այն դեպքն է, երբ մեզ պետք չեն բաշխման օրենքներ և աղյուսակներ, քանի որ հաստատ հաստատված է, որ խաղացողի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնն է լինելու։ Փոխվում է միայն համակարգից համակարգ
