Դիսկրետ պատահական փոփոխականներՊատահական փոփոխականներ, որոնք վերցնում են միայն միմյանցից առանձնացված արժեքներ, որոնք կարելի է նախապես թվարկել Օրինակներ. - 10 կրակոցով թիրախին հարվածների քանակը. - օրական շտապօգնության կայանում ստացված կանչերի քանակը.

Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը ցանկացած հարաբերություն է, որը կապ է հաստատում պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների և դրանց համապատասխան հավանականությունների միջև: Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կարող է տրվել ձևով՝ բանաձևի գրաֆիկի աղյուսակ (վերլուծական):

Պատահական թվի որոշակի արժեքների իրականացման հավանականության հաշվարկ 0,5*0,5 = 0,5 Գլուխների թիվը 2 է - իրադարձություններ՝ 00 - հավանականություն 0,5 *0,5 = 0,25 Հավանականությունների գումարը՝ 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Պատահական թվի խնդրի բաշխումների շարքի արժեքների հաշվարկ: Կրակողը 3 կրակոց է արձակում թիրախի ուղղությամբ։ Յուրաքանչյուր կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,4 է, յուրաքանչյուր հարվածի համար հրաձիգը շնորհվում է 5 միավոր։ Կառուցեք վաստակած միավորների քանակի բաշխման շարք: Իրադարձությունների հավանականությունը՝ երկանդամ բաշխում Իրադարձության նշանակումը՝ հարվածել - 1, բաց թողնված - 0 Իրադարձությունների ամբողջական խումբ՝ 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Վաստակած իրադարձության միավորների պատահական թվի բաշխման շարքի միավորների քանակի իրադարձության հավանականությունը 0.2160.4320.2880.064

Պատահական փոփոխականների գումարման և բազմապատկման գործողություններ Երկու պատահական փոփոխականների գումարը X և Y պատահական փոփոխական է, որը ստացվում է X պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները և Y պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները, համապատասխան հավանականությունները ավելացնելով: բազմապատկվում են X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30, 50.2

Պատահական փոփոխականների գումարման գործողություններ Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0.060.10.040.210.350.140.030.050.02 02

Պատահական փոփոխականների բազմապատկման գործողությունները Երկու պատահական փոփոխականների արտադրյալը՝ X և Y, պատահական փոփոխական է, որը ստացվում է X պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները և Y պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները բազմապատկելով, համապատասխան հավանականությունները բազմապատկվում են։ X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50, 2

F(X) բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները 0 F(x) 1 F(X) - չնվազող ֆունկցիա

Դիսկրետ պատահական փոփոխականների հիմնական բնութագրերը Ակնկալվող արժեքըՊատահական փոփոխականի (միջին արժեքը) հավասար է այս արժեքով վերցված արժեքների արտադրյալների գումարին դրանց համապատասխանող հավանականություններով. M (x) \u003d x 1 P 1 + x 2 P x n P n \u003d

Xixi PiPi x i P i (x i - M) 2 (x i - M) 2 P i 2 0.1 0.2 (2-3.6) 2 = 2.560.256 30.30.9 (3-3.6) 2 = 0.360.108 40.52 (4-3. ) 2 = 0.160.08 50.10.50.5 (5-3.6) 2 = 1.960.196 ՕՐԻՆԱԿ. Հաշվե՛ք հիմնական թվային բնութագրերը ժամում ստացված դեղերի պատվերների քանակի համար M( x)=3.6 D(x)=0.64
ԱՌԱՋԱՐԿՎՈՒՄ ԵՆ ԸՆԹԵՐՑՈՒՄ. Հիմնական գրականություն՝ Գանիչևա Ա.Վ., Կոզլով Վ.Պ. Մաթեմատիկա հոգեբանների համար. M.: Aspect-press, 2005, Պավլուշկով Ի.Վ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմունքները: M., GEOTAR-Media, Zhurbenko L. Մաթեմատիկան օրինակներում և խնդիրներում. Մ .: Ինֆրա-Մ, Ուսումնական միջոցներ՝ Shapiro L.A., Shilina N.G. Բժշկական և կենսաբանական վիճակագրության գործնական վարժությունների ուղեցույց Կրասնոյարսկ: Պոլիկոմ ՍՊԸ. – 2003 թ.

Պատահական փոփոխականները մեծություններ են, որոնք փորձի արդյունքում որոշակի արժեքներ են վերցնում, իսկ թե որոնք, նախապես հայտնի չէ։

Նշանակված՝ X,Y,Z

Պատահական փոփոխականի օրինակը կլինի.

1) X - միավորների քանակը, որոնք հայտնվում են զառ նետելիս

2) Y - թիրախին առաջին հարվածից առաջ կրակոցների քանակը

3) Մարդու հասակը, դոլարի փոխարժեքը, խաղացողի շահումները և այլն։

Պատահական փոփոխականը, որն ընդունում է արժեքների հաշվելի հավաքածու, կոչվում է դիսկրետ:

Եթե ​​r.v-ի արժեքների հավաքածուն. Անհաշվելի, ապա այդպիսի մեծությունը կոչվում է շարունակական։

Պատահական X փոփոխականը տարրական իրադարձությունների Ω տարածության վրա սահմանված թվային ֆունկցիա է, որը յուրաքանչյուր տարրական իրադարձության W-ին վերագրում է X(w), այսինքն. X=X(w),W

Օրինակ. Փորձը բաղկացած է մետաղադրամը 2 անգամ նետելուց: Տարրական իրադարձությունների տարածության վրա Ω(W1,W2,W3,W4) որտեղ W1 =GG, W2 =GR, W3 =RG, W4 =PP: Կարող ենք դիտարկել ռ.վ. X-ը զինանշանի արտաքին տեսքի թիվն է։ X-ը ֆունկցիա է

տարրական իրադարձություն W2՝ X(W1)=2, X(W2)=1, X(W3)=1, X(W4)=0 X-ը դիսկրետ r.v է: X1 =0, X2 =1, X3 =2 արժեքներով:

Համար ամբողջական նկարագրությունըՊատահական փոփոխականը բավարար չէ միայն դրա հնարավոր արժեքները իմանալու համար: Դուք նույնպես պետք է իմանաք այս արժեքների հավանականությունը

ԴԻՍԿՐԵՏ ԲԱՇԽՄԱՆ ՕՐԵՆՔ

Պատահական ԱՐԺԵՔ

Թող X լինի դիսկրետ r.v., որն ընդունում է x1 արժեքները,

x2 ... xn ..

Որոշակի հավանականությամբ Pi =P(X=xi ), i=1,2,3…n…, որը որոշում է հավանականությունը, որ փորձի արդյունքում ռ.վ. X-ը կվերցնի xi արժեքը

Նման աղյուսակը կոչվում է բաշխման մոտ

Քանի որ իրադարձությունները (X=x), (X=x)… անհամատեղելի են և ձևավորվում են

1 p i 1 2

լրիվ խումբ, ապա i նրանց հավանականությունների գումարը 1 հավասար է

Պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները գծագրեք, իսկ y առանցքի վրա՝ այդ արժեքների հավանականությունները:

Կետերը (X1, P1), (X2, P2), ... միացնող բեկված գիծը կոչվում է

բաշխման բազմանկյուն.

	x 1 x 2

Պատահական X փոփոխականը դիսկրետ է, եթե կա X1, X2,…,Xn,… վերջավոր կամ հաշվելի բազմություն, որպեսզի P(X=xi) = pi > 0:

(i=1,2,…) և p1 +p2 +p3 +… =1

Օրինակ՝ աղասյուների մեջ կա 8 գնդակ, որից 5-ը սպիտակ են, մնացածը՝ սև։ Դրանից պատահականորեն 3 գնդակ է քաշվում։ Գտեք նմուշի սպիտակ գնդիկների քանակի բաշխման օրենքը:

Լուծում. r.v-ի հնարավոր արժեքները. X – նմուշում սպիտակ գնդիկների թիվը x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3 է:

Նրանց հավանականությունները համապատասխանաբար կլինեն

p(x0)

C 5 1 C 3 2

P2 =p(x=1)=

Վերահսկում:

C 2 C1

P3 =p(x=2)=

C 5 3 C 3 0

P4 =p(x=2)=

C8 3

Բաշխման գործառույթը և դրա հատկությունները: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա:

Հավանականության բաշխման օրենքը սահմանելու ունիվերսալ միջոց, որը հարմար է ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական պատահական փոփոխականների համար, դրա բաշխման ֆունկցիան է:

F(x) ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիա։

Երկրաչափորեն հավասարությունը (1) կարելի է մեկնաբանել հետևյալ կերպ. F(x) հավանականությունն է, որ r.v. X-ը կվերցնի այն արժեքը, որը թվային առանցքի վրա պատկերված է x կետից ձախ մի կետով, այսինքն. պատահական X կետը կընկնի միջակայքի մեջ (∞, x)

Բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
1)F(x)-ը սահմանափակված է, այսինքն. 0 F (x) 1
2)F(x)-ը R-ի վրա չնվազող ֆունկցիա է, այսինքն. եթե, x 2 x 1 ապա
F(x2) F(x1)
3)F(x)-ն անհետանում է մինուս անսահմանության ժամանակ և հավասար է 1-ի
գումարած անսահմանություն, այսինքն.			F(∞)=0, F(+∞)=1
4) հավանականությունը ռ.վ. X միջակայքում հավասար է աճին
դրա բաշխման ֆունկցիան այս միջակայքում, այսինքն.
P(a X բ) F(b) F(a)

5) F(x)-ը մնում է շարունակական, այսինքն. Lim F(x)=F(x0)

xx0

Օգտագործելով բաշխման գործառույթը, կարող եք հաշվարկել

Հավասարությունը (4) ուղղակիորեն բխում է սահմանումից

6) Եթե բոլոր x հնարավոր արժեքները x b են պատահական X փոփոխականի

պատկանում են (a,b) միջակայքին, ապա դրա բաշխման ֆունկցիայի համար F(x)=0 համար, F(x)=1 համար

Բաշխման խտությունը և դրա հատկությունները

Շարունակական պատահական փոփոխականի ամենակարևոր բնութագիրը հավանականության բաշխման խտությունն է:

X պատահական փոփոխականը կոչվում է շարունակական, եթե այն

բաշխման ֆունկցիան շարունակական է և տարբերվող ամենուր, բացառությամբ առանձին կետերի:

Շարունակական ռ.վ.-ի հավանականության բաշխման խտությունը. X-ը կոչվում է նրա բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալ։ Նշվում է f(x) F /

Ածանցյալի սահմանումից հետևում է.
	F(x)		F(x x) F(x)
				P( x X x x)
Բայց ըստ (2) բանաձևի, հարաբերակցությունը

ներկայացնում է հատվածի մեկ միավորի երկարության միջին հավանականությունը, այսինքն. հավանականության բաշխման միջին խտությունը: Հետո

	P( x X x x)
Այսինքն՝ բաշխման խտությունը հարաբերակցության սահմանն է
պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը
ընդմիջում			Այս բացվածքի Δx երկարությամբ,
	F (x x F (x) P( x X x x)
երբ ∆х→0			(6) հետևում է հավասարությունը

Նրանք. հավանականության խտությունը սահմանվում է որպես P ( x X x x ) f (x) dx պայմանը բավարարող f(x) ֆունկցիա.

f(x)dx արտահայտությունը կոչվում է հավանականության տարր։

Բաշխման խտության հատկությունները.

1) f(x)-ը ոչ բացասական է, այսինքն. f (x) 0

Մեթոդական մշակումը էլեկտրոնային ձևով ներկայացում է:

Սա մեթոդական մշակումպարունակում է 26 սլայդ հետ ամփոփումՊատահական փոփոխականներ բաժնի տեսական նյութը: Տեսական նյութը ներառում է պատահական փոփոխական հասկացությունը և տրամաբանորեն ճիշտ բաժանված է երկու մասի՝ դիսկրետ պատահական փոփոխական և շարունակական պատահական փոփոխական։ DSV-ի թեման ներառում է DSV հասկացությունը և տեղադրման մեթոդները, DSV-ի թվային բնութագրերը (մաթեմատիկական ակնկալիք, շեղում, ստանդարտ շեղում, սկզբնական և կենտրոնական պահեր, ռեժիմ, մեդիան): Տրված են DSW-ի թվային բնութագրերի հիմնական հատկությունները և նրանց միջև կապը: CV-ի թեմայում վերոնշյալ հասկացությունները արտացոլված են համանման ձևով, սահմանվում են CV-ի բաշխման ֆունկցիաները և CV-ի բաշխման խտությունը, նշվում է դրանց միջև կապը և ներկայացված են CV-ի բաշխման հիմնական տեսակները՝ միատեսակ և. նորմալ բաշխումներ.

ընդհանուր դաս թեմայի շուրջ.

Այս զարգացումը կիրառելի է.

• Պատահական փոփոխականներ բաժինը ուսումնասիրելիս՝ տեսողական ընկալման միջոցով նոր նյութի արդյունավետ յուրացման համար առանձին սլայդների ցուցադրմամբ,
• սովորողների հիմնական գիտելիքները թարմացնելիս
• ուսանողներին պատրաստելու կարգապահության վերջնական ատեստավորմանը:

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Ներկայացումների նախադիտումն օգտագործելու համար ստեղծեք Google հաշիվ (հաշիվ) և մուտք գործեք՝ https://accounts.google.com

Սլայդների ենթագրեր.

Բովանդակություն Պատահական փոփոխականներ Դիսկրետ պատահական փոփոխական (RSV) SW-ի բաշխման օրենք Թվային բնութագրեր DSW DSW-ի տեսական պահերը Երկու DSW-ի համակարգ Երկու DSW-ի համակարգի թվային բնութագրեր. NSW-ի շարունակական SW բաշխման ֆունկցիա NSW-ի բաշխման խտության ֆունկցիա NSW-ի բաշխման խտության գործառույթը NSW SVR բաշխման կորի թվային բնութագրերը Mode Median Միատեսակ խտության բաշխում Նորմալ բաշխման օրենք: Լապլասի ֆունկցիան

Պատահական փոփոխականներ Պատահական փոփոխականը (CV) փոփոխական է, որը փորձի արդյունքում կարող է վերցնել այս կամ այն ​​արժեքները, և նախապես հայտնի չէ, թե որն է այն փորձից առաջ։ Դրանք բաժանվում են երկու տեսակի՝ դիսկրետ SV (DSV) և շարունակական SV (NSV)

Դիսկրետ պատահական փոփոխական (DSV) DSV-ն այնպիսի փոփոխական է, որի հնարավոր փորձարկումների թիվը կա՛մ վերջավոր է, կա՛մ անսահման բազմություն, բայց պարտադիր հաշվելի։ Օրինակ՝ 3 կրակոցով հարվածների հաճախականությունը՝ X x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 2, x 4 \u003d 3 DSV, ամբողջությամբ նկարագրվելու է հավանականության տեսանկյունից, եթե դա նշված է ինչ հավանականություն ունի իրադարձություններից յուրաքանչյուրը:

SW-ի բաշխման օրենքը հարաբերություն է, որը կապ է հաստատում SW-ի հնարավոր արժեքի և համապատասխան հավանականությունների միջև: Բաշխման օրենքը հստակեցնելու ձևեր. Աղյուսակ Բաշխման օրենք CB X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Բաշխման բազմանկյուն DSV բաշխման օրենքը P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Բաշխման բազմանկյուն

DSV-ի թվային բնութագրերը Մաթեմատիկական ակնկալիքը CV արժեքների արտադրյալների և դրանց հավանականությունների հանրագումարն է: Մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի միջին արժեքի բնութագիր է

DSV-ի թվային բնութագրերը Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.

Թվային բնութագրեր DSV 2. DSVH-ի շեղումը պատահական փոփոխականի շեղման քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքն է մաթեմատիկական ակնկալիքից: Դիսպերսիան բնութագրում է SW արժեքների ցրման չափը մաթեմատիկական ակնկալիքից Խնդիրներ լուծելիս հարմար է հաշվարկել դիսպերսիան՝ օգտագործելով բանաձևը՝ - Ստանդարտ շեղում

DSW-ի թվային բնութագրերը Դիսպերսիայի հատկությունները.

DSW-ի տեսական պահերը k SVR կարգի սկզբնական մոմենտը Х k մաթեմատիկական հարաբերակցությունն է

Երկու SV-ների համակարգ Երկու SV-ների համակարգը (Х Y) կարելի է ներկայացնել հարթության վրա պատահական կետով: Իրադարձությունը, որը բաղկացած է պատահական կետի հարվածից (X Y) D տարածքում, նշվում է (X, Y) ∩ D-ով:

Երկու DSW-ների համակարգ Աղյուսակ, որը ցույց է տալիս բաշխման օրենքը երկու DSW-ների համակարգի համար Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Երկու DSW-ների համակարգի թվային բնութագրեր Երկու DSW-ների համակարգի մաթեմատիկական ակնկալիք և շեղում ըստ սահմանման Խնդիրներ լուծելիս հարմար է կիրառել բանաձևը.

Continuous SW NSW-ն այնպիսի մեծություն է, որի հնարավոր արժեքները շարունակաբար լրացնում են որոշակի ինտերվալ (վերջավոր կամ անսահման): Բոլոր հնարավոր NSV արժեքների թիվը անսահման է: Օրինակ. Պատահական շեղում թիրախից արկի հարվածի կետի միջակայքում:

CVW-ի բաշխման ֆունկցիան Բաշխման ֆունկցիան կոչվում է F(x), որը յուրաքանչյուր x արժեքի համար որոշում է հավանականությունը, որ CVH-ը x-ից փոքր արժեք կընդունի, այսինքն. ըստ սահմանման F(x)=P(X

NSW-ի բաշխման ֆունկցիա Բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները. եթե, ապա հետևանք. Եթե բոլոր հնարավոր x SVR արժեքները պատկանում են (a;b) միջակայքին, ապա a=b-ի համար F(x)=0 Հետևանք՝ 1. 2 3. Բաշխման ֆունկցիան ձախ-շարունակական է

NSV բաշխման խտության ֆունկցիա Հավանականության բաշխման խտության ֆունկցիան F(x) f(x)=F`(x) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալն է: f(x)-ը կոչվում է դիֆերենցիալ ֆունկցիա: Հավանականությունը, որ CVSH-ը կվերցնի արժեքներ, որոնք պատկանում են (a;b) ինտերվալին, որը հաշվարկվում է բանաձևով Իմանալով բաշխման խտությունը, կարող եք գտնել բաշխման ֆունկցիան Հատկություններ. պատկանում են (a;b) -ին, ապա 1. 2.

NSV-ի թվային բնութագրերը NSVH-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են (a;b) միջակայքին, որոշվում է հավասարությամբ. NSWH-ի շեղումը, որի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են միջակայքին ա;բ), որոշվում է հավասարությամբ.

NSV-ի թվային բնութագրերը Ստանդարտ շեղումը որոշվում է այնպես, ինչպես DSV-ի համար. NSV-ի k-րդ կարգի սկզբնական պահը որոշվում է հավասարությամբ.

NSV-ի թվային բնութագրերը NSVH-ի k-րդ կարգի կենտրոնական պահը, որի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են (a:b) միջակայքին, որոշվում է հավասարությամբ.

NSV-ի թվային բնութագրերը Եթե NSVH-ի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են OX-ի ամբողջ թվային առանցքին, ապա վերը նշված բոլոր բանաձևերում որոշակի ինտեգրալը փոխարինվում է ոչ պատշաճ ինտեգրալով՝ անսահման ստորին և վերին սահմաններով։

SVR-ի բաշխման կորը Y X M 0 a b f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է բաշխման կորի բաշխման կոր Երկրաչափորեն SVR-ի (a;b) միջակայքում ընկնելու հավանականությունը հավասար է մակերեսին. կորագիծ trapezoid, սահմանափակված բաշխման կորով OX առանցքով և x=a և x=b ուղիղ գծերով

Ռեժիմ DSWR ռեժիմը նրա ամենահավանական արժեքն է: NSWH ռեժիմը նրա արժեքն է M 0, որի դեպքում բաշխման խտությունը առավելագույնն է: NSW ռեժիմը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի առավելագույնը՝ օգտագործելով առաջին կամ երկրորդ ածանցյալը։ M 0 \u003d 2, քանի որ 0.1 0.3 Երկրաչափական առումով եղանակը կորի կամ բաշխման բազմանկյան այդ կետի աբսցիսն է, որի օրդինատը առավելագույնն է X 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 Y X M 0 a b.

Միջին NSVR-ի մեդիանը նրա M e արժեքն է, որի համար հավասարապես հավանական է, որ պատահական փոփոխականը մեծ կամ փոքր լինի M e-ից, այսինքն. P(x M e)=0.5 Մ e-ին հավասար աբսցիսա ունեցող կետի վրա գծված օրդինատը կիսում է բաշխման կորով կամ բազմանկյունով սահմանափակված տարածքը։ Եթե ​​x=a ուղիղը y=f(x) բաշխման կորի համաչափության առանցքն է, ապա M 0 =M e = M(X)= a.

Միատեսակ խտության բաշխում Միասնական է այնպիսի SW-ների բաշխումը, որոնց բոլոր արժեքները գտնվում են որոշակի հատվածի վրա (a;b) և ունեն հաստատուն հավանականության խտություն այս հատվածի վրա Y X a b h Միատեսակ բաշխված SW-ի մաթեմատիկական ակնկալիք, շեղում, ստանդարտ շեղում: :

Բաշխման նորմալ օրենք. Լապլասի ֆունկցիա Բաշխման նորմալ օրենքը բնութագրվում է խտությամբ, բաշխման կորը համաչափ է x=a ուղիղ գծի նկատմամբ: Առավելագույն օրդինատը x=a-ում Y X x=a Գաուսի կորն է, նորմալ կորը Աբսցիսայի առանցքը y=f(x) Ֆ (x) կորի ասիմպտոտն է.