1) որակական հասկացություն, որն օգտագործվում է տնտեսագիտության մեջ «եկամտի հավասարություն», «գույքային հավասարություն», «հնարավորությունների հավասարություն» իմաստով, որպեսզի ընդգծվի որոշակի սոցիալական խմբերի դիրքերում հավասարության և անհավասարության առկայությունը. 2) մաթեմատիկական ինքնություն, հավասարում.

Մեծ սահմանում

Թերի սահմանում ↓

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

իրավունքի սկզբունքներից մեկը։ Ռ-ի հասկացությունը որոշակի վերացականություն է, այսինքն. գիտակցված (մտավոր) աբստրակցիայի արդյունք այն տարբերություններից, որոնք բնորոշ են հավասարեցված օբյեկտներին: Այնքան էլ վերացական չէ իրավական Ռ. Իրավական հավասարման հիմքը (և չափանիշը). տարբեր մարդիկսոցիալական հարաբերություններում անհատների ազատությունն է՝ ճանաչված և հաստատված նրանց գործունակության և իրավաբանական անձի տեսքով։ Սա է իրավական Ռ-ի և ընդհանրապես իրավունքի առանձնահատկությունը։ Ռ.-ն ունի ռացիոնալ իմաստ, սոցիալական աշխարհում տրամաբանորեն և գործնականում հնարավոր է, որ և միայն իրավական (ձևական-իրավական, ձևական) Ռ. Իրավունքի պատմությունը բովանդակության, ծավալի, մասշտաբի և չափման առաջանցիկ էվոլյուցիայի պատմություն է. ֆորմալ (իրավական) Ռ.՝ պահպանելով հենց այս սկզբունքը՝ որպես իրավունքի ցանկացած համակարգի, ընդհանրապես իրավունքի սկզբունք։ Այսպիսով, ֆորմալ Ռ.-ի սկզբունքը օրենքին մշտապես բնորոշ սկզբունք է՝ պատմականորեն փոփոխվող բովանդակությամբ։ Ընդհանուր առմամբ, ֆորմալ Ռ.-ի սկզբունքի բովանդակության, ծավալի և ծավալի պատմական էվոլյուցիան չի հերքում, այլ, ընդհակառակը, ամրապնդում է այս սկզբունքի նշանակությունը որպես. տարբերակիչ հատկանիշօրենքն իր առնչությամբ սոցիալական կարգավորման այլ տեսակների հետ (բարոյական, կրոնական և այլն): Մարդկանց միջև սկզբնական փաստացի տարբերությունները՝ դիտարկված և կարգավորված Ռ.-ի իրավական սկզբունքի տեսանկյունից (հավասար միջոց), ի հայտ են գալիս արդեն ձեռք բերված իրավունքների անհավասարության տեսքով (իրենց կառուցվածքով, բովանդակությամբ և ծավալով. իրավունքի տարբեր սուբյեկտների իրավունքները): Իրավունքը, որպես հարաբերությունների ձև, ըստ Ռ.-ի սկզբունքի, չի ոչնչացնում (և չի կարող ոչնչացնել) իրավունքի տարբեր սուբյեկտների միջև սկզբնական տարբերությունները, այն միայն ձևակերպում և դասավորում է այդ տարբերությունները մեկ հիմքի վրա, անորոշ փաստացի տարբերությունները վերածում է պաշտոնապես սահմանված իրավունքների։ ազատ, միմյանցից անկախ, հավասար անհատների: Սա, ըստ էության, միջնորդության, կարգավորման և կարգադրման իրավական ձևի առանձնահատկությունն է, իմաստը և արժեքը. հասարակայնության հետ կապեր. Իրավական Ռ.-ն և իրավական անհավասարությունը մեկ կարգի իրավական սահմանումներ են: Տարբեր սուբյեկտների իրավական Ռ. սկզբունքը ենթադրում է, որ նրանց կողմից ձեռք բերված իրական սուբյեկտիվ իրավունքները անհավասար են լինելու։ Օրենքի շնորհիվ տարբերությունների քաոսը վերածվում է հավասարությունների և անհավասարությունների իրավական կարգի՝ համաձայնեցված մեկ միասնական հիմքի և ընդհանուր նորմի վրա։ Տարբեր անձանց պաշտոնապես հավասար ճանաչելը նշանակում է նրանց իրավահավասար կարողությունների ճանաչում, համապատասխան ապրանքների, կոնկրետ առարկաների նկատմամբ որոշակի իրավունքներ ձեռք բերելու հնարավորություն և այլն։ Ֆորմալ իրավունքը միայն կարողություն է, վերացական հնարավորություն՝ իրավակարգավորման ընդհանուր մասշտաբին և հավասար չափով ձեռք բերելու սեփական, անհատապես սահմանված իրավունքը տվյալ օբյեկտի նկատմամբ։ Տարբեր անձանց կողմից ձեռք բերված իրավունքների տարբերությունը անհրաժեշտ արդյունք է այդ անձանց ֆորմալ (իրավական) սկզբունքը ճշգրիտ պահպանելու և չխախտելու համար, չի խախտում կամ չեղյալ է հայտարարում ֆորմալ (իրավական) Ռ սկզբունքը։ հարաբերությունները միջնորդվում են իրավական ձևով, օրենքը գործում է որպես համընդհանուր ձև, որպես համընդհանուր նշանակալի և հավասար բոլոր այս անձանց համար (տարբեր իրենց փաստացի, ֆիզիկական, մտավոր, գույքային կարգավիճակով և այլն) նույն մասշտաբով և չափով: Ռ.-ն ինքնին բաղկացած է նրանից, որ հարաբերությունների և երևույթների տվյալ ընդհանուր տիրույթի սուբյեկտների վարքն ու դիրքը ընկնում են բոլորի համար մեկ օրենքի՝ մեկ (ընդհանուր, հավասար) չափման գործողության ներքո։ Լիտ.՝ Ներսեսյանց Վ.Ս. Օրենք և օրենք. Իրավական դոկտրինների պատմությունից. Մ, 1983; Իր սեփական. Օրենքը ազատության մաթեմատիկան է։ Մ, 1996; Իր սեփական. Օրենքի արժեքը որպես ազատության, հավասարության և արդարության եռամիասնություն // Արժեքային մոտեցման հիմնախնդիրները իրավունքում. ավանդույթներ և նորացում. Մ., 1996. Վ.Ս. Ներսեսյանցը

«Հավասարությունը» թեմա է, որի միջով ուսանողներն անցնում են արդեն իսկ տարրական դպրոց. Նա նաև ուղեկցում է իր «Անհավասարություններին»։ Այս երկու հասկացությունները սերտորեն կապված են: Բացի այդ, նրանց հետ կապված են այնպիսի տերմիններ, ինչպիսիք են հավասարումները, ինքնությունները: Այսպիսով, ինչ է հավասարությունը:

Հավասարության հայեցակարգը

Այս տերմինը հասկացվում է որպես հայտարարություններ, որոնց արձանագրության մեջ կա «="» նշանը: Հավասարությունը բաժանվում է ճշմարիտ և կեղծ: Եթե ​​մուտքագրում =-ի փոխարեն կանգնած է<, >, ապա խոսքը անհավասարությունների մասին է։ Ի դեպ, հավասարության առաջին նշանը ցույց է տալիս, որ արտահայտության երկու մասերն էլ իրենց արդյունքով կամ գրառումով նույնական են։

Բացի հավասարություն հասկացությունից, դպրոցում ուսումնասիրվում է նաև «Թվային հավասարություն» թեման։ Այս հայտարարությունը հասկացվում է որպես երկու թվային արտահայտություններ, որոնք կանգնած են = նշանի երկու կողմերում: Օրինակ՝ 2*5+7=17։ Ռեկորդի երկու մասերն էլ հավասար են միմյանց:

Այս տեսակի թվային արտահայտություններում կարող են օգտագործվել փակագծեր՝ ազդելով գործողությունների հերթականության վրա։ Այսպիսով, կան 4 կանոններ, որոնք պետք է հաշվի առնել թվային արտահայտությունների արդյունքները հաշվարկելիս.

1. Եթե ​​մուտքագրում փակագծեր չկան, ապա գործողությունները կատարվում են ավելի բարձր մակարդակ: III→II→I. Եթե ​​կան միևնույն կատեգորիայի մի քանի գործողություններ, ապա դրանք կատարվում են ձախից աջ:
2. Եթե ​​մուտքի մեջ կան փակագծեր, ապա գործողությունը կատարվում է փակագծերում, իսկ հետո՝ հաշվի առնելով քայլերը։ Միգուցե փակագծերում մի քանի գործողություններ կլինեն։
3. Եթե ​​արտահայտությունը ներկայացված է որպես կոտորակ, ապա պետք է նախ հաշվարկել համարիչը, հետո հայտարարը, ապա համարիչը բաժանվում է հայտարարի վրա:
4. Եթե ​​մուտքը պարունակում է տեղադրված փակագծեր, ապա նախ գնահատվում է ներքին փակագծերի արտահայտությունը:

Այսպիսով, հիմա պարզ է, թե ինչ է հավասարությունը։ Հետագայում կդիտարկվեն հավասարումների, նույնականության և դրանց հաշվարկման մեթոդների հասկացությունները:

Թվային հավասարումների հատկությունները

Ի՞նչ է հավասարությունը: Այս հայեցակարգի ուսումնասիրությունը պահանջում է թվային նույնականությունների հատկությունների իմացություն: Հետևյալ տեքստային բանաձևերը թույլ են տալիս ավելի լավ ուսումնասիրել այս թեման. Իհարկե, այս հատկություններն ավելի հարմար են ավագ դպրոցում մաթեմատիկա սովորելու համար։

1. Թվային հավասարությունը չի խախտվի, եթե առկա արտահայտությանը դրա երկու մասերում ավելացվի նույն թիվը։

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Հավասարումը չի խախտվի, եթե դրա երկու մասերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն նույն թվով կամ արտահայտությամբ, որը տարբերվում է զրոյից:

P = O↔ R ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ R: 5 = O: 5

3. Ինքնության երկու մասերին ավելացնելով նույն ֆունկցիան, որն իմաստ ունի փոփոխականի ցանկացած թույլատրելի արժեքի համար, մենք ստանում ենք նոր հավասարություն, որը համարժեք է սկզբնականին:

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Ցանկացած տերմին կամ արտահայտություն կարող է փոխանցվել հավասարության նշանի մյուս կողմին, մինչդեռ անհրաժեշտ է նշանները փոխել հակառակի:

X + 5 = Y - 20 ↔ X \u003d Y - 20 - 5 ↔ X \u003d Y - 25

5. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով կամ բաժանելով նույն ոչ զրոյական ֆունկցիայով, որն իմաստ ունի ODZ-ից X-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար, ստանում ենք նոր հավասարում, որը համարժեք է սկզբնականին:

F(X) = Ψ(x)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(x)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X)՝ G(X) = Ψ(X) : G(X)

Վերոնշյալ կանոնները բացահայտորեն մատնանշում են հավասարության սկզբունքը, որը գոյություն ունի որոշակի պայմաններում:

Համամասնության հայեցակարգը

Մաթեմատիկայի մեջ գոյություն ունի հարաբերությունների հավասարություն: Այս դեպքում ենթադրվում է համամասնության սահմանումը։ Եթե ​​բաժանեք A-ն B-ի, ապա արդյունքը կլինի A թվի հարաբերությունը B թվին: Համամասնությունը երկու հարաբերակցության հավասարությունն է.

Երբեմն համամասնությունը գրվում է հետևյալ կերպ. A:B=C:Դ.Դրանից բխում է համամասնության հիմնական հատկությունը. Ա*D=Դ*Գ, որտեղ A-ն և D-ն համամասնության ծայրահեղ անդամներն են, իսկ B-ն և C-ն՝ միջինները:

Ինքնություններ

Ինքնությունը հավասարություն է, որը ճշմարիտ կլինի այդ փոփոխականների բոլոր վավեր արժեքների համար, որոնք ներառված են առաջադրանքում: Ինքնությունները կարող են ներկայացվել որպես բառացի կամ թվային հավասարություններ:

Հավասարապես հավասար են կոչվում այն ​​արտահայտությունները, որոնք հավասարության երկու մասերում պարունակում են անհայտ փոփոխական, որն ունակ է հավասարեցնել մեկ ամբողջության երկու մասերը։

Եթե ​​մի արտահայտությունը փոխարինենք մյուսով, որը հավասար կլինի դրան, ապա խոսքը նույնական փոխակերպման մասին է։ Այս դեպքում կարող եք օգտագործել համառոտ բազմապատկման բանաձևերը, թվաբանական օրենքները և այլ ինքնություններ։

Կոտորակը նվազեցնելու համար անհրաժեշտ է կատարել նույնական փոխակերպումներ: Օրինակ՝ տրված է կոտորակ: Արդյունքը ստանալու համար պետք է օգտագործել կրճատ բազմապատկման, ֆակտորինգի, արտահայտությունների պարզեցման և կոտորակների կրճատման բանաձևերը:

Հարկ է նշել, որ այս արտահայտությունը նույնական կլինի, երբ հայտարարը հավասար չէ 3-ի։

Ինքնությունը ապացուցելու 5 եղանակ

Ապացուցելու համար, որ հավասարությունը նույնական է, անհրաժեշտ է վերափոխել արտահայտությունները:

Ես ճանապարհ

Ձախ կողմում անհրաժեշտ է կատարել համարժեք փոխակերպումներ։ Արդյունքն այն է աջ մաս, և կարող ենք ասել, որ ինքնությունն ապացուցված է։

II մեթոդ

Արտահայտությունը փոխակերպելու բոլոր գործողությունները կատարվում են աջ կողմում: Կատարված մանիպուլյացիաների արդյունքը ձախ կողմն է: Եթե ​​երկու մասերն էլ նույնական են, ապա ինքնությունն ապացուցված է։

III մեթոդ

«Փոխակերպումներ» տեղի են ունենում արտահայտության երկու մասերում: Եթե ​​արդյունքը երկու նույնական մասեր է, ապա ինքնությունն ապացուցված է:

IV ճանապարհ

Աջ կողմը հանվում է ձախից: Համարժեք փոխակերպումների արդյունքում պետք է ստացվի զրո։ Հետո կարելի է խոսել արտահայտության ինքնության մասին։

5-րդ ճանապարհ

Ձախ կողմը հանվում է աջից: Բոլոր համարժեք փոխակերպումները կրճատվում են այն փաստի վրա, որ պատասխանը զրոյական է: Միայն այս դեպքում կարելի է խոսել հավասարության ինքնության մասին։

Ինքնության հիմնական հատկությունները

Մաթեմատիկայում հավասարումների հատկությունները հաճախ օգտագործվում են հաշվարկման գործընթացը արագացնելու համար։ Հիմնական հանրահաշվական ինքնությունների պատճառով որոշ արտահայտությունների հաշվարկման գործընթացը երկար ժամերի փոխարեն կտևի մի քանի րոպե:

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) \u003d X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) \u003d X + Y - C
• X - (Y + C) \u003d X - Y - C
• X - (Y - C) \u003d X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, որտեղ X ≠ 0

Կրճատված բազմապատկման բանաձևեր

Իրենց հիմքում կրճատված բազմապատկման բանաձևերը հավասարություններ են: Դրանք օգնում են լուծել մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրներ՝ շնորհիվ իրենց պարզության և օգտագործման հեշտության:

• (A + B) 2 \u003d A 2 + 2 ∙ A ∙ B + B 2 - զույգ թվերի գումարի քառակուսին.

• (A - B) 2 \u003d A 2 - 2 ∙ A ∙ B + B 2 - զույգ թվերի տարբերության քառակուսին.

• (C + B) ∙ (C - B) \u003d C 2 - B 2 - քառակուսիների տարբերություն;

• (A + B) 3 \u003d A 3 + 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 + B 3 - գումարի խորանարդը;

• (A - B) 3 \u003d A 3 - 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 - B 3 - տարբերության խորանարդ;

• (P + B) ∙ (P 2 - P ∙ B + B 2) \u003d P 3 + B 3 - խորանարդների գումարը;

• (P - B) ∙ (P 2 + P ∙ B + B 2) \u003d P 3 - B 3 - խորանարդների տարբերությունը:

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը հաճախ օգտագործվում են, եթե անհրաժեշտ է բազմանդամը հասցնել իր սովորական ձևին՝ պարզեցնելով այն բոլոր հնարավոր ձևերով։ Ներկայացված բանաձևերը պարզապես ապացուցված են. բավական է բացել փակագծերը և բերել նմանատիպ տերմիններ։

Հավասարումներ

Հարցն ուսումնասիրելուց հետո, թե ինչ է հավասարությունը, կարող եք անցնել հաջորդ կետին. Հավասարումը հասկացվում է որպես հավասարություն, որի մեջ կան անհայտ մեծություններ: Հավասարման լուծումը փոփոխականի բոլոր արժեքների հայտնաբերումն է, որում ամբողջ արտահայտության երկու մասերը հավասար կլինեն: Կան նաև առաջադրանքներ, որոնց դեպքում հավասարման լուծումներ գտնելն անհնար է։ Այս դեպքում ասում ենք, որ արմատներ չկան։

Որպես կանոն, անհայտներով հավասարումները որպես լուծում տալիս են ամբողջ թվեր։ Սակայն լինում են դեպքեր, երբ արմատը վեկտոր է, ֆունկցիա և այլ առարկաներ։

Հավասարումը մաթեմատիկայի ամենակարևոր հասկացություններից մեկն է: Գիտական ​​և գործնական խնդիրների մեծ մասը թույլ չի տալիս չափել կամ հաշվարկել որևէ արժեք: Ուստի անհրաժեշտ է կազմել այնպիսի հարաբերակցություն, որը կբավարարի առաջադրանքի բոլոր պայմանները։ Նման հարաբերություն կազմելու գործընթացում առաջանում է հավասարում կամ հավասարումների համակարգ։

Սովորաբար, անհայտով հավասարության լուծումը կրճատվում է բարդ հավասարման փոխակերպմամբ և այն կրճատելով մինչև պարզ ձևեր. Պետք է հիշել, որ փոխակերպումները պետք է կատարվեն երկու մասի նկատմամբ, հակառակ դեպքում արդյունքը կլինի սխալ արդյունք:

Հավասարումը լուծելու 4 եղանակ

Հավասարում լուծելով՝ հասկանում ես տրված հավասարության փոխարինումը մյուսով, որը համարժեք է առաջինին։ Նման փոփոխությունը հայտնի է որպես ինքնության վերափոխում. Հավասարումը լուծելու համար դուք պետք է օգտագործեք մեթոդներից մեկը.

1. Մի արտահայտությունը փոխարինվում է մեկ այլով, որը մեջ առանց ձախողմաննույնը կլինի առաջինին: Օրինակ՝ (3∙x+3) 2 =15∙x+10: Այս արտահայտությունը կարող է փոխարկվել 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10:

2. Անհայտի հետ հավասարության պայմանները մի կողմից մյուսը տեղափոխելը. Այս դեպքում անհրաժեշտ է ճիշտ փոխել նշանները։ Ամենափոքր սխալը կփչացնի կատարված ամբողջ աշխատանքը։ Որպես օրինակ վերցնենք նախորդ «նմուշը».

9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Հավասարության երկու կողմերը բազմապատկել հավասար թվով կամ արտահայտությամբ, որը հավասար չէ 0-ի: Այնուամենայնիվ, հարկ է հիշել, որ եթե նոր հավասարումը հավասար չէ փոխակերպումներից առաջ, ապա արմատների թիվը կարող է զգալիորեն փոխվել:

4. Հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դնել: Այս մեթոդն ուղղակի հիասքանչ է, հատկապես, երբ հավասարության մեջ կան իռացիոնալ արտահայտություններ, այսինքն՝ տակի արտահայտությունը։ Կա մեկ նախազգուշացում. եթե հավասարումը բարձրացնեք հավասարաչափի, ապա կարող են հայտնվել կողմնակի արմատներ, որոնք կխեղաթյուրեն առաջադրանքի էությունը: Իսկ եթե սխալ է արմատից հանելը, ապա խնդրի իմաստը անհասկանալի կլինի։ Օրինակ՝ │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 և 2) - 7∙х = 35 → հավասարումը ճիշտ կլուծվի։

Այսպիսով, այս հոդվածում նշվում են այնպիսի տերմիններ, ինչպիսիք են հավասարումները և ինքնությունները: Դրանք բոլորը բխում են «հավասարություն» հասկացությունից։ Տարբեր տեսակի համարժեք արտահայտությունների շնորհիվ որոշ խնդիրների լուծումը մեծապես հեշտանում է։

Հոդվածի նյութը թույլ կտա ծանոթանալ հավասարության հասկացության մաթեմատիկական մեկնաբանությանը։ Եկեք խոսենք հավասարության էության մասին. հաշվի առնել դրա տեսակներն ու գրանցման եղանակները. մենք գրում ենք հավասարության հատկությունները և օրինակներով պատկերացնում տեսությունը:

Հավասարության հայեցակարգը սերտորեն միահյուսված է համեմատության հայեցակարգի հետ, երբ մենք համեմատում ենք հատկությունները և առանձնահատկությունները՝ նմանությունները բացահայտելու համար: Համեմատության գործընթացը պահանջում է երկու օբյեկտների առկայություն, որոնք համեմատվում են միմյանց հետ։ Այս պատճառաբանությունը հուշում է, որ հավասարության հայեցակարգը չի կարող տեղի ունենալ, երբ չկան առնվազն երկու օբյեկտ համեմատելու համար: Այս դեպքում, իհարկե, կարելի է վերցնել ավելի մեծ թվով առարկաներ՝ երեք կամ ավելի, սակայն վերջում ինչ-որ կերպ կհանգենք տվյալ օբյեկտներից հավաքված զույգերի համեմատությանը։

Ընդհանրացված մեկնաբանության մեջ «հավասարություն» հասկացության իմաստը հիանալիորեն սահմանվում է «նույն» բառով։ Երկու նույնական առարկաներ կարելի է ասել «հավասար»: Օրինակ՝ քառակուսիներ և . Բայց առարկաները, որոնք գոնե ինչ-որ հիմքով տարբերվում են միմյանցից, մենք կանվանենք անհավասար։

Խոսելով հավասարության մասին՝ մենք կարող ենք նկատի ունենալ և՛ առարկաները որպես ամբողջություն, և՛ դրանց անհատական ​​հատկությունները կամ առանձնահատկությունները: Օբյեկտները ընդհանուր առմամբ հավասար են, երբ բոլոր բնութագրերով հավասար են: Օրինակ, երբ մենք որպես օրինակ բերեցինք քառակուսիների հավասարությունը, նկատի ունեինք դրանց հավասարությունը իրենց բոլոր բնորոշ հատկություններով՝ ձև, չափ, գույն: Բացի այդ, առարկաները կարող են ընդհանուր առմամբ հավասար չլինել, բայց ունենալ նույն անհատական ​​հատկանիշները: Օրինակ՝ և . Նշված առարկաները ձևով հավասար են (երկու շրջանակներ), բայց տարբեր (անհավասար) գույնով և չափսերով։

Այսպիսով, պետք է նախապես հասկանալ, թե ինչպիսի հավասարություն ունենք մեր մտքում։

Հավասարությունների գրանցում, =

Հավասարություն գրելու համար օգտագործեք հավասարության նշանը (կամ հավասարության նշանը), որը նշվում է որպես = Այս նշումը ընդհանուր առմամբ ընդունված է:

Հավասարություն կազմելով՝ կողք կողքի դրվում են հավասար առարկաներ՝ նրանց միջև գրելով հավասարության նշան։ Օրինակ, 5 և 5 թվերի հավասարությունը կգրվի 5 = 5: Կամ, ենթադրենք, մենք պետք է գրենք A B C եռանկյան պարագծի հավասարությունը մինչև 6 մետր. P A B C \u003d 6 մ:

Սահմանում 1

Հավասարություն- գրառում, որում օգտագործվում է հավասարության նշան, որը բաժանում է երկու մաթեմատիկական առարկա (կամ թվեր, կամ արտահայտություններ և այլն):

Երբ անհրաժեշտ է դառնում գրավոր նշել առարկաների անհավասարությունը, նրանք օգտագործում են ոչ հավասար նշանը, որը նշվում է որպես ≠, այսինքն. ըստ էության խաչած հավասարի նշան:

Իրական և կեղծ հավասարություններ

Կազմված հավասարությունները կարող են համապատասխանել հավասարության հայեցակարգի էությանը, կամ կարող են հակասել դրան։ Այս հիման վրա բոլոր հավասարությունները դասակարգվում են իրական հավասարությունների և կեղծ հավասարությունների: Բերենք օրինակներ.

Եկեք հավասարությունը դարձնենք 7 = 7: 7 և 7 թվերը, իհարկե, հավասար են, և, հետևաբար, 7 \u003d 7-ը իսկական հավասարություն է: 7 = 2 հավասարությունն իր հերթին սխալ է, քանի որ 7 և 2 ոչ հավասար.

Հավասարության հատկություններ

Մենք գրում ենք հավասարումների երեք հիմնական հատկություններ.

Սահմանում 2

• ռեֆլեքսիվության հատկություն, որն ասում է, որ առարկան իրեն հավասար է.
• համաչափության հատկություն. եթե առաջին օբյեկտը հավասար է երկրորդին, ապա երկրորդը հավասար է առաջինին.
• անցողիկության հատկություն. երբ առաջին օբյեկտը հավասար է երկրորդին, իսկ երկրորդը հավասար է երրորդին, ապա առաջինը հավասար է երրորդին:

Բառացիորեն ձևակերպված հատկությունները գրենք հետևյալ կերպ.

• ա = ա;
• եթե ա = բ, ապա բ = ա;
• եթե ա = բև b=c, ապա a = c.

Մենք նշում ենք հավասարումների երկրորդ և երրորդ հատկությունների հատուկ օգտագործումը` համաչափության և անցողիկության հատկությունները, դրանք հնարավորություն են տալիս հաստատել երեք կամ ավելի օբյեկտների հավասարությունը նրանց զույգ հավասարության միջոցով:

Կրկնակի, եռակի և այլն: հավասարություն

Հավասարության ստանդարտ նշման հետ միասին, որի օրինակը բերեցինք վերևում, հաճախ կազմվում են նաև այսպես կոչված կրկնակի հավասարումներ, եռակի հավասարումներ և այլն։ Նման գրառումները, ասես, հավասարությունների շղթա են։ Օրինակ, մուտքը 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - կրկնակի հավասարություն, և | Ա Բ | = | B C | = | Գ Դ | = | D E | = | E F |- քառորդ հավասարության օրինակ:

Հավասարությունների նման շղթաների օգնությամբ օպտիմալ է կազմել երեք կամ ավելի օբյեկտների հավասարությունը։ Նման գրառումներն իրենց իմաստով ցանկացած երկու օբյեկտների հավասարության նշանակումն են, որոնք կազմում են հավասարումների սկզբնական շղթան:

Օրինակ՝ 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 վերևում գրված կրկնակի հավասարությունը նշանակում է հավասարություններ. 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , և 4 + 2 = 6 , և 2 + 2 + 2 = 6 , և շնորհիվ հավասարումների համաչափության հատկության և 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , և 6 = 4 + 2 , և 6 = 2 + 2 + 2 .

Նման շղթաներ կազմելով՝ հարմար է գրել օրինակների և խնդիրների լուծման հաջորդականությունը՝ նման լուծումը պարզ է դառնում և արտացոլում է հաշվարկների բոլոր միջանկյալ փուլերը։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ստանալուց հետո ընդհանուր տեղեկությունմաթեմատիկայի հավասարությունների մասին՝ անցնում ենք ավելի նեղ թեմաների. Այս հոդվածի նյութը պատկերացում կտա թվային հավասարումների հատկությունների մասին:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ինչ է թվային հավասարությունը

Առաջին անգամ թվային հավասարություններին հանդիպում ենք տարրական դպրոցում, երբ ծանոթանում ենք թվերին և «նույն» հասկացությանը։ Նրանք. ամենապրիմիտիվ թվային հավասարություններն են՝ 2 = 2, 5 = 5 և այլն։ Եվ ուսումնասիրության այդ մակարդակում մենք դրանք անվանեցինք պարզապես հավասարումներ՝ չնշելով «թվային», և դրանց մեջ դրեցինք քանակական կամ հերթական նշանակություն (որը կրում են բնական թվերը): Օրինակ, 2 = 2 հավասարումը կհամապատասխանի պատկերի, որտեղ յուրաքանչյուրի վրա նստած են երկու ծաղիկ և երկու իշամեղու: Կամ, օրինակ, երկու հերթ, որտեղ Վասյան ու Վանյան երկրորդն են հերթականությամբ։

Քանի որ թվաբանական գործողությունների մասին գիտելիքներ են հայտնվում, թվային հավասարումները դառնում են ավելի բարդ. 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3 և այլն: Հետո սկսում են առաջանալ հավասարություններ, որոնց գրանցմանը մասնակցում են տարբեր տեսակի թվային արտահայտություններ։ Օրինակ, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1 և այլն։ Այնուհետեւ մենք ծանոթանում ենք թվերի այլ տեսակների հետ, եւ թվային հավասարությունները դառնում են ավելի ու ավելի հետաքրքիր ու բազմազան։

Սահմանում 1

Թվային հավասարությունհավասարություն է, որի երկու մասերը բաղկացած են թվերից և/կամ թվային արտահայտություններից։

Թվային հավասարումների հատկությունները

Դժվար է գերագնահատել թվային հավասարումների հատկությունների կարևորությունը մաթեմատիկայի մեջ. դրանք շատ բաների հիմքն են, որոշում են թվային հավասարումների հետ աշխատելու սկզբունքը, լուծման մեթոդները, բանաձևերի հետ աշխատելու կանոնները և շատ ավելին: Ակնհայտ է, որ կա. թվային հավասարումների հատկությունների մանրամասն ուսումնասիրության անհրաժեշտություն։

Թվային հավասարումների հատկությունները բացարձակապես համահունչ են թվերի հետ գործողությունների սահմանմանը, ինչպես նաև տարբերության միջոցով հավասար թվերի սահմանմանը. ահավասար է թվին բմիայն այն ժամանակ, երբ տարբերությունը ա-բկա զրո. Հետագայում յուրաքանչյուր գույքի նկարագրության մեջ մենք կհետևենք այս կապին:

Թվային հավասարումների հիմնական հատկությունները

Սկսենք թվային հավասարումների հատկությունների ուսումնասիրությունը երեք հիմնական հատկություններով, որոնք բնորոշ են բոլոր հավասարություններին։ Մենք թվարկում ենք թվային հավասարումների հիմնական հատկությունները.

• ռեֆլեքսիվության հատկություն. ա = ա;
• համաչափության հատկություն՝ եթե ա = բ, ապա բ = ա;
• անցումային հատկություն՝ եթե ա = բև b=c, ապա a = c, որտեղ ա , բ և գկամայական թվեր են։

Սահմանում 2

Ռեֆլեքսիվության հատկությունը ցույց է տալիս այն փաստը, որ թիվն իրեն հավասար է. օրինակ՝ 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7 և այլն։

Ապացույց 1

Հեշտ է ցույց տալ հավասարության վավերականությունը a - a = 0ցանկացած թվի համար ա:տարբերությունը ա - ակարելի է գրել որպես գումար a + (− a), իսկ թվերի գումարման հատկությունը մեզ հնարավորություն է տալիս պնդելու, որ ցանկացած թիվ ահամապատասխանում է միակ հակառակ թվին − ա, և դրանց գումարը զրո է։

Սահմանում 3

Ըստ թվային հավասարումների համաչափության հատկության՝ եթե թիվը ահավասար է թվին բ,
այդ թիվը բհավասար է թվին ա. Օրինակ, 4 3 = 64 , ապա 64 = 4 3 .

Ապացույց 2

Արդարացնել տրված գույքըհնարավոր է թվերի տարբերության միջոցով: վիճակ ա = բհամապատասխանում է հավասարությանը a - b = 0. Ապացուցենք դա b − a = 0.

Գրենք տարբերությունը բ - աինչպես - (ա - բ), հենվելով փակագծերի բացման կանոնի վրա, որին նախորդում է մինուս նշանը։ Արտահայտության նոր մուտքը - 0 է, իսկ զրոյի հակառակը զրո է: Այս կերպ, b − a = 0, հետևաբար. բ = ա.

Սահմանում 4

Թվային հավասարումների անցողիկության հատկությունը ցույց է տալիս, որ երկու թվեր հավասար են միմյանց, եթե դրանք միաժամանակ հավասար են երրորդ թվին։ Օրինակ, եթե 81 = 9 և 9 = 3 2 , ապա 81 = 3 2 .

Անցումայինության հատկությունը համապատասխանում է նաև թվերի հետ գործողությունների տարբերության և հատկությունների միջոցով հավասար թվերի սահմանմանը։ Հավասարություններ ա = բև b=cհամապատասխանում են հավասարություններին a - b = 0և b − c = 0.

Ապացույց 3

Եկեք ապացուցենք հավասարությունը a - c = 0, որից կհետեւի թվերի հավասարությունը աև գ. Քանի որ թիվ զրոյին ավելացնելով թիվը ինքնին չի փոխվում, ուրեմն ա - գգրել ձևով ա + 0 − գ. Զրոյի փոխարեն փոխարինում ենք հակադիր թվերի գումարը −բև բ, ապա վերջնական արտահայտությունը դառնում է. a + (− b + b) − c. Եկեք խմբավորենք տերմինները. (a - b) + (b - c). Փակագծերի տարբերությունները հավասար են զրոյի, ապա գումարի (a - b) + (b - c)կա զրո. Սա ապացուցում է, որ երբ a - b = 0և b − c = 0, հավասարությունը a - c = 0, որտեղ a = c.

Թվային հավասարումների այլ կարևոր հատկություններ

Վերևում քննարկված թվային հավասարումների հիմնական հատկությունները հիմք են հանդիսանում մի շարք լրացուցիչ հատկությունների համար, որոնք բավականին արժեքավոր են պրակտիկայի համատեքստում: Թվարկենք դրանք.

Սահմանում 5

Թվային հավասարության երկու մասերին գումարելով (կամ հանելով), որը ճիշտ է, նույն թիվը, մենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն։ Գրենք բառացի՝ եթե ա = բ, որտեղ աև բորոշ թվեր են, ուրեմն a + c = b + cցանկացածի համար գ.

Ապացույց 4

Որպես հիմնավորում գրում ենք տարբերությունը (a + c) - (b + c).
Այս արտահայտությունը հեշտությամբ կարող է փոխակերպվել ձևի (a - b) + (c - c).
Սկսած ա = բպայմանով հետևում է, որ a - b = 0և c - c = 0, ապա (ա - բ) + (գ - գ) = 0 + 0 = 0. Սա ապացուցում է դա (a + c) - (b + c) = 0, հետևաբար, a + c = b + c;

Սահմանում 6

Եթե ​​իրական թվային հավասարության երկու մասերը բազմապատկվում են որևէ թվի հետ կամ բաժանվում են թվի, ապա ոչ զրո, ապա ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն։
Գրենք բառացի՝ երբ ա = բ, ապա a c = b cցանկացած թվի համար գ.Եթե ​​c ≠ 0, ապա և a:c = b:c.

Ապացույց 5

Հավասարությունը ճիշտ է. a c − b c = (a − b) c = 0 c = 0, և դա ենթադրում է ապրանքների հավասարություն ա գև բ գ. Իսկ բաժանումը ոչ զրոյական c թվի վրա կարելի է գրել որպես բազմապատկում 1 c-ի փոխադարձով;

Սահմանում 7

ժամը աև բ,զրոյից տարբեր և իրար հավասար, դրանց փոխադարձները նույնպես հավասար են։
Գրենք՝ երբ a ≠ 0 , b ≠ 0 և ա = բ, ապա 1 ա = 1 բ. Ծայրահեղ հավասարությունը դժվար չէ ապացուցել. այդ նպատակով մենք բաժանում ենք հավասարության երկու կողմերը ա = բարտադրյալին հավասար թվով ա բև հավասար չէ զրոյի:

Մենք նաև մատնանշում ենք մի քանի հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս ճիշտ թվային հավասարումների համապատասխան մասերի գումարումն ու բազմապատկումը.

Սահմանում 8

Ճիշտ թվային հավասարումների տերմին առ անդամ գումարելով՝ ստացվում է ճիշտ հավասարություն։ Այս հատկությունը գրված է հետևյալ կերպ՝ եթե ա = բև գ = դ, ապա ա + գ = բ + դ a , b , c և ցանկացած թվերի համար դ.

Ապացույց 6

արդարացնել այն օգտակար հատկությունհնարավոր է՝ հիմնվելով նախկինում նշված հատկությունների վրա։ Մենք գիտենք, որ ցանկացած թիվ կարող է գումարվել իսկական հավասարության երկու կողմերին:
Դեպի հավասարություն ա = բավելացրեք համարը գ, և հավասարության համար գ = դ- թիվ բ, արդյունքը կլինի ճիշտ թվային հավասարումներ. a + c = b + cև գ + բ = դ + բ. Վերջինը գրում ենք ձևով. բ + գ ​​= բ + դ. Հավասարություններից a + c = b + cև բ + գ ​​= բ + դըստ անցողիկության հատկության հետևում է հավասարությունը ա + գ = բ + դ.Ինչն էլ պետք էր ապացուցել։

Հարկավոր է պարզաբանել, որ տերմին առ տերմին կարելի է ավելացնել ոչ միայն երկու իրական թվային հավասարումներ, այլև երեք կամ ավելի.

Սահմանում 7

Ի վերջո, մենք նկարագրում ենք նման հատկություն. երկու ճիշտ թվային հավասարումների տերմին առ անդամ բազմապատկելը տալիս է ճիշտ հավասարություն։ Գրենք տառերով՝ եթե ա = բև գ = դ, ապա ա գ = բ դ.

Ապացույց 7

Այս սեփականության ապացույցը նման է նախորդի ապացույցին: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք ցանկացած թվով, բազմապատկեք ա = բվրա գ, ա գ = դվրա բ, ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարումներ a c = b cև գ բ = դ բ. Վերջինը գրում ենք որպես բ գ = բ դ. Անանցիկության հատկությունը դա հնարավոր է դարձնում հավասարությունից a c = b cև բ գ = բ դհավասարություն ստանալ ա գ = բ դորը մենք պետք է ապացուցեինք:

Եվ կրկին պարզաբանում ենք, որ այս հատկությունը կիրառելի է երկու, երեք կամ ավելի թվային հավասարումների համար։
Այսպիսով, կարելի է գրել՝ եթե ա = բ, ապա a n = b nցանկացած թվերի համար աև բ, և ցանկացած բնական թիվ n.

Եկեք ավարտենք այս հոդվածը ՝ հավաքելով բոլոր դիտարկված հատկությունները պարզության համար.

Եթե ​​a = b , ապա b = a .

Եթե ​​a = b և b = c, ապա a = c:

Եթե ​​a = b , ապա a + c = b + c .

Եթե ​​a = b, ապա a c = b c.

Եթե ​​a = b և c ≠ 0, ապա a: c = b: c.

Եթե ​​a = b , a = b , a ≠ 0 եւ b ≠ 0 , ապա 1 a = 1 b :

Եթե ​​a = b և c = d, ապա a c = b d.

Եթե ​​a = b , ապա a n = b n .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆ ՔԱՆԱԿՆԵՐԻ ՀԵՏ.

Այն բանից հետո, երբ երեխան ծանոթանում է 1-ից 20-ից 20-ից բացիկներ-քանակներին, վերապատրաստման առաջին փուլին կարող եք ավելացնել երկրորդ փուլը՝ քանակների հավասարություն:

Ի՞նչ է հավասարությունը: Սա թվաբանական գործողություն է և դրա արդյունքը։

Դուք սկսում եք այս ուսուցման փուլը Հավելում թեմայով:

Հավելում.

Քանակային քարտերի երկու հավաքածու ցուցադրելու համար ավելացնում եք հավասարումներ գումարման համար:

Այս գործողությունը շատ հեշտ է սովորել: Փաստորեն, ձեր երեխան արդեն մի քանի շաբաթ պատրաստ է դրան: Ի վերջո, ամեն անգամ, երբ նրան նոր քարտ եք ցույց տալիս, նա տեսնում է, որ դրա վրա մեկ լրացուցիչ միավոր է հայտնվել։

Երեխան դեռ չգիտի, թե ինչ է այն կոչվում, բայց արդեն պատկերացում ունի, թե ինչ է դա և ինչպես է այն աշխատում:

Դուք արդեն ունեք նյութ յուրաքանչյուր քարտի հետևի մասում լրացման օրինակների համար:

Հավասարության ցուցադրման տեխնոլոգիա կարծես այսպիսին է. Ուզում եք երեխային հավասարություն տալ՝ 1 + 2 = 3: Ինչպե՞ս կարելի է դա ցույց տալ:

Դասից առաջ երեք քարտ դրեք ձեր ծնկներին՝ դեմքով դեպի ներքև, մեկը մյուսի վրա։ Բարձրացնելով վերին քարտը մեկ բռունցքի ասեղով, ասեք «մեկ»,հետո դրիր, ասա «պլյուս»,ցույց տվեք երկու ոսկորով բացիկ, ասեք «երկու»,բառից հետո մի կողմ դրեք "կլինի",ցույց տվեք երեք ոսկորներով բացիկ՝ ասելով «երեք».

Այն օրը, երբ դուք երեք դաս եք անցկացնում հավասարություններով, և յուրաքանչյուր դասում դուք ցույց եք տալիս երեք տարբեր հավասարություններ: Ընդհանուր առմամբ, երեխան օրական տեսնում է ինը տարբեր հավասարություն:

Երեխան առանց որևէ բացատրության հասկանում է, թե ինչ է նշանակում այդ բառը «պլյուս»,նա դրա իմաստը հանում է համատեքստից: Գործողություններ կատարելով՝ դուք դրանով ցույց եք տալիս գումարման իրական իմաստը ավելի արագ, քան ցանկացած բացատրություն: Հավասարությունների մասին խոսելիս միշտ հավատարիմ մնացեք մատուցման նույն ձևին, օգտագործելով նույն տերմինները: Ասելով «Մեկ գումարած երկու նշանակում է երեք»հետո մի խոսիր «Ավելացնել երկուսը մեկին կազմում է երեք»:Երբ երեխային փաստեր ես սովորեցնում, նա ինքն է եզրակացություններ անում և հասկանում կանոնները։ Եթե ​​դուք փոխում եք պայմանները, ապա երեխան բոլոր հիմքերն ունի մտածելու, որ կանոնները նույնպես փոխվել են։

Նախապես պատրաստեք այս կամ այն ​​հավասարության համար անհրաժեշտ բոլոր քարտերը։ Մի ակնկալեք, որ ձեր երեխան հանգիստ նստի և դիտի, թե ինչպես եք շրջում քարտերի կույտը՝ ընտրելով ճիշտ քարտերը: Նա ուղղակի կփախչի և ճիշտ կլինի, քանի որ նրա ժամանակը արժե այնքան, որքան քո ժամանակը։

Փորձեք չկատարել այնպիսի հավասարումներ, որոնք կունենան ընդհանրություններ և թույլ կտան երեխային նախապես կանխագուշակել դրանք (այդպիսի հավասարումները կարող են օգտագործվել ավելի ուշ): Ահա այսպիսի հավասարումների օրինակ.

Շատ ավելի լավ է օգտագործել հետևյալը.

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Երեխան պետք է տեսնի մաթեմատիկական էությունը, զարգացնում է մաթեմատիկական հմտություններն ու գաղափարները։ Մոտ երկու շաբաթ անց երեխան հայտնաբերում է, թե ինչ է գումարումը. ի վերջո, այս ընթացքում դուք նրան ցույց տվեցիք 126 տարբեր հավասարումներ գումարման համար:

Փորձաքննություն.

Ստուգեք այս փուլըօրինակների լուծում է։

Ինչպե՞ս է օրինակը տարբերվում հավասարությունից:
Հավասարությունը գործողություն է, որի արդյունքը ցույց է տրվում երեխային:

Օրինակ՝ գործողություն, որը պետք է կատարվի: Մեր դեպքում դուք երեխային ցույց եք տալիս երկու պատասխան, և նա ընտրում է ճիշտը, այսինքն. լուծում է օրինակը.

Դուք կարող եք օրինակ բերել սովորական դասից հետո երեք հավասարումներով գումարման համար: Դու օրինակ ես ցույց տալիս այնպես, ինչպես նախկինում հավասարություն էիր դրսևորում։ Այսինքն, դուք տեղափոխում եք քարտերը ձեր ձեռքերում՝ յուրաքանչյուրը բարձրաձայն ասելով։ Օրինակ՝ «քսանը գումարած տասը երեսո՞ւն է, թե՞ քառասունհինգ»։ և երեխային ցույց տվեք երկու քարտ, որոնցից մեկում կա ճիշտ պատասխանը:

Պատասխան քարտերը պետք է պահվեն երեխայի աչքերից միևնույն հեռավորության վրա և չպետք է թույլատրվեն հուշող գործողություններ:

Երեխայի ճիշտ ընտրությամբ դուք եռանդուն արտահայտում եք ձեր հրճվանքը, համբուրում և գովում նրան։

Եթե ​​սխալ պատասխան եք ընտրում, առանց հիասթափություն հայտնելու, ճիշտ պատասխանով քարտը հրում եք փոքրիկին և հարցնում. «Չէ՞ որ կլինի երեսուն»: Նման հարցին երեխան սովորաբար դրական է պատասխանում։ Համոզվեք, որ գովեք ձեր երեխային այս ճիշտ պատասխանի համար:

Դե, եթե ձեր երեխան տասը օրինակից ճիշտ է լուծում առնվազն վեցը, ապա ժամանակն է, որ դուք անցնեք հանման հավասարություններին:

Եթե ​​անհրաժեշտ չեք համարում երեխային ստուգել (և ճիշտ է այդպես), ապա 10-14 օր հետո դուք դեռ գնում եք հանման հավասարումների:

Դիտարկենք հանումը։

Դուք դադարում եք գումարում կատարել և ամբողջությամբ անցնում եք հանման: Անցկացրեք օրական երեք դաս՝ յուրաքանչյուրը երեք տարբեր հավասարությամբ:

Դուք հնչեցնում եք հանման հավասարությունները հետևյալ կերպ. «Տասներկուսը հանած յոթը հինգ է»։

Միևնույն ժամանակ, դուք միաժամանակ շարունակում եք ցուցադրել քանակական քարտեր (երկու հավաքածու, յուրաքանչյուրը հինգ քարտ) նաև օրական երեք անգամ: Ընդհանուր առմամբ, դուք կունենաք ինը օրական շատ կարճ դասեր: Այսպիսով, դուք աշխատում եք ոչ ավելի, քան երկու շաբաթ:

Փորձաքննություն

Ստուգումը, ինչպես գումարման դեպքում, կարող է օրինակների լուծում լինել երկուսից մեկ պատասխանի ընտրությամբ։

Դիտարկենք բազմապատկումը:

Բազմապատկումը ոչ այլ ինչ է, քան կրկնվող գումարում, ուստի այս գործողությունը մեծ բացահայտում չի լինի ձեր երեխայի համար: Շարունակելով ուսումնասիրել թվային քարտերը (յուրաքանչյուրը հինգ քարտից բաղկացած երկու հավաքածու), դուք հնարավորություն ունեք բազմապատկելու հավասարումներ:

Դուք հնչեցնում եք բազմապատկման հավասարությունները այսպես. «Երկու անգամ երեքը վեց է»։

Երեխան կհասկանա խոսքը «բազմապատկել»այնքան արագ, որքան նա հասկանում էր այդ բառից առաջ «պլյուս»և «մինուս».

Դուք դեռ օրական երեք դաս եք ծախսում, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է երեք տարբեր հավասարումներ բազմապատկման համար: Նման աշխատանքը տևում է ոչ ավելի, քան երկու շաբաթ:

Շարունակեք խուսափել կանխատեսելի հավասարություններից: Օրինակ, ինչպիսիք են.

Անհրաժեշտ է երեխային մշտապես պահել զարմանքի և նոր բանի ակնկալիքի մեջ։ Նրա համար գլխավոր հարցը պետք է լինի. «Ի՞նչ է հաջորդը»:և յուրաքանչյուր դասին նա պետք է ստանա դրա նոր պատասխանը:

Փորձաքննություն

Օրինակները լուծում եք այնպես, ինչպես «Հավելում» և «Հանում» թեմայում։ Եթե ​​երեխային դուր են եկել թվերի քարտերի ստուգման խաղերը, կարող եք շարունակել խաղալ դրանք՝ այդպիսով կրկնելով նոր, ավելի մեծ թվեր:

Հավատարիմ մնալով մեր առաջարկած սխեմային՝ այս անգամ արդեն կարող եք ավարտել մաթեմատիկայի ուսուցման առաջին փուլը՝ ուսումնասիրել քանակները 100-ի սահմաններում։ Այժմ ժամանակն է ծանոթանալու երեխաներին ամենաշատը դուր եկած քարտին։

Դիտարկենք զրոյի հայեցակարգը:

Ասում են, որ մաթեմատիկոսները հինգ հարյուր տարի ուսումնասիրում են զրոյի գաղափարը։ Անկախ նրանից, թե դա ճիշտ է, թե ոչ, երեխաները, հենց որ նրանք ծանոթանան քանակի գաղափարին, անմիջապես հասկանում են դրա լիակատար բացակայության իմաստը: Նրանք պարզապես սիրում են զրո, և ձեր ճանապարհորդությունը դեպի թվերի աշխարհ ամբողջական չի լինի, եթե ձեր երեխային ցույց չտաք մի բացիկ, որն ընդհանրապես ոչ մի կետ չունի (այսինքն այն կլինի բոլորովին դատարկ քարտ):

Երեխայի ծանոթությունը զրո զվարճալի և հետաքրքիր դարձնելու համար քարտի ցուցադրումը կարող եք ուղեկցել հանելուկով.

Տանը `յոթ սկյուռիկ, ափսեի վրա` յոթ սունկ: Բոլոր սնկերը կերան սկյուռիկներին։ Ի՞նչ է մնացել ափսեի վրա:

Վերջին արտահայտությունն ասելով՝ ցույց ենք տալիս «զրո» քարտը։

Դուք այն կօգտագործեք գրեթե ամեն օր։ Այն օգտակար է գումարման, հանման և բազմապատկման գործողությունների համար։

«Զրո» քարտով կարող եք աշխատել մեկ շաբաթ։ Երեխան արագ տիրապետում է այս թեմային: Ինչպես նախկինում, այնպես էլ ցերեկային ժամերին երեք դաս եք անցկացնում։ Յուրաքանչյուր դասի ժամանակ դուք ձեր երեխային ցույց եք տալիս երեք տարբեր հավասարումներ գումարման, հանման և զրոյով բազմապատկելու համար: Ընդհանուր առմամբ, դուք օրական կստանաք ինը հավասարություն:

Փորձաքննություն

Օրինակների լուծումը զրոյով ընթանում է ըստ ձեզ ծանոթ սխեմայի։

Դիտարկենք - Բաժանում:

Երբ դուք անցել եք 0-ից մինչև 100 թվային բոլոր քարտերը, դուք ունեք բոլոր անհրաժեշտ նյութերը քանակներով բաժանման օրինակների համար:

Այս թեմայի հավասարությունների ցուցադրման տեխնոլոգիան նույնն է։ Դուք ամեն օր երեք դաս ունեք: Յուրաքանչյուր դասի ժամանակ դուք երեխային ցույց եք տալիս երեք տարբեր հավասարություններ: Դե, եթե այս նյութի անցումը չի գերազանցի երկու շաբաթը:

Փորձաքննություն

Ստուգումը օրինակների լուծում է երկուսից մեկ պատասխանի ընտրությամբ:

Երբ դուք անցել եք բոլոր մեծությունները և ծանոթ եք թվաբանության չորս կանոններին, կարող եք ամեն կերպ դիվերսիֆիկացնել և բարդացնել ձեր ուսումնասիրությունները: Նախ ցույց տվեք հավասարություններ, որտեղ օգտագործվում է մեկ թվաբանական գործողություն՝ միայն գումարում, հանում, բազմապատկում կամ բաժանում:

Այնուհետև - հավասարություններ, որտեղ գումարումն ու հանումը կամ բազմապատկումն ու բաժանումը համակցված են.

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Քարտերում չշփոթվելու համար կարող եք փոխել դասերի անցկացման եղանակը։ Այժմ անհրաժեշտ չէ ցույց տալ տրիկոտաժի ասեղների յուրաքանչյուր բացիկ, դուք կարող եք միայն ցույց տալ պատասխանը, իսկ գործողություններն իրենք կարող են միայն խոսել: Արդյունքում ձեր դասերը կկարճանան։ Դուք պարզապես երեխային ասում եք. «Քսաներկուը բաժանված տասնմեկ, բաժանված երկուսի՝ մեկ»- և ցույց տվեք նրան «մեկ» քարտը:

Այս թեմայում դուք կարող եք օգտագործել հավասարումներ, որոնց միջև կա որոշակի օրինաչափություն:

Օրինակ:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

Չորս թվաբանական գործողությունները հավասարության մեջ միավորելիս հիշեք, որ բազմապատկումը և բաժանումը պետք է տեղափոխվեն հավասարության սկզբում.

Մի վախեցեք ցույց տալ հավասարություններ, որոնցից հարյուրից ավելին են, օրինակ.

միջանկյալ արդյունքը

42 * 3 - 36 = 90,

որտեղ միջանկյալ արդյունքը 126 է (42 * 3 = 126)

Ձեր փոքրիկը հիանալի կլինի նրանց հետ:

Ստուգումը օրինակների լուծում է երկուսից մեկ պատասխանի ընտրությամբ: Դուք կարող եք օրինակ ցույց տալ՝ ցույց տալով բոլոր հավասարության քարտերը և երկու պատասխան քարտերը, կամ պարզապես ասել ամբողջ հավասարությունը՝ երեխային ցույց տալով ընդամենը երկու պատասխան քարտ:

Հիշիր. Որքան երկար եք սովորում, այնքան ավելի արագ պետք է նոր թեմաներ ներմուծեք: Հենց նկատեք երեխայի անուշադրության կամ ձանձրույթի առաջին նշանները, անցեք նոր թեմայի։ Որոշ ժամանակ անց կարող եք վերադառնալ նախորդ թեմային (բայց դեռ չցուցադրված հավասարություններին ծանոթանալու համար)։

Հաջորդականություններ

Հերթականությունները նույն հավասարություններն են: Այս թեմայով ծնողների փորձը ցույց է տվել, որ հաջորդականությունները շատ հետաքրքիր են երեխաների համար։

Գումարած հաջորդականությունները աճող հաջորդականություններ են: Մինուսով հաջորդականությունները նվազում են։

Որքան բազմազան են հաջորդականությունները, այնքան դրանք ավելի հետաքրքիր են երեխայի համար:

Ահա հաջորդականության մի քանի օրինակ.

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Տեխնոլոգիացուցադրման հաջորդականությունը կարող է լինել այսպիսին. Դուք պատրաստել եք երեք գումարած հաջորդականություն։

Դուք երեխային հայտնում եք դասի թեման, առաջին հաջորդականության քարտերը մեկը մյուսի հետևից շարում հատակին՝ բարձրաձայնելով դրանք։

Երեխայի հետ տեղափոխեք սենյակի մեկ այլ անկյուն և նույն կերպ դրեք երկրորդ հաջորդականությունը:

Սենյակի երրորդ անկյունում դուք շարում եք երրորդ հաջորդականությունը՝ այն բարձրաձայնելով։

Կարող եք նաև հաջորդականություններ դնել միմյանց տակ՝ բաց թողնելով դրանց միջև:

Փորձեք միշտ առաջ գնալ՝ պարզից բարդի անցնելով։ Տարբերակեք գործողությունները. երբեմն բարձրաձայն ասեք այն, ինչ ցույց եք տալիս, և երբեմն ցույց տվեք քարտերը լուռ: Ամեն դեպքում, երեխան տեսնում է իր առջեւ բացված հաջորդականությունը.

Յուրաքանչյուր հաջորդականության համար դուք պետք է օգտագործեք առնվազն վեց քարտ, երբեմն ավելի շատ, որպեսզի երեխայի համար հեշտացնեք ինքնուրույն որոշել հաջորդականության սկզբունքը:

Հենց որ տեսնեք երեխայի աչքերի փայլը, փորձեք օրինակ ավելացնել երեք հաջորդականություններին (այսինքն՝ ստուգեք նրա գիտելիքները):

Դու ցույց ես տալիս այսպիսի օրինակ. սկզբում շարում ես ամբողջ հաջորդականությունը, ինչպես սովորաբար անում ես, իսկ վերջում վերցնում ես երկու քարտ (մեկ քարտը հաջորդականությամբ հաջորդող քարտն է, իսկ մյուսը՝ պատահական) և հարցնում. երեխան. «Ո՞րն է հաջորդը»:

Սկզբում քարտերը հաջորդականությամբ դասավորեք մեկը մյուսի հետևից, այնուհետև կարելի է փոխել երեսարկման ձևերը. քարտերը դնել շրջանագծի մեջ, սենյակի պարագծի շուրջ և այլն:

Քանի որ դուք ավելի ու ավելի լավանում եք, մի վախեցեք օգտագործել բազմապատկումն ու բաժանումը ձեր հաջորդականությունների մեջ:

Հերթականության օրինակներ.

չորս; 6; ութ; տասը; 12; 14 - այս հաջորդականությամբ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ ավելանում է 2-ով.

2; չորս; 7; տասնչորս; 17; 34 - այս հաջորդականությամբ բազմապատկումն ու գումարումը փոխարինում են (x 2; + 3);

2; չորս; ութ; 16; 32; 64 - այս հաջորդականությամբ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը ավելանում է 2 անգամ.

22; տասնութ; տասնչորս; տասը; 6; 2 - այս հաջորդականությամբ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը նվազում է 4-ով.

84; 42; 40; քսան; տասնութ; 9 - բաժանումը և հանումը փոխարինվում են այս հաջորդականությամբ (: 2; - 2);

Նշաններ «ավելի քան», «ավելի քիչ»

Այս քարտերը թվերի և նշանների 110 քարտերի մի մասն են (ANASTA մեթոդաբանության երկրորդ բաղադրիչը):

Երեխային «ավել-պակաս» հասկացություններին ծանոթացնելու դասերը շատ կարճ կլինեն։ Ընդամենը պետք է ցույց տալ երեք քարտ:

Ցուցադրման տեխնոլոգիա

Նստեք հատակին և յուրաքանչյուր բացիկ դրեք երեխայի առջև, որպեսզի նա կարողանա միանգամից տեսնել բոլոր երեք քարտերը: Անվանեք յուրաքանչյուր քարտ:

Դուք կարող եք դա ասել այսպես. «վեց ավելի քան երեք»կամ «վեցը երեքից ավելի է»:

Յուրաքանչյուր դասի ընթացքում երեխային ցույց եք տալիս երեքը տարբեր տարբերակներհետ անհավասարություններ

քարտեր «ավելի շատ» - «պակաս»: օրական անհավասարություններ.

Այսպիսով, դուք ցույց եք տալիս ինը տարբեր

Ինչպես նախկինում, դուք յուրաքանչյուր անհավասարություն ցույց եք տալիս միայն մեկ անգամ:

Մի քանի օր անց երեք շոուներին կարելի է օրինակ ավելացնել։ Դա արդեն քննություն,և դա արվում է այսպես.

Հատակին տեղադրեք նախապես պատրաստված քարտեր, օրինակ՝ «68» թվով քարտ և «ավելին» նշանով քարտ։ Հարցրեք ձեր երեխային. «Վաթսունութը ո՞ր թվից մեծ է»։կամ «Վաթսունութ ավելի քան հիսուն կամ իննսունհինգ»: Խնդրեք ձեր երեխային ընտրել երկու քարտերից մեկը: Երեխայի կողմից ճիշտ նշված քարտը դուք (կամ ինքը) դնում եք «ավելին» նշանից հետո:

Դուք կարող եք երեխայի առջև դնել քանակներով երկու քարտ և թույլ տալ, որ նա ընտրի այն նշանը, որը հարմար է, այսինքն՝ > կամ<.

Հավասարություններ և անհավասարություններ

Հավասարություններ և անհավասարություններ սովորեցնելը նույնքան հեշտ է, որքան շատ ու քիչ սովորեցնելը:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի թվաբանական նշաններով վեց քարտ: Դրանք կգտնեք նաև որպես թվերի և նշանների 110 քարտերի մաս (ANASTA մեթոդաբանության երկրորդ բաղադրիչը):

Ցուցադրման տեխնոլոգիա

Դուք որոշում եք ցույց տալ ձեր երեխային այս երկու անհավասարությունները և մեկ հավասարությունը.

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Դուք դրանք հաջորդաբար դնում եք հատակին, որպեսզի երեխան միանգամից տեսնի յուրաքանչյուրը: Մինչ դուք խոսում եք, օրինակ. «Ութ հանած վեցը հավասար չէ տասը հանած յոթին»:

Նույն կերպ դուք արտասանում եք մնացած հավասարությունն ու անհավասարությունը շարելիս։

Այս թեմայի ուսուցման սկզբնական փուլում դրված են բոլոր բացիկները:

Այնուհետև հնարավոր կլինի ցույց տալ միայն «հավասար» և «ոչ հավասար» քարտերը:

Մի գեղեցիկ օր դուք հնարավորություն եք տալիս երեխային ցույց տալ գիտելիքները: Դրեք քարտերը քանակով և առաջարկեք նրան ընտրել քարտ, որի նշանը դնելու համար՝ «հավասար» կամ «ոչ հավասար»:

Նախքան երեխայի հետ հանրահաշիվ սովորելը, դուք պետք է նրան ծանոթացնեք տառով ներկայացված փոփոխական հասկացությանը:

Սովորաբար x տառը օգտագործվում է մաթեմատիկայում, բայց քանի որ այն հեշտությամբ կարելի է շփոթել բազմապատկման նշանի հետ, խորհուրդ է տրվում օգտագործել y։

Դնում ես սկզբում հինգ հատիկներով քարտ՝ բռունցք, հետո + գումարած նշան (+), դրանից հետո y նշանով, ապա հավասարության նշան, իսկ վերջում՝ յոթ ուլունքներով քարտ՝ բռունցք: Այնուհետև դուք հարց եք տալիս. «Ի՞նչ նկատի ունեք այստեղ»:

Եվ դուք ինքներդ պատասխանում եք դրան. «Այս հավասարման մեջ դա նշանակում է երկու»:

Փորձաքննություն:

Այս փուլում մոտ մեկից մեկուկես շաբաթ դասերից հետո կարող եք թույլ տալ, որ երեխան ընտրի պատասխանը:

ԹՎԵՐԻ ԵՎ ՔԱՆԱԿՆԵՐԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅԱՆ ՉՈՐՐՈՐԴ ՓՈՒԼ

1-ից 20-ն անցնելուց հետո ժամանակն է կամրջելու թվերի և թվերի միջև եղած բացը: Դա անելու բազմաթիվ եղանակներ կան: Ամենապարզներից մեկը հավասարությունների և անհավասարությունների օգտագործումն է, ավելի մեծ և պակաս, քան հարաբերությունները, որոնք ցուցադրվում են թվերով և ոսկորներով քարտերի միջոցով:

ցուցադրման տեխնոլոգիա:

Վերցրեք 12 թվով քարտը, դրեք հատակին, ապա կողքին դրեք «ավելին» նշանը, իսկ հետո 10 թվով քարտը՝ ասելով. «Տասներկուսը տասից ավելի է»։

Անհավասարությունները (հավասարությունները) կարող են այսպիսի տեսք ունենալ.

Յուրաքանչյուր (հավասար) օր բաղկացած է երեք դասից, և յուրաքանչյուր դասը բաղկացած է թվերի և թվերի երեք անհավասարություններից: Օրական հավասարումների ընդհանուր թիվը կկազմի ինը։ Միևնույն ժամանակ, դուք միաժամանակ շարունակում եք ուսումնասիրել թվերը յուրաքանչյուր հինգական քարտից բաղկացած երկու հավաքածուի օգնությամբ, նաև օրը երեք անգամ։

Փորձաքննություն.

Դուք կարող եք երեխային հնարավորություն տալ ընտրել «ավելի մեծ», «պակաս», «հավասար» քարտեր կամ օրինակ կազմել այնպես, որ երեխան ինքը կարողանա լրացնել այն: Օրինակ՝ դնում ենք 7 համարի քարտ, հետո «մեծից» նշան և երեխային հնարավորություն ենք տալիս լրացնել օրինակը, այսինքն՝ ընտրել թվային քարտ, օրինակ՝ 9, կամ թվային քարտ, օրինակ՝ 5։ .

Այն բանից հետո, երբ երեխան հասկանա քանակների և թվերի փոխհարաբերությունները, դուք կարող եք սկսել հավասարումներ լուծել՝ օգտագործելով թե՛ թվերով, թե՛ քանակներով քարտեր:

Հավասարություն թվերի և քանակների հետ:

Թվերով և քանակներով քարտեր օգտագործելով՝ դուք անցնում եք արդեն ծանոթ թեմաներով՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հաջորդականություն, հավասարություններ և անհավասարություններ, կոտորակներ, հավասարումներ, հավասարումներ երկու կամ ավելի քայլերով:

Եթե ​​ուշադիր նայեք մաթեմատիկայի դասավանդման մոտավոր սխեմային (էջ 20), ապա կտեսնեք, որ դասերը վերջ չունեն։ Երեխայի մտավոր հաշվարկը զարգացնելու համար սեփական օրինակներ բերեք, քանակները փոխկապակցեք իրական առարկաների հետ (ընկույզ, հյուրերի համար գդալներ, թակած բանանի կտորներ, հաց և այլն) - մի խոսքով համարձակվեք, արարեք, հորինեք, փորձեք։ ! Եվ դուք հաջողության կհասնեք: