Uputa

Ako je modul predstavljen kao kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |h| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Lako je vidjeti da zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva slijedi isto pravilo kao zbrajanje i .

Umnožak dva kompleksna broja je:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Budući da je i^2 = -1, krajnji rezultat je:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operacije dizanja na potenciju i vađenja korijena za kompleksne brojeve definirane su na isti način kao i za realne brojeve. Međutim, u kompleksnoj domeni za bilo koji broj postoji točno n brojeva b takvih da je b^n = a, odnosno n korijena n-tog stupnja.

Konkretno, to znači da svaka algebarska jednadžba n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n kompleksnih korijena, od kojih neki mogu biti i .

Slični Videi

Izvori:

• Predavanje "Kompleksni brojevi" 2019

Korijen je ikona koja označava matematičku operaciju pronalaženja takvog broja, čijim podizanjem na stupanj naznačen prije znaka korijena treba dobiti broj naznačen upravo pod ovim znakom. Često, za rješavanje problema u kojima postoje korijeni, nije dovoljno samo izračunati vrijednost. Moramo izvršiti dodatne operacije, od kojih je jedna uvođenje broja, varijable ili izraza ispod znaka korijena.

Uputa

Odredite eksponent korijena. Indikator je cijeli broj koji označava potenciju na koju se mora podići rezultat izračunavanja korijena da bi se dobio radikalni izraz (broj iz kojeg je taj korijen izdvojen). Eksponent korijena, naveden kao superskript ispred ikone korijena. Ako ovaj nije naveden, jest Korijen, čija je diploma dva. Na primjer, korijenski eksponent √3 je dva, korijenski eksponent ³√3 je tri, korijenski eksponent ⁴√3 je četiri, i tako dalje.

Broj koji želite dodati pod predznak korijena podignite na potenciju jednaku eksponentu tog korijena, koji ste odredili u prethodnom koraku. Na primjer, ako trebate unijeti broj 5 ispod znaka korijena ⁴√3, tada je eksponent korijena četiri i potreban vam je rezultat dizanja 5 na četvrtu potenciju 5⁴=625. To možete učiniti na bilo koji način koji vam odgovara - u svom umu, pomoću kalkulatora ili odgovarajućih objavljenih usluga.

Vrijednost dobivenu u prethodnom koraku upiši pod znak korijena kao množitelj radikalnog izraza. Za primjer korišten u prethodnom koraku s dodavanjem ispod korijena ⁴√3 5 (5*⁴√3), ova se radnja može izvesti ovako: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Pojednostavite dobiveni radikalni izraz, ako je moguće. Za primjer iz prethodnih koraka, ovo je da samo trebate pomnožiti brojeve ispod znaka korijena: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Time je završena operacija dodavanja broja ispod korijena.

Ako u zadatku postoje nepoznate varijable, tada se gore opisani koraci mogu izvršiti opći pogled. Na primjer, ako želite uvesti nepoznatu varijablu x ispod korijena četvrtog stupnja, a korijenski izraz je 5/x³, tada se cijeli niz radnji može napisati na sljedeći način: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x4*5/x³)= 4⁴√(x*5).

Izvori:

• kako se zove korijenski znak

Realni brojevi nisu dovoljni za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe. Najjednostavnija kvadratna jednadžba koja nema korijen među realnim brojevima je x^2+1=0. Prilikom rješavanja ispada da je x=±sqrt(-1), a prema zakonima elementarne algebre iz negativnog izvucite korijen parnog stupnja brojevima Zabranjeno je.

Pojam (modul) u doslovnom prijevodu s latinskog znači "mjera". Taj je pojam u matematiku uveo engleski znanstvenik R. Cotes. A njemački matematičar K. Weierstrass uveo je znak modula - simbol kojim se ovaj koncept označava pri pisanju.

Prvi put se ovaj pojam proučava u matematici u programu 6. razreda. Srednja škola. Prema jednoj definiciji, modul je apsolutna vrijednost realnog broja. Drugim riječima, da biste saznali modul realnog broja, morate odbaciti njegov predznak.

Grafički apsolutna vrijednost a označen kao |a|.

Glavni Posebnost ovog koncepta leži u činjenici da je uvijek nenegativna vrijednost.

Brojeve koji se međusobno razlikuju samo predznakom nazivamo suprotnim brojevima. Ako je vrijednost pozitivna, onda je njena suprotnost negativna, a nula je vlastita suprotnost.

geometrijska vrijednost

Ako razmatramo koncept modula sa stajališta geometrije, tada će on označavati udaljenost, koja se mjeri u jediničnim segmentima od ishodišta do dana točka. Ova definicija u potpunosti otkriva geometrijsko značenje pojam koji se proučava.

Grafički se to može izraziti na sljedeći način: |a| = O.A.

Svojstva apsolutne vrijednosti

U nastavku ćemo razmotriti sva matematička svojstva ovog koncepta i načine pisanja u obliku doslovnih izraza:

Značajke rješavanja jednadžbi s modulom

Ako govorimo o rješavanju matematičkih jednadžbi i nejednakosti koje sadrže modul, tada morate zapamtiti da ćete za njihovo rješavanje morati otvoriti ovaj znak.

Na primjer, ako predznak apsolutne vrijednosti sadrži neki matematički izraz, tada je prije otvaranja modula potrebno uzeti u obzir trenutne matematičke definicije.

|A + 5| = A + 5 ako je A veće ili jednako nuli.

5-A ako je A manje od nule.

U nekim slučajevima, znak se može jednoznačno proširiti za bilo koju vrijednost varijable.

Razmotrimo još jedan primjer. Konstruirajmo koordinatnu liniju na kojoj označavamo sve brojčane vrijednosti čija će apsolutna vrijednost biti 5.

Najprije je potrebno nacrtati koordinatnu crtu, na njoj označiti ishodište koordinata i odrediti veličinu pojedinog segmenta. Osim toga, linija mora imati smjer. Sada na ovoj ravnoj liniji potrebno je primijeniti oznake koje će biti jednake vrijednosti jednog segmenta.

Dakle, možemo vidjeti da će na ovoj koordinatnoj liniji biti dvije točke od interesa za nas s vrijednostima 5 i -5.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontakt s njom.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i Nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutna vrijednost broja. Mi ćemo dati razne definicije modula broja, uvodimo zapis i dajemo grafičke ilustracije. Pritom razmislite razni primjeri nalaženje modula broja po definiciji. Nakon toga navodimo i obrazlažemo glavna svojstva modula. Na kraju članka govorit ćemo o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul broja - definicija, zapis i primjeri

Prvo predstavljamo oznaka modula. Modul broja a zapisat ćemo kao , odnosno lijevo i desno od broja stavit ćemo okomite crte koje čine predznak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modulo -7 može se napisati kao ; modul 4,125 je napisan kao , a modul je napisan kao .

Sljedeća definicija modula odnosi se na, i stoga, na, i na cijele brojeve, te na racionalne i iracionalne brojeve, kao na sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.

Definicija.

Modul od a je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broju a, ako je a negativan broj, ili 0 ako je a=0 .

Izražena definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ova oznaka znači da ako je a>0, ako je a=0 i ako je a<0 .

Zapis se može prikazati u kompaktnijem obliku . Ova oznaka znači da ako je (a veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Tu je i rekord . Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0 , jer se nula smatra brojem koji je suprotan sebi.

Donesimo primjeri nalaženja modula broja sa zadanom definicijom. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i . Počnimo s pronalaskom. Kako je broj 15 pozitivan, njegov modul je po definiciji jednak samom ovom broju, tj. Što je modul broja? Budući da je negativan broj, tada je njegov modul jednak broju suprotnom broju, odnosno broju . Na ovaj način, .

U zaključku ovog odlomka dajemo jedan zaključak, koji je vrlo prikladan za primjenu u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizlazi da modul broja jednak je broju pod znakom modula, bez obzira na njegov predznak, a iz gore razmotrenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Izražena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutna vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao udaljenost. Donesimo određivanje modula broja u smislu udaljenosti.

Definicija.

Modul od a je udaljenost od ishodišta na koordinatnoj liniji do točke koja odgovara broju a.

Ova je definicija u skladu s definicijom modula broja danom u prvom odlomku. Objasnimo ovu točku. Udaljenost od ishodišta do točke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je tom broju. Nula odgovara ishodištu, tako da je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom 0 jednaka nuli (nijedan pojedinačni segment i niti jedan segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta ne treba odgoditi da bi se došlo od točke O do točke s koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do točke s negativnom koordinatom jednaka je broju nasuprot koordinati dane točke, jer je jednaka udaljenosti od ishodišta do točke čija je koordinata suprotni broj.

Na primjer, modul broja 9 je 9, jer je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom 9 devet. Uzmimo drugi primjer. Točka s koordinatom −3.25 udaljena je od točke O 3.25 pa je .

Zvučna definicija modula broja poseban je slučaj definiranja modula razlike dvaju brojeva.

Definicija.

Modul razlike dvaju brojeva a i b jednaka je udaljenosti između točaka koordinatnog pravca s koordinatama a i b .

Odnosno, ako su zadane točke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od točke A do točke B jednaka modulu razlike brojeva a i b. Ako točku O (referentnu točku) uzmemo kao točku B, tada ćemo dobiti definiciju modula broja navedenog na početku ovog paragrafa.

Određivanje modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen

Ponekad se nađe određivanje modula kroz aritmetički kvadratni korijen.

Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na temelju ove definicije. Imamo . Slično, izračunavamo modul dvije trećine: .

Definicija modula broja u smislu aritmetičkog kvadratnog korijena također je u skladu s definicijom danom u prvom stavku ovog članka. Pokažimo to. Neka je a pozitivan broj, a neka je −a negativan. Zatim i , ako je a=0 , tada .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo dati glavne i najčešće korištene od njih. Pri potkrepljivanju ovih svojstava oslanjat ćemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočiglednijim svojstvom modula − modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a . Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti negativnim brojem.

Prijeđimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja jednak je nuli ako i samo ako je taj broj nula. Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara ishodištu, nijedna druga točka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, budući da je svaki realni broj pridružen jednoj točki na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, svaki broj osim nule odgovara točki koja nije ishodište. A udaljenost od ishodišta do bilo koje točke osim točke O nije jednaka nuli, budući da je udaljenost između dviju točaka jednaka nuli ako i samo ako se te točke podudaraju. Gornje razmišljanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Krenuti dalje. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za svaki broj a . Doista, dvije točke na koordinatnom pravcu čije su koordinate suprotni brojevi jednako su udaljene od ishodišta, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.

Sljedeće svojstvo modula je: modul umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku modula tih brojeva, to je, . Po definiciji, modul umnoška brojeva a i b je ili a b ako , ili −(a b) ako . Iz pravila množenja realnih brojeva proizlazi da je umnožak modula brojeva a i b jednak ili a b , , ili −(a b) , ako je , što dokazuje razmatrano svojstvo.

Modul kvocijenta dijeljenja a s b jednak je kvocijentu dijeljenja modula a s modulom b, to je, . Opravdajmo ovo svojstvo modula. Budući da je kvocijent jednak umnošku, onda je . Na temelju prethodnog svojstva, imamo . Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi zbog definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula zapisano je kao nejednakost: , a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa više od nejednakost trokuta. Da bismo to pojasnili, uzmimo točke A(a) , B(b) , C(c) na koordinatnom pravcu i razmotrimo degenerirani trokut ABC čiji vrhovi leže na istom pravcu. Prema definiciji, modul razlike jednak je duljini segmenta AB, - duljini segmenta AC i - duljini segmenta CB. Budući da duljina nijedne stranice trokuta ne prelazi zbroj duljina druge dvije stranice, nejednakost , dakle, nejednakost također vrijedi.

Upravo dokazana nejednakost mnogo je češća u obliku . Napisana nejednakost obično se smatra zasebnim svojstvom modula s formulacijom: “ Modul zbroja dvaju brojeva nije veći od zbroja modula tih brojeva". Ali nejednakost izravno slijedi iz nejednakosti , ako u nju stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0 .

Modul kompleksnog broja

Dajmo određivanje modula kompleksnog broja. Neka nam se da složeni broj, zapisano u algebarskom obliku, gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju realne i imaginarne dijelove zadanog kompleksnog broja z, te je imaginarna jedinica.

Modul je apsolutna vrijednost izraza. Da bi se barem nekako označio modul, uobičajeno je koristiti ravne zagrade. Vrijednost koja je zatvorena u parnim zagradama je vrijednost koja se uzima modulo. Proces rješavanja bilo kojeg modula sastoji se u otvaranju istih izravnih zagrada, koje se u matematičkom jeziku nazivaju modularne zagrade. Njihovo otkrivanje odvija se prema određenom broju pravila. Također, u redoslijedu rješavanja modula, postoje i skupovi vrijednosti onih izraza koji su bili u zagradama modula. U većini slučajeva, modul se proširuje na takav način da izraz koji je bio podmodul dobije i pozitivne i negativne vrijednosti, uključujući vrijednost nula. Ako pođemo od utvrđenih svojstava modula, tada se u procesu sastavljaju razne jednadžbe ili nejednadžbe iz izvornog izraza, koje je potrebno riješiti. Smislimo kako riješiti module.

Proces rješenja

Rješavanje modula počinje pisanjem izvorne jednadžbe s modulom. Da biste odgovorili na pitanje kako riješiti jednadžbe s modulom, morate ga potpuno otvoriti. Za rješavanje takve jednadžbe modul se proširuje. Moraju se uzeti u obzir svi modularni izrazi. Potrebno je utvrditi pri kojim vrijednostima nepoznatih veličina uključenih u njegov sastav modularni izraz u zagradama nestaje. Da bi to učinili, dovoljno je izjednačiti izraz u modularnim zagradama s nulom, a zatim izračunati rješenje dobivene jednadžbe. Pronađene vrijednosti moraju se zabilježiti. Na isti način, također trebate odrediti vrijednost svih nepoznatih varijabli za sve module u ovoj jednadžbi. Zatim je potrebno pozabaviti se definiranjem i razmatranjem svih slučajeva postojanja varijabli u izrazima kada su različite od vrijednosti nula. Da biste to učinili, morate zapisati neki sustav nejednakosti koji odgovara svim modulima u izvornoj nejednadžbi. Nejednadžbe moraju biti sastavljene tako da pokrivaju sve dostupne i moguće vrijednosti za varijablu koje se nalaze na brojevnom pravcu. Zatim trebate nacrtati za vizualizaciju ovu istu brojčanu liniju, na koju ćete staviti sve dobivene vrijednosti u budućnosti.

Gotovo sve se sada može učiniti online. Modul nije iznimka od pravila. Možete ga riješiti online na jednom od mnogih modernih izvora. Sve one vrijednosti varijable koje se nalaze u nultom modulu bit će posebno ograničenje koje će se koristiti u procesu rješavanja modularne jednadžbe. U izvornoj jednadžbi potrebno je proširiti sve dostupne modularne zagrade, mijenjajući predznak izraza tako da se vrijednosti željene varijable podudaraju s onim vrijednostima koje su vidljive na brojevnoj liniji. Rezultirajuća jednadžba mora se riješiti. Vrijednost varijable koja će se dobiti tijekom rješavanja jednadžbe mora se provjeriti prema ograničenju koje postavlja sam modul. Ako vrijednost varijable u potpunosti zadovoljava uvjet, tada je točna. Svi korijeni koji će se dobiti tijekom rješavanja jednadžbe, a neće odgovarati ograničenjima, moraju se odbaciti.