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ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचना के उद्देश्यों के लिए है और प्रस्तुति की पूरी सीमा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है। यदि आप इस काम में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

पाठ का उद्देश्य:

• एक मजेदार तरीके से, छात्रों को एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से, एक बिट इकाई से गुणा करने के नियम और एक दशमलव अंश को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के नियम से परिचित कराएं। उदाहरणों और समस्याओं को हल करने में अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना।
• छात्रों की तार्किक सोच को विकसित और सक्रिय करने के लिए, पैटर्न की पहचान करने और उन्हें सामान्य बनाने की क्षमता, स्मृति को मजबूत करने, सहयोग करने की क्षमता, सहायता प्रदान करने, उनके काम और एक दूसरे के काम का मूल्यांकन करने की क्षमता।
• गणित, गतिविधि, गतिशीलता, संवाद करने की क्षमता में रुचि पैदा करना।

उपकरण:इंटरेक्टिव बोर्ड, एक साइबरग्राम वाला पोस्टर, गणितज्ञों के बयानों वाले पोस्टर।

कक्षाओं के दौरान

1. आयोजन का समय।
2. मौखिक गिनती पहले से अध्ययन की गई सामग्री का सामान्यीकरण है, नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी।
3. नई सामग्री की व्याख्या।
4. होमवर्क असाइनमेंट।
5. गणितीय शारीरिक शिक्षा।
6. कंप्यूटर की मदद से अर्जित ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।
7. ग्रेडिंग।

2. दोस्तों, आज हमारा पाठ कुछ असामान्य होगा, क्योंकि मैं इसे अकेले नहीं, बल्कि अपने दोस्त के साथ बिताऊंगा। और मेरा दोस्त भी असामान्य है, अब तुम उसे देखोगे। (स्क्रीन पर एक कार्टून कंप्यूटर दिखाई देता है।) मेरे दोस्त का एक नाम है और वह बात कर सकता है। तुम्हारा नाम क्या है, दोस्त? कोम्पोशा जवाब देता है: "मेरा नाम कोम्पोशा है।" क्या आप आज मेरी मदद करने के लिए तैयार हैं? हां! अच्छा तो चलिए सबक शुरू करते हैं।

आज मुझे एक एन्क्रिप्टेड साइबरग्राम मिला, दोस्तों, जिसे हमें एक साथ हल करना और समझना चाहिए। (दशमलव अंशों को जोड़ने और घटाने के लिए एक मौखिक खाते के साथ बोर्ड पर एक पोस्टर पोस्ट किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लोगों को निम्नलिखित कोड मिलता है 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

कोम्पोशा प्राप्त कोड को समझने में मदद करता है। डिकोडिंग के परिणामस्वरूप MULTIPLICATION शब्द प्राप्त होता है। गुणन आज के पाठ के विषय का मुख्य शब्द है। पाठ का विषय मॉनिटर पर प्रदर्शित होता है: "एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना"

दोस्तों, हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का गुणन कैसे किया जाता है। आज हम दशमलव संख्याओं को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने पर विचार करेंगे। एक दशमलव अंश के गुणन को एक प्राकृतिक संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक इस दशमलव अंश के बराबर है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए: 5.21 3 \u003d 5.21 + 5, 21 + 5.21 \u003d 15.63अतः 5.21 3 = 15.63। 5.21 को एक प्राकृत संख्या के साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

और इस मामले में, हमें 15.63 का समान परिणाम मिला। अब, अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, संख्या 5.21 के बजाय 521 संख्या लेते हैं और दी गई प्राकृतिक संख्या से गुणा करते हैं। यहां हमें यह याद रखना चाहिए कि एक कारक में अल्पविराम को दो स्थानों पर दाईं ओर ले जाया जाता है। संख्याओं 5, 21 और 3 को गुणा करने पर हमें 15.63 के बराबर गुणनफल प्राप्त होता है। अब, इस उदाहरण में, हम अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से स्थानांतरित करेंगे। इस प्रकार, किसी एक कारक को कितनी बार बढ़ाया गया, उत्पाद को कितनी बार घटाया गया। इन विधियों के समान बिंदुओं के आधार पर, हम एक निष्कर्ष निकालते हैं।

एक दशमलव को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:
1) अल्पविराम की अनदेखी, प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करना;
2) परिणामी उत्पाद में, दाईं ओर अल्पविराम से उतने ही वर्ण अलग करें जितने दशमलव अंश में हैं।

निम्नलिखित उदाहरण मॉनिटर पर प्रदर्शित होते हैं, जिनका हम कोम्पोशा और लोगों के साथ विश्लेषण करते हैं: 5.21 3 = 15.63 और 7.624 15 = 114.34। मैं एक गोल संख्या 12.6 50 \u003d 630 से गुणा दिखाने के बाद। इसके बाद, मैं एक बिट इकाई द्वारा दशमलव अंश के गुणन की ओर मुड़ता हूं। निम्नलिखित उदाहरण दिखा रहा है: 7,423 100 \u003d 742.3 और 5.2 1000 \u003d 5200। इसलिए, मैं एक दशमलव अंश को एक बिट इकाई से गुणा करने के नियम का परिचय देता हूं:

दशमलव अंश को 10, 100, 1000, आदि की बिट इकाइयों से गुणा करने के लिए, इस अंश में अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करना आवश्यक है, जितने कि बिट इकाई रिकॉर्ड में शून्य हैं।

मैं प्रतिशत के रूप में दशमलव अंश के व्यंजक के साथ स्पष्टीकरण समाप्त करता हूं। मैं नियम दर्ज करता हूं:

दशमलव को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, इसे 100 से गुणा करें और % चिह्न जोड़ें।

मैं कंप्यूटर पर 0.5 100 \u003d 50 या 0.5 \u003d 50% का उदाहरण देता हूं।

4. स्पष्टीकरण के अंत में, मैं लोगों को होमवर्क देता हूं, जो कंप्यूटर मॉनीटर पर भी प्रदर्शित होता है: № 1030, № 1034, № 1032.

5. लोगों को थोड़ा आराम करने के लिए, विषय को मजबूत करने के लिए, हम कोम्पोशा के साथ मिलकर एक गणितीय शारीरिक शिक्षा सत्र करते हैं। हर कोई खड़ा होता है, कक्षा को हल किए गए उदाहरण दिखाता है और उन्हें जवाब देना चाहिए कि उदाहरण सही है या गलत। यदि उदाहरण को सही ढंग से हल किया जाता है, तो वे अपने हाथों को अपने सिर के ऊपर उठाते हैं और ताली बजाते हैं। यदि उदाहरण को सही ढंग से हल नहीं किया जाता है, तो लोग अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाते हैं और अपनी उंगलियों को गूंथते हैं।

6. और अब आपके पास थोड़ा आराम है, आप कार्यों को हल कर सकते हैं। अपनी पाठ्यपुस्तक को पृष्ठ 205 पर खोलें, № 1029. इस कार्य में भावों के मूल्य की गणना करना आवश्यक है:

कार्य कंप्यूटर पर दिखाई देते हैं। जैसे ही उन्हें हल किया जाता है, एक नाव की छवि के साथ एक तस्वीर दिखाई देती है, जो पूरी तरह से इकट्ठे होने पर दूर चली जाती है।

संख्या 1031 गणना करें:

कंप्यूटर पर इस कार्य को हल करते हुए, रॉकेट धीरे-धीरे विकसित होता है, अंतिम उदाहरण को हल करते हुए, रॉकेट उड़ जाता है। शिक्षक छात्रों को थोड़ी जानकारी देता है: “हर साल, कजाकिस्तान से बैकोनूर कॉस्मोड्रोम से अंतरिक्ष यान सितारों के लिए उड़ान भरते हैं। बैकोनूर के पास, कजाकिस्तान अपना नया बैटेरेक कॉस्मोड्रोम बना रहा है।

संख्या 1035. कार्य।

यदि कार की गति 74.8 किमी/घंटा है तो एक कार 4 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी।

यह कार्य ध्वनि डिज़ाइन के साथ है और मॉनीटर पर कार्य की संक्षिप्त स्थिति प्रदर्शित करता है। अगर समस्या हल हो जाती है, ठीक है, तो कार फिनिश फ्लैग की ओर आगे बढ़ना शुरू कर देती है।

№ 1033. दशमलव को प्रतिशत के रूप में लिखें।

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

प्रत्येक उदाहरण को हल करते हुए, जब उत्तर प्रकट होता है, तो एक अक्षर प्रकट होता है, जिसके परिणामस्वरूप शब्द होता है बहुत बढ़िया.

शिक्षक कोम्पोशा से पूछता है, यह शब्द क्यों दिखाई देगा? कोम्पोशा जवाब देता है: "अच्छा किया, दोस्तों!" और सभी को अलविदा कहो।

शिक्षक पाठ को सारांशित करता है और ग्रेड प्रदान करता है।

इस ट्यूटोरियल में, हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को एक-एक करके देखेंगे।

पाठ सामग्री

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव जोड़ते समय, पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव 3.2 और 5.3 जोड़ें। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होता है।

सबसे पहले, हम इन दो अंशों को एक कॉलम में लिखते हैं, जबकि पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों के नीचे होना चाहिए, और भिन्नात्मक अंशों के नीचे होना चाहिए। स्कूल में, इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" .

आइए भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो:

हम भिन्नात्मक भाग जोड़ते हैं: 2 + 3 = 5. हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" :

उत्तर मिला 8.5. तो व्यंजक 3.2 + 5.3 8.5 . के बराबर है

3,2 + 5,3 = 8,5

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां भी, नुकसान हैं, जिनके बारे में हम अब बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

सामान्य संख्याओं की तरह दशमलव के भी अपने अंक होते हैं। ये दसवें स्थान, सौवें स्थान, हजारवें स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार है, दूसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद सौवें स्थान के लिए, तीसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद हजारवें स्थान के लिए है।

दशमलव अंक कुछ उपयोगी जानकारी संग्रहीत करते हैं। विशेष रूप से, वे रिपोर्ट करते हैं कि दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें हिस्से हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 0.345 . पर विचार करें

वह स्थान जहाँ त्रिगुण स्थित होता है, कहलाता है दसवां स्थान

वह स्थान जहाँ चार स्थित होते हैं, कहलाते हैं सौवां स्थान

वह स्थान जहाँ पाँच स्थित होते हैं, कहलाते हैं हजारवें

आइए इस आंकड़े को देखें। हम देखते हैं कि दसवीं की श्रेणी में एक तीन है। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्न 0.345 में तीन दहाई होते हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, और फिर हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 . प्राप्त होता है

हमें पहले उत्तर मिला, लेकिन इसे दशमलव में बदल दिया और 0.345 प्राप्त किया।

दशमलव जोड़ना सामान्य संख्याओं को जोड़ने के समान नियमों का पालन करता है। दशमलव अंशों का जोड़ अंकों से होता है: दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें भाग में जोड़ा जाता है।

अतः दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय नियम का पालन करना आवश्यक है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम". अल्पविराम के तहत अल्पविराम वही क्रम प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें भाग में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1व्यंजक 1.5 + 3.4 . का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग 5 + 4 = 9 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों 1 + 3 = 4 को जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में चारों को लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

उत्तर मिला 4.9. अतः व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान 4.9 . है

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं।

सबसे पहले, भिन्नात्मक भाग, अर्थात् सौवां 1+2=3 जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब 5+2=7 का दसवां हिस्सा जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब सारे भाग 3+1=4 जोड़ें। हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चार लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करते हैं:

उत्तर मिला 4.73। अतः व्यंजक 3.51 + 1.22 का मान 4.73 . है

3,51 + 1,22 = 4,73

सामान्य संख्याओं की तरह, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, . इस मामले में, एक अंक उत्तर में लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.65 + 3.27

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

5+7=12 का सौवां भाग जोड़ें। हमारे उत्तर के सौवें भाग में संख्या 12 फिट नहीं होगी। इसलिए, सौवें भाग में, हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम 6+2=8 के दहाई को जोड़ते हैं और पिछले ऑपरेशन से हमें जो इकाई मिली है, हमें 9 मिलता है। हम अपने उत्तर के दसवें हिस्से में संख्या 9 लिखते हैं:

अब सारे भाग 2+3=5 डाल दें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

उत्तर मिला 5.92। अतः व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान 5.92 . है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4व्यंजक 9.5 + 2.8 . का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखें

हम भिन्नात्मक भाग 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं, या इसे पूर्णांक में स्थानांतरित करते हैं। अंश:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 9+2=11 प्लस इकाई जो हमें पिछले ऑपरेशन से मिली थी, हमें 12 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 12.3. अतः व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान 12.3 . है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान करें। दशमलव भिन्न 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, जबकि भिन्न 1.7 में केवल एक होता है। तो 1.7 के अंत में आपको दो शून्य जोड़ने होंगे। तब हमें भिन्न 1,700 प्राप्त होता है। अब आप इस व्यंजक को एक कॉलम में लिख सकते हैं और गणना करना शुरू कर सकते हैं:

5+0=5 का हज़ारवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के हजारवें भाग में 5 अंक लिखते हैं:

2+0=2 का सौवां भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

7+7=14 का दसवां हिस्सा जोड़ें। संख्या 14 हमारे उत्तर के दसवें हिस्से में फिट नहीं होगी। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 12+1=13 प्लस इकाई जो हमें पिछले ऑपरेशन से मिली थी, हमें 14 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 14,425। अतः व्यंजक का मान 12.725+1.700 है 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव का घटाव

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों का पालन करना चाहिए जो जोड़ते समय: "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या"।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.5 - 2.2

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

हमें उत्तर 0.3 मिला। तो व्यंजक 2.5 - 2.2 का मान 0.3 . के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2व्यंजक 7.353 - 3.1 . का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक भिन्न संख्या होती है। भिन्न 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, और भिन्न 3.1 में केवल एक होता है। इसका अर्थ है कि भिन्न 3.1 में, दोनों भिन्नों में अंकों की संख्या समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए। तब हमें 3,100 मिलते हैं।

अब आप इस व्यंजक को एक कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

उत्तर मिला 4,253। अतः व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान 4.253 . है

7,353 — 3,1 = 4,253

सामान्य संख्याओं की तरह, यदि घटाना असंभव हो जाता है, तो कभी-कभी आपको आसन्न बिट से एक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3व्यंजक 3.46 - 2.39 . का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवां भाग घटाएं। संख्या 6 से संख्या 9 घटाएं नहीं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। पड़ोसी अंक से एक को उधार लेने के बाद, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब हम 16−9=7 के सौवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात को लिखते हैं:

अब दसवां घटाएं। चूँकि हमने दहाई की श्रेणी में एक इकाई ली थी, वहाँ जो आंकड़ा था वह एक इकाई कम हो गया। दूसरे शब्दों में, दसवां स्थान अब संख्या 4 नहीं है, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें हिस्से की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब पूर्णांक भागों 3−2=1 को घटाएं। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 1.07. तो व्यंजक का मान 3.46−2.39 1.07 . के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 3−1.2

यह उदाहरण एक पूर्णांक से दशमलव घटाता है। आइए इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव भिन्न 1.23 का पूर्णांक भाग संख्या 3 . के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद, अल्पविराम लगाएं और एक शून्य जोड़ें:

अब दहाई घटाएँ: 0−2। संख्या 2 को शून्य से न घटाएं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। आसन्न अंक से एक को उधार लेकर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब पूरे भागों को घटाएं। पहले, संख्या 3 पूर्णांक में स्थित थी, लेकिन हमने इससे एक इकाई उधार ली थी। नतीजतन, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, हम 2 से 1 घटाते हैं। 2−1=1. हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर 1.8 मिला। तो व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 . है

दशमलव गुणन

दशमलव को गुणा करना आसान और मजेदार भी है। दशमलवों को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की जरूरत है, फिर उत्तर में दाईं ओर समान अंकों की संख्या गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.5 × 1.5

हम इन दशमलव अंशों को अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए साधारण संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। अल्पविराम को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिले। इस संख्या में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद 2.5 और 1.5 के अंशों में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे भिन्न में भी एक होता है। कुल दो अंक।

हम 375 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 3.75। अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 . है

2.5 x 1.5 = 3.75

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 12.85 × 2.7

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए इन दशमलवों को गुणा करें:

हमें 34695 मिले। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको 12.85 और 2.7 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम 34695 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 34,695। अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 . है

12.85 x 2.7 = 34.695

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब आपको एक दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

एक दशमलव और एक साधारण संख्या को गुणा करने के लिए, आपको दशमलव में अल्पविराम की परवाह किए बिना उन्हें गुणा करना होगा। उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में समान अंकों की संख्या को दाईं ओर गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 . से गुणा करें

हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करते हैं:

हमें संख्या 508 मिली है। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद अंश 2.54 में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम 508 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 5.08. अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 . है

2.54 x 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 . से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा करना उसी तरह किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा करना। दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करना आवश्यक है, फिर उत्तर में, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिनें क्योंकि दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंक थे अंश।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 . से गुणा करें

आइए दशमलव भिन्न में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव भिन्न 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिले। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद अंश 2.88 में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 2880 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 28.80। हम अंतिम शून्य को छोड़ देते हैं - हमें 28.8.8.8 मिलता है। अतः व्यंजक 2.88 × 10 का मान 28.8 . है

2.88 x 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम दाईं ओर उतने ही अंकों से आगे बढ़ता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस प्रकार हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसका एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 28.8 मिलता है।

2.88 x 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसके दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाहिनी ओर ले जाते हैं, हमें 288 . प्राप्त होता है

2.88 x 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 x 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। सामान्य संख्याओं की तरह भिन्नों को गुणा करना और उत्तर में अल्पविराम लगाना आवश्यक है, दाईं ओर जितने अंक हैं, उतने ही अंकों की गणना दशमलव बिंदु के बाद दोनों भिन्नों में होती है।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 . से गुणा करें

हम इन भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करते हैं, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए:

हमें 325 मिले। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद 3.25 और 0.1 के अंशों में अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। भिन्न 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, भिन्न 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन अंक।

हम 325 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंक गिनने के बाद, हम पाते हैं कि संख्याएँ समाप्त हो गई हैं। इस मामले में, आपको एक शून्य जोड़ने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें उत्तर 0.325 मिला। अतः व्यंजक 3.25 × 0.1 का मान 0.325 . है

3.25 x 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत आसान और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम बाईं ओर उतने ही अंकों से आगे बढ़ता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस प्रकार हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 0.1 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसका एक शून्य है। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीनों से पहले कोई और अंक नहीं हैं। इस मामले में, एक शून्य जोड़ें और अल्पविराम लगाएं। नतीजतन, हमें 0.325 . मिलता है

3.25 x 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। 0.01 के गुणक को तुरंत देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसके दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से घुमाते हैं, हमें 0.0325 . मिलता है

3.25 x 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। 0.001 के गुणक को तुरंत देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 . मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करके 10, 100, 1000 से गुणा करने में भ्रमित न हों। अधिकांश लोग एक सामान्य गलती करते हैं।

जब 10, 100, 1000 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम बाईं ओर उतने अंकों से चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

यदि पहली बार में यह याद रखना मुश्किल है, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें सामान्य संख्याओं के साथ गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको दाहिनी ओर जितने अंक हैं उतने अंकों की गणना करके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा क्योंकि दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंक होते हैं।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है, जिसके अंश में भाज्य होता है और हर में भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो में विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा, और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणाम एक अंश है। तो प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब। एक अंश एक समस्या का उत्तर है एक सेब को दो के बीच कैसे विभाजित करें

यह पता चला है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी भिन्न में एक भिन्नात्मक बार का अर्थ है विभाजन, जिसका अर्थ है कि इस विभाजन को एक अंश में भी अनुमति है। पर कैसे? हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से अधिक होता है। और यहाँ, इसके विपरीत, लाभांश भाजक से कम है।

सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा यदि हम याद रखें कि अंश का अर्थ है कुचलना, विभाजित करना, विभाजित करना। इसका अर्थ है कि इकाई को आप जितने चाहें उतने भागों में विभाजित किया जा सकता है, न कि केवल दो भागों में।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर एक दशमलव भिन्न प्राप्त होता है, जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होगा। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, आइए 1 को 2 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करते हैं:

एक को ऐसे ही दो भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। यदि आप एक प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, निजी तौर पर हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, हम भागफल को भाजक से गुणा करके शेषफल निकालते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त एक के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 मिला। हम 10 को 2 से भाग देते हैं, हमें 5 मिलता है। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम गणना को पूरा करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 5 को 2 से गुणा करने पर हमें 10 . प्राप्त होता है

हमें उत्तर 0.5 मिला। तो भिन्न 0.5 . है

दशमलव भिन्न 0.5 का उपयोग करके आधा सेब भी लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ते हैं, तो हमें फिर से मूल एक पूरा सेब मिलता है:

इस बिंदु को भी समझा जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि 1 सेमी को दो भागों में कैसे विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी . मिलता है

उदाहरण 2व्यंजक 4:5 . का मान ज्ञात कीजिए

चार में कितने फाइव होते हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी 0 में लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे शून्य लिखते हैं। इस शून्य को लाभांश से तुरंत घटाएं:

आइए अब चारों को 5 भागों में विभाजित (विभाजित) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर, हम शून्य जोड़ते हैं और 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को निजी में लिखते हैं।

हम 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं, और 40 प्राप्त करते हैं:

हमें उत्तर 0.8 मिला। अतः व्यंजक 4:5 का मान 0.8 . है

उदाहरण 3व्यंजक 5: 125 . का मान ज्ञात कीजिए

पांच में 125 कितनी संख्याएं हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पांच के नीचे 0 लिखते हैं। पांच 0 . में से तुरंत घटाएं

अब पांचों को 125 भागों में विभाजित (विभाजित) करते हैं। ऐसा करने के लिए, इस पाँच के दाईं ओर, हम शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से विभाजित करें। 50 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल भी नहीं। अतः भागफल में हम पुनः 0 . लिखते हैं

हम 0 को 125 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम इस शून्य को 50 के नीचे लिखते हैं। 50 . में से तुरंत 0 घटाएं

अब हम संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, 50 के दाईं ओर, हम एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। 500 की संख्या में 125 कितनी संख्याएँ हैं। 500 की संख्या में चार संख्याएँ 125 हैं। हम चार को निजी में लिखते हैं:

हम 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं, और 500 . प्राप्त करते हैं

हमें उत्तर 0.04 मिला। अतः व्यंजक 5: 125 का मान 0.04 . है

शेषफल के बिना संख्याओं का विभाजन

तो, आइए इकाई के बाद भागफल में अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ते हैं:

शेष 4 . में शून्य जोड़ें

अब हम 40 को 5 से भाग देते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं:

40−40=0. शेष में 0 प्राप्त किया। तो विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से भाग देने पर 1.8 का दशमलव प्राप्त होता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. शेषफल के बिना 84 को 5 से भाग दें

पहले हम शेषफल के साथ हमेशा की तरह 84 को 5 से विभाजित करते हैं:

शेष में निजी 16 और 4 और प्राप्त हुए। अब हम इस शेषफल को 5 से विभाजित करते हैं। हम निजी क्षेत्र में अल्पविराम लगाते हैं, और शेष 4 . में 0 जोड़ते हैं

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम दशमलव बिंदु के बाद भागफल में आठ लिखते हैं:

और यह जाँच कर उदाहरण पूरा करें कि क्या अभी भी शेष है:

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

एक दशमलव भिन्न, जैसा कि हम जानते हैं, एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से विभाजित करते समय, सबसे पहले आपको चाहिए:

• दशमलव अंश के पूर्णांक भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूर्णांक भाग विभाजित होने के बाद, आपको तुरंत निजी भाग में अल्पविराम लगाने और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए 4.8 को 2 . से भाग दें

आइए इस उदाहरण को एक कोने के रूप में लिखें:

अब हम पूरे भाग को 2 से भाग करते हैं। चार को दो से विभाजित करते हैं। हम ड्यूस को निजी तौर पर लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि क्या भाग से कोई शेष बचता है:

4−4=0. शेष शून्य है। हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि हल पूरा नहीं हुआ है। फिर हम गणना करना जारी रखते हैं, जैसा कि साधारण विभाजन में होता है। 8 नीचे लें और इसे 2 . से विभाजित करें

8: 2 = 4. हम चार को भागफल में लिखते हैं और भाजक से तुरंत गुणा करते हैं:

उत्तर 2.4 मिला। व्यंजक मान 4.8: 2 बराबर 2.4

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 8.43:3

हम 8 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2 मिलता है। दोनों के तुरंत बाद अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम छह को आठ के नीचे लिखते हैं और शेषफल पाते हैं:

हम 24 को 3 से भाग देते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं। हम भाग के शेष को खोजने के लिए इसे तुरंत भाजक से गुणा करते हैं:

24−24=0. शेष शून्य है। शून्य अभी तक दर्ज नहीं किया गया है। लाभांश के अंतिम तीन लें और 3 से विभाजित करें, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

उत्तर 2.81 मिला। अतः व्यंजक 8.43: 3 का मान 2.81 . के बराबर है

दशमलव को दशमलव से भाग देना

दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न में विभाजित करने के लिए, लाभांश में और भाजक में, अल्पविराम को अंकों की उतनी ही संख्या से दाईं ओर ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक नियमित संख्या से विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 . से भाग दें

आइए इस व्यंजक को एक कोने के रूप में लिखें

अब, भाजक में और भाजक में, हम अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक का दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हमें लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाना चाहिए। स्थानांतरण:

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 5.95 भिन्न 59.5 में बदल गया। और दशमलव अंश 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को सामान्य संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। आगे की गणना मुश्किल नहीं है:

विभाजन को सुविधाजनक बनाने के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। इसकी अनुमति इस तथ्य के कारण दी जाती है कि जब लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भागफल नहीं बदलता है। इसका क्या मतलब है?

यह विभाजन की दिलचस्प विशेषताओं में से एक है। इसे निजी संपत्ति कहा जाता है। व्यंजक 9: 3 = 3 पर विचार करें। यदि इस व्यंजक में भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए भाज्य और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि क्या होता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम भाजक और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाया था। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, भिन्न 5.91 को भिन्न 59.1 में और भिन्न 1.7 को सामान्य संख्या 17 में परिवर्तित किया गया था।

वास्तव में, इस प्रक्रिया के अंदर, 10 से गुणा हुआ। यहाँ यह कैसा दिखता है:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि भाजक और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या निर्धारित करेगी कि लाभांश में कितने अंक हैं और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाएगा।

दशमलव भाग 10, 100, 1000

दशमलव को 10, 100, या 1000 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे . उदाहरण के लिए, आइए 2.1 को 10 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाजक में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें। 2.1:10. हम डिवाइडर को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक अंक से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस मामले में, हम संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 0.21 . मिलता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। 100 की संख्या में दो शून्य होते हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 की संख्या में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर तीन अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव विभाजन 0.1, 0.01 और 0.001

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे . लाभांश और भाजक में, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से भाग दें। सबसे पहले, हम भाज्य में और भाजक में दायीं ओर उतने ही अंकों से अल्पविराम लगाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक का दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हम लाभांश में अल्पविराम और भाजक को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 6.3 सामान्य संख्या 63 में बदल जाता है, और दशमलव अंश 0.1, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत सरल है:

तो व्यंजक 6.3:0.1 का मान 63 . के बराबर है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें। 6.3:0.1। आइए डिवाइडर को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं और 63 . प्राप्त करते हैं

आइए 6.3 को 0.01 से भाग देने का प्रयास करें। भाजक 0.01 में दो शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस मामले में, अंत में एक और शून्य जोड़ा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, हमें 630 . प्राप्त होता है

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

6,3: 0,001 = 6300

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आप पहले से ही जानते हैं कि एक *10 = ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए + ए।उदाहरण के लिए, 0.2 * 10 = 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2। यह अनुमान लगाना आसान है कि यह योग 2 के बराबर है, अर्थात। 0.2 * 10 = 2.

इसी तरह, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

आपने शायद अनुमान लगाया होगा कि किसी दशमलव भिन्न को 10 से गुणा करते समय, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा।

आप दशमलव को 100 से कैसे गुणा करते हैं?

हमारे पास है: a * 100 = a * 10 * 10 । फिर:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

इसी तरह तर्क करते हुए, हमें वह मिलता है:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

भिन्न 7.1212 को 1000 की संख्या से गुणा करें।

हमारे पास है: 7.1212 * 1000 = 7.1212 * 100 * 10 = 712.12 * 10 = 7121.2।

ये उदाहरण निम्नलिखित नियम को दर्शाते हैं।

दशमलव भिन्न को 10, 100, 1,000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न में दशमलव बिंदु को क्रमशः 1, 2, 3, आदि से दाईं ओर ले जाना होगा। नंबर.

इसलिए, यदि आप अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि से दाईं ओर ले जाते हैं। संख्याएँ, तो भिन्न में क्रमशः 10, 100, 1,000, आदि की वृद्धि होगी। एक बार।

फलस्वरूप, यदि आप अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि से बाईं ओर ले जाते हैं। संख्याएँ, तो भिन्न में क्रमशः 10, 100, 1,000, आदि की कमी होगी। एक बार .

आइए हम दिखाते हैं कि भिन्नों के अंकन का दशमलव रूप प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के नियम द्वारा निर्देशित, उन्हें गुणा करना संभव बनाता है।

आइए, उदाहरण के लिए, उत्पाद 3.4 * 1.23 खोजें। आइए पहले गुणक को 10 गुना और दूसरे को 100 गुना बढ़ाएँ। इसका मतलब है कि हमने उत्पाद को 1,000 गुना बढ़ा दिया है।

इसलिए, प्राकृतिक संख्या 34 और 123 का गुणनफल वांछित गुणनफल से 1,000 गुना अधिक है।

हमारे पास है: 34 * 123 = 4182। फिर, उत्तर पाने के लिए, संख्या 4,182 को 1,000 गुना कम करना होगा। आइए लिखें: 4 182 \u003d 4 182.0। 4182.0 तीन अंकों में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाने पर हमें संख्या 4.182 प्राप्त होती है, जो संख्या 4182 से 1000 गुना कम है। तो 3.4 * 1.23 = 4.182।

निम्नलिखित नियम का उपयोग करके एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

दो दशमलव गुणा करने के लिए:

1) अल्पविराम को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करें;

2) परिणामी उत्पाद में, दोनों कारकों में एक साथ अल्पविराम के बाद जितने अंक हों, उतने अंकों को दाईं ओर अल्पविराम से अलग करें।

ऐसे मामलों में जहां उत्पाद में अल्पविराम द्वारा अलग किए जाने की आवश्यकता से कम अंक होते हैं, इस उत्पाद से पहले बाईं ओर आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ दिए जाते हैं, और फिर अल्पविराम को आवश्यक अंकों की संख्या से बाईं ओर ले जाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 2 * 3 = 6, फिर 0.2 * 3 = 0.006; 25 * 33 = 825, फिर 0.025 * 0.33 = 0.00825।

ऐसे मामलों में जहां कारकों में से एक 0.1 के बराबर है; 0.01; 0.001, आदि, निम्नलिखित नियम का उपयोग करना सुविधाजनक है।

किसी दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001, आदि, इस अंश में क्रमशः 1, 2, 3, आदि द्वारा अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना आवश्यक है। नंबर.

उदाहरण के लिए, 1.58 * 0.1 = 0.158; 324.7 * 0.01 = 3.247।

प्राकृत संख्याओं के गुणन के गुण भिन्नात्मक संख्याओं के लिए भी मान्य हैं:

ab = ba - गुणन का क्रमविनिमेय गुण,

(एबी) सी = ए (बी सी) - गुणन की सहयोगी संपत्ति,

a(b + c) = ab + ac योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण है।

नियमित संख्या की तरह।

2. हम पहले दशमलव भिन्न के लिए और दूसरे के लिए दशमलव स्थानों की संख्या गिनते हैं। हम उनकी संख्या जोड़ते हैं।

3. अंतिम परिणाम में, हम दाएं से बाएं इतनी संख्या में अंक गिनते हैं जैसे वे ऊपर के पैराग्राफ में निकले, और एक अल्पविराम लगाएं।

दशमलव गुणा करने के नियम।

1. अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना गुणा करें।

2. गुणनफल में, हम दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंकों को अलग करते हैं जितने दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद होते हैं।

एक दशमलव अंश को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने पर, आपको यह करना होगा:

1. अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करें;

2. परिणामस्वरूप, हम एक अल्पविराम लगाते हैं ताकि उसके दाईं ओर उतने ही अंक हों जितने दशमलव भिन्न में हों।

एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का गुणन।

आइए एक उदाहरण देखें:

हम दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में लिखते हैं और अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृत संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। वे। हम 3.11 को 311 और 0.01 को 1 मानते हैं।

परिणाम 311 है। इसके बाद, हम दोनों भिन्नों के लिए दशमलव स्थानों (अंकों) की संख्या की गणना करते हैं। पहले दशमलव में 2 अंक हैं और दूसरे में 2 अंक हैं। दशमलव अंकों के बाद अंकों की कुल संख्या:

2 + 2 = 4

हम परिणाम के दाएं से बाएं चार वर्णों की गणना करते हैं। अंतिम परिणाम में, आपको अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता से कम अंक हैं। इस मामले में, बाईं ओर शून्य की लापता संख्या को जोड़ना आवश्यक है।

हमारे मामले में, पहला अंक गायब है, इसलिए हम बाईं ओर 1 शून्य जोड़ते हैं।

टिप्पणी:

किसी भी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, इत्यादि से गुणा करने पर, दशमलव भिन्न में अल्पविराम दायीं ओर उतने स्थानों तक चला जाता है, जितने एक के बाद शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

टिप्पणी:

दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001; और इसी तरह, आपको इस भिन्न में अल्पविराम को बाईं ओर उतने वर्णों तक ले जाने की आवश्यकता है जितनी इकाई के सामने शून्य हैं।

हम शून्य पूर्णांक गिनते हैं!

उदाहरण के लिए:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

इस लेख में, हम दशमलव भिन्नों को गुणा करने जैसी क्रिया पर विचार करेंगे। आइए सामान्य सिद्धांतों के निर्माण के साथ शुरू करें, फिर हम दिखाएंगे कि एक दशमलव अंश को दूसरे से कैसे गुणा करें और एक कॉलम द्वारा गुणा की विधि पर विचार करें। सभी परिभाषाओं को उदाहरणों के साथ सचित्र किया जाएगा। फिर हम विश्लेषण करेंगे कि दशमलव अंशों को साधारण, साथ ही मिश्रित और प्राकृतिक संख्याओं (100, 10, आदि सहित) से सही तरीके से कैसे गुणा किया जाए।

इस सामग्री के भाग के रूप में, हम केवल धनात्मक भिन्नों को गुणा करने के नियमों पर ही बात करेंगे। परिमेय और वास्तविक संख्याओं के गुणन पर लेखों में ऋणात्मक संख्याओं वाले मामलों की अलग-अलग चर्चा की जाती है।

आइए हम सामान्य सिद्धांतों को तैयार करें जिनका पालन दशमलव अंशों के गुणन पर समस्याओं को हल करते समय किया जाना चाहिए।

आरंभ करने के लिए, हमें याद रखना चाहिए कि दशमलव भिन्न साधारण भिन्नों को लिखने के एक विशेष रूप से अधिक कुछ नहीं हैं, इसलिए, उनके गुणन की प्रक्रिया को साधारण भिन्नों के लिए उसी तक घटाया जा सकता है। यह नियम परिमित और अनंत दोनों भिन्नों के लिए कार्य करता है: उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने के बाद, उन नियमों के अनुसार गुणा करना आसान होता है जिनका हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं।

आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

उदाहरण 1

1.5 और 0.75 के गुणनफल की गणना करें।

हल: सबसे पहले, दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों से बदलें। हम जानते हैं कि 0.75 75/100 है और 1.5 1510 है। हम भिन्न को कम कर सकते हैं और पूरे भाग को निकाल सकते हैं। हम परिणाम 125 1000 को 1, 125 के रूप में लिखेंगे।

उत्तर: 1 , 125 .

हम कॉलम काउंटिंग विधि का उपयोग कर सकते हैं जैसा कि हम प्राकृतिक संख्याओं के लिए करते हैं।

उदाहरण 2

एक आवर्त भिन्न 0 , (3) को दूसरे 2 , (36) से गुणा करें।

सबसे पहले, आइए मूल भिन्नों को साधारण अंशों से कम करें। हम यह कर सकेंगे:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

इसलिए, 0 , (3) 2 , (36) = 1 3 26 11 = 26 33।

परिणामी साधारण अंश को एक कॉलम में हर द्वारा अंश को विभाजित करके दशमलव रूप में घटाया जा सकता है:

उत्तर: 0 , (3) 2 , (36) = 0 , (78) ।

यदि समस्या की स्थिति में हमारे पास अनंत गैर-आवधिक भिन्न हैं, तो हमें उनकी प्रारंभिक गोलाई करने की आवश्यकता है (यदि आप यह कैसे करना भूल गए हैं तो पूर्णांकन पर लेख देखें)। उसके बाद, आप पहले से ही गोल दशमलव अंशों के साथ गुणन संक्रिया कर सकते हैं। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 3

5 , 382 ... और 0 , 2 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान

हमारे पास समस्या में एक अनंत अंश है, जिसे पहले सौवें तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए। यह पता चला है कि 5, 382 ... 5, 38। दूसरे कारक को सौवें तक पूर्णांकित करने का कोई मतलब नहीं है। अब आप वांछित उत्पाद की गणना कर सकते हैं और उत्तर लिख सकते हैं: 5, 38 0, 2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1, 076।

उत्तर: 5.382… 0.2 1.076।

कॉलम काउंटिंग विधि को न केवल प्राकृतिक संख्याओं पर लागू किया जा सकता है। यदि हमारे पास दशमलव हैं, तो हम उन्हें ठीक उसी तरह से गुणा कर सकते हैं। आइए नियम प्राप्त करें:

परिभाषा 1

एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का गुणन 2 चरणों में किया जाता है:

1. हम अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए, एक कॉलम से गुणा करते हैं।

2. हम अंतिम संख्या में एक दशमलव बिंदु डालते हैं, इसे दायीं ओर कई अंकों को अलग करते हैं क्योंकि दोनों कारकों में दशमलव स्थान एक साथ होते हैं। यदि परिणामस्वरूप इसके लिए पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो हम बाईं ओर शून्य जोड़ते हैं।

हम व्यवहार में ऐसी गणनाओं के उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण 4

दशमलव 63, 37 और 0, 12 को एक कॉलम से गुणा करें।

समाधान

सबसे पहले, दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करते हुए, संख्याओं का गुणन करते हैं।

अब हमें सही जगह पर अल्पविराम लगाने की जरूरत है। यह चार अंकों को दाईं ओर अलग कर देगा क्योंकि दोनों कारकों में दशमलव स्थानों का योग 4 है। आपको शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि संकेत पर्याप्त हैं।

उत्तर: 3.37 0.12 = 7.6044।

उदाहरण 5

गणना करें कि 3.2601 गुणा 0.0254 कितना है।

समाधान

हम अल्पविराम के बिना गिनते हैं। हमें निम्नलिखित संख्या मिलती है:

हम दाहिनी ओर 8 अंकों को अलग करने वाला अल्पविराम लगाएंगे, क्योंकि मूल भिन्नों में एक साथ 8 दशमलव स्थान होते हैं। लेकिन हमारे परिणाम में केवल सात अंक हैं, और हम अतिरिक्त शून्य के बिना नहीं कर सकते:

उत्तर: 3.2601 0.0254 = 0.08280654.

दशमलव को 0.001, 0.01, 01, आदि से कैसे गुणा करें

आपको अक्सर दशमलव को ऐसी संख्याओं से गुणा करना पड़ता है, इसलिए इसे जल्दी और सटीक रूप से करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। हम एक विशेष नियम लिखते हैं जिसका उपयोग हम ऐसे गुणन में करेंगे:

परिभाषा 2

यदि हम किसी दशमलव को 0, 1, 0, 01, आदि से गुणा करते हैं, तो हम एक ऐसी संख्या के साथ समाप्त होते हैं जो मूल भिन्न की तरह दिखती है, दशमलव बिंदु को आवश्यक स्थानों की संख्या से बाईं ओर ले जाया जाता है। यदि स्थानांतरण के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको बाईं ओर शून्य जोड़ना होगा।

इसलिए, 45, 34 को 0, 1 से गुणा करने के लिए, अल्पविराम को मूल दशमलव अंश में एक चिह्न से स्थानांतरित किया जाना चाहिए। हम 4,534 के साथ समाप्त होते हैं।

उदाहरण 6

9.4 को 0.0001 से गुणा करें।

समाधान

हमें दूसरे गुणनखंड में शून्य की संख्या के अनुसार अल्पविराम को चार अंकों तक ले जाना होगा, लेकिन पहले में संख्याएँ इसके लिए पर्याप्त नहीं हैं। हम आवश्यक शून्य निर्दिष्ट करते हैं और प्राप्त करते हैं कि 9, 4 0, 0001 = 0, 00094।

उत्तर: 0 , 00094 .

अनंत दशमलव के लिए, हम एक ही नियम का उपयोग करते हैं। तो, उदाहरण के लिए, 0 , (18) 0 , 01 = 0 , 00 (18) या 94 , 938 … 0 , 1 = 9 , 4938 …। और आदि।

इस तरह के गुणन की प्रक्रिया दो दशमलव अंशों को गुणा करने की क्रिया से अलग नहीं है। एक कॉलम में गुणन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि समस्या की स्थिति में अंतिम दशमलव अंश है। इस मामले में, उन सभी नियमों को ध्यान में रखना आवश्यक है जिनके बारे में हमने पिछले पैराग्राफ में बात की थी।

उदाहरण 7

गणना करें कि 15 2, 27 कितना होगा।

समाधान

मूल संख्याओं को एक कॉलम से गुणा करें और दो अल्पविरामों को अलग करें।

उत्तर: 15 2.27 = 34.05।

यदि हम किसी आवर्त दशमलव भिन्न का गुणन किसी प्राकृत संख्या से करते हैं, तो हमें पहले दशमलव भिन्न को सामान्य में बदलना होगा।

उदाहरण 8

0 , (42) और 22 के गुणनफल की गणना करें।

हम आवर्त भिन्न को एक साधारण भिन्न के रूप में लाते हैं।

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

अंतिम परिणाम को आवर्ती दशमलव भिन्न के रूप में 9 , (3) के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: 0 , (42) 22 = 9 , (3)।

गिनती से पहले अनंत भिन्नों को गोल किया जाना चाहिए।

उदाहरण 9

गणना करें कि 4 2 , 145 ... कितना होगा।

समाधान

आइए मूल अनंत दशमलव अंश के सौवें हिस्से तक गोल करें। उसके बाद, हम एक प्राकृत संख्या और अंतिम दशमलव भिन्न के गुणन पर आएंगे:

4 2, 145 ... 4 2, 15 = 8, 60.

उत्तर: 4 2.145 ... 8.60।

दशमलव को 1000, 100, 10 आदि से कैसे गुणा करें।

दशमलव भिन्न को 10, 100, आदि से गुणा करना अक्सर समस्याओं में पाया जाता है, इसलिए हम इस मामले का अलग से विश्लेषण करेंगे। मूल गुणन नियम है:

परिभाषा 3

दशमलव को 1000, 100, 10, आदि से गुणा करने के लिए, आपको गुणक के आधार पर उसके अल्पविराम को 3, 2, 1 अंकों से स्थानांतरित करना होगा और बाईं ओर अतिरिक्त शून्य को त्यागना होगा। यदि अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो हम दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ते हैं जितनी हमें आवश्यकता होती है।

आइए एक उदाहरण दिखाते हैं कि यह कैसे करना है।

उदाहरण 10

100 और 0.0783 का गुणन करें।

समाधान

ऐसा करने के लिए, हमें दशमलव बिंदु को 2 अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा। हम 007 , 83 के साथ समाप्त होते हैं बाईं ओर के शून्य को त्याग दिया जा सकता है और परिणाम 7, 38 के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर: 0.0783 100 = 7.83।

उदाहरण 11

0.02 को 10 हजार से गुणा करें।

हल: हम चार अंकों के कॉमा को दाईं ओर ले जाएंगे। मूल दशमलव भिन्न में, हमारे पास इसके लिए पर्याप्त चिह्न नहीं हैं, इसलिए हमें शून्य जोड़ना होगा। इस मामले में, तीन 0 पर्याप्त होंगे। नतीजतन, यह 0, 02000 निकला, अल्पविराम को स्थानांतरित करें और 00200, 0 प्राप्त करें। बाईं ओर के शून्यों को अनदेखा करते हुए, हम उत्तर को 200 के रूप में लिख सकते हैं।

उत्तर: 0.02 10,000 = 200.

हमने जो नियम दिया है वह अनंत दशमलव भिन्नों के मामले में उसी तरह काम करेगा, लेकिन यहां आपको अंतिम अंश की अवधि के बारे में बहुत सावधान रहना चाहिए, क्योंकि इसमें गलती करना आसान है।

उदाहरण 12

5.32 (672) गुना 1000 के गुणनफल की गणना करें।

हल: सबसे पहले हम आवर्त भिन्न को 5, 32672672672... लिखेंगे, इसलिए गलती होने की संभावना कम होगी। उसके बाद, हम अल्पविराम को वर्णों की वांछित संख्या (तीन) में ले जा सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 5326 , 726726 ... आइए अवधि को कोष्ठक में संलग्न करें और उत्तर को 5 326 , (726) के रूप में लिखें।

उत्तर: 5 32 (672) 1 000 = 5 326 (726)।

यदि समस्या की स्थितियों में अनंत गैर-आवधिक अंश हैं जिन्हें दस, एक सौ, एक हजार, आदि से गुणा किया जाना चाहिए, तो गुणा करने से पहले उन्हें गोल करना न भूलें।

इस प्रकार के गुणन को करने के लिए, आपको दशमलव भिन्न को एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा और फिर पहले से ही परिचित नियमों का पालन करना होगा।

उदाहरण 13

0 , 4 को 3 5 6 . से गुणा करें

समाधान

आइए पहले दशमलव को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदलें। हमारे पास है: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 ।

हमें इसका उत्तर मिश्रित संख्या के रूप में मिला है। आप इसे आवर्त भिन्न 1, 5 (3) के रूप में लिख सकते हैं।

उत्तर: 1 , 5 (3) .

यदि गणना में एक अनंत गैर-आवधिक अंश शामिल है, तो आपको इसे एक निश्चित संख्या तक गोल करना होगा और उसके बाद ही इसे गुणा करना होगा।

उदाहरण 14

3.5678 के उत्पाद की गणना करें। . . 2 3

समाधान

हम दूसरे गुणनखंड को 2 3 = 0, 6666… के रूप में निरूपित कर सकते हैं। इसके बाद, हम दोनों कारकों को हजारवें स्थान पर गोल करते हैं। उसके बाद, हमें दो अंतिम दशमलव अंशों 3.568 और 0.667 के गुणनफल की गणना करनी होगी। आइए कॉलम गिनें और उत्तर प्राप्त करें:

अंतिम परिणाम को हज़ारवां तक ​​पूर्णांकित किया जाना चाहिए, क्योंकि इस श्रेणी में ही हमने मूल संख्याओं को पूर्णांकित किया था। हमें वह 2.379856 2.380 मिलता है।

उत्तर: 3, 5678. . . 2 3 2.380

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