बहुपदों के गुणनखंडन के 8 उदाहरण दिए गए हैं। इनमें द्विघात और द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरण, आवर्तक बहुपद वाले उदाहरण और तृतीय और चतुर्थ डिग्री बहुपदों के पूर्णांक मूल खोजने वाले उदाहरण शामिल हैं।

विषय

यह सभी देखें: बहुपदों के गुणनखंडन के तरीके
द्विघात समीकरण की जड़ें
घन समीकरणों का हल

1. द्विघात समीकरण के हल के उदाहरण

उदाहरण 1.1

एक्स 4 + x 3 - 6 x 2.

एक्स निकालें 2 कोष्ठक के लिए:
.
2 + एक्स - 6 = 0:
.
समीकरण जड़ें:
, .

.

उदाहरण 1.2

तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंडन:
एक्स 3 + 6 x 2 + 9 x.

हम कोष्ठक से x निकालते हैं:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 + 6 x + 9 = 0:
इसके भेदक है।
भेदभाव करने वाले के बाद से शून्य, तो समीकरण के मूल बहु हैं: ;
.

यहाँ से हम बहुपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:
.

उदाहरण 1.3

पांचवीं डिग्री बहुपद का गुणन:
एक्स 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

एक्स निकालें 3 कोष्ठक के लिए:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 - 2 x + 10 = 0.
इसके भेदक है।
चूंकि विवेचक शून्य से कम है, इसलिए समीकरण के मूल जटिल हैं: ;
, .

बहुपद के गुणनखंड का रूप है:
.

यदि हम वास्तविक गुणांकों के साथ गुणनखंड करने में रुचि रखते हैं, तो:
.

फ़ार्मुलों का उपयोग करके बहुपदों को फ़ैक्टर करने के उदाहरण

द्विघात बहुपद वाले उदाहरण

उदाहरण 2.1

द्विघात बहुपद का गुणनखंडन कीजिए:
एक्स 4 + x 2 - 20.

सूत्र लागू करें:
एक 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
एक 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी).

;
.

उदाहरण 2.2

एक बहुपद का गुणनखंड करना जो द्विघात को कम करता है:
एक्स 8 + x 4 + 1.

सूत्र लागू करें:
एक 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
एक 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी):

;

;
.

उदाहरण 2.3 पुनरावर्ती बहुपद के साथ

पुनरावर्ती बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

पुनरावर्ती बहुपद में एक विषम डिग्री होती है। अत: इसका मूल x = - 1 . हम बहुपद को x से भाग देते हैं - (-1) = एक्स + 1. परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
, ;
;


;
.

पूर्णांक मूलों वाले बहुपद गुणनखंडों के उदाहरण

उदाहरण 3.1

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

मान लीजिए समीकरण

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

तो, हमें तीन जड़ें मिली हैं:
एक्स 1 = 1 , एक्स 2 = 2 , एक्स 3 = 3 .
चूंकि मूल बहुपद तीसरी डिग्री का है, इसलिए इसकी तीन से अधिक जड़ें नहीं हैं। चूँकि हमें तीन मूल मिले हैं, वे सरल हैं। फिर
.

उदाहरण 3.2

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

मान लीजिए समीकरण

कम से कम एक पूर्णांक जड़ है। तब यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
-2, -1, 1, 2 .
इन मानों को एक-एक करके बदलें:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

तो, हमें एक जड़ मिली है:
एक्स 1 = -1 .
हम बहुपद को x - x . से विभाजित करते हैं 1 = एक्स - (-1) = एक्स + 1:


फिर,
.

अब हमें तीसरी डिग्री के समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
.
यदि हम यह मान लें कि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
1, 2, -1, -2 .
स्थानापन्न x = -1 :
.

तो हमें एक और मूल x . मिला है 2 = -1 . पिछले मामले की तरह, बहुपद को से विभाजित करना संभव होगा, लेकिन हम शर्तों को समूहित करेंगे:
.

वर्ग ट्रिनोमियल का गुणन इस प्रकार किया जा सकता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = ए ⋅ (एक्स - एक्स 1) ⋅ (एक्स - एक्स 2)

जहां ए संख्या है, उच्चतम गुणांक से पहले गुणांक,

x एक चर है (अर्थात एक अक्षर),

x 1 और x 2 - संख्याएं, मूल द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c = 0 , जो विवेचक के माध्यम से पाए जाते हैं।

यदि द्विघात समीकरण का केवल एक मूल है, तो विस्तार इस तरह दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = ए ⋅ (एक्स - एक्स 0) 2

एक वर्ग ट्रिनोमियल फैक्टरिंग के उदाहरण:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 x 1 = - 1,   x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0; x0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

यदि वर्ग त्रिपद अपूर्ण है (b = 0 या c = 0), तो इसे निम्नलिखित तरीकों से गुणनखंडित किया जा सकता है:

• सी = 0 ए एक्स 2 + बी एक्स = एक्स (ए एक्स + बी)

• b = 0 वर्गों के अंतर के लिए घटा हुआ गुणन सूत्र लागू करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

नंबर 1। वर्ग त्रिपद को गुणनखंडित किया जाता है: x 2 + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) । लगता है ।

समाधान:

सबसे पहले आपको x 1 और x 2 को खोजने के लिए वर्ग त्रिपद को शून्य के बराबर करना होगा।

एक्स 2 + 6 एक्स - 27 = 0

ए = 1, बी = 6, सी = - 27

डी = बी 2 - 4 ए सी = 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 का अर्थ है कि दो अलग-अलग जड़ें होंगी।

एक्स 1,2 = - बी ± डी 2 ए = - 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ - 6 + 12 2 = 6 2 = 3 - 6 - 12 2 = - 18 2 = - 9

जड़ों को जानने के बाद, हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करते हैं:

x 2 + 6 x - 27 = (x - (- 9)) (x - 3) = (x + 9) (x - 3)

नंबर 2. समीकरण x 2 + p x + q \u003d 0 की जड़ें हैं - 5; 7. क्यू खोजें।

समाधान:

1 रास्ता:(आपको यह जानने की जरूरत है कि वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कैसे किया जाता है)

यदि x 1 और x 2 एक वर्ग त्रिपद a x 2 + b x + c के मूल हैं, तो इसका गुणन इस प्रकार किया जा सकता है: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2) .

चूँकि किसी दिए गए वर्ग त्रिपद में अग्रणी गुणांक (x 2 के सामने का गुणनखंड) एक के बराबर होता है, इसलिए अपघटन इस प्रकार होगा:

x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) = (x - (- 5)) (x - 7) = (x + 5) (x - 7) = x 2 - 7 x + 5 x - 35 = x 2 - 2 x - 35

एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = एक्स 2 - 2 एक्स - 35 ⇒ पी = -2, क्यू = - 35

2 रास्ते: (आपको वीटा प्रमेय जानने की जरूरत है)

विएटा का प्रमेय:

घटे हुए वर्ग त्रिपद x 2 + p x + q के मूलों का योग इसके दूसरे गुणांक p के विपरीत चिह्न के बराबर है, और गुणनफल मुक्त पद q के बराबर है।

( x 1 + x 2 = - p x 1 ⋅ x 2 = q

क्यू = एक्स 1 ⋅ एक्स 2 = (- 5) ⋅ 7 = -35।

सबसे पहले, आइए कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले नामों को इंगित करें। आइए बहुपद पर विचार करें, जिसमें केवल एक अक्षर शामिल है, उदाहरण के लिए, अक्षर x। फिर सबसे सरल एक बहुपद है जिसमें दो पद हैं, और उनमें से एक में पहली डिग्री तक अक्षर x है, और दूसरे में अक्षर x बिल्कुल नहीं है, उदाहरण के लिए, 3x - 5 या 15 - 7x या 8z +7 (यहाँ अक्षर x के स्थान पर z लिया गया है), आदि। ऐसे बहुपद कहलाते हैं रैखिक द्विपद .

3x² - 5x + 7 या x² + 2x - 1
या 5y² + 7y + 8 या z² - 5z - 2 आदि।

ऐसे बहुपद कहलाते हैं वर्ग त्रिपद.

फिर, हम एक घन चौगुनी रचना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:

x³ + 2x² - x + 1 या 3x³ - 5x² - 2x - 3 आदि,

चौथी डिग्री का बहुपद, उदाहरण के लिए:

x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 आदि।

गुणांकों को x पर, x² पर, x³ पर, आदि पर भी अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट करना संभव है, उदाहरण के लिए, अक्षर a, b, c, आदि द्वारा। तब हम प्राप्त करते हैं:

1) सामान्य फ़ॉर्म x ax + b में द्विपद रैखिक,

2) एक वर्ग त्रिपद का सामान्य रूप (x के संबंध में): ax² + bx + c,

3) क्यूबिक ट्रिनोमियल का सामान्य रूप (x के संबंध में): ax³ + bx² + cx + d, आदि।

इन सूत्रों में अक्षरों a, b, c, d ... को अलग-अलग संख्याओं के साथ बदलने पर, हमें सभी प्रकार के रैखिक द्विपद, वर्ग त्रिपद, आदि मिलते हैं। उदाहरण के लिए, सूत्र ax² + bx + c में, जो सामान्य रूप को व्यक्त करता है एक वर्ग त्रिपद में, हम अक्षर a को संख्या +3 से, अक्षर b को संख्या -2 से और अक्षर c को संख्या -1 से प्रतिस्थापित करते हैं, हमें वर्ग त्रिपद 3x² - 2x - 1 मिलता है। एक विशेष मामले में, एक द्विपद प्राप्त करना भी संभव है, एक अक्षर को शून्य से बदलकर, उदाहरण के लिए, यदि a = +1, b = 0 और c \u003d -3, तो हमें वर्ग द्विपद x² - 3 मिलता है।

कुछ वर्ग ट्रिनोमियल्स को रेखीय गुणनखंडों में तेजी से गुणनखंड करना सीख सकते हैं। हालाँकि, हम केवल ऐसे वर्ग त्रिपदों पर विचार करने तक ही सीमित हैं जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:

1) उच्चतम पद पर गुणांक (x² पर) +1 है,

2) कोई भी दो पूर्णांक (संकेतों के साथ, या दो सापेक्ष पूर्णांकों के साथ) पा सकता है जैसे कि उनका योग पहली शक्ति के x के गुणांक के बराबर है और उनका उत्पाद x से मुक्त पद के बराबर है (जहां कोई अक्षर x नहीं है सब)।

उदाहरण। 1. एक्स² + 5x + 6; मन में दो संख्याएँ (संकेतों के साथ) खोजना आसान है ताकि उनका योग +5 (x पर गुणांक) के बराबर हो और उनका गुणनफल = +6 (x से मुक्त एक पद), - ये संख्याएँ हैं: + 2 और +3 [वास्तव में, +2 + 3 = +5 और (+2) (+3) = +6]। इन दो संख्याओं का उपयोग करते हुए, हम +5x पद को दो पदों से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात्: +2x + 3x (बेशक, +2x + 3x = +5x); तब हमारा तकनीकी शब्द कृत्रिम रूप से एक क्वाड्रियान x² + 2x + 3x + 6 में परिवर्तित हो जाएगा। आइए अब हम समूहीकरण तकनीक को इसमें लागू करें, पहले दो शब्दों को एक समूह में और अंतिम दो को दूसरे में रखें:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3)।

पहले समूह में, हमने x को ब्रैकेट किया और दूसरे +3 में, हमें दो शब्द मिले, जो एक सामान्य कारक (x + 2) निकला, जिसे भी ब्रैकेट किया गया था, और हमारे ट्रिनोमियल x² + 5x + 6 को 2 रैखिक में विघटित किया गया था। गुणनखंड: x + 2 और x + 3।

2. x² - x - 12. यहां आपको दो संख्याएं (रिश्तेदार) खोजने की जरूरत है ताकि उनका योग -1 हो और उनका गुणनफल -12 हो। ऐसी संख्याएँ हैं: -4 और +3।

जाँच करें: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12। इन नंबरों का उपयोग करते हुए, हम -x शब्द को दो शब्दों से बदलते हैं: -x \u003d -4x + 3x, - हमें मिलता है:

x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 \u003d x (x - 4) + 3 (x - 4) \u003d (x - 4) (x + 3)।

3. x² - 7x + 6; यहाँ आवश्यक संख्याएँ हैं: -6 और -1। [जांचें: -6 + (-1) = -7; (-6) (-1) = +6]।

x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1)।

यहां दूसरे समूह -x + 6 के सदस्यों को उनके सामने एक ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक में संलग्न किया जाना था।

4. x² + 8x - 48. यहां आपको दो संख्याएं ढूंढनी होंगी ताकि उनका योग +8 हो और उनका गुणनफल -48 हो। चूंकि उत्पाद में ऋण चिह्न होना चाहिए, तो वांछित संख्याएं अलग-अलग संकेतों के साथ होनी चाहिए, क्योंकि हमारी संख्याओं के योग में + चिह्न है, तो सकारात्मक संख्या का पूर्ण मूल्य अधिक होना चाहिए। खुलासा अंकगणितीय संख्या 48 बटा दो गुणनखंड (और यह विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है), हम प्राप्त करते हैं: : 48 = 4 ∙ 12. फिर हमारी संख्याएँ हैं: +12 और -4। निम्नलिखित सरल है:

x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4)।

5. x² + 7x - 12. यहां आपको 2 संख्याएं ढूंढनी होंगी ताकि उनका योग +7 हो और गुणनफल = -12 हो; 12 = 1 12 = 2 6 = 3 4. जाहिर है, 3 और 4 उपयुक्त संख्याएँ होंगी, लेकिन उन्हें अलग-अलग संकेतों के साथ लिया जाना चाहिए ताकि उनका गुणनफल -12 के बराबर हो, और फिर उनका योग किसी भी तरह से न हो +7 [-3 + (+4) = +1, +3 + (-4) = -1] हो सकता है। अन्य गुणनखंड भी आवश्यक संख्या नहीं देते हैं; इसलिए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि हम अभी तक इन वर्ग त्रिपदों को रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडित करने में सक्षम नहीं हैं, क्योंकि हमारी विधि इस पर लागू नहीं होती है (यह शुरुआत में स्थापित की गई शर्तों में से दूसरी को संतुष्ट नहीं करती है)।

उसके पास एक वर्ग है, और इसमें तीन पद हैं ()। तो यह निकला - एक वर्ग त्रिपद।

उदाहरण नहींवर्ग त्रिपद:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - घन चतुर्धातुक
\(2x+1\) - रैखिक द्विपद

वर्ग त्रिपद की जड़:

उदाहरण:
त्रिपद \(x^2-2x+1\) की जड़ \(1\) है, क्योंकि \(1^2-2 1+1=0\)
त्रिपद \(x^2+2x-3\) की जड़ें \(1\) और \(-3\) हैं, क्योंकि \(1^2+2-3=0\) और \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

उदाहरण के लिए:यदि आपको वर्ग ट्रिनोमियल \(x^2-2x+1\) के लिए जड़ों को खोजने की आवश्यकता है, तो हम इसे शून्य के बराबर करते हैं और समीकरण \(x^2-2x+1=0\) को हल करते हैं।

\(डी=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

तैयार। जड़ \(1\) है।

एक वर्ग ट्रिनोमियल का अपघटन:

वर्ग त्रिपद \(ax^2+bx+c\) को \(a(x-x_1)(x-x_2)\) के रूप में विस्तारित किया जा सकता है यदि समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हैं शून्य से बड़ा \ (x_1\) और \(x_2\) एक ही समीकरण के मूल हैं)।

उदाहरण के लिए, त्रिपद \(3x^2+13x-10\) पर विचार करें।
द्विघात समीकरण \(3x^2+13x-10=0\) में 289 (शून्य से अधिक) के बराबर एक विवेचक है, और जड़ें \(-5\) और \(\frac(2)(3) के बराबर हैं। )\)। तो \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\)। इस कथन की सत्यता को सत्यापित करना आसान है - यदि हम, तो हमें मूल त्रिपद प्राप्त होता है।

वर्ग त्रिपद \(ax^2+bx+c\) को \(a(x-x_1)^2\) के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि समीकरण का विवेचक \(ax^2+bx+c=0\) है शून्य के बराबर।

उदाहरण के लिए, त्रिपद \(x^2+6x+9\) पर विचार करें।
द्विघात समीकरण \(x^2+6x+9=0\) का विवेचक \(0\) के बराबर है, और एकमात्र मूल \(-3\) के बराबर है। तो, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (यहां गुणांक \(a=1\), इसलिए कोष्ठक से पहले लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है)। कृपया ध्यान दें कि एक ही परिवर्तन द्वारा किया जा सकता है।

वर्ग त्रिपद \(ax^2+bx+c\) यदि समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विभेदक शून्य से कम है, तो गुणनखंड नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, ट्रिनोमियल्स \(x^2+x+4\) और \(-5x^2+2x-1\) का विवेचक शून्य से कम है। इसलिए, उन्हें कारकों में विघटित करना असंभव है।

उदाहरण . कारक \(2x^2-11x+12\)।
समाधान :
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

तो \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
उत्तर : \(2(x-1.5)(x-4)\)

प्राप्त उत्तर अलग तरीके से लिखा जा सकता है: \((2x-3)(x-4)\)।

उदाहरण . (ओजीई से असाइनमेंट)वर्ग त्रिपद गुणनखंड है \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\)। लगता है\)।
समाधान:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
उत्तर : \(-1,6\)