Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na segmentu, a njen izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada se y = f (x) povećava za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na segmentu, a njen izvod je negativan ili jednak 0 na intervalu (a,b), tada se y=f(x) smanjuje za (f"( x)0)

Intervali u kojima se funkcija ne smanjuje ili ne povećava nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim tačkama njenog domena definicije, u kojima se mijenja predznak prvog izvoda. Tačke u kojima prvi izvod funkcije nestaje ili se prekida nazivaju se kritične točke.

Teorema 1 (1. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u tački x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencibilna na intervalu (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , a njegov izvod zadržava konstantan predznak na svakom od ovih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 tačka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije tačka ekstrema . Štaviše, ako pri prolasku kroz tačku x0 derivacija promijeni predznak sa plusa na minus (lijevo od x 0, izvrši se f "(x)> 0, tada je x 0 maksimalna tačka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 izvršava f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se tačke ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije nazivaju se njene ekstremne vrijednosti.

Teorema 2 (neophodan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem na trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U tačkama ekstrema diferencijabilne funkcije, tangenta na njen graf je paralelna sa Ox osom.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične tačke, tj. tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite susjedstvo svake od tačaka i ispitajte predznak izvoda lijevo i desno od ove tačke.
4) Odredite koordinate ekstremnih tačaka, za ovu vrijednost kritičnih tačaka zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dovoljne ekstremne uslove, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražiti funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Rješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavajući derivaciju sa nulom, nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivacija je svuda definisana; dakle, osim dvije pronađene tačke, nema drugih kritičnih tačaka.
3) Predznak izvoda y"=3(x-2)(x-4) se menja u zavisnosti od intervala kao što je prikazano na slici 1. Prilikom prolaska kroz tačku x=2 derivacija menja predznak sa plus na minus, a pri prolasku kroz tačku x=4 - od minusa do plusa.
4) U tački x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u tački x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (2. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u tački x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, onda je x 0 minimalna tačka, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu, funkcija y = f (x) može doseći najmanju (najmanje) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite tačke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i izaberite od njih one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y = f (x) u tačkama dobijenim u paragrafu 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, respektivno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Izvod y" postoji za sva x. Nađimo tačke u kojima je y"=0; dobijamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Samo tačka x=5 pripada segmentu. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Istraživanje funkcije na konveksnost

Na slici su prikazani grafikoni dvije funkcije. Prvi od njih je okrenut ispupčenjem prema gore, drugi - ispupčenjem prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencibilna u intervalu (a;b), naziva se konveksna gore (dolje) na ovom segmentu ako, za axb, njen graf nije viši (ne niži) od tangenta povučena u bilo kojoj tački M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorema 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugi izvod u bilo kojoj unutrašnjoj tački x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima ovog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija na dolje konveksna na segmentu; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorema 5. Ako funkcija y \u003d f (x) ima drugi izvod na intervalu (a; b) i ako promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0, tada M (x 0 ; f (x 0)) je prelomna tačka.

Pravilo za pronalaženje prevojnih tačaka:

1) Pronađite tačke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake tačke pronađene u prvom koraku.
3) Na osnovu teoreme 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Naći tačke ekstrema i prevojne tačke grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očigledno, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivat, prolaskom kroz tačku x=0, menja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz tačku x=1 ne menja predznak. To znači da je x=0 tačka minimuma (y min =12), i da nema ekstrema u tački x=1. Dalje, nalazimo . Drugi izvod nestaje u tačkama x 1 =1, x 2 =1/3. Znaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dakle, x= je tačka pregiba grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti naniže u konveksnost prema gore) i x=1 je također tačka pregiba (prijelaz iz konveksnosti nagore na konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y=; ako, onda je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ onda je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte . Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , onda idite na drugi korak.
2) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednak je k, idite na treći korak.
3) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednako je b, onda idite na četvrti korak.
4) Zapišite jednačinu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednačina kose asimptote ima oblik

Šema proučavanja funkcije i konstrukcije njenog grafa

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite tačke mogućeg ekstremuma.
V. Pronađite kritične tačke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražiti predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja povećanja i smanjenja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, tačke ekstrema i točke pregiba.
VII. Napravite grafikon, uzimajući u obzir studiju sprovedenu u paragrafima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj šemi

Rješenje.
I. Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, osim za x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, onda graf funkcije nema presječne točke sa Ox osom, već siječe osu Oy u tački (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta x=1. Kako je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je prava x=1 vertikalna asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Dalje, od postojanja granica

Rješavajući jednačinu x 2 -2x-1=0, dobijamo dvije tačke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične tačke, izračunavamo drugi izvod:

Pošto f""(x) ne nestaje, nema kritičnih tačaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće tačke ekstrema koje treba uzeti u obzir: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite područje postojanja funkcije na intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivacija zadržava svoj znak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Redoslijed predznaka prve derivacije zapisuje se na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) opada, a na (1+√2;+∞) ponovo raste. Ekstremne tačke: maksimum na x=1-√2, štaviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štaviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tabelu dobijenih vrijednosti

VIII Na osnovu dobijenih podataka gradimo skicu grafika funkcije

Provedite kompletnu studiju i nacrtajte graf funkcije

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Opseg funkcije. Pošto je funkcija razlomak, potrebno je pronaći nule nazivnika.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Isključujemo jedinu tačku x=1x=1 iz područja definicije funkcije i dobijamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta. Pronađite jednostrane granice:

Pošto su granice jednake beskonačnosti, tačka x=1x=1 je diskontinuitet druge vrste, prava x=1x=1 je vertikalna asimptota.

3) Odredimo tačke preseka grafa funkcije sa koordinatnim osa.

Nađimo tačke presjeka sa ordinatnom osom OyOy, za koje izjednačavamo x=0x=0:

Dakle, tačka preseka sa osom OyOy ima koordinate (0;8)(0;8).

Nađimo tačke preseka sa apscisnom osom OxOx, za koje postavljamo y=0y=0:

Jednadžba nema korijena, tako da nema tačaka presjeka sa OxOx osom.

Imajte na umu da x2+8>0x2+8>0 za bilo koje xx. Dakle, za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funkcija y>0y>0 (uzima pozitivne vrijednosti, grafik je iznad x-ose), za x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:

5) Istražujemo funkciju na periodičnost. Funkcija nije periodična, jer je razlomka racionalna funkcija.

6) Istražujemo funkciju za ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvi izvod funkcije:

Izjednačimo prvi izvod sa nulom i pronađemo stacionarne tačke (u kojima je y′=0y′=0):

Dobili smo tri kritične tačke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Cijelu domenu funkcije podijelimo na intervale po datim točkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:

Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) izvod y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaciju y′>0y′>0, funkcija raste na ovim intervalima.

U ovom slučaju, x=−2x=−2 je lokalna minimalna tačka (funkcija se smanjuje, a zatim raste), x=4x=4 je lokalna tačka maksimuma (funkcija raste, a zatim opada).

Nađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

Dakle, minimalna tačka je (−2;4)(−2;4), maksimalna tačka je (4;−8)(4;−8).

7) Ispitujemo funkciju za kinkove i konveksnost. Nađimo drugi izvod funkcije:

Izjednačite drugi izvod sa nulom:

Rezultirajuća jednačina nema korijen, tako da nema prevojnih tačaka. Štaviše, kada je x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 zadovoljena, to jest, funkcija je konkavna kada je x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Istražujemo ponašanje funkcije na beskonačnosti, odnosno na .

Pošto su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.

Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika y=kx+by=kx+b. Izračunavamo vrijednosti k,bk,b prema poznatim formulama:

Otkrili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatne točke. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim tačkama kako bismo preciznije napravili graf.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Na osnovu dobijenih podataka napravićemo graf, dopuniti ga asimptotama x=1x=1 (plava), y=−x−1y=−x−1 (zelena) i označiti karakteristične tačke (presek sa y -os je ljubičasta, ekstremi su narandžasti, dodatne tačke su crne):

Zadatak 4: Geometrijski, ekonomski problemi (nemam pojma šta, evo okvirnog izbora zadataka sa rješenjem i formulama)

Primjer 3.23. a

Rješenje. x i y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za xa/4 S "> 0, a za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет najveća vrijednost funkcije. Dakle, najpovoljniji omjer stranica pod datim uslovima problema je y = 2x.

Primjer 3.24.

Rješenje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22. Naći ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x - 2) (x - 3), onda su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremne tačke mogu biti samo u ovim tačkama. Dakle, kako kada prolazi kroz tačku x 1 = 2, derivacija mijenja predznak s plusa na minus, tada u ovoj tački funkcija ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 \u003d 3, derivacija mijenja predznak od minus do plus, dakle, u tački x 2 = 3, funkcija ima minimum. Izračunavanje vrijednosti funkcije u tačkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.

Primjer 3.23. U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a sa četvrte strane uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom će omjeru stranica imati platformu najveća površina?

Rješenje. Označite strane stranice kroz x i y. Površina lokacije je S = xy. Neka y je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je
0 ≤ x ≤ a/2 (dužina i širina područja ne mogu biti negativne). S "= a - 4x, a - 4x = 0 za x = a/4, odakle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za xa/4 S "> 0, a za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24. Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični rezervoar kapaciteta V=16p ≈ 50 m 3 . Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da bi se koristila najmanja količina materijala za njegovu izradu?

Rješenje. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Dakle, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). S " (R) = 0 za R 3 \u003d 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Slične informacije.

Uputstvo

Pronađite opseg funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana na cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Definirajte područja kontinuiteta i tačke prekida. Obično je funkcija kontinuirana u istoj domeni gdje je definirana. Da biste otkrili diskontinuitete, morate izračunati kada se argument približi izolovanim tačkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+ i minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u tački x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u tački diskontinuiteta konačne, ali nisu jednake, onda je ovo diskontinuitet prve vrste. Ako su jednaki, onda se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj tački.

Pronađite vertikalne asimptote, ako ih ima. Tu će vam pomoći proračuni iz prethodnog koraka, budući da je vertikalna asimptota gotovo uvijek u tački diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz domena definicije ne isključuju pojedinačne tačke, već čitavi intervali tačaka i tada se vertikalne asimptote mogu locirati na rubovima ovih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parna, neparna i periodična.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 su parne funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T koji se zove period, a koji je za bilo koje x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve glavne trigonometrijske funkcije(sinus, kosinus, tangent) - periodično.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju od datu funkciju i pronađite one x vrijednosti gdje nestaje. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima izvod g(x) = 3x^2 + 18x koji nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su tačke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije u pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak sa plusa na x = -6 i nazad iz minusa u plus na x = 0. Dakle, funkcija f(x) ima minimum u prvoj tački i minimum u drugoj.

Tako ste takođe pronašli područja monotonosti: f(x) monotono raste na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovo raste na 0;+∞.

Pronađite drugi izvod. Njegovi korijeni će pokazati gdje će graf date funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, drugi izvod funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Nestaje na x = -3, mijenjajući svoj predznak sa minus na plus. Dakle, graf f (x) prije ove tačke će biti konveksan, nakon njega - konkavan, a sama ova tačka će biti tačka pregiba.

Funkcija može imati druge asimptote, osim vertikalnih, ali samo ako njena domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, onda ste pronašli horizontalnu asimptotu.

Kosa asimptota je prava linija oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) sa istim x→∞.

Iscrtajte funkciju na izračunatim podacima. Označite asimptote, ako ih ima. Označite točke ekstrema i vrijednosti funkcije u njima. Za veću točnost grafikona, izračunajte vrijednosti funkcije u još nekoliko međutočaka. Istraživanje završeno.

Za potpunu studiju funkcije i crtanje njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1) pronaći obim funkcije;

2) pronaći tačke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) određuje intervale konveksnosti i pregibnih tačaka;

7) pronaći tačke preseka sa koordinatnim osama, ako je moguće, i neke dodatne tačke koje preciziraju graf.

Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.

Primjer 9 Istražite funkciju i napravite graf.

1. Domen definicije: ;

2. Funkcija se prekida u tačkama
,
;

Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Istražujemo funkciju za prisustvo kosih i horizontalnih asimptota.

Pravo
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Pravo
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je čak jer
. Parnost funkcije ukazuje na simetriju grafa u odnosu na y-osu.

5. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima je izvod 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove tačke dijele cijelu realnu osu na četiri intervala. Hajde da definišemo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Prilikom prolaska kroz tačku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum
.

6. Nađimo intervale konveksnosti, tačke pregiba.

Hajde da pronađemo tačke gde je 0 ili ne postoji.

nema prave korene.
,
,

bodova
i
realnu osu podijeliti na tri intervala. Hajde da definišemo znak u svakom intervalu.

Dakle, kriva na intervalima
i
konveksan prema dole, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema pregibnih tačaka, budući da je funkcija u tačkama
i
nije utvrđeno.

7. Nađite tačke preseka sa osama.

sa osovinom
graf funkcije siječe se u tački (0; -1) i sa osom
graf se ne siječe, jer brojilac ove funkcije nema pravi korijen.

Grafikon date funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Proučavati ekonomske procese i rješavati druge primijenjeni zadaciČesto se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog priraštaja funkcije na relativni prirast varijable at
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje za koliko procenata će se funkcija promijeniti
pri promeni nezavisne varijable za 1%.

Elastičnost funkcije se koristi u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:

Neka je onda x=3
To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, tada će se vrijednost zavisne varijable povećati za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cijene ima oblik
, gdje ─ konstantni koeficijent. Odrediti vrijednost indeksa elastičnosti funkcije tražnje po cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje koristeći formulu (VII)

Pretpostavljam
novčane jedinice, dobijamo
. To znači da po cijeni
novčana jedinica povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Danas vas pozivamo da istražite i nacrtate graf funkcije s nama. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da završite ovakav zadatak. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pažnju i tačnost proračuna. Da bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i proračune. Dobrodošli u neverovatno i fascinantan svet matematika! Idi!

Domain

Da biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava zavisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjena. Dakle, y je funkcija od x, pod uslovom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju, varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove zavisnosti, gradi se graf funkcije. Šta je graf funkcije? Ovo je skup tačaka koordinatna ravan gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Funkcijski graf se ne može nacrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i nacrtati graf funkcije. Veoma je važno praviti bilješke tokom učenja. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najpovoljniji plan učenja:

1. Domain.
2. Kontinuitet.
3. Parno ili neparno.
4. Periodičnost.
5. Asimptote.
6. Nule.
7. Konstantnost.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Ekstremi.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom tačkom. Nađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domen definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se termin "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona kretanja. Šta je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima kretanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tiganj, termometar i sl.), neprekidna linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja sa olovke).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne prekida. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom dijelu. Funkcija je kontinuirana u nekoj tački x0 ako je ispunjen niz uslova:

• funkcija je definirana u datoj tački;
• desna i lijeva granica u tački su jednake;
• granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da funkcija prekida. A tačke u kojima se funkcija prekida nazivaju se tačke prekida. Primjer funkcije koja će se “pokvariti” kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štaviše, y ne postoji u tački x = 3 (pošto je nemoguće podijeliti sa nulom).

U funkciji koju proučavamo (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Čak i čudno

Sada ispitajte funkciju za paritet. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri su:

• modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
• x na kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinusni talas).

Imajte na umu da su svi ovi grafovi simetrični kada se gledaju u odnosu na y-osu.

Šta se onda zove neparna funkcija? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:

• hiperbola;
• kubna parabola;
• sinusoida;
• tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na tačku (0:0), odnosno ishodište. Na osnovu onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, čak i neparna funkcija mora imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Hajde da ispitamo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara nijednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je kriva koja je što je moguće bliža grafu, odnosno udaljenost od neke tačke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

• vertikalno, odnosno paralelno sa y osom;
• horizontalno, tj. paralelno sa x-osom;
• koso.

Što se tiče prvog tipa, ove linije treba tražiti u nekim tačkama:

• jaz;
• krajeve domena.

U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domen definicije je R. Dakle, ne postoje vertikalne asimptote.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći zahtjev: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnost, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uslova:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada se može naći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcija nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafika funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak vezan za pronalaženje nula funkcije javlja ne samo u proučavanju i crtanju grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da preciznije nacrtate funkciju. Jednostavno rečeno, nula funkcije je vrijednost varijable x, pri kojoj je y = 0. Ako tražite nule funkcije na grafu, onda treba obratiti pažnju na tačke u kojima se graf seče sa x-osom.

Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti sljedeću jednačinu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon što izvršimo potrebne proračune, dobijamo sljedeći odgovor:

konstantnost znaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafike) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti na kojim intervalima funkcija uzima pozitivnu vrijednost, a na kojim intervalima negativnu vrijednost. Nule funkcija koje se nalaze u prethodnom odjeljku pomoći će nam u tome. Dakle, trebamo izgraditi pravu liniju (odvojeno od grafa) i rasporediti nule funkcije duž nje u ispravnom redoslijedu od najmanjeg do najvećeg. Sada morate odrediti koji od rezultirajućih intervala ima znak "+", a koji "-".

U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost na intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

• od minus beskonačnosti do 1;
• od 4 do 9.

Ovo je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je znak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Da bismo istražili i izgradili funkciju, moramo saznati gdje će graf porasti (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-ose).

Funkcija se povećava samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A mi uočavamo potpuno suprotan fenomen u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

• opseg (već ga imamo);
• izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
• riješiti jednačinu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon proračuna dobijamo rezultat:

Dobijamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Ekstremi

Istražena funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za bilo koju vrijednost varijable x. Tačka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, oni se također nalaze pomoću funkcije derivacije. Nakon pronalaska, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo proučavati funkciju y(x). Sada moramo provjeriti ima li konveksnost i konkavnost. Definicije ovih koncepata je prilično teško percipirati, bolje je sve analizirati na primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako nije opadajuća funkcija. Slažem se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobijamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačite desna strana na nulu i riješiti jednačinu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo prevojnu tačku, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavno ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačnosti do 14/3, funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Takođe je veoma važno napomenuti da tačka savijanja na grafikonu treba da bude glatka i meka, ne oštri uglovi ne bi trebao biti prisutan.

Definicija dodatnih bodova

Naš zadatak je istražiti i nacrtati graf funkcije. Studiju smo završili, sada neće biti teško iscrtati funkciju. Za precizniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravni, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzimamo x=3, rješavamo rezultirajuću jednačinu i nalazimo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Pronađeno ih je najmanje 3-5.

Plotting

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake u toku proračuna napravljene su na koordinatnoj ravni. Ostaje samo da se napravi graf, odnosno da se sve tačke međusobno povežu. Povezivanje tačaka je glatko i precizno, ovo je stvar vještine - malo vježbe i vaš raspored će biti savršen.