Transformacije identiteta trigonometrijskih izraza. Lekcija "Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza" Trigonometrijski izrazi i njihove transformacije

Odjeljci: Matematika

klasa: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.

Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

  • Sistematizovati, generalizovati, proširiti znanja i veštine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rešavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
  3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
  4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi
  5. Samostalan rad.
  6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaće zadaće.

1. Organizacioni momenat. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, prisjeća se da je prethodno dat zadatak da se ponove trigonometrijske formule i postavlja učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop u kojem postoji opcija testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7.2sin5x cos5x;

e) formule poluugla

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) snižavanje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici na laptopu ispred svake formule vide svoje odgovore.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, razraditi i učvrstiti primjenu osnovnih formula trigonometrije. Rješavanje zadataka B7 sa ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih (samostalan rad uz naknadnu provjeru) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema USE 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Paralelno, nastavnik radi sa slabim učenicima, diskutujući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Pojednostavite:

Došao je red da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Na ekranu se pojavljuju odgovori, a uz pomoć video kamere se prikazuje rad 5 različitih učenika (po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi uslov i metodu rešenja. Postoji diskusija i analiza. Uz korištenje tehničkih sredstava, to se dešava brzo.

4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. (30 minuta.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina, bilježeći njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom izvođenja zadatka učenici treba da obrate pažnju na pisanje korijena jednadžbi pojedinih slučajeva i opšteg oblika i na odabir korijena u posljednjoj jednačini.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen odgovora.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Po izboru studenta nudi se raznovrstan rad.

Opcija za "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen vašeg odgovora.

Opcija za "5"

1) Naći tgα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen vašeg odgovora.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sumira činjenicu da se na času ponavljaju i konsoliduju trigonometrijske formule, rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena na štampanoj osnovi) uz provjeru na licu mjesta na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) Navedite svoj odgovor kao najmanji pozitivan korijen.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

  • Generalizovati i sistematizovati znanja o rešavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
  • Promovirati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije, klasifikacije.
  • Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu, introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Diskusija d/s i samot. rad na prošloj lekciji
  3. Ponavljanje metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
  4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
  5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
  6. Samostalan rad.
  7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti performanse. Jedan rad uz pomoć video kamere se prikazuje na ekranu, ostali se selektivno prikupljaju kako bi ih nastavnik provjerio.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je ispraviti greške, ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Na ekranu su odgovori i rješenja, studenti su unaprijed izdali svoje radove. Analiza ide brzo.

3. Ponavljanje metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

  • varijabilna zamjena,
  • faktorizacija,
  • homogene jednadžbe,

a primjenjuju se i metode:

  • prema formulama za pretvaranje zbroja u proizvod i proizvoda u zbir,
  • po formulama redukcije,
  • univerzalna trigonometrijska supstitucija
  • uvođenje pomoćnog ugla,
  • množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina o ovoj temi, priprema za rješavanje C1 iz USE.

Smatram da je svrsishodno da se jednačine za svaku metodu rešavaju zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik zapisuje na tabletu, cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da brzo i efikasno vratite prethodno pokriveni materijal u svoju memoriju.

Riješite jednačine:

1) promjenljiva promjena 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba napomenuti da korištenje ove metode dovodi do sužavanja domene definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije pisanja odgovora, potrebno je provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete, rešenje jednog prvog dela ispita nije dovoljno, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dela (C1, C2, C3).

Stoga je svrha ove faze lekcije da se prisjeti prethodno proučenog materijala, da se pripremi za rješavanje problema C1 iz USE 2011. godine.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima morate odabrati korijene prilikom pisanja odgovora. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz ispod korijena parnog stepena nije negativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti iu USE verziji nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je nula ako je tada koristeći jedinični krug, izabraćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk pritom ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, odaberite korijene (vidi sliku 2)

Slika 2.

5)

Idemo na sistem:

U prvoj jednadžbi sistema pravimo log promene 2 (sinx) = y, dobijamo jednačinu tada , nazad u sistem

pomoću jediničnog kruga biramo korijene (vidi sliku 5),

Slika 5

6. Samostalni rad (15 min.)

Cilj je konsolidirati i provjeriti asimilaciju gradiva, identificirati greške i ukazati na načine za njihovo ispravljanje.

Rad se nudi u tri verzije, unapred pripremljene na štampanoj osnovi, po izboru studenata.

Jednačine se mogu riješiti na bilo koji način.

Opcija za "3"

Riješite jednačine:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opcija za "4"

Riješite jednačine:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opcija za "5"

Riješite jednačine:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Sažetak časa, domaći (5 min.)

Nastavnik sumira čas, još jednom skreće pažnju da se trigonometrijska jednačina može riješiti na više načina. Najbolji način za postizanje brzog rezultata je onaj koji pojedini učenik najbolje nauči.

Prilikom pripreme za ispit potrebno je sistematski ponavljati formule i metode za rješavanje jednačina.

Dijeli se domaći (unaprijed pripremljeni na štampanoj osnovi) i komentarišu se načini rješavanja nekih jednačina.

Riješite jednačine:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Video lekcija "Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza" je osmišljena da formira umijeće učenika u rješavanju trigonometrijskih zadataka korištenjem osnovnih trigonometrijskih identiteta. Tokom video lekcije razmatraju se vrste trigonometrijskih identiteta, primjeri rješavanja zadataka pomoću njih. Koristeći vizuelna pomagala, nastavniku je lakše postići ciljeve časa. Živopisna prezentacija materijala doprinosi pamćenju važnih tačaka. Upotreba efekata animacije i glasovne glume omogućavaju vam da u potpunosti zamijenite nastavnika u fazi objašnjavanja materijala. Dakle, koristeći ovu vizuelnu pomoć na časovima matematike, nastavnik može povećati efikasnost nastave.

Na početku video lekcije najavljuje se njegova tema. Zatim se prisjećaju prethodno proučavanih trigonometrijskih identiteta. Na ekranu se prikazuju jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, istina za t≠πk, gdje je kϵZ, tan t · ctg t=1, na t≠πk/2, gdje je kϵZ, nazvani osnovni trigonometrijski identiteti. Primjećuje se da se ovi identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.

Nadalje, razmatraju se primjeri primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo, predlaže se razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da bi se riješio primjer, zajednički faktor cos 2 t se prvo stavlja u zagrade. Kao rezultat takve transformacije u zagradama, dobija se izraz 1-cos 2 t, čija je vrijednost iz osnovnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza, očigledno je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izvaditi iz zagrada, nakon čega izraz dobija oblik sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta izvodimo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja, dobijamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

U primjeru 2, izraz trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint) također treba biti pojednostavljen. Budući da je cijena izraza u brojiocima oba razlomka, može se staviti u zagrade kao zajednički faktor. Tada se razlomci u zagradama svode na zajednički nazivnik množenjem (1- sint)(1+ sint). Nakon redukcije sličnih članova, 2 ostaje u brojniku, a 1 - sin 2 t u nazivniku. Na desnoj strani ekrana se prisjeća osnovni trigonometrijski identitet sin 2 t+cos 2 t=1. Koristeći ga, nalazimo imenilac razlomka cos 2 t. Nakon smanjenja razlomka, dobijamo pojednostavljeni oblik izraza trošak / (1- sint) + trošak / (1 + sint) \u003d 2 / trošak.

Zatim se razmatraju primjeri dokazivanja identiteta u kojima se primjenjuju stečena znanja o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identičnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koja će biti potrebna za dokaz - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t sa ograničenjima. Za dokazivanje identiteta prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira proizvod koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Tada se, prema istovjetnosti iz definicije kotangensa, ctg 2 t transformira. Kao rezultat transformacija dobija se izraz 1-cos 2 t. Koristeći osnovni identitet, nalazimo vrijednost izraza. Dakle, dokazano je da je (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

U primjeru 4, potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Za procjenu izraza, desna i lijeva strana jednadžbe (tg t+ctg t) 2 =6 2 se prvo kvadriraju. Skraćena formula za množenje je prikazana na desnoj strani ekrana. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza formira se zbir tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t za čiju transformaciju se može primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t ctg t=1, čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobija se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti se poklapa sa uslovom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.

Video lekcija "Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza" preporučuje se za upotrebu u tradicionalnoj školskoj lekciji matematike. Također, materijal će biti koristan i nastavniku koji pruža učenje na daljinu. U cilju formiranja vještine rješavanja trigonometrijskih zadataka.

TUMAČENJE TEKSTA:

"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza".

Jednakost

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus na kvadrat te plus kosinus na kvadrat te jednak je jedan)

2) tgt =, pri t ≠ + πk, kϵZ (tangent od te je jednak omjeru sinusa od te i kosinusa od te kada te nije jednako pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3) ctgt = , pri t ≠ πk, kϵZ (kotangens od te je jednak omjeru kosinusa od te i sinusa od te kada te nije jednako vrhuncu ka, koji pripada z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ

nazivaju se osnovnim trigonometrijskim identitetima.

Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.

Razmotrite primjere korištenja ovih formula kada pojednostavljujete trigonometrijske izraze.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stepena te plus sinus četvrtog stepena te).

Rješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izvadimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradama dobijemo razliku između jedinice i kvadrata kosinusa te, koji je jednak kvadratu sinusa te po prvom identitetu. Dobijamo zbir sinusa četvrtog stepen te umnoška kosinus kvadrat te i sinus kvadrat te. Zajednički faktor sinus kvadrat te će biti izvađen van zagrada, u zagradama se dobija zbir kvadrata kosinusa i sinusa koji prema osnovnoj trigonometriji identičnost, jednak je 1. Kao rezultat, dobijamo kvadrat sinusa te).

PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .

(izraz je zbir dva razlomka u brojiocu prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).

(Izvadimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, a u zagradi ga dovodimo do zajedničkog nazivnika, koji je proizvod jedan minus sinus te sa jedan plus sinus te.

U brojiocu dobijamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sin te, dajemo slične, brojilac je jednak dva nakon donošenja sličnih.

U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku između jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu

jednak je kvadratu kosinusa te. Nakon smanjenja kosinusom te, dobijamo konačni odgovor: dva podijeljena kosinusom te).

Razmotrimo primjere upotrebe ovih formula u dokazu trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 3. Dokažite identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (proizvod razlike između kvadrata tangente od te i sinusa od te i kvadrata kotangensa od te je jednako kvadratu sinusa od te).

Dokaz.

Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 2 t = sin 2 t

(Otvorimo zagrade, iz prethodno dobijene relacije poznato je da je proizvod kvadrata tangente od te na kotangens od te jednak jedan. Podsjetimo da je kotangens od te jednak omjeru kosinusa od te na sinus od te, što znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa od te i kvadrata sinusa od te.

Nakon redukcije za sinusni kvadrat od te, dobijamo razliku između jedinice i kosinusa kvadrata od te, koji je jednak sinusu kvadrata od te). Q.E.D.

PRIMJER 4. Pronađite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.

(zbir kvadrata tangente od te i kotangensa od te, ako je zbir tangente i kotangensa šest).

Rješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadirajmo oba dijela izvorne jednakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbira tangenta od te i kotangensa od te je šest na kvadrat). Prisjetite se skraćene formule množenja: Kvadrat zbira dvije veličine jednak je kvadratu prve plus dvostruki proizvod prve i druge plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobijamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Budući da je proizvod tangenta od te i kotangensa od te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (zbir kvadrata tangente od te i kotangensa od te i dva je trideset i šest),

Odjeljci: Matematika

klasa: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.

Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

  • Sistematizovati, generalizovati, proširiti znanja i veštine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rešavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
  3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
  4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi
  5. Samostalan rad.
  6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaće zadaće.

1. Organizacioni momenat. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, prisjeća se da je prethodno dat zadatak da se ponove trigonometrijske formule i postavlja učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop u kojem postoji opcija testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7.2sin5x cos5x;

e) formule poluugla

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) snižavanje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici na laptopu ispred svake formule vide svoje odgovore.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, razraditi i učvrstiti primjenu osnovnih formula trigonometrije. Rješavanje zadataka B7 sa ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih (samostalan rad uz naknadnu provjeru) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema USE 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Paralelno, nastavnik radi sa slabim učenicima, diskutujući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Pojednostavite:

Došao je red da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Na ekranu se pojavljuju odgovori, a uz pomoć video kamere se prikazuje rad 5 različitih učenika (po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi uslov i metodu rešenja. Postoji diskusija i analiza. Uz korištenje tehničkih sredstava, to se dešava brzo.

4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. (30 minuta.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina, bilježeći njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom izvođenja zadatka učenici treba da obrate pažnju na pisanje korijena jednadžbi pojedinih slučajeva i opšteg oblika i na odabir korijena u posljednjoj jednačini.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen odgovora.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Po izboru studenta nudi se raznovrstan rad.

Opcija za "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen vašeg odgovora.

Opcija za "5"

1) Naći tgα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen vašeg odgovora.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sumira činjenicu da se na času ponavljaju i konsoliduju trigonometrijske formule, rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena na štampanoj osnovi) uz provjeru na licu mjesta na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) Navedite svoj odgovor kao najmanji pozitivan korijen.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

  • Generalizovati i sistematizovati znanja o rešavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
  • Promovirati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije, klasifikacije.
  • Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu, introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Diskusija d/s i samot. rad na prošloj lekciji
  3. Ponavljanje metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
  4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
  5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
  6. Samostalan rad.
  7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti performanse. Jedan rad uz pomoć video kamere se prikazuje na ekranu, ostali se selektivno prikupljaju kako bi ih nastavnik provjerio.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je ispraviti greške, ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Na ekranu su odgovori i rješenja, studenti su unaprijed izdali svoje radove. Analiza ide brzo.

3. Ponavljanje metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

  • varijabilna zamjena,
  • faktorizacija,
  • homogene jednadžbe,

a primjenjuju se i metode:

  • prema formulama za pretvaranje zbroja u proizvod i proizvoda u zbir,
  • po formulama redukcije,
  • univerzalna trigonometrijska supstitucija
  • uvođenje pomoćnog ugla,
  • množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina o ovoj temi, priprema za rješavanje C1 iz USE.

Smatram da je svrsishodno da se jednačine za svaku metodu rešavaju zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik zapisuje na tabletu, cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da brzo i efikasno vratite prethodno pokriveni materijal u svoju memoriju.

Riješite jednačine:

1) promjenljiva promjena 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba napomenuti da korištenje ove metode dovodi do sužavanja domene definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije pisanja odgovora, potrebno je provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete, rešenje jednog prvog dela ispita nije dovoljno, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dela (C1, C2, C3).

Stoga je svrha ove faze lekcije da se prisjeti prethodno proučenog materijala, da se pripremi za rješavanje problema C1 iz USE 2011. godine.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima morate odabrati korijene prilikom pisanja odgovora. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz ispod korijena parnog stepena nije negativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti iu USE verziji nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je nula ako je tada koristeći jedinični krug, izabraćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk pritom ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, odaberite korijene (vidi sliku 2)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU „Srednja škola

br. 18"

Engels, Saratovska oblast.

Nastavnik matematike.

"Trigonometrijski izrazi i njihove transformacije"

Uvod ………………………………………………………………………………………..3

Poglavlje 1 Klasifikacija zadataka za upotrebu transformacija trigonometrijskih izraza ………………………….………………………………...5

1.1. Računski zadaci vrijednosti trigonometrijskih izraza……….5

1.2.Zadaci za pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza .... 7

1.3. Zadaci za konverziju brojevnih trigonometrijskih izraza ... ..7

1.4 Mješoviti zadaci………………………………………………………………….9

Poglavlje 2

2.1 Tematsko ponavljanje u 10. razredu……………………………………………11

Test 1……………………………………………………………………………………………………..12

Test 2……………………………………………………………………………………………..13

Test 3……………………………………………………………………………………………..14

2.2 Završno ponavljanje u 11. razredu………………………………………………...15

Test 1……………………………………………………………………………………………..17

Test 2……………………………………………………………………………………………..17

Test 3……………………………………………………………………………………………..18

Zaključak……………………………………………………………………………………..19

Spisak korišćene literature……………………………………………….20

Uvod.

U današnjim uslovima najvažnije je pitanje: "Kako možemo pomoći da se otklone neke praznine u znanju studenata i da ih upozorimo na moguće greške na ispitu?" Da bi se ovo pitanje riješilo, potrebno je od učenika postići ne formalnu asimilaciju programskog materijala, već njegovo duboko i svjesno razumijevanje, razvoj brzine usmenih proračuna i transformacija, kao i razvoj vještina rješavanja najjednostavnijih. problemi „u umu“. Potrebno je uvjeriti studente da se samo uz aktivnu poziciju, na studiju matematike, uz sticanje praktičnih vještina, vještina i njihovu upotrebu, može računati na pravi uspjeh. Potrebno je iskoristiti svaku priliku za pripremu ispita, uključujući izborne predmete od 10. do 11. razreda, redovno analizirati složene zadatke sa učenicima, birajući najracionalniji način za njihovo rješavanje u nastavi i na dopunskoj nastavi.pozitivan rezultat uoblast rješavanja tipičnih zadataka može se postići ako nastavnici matematike, kreiranjemdobru osnovnu osposobljenost učenika, da traže nove načine rješavanja problema koji su se otvorili, da aktivno eksperimentišu, primjenjuju savremene pedagoške tehnologije, metode, tehnike koje stvaraju povoljne uslove za efikasno samoostvarenje i samoopredjeljenje učenika u novim društvenim uslovima.

Trigonometrija je sastavni dio školskog predmeta matematike. Dobro znanje i jake veštine u trigonometriji dokaz su dovoljnog nivoa matematičke kulture, neophodan uslov za uspešno proučavanje matematike, fizike i niza tehničkih discipline.

Relevantnost rada. Značajan dio maturanata pokazuje iz godine u godinu veoma lošu pripremljenost iz ovog značajnog odsjeka matematike, o čemu svjedoče i rezultati proteklih godina (procenat završenosti 2011-48,41%, 2012-51,05%), budući da je analiza prolaznosti Jedinstveni državni ispit je pokazao da studenti prave mnogo grešaka pri rješavanju zadataka iz ovog odsjeka ili ih uopće ne rješavaju. U jednom Pitanja za državni ispit iz trigonometrije nalaze se u gotovo tri vrste zadataka. Ovo je rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, te rad sa trigonometrijskim izrazima u zadatku B7, te proučavanje trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, kao i zadaci B12, u kojima se nalaze formule koje opisuju fizičke pojave i sadrže trigonometrijske funkcije . A ovo je samo dio zadataka B! Ali postoje i omiljene trigonometrijske jednadžbe sa izborom korijena C1, te „ne baš omiljeni“ geometrijski zadaci C2 i C4.

Cilj. Analizirati materijal USE zadataka B7, posvećen transformaciji trigonometrijskih izraza i klasifikovati zadatke prema obliku njihovog prikaza u testovima.

Rad se sastoji od dva poglavlja, uvoda i zaključka. Uvod naglašava relevantnost rada. U prvom poglavlju data je klasifikacija zadataka za korištenje transformacija trigonometrijskih izraza u testnim zadacima Jedinstvenog državnog ispita (2012).

U drugom poglavlju razmatra se organizacija ponavljanja teme "Transformacija trigonometrijskih izraza" u 10., 11. razredu i razvijaju se testovi na ovu temu.

Spisak referenci obuhvata 17 izvora.

Poglavlje 1. Klasifikacija zadataka za upotrebu transformacija trigonometrijskih izraza.

U skladu sa standardom srednjeg (potpunog) obrazovanja i zahtjevima za stepen obučenosti učenika, zadaci za poznavanje osnova trigonometrije uključeni su u kodifikator zahtjeva.

Učenje osnova trigonometrije će biti najefikasnije kada:

    studenti će biti pozitivno motivisani da ponavljaju prethodno učeno gradivo;

    u obrazovnom procesu će se implementirati pristup usmjeren na studenta;

    primjenjivaće se sistem zadataka koji doprinosi proširenju, produbljivanju, sistematizaciji znanja učenika;

    koristiće se napredne pedagoške tehnologije.

Nakon analize literature i internet resursa za pripremu ispita, predložili smo jednu od mogućih klasifikacija zadataka B7 (KIM USE 2012-trigonometrija): zadaci za računanjevrijednosti trigonometrijskih izraza; zadaci zakonverzija numeričkih trigonometrijskih izraza; zadaci za transformaciju literalnih trigonometrijskih izraza; mješoviti zadaci.

1.1. Računski zadaci vrijednosti trigonometrijskih izraza.

Jedna od najčešćih vrsta jednostavnih trigonometrijskih problema je izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija prema vrijednosti jedne od njih:

a) Upotreba osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegovih posljedica.

Primjer 1 . Pronađite ako
i
.

Rješenje.
,
,

Jer , onda
.

Odgovori.

Primjer 2 . Nađi
, ako
i .

Rješenje.
,
,
.

Jer , onda
.

Odgovori. .

b) Upotreba formula dvostrukog ugla.

Primjer 3 . Nađi
, ako
.

Rješenje. , .

Odgovori.
.

Primjer 4 . Pronađite vrijednost izraza
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

1. Nađi , ako
i
. Odgovori. -0.2

2. Nađi , ako
i
. Odgovori. 0.4

3. Nađi
, ako . Odgovori. -12.884. Nađi
, ako
. Odgovori. -0,845. Pronađite vrijednost izraza:
. Odgovori. 66. Pronađite vrijednost izraza
.Odgovori. -19

1.2.Zadaci za pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza. Formule redukcije učenici treba da dobro savladaju, jer će se dalje koristiti u nastavi geometrije, fizike i drugih srodnih disciplina.

Primjer 5 . Pojednostavite izraze
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pojednostavite izraz
. Odgovori. 0.62. Nađi
, ako
i. Odgovori. 10.563. Pronađite vrijednost izraza
, ako
. Odgovori. 2

1.3. Zadaci za transformaciju numeričkih trigonometrijskih izraza.

Prilikom razvijanja vještina i sposobnosti zadataka za pretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza, pažnju treba obratiti na poznavanje tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, svojstava parnosti i periodičnosti trigonometrijskih funkcija.

a) Korištenje tačnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove.

Primjer 6 . Izračunati
.

Rješenje.
.

Odgovori.
.

b) Koristeći svojstva parnosti trigonometrijske funkcije.

Primjer 7 . Izračunati
.

Rješenje. .

Odgovori.

u) Korištenje svojstava periodičnostitrigonometrijske funkcije.

Primjer 8 . Pronađite vrijednost izraza
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pronađite vrijednost izraza
. Odgovori. -40.52. Pronađite vrijednost izraza
. Odgovori. 17

3. Pronađite vrijednost izraza
. Odgovori. 6


. Odgovori. -24
Odgovori. -64

1.4 Mješoviti zadaci.

Testni oblik certifikacije ima vrlo značajne karakteristike, pa je važno obratiti pažnju na zadatke vezane uz korištenje više trigonometrijskih formula istovremeno.

Primjer 9 Nađi
, ako
.

Rješenje.
.

Odgovori.
.

Primjer 10 . Nađi
, ako
i
.

Rješenje. .

Jer , onda
.

Odgovori.
.

Primjer 11. Nađi
, ako .

Rješenje. , ,
,
,
,
,
.

Odgovori.

Primjer 12. Izračunati
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Primjer 13 Pronađite vrijednost izraza
, ako
.

Rješenje. .

Odgovori.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Nađi
, ako
. Odgovori. -1,75
2. Nađi
, ako
. Odgovori. 33. Pronađite
, ako .Odgovori. 0,254. Pronađite vrijednost izraza
, ako
. Odgovori. 0.35. Pronađite vrijednost izraza
, ako
. Odgovori. 5

Poglavlje 2. Metodološki aspekti organizacije završnog ponavljanja teme "Transformacija trigonometrijskih izraza".

Jedno od najvažnijih pitanja koje doprinosi daljem unapređenju akademskog uspjeha, postizanju dubokog i čvrstog znanja među studentima je pitanje ponavljanja prethodno proučenog gradiva. Praksa pokazuje da je u 10. razredu svrsishodnije organizirati tematsko ponavljanje; u 11. razredu - završno ponavljanje.

2.1. Tematsko ponavljanje u 10. razredu.

U procesu rada na matematičkom gradivu, ponavljanje svake završene teme ili čitavog dijela kursa postaje posebno važno.

Tematskim ponavljanjem, znanje učenika o temi se sistematizuje u završnoj fazi njenog prolaska ili nakon odmora.

Za tematsko ponavljanje izdvajaju se posebne lekcije, na kojima se koncentrira i generalizira materijal jedne određene teme.

Ponavljanje na času odvija se kroz razgovor uz široko uključivanje učenika u ovaj razgovor. Nakon toga studenti dobijaju zadatak da ponove određenu temu i upozoravaju da će na testovima biti kreditni rad.

Test na temu treba da sadrži sva njena glavna pitanja. Nakon završenog rada analiziraju se karakteristične greške i organizira se ponavljanje radi njihovog otklanjanja.

Za časove tematskog ponavljanja nudimo razvijene test papiri na temu "Konverzija trigonometrijskih izraza".

Test #1

Test #2

Test #3

Tabela odgovora

Test

2.2. Završno ponavljanje u 11. razredu.

Završno ponavljanje se provodi u završnoj fazi proučavanja glavnih pitanja matematičkog kursa i provodi se u logičnoj vezi s proučavanjem nastavnog materijala za ovaj dio ili kurs u cjelini.

Završno ponavljanje nastavnog materijala ima sljedeće ciljeve:

1. Aktiviranje materijala cijelog kursa obuke radi pojašnjenja njegove logičke strukture i izgradnje sistema unutar predmetnih i međupredmetnih odnosa.

2. Produbljivanje i, ako je moguće, proširenje znanja studenata o glavnim pitanjima predmeta u procesu ponavljanja.

U kontekstu obaveznog ispita iz matematike za sve maturante, postupno uvođenje ESU čini nastavnike novim pristupom u pripremi i izvođenju nastave, vodeći računa o potrebi da svi učenici savladaju nastavno gradivo na osnovnom nivou, kao i mogućnost za motivisane studente zainteresovane za postizanje visokih bodova za upis na fakultet, dinamično napredovanje u savladavanju gradiva na povećanom i visokom nivou.

U lekcijama završnog ponavljanja možete razmotriti sljedeće zadatke:

Primjer 1 . Izračunajte vrijednost izraza .Rješenje. =
= =
=
=
=
=0,5. Odgovori. 0.5. Primjer 2 Odredite najveću vrijednost cijelog broja koju izraz može poprimiti
.

Rješenje. Jer
može uzeti bilo koju vrijednost koja pripada segmentu [–1; 1], zatim
uzima bilo koju vrijednost segmenta [–0,4; 0,4], dakle . Cjelobrojna vrijednost izraza je jedan - broj 4.

Odgovor: 4 Primjer 3 . Pojednostavite izraz
.

Rješenje: Upotrijebimo formulu za faktorizaciju zbira kocki: . Imamo

Imamo:
.

Odgovor: 1

Primjer 4 Izračunati
.

Rješenje. .

Odgovor: 0,28

Za lekcije završnog ponavljanja nudimo razvijene testove na temu "Konverzija trigonometrijskih izraza".

Navedite najveći cijeli broj koji ne prelazi 1

Zaključak.

Obradivši relevantnu metodičku literaturu na ovu temu, možemo zaključiti da je sposobnost i vještine rješavanja zadataka vezanih za trigonometrijske transformacije u školskom predmetu matematike veoma bitne.

U toku obavljenog posla izvršena je klasifikacija zadataka B7. Razmatraju se trigonometrijske formule koje se najčešće koriste u CMM-ima iz 2012. godine. Dati su primjeri zadataka sa rješenjima. Razvijeni su diferencirani testovi za organizovanje ponavljanja i sistematizacije znanja u pripremi za ispit.

Preporučljivo je nastaviti započeti posao, s obzirom rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, proučavanje trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, zadatku B12, u kojem se nalaze formule koje opisuju fizičke pojave i sadrže trigonometrijske funkcije.

U zaključku želim da napomenem da je efikasnost polaganja ispita umnogome određena koliko je efikasno organizovan proces pripreme na svim nivoima obrazovanja, sa svim kategorijama studenata. A ako uspemo da kod učenika formiramo samostalnost, odgovornost i spremnost da nastave da uče tokom svog narednog života, onda ćemo ne samo ispuniti nalog države i društva, već i povećati sopstveno samopoštovanje.

Ponavljanje nastavnog materijala zahtijeva kreativan rad nastavnika. On mora osigurati jasnu vezu između vrsta ponavljanja, implementirati duboko promišljen sistem ponavljanja. Ovladavanje umijećem organiziranja ponavljanja zadatak je nastavnika. Snaga znanja učenika u velikoj mjeri zavisi od njegovog rješenja.

Književnost.

    Vygodsky Ya.Ya., Priručnik za osnovnu matematiku. -M.: Nauka, 1970.

    Zadaci povećane težine iz algebre i počeci analize: Udžbenik za 10-11 razred gimnazije / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – M.: Prosvjeta, 1990.

    Primjena osnovnih trigonometrijskih formula u transformaciji izraza (10. razred) // Festival pedagoških ideja. 2012-2013.

    Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Pripremamo dobre i odlične učenike za ispit. - M.: Pedagoški univerzitet "Prvi septembar", 2012.- 103 str.

    Kuznjecova E.N. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi različitim metodama (priprema za ispit). 11. razred. 2012-2013.

    Kulanin E.D. 3000 takmičarskih zadataka iz matematike. 4. id., tačno. i dodatne – M.: Rolf, 2000.

    Mordkovich A.G. Metodički problemi izučavanja trigonometrije u općeobrazovnoj školi // Matematika u školi. 2002. br. 6.

    Pichurin L.F. O trigonometriji i ne samo o njoj: -M. Prosvjeta, 1985

    Rešetnikov N.N. Trigonometrija u školi: -M. : Pedagoški univerzitet "Prvi septembar", 2006, lk 1.

    Šabunjin M.I., Prokofjev A.A. Matematika. Algebra. Počeci matematičke analize Nivo profila: udžbenik za 10. razred - M .: BINOM. Laboratorija znanja, 2007.

    Edukativni portal za pripremu ispita.

    Priprema za ispit iz matematike „Oh, ova trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/

    Projekat "Matematika? Lako!!!" http://www.resolventa.ru/

Pročitajte također