Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Obračun površine

Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivuljom y = f (x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. Prema tome, formula površine se piše na sljedeći način:

Razmotrimo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak broj 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rješenje. Napravimo figuru čiju površinu ćemo morati izračunati.

y \u003d x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).

Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1

Zadatak broj 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 u rasponu od 0 do 1.

Rješenje. Graf ove funkcije je parabola grane koja je usmjerena prema gore, a parabola je pomjerena za jednu jedinicu prema dolje u odnosu na osu O y (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y \u003d x 2 - 1

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim prema dolje, jer je koeficijent na x 2 negativan, a druga linija je prava linija koja prelazi obje koordinatne ose.

Da bismo konstruisali parabolu, pronađimo koordinate njenog vrha: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa vrha; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je njen vrh.

Sada nalazimo tačke preseka parabole i prave rešavanjem sistema jednačina:

Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.

Dobijamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ili x 2 - 12 \u003d 0, odakle .

Dakle, tačke su tačke preseka parabole i prave (slika 1).

Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Napravimo pravu liniju y = 2x - 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2; 0) na koordinatnim osa.

Da biste izgradili parabolu, možete imati i njene presečne tačke sa osom 0x, odnosno korene jednačine 8 + 2x - x 2 = 0 ili x 2 - 2x - 8 = 0. Prema Vietinoj teoremi, to je lako pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = četiri.

Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala pomoću formule .

S obzirom na ovaj uslov, dobijamo integral:

2 Izračunavanje zapremine tela obrtanja

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y = f (x) oko ose O x izračunava se po formuli:

Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:

Zadatak broj 4. Odredite volumen tijela dobivenog rotacijom krivolinijskog trapeza omeđenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivuljom y = oko ose O x.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 4).

Slika 4. Grafikon funkcije y =

Željena zapremina je jednaka

Zadatak broj 5. Izračunajte zapreminu tijela dobivenu rotacijom krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y .

Rješenje. Imamo:

Pregledajte pitanja

Razmotrimo krivolinijski trapez omeđen osom Ox, krivulju y = f (x) i dvije prave: x = a i x = b (slika 85). Uzmite proizvoljnu vrijednost x (samo ne a i ne b). Dajmo mu prirast h = dx i razmotrimo traku ograničenu pravim linijama AB i CD, osom Ox i lukom BD koji pripada krivoj koja se razmatra. Ova traka će se zvati elementarna traka. Površina elementarne trake razlikuje se od površine pravokutnika ACQB zakrivljenim trokutom BQD, a površina potonjeg je manja od površine pravokutnika BQDM sa stranicama BQ = =h= dx) QD=Ay i površina jednaka hAy = Ay dx. Kako se strana h smanjuje, tako se smanjuje i strana Du i istovremeno sa h teži nuli. Stoga je površina BQDM beskonačno mala drugog reda. Površina elementarne trake je prirast površine, a površina pravougaonika ACQB, jednaka AB-AC==/(x) dx> je diferencijalna površina. Dakle, nalazimo samo područje integracijom njegovog diferencijala. U granicama prikazane slike, nezavisna varijabla l: mijenja se iz a u b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5= \f (x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajte površinu ograničenu parabolom y - 1 -x *, pravim linijama X = Fj-, x = 1 i osom O * (Sl. 86). na sl. 87. Fig. 86. 1 Ovdje je f(x) = 1 - l?, granice integracije a = - i t = 1, dakle 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajte površinu ograničenu sinusoidom y = sinXy, osa Ox i prava linija (slika 87). Primjenom formule (I), dobijamo L 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (-1) = lf Primjer 3. Izračunajte površinu ograničenu lukom sinusoida ^y \ u003d sin jc zatvoren između dve susedne presečne tačke sa Ox osom (na primer, između ishodišta i tačke sa apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dvostruko veće od površine prethodnog primjera. Međutim, hajde da uradimo proračune: i 5= | s \ nxdx = [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Doista, naša se pretpostavka pokazala pravednom. Primjer 4. Izračunajte površinu ograničenu sinusoidom i ^ osom Ox na jednoj periodi (Sl. 88). Preliminarne prosudbe ras-figure sugeriraju da će se ispostaviti da će površina biti četiri puta veća nego u pr. 2. Međutim, nakon izvršenih proračuna, dobijamo „i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili suštinu stvari, također izračunavamo površinu ograničenu istom sinusoidom y = sin l: i osom Ox u rasponu od l do 2n. Primjenom formule (I) dobijamo Dakle, vidimo da je ova oblast ispala negativna. Upoređujući ga s površinom izračunatom u primjeru 3, nalazimo da su njihove apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primenimo svojstvo V (videti Pogl. XI, § 4), dobijamo slučajno. Uvijek se površina ispod x-ose, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja s lijeva na desno, dobiva izračunavanjem pomoću negativnih integrala. U ovom kursu uvijek ćemo uzeti u obzir nepotpisana područja. Stoga će odgovor u upravo analiziranom primjeru biti sljedeći: tražena površina je jednaka 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB prikazane na sl. 89. Ova oblast je ograničena osom Ox, parabolom y = - xr i pravom linijom y - = -x + \. Područje krivolinijskog trapeza Tražena površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAB. Pošto je tačka A tačka preseka parabole i prave linije, njene koordinate ćemo pronaći rešavanjem sistema jednadžbi 3 2 Y = mx. (treba nam samo pronaći apscisu tačke A). Rješavajući sistem, nalazimo l; =~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prvi pl. OAM, a zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [zamjena:

] =

Dakle, nepravilni integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .