Тъй като посочените площи са съответно равни

S∆OAC=0,5∙OC∙ОАгрях α= 0,5sinα, S секта. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙пр.н.е.= 0.5tga.

Следователно,

sinα< α < tg α.

Разделяме всички членове на неравенството на sin α > 0: .

Но . Следователно, въз основа на теорема 4 за границите, заключаваме, че получената формула се нарича първа забележителна граница.

Така първата забележителна граница служи за разкриване на несигурността. Имайте предвид, че получената формула не трябва да се бърка с границите Примери.

11.Ограничение и свързани с тях ограничения.

ВТОРА ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНА ГРАНИЦА

Втората забележителна граница служи за разкриване на несигурността 1 ∞ и изглежда така

Нека обърнем внимание на факта, че във формулата за втората забележителна граница показателят трябва да съдържа израз, противоположен на този, който се добавя към единицата в основата (тъй като в този случай е възможно да се въведе промяна на променливи и намалете желаната граница до втората забележителна граница)

Примери.

1. Функция f(x)=(х-1) 2 е безкрайно малък за х→1, тъй като (виж Фиг.).

2. Функция f(x)=tg хе безкрайно малък при х→0.

3. f(x)= log(1+ х) е безкрайно малък при х→0.

4. f(x) = 1/хе безкрайно малък при х→∞.

Нека установим следната важна връзка:

Теорема.Ако функцията y=f(x)представителен при x→aкато сбор от постоянно число bи безкрайно малък α(x): f(x)=b+ α(x)тогава .

Обратно, ако , тогава f(x)=b+α(x), където a(x)е безкрайно малък при x→a.

Доказателство.

1. Нека докажем първата част от твърдението. От равенството f(x)=b+α(x)Трябва |f(x) – b|=| α|. Но тъй като a(x)е безкрайно малък, тогава за произволно ε има δ, околност на точката а,за всички хот които, стойности a(x)задоволяват отношението |α(x)|< ε. Тогава |f(x) – b|< ε. А това означава, че.

2. Ако , то за всяко ε >0 за всички хот някои δ е околност на точката аще бъде |f(x) – b|< ε. Но ако обозначим f(x) – b= α, тогава |α(x)|< ε, което означава, че а- безкрайно малък.

Нека разгледаме основните свойства на безкрайно малките функции.

Теорема 1.Алгебричната сума на две, три и изобщо всеки краен брой безкрайно малки е безкрайно малка функция.

Доказателство. Нека дадем доказателство за два термина. Позволявам f(x)=α(x)+β(x), където и . Трябва да докажем, че за произволно произволно малко ε > 0 там δ> 0, така че за худовлетворяващи неравенството |x- a|<δ , извършено |f(x)|< ε.

Така фиксираме произволно число ε > 0. Тъй като според хипотезата на теоремата, α(x)е безкрайно малка функция, тогава съществува δ 1 > 0, което при |x – a|< δ 1 имаме |α(x)|< ε / 2. По същия начин, тъй като β(x)е безкрайно малка, тогава има такова δ 2 > 0, което при |x – a|< δ 2 имаме | β(x)|< ε / 2.

Да вземем δ=min(δ1 , δ2 } .След това в съседство на точката арадиус δ всяко от неравенствата ще бъде изпълнено |α(x)|< ε / 2 и | β(x)|< ε / 2. Следователно в този квартал ще има

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

тези. |f(x)|< ε, което трябваше да се докаже.

Теорема 2.Произведение на безкрайно малка функция a(x)за ограничена функция f(x)при x→a(или кога x→∞) е безкрайно малка функция.

Доказателство. Тъй като функцията f(x)е ограничено, тогава има номер Мтака че за всички стойности хот някакъв квартал на точката a|f(x)|≤M.Освен това, тъй като a(x)е безкрайно малка функция за x→a, тогава за произволно ε > 0 има околност на точката а, в която неравенството |α(x)|< ε /М. Тогава в по-малкия от тези квартали имаме | αf|< ε /М= ε. И това означава, че аф- безкрайно малък. За случая x→∞доказването се извършва по подобен начин.

От доказаната теорема следва:

Следствие 1.Ако и тогава

Следствие 2.Ако и c= const, тогава .

Теорема 3.Отношение на безкрайно малка функция α(x)на функция f(x), чиято граница е различна от нула, е безкрайно малка функция.

Доказателство. Позволявам . След това 1 /f(x)има ограничена функция. Следователно дробта е произведение на безкрайно малка функция и ограничена функция, т.е. функцията е безкрайно малка.

Примери.

1. Ясно е, че за x→+∞функция y=x 2 + 1 е безкрайно. Но тогава, съгласно формулираната по-горе теорема, функцията е безкрайно малка при x→+∞, т.е. .

Може да се докаже и обратната теорема.

Теорема 2.Ако функцията f(x)- безкрайно малък при x→a(или x→∞)и тогава не изчезва y= 1/f(x)е безкрайна функция.

Докажете сами теоремата.

Примери.

3. , тъй като функциите и са безкрайно малки за x→+∞, тогава тъй като сумата от безкрайно малки функции е безкрайно малка функция. Функцията е сбор от постоянно число и безкрайно малка функция. Следователно, съгласно теорема 1, за безкрайно малки функции получаваме необходимото равенство.

По този начин най-простите свойства на безкрайно малки и безкрайно големи функции могат да бъдат записани с помощта на следните условни отношения: А≠ 0

13. Безкрайно малки функции от един и същи ред, еквивалентни на безкрайно малки.

Безкрайно малки функции и се наричат ​​безкрайно малки от същия порядък на малкост, ако , обозначават . И накрая, ако не съществува, тогава безкрайно малките функции и са несравними.

ПРИМЕР 2. Сравнение на безкрайно малки функции

Еквивалентни безкрайно малки функции.

Ако , тогава се наричат ​​безкрайно малки функции и еквивалентен, означават ~ .

Локално еквивалентни функции:

Кога ако

Някои еквивалентности(в):

Едностранни ограничения.

Досега разгледахме дефиницията на границата на функция, когато x→aпроизволно, т.е. границата на функцията не зависи от това как хкъм а, отляво или отдясно на а. Въпреки това е доста обичайно да се намерят функции, които нямат ограничение при това условие, но имат ограничение ако x→a, оставайки от едната страна на а, наляво или надясно (вижте фиг.). Поради това се въвежда понятието едностранни ограничения.

Ако f(x)клони към границата bпри хстремеж към някакво число атака хприема само стойности по-малки от а, след това пишете и звънете граница на функцията f(x) в точка a отляво.

Така че числото bсе нарича граница на функцията y=f(x)при x→aотляво, ако има положително число ε, има число δ (по-малко от а

По същия начин, ако x→aи приема големи стойности а, след това пишете и звънете bограничение на функцията в точка ана дясно. Тези. номер bНаречен граница на функцията y=f(x) при x→a вдясно, ако има положително число ε, има такова число δ (по-голямо от а), че неравенството е валидно за всички .

Имайте предвид, че ако границите са ляво и дясно в точка аза функция f(x)не съвпадат, тогава функцията няма (двустранно) ограничение в точката а.

Примери.

1. Разгледайте функцията y=f(x), определени на сегмента, както следва

Нека намерим границите на функцията f(x)при x→ 3. Очевидно, а

С други думи, за всеки произволно малък брой епсилони има такава делта, в зависимост от епсилоните, че от факта, че за всяко x, удовлетворяващо неравенството, следва, че разликата в стойностите на функцията в тези точки ще бъдете произволно малки.

Критерий за непрекъснатост на функция в точка:

функцияще бъде непрекъснатов точка А тогава и само ако тя е непрекъсната в точка А както отдясно, така и отляво, т.е. за да съществуват две едностранни граници в точка А, те са равни една на друга и равни на стойността на функция в точка А.

Определение 2: Функцията е непрекъснатана множество, ако е непрекъснато във всички точки на това множество.

Производна на функция в точка

Нека дадено е определено в околност на . Обмисли

Ако тази граница съществува, тогава тя се извиква производната на функцията f в точката .

Производна на функция- границата на отношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, когато аргументът се увеличава.

Операцията за изчисляване или намиране на производната в точка се нарича диференциация .

Правила за диференциране.

производнафункции f(x)в точката x=x 0е отношението на нарастването на функцията в тази точка към нарастването на аргумента, тъй като последният клони към нула.Намирането на производната се нарича диференциация. Производната на функция се изчислява съгласно общото правило за диференциране: Нека означим f(x) = u, g(x) = v- функции, диференцируеми в точка х. Основни правила за диференциране 1) (производната на сумата е равна на сумата на производните) 2) (оттук по-специално следва, че производната на произведението на функция и константа е равна на произведението на производната на тази функция с константа) 3) Производна на частно: ако g  0 4) Производна на сложна функция: 5) Ако функцията е зададена параметрично: , тогава

Примери.

1. г = ха - степенна функцияс произволен индекс.

Неявна функция

Ако функцията е дадена чрез уравнението y=ƒ(x), разрешено по отношение на y, тогава функцията е дадена изрично (явна функция).

Под имплицитно присвояванефункциите разбират присвояването на функция под формата на уравнение F(x;y)=0, което не е разрешено по отношение на y.

Всяка изрично дадена функция y=ƒ(x) може да бъде написана като имплицитно дадено от уравнениетоƒ(x)-y=0, но не и обратното.

Не винаги е лесно, а понякога и невъзможно, да се реши уравнение за y (например y+2x+cozy-1=0 или 2y-x+y=0).

Ако неявната функция е дадена от уравнението F(x; y)=0, тогава за да се намери производната на y по отношение на x, няма нужда да се решава уравнението по отношение на y: достатъчно е да диференцираме това уравнение по отношение на x, като същевременно разглеждаме y като функция на x,и след това решете полученото уравнение по отношение на y".

Производната на неявна функция се изразява чрез аргумента x и функцията y.

Пример:

Намерете производната на функцията y, дадена от уравнението x 3 +y 3 -3xy=0.

Решение: Функцията y е неявно дефинирана. Диференцирайте по отношение на x равенството x 3 +y 3 -3xy=0. От полученото съотношение

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

следва, че y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, т.е. y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Производни от по-високи разряди

Ясно е, че производната

функции y=f(x)има и функция от х:

y"=f" (x)

Ако функцията f"(x)е диференцируема, тогава нейната производна се означава със символа y""=f""(x) xдва пъти.
Производната на втората производна, т.е. функции y""=f""(x), е наречен трета производна на функцията y=f(x)или производна на функцията f(x) от трети реди се символизира

В общи линии н-i производно или производно нфункция от -ти ред y=f(x)обозначени със символи

Ф-ла Лайбниц:

Да приемем, че функциите и са диференцируеми заедно с техните производни до n-ти ред включително. Прилагайки правилото за диференциране на произведението на две функции, получаваме

Нека сравним тези изрази със степените на бинома:

Правилото за съответствие е поразително: за да получите формула за производната на 1-ви, 2-ри или 3-ти ред от произведението на функции и , трябва да замените степените и в израза за (където н= 1,2,3) производни на съответните поръчки. Освен това нулевите степени на и трябва да бъдат заменени с производни нулев ред, означавайки под тях функциите и :

Обобщаване на това правило за случай на произволна производна н, получаваме Формула на Лайбниц,

където са биномните коефициенти:

Теорема на Рол.

Тази теорема дава възможност да се намерят критични точки и след това, с помощта на достатъчни условия, да се изследва f-та за екстремуми.

Нека 1) f-тата f(x) е дефинирана и непрекъсната на някакъв затворен интервал; 2) има крайна производна, поне в отворения интервал (a;b); 3) в краищата интервал f-iприема равни стойности f (a) = f (b). Тогава между точки a и b има такава точка c, че производната в тази точка ще бъде = 0.

Съгласно теоремата за свойството на f-тите, които са непрекъснати на сегмент, f-тото f(x) приема на този сегмент своите максимални и минимални стойности.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 О

1) Нека M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ f-тата f(x) ще приема постоянни стойности в интервала от a до b и Þ нейната производна ще бъде равна на нула. f'(x)=0

2) Нека M>m

защото съгласно условията на теоремата, f(a) = f(b) z е нейното най-малко или най-голямо f-та стойностще вземе не в краищата на сегмента, но Þ ще вземе M или m във вътрешна точка на този сегмент. Тогава по теоремата на Ферма f'(c)=0.

Теорема на Лагранж.

Формула за крайно увеличениеили Теорема за средната стойност на Лагранжзаявява, че ако функцията fнепрекъснат на сегмента [ а;b] и диференцируеми в интервала ( а;b), тогава има такава точка, че

Теорема на Коши.

Ако функциите f(x) и g(x) са непрекъснати на интервала и диференцируеми на интервала (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервала (a, b), тогава има поне една точка д, а< e < b, такая, что

Тези. съотношението на нарастванията на функциите върху дадена отсечка е равно на съотношението на производните в точка e. Примери за решаване на задачи курс от лекции Изчисляване на обема на тялото по известни площадинеговият паралелни секцииИнтегрално смятане

Примери за курсова работаелектроинженерство

За доказване на тази теорема на пръв поглед е много удобно да се използва теоремата на Лагранж. Запишете формулата за крайна разлика за всяка функция и след това ги разделете една на друга. Тази гледна точка обаче е погрешна, т.к точката e за всяка от функциите обикновено е различна. Разбира се, в някои специални случаи тази интервална точка може да бъде една и съща и за двете функции, но това е много рядко съвпадение, а не правило, и следователно не може да се използва за доказване на теоремата.

Доказателство. Помислете за помощната функция

Когато x→x 0, стойността на c също клони към x 0; нека преминем в предишното равенство до границата:

защото , тогава .

Ето защо

(границата на съотношението на две безкрайно малки е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последното съществува)

Правилото на L'Hopital, при ∞ / ∞.

Имайте предвид, че всички дефиниции включват числов набор X, който е част от домейна на функцията: X с D(f). На практика най-често има случаи, когато X - диапазон от числа(отсечка, интервал, лъч и др.).

Определение 1.

Функция y \u003d f (x) се нарича нарастваща върху множество X с D (f), ако за всеки две точки x 1 и x 2 от множеството X, така че x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Определение 2.

Функцията y \u003d f (x) се нарича намаляваща върху множеството X с D (f), ако за всяка монотонност на две точки x 1 и x 2 от множеството X, така че x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

На практика е по-удобно да се използват следните формулировки: функцията нараства, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията; функцията е намаляваща, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията.

В 7-ми и 8-ми клас използвахме следната геометрична интерпретация на понятията за нарастващи или намаляващи функции: движейки се по графиката на нарастваща функция отляво надясно, ние някак си се изкачваме по хълма (фиг. 55); движейки се по графиката на намаляваща функция отляво надясно, сякаш се спускаме по хълм (фиг. 56).
Обикновено термините „нарастваща функция“, „намаляваща функция“ се обединяват от общото наименование монотонна функция, а изследването на функция за нарастване или намаляване се нарича изследване на функция за монотонност.

Отбелязваме още едно обстоятелство: ако една функция нараства (или намалява) в своята естествена област на дефиниция, тогава обикновено се казва, че функцията нараства (или намалява) - без да се уточнява числовият набор X.

Пример 1

Проверете функцията за монотонност:

а) y \u003d x 3 + 2; б) y \u003d 5 - 2x.

Решение:

а) Вземете произволни стойности на аргумента x 1 и x 2 и нека x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Последното неравенство означава, че f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Така че от x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), което означава, че дадената функция е намаляваща (на цялата числова ос).

Определение 3.

Функцията y - f(x) се нарича ограничена отдолу в множеството X с D (f), ако всички стойности на функцията в множеството X са по-големи от определено число (с други думи, ако има число m такова, че за всяка стойност x є X неравенството f( x) >m).

Определение 4.

Функцията y \u003d f (x) се нарича ограничена отгоре върху множеството X с D (f), ако всички стойности на функцията са по-малки от определено число (с други думи, ако има число M такова, че за всяка стойност x є X неравенството f (x)< М).

Ако множеството X не е посочено, тогава се приема, че функцията е ограничена отдолу или отгоре в цялата област на дефиниция.

Ако една функция е ограничена както отдолу, така и отгоре, тогава тя се нарича ограничена.

Ограничеността на функцията се чете лесно от нейната графика: ако функцията е ограничена отдолу, тогава нейната графика е изцяло разположена над някаква хоризонтална линия y \u003d m (фиг. 57); ако функцията е ограничена отгоре, тогава нейната графика е изцяло разположена под някаква хоризонтална линия y \u003d M (фиг. 58).

Пример 2Изследване на функция за ограниченост
Решение.От една страна, неравенството е съвсем очевидно (по дефиниция корен квадратенТова означава, че функцията е ограничена отдолу. От друга страна имаме и следователно
Това означава, че функцията е ограничена отгоре. Сега погледнете графиката на дадената функция (фиг. 52 от предходния параграф). Ограничеността на функцията както отгоре, така и отдолу се чете доста лесно от графиката.

Определение 5.

Числото m се нарича най-малката стойност на функцията y \u003d f (x) в множеството X C D (f), ако:

1) в X има такава точка x 0, че f(x 0) = m;

2) за всички x от X е изпълнено неравенството m>f(х 0).

Определение 6.

Числото M се нарича най-голямата стойност на функцията y \u003d f (x) в множеството X C D (f), ако:
1) в X има такава точка x 0, че f(x 0) = M;
2) за всички x от X, неравенството
Най-малката стойност на функцията и в 7., и в 8. клас обозначавахме със символа y, а най-голямата стойност със символа y.

Ако множеството X не е посочено, тогава се приема, че говорим за намиране на най-малкото или най-голямата стойностфункции в цялата област на дефиниция.

Следните полезни твърдения са съвсем очевидни:

1) Ако една функция има Y, тогава тя е ограничена отдолу.
2) Ако една функция има Y, тогава тя е ограничена отгоре.
3) Ако функцията не е ограничена отдолу, тогава Y не съществува.
4) Ако функцията не е ограничена отгоре, тогава Y не съществува.

Пример 3

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция
Решение.

Съвсем очевидно е, особено ако прибягвате до графиката на функцията (фиг. 52), че \u003d 0 (функцията достига тази стойност в точките x \u003d -3 и x \u003d 3), a \u003d 3 (на функцията достига тази стойност в точката x \u003d 0.
В 7 и 8 клас споменахме още две свойства на функциите. Първото беше наречено свойство на изпъкналост на функция. Счита се, че функцията е изпъкнала надолу в интервала X, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика (с абсцисите от X) с права линия установим, че съответната част от графиката лежи под начертаната отсечка ( Фиг. 59). непрекъснатост Една функция е изпъкнала нагоре в интервала X, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика (с абсцисите от X) с права линия установим, че съответната част от графиката лежи над начертаната отсечка (фиг. 60). ).

Второто свойство - непрекъснатостта на функцията на интервала X - означава, че графиката на функцията на интервала X е непрекъсната, т.е. няма пробиви и скокове.

Коментирайте.

Всъщност в математиката всичко е, както се казва, „точно обратното“: графиката на функцията се изобразява като плътна линия (без пробиви и скокове) само когато се докаже непрекъснатостта на функцията. Но формалната дефиниция на непрекъснатостта на функция, която е доста сложна и фина, все още е извън нашите сили. Същото може да се каже и за изпъкналостта на функция. Обсъждайки тези две свойства на функциите, ще продължим да разчитаме на визуално-интуитивни представяния.

Сега нека прегледаме знанията си. Спомняйки си функциите, които изучавахме в 7. и 8. клас, ще изясним как изглеждат техните графики и ще изброим свойствата на функцията, като се придържаме към определен ред, например: област на дефиниция; монотонен; ограничение; , ; непрекъснатост; диапазон от стойности; изпъкнал.

Впоследствие ще се появят нови свойства на функциите и списъкът със свойства ще се промени съответно.

1. Постоянна функция y \u003d C

Графиката на функцията y \u003d C е показана на фиг. 61 - права линия, успоредна на оста x. Това е толкова безинтересна функция, че няма смисъл да се изброяват нейните свойства.

Графиката на функцията y \u003d kx + m е права линия (фиг. 62, 63).

Свойства на функцията y \u003d kx + m:

1)
2) нараства, ако k > 0 (фиг. 62), намалява, ако k< 0 (рис. 63);

4) няма нито най-големия, нито най-малките стойности;
5) функцията е непрекъсната;
6)
7) няма смисъл да говорим за изпъкналост.

Графиката на функцията y \u003d kx 2 е парабола с връх в началото и с клони, насочени нагоре, ако k\u003e O (фиг. 64), и надолу, ако k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Свойства на функцията y - kx 2:

За случая k > 0 (фиг. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = не съществува;
5) непрекъснато;
6) Е(f) = функцията намалява, а на интервала , намалява на лъча;
7) изпъкнали нагоре.

Графиката на функцията y \u003d f (x) се изгражда точка по точка; колкото повече точки от формата (x; f (x)) вземем, толкова по-точна представа за графиката получаваме. Ако вземем много от тези точки, тогава идеята за графиката ще бъде по-пълна. Именно в този случай интуицията ни казва, че графиката трябва да бъде начертана като плътна линия (в този случай като парабола). И тогава, четейки графиката, правим изводи за непрекъснатостта на функцията, за нейната изпъкналост надолу или нагоре, за диапазона на функцията. Трябва да разберете, че от изброените седем свойства, само свойства 1), 2), 3), 4) са "законни" в смисъл, че можем да ги обосновем, като се позоваваме на точни определения. Имаме само визуално-интуитивни представи за останалите свойства. Между другото, в това няма нищо лошо. От историята на развитието на математиката е известно, че човечеството често и дълго време използва различни свойства на определени обекти, без да знае точните определения. Тогава, когато можеха да се формулират такива определения, всичко си дойде на мястото.

Графиката на функцията е хипербола, координатните оси служат като асимптоти на хиперболата (фиг. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) ако k > 0, тогава функцията намалява върху отворения лъч (-oo, 0) и върху отворения лъч (0, +oo) (фиг. 66); ако да< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не е ограничен нито отдолу, нито отгоре;
4) няма нито най-малката, нито най-голямата стойност;
5) функцията е непрекъсната върху отворения лъч (-oo, 0) и върху отворения лъч (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) ако k > 0, тогава функцията е изпъкнала нагоре при x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, т.е. на отворения лъч (0, +oo) (фиг. 66). Ако да< 0, то функция выпукла вверх при х >o и изпъкнал надолу при x< О (рис. 67).
Графиката на функцията е клон на параболата (фиг. 68). Функционални свойства:
1) D(f) = , нараства върху лъча. На този сегмент $16-x^2≤16$ или $\sqrt(16-x^2)≤4$, но това означава ограниченост отгоре.
Отговор: нашата функция е ограничена от два реда $y=0$ и $y=4$.

Най-висока и най-ниска стойност

Най-малката стойност на функцията y= f(x) върху множеството Х⊂D(f) е някакво число m, така че:

b) За всяко xϵX е валидно $f(x)≥f(x0)$.

Най-голямата стойност на функцията y=f(x) върху множеството Х⊂D(f) е някакво число m, така че:
а) Има някакъв x0 такъв, че $f(x0)=m$.
b) За всяко xϵX, $f(x)≤f(x0)$ е изпълнено.

Най-голямата и най-малката стойност обикновено се означават с y max. и y име. .

Концепциите за ограниченост и най-голямата с най-малка стойност на функция са тясно свързани. Следните твърдения са верни:
а) Ако има най-малка стойност за функция, тогава тя е ограничена отдолу.
б) Ако има максимална стойност за функция, тогава тя е ограничена отгоре.
в) Ако функцията не е ограничена отгоре, тогава няма максимална стойност.
г) Ако функцията не е ограничена отдолу, тогава най-малката стойност не съществува.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Решение: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
За $x=4$ $f(4)=5$, за всички други стойности функцията приема по-малки стойности или не съществува, т.е. това е най-голямата стойност на функцията.
По дефиниция: $9-4x^2+16x≥0$. Да намерим корените квадратен тричлен$(2x+1)(2x-9)≥0$. При $x=-0.5$ и $x=4.5$ функцията изчезва, във всички останали точки е по-голяма от нула. Тогава по дефиниция най-малката стойност на функцията е нула.
Отговор: y макс. =5 и y min. =0.

Момчета, ние също изучавахме понятията за изпъкналост на функция. Когато решаваме някои проблеми, може да се нуждаем от това свойство. Това свойство също се определя лесно с помощта на графики.

Функцията е изпъкнала надолу, ако произволни две точки от графиката на оригиналната функция са свързани и графиката на функцията е под линията, свързваща точките.

Функцията е изпъкнала нагоре, ако произволни две точки от графиката на оригиналната функция са свързани и графиката на функцията е над линията, свързваща точките.

Една функция е непрекъсната, ако графиката на нашата функция няма прекъсвания, като например графиката на функцията по-горе.

Ако искате да намерите свойствата на функция, тогава последователността на търсене на свойства е както следва:
а) Област на дефиниция.
б) Монотонност.
в) ограничение.
г) Най-голямата и най-малката стойност.
д) Приемственост.
е) Диапазон от стойности.

Намерете свойствата на функцията $y=-2x+5$.
Решение.
а) Област на дефиниция D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонност. Нека проверим за всякакви стойности x1 и x2 и нека x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Защото х1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) ограничение. Очевидно функцията не е ограничена.
г) Най-голямата и най-малката стойност. Тъй като функцията не е ограничена, няма максимална или минимална стойност.
д) Приемственост. Графиката на нашата функция няма пропуски, тогава функцията е непрекъсната.
е) Диапазон от стойности. E(y)=(-∞;+∞).

Задачи върху свойствата на функция за самостоятелно решаване

Пределна теорема монотонна функция. Доказателството на теоремата е дадено с помощта на два метода. Дадени са и дефиниции на строго нарастващи, ненамаляващи, строго намаляващи и ненарастващи функции. Дефиниция на монотонна функция.

Определения

Дефиниции на нарастващи и намаляващи функции
Нека функцията f (х)е дефинирано върху някакъв набор от реални числа X .
Функцията се извиква строго нарастващ (строго намаляващ), ако за всички x′, x′′ ∈ Xтака че x′< x′′ выполняется неравенство:
f (х')< f(x′′) (е (x′) > f(x′′) ) .
Функцията се извиква ненамаляващ (ненарастващ), ако за всички x′, x′′ ∈ Xтака че x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(е (x′) ≥ f(x′′) ) .

Това означава, че една строго нарастваща функция също е ненамаляваща. Строго намаляваща функция също е ненарастваща.

Дефиниция на монотонна функция
Функцията се извиква монотоненако не намалява или не нараства.

За да изследвате монотонността на функция на някакъв набор X, трябва да намерите разликата на нейните стойности в две произволни точки, принадлежащи на този набор. Ако , тогава функцията е строго нарастваща; ако , тогава функцията не намалява; ако , тогава строго намалява; ако , тогава не се увеличава.

Ако на някакъв набор функцията е положителна: , тогава за да се определи монотонността, може да се изследва коефициентът на разделяне на нейните стойности в две произволни точки от този набор. Ако , тогава функцията е строго нарастваща; ако , тогава функцията не намалява; ако , тогава строго намалява; ако , тогава не се увеличава.

Теорема
Нека функцията f (х)не намалява през интервала (a,b), където .
Ако тя е ограничена отгоре с числото M : , то в точката b : има крайна лява граница. Ако f (х)не е ограничен отгоре, тогава .
Ако f (х)е ограничено отдолу с числото m : , то в точката a : има крайна дясна граница. Ако f (х)не е ограничен отдолу, тогава .

Ако точките a и b са в безкрайност, тогава в изразите граничните знаци означават, че .
Тази теорема може да се формулира по-компактно.

Нека функцията f (х)не намалява през интервала (a,b), където . След това има едностранни граници в точки a и b:
;
.

Подобна теорема за ненарастваща функция.

Нека функцията не нараства на интервала , където . След това има едностранни ограничения:
;
.

Последица
Нека функцията е монотонна на интервала . Тогава във всяка точка от този интервал има едностранни крайни граници на функцията:
и .

Доказателство на теоремата

Функцията не намалява

b - крайно число

Функцията е ограничена отгоре

1.1.1. Нека функцията е ограничена отгоре от числото M : за .

.
;
.

Тъй като функцията не намалява, тогава за . Тогава
при .
Нека трансформираме последното неравенство:
;
;
.
Защото тогава. Тогава
при .

при .
„Дефиниции на едностранни граници на функция в крайна точка“).

Функцията не е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала .
1.1. Нека числото b е крайно: .
1.1.2. Нека функцията е неограничена отгоре.
Нека докажем, че в този случай има граница.

.

при .

Нека обозначим . Тогава за всяко съществува , така че
при .
Това означава, че границата отляво в точка b е (вижте "Дефиниции на едностранни безкрайни граници на функция в крайната точка").

b рано плюс безкрайност

Функцията е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала .
1.2.1. Нека функцията е ограничена отгоре от числото M : за .
Нека докажем, че в този случай има граница.

Тъй като функцията е ограничена отгоре, има крайна горна граница
.
Съгласно дефиницията на най-малката горна граница са изпълнени следните условия:
;
за всяко положително има аргумент, за който
.

Тъй като функцията не намалява, тогава за . След това в . Или
при .

Така че открихме, че за всяко съществува число , така че
при .
„Дефиниции на едностранни граници в безкрайност“).

Функцията не е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала .
1.2. Нека числото b е плюс безкрайност: .
1.2.2. Нека функцията е неограничена отгоре.
Нека докажем, че в този случай има граница.

Тъй като функцията не е ограничена отгоре, тогава за всяко число M има аргумент , за който
.

Тъй като функцията не намалява, тогава за . След това в .

И така, за всяко има число, така че
при .
Това означава, че границата при е (вижте „Дефиниции на едностранни безкрайни граници при безкрайност“).

Функцията не се увеличава

Сега разгледайте случая, когато функцията не нараства. Можете, както по-горе, да разгледате всяка опция поотделно. Но ние ще ги покрием веднага. За това използваме. Нека докажем, че в този случай има граница.

Помислете за крайната долна граница на набора от функционални стойности:
.
Тук B може да бъде или крайно число, или точка в безкрайност. Съгласно дефиницията на точния инфимум са изпълнени следните условия:
;
за всяка околност на точка B има аргумент, за който
.
По условието на теоремата, . Ето защо .

Тъй като функцията не нараства, тогава за . От тогава
при .
Или
при .
Освен това отбелязваме, че неравенството определя лявата пунктирана околност на точката b.

И така, открихме, че за всяка околност на точката, има такава пробита лява околност на точка b, че
при .
Това означава, че границата отляво в точка b е:

(виж универсалната дефиниция на лимита на функция по Коши).

Ограничение в точка а

Сега нека покажем, че има граница в точка а и да намерим нейната стойност.

Нека разгледаме функция. По условието на теоремата функцията е монотонна за . Нека заменим променливата x с - x (или направим заместването и след това заменим променливата t с x). Тогава функцията е монотонна за . Умножавайки неравенствата по -1 и променяйки реда им, заключаваме, че функцията е монотонна за .

По подобен начин е лесно да се покаже, че ако не намалява, значи не се увеличава. Тогава, според доказаното по-горе, има граница
.
Ако не се увеличава, значи не намалява. В този случай има ограничение
.

Сега остава да покажем, че ако има граница на функцията при , то има граница на функцията при , и тези граници са равни:
.

Нека въведем обозначението:
(1) .
Нека изразим f чрез g:
.
Вземете произволно положително число. Нека има епсилон околност на точка A . Епсилон околността е дефинирана както за крайни, така и за безкрайни стойности на A (вижте „Околност на точка“). Тъй като има граница (1), тогава, според дефиницията на граница, за всяко съществува такова, че
при .

Нека a е крайно число. Нека изразим лявата пунктирана околност на точката -a с помощта на неравенствата:
при .
Нека заменим x с -x и вземем предвид, че:
при .
Последните две неравенства определят пунктирана дясна околност на точка a . Тогава
при .

Нека a е безкрайно число, . Повтаряме дискусията.
в ;
в ;
в ;
при .

И така, открихме, че за всяко съществува такова, че
при .
Означава, че
.

Теоремата е доказана.

Ще наречем функцията y=f(x) ОГРАНИЧЕНА НАГОРЕ (ДОЛУ) на множеството A от областта D(f), ако има такова число М , че за всяко x от това задайте условието

Използвайки логически символи, определението може да бъде написано като:

f(x) – ограничена отгоре на множеството

(f(x) – ограничена отдолу на комплекта

Въвеждат се под внимание и функции, ограничени по абсолютна стойност или просто ограничени.

Ще извикаме функция ОГРАНИЧЕНА в множеството A от областта на дефиницията, ако съществува положително число M, така че

На езика на логическите символи

f(x) – ограничен на снимачната площадка

Функция, която не е ограничена, се нарича неограничена. Знаем, че определенията, дадени чрез отрицание, имат малко съдържание. За да формулираме това твърдение като дефиниция, използваме свойствата на кванторните операции (3.6) и (3.7). Тогава отричането на ограничеността на функцията на езика на логическите символи ще даде:

f(x) – ограничен на снимачната площадка

Полученият резултат ни позволява да формулираме следното определение.

Функция се нарича НЕОГРАНИЧЕНА на множеството A, което принадлежи на домейна на функцията, ако на това множество за всяко положително число M има такава стойност на аргумента x , че стойността все още ще надвишава стойността на M, т.е.

Като пример, разгледайте функцията

Дефинира се по цялата реална ос. Ако вземем отсечката [–2;1] (множество A), то върху нея тя ще бъде ограничена както отгоре, така и отдолу.

Наистина, за да покажем, че е ограничен отгоре, трябва да разгледаме предиката

и покажете, че има (съществува) M такова, че за всички x, взети на сегмента [–2;1], ще бъде вярно

Не е трудно да се намери такъв М. Можем да приемем, че M = 7, кванторът на съществуване предполага намиране на поне една стойност на M. Наличието на такова M потвърждава факта, че функцията на сегмента [–2;1] е ограничена отгоре.

За да докажем неговата ограниченост отдолу, трябва да разгледаме предиката

Стойността на M, която гарантира истинността на този предикат, е например M = -100.

Може да се докаже, че функцията също ще бъде ограничена по модул: за всички x от сегмента [–2;1] стойностите на функцията съвпадат със стойностите на , следователно като M можем да вземем , например предишната стойност на M = 7.

Нека покажем, че същата функция, но на интервала , ще бъде неограничена, т.е.

За да покажем, че такова x съществува, разгледайте твърдението

Търсейки необходимите стойности на x сред положителните стойности на аргумента, получаваме

Това означава, че без значение какво положително M приемаме, стойностите на x, които осигуряват изпълнението на неравенството

се получават от съотношението.

Като се има предвид функция върху цялата реална ос, може да се покаже, че тя е неограничена по абсолютна стойност.

Наистина от неравенството

Тоест, без значение колко голямо е положителното M, или ще осигури изпълнението на неравенството.

ИЗКЛЮЧИТЕЛНА ФУНКЦИОНАЛНОСТ.

Функцията има в точката с локален максимум (минимум), ако има такава околност на тази точка, че за х¹ с това съседство удовлетворява неравенството

особено че екстремалната точка може да бъде само вътрешна точка на празнината и f(x) трябва да бъде дефинирана в нея. Възможните случаи на липса на екстремум са показани на фиг. 8.8.

Ако функция нараства (намалява) на някакъв интервал и намалява (увеличава) на някакъв интервал, тогава точката с е местната максимална (минимална) точка.

Липсата на максимум на функцията f(x) в точка с може да се формулира така:

_______________________

f(x) има максимум при c

Това означава, че ако точката c не е локална максимална точка, тогава без значение какъв е кварталът, който включва точката c като вътрешна, има поне една стойност на x, която не е равна на c, за която . По този начин, ако няма максимум в точка c, тогава може изобщо да няма екстремум в тази точка или може да е минимална точка (фиг. 8.9).

Концепцията за екстремум дава сравнителна оценка на стойността на функция във всяка точка по отношение на близките. Подобно сравнение на стойностите на функцията може да се направи за всички точки от някакъв интервал.

НАЙ-ГОЛЯМАТА (МИНИМАЛНА) стойност на функция в набор е нейната стойност в точка от този набор, така че – при . Най-голяма стойност на функцията се постига във вътрешната точка на отсечката , а най-малка – в левия му край.

За да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция, дадена на сегмент, е необходимо да се избере най-голямото (най-малкото) число сред всички стойности на неговите максимуми (минимуми), както и стойности, взети при краищата на интервала. Това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията. Това правило ще бъде уточнено по-късно.

Проблемът с намирането на най-големите и най-малките стойности на функция на отворен интервал не винаги е лесно решен. Например функцията

в интервала (фиг. 8.11) ги няма.

Нека се уверим например, че тази функция няма най-голямата стойност. Наистина, като се има предвид монотонността на функцията, може да се твърди, че независимо колко близо сме задали стойностите на x вляво от единица, ще има други x, в които стойностите на функцията ще бъдат по-големи от неговите стойности в дадените фиксирани точки, но все пак по-малки от единица.