); showPlots(;0 без оси0);

Ориз. 1.10: Кубоид

1.3 Свойства на успоредни сечения в пирамида

1.3.1 Теореми за сечения в пирамида

Ако пирамидата (1.11) се пресича от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ръбове и височината се разделят от тази равнина на пропорционални части;

2) в разрез се получава многоъгълник (abcde), подобен на основата;

3) площите на сечението и основата са свързани като квадрати на техните разстояния от върха.

1) Правите ab и AB могат да се разглеждат като пресечни линии на две успоредни равнини (база и секуща) с третата равнина ASB; така abkAB. По същата причина bckBC, cdkCD.... и amkAM; по този начин

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) От подобието на триъгълници ASB и aSb, след това BSC и bSc и т.н. извличаме:

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS ; CS cS = CD cd ;

BC bc = CD cd

Ще докажем и пропорционалността на останалите страни на многоъгълниците ABCDE и abcde.Освен това, тъй като тези многоъгълници имат съответните ъгли (като образувани от успоредни и еднакво насочени страни), те са подобни. Площите на подобни многоъгълници са свързани като квадратите на подобни страни; Ето защо

AB ab = AS as = M msS ;






set2D(1; 9; 1; 14);

;0 тире0);

			Ориз. 1.11: Пирамида
p5 = pointPlot(
p5 = pointPlot(

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 до 0; 0 b 0; 0 c 0; 0d0; 0M0; 0m0; 0S0];

); showPlots(;0 без оси0);

1.3.2 Последица

За правилна пресечена пирамида горната основа е правилен многоъгълник, подобен на долната основа, а страничните стени са равни и равностранни трапеци (1.11).

Височината на всеки от тези трапеци се нарича апотема на правилна пресечена пирамида.

1.3.3 Теорема за паралелно сечение в пирамида

Ако две пирамиди с еднаква височина са разчленени на еднакво разстояние от върха с равнини, успоредни бази, тогава площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (1.12) B и B1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, b и b1 са площите на сеченията с равнини, успоредни на основите и на същото разстояние h от върховете.

Според предишната теорема ще имаме:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = таблица (			;0 стрелка0 );

p11 = таблица (			;0 стрелка0 );

p12 = таблица (			;0 стрелка0 );

p13 = таблица (			;0 стрелка0 );

p14 = таблица (				;0 тире0);

Въпрос:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Площта на основата е 1690dm2, а площта на напречното сечение е 10dm2. В какво съотношение, считано от върха, равнината на сечение разделя височината на пирамидата?

Отговори:

успоредна равнина пресича пирамида, подобна на тази (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Подобни въпроси

Тест по темата: "Правопис на наречия" Проверяваме правописа на наречия, отделни и непрекъснат правописне с наречия, слято, отделно, сричкопренасяне наречия Вариант 1. 1. Отворете скобите. Маркирайте "третото допълнително": а) седеше (все още) неподвижно; видях (не) надявам се; пееше (не) силно; б) никак (не) закъснява; никак (не) красива; много (не) приличен; в) (не) приятелски настроен; (не) по свой начин; (не правилно; г) (не) нелепо; (не) объркващ; (не)близо, а далече; д) изключително (не) принудително; много (не)привлекателен; изобщо не (не) заплашително; 2. "Не" се пише слято във всички думи от редицата: а) (не)вярно; (не)веве; (не) приятно; изобщо (не) интересно; б) (не) се чудете; (несправедливост; съвсем не (не) далеч; (не) весел; в) (не) искрено; (не) красив; (не) възмутен; (неизискващ; г) (невежество); (не) пристигане; (не) глупости; (в грешно време; 3. Изберете ред с отрицателни наречия: а) никак; Никой; никъде; с никого; б) никъде Никой; никога; никъде; в) изобщо не; въобще не; никъде; няма нужда; 4. Намерете „третото допълнително“: а) n ... почти уплашен; n ... как не намерих; n ... колко пъти; б) n ... къде да отида; n ... защо питам; n ... колкото и да завиждате; в) n ... колкото и да е разстроен; n ... когато не е ядосан; n ... къде да очаквам; 5. "Нн" се пише във всички думи от поредицата: а) беше ... за предене; говореше страх...о; работеше отчаяно...о; б) внезапно потръпна ... о; привлече квалифициран ... о; няма работно време… о; в) говори развълнувано ... за; напусна неочаквано ... о; Пута отговори ... о; 6. Определете изречението с наречие: а) Срещата е развълнувана ... от съобщението. б) Обществото беше развълнувано... о. в) Тя говореше развълнувано ... о. В наречието се пише _____________________________________ 7. Поставете пропуснатите букви. Маркирайте „четвъртата екстра“: а) горещо ...; свежо...; брилянтен ...; добре…; б) още ...; мелодичен ...; вискозен ..; зловещ...; в) багаж ... m; вече ... м; износване ... та; нож ... m; г) оригване ... нок; skvorch ... nok; череша ... нка; таралеж ... нок; 8. Запишете буквите, обозначаващи наречията, които се пишат с наставки - а и - о: а о а) отдалеч ...; б) подновяване ...; в) глух ...; г) надясно ...; д) бяло ...; д) искане ...; ж) от млади години ...; з) суха ...; и) синове ...; Запишете наречие, което няма наставки - а и - о: __________________________ Вариант 2. 1. Отворете скобите. Маркирайте „третото допълнително“: а) никак (не) интересно; напълно (не)интересно; далеч (не) забавно; б) (не) приятелски настроен; (не) по нашенски; (грешно; в) (не) хармоничен; (не) приятелски настроен; (не) добър, а лош; г) чете (не)изразително; погледна (не) с недоумение; живял (не)далече; д) много (не) красива; никога не е твърде късно; изключително (не) замислено; 2. „Не“ се пише слято във всички думи от поредицата: а) (не) малко; (не) нелепо; (в) разбираемо; (не) криене; б) (не) небрежно; (неискреност; (не) красива; (не) замислен; в) далеч (не) забавно; (не) исках; (не далеч; (проблем; г) (не)навреме; (неподвижен; (не)казване; (не) доверчив; 3. Маркирайте ред с отрицателни наречия: а) нищо; никъде; никъде; много; б) изобщо не; няма нужда; няма начин; никъде; в) нищо; Никой; никой; Никой; 4. Намерете "третото допълнително": а) нямаше ... къде; п...защо да питам; п ... когато беше кочияш; б) не боли n ... малко; п ... колко не скърби; n...къде да отседна; в) n ... където няма да отида; n ... когато не питам; бях n ... когато; 5. "N" се пише във всички думи от поредицата: а) няма вятър на улицата ... o; отговаряща мисъл ... за; нежда дойде ... о-негада ... о; б) говори мъдро ... за; влезе във вятъра ... о; пута каза ... о; в) завъртя се бясно ... о; пееше проникновено ... о; работих ентусиазирано ... о; 6. Определете изречението с наречие: а) Решението му ще бъде обмислено ... о, професионално. Б) Той винаги действа обмислено... о. В) Всичко беше внимателно обмислено ... о. 7. Въведете пропуснатите букви. Отбележете „четвърто допълнително“: а) говорете общо ...; горещо…; свежо...; изтощително...; б) приятел ... на; каишка ... към; петел ... до; виш ... нка; в) още ...; протестиращ...; обаждане...; зловещ...; г) лекар ... м; бърз ... m; печат...t; спестявам ... t; 8. Напишете в клетките букви, обозначаващи наречия, които се пишат с наставки - а и - о: а о а) първи ...; б) от малък ...; в) светне ...; г) наляво ...; д) чист ...; д) нажежен до червено ...; g) наляво ...; з) тъмно ...; и) за дълго време ...; Запишете наречие, което няма наставки - а и - о: _________________________________

Как можете да построите пирамида? На повърхността Рконструирайте някакъв многоъгълник, например петоъгълника ABCDE. Извън самолета Рвземете точката S. Свързвайки точката S с отсечки с всички точки на многоъгълника, получаваме пирамидата SABCDE (фиг.).

Точка S се нарича връх, а многоъгълникът ABCDE - базатази пирамида. Така пирамида с връх S и основа ABCDE е обединението на всички сегменти, където M ∈ ABCDE.

Триъгълниците SAB, SBC, SCD, SDE, SEA се наричат странични лицапирамиди, общи страни на странични лица SA, SB, SC, SD, SE - странични ребра.

Пирамидите се наричат триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. На фиг. дадени са изображения на триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

Равнината, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата, се нарича диагонал, и полученото напречно сечение - диагонал.На фиг. 186 един от диагоналните сечения шестоъгълна пирамидазасенчен.

Отсечката от перпендикуляра, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа, се нарича височина на пирамидата (краищата на тази отсечка са върха на пирамидата и основата на перпендикуляра).

Пирамидата се нарича правилноако основата на пирамидата е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в нейния център.

Всички странични лица правилна пирамидаса еднакви равнобедрени триъгълници. В правилната пирамида всички странични ръбове са еднакви.

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха й, се нарича апотемапирамиди. Всички апотеми на правилната пирамида са еднакви.

Ако обозначим страната на основата като а, и апотема през ч, тогава площта на едната странична повърхност на пирамидата е 1/2 ах

Сумата от площите на всички странични лица на пирамидата се нарича площ на страничната повърхностпирамиди и се обозначава със страна S.

Тъй като страничната повърхност на правилната пирамида се състои от нтогава конгруентни лица

S страна = 1/2 ан= П ч / 2 ,

където P е периметърът на основата на пирамидата. Следователно,

S страна = П ч / 2

т.е. площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата

S = S ocn. + S страна. .

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа S ocn. до височина H:

V = 1 / 3 S ocn. Н.

Извеждането на тази и някои други формули ще бъде дадено в следваща глава.

Сега нека построим пирамида по различен начин. Нека е даден полиедърен ъгъл, например петстранен, с връх S (фиг.).

Начертайте равнина Ртака че да пресича всички ръбове на даден полиедърен ъгъл в различни точки A, B, C, D, E (фиг.). Тогава пирамидата SABCDE може да се разглежда като пресечната точка на многостенния ъгъл и полупространството с границата Р, който съдържа върха S.

Очевидно броят на всички лица на пирамидата може да бъде произволен, но не по-малко от четири. Когато равнина пресича тристенен ъгъл, се получава триъгълна пирамида, която има четири лица. Всяка триъгълна пирамида понякога се нарича тетраедър, което означава четириъгълник.

пресечена пирамидаможе да се получи, ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата.

На фиг. дадено е изображението на четириъгълна пресечена пирамида.

Нар. пресечени пирамиди триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. От конструкцията на пресечена пирамида следва, че тя има две основи: горна и долна. Основите на пресечена пирамида са два многоъгълника, чиито страни са успоредни по двойки. Страничните стени на пресечена пирамида са трапецовидни.

ВисочинаПресечена пирамида е сегмент от перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на горната основа към равнината на долната.

Правилна пресечена пирамиданаречена част от правилна пирамида, затворена между основата и равнина на сечение, успоредна на основата. Височината на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида (трапец) се нарича апотема.

Може да се докаже, че правилната пресечена пирамида има еднакви странични ръбове, всички странични стени са еднакви и всички апотеми са еднакви.

Ако в правилното съкратено н- въглищна пирамида през аи b nобозначават дължините на страните на горната и долната основа и през ч- дължината на апотемата, тогава площта на всяка странична повърхност на пирамидата е

1 / 2 (а + b n) ч

Сумата от площите на всички странични стени на пирамидата се нарича площ на нейната странична повърхност и се обозначава като S страна. . Очевидно, за редовно съкратено н- въглищна пирамида

S страна = н 1 / 2 (а + b n) ч.

защото па= P и nb n\u003d P 1 - периметрите на основите на пресечената пирамида, след това

S страна \u003d 1 / 2 (P + P 1) ч,

площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на половината от произведението на сумата от периметрите на нейните основи и апотемата.

Разрез, успореден на основата на пирамидата

Теорема. Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ребра и височината ще бъдат разделени на пропорционални части;

2) в участъка получавате многоъгълник, подобен на основата;

3) площите на сечението и основата се отнасят като квадрати на разстоянията им от върха.

Достатъчно е да докажем теоремата за триъгълна пирамида.

Тъй като успоредните равнини се пресичат от третата равнина по успоредни прави, тогава (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (фиг.).

Успоредните линии нарязват страните на ъгъла на пропорционални части и следователно

Следователно ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 и

По този начин,

Съответните ъгли на триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са еднакви, като ъгли с успоредни и еднакво насочени страни. Ето защо

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Площите на подобни триъгълници се отнасят като квадратите на съответните страни:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

Следователно,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Теорема. Ако две пирамиди с еднаква височина са разчленени на еднакво разстояние от върха с равнини, успоредни на основите, то площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (фиг. 84) B и B 1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, bи b 1 - площи на напречно сечение от равнини, успоредни на основите и отстранени от върховете на същото разстояние ч.

Според предишната теорема ще имаме:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: и \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
където
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: или \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Последица.Ако B \u003d B 1, тогава и b = b 1 , т.е. ако две пирамиди с еднакви височини имат еднакви основи, то сеченията, които са на еднакво разстояние от върха, също са равни.

Други материали

ГЛАВА ТРЕТА

ПОЛИЕДРИ

1. ПАРАЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА

Свойства на успоредни сечения в пирамида

74. Теорема. Ако пирамидата (dev. 83) пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ръбове и височината се разделят от тази равнина на пропорционални части;

2) напречното сечение е многоъгълник (а б В Г Д ), подобен на земята;

3) площите на сечението и основата са свързани като квадрати на техните разстояния от върха.

1) Директен аби AB могат да се разглеждат като линии на пресичане на две успоредни равнини (основа и секуща) от третата равнина ASB; Ето защо аб||AB (§ 16). По същата причина пр.н.е||пр.н.е., cd||CD, ... и при||АМ; по този начин

С а / а A=S b / b B=S ° С / ° С C=...=S м / мМ

2) От подобието на триъгълници ASB и аС b, след това BSC и bС ° Си т.н. изход:

AB / аб= BS / bs; BS / bs= пр.н.е / пр.н.е ,

AB / аб= пр.н.е / пр.н.е

пр.н.е / пр.н.е= CS / cs; CS / cs= CD / cdоткъдето пр.н.е / пр.н.е= CD / cd .

Ще докажем и пропорционалността на останалите страни на многоъгълниците ABCDE и а б В Г Д. Освен това, тъй като тези многоъгълници имат равни съответни ъгли (като образувани от успоредни и еднакво насочени страни), те са подобни.

3) Областите на подобия на многоъгълници се отнасят като квадрати с еднакви страни; Ето защо

75. Последствие. Правилният пресечена пирамидагорната основа е правилен многоъгълник, подобен на долната основа, а страничните стени са равни и равнобедрени трапеци(dev. 83).

Височината на всеки от тези трапеци се нарича апотемаправилна пресечена пирамида.

76. Теорема. Ако две пирамиди с еднаква височина са разчленени на еднакво разстояние от върха с равнини, успоредни на основите, то площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Според предишната теорема ще имаме:

77. Последствие.Ако B \u003d B 1, тогава и b = b 1 , т.е. ако две пирамиди с еднакви височини имат еднакви основи, то сеченията, които са на еднакво разстояние от върха, също са равни.