Както в евклидовата геометрия, точката и правата са основните елементи на теорията на равнините, така че успоредникът е един от ключови фигуриизпъкнали четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.
Във връзка с
Дефиниция на успоредник
изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.
Как изглежда класическият успоредник е четириъгълник ABCD. Страните се наричат основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от произволен връх към противоположната страна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD са диагонали.
внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.
Страни и ъгли: характеристики на съотношението
Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:
- Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
- Ъгли, които са противоположни един на друг, са равни по двойки.
Доказателство: разгледайте ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълник ABCD на права AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият критерий за равенство на триъгълниците).
Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са еднакви по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.
Характеристики на диагоналите на фигурата
Основна характеристикатези успоредни прави: точката на пресичане ги разполовява.
Доказателство: нека m.E е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.
AB=CD, тъй като те са противоположни. Според прави и секущи, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.
Според втория знак за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE са: AE = CE, BE = DE и освен това те са съизмерими части на AC и BD. Имотът е доказан.
Характеристики на съседни ъгли
При съседните страни сумата от ъглите е 180°защото са от една и съща страна паралелни линиии секанс. За четириъгълник ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Свойства на ъглополовящата:
- , паднали на една страна, са перпендикулярни;
- срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
- триъгълникът, получен чрез изчертаване на ъглополовящата, ще бъде равнобедрен.
Определяне на характеристиките на успоредник по теоремата
Характеристиките на тази фигура следват от основната й теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.
Доказателство: Нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в t.E. Тъй като ∠AED = ∠BEC и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия знак за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните ъгли на пресичане на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.
Изчисляване на площта на фигура
Площта на тази фигура намерени по няколко начинаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.
Доказателство: Начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен на правоъгълника EBCF, тъй като те също се състоят от пропорционални фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на това геометрична фигурае разположен по същия начин като правоъгълник:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
За определяне обща формулаплощта на успоредника, означете височината като hb, и отстрани b. Съответно:
Други начини за намиране на площ
Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.
,
Спр-ма - площ;
a и b са неговите страни
α - ъгъл между сегменти a и b.
Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри са тригонометрични тъждества, това е . Преобразувайки съотношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.
През диагоналите на успоредник и ъгъл,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.
Доказателство: пресичащите се AC и BD образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.
Площта на всеки от тези ∆ може да се намери от израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , тогава в изчисленията се използва една единствена стойност на синуса. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формулата за площ се редуцира до:
.
Приложение във векторната алгебра
Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно: добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториинеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.
Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - изграждаме вектори и . След това изграждаме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.
Формули за изчисляване на параметрите на успоредник
Идентичностите се дават при следните условия:
- a и b, α - страни и ъгълът между тях;
- d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
- h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;
| Параметър | Формула |
| Намиране на страни | |
| по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях | 
|
| диагонално и настрани | 
|
| през височина и срещуположния връх | |
| Намиране на дължината на диагоналите | |
| отстрани и размера на горната част между тях | |
| по страните и един от диагоналите | 
ЗаключениеПаралелограмът, като една от ключовите фигури на геометрията, се използва в живота, например в строителството при изчисляване на площта на обекта или други измервания. Следователно знанията за отличителните характеристики и методите за изчисляване на различните му параметри могат да бъдат полезни по всяко време в живота. |
При решаване на задачи по тази тема, в допълнение към основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:
- Ъглополовящата на вътрешния ъгъл на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него
- Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
- Симетрали, идващи от противоположни вътрешни ъгли на успоредник, успоредни един на друг или лежащи на една права линия
- Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
- Площта на успоредник е половината от произведението на диагоналите по синуса на ъгъла между тях.
Нека разгледаме задачите, при решаването на които се използват тези свойства.
Задача 1.
Симетралата на ъгъл C на успоредника ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.
Решение.
1. Триъгълник CMD равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.
2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Периметър ABCD = 20 cm.
Отговор. 20 см
Задача 2.
В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че дадения четириъгълник е успоредник.
Решение.
1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условието на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.
2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна на правата AD. BE = CF. Следователно линията BC || AD. (*)
3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условието на задачата лицата на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.
4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна на правата CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)
5. Условията (*), (**) означават, че ABCD е успоредник.
Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.
Задача 3.
Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точките M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,
Решение.
1. В триъгълника DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В правоъгълен триъгълник DHC Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Задача 4. Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал. Решение.
1. AO = 2√6. 2. Приложете синусовата теорема към триъгълника AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Отговор: 12.
Задача 5. За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите. Решение.
Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е φ. 1. Нека преброим две различни S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Използвайки съотношението между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Да направим система: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото. Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24. Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24. Отговор: 24.
Задача 6. Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45o. Намерете площта на успоредника. Решение.
1. От триъгълника AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD. Отчитаме това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Имаме система Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 = 10. Забележка:В тази и в предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се предвиди, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта. Отговор: 10. Задача 7. Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал. Решение.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Нека направим заместване във формулата. Получаваме 96 = 8 15 sin VAD. Следователно sin VAD = 4/5. 2. Намерете cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25. Според условието на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът BD ще бъде по-малък, ако ъгъл BAD е остър. Тогава cos BAD = 3/5. 3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Отговор: 145.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача? сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна. Успоредник - геометрична фигура, често срещана в задачите от курса по геометрия (раздел планиметрия). Основните характеристики на този четириъгълник са равенството на противоположните ъгли и наличието на две двойки успоредни противоположни страни. Специални случаи на успоредник са ромб, правоъгълник, квадрат. Изчисляването на площта на този тип полигон може да се извърши по няколко начина. Нека разгледаме всеки от тях. За да изчислите площта на паралелограма, можете да използвате стойностите на неговата страна, както и дължината на височината, спусната върху нея. В този случай получените данни ще бъдат надеждни както при известна страна - основата на фигурата, така и ако имате на разположение страната на фигурата. В този случай желаната стойност ще бъде получена по формулата: S = a * h(a) = b * h(b), Пример: стойността на основата на успоредника е 7 cm, дължината на перпендикуляра, пуснат върху него от противоположния връх, е 3 cm. Решение: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Разгледайте случая, когато знаете големината на двете страни на фигурата, както и градусната мярка на ъгъла, който те образуват една с друга. Предоставените данни могат да се използват и за намиране на площта на успоредника. В този случай изразът на формулата ще изглежда така: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Пример: основата на успоредник е 10 см, страната му е с 4 см по-малка. Тъпият ъгъл на фигурата е 135°. Решение: определете стойността на втората страна: 10 - 4 \u003d 6 cm. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2. Наличието на известни стойности на диагоналите на даден многоъгълник, както и ъгълът, който те образуват в резултат на тяхното пресичане, ви позволява да определите площта на фигурата. S = (d1*d2)/2*sinγ, S е площта, която трябва да се определи, Преди да научим как да намерим площта на успоредник, трябва да си спомним какво е успоредник и какво се нарича неговата височина. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни (лежат на успоредни прави). Перпендикулярът, прекаран от произволна точка на противоположната страна към правата, съдържаща тази страна, се нарича височина на успоредника. Квадрат, правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник. Площта на успоредник се обозначава като (S). S=a*h, където a е основата, h е височината, която е начертана към основата. S=a*b*sinα, където a и b са основите, а α е ъгълът между основите a и b. S \u003d p * r, където p е полупериметърът, r е радиусът на окръжността, която е вписана в паралелограма. Площта на успоредника, образуван от векторите a и b, е равна на модула на произведението на дадените вектори, а именно: Помислете за пример № 1: Даден е паралелограм, чиято страна е 7 см, а височината е 3 см. Как да намерим площта на успоредник, имаме нужда от формула за решаване. Така че S= 7x3. S=21. Отговор: 21 см 2. Разгледайте пример № 2: Основите са 6 и 7 см, а ъгълът между основите е 60 градуса. Как да намерите площта на успоредник? Формула, използвана за решаване: Така първо намираме синуса на ъгъла. Синус 60 \u003d 0,5, съответно S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Отговор: 21 cm 2. Надявам се, че тези примери ще ви помогнат при решаването на проблеми. И не забравяйте, че основното е познаването на формулите и вниманието Успореднике четириъгълник, чиито страни са по двойки успоредни. На тази фигура противоположните страни и ъгли са равни един на друг. Диагоналите на успоредник се пресичат в една точка и го разполовяват. Формулите за площ на паралелограма ви позволяват да намерите стойността чрез страните, височината и диагоналите. Успоредникът може да бъде представен и в специални случаи. Те се считат за правоъгълник, квадрат и ромб. Този случай се счита за класически и не изисква допълнително разследване. По-добре е да разгледате формулата за изчисляване на площта през две страни и ъгъла между тях. При изчислението се използва същият метод. Ако са дадени страните и ъгълът между тях, тогава площта се изчислява, както следва: Да предположим, че ни е даден успоредник със страни a = 4 см, b = 6 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Да намерим областта: Помислете за пример за изчисляване на площта на успоредник чрез диагонали. Нека е даден успоредник с диагонали D = 7 см, d = 5 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Заместете данните във формулата: Познавайки формулата за площта на успоредник по отношение на диагонал, можете да решите много интересни задачи. Нека разгледаме един от тях.
(
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30 o, е равен на половината от хипотенузата).
начини от своята област.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
Намерете площта на успоредник, ако страната и височината са известни
Намерете лицето на успоредник, ако са известни 2 страни и ъгълът между тях
Намерете площта на успоредник, ако са известни диагоналите и ъгълът между тях
S = (d1*d2)/2*sinφ,
d1, d2 са известни (или изчислени) диагонали,
γ, φ са ъглите между диагоналите d1 и d2.Формули за намиране на площта на успоредник
Първо, нека разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник по височина и страната, на която е спусната.
Площ на успоредник по диагонали
Формулата за площта на успоредник по отношение на диагонали ви позволява бързо да намерите стойността.
За изчисления се нуждаете от стойността на ъгъла, разположен между диагоналите.
Пример за изчисляване на площта на успоредник през диагонал ни даде отличен резултат - 8,75.
Задача:Даден е успоредник с площ 92 кв. вижте Точка F се намира в средата на неговата страна BC. Нека намерим площта на трапеца ADFB, който ще лежи в нашия успоредник. Като начало нека начертаем всичко, което получихме според условията.
Да стигнем до решението: 
Според нашите условия, ah \u003d 92 и съответно площта на нашия трапец ще бъде равна на 
