Б) Числова ос

Помислете за числовата линия (фиг. 6):

Разгледайте набора от рационални числа

Всяко рационално число е представено от някаква точка на числовата ос. И така, числата са отбелязани на фигурата.

Нека докажем това.

Доказателство.Нека има дроб: . Имаме право да считаме тази дроб за несъкратима. Тъй като , тогава - числото е четно: - нечетно. Заменяйки израза вместо него, намираме: , откъдето следва, че е четно число. Получихме противоречие, което доказва твърдението.

Така че не всички точки от числовата ос представляват рационални числа. Тези точки, които не представляват рационални числа, представляват извиканите числа ирационален.

Всяко число от формата , , е или цяло число, или ирационално.

Числови обхвати

Числовите отсечки, интервали, полуинтервали и лъчи се наричат ​​числови интервали.

Неравенство, определящо числова празнина	Нотация за празнина в числата	Името на диапазона от числа	Той гласи така:
a ≤ x ≤ b	[а; b]	Числен сегмент	Отсечка от a до b
а< x < b	(а; b)	Интервал	Интервал от a до b
a ≤ x< b	[а; b)	Половин интервал	Половин интервал от апреди b, включително а.
а< x ≤ b	(а; b]	Половин интервал	Половин интервал от апреди b, включително b.
x ≥ a	[а; +∞)	номер лъч	Номер лъч от адо плюс безкрайност
x > a	(а; +∞)	Отворен номер лъч	Отворен номер лъч от адо плюс безкрайност
x ≤ a	(-∞; а]	номер лъч	Числов лъч от минус безкрайност до а
х< a	(-∞; а)	Отворен номер лъч	Отворен числов лъч от минус безкрайност до а

Нека представим на координатната права числата аи b, както и броят хмежду тях.

Наборът от всички числа, които отговарят на условието a ≤ x ≤ b, е наречен числов сегментили просто разрез. Маркира се така: а; b]-Чете се така: отсечка от a до b.

Наборът от числа, които отговарят на условието а< x < b , е наречен интервал. Маркира се така: а; b)

Той се чете така: интервалът от a до b.

Набори от числа, отговарящи на условията a ≤ x< b или а<x ≤ b, са наречени полуинтервали. Обозначения:

Задайте a ≤ x< b обозначается так:[а; b), се чете така: половин интервал от апреди b, включително а.

Много а<x ≤ bотбелязани така: а; b], се чете така: половин интервал от апреди b, включително b.

Сега си представете Рейс точка а, отдясно и отляво на който има набор от числа.

а, отговарящи на условието x ≥ a, е наречен номер лъч.

Маркира се така: а; +∞) - Чете се така: числова греда от адо плюс безкрайност.

Много числа вдясно от точката асъответстваща на неравенството x > a, е наречен отворен номер лъч.

Маркира се така: а; +∞) - Чете се така: отворен цифров лъч от адо плюс безкрайност.

а, отговарящи на условието x ≤ a, е наречен числова линия от минус безкрайност доа .

Етикетирано е така: -∞; а]-Чете се така: числов лъч от минус безкрайност до а.

Набор от числа вляво от точката асъответстваща на неравенството х< a , е наречен отворен цифров лъч от минус безкрайност доа .

Маркира се така: -∞; а) - Чете се така: отворен числов лъч от минус безкрайност до а.

Наборът от реални числа е представен от цялата координатна линия. Наричат ​​го числова линия. Етикетирано е така: - ∞; + ∞ )

3) Линейни уравнения и неравенства с една променлива, техните решения:

Уравнение, съдържащо променлива, се нарича уравнение с една променлива или уравнение с едно неизвестно. Например уравнение с една променлива е 3(2x+7)=4x-1.

Коренът или решението на уравнение е стойността на променлива, при която уравнението става истинско числово равенство. Например числото 1 е решението на уравнението 2x+5=8x-1. Уравнението x2+1=0 няма решение, т.к лявата страна на уравнението винаги е по-голяма от нула. Уравнението (x+3)(x-4)=0 има два корена: x1= -3, x2=4.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че няма корени.

Уравненията се наричат ​​еквивалентни, ако всички корени на първото уравнение са корени на второто уравнение и обратно, всички корени на второто уравнение са корени на първото уравнение или ако и двете уравнения нямат корени. Например уравненията x-8=2 и x+10=20 са еквивалентни, т.к коренът на първото уравнение x=10 също е коренът на второто уравнение и двете уравнения имат един и същ корен.

При решаване на уравнения се използват следните свойства:

Ако в уравнението пренесем члена от една част в друга, като променим знака му, тогава ще получим уравнение, еквивалентно на даденото.

Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

Уравнението ax=b, където x е променлива и a и b са някои числа, се нарича линейно уравнение с една променлива.

Ако a¹0, тогава уравнението има уникално решение.

Ако a=0, b=0, тогава всяка стойност на x удовлетворява уравнението.

Ако a=0, b¹0, тогава уравнението няма решения, защото 0x=b не се изпълнява за нито една стойност на променливата.
Пример 1. Решете уравнението: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Нека отворим скобите в двете части на уравнението, преместим всички членове с x в лявата страна на уравнението, а членовете, които не съдържат x в дясната страна, получаваме:

16x-15x=88-40-12

Пример 2. Решете уравнения:

x3-2x2-98x+18=0;

Тези уравнения не са линейни, но ще покажем как могат да бъдат решени такива уравнения.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Произведението е равно на нула, ако един от множителите е равен на нула, получаваме x1=0; x2= .

Отговор: 0; .

Факторизиране на лявата страна на уравнението:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), т.е. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Това показва, че решенията на това уравнение са числата x1=2, x2=3, x3=-3.

в) Нека представим 7x като 3x+4x, тогава имаме: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, следователно x1=-3, x2=-4.

Отговор: -3; - четири.
Пример 3. Решете уравнението: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Припомнете си дефиницията на модула на число:

Например: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4.

В това уравнение под знака на модула са числата x-1 и x + 1. Ако x е по-малко от -1, тогава x+1 е отрицателно, тогава ½x+1½=-x-1. И ако x>-1, тогава ½x+1½=x+1. За x=-1 ½x+1½=0.

По този начин,

по същия начин

a) Разгледайте това уравнение½x+1½+½x-1½=3 за x£-1, то е еквивалентно на уравнението -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , това число принадлежи на множеството x£-1.

б) Нека -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

в) Разгледайте случая x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Това число принадлежи на множеството x>1.

Отговор: x1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решете уравнението:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Нека покажем кратък запис на решението на уравнението, разширявайки знака на модула "с интервали".

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2)

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Отговор: [-2; 0]
Пример 5. Решете уравнението: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), за всички стойности на параметъра a.

Това уравнение всъщност има две променливи, но счита, че x е неизвестното, а a е параметърът. Необходимо е да се реши уравнението по отношение на променливата x за всяка стойност на параметъра a.

Ако a=1, тогава уравнението има формата 0×x=0, всяко число удовлетворява това уравнение.

Ако a \u003d -1, тогава уравнението има формата 0 × x \u003d -2, това уравнение не отговаря на нито едно число.

Ако a¹1, a¹-1, тогава уравнението има уникално решение.

Отговор: ако a=1, то x е произволно число;

ако a=-1, тогава няма решения;

ако a¹±1, тогава .

Б) Линейни неравенства с една променлива.

Ако на променливата x се даде някаква числена стойност, тогава получаваме числено неравенство, изразяващо или вярно, или невярно твърдение. Нека например е дадено неравенството 5x-1>3x+2. При x=2 получаваме 5 2-1> 3 2+2 - вярно твърдение (вярно числово твърдение); за x=0 получаваме 5·0-1>3·0+2 – грешно твърдение. Всяка стойност на променлива, за която дадено неравенство с променлива се превръща в истинско числово неравенство, се нарича решение на неравенството. Решаването на неравенство с променлива означава намиране на множеството от всички негови решения.

Две неравенства с една променлива x се наричат ​​еквивалентни, ако наборите от решения на тези неравенства са еднакви.

Основната идея за решаване на неравенството е следната: заменяме даденото неравенство с друго, по-просто, но еквивалентно на даденото; полученото неравенство отново се заменя с по-просто еквивалентно неравенство и т.н.

Такива замени се извършват въз основа на следните твърдения.

Теорема 1. Ако някой член на неравенството с една променлива се прехвърли от една част на неравенството в друга с противоположен знак, като остави знака на неравенството непроменен, тогава ще се получи неравенство, еквивалентно на даденото.

Теорема 2. Ако двете части на неравенство с една променлива се умножат или разделят на едно и също положително число, като се остави знакът на неравенството непроменен, тогава ще се получи неравенство, еквивалентно на даденото.

Теорема 3. Ако и двете части на неравенство с една променлива се умножат или разделят на една и съща отрицателно число, докато променяме знака на неравенството на противоположния, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на даденото.

Неравенство от вида ax+b>0 (съответно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Пример 1. Решете неравенството: 2(x-3) + 5(1-x)³3(2x-5).

Отваряйки скобите, получаваме 2x-6 + 5-5x³6x-15,

Сред наборите от числа, т.е комплекти, чиито обекти са числата, разграничават т.нар пропуски в числата. Тяхната стойност е, че е много лесно да си представим набор, съответстващ на определен числов диапазон, и обратно. Следователно с тяхна помощ е удобно да се запише множеството от решения на неравенството.

В тази статия ще анализираме всички видове числови интервали. Тук даваме имената им, въвеждаме нотация, начертаваме цифрови интервали на координатната линия и също така показваме кои най-прости неравенства им съответстват. В заключение визуално ще представим цялата информация под формата на таблица с числови интервали.

Навигация в страницата.

Видове числови интервали

Всеки числов интервал има четири неразривно свързани неща:

• името на числовия диапазон,
• съответно неравенство или двойно неравенство,
• обозначаване,
• и неговия геометричен образ под формата на изображение върху координатна права.

Всеки числов интервал може да бъде определен по всеки от последните три начина в списъка: или чрез неравенство, или чрез обозначение, или чрез изображението му върху координатна линия. Освен това, според този метод на присвояване, например чрез неравенство, други лесно се възстановяват (в нашия случай обозначението и геометричното изображение).

Да преминем към конкретика. Нека опишем всички числови интервали от четирите страни, посочени по-горе.

Нека започнем с описание на числовия интервал, наречен отворен номер лъч. Обърнете внимание, че прилагателното "числов" често се пропуска, оставяйки името отворена греда.

Този числов интервал съответства на най-простите неравенства с една променлива от вида x a , където a е някакво реално число. Тоест, според смисъла на написаните неравенства, отвореният числов лъч е съставен от всички, които са по-малки от числото a (в случая на неравенството x а).

Наборът от числа, удовлетворяващи неравенството x a , като (a, +∞) .

Остава да се покаже геометричното изображение на отворения лъч, от него ще стане ясно, че разглежданият цифров интервал е получил такова име неслучайно. Да се ​​обърнем към. Известно е, че между неговите точки и реални числа има взаимно еднозначно съответствие, което позволява координатната права да се нарича числова права. И когато говорим за сравняване на числаотбелязахме, че по-голямото число се намира на координатната линия вдясно от по-малкото, а по-малкото е вляво от по-голямото. Въз основа на тези съображения неравенството x a - точки, лежащи вдясно от точка a. Самото число a не удовлетворява тези неравенства, за да се подчертае това на чертежа, то е изобразено като точка с празен център. Над точките, които съответстват на числа, които отговарят на неравенството, изобразете наклонено засенчване:

От горните чертежи може да се види, че тези цифрови интервали съответстват на части от числовата линия, които са лъчизапочвайки от точка a, но изключвайки самата точка a. С други думи, те са лъчи без начало. Оттук и името - отворен номер лъч.

Нека дадем някои конкретни примери за отворени числови лъчи. По този начин строгото неравенство x>−3 дефинира отворен числов лъч. Той също така се определя от нотацията (−3, ∞) . И на координатната права този числов интервал е набор от точки, разположени вдясно от точката с координата −3, без самата тази точка. Друг пример: неравенство x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Преминаваме към числовите интервали от следната форма - числови лъчи. Геометрично те се различават от отворените греди по това, че началото на гредата не се изхвърля. С други думи, геометричният образ на числови интервали от този тип е пълноценен лъч.

Що се отнася до определянето на числови лъчи с помощта на неравенства, те съответстват на нестроги неравенства x≤a или x≥a. Те се означават с (−∞, a] и . А геометричният образ на числова отсечка е отсечка заедно с нейните краища:


Например, числова отсечка, която е дадена от двойно неравенство, може да бъде означена като , на координатната права съответства на отсечка с краища в точки с координати корен от две и корен от три.

Остава само да се каже за наречените числови интервали полуинтервали. Те представляват, така да се каже, междинна опция между интервал и сегмент, тъй като включват една от граничните точки. Полуинтервалите са дадени с двойни неравенства a

Таблица с числови интервали

И така, в предишния параграф дефинирахме и описахме следните цифрови интервали:

• отворен номер лъч;
• номер лъч;
• интервал;
• полуинтервал.

За удобство обобщаваме всички данни за числови интервали в таблица. Нека поставим в него името на числовия интервал, съответстващото му неравенство, обозначението и изображението върху координатната права. Получаваме следното таблица с диапазони:

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Сред наборите от числа има набори, където обектите са числови интервали. Когато посочвате набор, е по-лесно да се определи чрез интервала. Следователно, ние записваме наборите от решения, като използваме числови интервали.

Тази статия дава отговори на въпроси за числови празнини, имена, обозначения, изображения на празнини на координатната линия, съответствие на неравенствата. В заключение ще бъде разгледана таблицата с пропуски.

Определение 1

Всеки диапазон от числа се характеризира с:

• име;
• наличието на обикновено или двойно неравенство;
• обозначаване;
• геометричен образ върху координатната линия.

Численият диапазон се задава с помощта на произволни 3 метода от списъка по-горе. Тоест, когато се използва неравенство, нотация, изображения на координатната линия. Този метод е най-приложим.

Нека направим описание на числовите интервали с посочените по-горе страни:

Определение 2

• Отворен номер лъч.Името се дължи на факта, че е пропуснато, оставяйки го отворено.

Този интервал има съответните неравенства x< a или x >a , където a е някакво реално число. Тоест на такъв лъч има всички реални числа, които са по-малки от a - (x< a) или больше a - (x >а) .

Наборът от числа, които ще удовлетворят неравенство от вида x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , като (a , + ∞) .

Геометричното значение на отворената греда отчита наличието на числена празнина. Между точките на координатната права и нейните номера има съответствие, поради което правата се нарича координатна права. Ако е необходимо да се сравняват числа, тогава на координатната линия по-голямото число е отдясно. Тогава неравенство от вида x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - точки, които са вдясно. Самото число не е подходящо за решаване, поради което на чертежа е обозначено с перфорирана точка. Необходимата празнина се подчертава чрез щриховка. Разгледайте фигурата по-долу.

От горната фигура може да се види, че числовите пропуски съответстват на част от права линия, тоест лъчи, започващи от a. С други думи, те се наричат ​​лъчи без начало. Затова се нарича отворен числов лъч.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1

За дадено строго неравенство x > − 3 е даден отворен лъч. Този запис може да бъде представен като координати (− 3 , ∞) . Тоест, това са всички точки, лежащи вдясно от - 3 .

Пример 2

Ако имаме неравенство от вида x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Определение 3

• номер лъч.Геометричният смисъл е, че началото не се изхвърля, с други думи, лъчът оставя след себе си своята полезност.

Задаването му става с помощта на нестроги неравенства от вида x ≤ a или x ≥ a . За този тип се приема специална нотация на формата (− ∞ , a ] и [ a , + ∞), а наличието на квадратна скоба означава, че точката е включена в решението или в множеството. Разгледайте фигурата по-долу.

За илюстративен пример, нека зададем числов лъч.

Пример 3

Неравенство от формата x ≥ 5 съответства на записа [ 5 , + ∞), тогава получаваме лъч от тази форма:

Определение 4

• Интервал.Настройката с помощта на интервали се записва с помощта на двойни неравенства a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Разгледайте фигурата по-долу.

Пример 4

Пример за интервал - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Определение 5

• Цифров ред.Този интервал се различава по това, че включва гранични точки, тогава има формата a ≤ x ≤ b . Такова нестрого неравенство казва, че когато се записва като цифров сегмент, се използват квадратни скоби [ a , b ], което означава, че точките са включени в набора и се показват като запълнени.

Пример 5

След като разгледахме сегмента, получаваме, че неговото уточняване е възможно с помощта на двойното неравенство 2 ≤ x ≤ 3 , което се представя като 2 , 3 . На координатната линия дадена точкаще бъдат включени в разтвора и засенчени.

Дефиниция 6 Пример 6

Ако има полуинтервал (1 , 3 ] , тогава неговото обозначение може да бъде под формата на двойно неравенство 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Определение 7

Пропуските могат да бъдат показани като:

• отворен номер лъч;
• номер лъч;
• интервал;
• цифров сегмент;
• полуинтервал.

За да се опрости процеса на изчисление, е необходимо да се използва специална таблица, където има обозначения за всички видове цифрови интервали на права линия.

Име	неравенство	Обозначаване	Образ
Отворен номер лъч	х< a	- ∞ , а
	x > a	a , +∞
номер лъч	x ≤ a	(-∞, a]
	x ≥ a	[ a , +∞)
Интервал	а< x < b	a , b
Числен сегмент	a ≤ x ≤ b	a , b
Половин интервал

Отговор – Множеството (-∞;+∞) се нарича числова права, а всяко число се нарича точка на тази права. Нека a е произволна точка на реалната права и δ

Положително число. Интервалът (a-δ; a+δ) се нарича δ-околност на точката a.

Множеството X е ограничено отгоре (отдолу), ако има такова число c, че за всяко x ∈ X е изпълнено неравенството x≤с (x≥c). Числото c в този случай се нарича горна (долна) граница на множеството X. Множество, ограничено както отгоре, така и отдолу, се нарича ограничено. Най-малкото (най-голямото) от горните (долните) лица на набор се нарича точна горна (долна) граница на това множество.

Числовият интервал е свързан набор от реални числа, тоест такъв, че ако 2 числа принадлежат на този набор, тогава всички числа, затворени между тях, също принадлежат на този набор. Има няколко, в известен смисъл, различни типа непразни числови интервали: линия, отворен лъч, затворен лъч, отсечка, полуинтервал, интервал

Числова линия

Множеството от всички реални числа се нарича още числова ос. Те пишат.

На практика не е необходимо да се прави разлика между концепцията за координатна или числова права в геометричен смисъл и концепцията за числова права, въведена с тази дефиниция. Следователно тези различни концепциисе обозначава със същия термин.

отворена греда

Наборът от числа, такива че или се нарича отворен числов лъч. Пишете или съответно: .

затворена греда

Множеството от числа такива, че или се нарича затворен числов лъч. Пишете или съответно:

Множеството от числа, което се нарича числов сегмент.

Коментирайте. В определението това не е посочено. Предполага се, че случаят е възможен. Тогава числовият интервал се превръща в точка.

Интервал

Набор от числа като например се нарича числов интервал.

Коментирайте. Съвпадението на обозначенията на отворена греда, права линия и интервал не е случайно. Отворен лъч може да се разбира като интервал, единият край на който е отстранен до безкрайност, а числова линия - като интервал, двата края на който са отстранени до безкрайност.

Половин интервал

Множеството от числа такива, че или се нарича числов полуинтервал.

Пишете или съответно

3.Функция.Функционална графика. Начини за задаване на функция.

Отговор - Ако са дадени две променливи x и y, тогава те казват, че променливата y е функция на променливата x, ако е дадена такава връзка между тези променливи, която позволява на всяка стойност еднозначно да определя стойността на y.

Нотацията F = y(x) означава, че разглеждаме функция, която позволява всяка стойност на независимата променлива x (извън тези, които аргументът x изобщо може да приеме), за да намери съответната стойност на зависимата променлива y.

Начини за задаване на функция.

Една функция може да бъде дефинирана чрез формула, например:

y \u003d 3x2 - 2.

Функцията може да бъде дадена с графика. С помощта на графиката можете да определите коя стойност на функцията съответства на посочената стойност на аргумента. Обикновено това е приблизителна стойност на функцията.

4. Основните характеристики на функцията: монотонност, паритет, периодичност.

Отговор -Периодичност Определение. Функция f се нарича периодична, ако съществува такова число
, че f(x+
)=f(x), за всички x D(f). Естествено има безкраен брой такива числа. Най-малкото положително число ^ T се нарича период на функцията. Примери. A. y \u003d cos x, T \u003d 2 . B. y \u003d tg x, T \u003d . S. y = (x), T = 1. D. y = , тази функция не е периодична. Определение за паритет. Функция f се извиква дори ако за всички x от D(f) е изпълнено свойството f(-x) = f(x). Ако f (-x) = -f (x), тогава функцията се нарича нечетна. Ако нито едно от тези отношения не е изпълнено, тогава функцията се нарича функция от общ вид. Примери. A. y \u003d cos (x) - дори; B. y \u003d tg (x) - странно; S. y \u003d (x); y=sin(x+1) – общи функции. Монотонност Определение. Функция f: X -> R се нарича нарастваща (намаляваща), ако за всяка
условието е изпълнено:
Определение. За функция X -> R се казва, че е монотонна върху X, ако нараства или намалява върху X. Ако f е монотонен на някои подмножества на X, тогава той се нарича частично монотонен. Пример. y \u003d cos x е частично монотонна функция.