Často nás zaujíma pravdepodobnosť, že sa súčasne udejú viaceré udalosti, ako napríklad dve hlavy pri dvoch hodoch mincou alebo aspoň jedna šestka pri dvoch hodoch kockou. Takéto situácie sú tzv situácie s viacerými možnými výsledkami.

Použitie stromových diagramov

Aj keď je pomerne ľahké pochopiť, že pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri jednom hode spravodlivou mincou, je ?, je o niečo ťažšie intuitívne určiť pravdepodobnosť štyroch hláv pri štyroch hodoch spravodlivou mincou. Hoci sa príklad s mincou môže zdať umelý, je vhodný na vysvetlenie kombinácie pravdepodobností pri viacerých pokusoch. Poďme na výpočty. (Postupujte podľa mojich úvah, aj keď sa matematiky strašne bojíte. Ak sa prepracujete príkladmi, výpočty a matematické uvažovanie sa vám budú zdať celkom jednoduché. Po zhliadnutí nasledujúcich čísel netreba zvolať: „Nie, v žiadnom prípade , preskočím to Dôležité je vedieť myslieť s číslami a o číslach.)

Pri prvom hode môže nastať iba jeden z dvoch možných výsledkov; hlavy (O) alebo chvosty (P). Čo sa stane, ak sa minca hodí dvakrát? Existujú štyri možné výsledky: vedie v oboch prípadoch (OO), vedie prvý raz a druhýkrát je na chvoste (OR), vedie prvý raz a vedie druhýkrát (RO) a končí v oboch prípadoch (RR). Keďže existujú štyri možné výsledky a iba jeden spôsob, ako získať dve hlavy, pravdepodobnosť tejto udalosti je 1/4 (opäť predpokladáme, že minca je „spravodlivá“, t. j. hlavy a chvosty sú rovnako pravdepodobné). Na výpočet pravdepodobnosti spoločného výskytu viacerých udalostí v akejkoľvek situácii existuje všeobecné pravidlo – pravidlo „a“. Ak chcete nájsť pravdepodobnosť spoločného výskytu prvého a druhá udalosť (orol pri prvej a pri druhom hode), musíme pravdepodobnosti týchto udalostí vynásobiť oddelene. Aplikovaním pravidla „a“ zistíme, že pravdepodobnosť získania dvoch chvostov, keď sa minca hodí dvakrát, sa rovná? X? = 1/4. Intuitívne sa zdá, že pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch udalostí by mala byť menšia ako pravdepodobnosť každej z nich samostatne; tak sa ukazuje.

Jednoduchý spôsob výpočtu tejto pravdepodobnosti sa získa reprezentáciou všetkých možných udalostí pomocou stromová schéma. Stromové diagramy boli použité v kapitole 4, keď sme testovali platnosť výrokov „ak... potom...“. V tejto kapitole priradíme vetvám stromu pravdepodobnostné hodnoty, aby sme určili pravdepodobnosti rôznych kombinácií výsledkov. V neskorších kapitolách sa vrátim k stromovým diagramom, keď sa pozriem na spôsoby, ako nájsť kreatívne riešenia problémov.

Pri prvom hode mincou pristanú buď hlavy alebo chvosty. V prípade „férovej“ mince majú hlavy a chvosty rovnakú pravdepodobnosť 0,5. Predstavme si to takto:

Keď hodíte mincou druhýkrát, buď po prvých hlavách budú nasledovať druhé hlavy alebo chvosty, alebo po prvých chvostoch budú nasledovať druhé hlavy alebo chvosty. Pravdepodobnosť získania hláv a chvostov pri druhom hode je stále 0,5. Výsledky druhého hodu sú zobrazené na diagrame ako ďalšie vetvy stromu.

Ako môžete vidieť z diagramu, existujú štyri možné výsledky. Tento strom môžete použiť na nájdenie pravdepodobnosti iných udalostí. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete jednu hlavu pri dvoch hodoch mincou? Keďže existujú dva spôsoby, ako získať jeden chvost (OR alebo RO), odpoveď je 2/4 alebo ?. Ak chcete nájsť pravdepodobnosť dvoch alebo viacerých rôznych výsledkov, spočítajte pravdepodobnosti všetkých výsledkov. Toto sa nazýva pravidlo „alebo“. Iným spôsobom možno tento problém formulovať takto: „Aká je pravdepodobnosť získania alebo najprv hlavy, potom chvosty (1/4), alebo najprv chvosty a potom hlavy (1/4)?" Správnym postupom na nájdenie odpovede je sčítanie týchto hodnôt, výsledkom čoho je ?. Intuitívne sa zdá, že pravdepodobnosť výskytu jednej z niekoľkých udalostí musí byť väčšia ako pravdepodobnosť výskytu každej z nich; tak sa ukazuje.

Pravidlá „a“ a „alebo“ možno použiť iba vtedy, keď nás zaujímajú udalosti nezávislý. Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej z nich neovplyvní výskyt druhej. V tomto príklade výsledok prvého hodu mincou neovplyvní výsledok druhého hodu. Okrem toho, aby sa uplatnilo pravidlo „alebo“, udalosti musia byť nezlučiteľné, to znamená, že sa nemôžu vyskytnúť súčasne. V tomto príklade sú výsledky nekompatibilné, pretože nemôžeme dostať hlavy a chvosty v rovnakom hode.

Reprezentácia udalostí ako stromových diagramov je užitočná v mnohých situáciách. Rozšírime náš príklad. Predpokladajme, že vás na ulici zastaví muž v pásikavom obleku s dlhými, stočenými fúzmi a nápadnými malými očami a ponúkne vám, že si hodíte mincou. Vždy vsádza na orla. Pri prvom hode pristane minca hlavami hore. To isté sa deje pri druhom hode. Pri treťom hode sa opäť zdvihnú hlavy. Kedy začnete mať podozrenie, že má "faul" coin? Väčšina ľudí má pochybnosti na tretí alebo štvrtý pokus. Vypočítajte pravdepodobnosť získania hláv pri troch a štyroch hodoch spravodlivou mincou (pravdepodobnosť získania hláv je 0,5).

Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť získania troch hláv v troch pokusoch, musíte nakresliť strom s tromi radmi „uzlov“, pričom z každého uzla vychádzajú dve „vetvy“.

V tomto príklade nás zaujíma pravdepodobnosť získania troch hláv v rade za predpokladu, že minca je spravodlivá. Pozrite sa na stĺpec označený ako „výsledok“ a nájdite výsledok LLC. Pretože toto je jediný výsledok s tromi hlavami, vynásobte pravdepodobnosti pozdĺž vetvy 000 (zakrúžkovanej v diagrame) a dostanete 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125. Pravdepodobnosť 0,125 znamená, že ak je minca „spravodlivá“, potom v priemere padne heads-up trikrát za sebou v 12,5 % prípadov. Keďže táto pravdepodobnosť je malá, keď vypadnú tri hlavy v rade, väčšina ľudí začne mať podozrenie, že minca je „s tajomstvom“.

Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť získania štyroch hláv na štyri pokusy, pridajte do stromu ďalšie vetvy.

Pravdepodobnosť získania štyroch hláv je 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 alebo 6,25 %. Ako už viete, matematicky sa rovná 0,5 4 ; to znamená, že vynásobenie čísla štyrikrát je to isté ako zvýšenie na štvrtú mocninu. Ak rátate s kalkulačkou, kde je operácia umocňovania, tak dostanete rovnakú odpoveď – 0,0625. Aj keď je takýto výsledok možný a raz sa stane, je nepravdepodobný. V skutočnosti je taký nepravdepodobný a nezvyčajný, že mnohí by povedali, že človek s premenlivými očami pravdepodobne podvádza. Nepochybne, na piatej hlave v rade, by bolo rozumné dospieť k záveru, že máte dočinenia s podvodníkom. Pre väčšinu vedeckých účelov sa udalosť považuje za „nezvyčajnú“, ak sa očakáva, že k nej dôjde s pravdepodobnosťou menšou ako 5 %. (V jazyku teórie pravdepodobnosti sa to píše ako p ‹ 0,05.)

Nechajme príklad s umelou mincou a aplikujme rovnakú logiku v užitočnejšom kontexte. Som si istý, že každý študent sa už niekedy stretol s testami s viacerými možnosťami, v ktorých musíte vybrať správne odpovede z navrhovaných možností. Vo väčšine týchto testov má každá otázka päť možných odpovedí, z ktorých iba jedna je správna. Predpokladajme, že otázky sú také ťažké, že správnu odpoveď môžete uhádnuť iba náhodne. Aká je pravdepodobnosť správneho uhádnutia pri odpovedi na prvú otázku? Ak netušíte, ktorá z možností je správna odpoveď, potom je rovnako pravdepodobné, že si vyberiete ktorúkoľvek z piatich možností, za predpokladu, že ktorákoľvek z nich môže byť správna. Keďže súčet pravdepodobností výberu všetkých možností by sa mal rovnať jednej, potom pravdepodobnosť výberu každej z možností s ekvipravdepodobnosťou všetkých možností je 0,20. Jedna z možností je správna a ostatné sú nesprávne, takže pravdepodobnosť výberu správnej možnosti je 0,20. Stromový diagram tejto situácie je uvedený nižšie.

Aká je pravdepodobnosť správneho uhádnutia odpovedí na prvé dve otázky testu? Stromu budeme musieť pridať nové konáre, ktoré čoskoro veľmi zhustnú. Ak chcete ušetriť miesto a zjednodušiť výpočty, môžete všetky nesprávne možnosti reprezentovať ako jednu vetvu označenú ako „nesprávna“. Pravdepodobnosť chyby pri odpovedi na jednu otázku je 0,8.

Pravdepodobnosť správneho uhádnutia odpovedí na dve otázky je 0,2 x 0,2 = 0,04. To znamená, že náhodne sa to môže stať iba v 4% pokusov. Povedzme, že náš príklad rozšírime na tri otázky. Nebudem kresliť strom, ale už by ste mali pochopiť, že pravdepodobnosť je 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008. Ide o tak neobvyklú udalosť, že k nej môže dôjsť náhodou v menej ako 1 % pokusov. Čo si myslíte o človeku, ktorý dokázal správne odpovedať na všetky tri otázky? Väčšina ľudí (a pedagógovia sú tiež ľudia) dôjde k záveru, že študent nevybral odpovede náhodne, ale v skutočnosti niečo vedel. Samozrejme, je možné, že mal len šťastie, no je to krajne nepravdepodobné. Dospeli sme teda k záveru, že získaný výsledok nemožno vysvetliť iba šťastím.

Chcel by som poukázať na jeden zaujímavý aspekt takéhoto uvažovania. Zamyslite sa nad žalostnou situáciou, v ktorej sa Sarah ocitla. Odpovedala na 15 testových otázok, kde odpoveď na každú otázku bolo potrebné vybrať z piatich možností. Sarah odpovedala na všetkých 15 otázok nesprávne. Dokážete určiť pravdepodobnosť, že sa to stalo náhodou? Nebudem kresliť stromový diagram na ilustráciu tejto situácie, ale je ľahké vidieť, že pravdepodobnosť zlej odpovede na jednu otázku je 0,8; takže pravdepodobnosť nesprávneho zodpovedania všetkých 15 otázok je 0,8 15 . Toto číslo je 0,8 vynásobené 15-krát, výsledkom čoho je 0,0352. Keďže pravdepodobnosť takejto nehody je 3,52 %, možno by mala Sarah povedať učiteľovi, že takýto nezvyčajný výsledok nemožno vysvetliť náhodou? Sarah, samozrejme, môže argumentovať podobne, ale verili by ste jej, keby ste boli učiteľkou? Predpokladajme, že tvrdí, že pozná odpovede na všetky otázky. Ako inak by nemohla vybrať správnu odpoveď v 15 otázkach za sebou? Neviem, koľko učiteľov by uverilo jej tvrdeniu, že 15 nesprávnych odpovedí dokazuje, že má vedomosti, hoci v zásade sa tento spôsob uvažovania používa na preukázanie vedomostí, keďže pravdepodobnosť správneho uhádnutia všetkých odpovedí je približne rovnaká. (V tomto príklade je pravdepodobnosť správnej náhodnej odpovede na všetkých 15 otázok 0,2015, čo je číslo hlboko pod 0,0001.) Keby som bol učiteľom Sarah, dal by som jej vysoké známky za kreativitu a pochopenie štatistických princípov. Je možné, že Sarah o tejto téme naozaj niečo vedela, no v tomto „niečom“ bola systematická chyba. Ešte by som ju upozornila, že sa možno na test nepripravila a navyše mala aj smolu a 15 chybných odhadov. Nakoniec sa to niekedy stane a veľmi nezvyčajné udalosti.

Pred čítaním nasledujúcej časti sa uistite, že rozumiete tomu, ako používať stromové diagramy na výpočet pravdepodobnosti a zohľadnenie všetkých možných výsledkov. K takýmto diagramom sa vrátim neskôr v tejto kapitole. Keď sa ich naučíte používať, budete prekvapení, na koľko situácií sa dajú aplikovať.

Noc. Svetlo mesiaca v splne, visiace na hviezdnej oblohe, cez vitráže na oknách osvetľovalo ponuré chodby Zmiulan, od stien ktorých sa odrážal ozývajúci sa zvuk behu. - No, aké dievča! Flash zamrmlal bez dychu. - Bola vystrašená, vieš... Len zbytočne stratený čas! Dúfam, že sa mi ešte podarí utiecť... tentoraz... Ponáhľal sa ku Kamennej sieni a modlil sa, aby mu nikto nezavadzal. Všetko sa ale stalo presne naopak. V tme chodieb (kde sa neobťažovali robiť okná) sa Dragotsy s niekým zrazil a počul známy hlas: „Kto tu behá ako blázon?! "". Tmavovláska vyvolala hodinový šíp a na jeho hrote zapálila svetielko. Vo svetle improvizovaného zásahu lampy ... Vasilisa ?! -Ty?! zvolali obaja naraz. Flash bol prekvapený a zároveň sa mu uľavilo: koniec koncov, s Ognevou sú zadobre a ona ho nezradí... no, dúfal v to. Chlapík si myslel, že niečo podobné zažila aj ryšavka. -Čo tu robíš? Dragotsy podal ruku Vasilise. Keď prijala pomoc, vstala a oprášila sa: - Chcela by som vám položiť rovnakú otázku. "Bol som prvý, kto sa opýtal," Flash si prekrížil ruky. - Na tom nezáleží. Vo všeobecnosti to nie je vaša vec, - odsekla Vasilisa. "No, to znamená, že to, čo robím, nie je tvoja starosť," Dragotius pokojne pokrčil plecami. Ryšavka našpúlila pery a zamyslene pozrela na brunetku: - To ti poviem až po tebe. "No...ja..." začal Flash a snažil sa nájsť slová, ale nič nevyšlo. "Dobre, chcem utiecť," vyhŕkol Dragotius. Vasilisa vytreštila oči: -Zbláznila si sa? Flash prevrátil očami a podráždene pozrel na Ognevu: -Nie, ale ja tu zostať nechcem. - Ak vás chytia, budete potrestaní. Spomeňte si, čo sa stalo minule, - prekrížila si ruky na hrudi ryšavá žena. Dragotius sa zaškeril: -Počuj, radšej ma neruš. Vasilisa sa zamyslene pozrela na brunetku: - No, nebudem zasahovať...o to viac, som dnes taká láskavá, že ťa ani neprezradím, - zachichotala sa Ogneva, otočila sa a chcela odísť, ale Flash ju zastavil hajlovaním: - Vasilisa, - dievča sa otočilo a s očakávaním pozrelo na brunetku, - ďakujem, - usmial sa Dragotius a utiekol. Ogneva sa usmiala a išla k nej... *** -Bola to obrovská chyba, synovec, - Astragor sa týčil nad ležiacim polonahým Feshom. Študenti začali potichu šepkať. - Pokúsili ste sa utiecť viackrát a vždy ste boli potrestaní... - Shackle, ktorý prišiel špeciálne vykonať masaker, vytiahol jeden prút a niekoľkokrát zamával. Bolo počuť praskanie. - Dúfam, že ešte pochopíš, že je zbytočné utekať, - otočil sa veľký duch Osla chrbtom k páchateľovi, tvárou - k ostatným študentom: - Myslím, že to poslúži ako príklad aj pre teba. Prút, ktorý prerezal vzduch, okamžite prešiel cez chrbát Flasha a zanechal červené, dokonca krvavé pruhy. Úder za úderom. Brunetka všetky údery stoicky znášala, len občas zo seba vydala poloston – polorev. Učeníci sa na to pozerali s akousi zlobou. Len Vasilisa a Zakharra vzrušene pozerali na brunetku... *** Flash sedel v žalári a premýšľal. Predtým ho jednoducho dali do žalára a nechali ho bez jedla, ale teraz je jeho strýko zjavne unavený, že jeho synovec je tak ľahko potrestaný. Tmavovláska pokrčila plecami a urobila grimasu od bolesti. Nevenoval pozornosť chladu, vlhku, ponorený do svojich myšlienok. Z myšlienok ho vytrhol zvuk krokov, ktoré sa ozývali chodbou. Čoskoro Vasilisa vyšla pod svetlo pochodne. Flash okamžite odišiel do barov: -Čo tu robíš? - Drž to, - Ogneva vložila ruku medzi mreže a dala Dragotsymu celkom slušný kus teplý chlieb so semenami. Flash vzal jedlo. - A čo sú to za záchvaty štedrosti? zachichotal sa. - Tento Zakharra ma požiadal, aby som prešiel. Nenechali ju prejsť, - pokrčila plecami Ogneva. - To znamená, že Zakharra dnu nepustili, ale teba, toho, kto nie je príbuzný Astragora, potichu pustili dnu? Brunetka sa zachichotala. "No, ja o tom nerozhodujem," Vasilisa znova pokrčila plecami, no Flash si všimol vzrušenie v jej očiach. "No, opýtam sa na to Zaharry neskôr," povedal Dragotius pokojne a odhryzol si z chleba. "Opýtajte sa ma, ale už musím ísť," Ogneva sa otočila a pokojne prešla do rohu a otočila sa za ním. Čoskoro Flash počul zvuk behu a zachichotal sa. Je to však jej iniciatíva. Pravdepodobne bežala za svojou sestrou, aby vyjednávala pre prípad "" ...

Tvoje číslo je dvanáste, - povedala jedľa a zapísala si niečo do malej knižky. Flash poďakoval mužovi a odletel do svojej kabíny. , Teraz je hlavná vec neprispôsobovať sa. Dúfam, že ťa víla nesklame, keď vystúpime...““ - s týmito myšlienkami pristála brunetka na konári pri altánku, kde na neho už čakali dvaja ľudia. "Konečne si prišiel," zamával mu s úsmevom jeden z čakajúcich, Nick. Šedooké dievča s tmavým bobom, čo je druhá osoba, len prikývlo na pozdrav a prešlo rovno k veci: - A pod akým číslom vystupujeme? spýtala sa a položila na stôl šálky voňavej kávy. - Dvanásť, - sadol si za stôl, odpovedal chlapík. - Musíme skúšať: musíme vedieť, ako znieme my traja. -Nemusíme vystupovať veľmi dobre, Dragotius, - okamžite ho schladila dievčina, - toto je kryt. Po predstavení jednoducho dostanete kľúč od našej pani, ako sme sľúbili, - pri týchto slovách sa Fash zaškeril, ako keby zjedol citrón, - a Nick bude zasvätený. "Nechcem stratiť tvár pred celým súdom," odpovedal Dragotius. "Fash, Diana," prosil Nick a pozeral sa postupne na tých dvoch, "prosím, prestaň. Myslím, že by sme naozaj mali skúšať. - Nálada nie je pieseň, - zamrmlal Fash a bez toho, aby sa čo i len najedol, odišiel do svojej izby. *pred pár dňami* - Takže, - povedal Konstantin s radostným úsmevom, keď zhromaždil Fasha a Nicka v dielni, - mám dve novinky. Najprv som dohodol s Bielou kráľovnou tvoje zasvätenie, Nick. - Ako si to urobil? Flash prekvapene pozrel na Lazareva. "Poviem ti to neskôr," usmial sa Nickov otec. - syn, mohol by si nás nechať? Blondínka odišla z izby a zavrela za sebou dvere. Konstantin zvážnel a presunul pohľad na brunetku: -Fesh, Astarius ma požiadal, aby som ti povedal, že mu Biela kráľovná sľúbila Strieborný kľúč. Musíte ísť do Charodolu, zúčastniť sa kúziel a vziať si Strieborný kľúč od kráľovnej, - Dragotius bol ohromený, že ho Astarius poveril, aby nosil tento kľúč, aj keď o ňom počul už druhýkrát. Učiteľ ho už varoval s vysvetlením, že brunetka utiekla z Astrogoru... *** Ich vystúpenie spôsobilo rozruch v kráľovstve víl: šesťkrídlové bytosti dvíhali šípky hodín, tlieskali a nadšene kričali. Flashove obavy boli neopodstatnené, čomu sa tešil. Onedlho dostal na watchlist list, v ktorom stálo, že on ako víťaz Čarov má prísť o polnoci o hod. Biely hrad . Brunetka sa priblížila k altánku, kde už sedeli Nick a Diana, ktorí boli tiež radi, že sa vystúpenie vydarilo. "Nuž," otočil sa k Fraserovi hravým spôsobom, "odprevadili by ste nás do Bieleho hradu, madam čestná?" - Nick odfrkol do pohára a Diana sa len usmiala. Prečo ste nepovedali, že ste dvorná dáma? - Fash si sadol za stôl - Cítil som sa ako blázon, keď ku mne pristúpili a povedali, že moje vystúpenie s pani Dianou Fraser, čestnou družičkou Jej Veličenstva, vyvolalo rozruch! - Nick ani Diana sa neubránili smiechu... *polnoc* -Fashiar Dragotsiy, - Biela kráľovná, ktorá vstala z trónu, ozdobená na chrbte zlatými vetvičkami so smaragdovými listami, mávla rukou jednému z dievčat. , - za víťazstvo v kúzlach a sľuboch Astariusovi ti dám Strieborný kľúč. Myslím, že vieš, že je to obrovská zodpovednosť. Chráňte ho, držte ho ako zrenicu oka. "Sľubujem," prikývol Flash a sebavedomo sa pozrel na Kráľovnú víl. Dvere sa otvorili a dievča prinieslo Strieborný kľúč položený na poduške z červeného hodvábu. Víla k nemu pristúpila a predklonila sa a podala mu vankúš s kľúčom. Flash opatrne vzal kľúč a poklonil sa kráľovnej: - Pokorne ti ďakujem za česť, ktorú mi preukazuješ. Vládkyňa víl prikývla a mávla rukou, čím umožnila Fashovi ísť do odpočinkového domu. Nicka odviedli na začiatku, aby mohol podstúpiť zasvätenie. *** -...a dali mi nejaký časový elixír. No vypil som to. Výsledkom bol stupeň tretej hodiny, - Nick sa šťastne usmial a rozprával svojmu priateľovi o tom, čo sa mu stalo v Bielom zámku. Diana sedela pri nich a pokojne popíjala kávu a jedla žemľu. - Mimochodom, mám tiež nejaké novinky. Diana odložila pohár, usmiala sa a položila na stôl malý železný kľúč. Flash a Nick sa na sekundu prekvapene pozreli na kľúč, potom na dievča, no v ďalšom momente Dragotsy vyskočil zo sedadla a ponáhľal sa objať Dianu s radostným úsmevom. -Vedel som! zvolal. červenajúca sa víla ledva utiekla chlapovi z náručia: -Najprv pusti, zaškrtíš ma! Po druhé, ako si to vedel? - -Hádaj, samozrejme, nebolo to ťažké, - povedal potešený Fash. - Dvorná víla, najlepšia študentka a dokonca aj zúfalka... Hneď ako som ťa uvidel som uhádol, že si tiež hospodár. - Áno, - pretiahol Nick, ktorý sa spamätal z prekvapenia, - stretnutie s tebou v lese bolo trochu nečakané. - Čo bolo také nečakané? Diana sa so záujmom pozrela na svojho priateľa. "Napríklad to, že si na nás zrazu vyskočil z tmy," dodal Flash. - Áno, - prikývol mladší-teraz už hodinár Lazarev, - Samozrejme, vedeli sme, že sa s tebou stretneme v lese, ale nestálo to za to vyskočiť z tmy tak nečakane na nás. "Ale je dobré, že sme hneď išli do Charodolu," zasmial sa Dragotius. Chalani súhlasne prikývli a pokračovali v raňajkách...

Ak chcete zostaviť strom pravdepodobnosti, musíte najprv nakresliť samotný strom, potom zapísať všetky informácie známe pre tento problém na obrázku a nakoniec pomocou základných pravidiel vypočítať chýbajúce čísla a doplniť strom.

1. Pravdepodobnosti sú uvedené v každom z koncových bodov a sú zakrúžkované. Na každej úrovni stromu sa súčet týchto pravdepodobností musí rovnať 1 (alebo 100 %). Tak napríklad na obr. 6.5.1 Súčet pravdepodobností na prvej úrovni je 0,20 + 0,80 = 1,00 a na druhej úrovni - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Toto pravidlo pomáha vyplniť jeden prázdny kruh v stĺpci, ak sú známe hodnoty všetkých ostatných pravdepodobností tejto úrovne.

Ryža. 6.5.1

2. Podmienené pravdepodobnosti sú uvedené vedľa každého z vetiev (okrem
prípadne pobočky prvého stupňa). Pre každú zo skupín vetiev vychádzajúcich z jedného bodu sa súčet týchto pravdepodobností tiež rovná 1 (alebo 100 %).
Napríklad na obr. 6.5.1 pre prvú skupinu vetiev dostaneme 0,15 + 0,85 =
1,00 a pre druhú skupinu - 0,70 + 0,30 = 1,00. Toto pravidlo umožňuje
vypočítať jednu neznámu hodnotu podmienenej pravdepodobnosti v skupine vetiev vychádzajúcich z jedného bodu.

3. Pravdepodobnosť zakrúžkovania na začiatku vetvy vynásobená podmienkou
pravdepodobnosť vedľa tejto vetvy udáva pravdepodobnosť zapísanú v krúžku v
koniec pobočky. Napríklad na obr. 6.5.1 pre hornú vetvu vedúcu vpravo
máme 0,20 x 0,15 = 0,03, pre ďalšiu vetvu - 0,20 x 0,85 = 0,17; podobné vzťahy platia aj pre ďalšie dve vetvy. Toto pravidlo možno použiť na výpočet jednej neznámej hodnoty
pravdepodobnosti troch zodpovedajúcich nejakej vetve.

4. Hodnota pravdepodobnosti zapísaná v kruhu sa rovná súčtu zakrúžkovaných pravdepodobností na koncoch všetkých vetiev vychádzajúcich z tohto kruhu.
doprava. Takže napríklad pre Obr. 6.5.1 opustiť kruh s hodnotou 0,20
dve vetvy, na koncoch ktorých sú zakrúžkované pravdepodobnosti, ktorých súčet sa rovná tejto hodnote: 0,03 + 0,17 = 0,20. Toto pravidlo vám umožňuje nájsť jednu neznámu hodnotu pravdepodobnosti v skupine,
vrátane tejto pravdepodobnosti a všetkých pravdepodobností na koncoch vetiev stromu,
vychádzajúc z príslušného kruhu.

Pomocou týchto pravidiel je možné, ak poznáme všetky hodnoty pravdepodobnosti okrem jednej pre niektorú vetvu alebo na určitej úrovni, nájsť túto neznámu hodnotu.

37. Aká vzorka sa nazýva reprezentatívna? Ako možno odobrať reprezentatívnu vzorku?

Reprezentatívnosť je schopnosť vzorky reprezentovať skúmanú populáciu. Čím presnejšie zloženie vzorky reprezentuje populáciu v skúmaných problémoch, tým vyššia je jej reprezentatívnosť.

Reprezentatívna vzorka je jedným z kľúčových konceptov analýzy údajov. Reprezentatívna vzorka je vzorka z populácie s distribúciou F(X) predstavujúce hlavné črty bežnej populácie. Ak je napríklad v meste 100 000 ľudí, z toho polovicu mužov a polovicu žien, tak vzorka 1 000 ľudí, z toho 10 mužov a 990 žien, určite nebude reprezentatívna. Prieskum verejnej mienky postavený na jeho základe bude, samozrejme, obsahovať skreslenie odhadov a viesť k sfalšovaným výsledkom.

Nevyhnutná podmienka stavby reprezentatívna vzorka je rovnaká pravdepodobnosť začlenenia každého prvku všeobecnej populácie do nej.

Vzorová (empirická) distribučná funkcia poskytuje pri veľkej veľkosti vzorky pomerne dobrú predstavu o distribučnej funkcii F(X) pôvodnej všeobecnej populácie.

Hlavným princípom takéhoto postupu je princíp náhodnosti, náhodnosti. O vzorke sa hovorí, že je náhodná (niekedy povieme jednoducho náhodná alebo čisto náhodná), ak sú splnené dve podmienky. Po prvé, vzorka musí byť navrhnutá tak, aby ju mala každá osoba alebo objekt v populácii rovnaké príležitosti byť vybrané na analýzu. Po druhé, vzorka musí byť navrhnutá tak, aby akákoľvek kombinácia n položiek (kde n je jednoducho počet položiek alebo prípadov vo vzorke) mala rovnakú šancu, že bude vybraná na analýzu.

Pri skúmaní populácií, ktoré sú príliš veľké na spustenie skutočnej lotérie, sa často používajú jednoduché náhodné vzorky. Napísať názvy niekoľkých stoviek tisíc predmetov, vložiť ich do bubna a vybrať niekoľko tisíc nie je stále ľahká práca. V takýchto prípadoch sa používa iná, ale rovnako spoľahlivá metóda. Každý predmet v kolekcii má priradené číslo. Poradie čísel v takýchto tabuľkách je zvyčajne dané počítačovým programom nazývaným generátor náhodných čísel, ktorý v podstate vloží veľké množstvo čísel do bubna, náhodne ich vyžrebuje a vytlačí v poradí. Inými slovami, prebieha rovnaký proces, ktorý je charakteristický pre lotériu, ale počítač, ktorý používa skôr čísla ako mená, robí univerzálnu voľbu. Túto voľbu je možné použiť jednoduchým priradením čísla každému z našich objektov.

Tabuľku náhodných čísel, ako je táto, možno použiť niekoľkými rôznymi spôsobmi a v každom prípade je potrebné urobiť tri rozhodnutia. Po prvé, musíme sa rozhodnúť, koľko číslic použijeme, a po druhé, musíme vyvinúť rozhodovacie pravidlo na ich použitie; po tretie, musíte si vybrať východiskový bod a spôsob prechodu cez tabuľku.

Keď to urobíme, musíme vytvoriť pravidlo, ktoré spojí čísla v tabuľke s číslami našich objektov. Tu sú dve možnosti. Najjednoduchším spôsobom (aj keď nie nevyhnutne tým najsprávnejším) je používať iba tie čísla, ktoré spadajú do počtu čísel priradených našim objektom. Ak teda máme populáciu 250 prvkov (a teda používame trojciferné čísla) a rozhodneme sa začať v ľavom hornom rohu tabuľky a posunúť sa v stĺpcoch nadol, do našej vzorky zahrnieme čísla prvkov 100, 084 a 128 , a preskočme čísla 375 a 990, ktoré nezodpovedajú našim objektom. Tento proces bude pokračovať, kým sa nezistí počet objektov potrebných pre našu vzorku.

Časovo náročnejší, ale metodicky správnejší postup vychádza z predpokladu, že pre zachovanie náhodnosti charakteristickej pre tabuľku treba použiť každé číslo daného rozmeru (napríklad každé trojmiestne číslo). Podľa tejto logiky a opäť so zbierkou 250 objektov musíme oblasť trojciferných čísel od 000 do 999 rozdeliť na 250 rovnakých intervalov. Keďže takýchto čísel je 1000, vydelíme 1000 číslom 250 a zistíme, že každá časť obsahuje štyri čísla. Takže čísla tabuliek od 000 do 003 budú zodpovedať objektu 004 až 007 - objektu 2 atď. Teraz, aby ste určili, ktoré číslo objektu zodpovedá číslu v tabuľke, mali by ste rozdeliť trojciferné číslo z tabuľky a zaokrúhliť na najbližšie celé číslo.

A nakoniec si musíme v tabuľke vybrať východiskový bod a spôsob prechodu. Počiatočným bodom môže byť ľavý horný roh (ako v predchádzajúcom príklade), pravý dolný roh, ľavý okraj druhého riadku alebo kdekoľvek inde. Táto voľba je úplne ľubovoľná. Pri práci s tabuľkou však musíme konať systematicky. Mohli by sme vziať prvé tri číslice z každej päťcifernej postupnosti, prostredné tri číslice, posledné tri číslice alebo dokonca prvú, druhú a štvrtú číslicu. (Z prvej päťcifernej postupnosti tieto rôzne procedúry dávajú 100, 009, 097 a 109, v tomto poradí.) Tieto procedúry by sme mohli použiť sprava doľava a dostali by sme 790, 900, 001 a 791. riadky , pričom berieme do úvahy každú ďalšiu číslicu v poradí a ignorujeme delenie na päťky (pre prvý riadok sa získajú čísla 100, 973, 253, 376 a 520). Mohli sme sa zaoberať len každou treťou skupinou číslic (napr. 10097, 99019, 04805, 99970). Existuje veľa rôznych možností a každá ďalšia nie je horšia ako predchádzajúca. Keď už sme sa však rozhodli pre ten či onen spôsob, musíme ho systematicky dodržiavať, aby sme čo najviac rešpektovali náhodnosť prvkov v tabuľke.

38. Aký interval nazývame interval spoľahlivosti?

Interval spoľahlivosti je povolená odchýlka pozorovaných hodnôt od skutočných hodnôt. Veľkosť tohto predpokladu určuje výskumník s prihliadnutím na požiadavky na presnosť informácií. Ak sa odchýlka chyby zvýši, veľkosť vzorky sa zníži, aj keď hladina spoľahlivosti zostane na 95 %.

Interval spoľahlivosti ukazuje, v akom rozsahu sa budú nachádzať výsledky výberových pozorovaní (prieskumov). Ak vykonáme 100 identických prieskumov v identických vzorkách z jednej populácie (napríklad 100 vzoriek po 1 000 ľuďoch v meste s 5 miliónmi obyvateľov), potom na úrovni spoľahlivosti 95 % bude 95 zo 100 výsledkov spadať do interval spoľahlivosti (napríklad od 28 % do 32 % so skutočnou hodnotou 30 %).

Napríklad skutočný počet obyvateľov mesta, ktorí fajčia, je 30 %. Ak vyberieme 1000 ľudí 100-krát za sebou a v týchto vzorkách položíme otázku „fajčíš?“, v 95 z týchto 100 vzoriek pri 2 % intervale spoľahlivosti bude hodnota od 28 % do 32 %.

39 Čo sa nazýva úroveň spoľahlivosti (hladina spoľahlivosti)?

Úroveň spoľahlivosti odzrkadľuje množstvo údajov, ktoré hodnotiteľ potrebuje, aby potvrdil, že skúmaný program má požadovaný účinok. AT spoločenské vedy Tradične sa používa 95% úroveň spoľahlivosti. Pre väčšinu komunitných programov je však 95 % prehnaných. Úroveň spoľahlivosti v rozsahu 80-90% je dostatočná na adekvátne posúdenie programu. Týmto spôsobom možno zmenšiť veľkosť reprezentatívnej skupiny, čím sa znížia náklady na hodnotenie.

Proces štatistického hodnotenia testuje nulovú hypotézu, že program nemal zamýšľaný efekt. Ak sa získané výsledky výrazne líšia od počiatočných predpokladov o správnosti nulovej hypotézy, potom sa nulová hypotéza zamietne.

40. Ktorý z dvoch intervalov spoľahlivosti je väčší: dvojstranný 99 % alebo dvojstranný 95 %? Vysvetlite.

Obojstranný 99 % interval spoľahlivosti je väčší ako 95 %, pretože doň spadá viac hodnôt. Doc-in:

Pomocou z-skóre môžete presnejšie odhadnúť interval spoľahlivosti a určiť celkový tvar intervalu spoľahlivosti. Presná formulácia intervalu spoľahlivosti pre priemer vzorky je nasledovná:

Pre náhodnú vzorku 25 pozorovaní, ktoré spĺňajú normálne rozdelenie, má teda interval spoľahlivosti priemeru vzorky nasledujúci tvar:

Môžete si byť teda na 95 % istí, že hodnota leží v rozmedzí ±1,568 jednotiek priemeru vzorky. Použitím rovnakej metódy je možné určiť, že 99 % interval spoľahlivosti leží v rozmedzí ± 2,0608 jednotiek priemeru vzorky

hodnotu Teda máme a odtiaľto , Podobne získame spodnú hranicu, ktorá sa rovná

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16, 61, 34, 43, 25, 52);

● B = (11,12, 21,13, 31,14, 41,15, 51,16, 61)

• C = (12, 21,36, 63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● D= (SÚČET BODOV JE 2 ALEBO 3);

● E= (CELKOVÝ POČET BODOV JE 10).

Opíšte udalosť: OD= (OBVOD ZATVORENÝ) pre každý prípad.

Riešenie. Uveďme si zápis: udalosť A- kontakt 1 je zopnutý; udalosť AT- kontakt 2 je zopnutý; udalosť OD- okruh je uzavretý, svetlo svieti.

1. Pri paralelnom zapojení je obvod uzavretý, keď je zopnutý aspoň jeden z kontaktov, tzv C = A + B;

2. Pri sériovom zapojení je obvod uzavretý, keď sú oba kontakty zopnuté, tzv C \u003d A B.

Úloha. 1.1.4 Boli navrhnuté dva elektrické obvody:

Udalosť A - okruh je uzavretý, udalosť A i - ja-tý kontakt je uzavretý. Pre ktorý z nich je pomer

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

Riešenie. Pre prvý obvod A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), pretože súčet udalostí zodpovedá paralelnému pripojeniu a súčin udalostí sériovému pripojeniu. Pre druhú schému A = A1 (A2+A3 A4 A5). Preto tento vzťah platí pre druhú schému.

Úloha. 1.1.5 Zjednodušte výraz (A + B) (B + C) (C + A).

Riešenie. Využime vlastnosti operácií sčítania a násobenia udalostí.

(A+ B) (B + C) (A + C) =

(AB+ AC + B B + BC) (A + C) =

= (AB+ AC + B + BC) (A + C) =

(AB + AC + B) (A + C) = (B + AC) (A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Úloha. 1.1.6Dokážte, že udalosti A, AB a A+B vytvoriť kompletnú skupinu.

Riešenie. Pri riešení úlohy využijeme vlastnosti operácií nad udalosťami. Najprv ukážeme, že tieto udalosti sú párovo nekompatibilné.

Ukážme teraz, že súčet týchto udalostí dáva priestor elementárnym udalostiam.

Úloha. 1.1.7Pomocou schémy Euler-Venn skontrolujte de Morganovo pravidlo:

A) Udalosť AB je tieňovaná.

B) Udalosť A – vertikálne šrafovanie; udalosť B - horizontálne šrafovanie. Udalosť

(A+B) - tieňovaná oblasť.

Z porovnania obrázkov a) a c) vyplýva:

Úloha. 1.2.1Koľkými spôsobmi je možné usadiť 8 ľudí?

1. V jednom rade?

2. Za okrúhly stôl?

Riešenie.

1. Požadovaný počet spôsobov sa rovná počtu permutácií z 8, t.j.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Keďže výber prvej osoby pri okrúhlom stole neovplyvňuje striedanie prvkov, potom môže byť prvý zobratý ktokoľvek a zvyšné budú zoradené podľa zvoleného. Túto akciu je možné vykonať 8!/8 = 5040 spôsobmi.

Úloha. 1.2.2Kurz zahŕňa 5 predmetov. Koľkými spôsobmi si môžete vytvoriť rozvrh na sobotu, ak v ten deň budú dva rôzne páry?

Riešenie. Požadovaný počet spôsobov je počet umiestnení

Od 5 do 2, pretože musíte vziať do úvahy poradie párov:

Úloha. 1.2.3Ako skúšobné komisie, pozostávajúci zo 7 ľudí, môže byť zložený z 15 učiteľov?

Riešenie. Požadovaný počet provízií (bez ohľadu na objednávku) je počet kombinácií 15 až 7:

Úloha. 1.2.4 Z koša s dvadsiatimi očíslovanými loptičkami sa vyberie 5 loptičiek pre šťastie. Určte počet prvkov v priestore elementárnych udalostí tejto skúsenosti, ak:

Guľôčky sa vyberajú postupne jedna po druhej s návratom po každej extrakcii;

Loptičky sa vyberajú jedna po druhej bez návratu;

Naraz sa vyberie 5 loptičiek.

Riešenie.

Počet spôsobov vytiahnutia prvej lopty z koša je 20. Keďže vyťažená lopta sa vráti do koša, počet spôsobov vytiahnutia druhej lopty je tiež 20 atď. Potom je počet spôsobov vytiahnutia 5 guličiek je v tomto prípade 20 20 20 20 20 = 3200000.

Počet spôsobov vytiahnutia prvej lopty z koša je 20. Keďže sa vyťažená lopta po vytiahnutí nevrátila do koša, počet spôsobov vytiahnutia druhej lopty sa stal 19 atď. 5 loptičiek bez výmeny je 20 19 18 17 16 = A52 0

Počet spôsobov, ako vytiahnuť 5 loptičiek z koša naraz, sa rovná počtu kombinácií 20 x 5:

Úloha. 1.2.5 Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť udalosti A, že padne aspoň jedna 1.

Riešenie. Na každej kocke môže padnúť ľubovoľný počet bodov od 1 do 6. Priestor elementárnych udalostí teda obsahuje 36 rovnako možných výsledkov. Udalosť A uprednostňuje 11 výsledkov: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6.1), takže

Úloha. 1.2.6 Na červené kartičky sú napísané písmená y, i, i, k, c, f, n, na modré písmená a, a, o, t, t, s, h. Po dôkladnom premiešaní, čo je pravdepodobnejšie : prvýkrát z písmen použiť červené karty na vytvorenie slova „funkcia“ alebo písmená na modrých kartách na vytvorenie slova „frekvencia“?

Riešenie. Nech udalosť A je slovo „funkcia“ náhodne zložené zo 7 písmen, udalosť B – slovo „frekvencia“ náhodne zložené zo 7 písmen. Keďže sú usporiadané dve sady po 7 písmen, počet všetkých výsledkov pre udalosti A a B je n = 7!. Udalosť A je zvýhodnená jedným výsledkom m = 1, pretože všetky písmená na červených kartách sú odlišné. Udalosť B je zvýhodnená m = 2! · 2! keďže písmená „a“ a „t“ sa vyskytujú dvakrát. Potom P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Úloha. 1.2.7 Na skúške je študentovi ponúknutých 30 lístkov; Každý lístok má dve otázky. Zo 60 otázok zahrnutých v tiketoch pozná študent iba 40. Nájdite pravdepodobnosť, že tiket, ktorý si študent vzal, bude pozostávať z

1. z jemu známych otázok;

2. z otázok jemu neznámych;

3. z jednej známej a jednej neznámej otázky.

Riešenie. Nech A je udalosť, pri ktorej študent pozná odpoveď na obe otázky; B - nepozná odpoveď na obe otázky; C - na jednu otázku pozná odpoveď, na inú nepozná odpoveď. Výber dvoch otázok zo 60 možno vykonať n = C260 = 60 2 59 = 1770 spôsobmi.

1. Študent má k dispozícii m = C240 ​​​​= 40 2 39 = 780 možností otázok. Potom P(A) = MN = 1778700 = 0,44

2. Výber dvoch neznámych otázok z 20 je možné vykonať m = C220 = 20 2 19 = 190 spôsobmi. V tomto prípade

P(B) = MN = 1179700 = 0,11

3. Existuje m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 spôsobov, ako vybrať tiket s jednou známou a jednou neznámou otázkou. Potom P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Úloha. 1.2.8Niektoré informácie boli odoslané tromi kanálmi. Kanály fungujú nezávisle od seba. Nájdite pravdepodobnosť, že informácie dosiahnu cieľ

1. Len na jednom kanáli;

2. Aspoň jeden kanál.

Riešenie. Nech A je udalosť spočívajúca v tom, že informácia dosiahne cieľ iba jedným kanálom; B - aspoň jeden kanál. Skúsenosť je prenos informácií cez tri kanály. Výsledok skúsenosti – informácie dosiahli cieľ. Označiť Ai - informácie dosiahnu cieľ cez i-tý kanál. Priestor elementárnych udalostí má tvar:

Udalosť B uprednostňuje 7 výsledkov: všetky výsledky okrem Potom n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 38; P(B) = 78.

Úloha. 1.2.9Na segmente jednotkovej dĺžky sa náhodne objaví bod. Nájdite pravdepodobnosť, že vzdialenosť od bodu ku koncom segmentu je väčšia ako 1/8.

Riešenie. Podľa stavu úlohy vyhovujú želanej udalosti všetky body, ktoré sa objavia na intervale (a; b).

Keďže jeho dĺžka je s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4 a dĺžka celého segmentu je S = 1, požadovaná pravdepodobnosť je P = s/S = 3/14 = 0,75.

Úloha. 1.2.10V dávkeNProduktyKvýrobky sú chybné. Na kontrolu sa vyberie m produktov. Nájdite pravdepodobnosť, že od M Produkty L Ukázalo sa, že sú chybné (udalosť A).

Riešenie. Výber m produktov z n možno vykonať spôsobmi, a výberom L defektný z k defektný - spôsobmi. Po výbere L chybné výrobky zostanú (m - L) fit, nachádzajúci sa medzi (n - k) produktmi. Potom je počet výsledkov v prospech udalosti A

A želaná pravdepodobnosť

Úloha. 1.3.1BUrna obsahuje 30 loptičiek: 15 červených, 10 modrých a 5 bielych. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá guľa je zafarbená.

Riešenie. Nechajte udalosť A - žrebuje sa červená guľa, udalosť B - žrebuje sa modrá guľa. Potom udalosti (A + B) - vyžrebuje sa farebná guľa. Máme P(A) = 1 3 5 0 = 1 2, P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Od r.

Udalosti A a B sú nezlučiteľné, potom P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Úloha. 1.3.2Pravdepodobnosť, že bude snežiť (udalosť A ), rovná sa 0.6, A skutočnosť, že bude pršať (event B ), rovná sa 0.45. Nájdite pravdepodobnosť zlého počasia, ak pravdepodobnosť dažďa a snehu (udal AB ) rovná sa 0.25.

Riešenie. Udalosti A a B sú spoločné, takže P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Úloha. 1.3.3BPrvá krabica obsahuje 2 biele a 10 čiernych loptičiek, druhá - 3 biele a 9 čiernych loptičiek a tretia - 6 bielych a 6 čiernych loptičiek. Z každej krabice sa vybrala loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vytiahnuté gule sú biele.

Riešenie. Udalosť A - biela guľa sa vyžrebuje z prvého poľa, B - z druhého poľa, C - z tretieho. Potom P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 132 = 14; P(C) = 16 2 = 1 2. Udalosť ABC – všetky vyradené

Gule sú biele. Udalosti A, B, C sú teda nezávislé

P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Úloha. 1.3.4Belektrický obvod zapojený do série 5 Prvky, ktoré fungujú nezávisle od seba. Pravdepodobnosť porúch prvého, druhého, tretieho, štvrtého, piateho prvku je 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Nájdite pravdepodobnosť, že v obvode nebude prúd (udal A ).

Riešenie. Keďže prvky sú zapojené do série, v obvode nebude prúd, ak zlyhá aspoň jeden prvok. Udalosť Ai(i =1...5) - zlyhá ja- prvok. Vývoj

Úloha. 1.3.5Obvod pozostáva z nezávislých blokov zapojených do systému s jedným vstupom a jedným výstupom.

Zlyhanie v čase T rôzne prvky reťaze - nezávislé udalosti s nasledujúcimi pravdepodobnosťamiP 1 = 0,1; P 2 = 0,2; P 3 = 0,3; P 4 = 0,4. Porucha niektorého z prvkov vedie k prerušeniu signálu vo vetve obvodu, kde sa tento prvok nachádza. Zistite spoľahlivosť systému.

Riešenie. Ak udalosť A - (SYSTÉM JE SPOĽAHLIVÝ), Ai - (i - JEDNOTKA FUNGUJE CHYBNE), potom A = (A1 + A2) (A3 + A4). Udalosti A1+A2, A3+A4 sú nezávislé, udalosti A1 a A2, A3 a A4 sú spoločné. Podľa vzorcov na násobenie a sčítanie pravdepodobností

Úloha. 1.3.6Pracovník obsluhuje 3 stroje. Pravdepodobnosť, že do jednej hodiny stroj nevyžaduje pozornosť pracovníka, je 0,9 pre prvý stroj, 0,8 pre druhý stroj a 0,7 pre tretí stroj.

Nájdite pravdepodobnosť, že počas nejakej hodiny

1. Druhý stroj bude vyžadovať pozornosť;

2. Dva stroje budú vyžadovať pozornosť;

3. Pozornosť si vyžadujú najmenej dva stroje.

Riešenie. Nech Ai - i-tý stroj vyžaduje pozornosť pracovníka, - i-tý stroj nebude vyžadovať pozornosť pracovníka. Potom

Priestor elementárnych udalostí:

1. Udalosť A – bude vyžadovať pozornosť druhého stroja: Potom

Keďže udalosti sú nezlučiteľné a nezávislé. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Udalosť B – dva stroje budú vyžadovať pozornosť:

3. Udalosť C – aspoň dve omráčenia budú vyžadovať pozornosť
cov:

Úloha. 1.3.7Bzavedený stroj "Skúšajúci". 50 otázky. Študent sa ponúka 5 Otázky a známku „výborne“ dostanete, ak sú všetky otázky zodpovedané správne. Nájdite pravdepodobnosť získania „výborného“, ak sa študent iba pripravoval 40 otázky.

Riešenie. A - (DOSTAL "VÝBORNE"), Ai - (ODPOVEDAL NA i - OTÁZKU). Potom A = A1A2A3A4A5, máme:

Alebo iným spôsobom - pomocou klasického vzorca pravdepodobnosti: A

Úloha. 1.3.8Pravdepodobnosti, v ktorých sa nachádza časť potrebná pre zostavovateľaja, II, III, IVbox, respektíve sú rovnaké 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Nájdite pravdepodobnosť, že zberateľ bude musieť zaškrtnúť všetky 4 políčka (udalA).

Riešenie. Nech Ai - (Časť, ktorú potrebuje assembler, je v i-tom poli.) Potom

Keďže udalosti sú nezlučiteľné a nezávislé

Úloha. 1.4.1 Vyšetrená bola skupina 10 000 ľudí starších ako 60 rokov. Ukázalo sa, že 4000 ľudí je trvalých fajčiarov. 1800 fajčiarov vykazovalo vážne zmeny na pľúcach. Medzi nefajčiarmi malo zmeny na pľúcach 1500 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vyšetrený človek s pľúcnymi zmenami je fajčiar?

Riešenie. Uveďme si hypotézy: H1 - vyšetrovaný je trvalý fajčiar, H2 - je nefajčiar. Potom podľa stavu problému

P(H1)= -------=0,4, P(H2)=---------=0,6

Označme A udalosť, že vyšetrovaná osoba má zmeny na pľúcach. Potom podľa stavu problému

Podľa vzorca (1.15) nájdeme

Požadovaná pravdepodobnosť, že vyšetrovaná osoba je fajčiar, sa podľa Bayesovho vzorca rovná

Úloha. 1.4.2Do predaja idú televízory z troch tovární: 30 % z prvej továrne, 20 % z druhej, 50 % z tretej. Výrobky prvej továrne obsahujú 20% televízorov so skrytou chybou, druhá - 10%, tretia - 5%. Aká je pravdepodobnosť získania funkčného televízora?

Riešenie. Uvažujme o nasledujúcich udalostiach: A - bol zakúpený prevádzkyschopný televízor; hypotézy H1, H2, H3 - televízor sa začal predávať z prvej, druhej, tretej továrne, resp. Podľa zadania

Podľa vzorca (1.15) nájdeme

Úloha. 1.4.3Existujú tri rovnaké krabice. Prvá má 20 bielych loptičiek, druhá má 10 bielych a 10 čiernych loptičiek a tretia má 20 čiernych loptičiek. Z náhodne vybratého políčka sa vyžrebuje biela guľa. Nájdite pravdepodobnosť, že táto guľa je z druhého poľa.

Riešenie. Nech udalosť A - vytiahne sa biela guľa, hypotézy H1, H2, H3 - loptička sa vyberie z prvého, druhého, tretieho políčka. Zo stavu problému, ktorý nájdeme

Potom
Podľa vzorca (1.15) nájdeme

Podľa vzorca (1.16) nájdeme

Úloha. 1.4.4Telegrafná správa pozostáva zo signálov bodka a pomlčka. Štatistické vlastnosti interferencie sú také, že sú v priemere skreslené 2/5 Bodkové správy a 1/3 Prerušované správy. Je známe, že medzi prenášanými signálmi sa v pomere vyskytujú „bodka“ a „pomlčka“. 5: 3. Určte pravdepodobnosť prijatia prenášaného signálu, ak:

A) je prijatý signál "bod";

B)prijatý pomlčkový signál.

Riešenie. Nech sa prijme udalosť A - signál "bodka" a prijme sa udalosť B - signál "pomlčka".

Je možné urobiť dve hypotézy: H1 - vysiela sa signál "bodka", H2 - vysiela sa signál "pomlčka". Podľa podmienky P(H1): P(H2)=5:3. Okrem toho P(H1 ) + P(H2)= 1. Preto P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. To je známe

Pravdepodobnosti udalostí A A B Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti zistíme:

Požadované pravdepodobnosti budú:

Úloha. 1.4.5Z 10 rádiových kanálov je 6 kanálov chránených pred rušením. Pravdepodobnosť, že bezpečný kanál v priebehu časuTnezlyhá je 0,95, pre nechránený kanál - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že dva náhodne vybrané kanály včas nezlyhajúTa oba kanály nie sú chránené pred rušením.

Riešenie. Nech udalosť A - oba kanály nezlyhajú počas času t, udalosti A1- Zvolený zabezpečený kanál A2- Je vybratý nezabezpečený kanál.

Napíšme priestor elementárnych udalostí pre experiment - (sú vybraté dva kanály):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

hypotézy:

H1 - oba kanály sú chránené pred rušením;

H2 - prvý zvolený kanál je chránený, druhý zvolený kanál nie je chránený pred rušením;

H3 - prvý zvolený kanál nie je chránený, druhý zvolený kanál je chránený pred rušením;

H4 - oba zvolené kanály nie sú chránené pred rušením. Potom

A

Úloha. 1.5.1Prenáša sa cez komunikačný kanál 6 Správy. Každá zo správ môže byť s pravdepodobnosťou skreslená šumom 0.2 Bez ohľadu na ostatných. Nájdite pravdepodobnosť, že

1. 4 správy zo 6 nie sú skreslené;

2. Najmenej 3 zo 6 boli vysielané skreslené;

3. Aspoň jedna správa zo 6 je skomolená;

4. Nie viac ako 2 zo 6 nie sú skreslené;

5. Všetky správy sa prenášajú bez skreslenia.

Riešenie. Keďže pravdepodobnosť skreslenia je 0,2, pravdepodobnosť prenosu správy bez rušenia je 0,8.

1. Pomocou Bernoulliho vzorca (1.17) zistíme pravdepodobnosť
prenosová rýchlosť 4 zo 6 správ bez rušenia:

2. aspoň 3 zo 6 sa prenášajú skreslene:

3. aspoň jedna správa zo 6 je skomolená:

4. aspoň jedna správa zo 6 je skomolená:

5. všetky správy sa prenášajú bez skreslenia:

Úloha. 1.5.2Pravdepodobnosť, že v lete bude jasný deň, je 0,42; pravdepodobnosť zamračeného dňa je 0,36 a polooblačno 0,22. Koľko dní z 59 možno očakávať, že bude jasno a zamračené?

Riešenie. Zo stavu problému je vidieť, že je potrebné hľadať najpravdepodobnejší počet jasných a zamračených dní.

Pre jasné dni P= 0.42, N= 59. Poskladáme nerovnosti (1,20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo≤ 25.2 → Mo= 25.

Pre zamračené dni P= 0.36, N= 59 a

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Preto 20,16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Teda najpravdepodobnejší počet jasných dní Mo= 25, zamračené dni - M0 = 21. Potom v lete môžeme očakávať Mo+ M0 = 46 jasných a zamračených dní.

Úloha. 1.5.3Na prednáške z teórie pravdepodobnosti je 110 študentov kurzu. Nájdite pravdepodobnosť, že

1. septembra sa narodilo 1. k žiakov (k = 0,1,2) z prítomných;

2. aspoň jeden študent kurzu sa narodil prvého septembra.

P = 1/365 je veľmi malý, preto použijeme Poissonov vzorec (1.22). Poďme nájsť Poissonov parameter. Pretože

N= 110, potom λ = np = 1101/365 = 0,3.

Potom podľa Poissonovho vzorca

Úloha. 1.5.4Pravdepodobnosť, že časť nie je štandardná, je 0.1. Koľko podrobností treba vybrať, aby s pravdepodobnosťou P = 0.964228 Dalo by sa tvrdiť, že relatívna frekvencia výskytu neštandardných častí sa odchyľuje od konštantnej pravdepodobnosti p = 0.1 V absolútnom vyjadrení nie viac ako 0.01 ?

Riešenie.

Požadované číslo N Nájdeme podľa vzorca (1.25). Máme:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Nahraďte údaje vo vzorci:

Kde nájdeme

Podľa tabuľky hodnôt funkcie Φ( X) to zistíme

Úloha. 1.5.5Pravdepodobnosť poruchy v čase T jedného kondenzátora je 0,2. Určte pravdepodobnosť, že v čase T zo 100 kondenzátorov zlyhá.

1. Presne 10 kondenzátorov;

2. najmenej 20 kondenzátorov;

3. menej ako 28 kondenzátorov;

4. Od 14 do 26 kondenzátorov.

Riešenie. Máme P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Presne 10 kondenzátorov.

Pretože P Veliko, použime miestnu de Moivre-Laplaceovu vetu:

Vypočítať

Od funkcie φ(x)- párne, potom φ (-2,5) = φ (2,50) = 0,0175 (zisťujeme z tabuľky hodnôt funkcií φ(x). Požadovaná pravdepodobnosť

2. najmenej 20 kondenzátorov;

Požiadavka, aby zlyhalo aspoň 20 zo 100 kondenzátorov, znamená, že zlyhá buď 20, alebo 21, ... alebo 100. T1 = 20, T 2 = 100. Potom

Podľa tabuľky funkčných hodnôt Φ(x) Nájdite Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Požadovaná pravdepodobnosť:

3. menej ako 28 kondenzátorov;

(tu sa bral do úvahy, že Laplaceova funkcia Ф(x) je nepárna).

4. Od 14 do 26 kondenzátorov. Podľa podmienok M1= 14, m2 = 26.
Vypočítajte x 1, x 2:

Úloha. 1.5.6Pravdepodobnosť výskytu nejakej udalosti v jednom experimente sa rovná 0,6. Aká je pravdepodobnosť, že táto udalosť nastane vo väčšine zo 60 pokusov?

Riešenie. Množstvo M Výskyt udalosti v sérii testov je v intervale. "Vo väčšine experimentov" to znamená M Patrí do intervalu Podľa podmienky N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. Vypočítajte x1 a x2:

Náhodné veličiny a ich rozdelenie

Úloha. 2.1.1Daná tabuľka, kde horný riadok označuje možné hodnoty náhodnej premennej X a v spodnej časti - ich pravdepodobnosti.

Môže byť táto tabuľka distribučnou sériou? X ?

Odpoveď: Áno, pretože p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Úloha. 2.1.2Vydané 500 Lístky do lotérie, a 40 Vstupenky prinesú svojim majiteľom odmenu za 10000 Rub., 20 Vstupenky - podľa 50000 Rub., 10 Vstupenky - podľa 100000 Rub., 5 Vstupenky - podľa 200000 Rub., 1 Vstupenka - 500000 Rub., zvyšok - bez výhry. Nájdite víťazný zákon o distribúcii pre majiteľa jedného tiketu.

Riešenie.

Možné hodnoty X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Pravdepodobnosti týchto možných hodnôt sú:

Požadovaný distribučný zákon:

Úloha. 2.1.3strelec, majúci 5 Náboje, strieľa až do prvého zásahu do cieľa. Pravdepodobnosť zasiahnutia každého výstrelu je 0.7. Zostrojte zákon rozdelenia počtu použitých kaziet, nájdite distribučnú funkciuF(X) a nakreslite jeho graf, nájdite P(2< x < 5).

Riešenie.

Priestor elementárnych zážitkových udalostí

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Kde udalosť (1) - zasiahla cieľ, udalosť (0) - nezasiahla cieľ. Elementárne výsledky zodpovedajú nasledujúcim hodnotám náhodnej hodnoty počtu použitých nábojov: 1, 2, 3, 4, 5. Keďže výsledok každého ďalšieho výstrelu nezávisí od predchádzajúceho, pravdepodobnosti možných hodnôt sú:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Požadovaný distribučný zákon:

Nájdite distribučnú funkciu F(X), Použitie vzorca (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2 (x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X >5, F(x) = 1

Nájdite P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Úloha. 2.1.4DanaF(X) nejakej náhodnej premennej:

Zapíšte si distribučné série pre X.

Riešenie.

Z vlastností F(X) Z toho vyplýva, že možné hodnoty náhodnej premennej X - Body zlomu funkcií F(X), A zodpovedajúce pravdepodobnosti sú skoky funkcie F(X). Nájdite možné hodnoty náhodnej premennej X=(0,1,2,3,4).

Úloha. 2.1.5Nastavte, ktorú funkciu

Je distribučnou funkciou nejakej náhodnej premennej.

Ak je odpoveď áno, nájdite pravdepodobnosť, že tomu zodpovedá náhodná hodnota preberá hodnoty[-3,2].

Riešenie. Nakreslíme funkcie F1(x) a F2(x):

Funkcia F2(x) nie je distribučnou funkciou, pretože nie je neklesajúca. Funkcia F1(x) je

Distribučná funkcia nejakej náhodnej premennej, keďže je neklesajúca a spĺňa podmienku (2.3). Nájdite pravdepodobnosť dosiahnutia intervalu:

Úloha. 2.1.6Vzhľadom na hustotu pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X :

Nájsť:

1. Koeficient C ;

2. distribučná funkcia F(x) ;

3. Pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do intervalu(1, 3).

Riešenie. Z normalizačnej podmienky (2.9) zistíme

v dôsledku toho

Podľa vzorca (2.10) zistíme:

Touto cestou,

Podľa vzorca (2.4) nájdeme

Úloha. 2.1.7Náhodné prestoje elektronických zariadení majú v niektorých prípadoch hustotu pravdepodobnosti

Kde M = lge = 0,4343...

Funkcia nájsť distribúciu F(x) .

Riešenie. Podľa vzorca (2.10) nájdeme

Kde

Úloha. 2.2.1Je daný distribučný rad diskrétnej náhodnej premennej X :

Nájsť očakávaná hodnota, rozptyl, štandardná odchýlka, M, D[-3X + 2].

Riešenie.

Podľa vzorca (2.12) nájdeme matematické očakávanie:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. Pomocou vzorca (2.19) zistíme disperziu:

Úloha. 2.2.2Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku spojitej náhodnej premennej X , ktorých distribučná funkcia

.

Riešenie. Nájdite hustotu pravdepodobnosti:

Matematické očakávanie sa zistí podľa vzorca (2.13):

Disperziu nájdeme podľa vzorca (2.19):

Najprv nájdime matematické očakávanie druhej mocniny náhodnej premennej:

Smerodajná odchýlka

Úloha. 2.2.3Xmá niekoľko distribúcií:

Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennejY = EX .

Riešenie. M[ Y] = M[ EX ] = e-- 1 0,2 + e0 0,3 + e1 0,4 + e2 0,1 =

0,2 0,3679 + 1 0,3 + 2,71828 0,4 + 7,389 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Úloha. 2.2.4Diskrétna náhodná premenná X Môže nadobudnúť iba dve hodnoty X1 A X2 , a X1< x2. Známa pravdepodobnosť P1 = 0,2 Možná hodnota X1 , očakávaná hodnota M[X] = 3,8 A rozptyl D[X] = 0,16. Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej.

Riešenie. Keďže náhodná premenná X má iba dve hodnoty x1 a x2, potom pravdepodobnosť p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

Podľa stavu problému máme:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2 x 1 + 0,8 x 2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2 x 21 + 0,8 x 22) - (0,38)2 = 0,16.

Dostali sme teda sústavu rovníc:

Podmienka x1

Úloha. 2.2.5Náhodná premenná X podlieha distribučnému zákonu, ktorého graf hustoty má tvar:

Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

Riešenie. Nájdite diferenciálnu distribučnú funkciu f(x). Mimo intervalu (0, 3) f(x) = 0. Na intervale (0, 3) je graf hustoty priamka so sklonom k ​​= 2/9 prechádzajúca počiatkom. Touto cestou,

Očakávaná hodnota:

Nájdite rozptyl a štandardnú odchýlku:

Úloha. 2.2.6Nájdite matematické očakávanie a rozptyl súčtu bodov na štyroch kockách v jednom hode.

Riešenie. Označme A - počet bodov na jednej kocke pri jednom hode, B - počet bodov na druhej kocke, C - na tretej kocke, D - na štvrtej kocke. Pre náhodné veličiny A, B, C, D platí distribučný zákon jeden.

Potom M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Úloha. 2.3.1Pravdepodobnosť, že častica emitovaná z rádioaktívneho zdroja bude zaregistrovaná čítačom, sa rovná 0.0001. Počas obdobia pozorovania, 30000 častice. Nájdite pravdepodobnosť, že počítadlo zaregistrovalo:

1. Presne 3 častice;

2. Ani jedna častica;

3. Najmenej 10 častíc.

Riešenie. Podľa podmienok P= 30000, P= 0,0001. Udalosti spočívajúce v tom, že častice emitované z rádioaktívneho zdroja sú registrované, sú nezávislé; číslo P Super, ale tá pravdepodobnosť P Malý, preto používame Poissonovu distribúciu: Poďme nájsť λ: λ = n P = 30 000 0,0001 = 3 = M[X]. Požadované pravdepodobnosti:

Úloha. 2.3.2V sérii je 5% neštandardných dielov. Náhodne bolo vybraných 5 položiek. Napíšte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej X - počet neštandardných častí spomedzi piatich vybraných; nájsť matematické očakávania a rozptyl.

Riešenie. Diskrétna náhodná premenná X - počet neštandardných častí - má binomické rozdelenie a môže nadobúdať tieto hodnoty: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Pravdepodobnosť neštandardný diel v dávke p = 5 /100 = 0,05. Poďme nájsť pravdepodobnosti týchto možných hodnôt:

Napíšme požadovaný distribučný zákon:

Poďme nájsť číselné charakteristiky:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Alebo D[ X] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Úloha. 2.3.3Čas detekcie radarového cieľa je rozdelený podľa exponenciálneho zákona

Kde1/ A = 10 Sek. - priemerný čas detekcie cieľa. Nájdite pravdepodobnosť, že sa cieľ nájde v danom čase5 Predtým15 Sek. po začatí hľadania.

Riešenie. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej X V intervale (5, 15) Nájdite podľa vzorca (2.8):

O Dostaneme

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Úloha. 2.3.4Náhodné chyby merania podliehajú normálnemu zákonu s parametrami a = 0, a = 20 Mm. Napíšte funkciu diferenciálneho rozdeleniaF(X) a nájdite pravdepodobnosť, že meranie urobilo chybu v intervale od 5 Predtým 10 Mm.

Riešenie. Dosaďte hodnoty parametrov a a σ do funkcie diferenciálneho rozdelenia (2.35):

Pomocou vzorca (2.42) zistíme pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej X V intervale t.j. A= 0, B= 0,1. Potom funkcia diferenciálneho rozdelenia F(x) Bude vyzerať