Mnohosten, v ktorom je jedna z plôch mnohouholník a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom, sa nazýva pyramída.

Tieto trojuholníky tvoriace pyramídu sa nazývajú bočné steny a zostávajúci mnohouholník je základ pyramídy.

Na základni pyramídy leží geometrický obrazec– n-uholník. V tomto prípade sa pyramída nazýva aj tzv n-uhlie.

Nazýva sa trojuholníková pyramída, ktorej všetky hrany sú rovnaké štvorsten.

Okraje pyramídy, ktoré nepatria k základni, sa nazývajú bočné, a ich spoločný bod- toto je vrchol pyramídy. Ostatné okraje pyramídy sa bežne označujú ako nadačné večierky.

Pyramída je tzv správne, ak má na svojej základni pravidelný mnohouholník a všetky bočné hrany sú si navzájom rovné.

Vzdialenosť od vrcholu pyramídy k rovine základne sa nazýva výška pyramídy. Môžeme povedať, že výška pyramídy je úsečka kolmá na základňu, ktorej konce sú na vrchole pyramídy a v rovine základne.

Pre každú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

1) S plná \u003d S strana + S hlavná, kde

S plná - plocha celého povrchu pyramídy;

S strana - bočná plocha, t.j. súčet plôch všetkých bočných plôch pyramídy;

S základňa - plocha základne pyramídy.

2) V = 1/3 S hlavného N, kde

V je objem pyramídy;

H je výška pyramídy.

Pre správna pyramída vyskytuje:

S strana = 1/2 P hlavná h, kde

P hlavná - obvod základne pyramídy;

h je dĺžka apotému, to znamená dĺžka výšky bočnej steny zníženej z vrcholu pyramídy.

Časť pyramídy uzavretá medzi dvoma rovinami - rovinou základne a sečnou rovinou, vedená rovnobežne so základňou, sa nazýva zrezaná pyramída.

Základňa pyramídy a rez pyramídou rovnobežnou rovinou sa nazývajú dôvodov zrezaná pyramída. Zvyšné tváre sú tzv bočné. Vzdialenosť medzi rovinami základov sa nazýva výška zrezaná pyramída. Hrany, ktoré nepatria k základniam, sa nazývajú bočné.

Okrem toho základy zrezanej pyramídy podobné n-uholníky. Ak sú základne zrezaného ihlana pravidelné mnohouholníky a všetky bočné hrany sú si navzájom rovné, potom sa takýto zrezaný ihlan nazýva správne.

Pre ľubovoľná zrezaná pyramída platia nasledujúce vzorce:

1) S plná \u003d S strana + S 1 + S 2, kde

S plný - celková plocha;

S strana - bočná plocha, t.j. súčet plôch všetkých bočných plôch zrezanej pyramídy, ktoré sú lichobežníkmi;

S 1, S 2 - základné plochy;

2) V = 1/3(S1 + S2 + √(S1S2))H, kde

V je objem zrezanej pyramídy;

H je výška zrezaného ihlana.

Pre pravidelná zrezaná pyramída my tiež máme:

Strana S \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, kde

P 1, P 2 - obvody podstavcov;

h - apotém (výška bočnej plochy, ktorá je lichobežníkom).

Zvážte niekoľko problémov na skrátenej pyramíde.

Úloha 1.

V trojuholníkovom zrezanom ihlane s výškou 10 sú strany jednej podstavy 27, 29 a 52. Určte objem zrezaného ihlana, ak obvod druhej podstavy je 72.

Riešenie.

Zoberme si skrátenú pyramídu ABCA 1 B 1 C 1 zobrazenú v Postava 1.

1. Objem zrezanej pyramídy možno nájsť podľa vzorca

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)), kde S 1 je plocha jednej zo zásad, možno nájsť pomocou Heronovho vzorca

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

pretože Úloha je daná dĺžkami troch strán trojuholníka.

Máme: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. Pyramída je zrezaná, čo znamená, že podobné mnohouholníky ležia na základniach. V našom prípade je trojuholník ABC podobný trojuholníku A 1 B 1 C 1. Okrem toho koeficient podobnosti možno nájsť ako pomer obvodov uvažovaných trojuholníkov a pomer ich plôch sa bude rovnať štvorcu koeficientu podobnosti. Máme teda:

S 1 / S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Preto S 2 \u003d 4S 1/9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

Takže V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Odpoveď: 1900.

Úloha 2.

V trojuholníkovom zrezanom ihlane je rovina vedená cez stranu hornej základne rovnobežne s protiľahlou bočnou hranou. V akom pomere je rozdelený objem zrezanej pyramídy, ak sú príslušné strany podstav vo vzťahu 1:2?

Riešenie.

Zoberme si ABCA 1 B 1 C 1 - zrezanú pyramídu zobrazenú v ryža. 2.

Keďže na základniach sú strany vo vzťahu 1: 2, potom sú plochy základov spojené ako 1: 4 (trojuholník ABC je podobný trojuholníku A 1 B 1 C 1).

Potom je objem skrátenej pyramídy:

V = 1/3 h (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) = 1/3 h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, kde S 2 je plocha ​horná základňa, h je výška.

Ale objem hranola ADEA 1 B 1 C 1 je V 1 = S 2 h, a preto

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 h S 2 - h S 2 \u003d 4/3 h S 2.

Takže V 2: V 1 \u003d 3: 4.

odpoveď: 3:4.

Úloha 3.

Strany podstav pravidelného štvorbokého zrezaného ihlana sú 2 a 1 a výška je 3. Priesečníkom uhlopriečok pyramídy je nakreslená rovina rovnobežná so základňami pyramídy, ktorá delí pyramídu na dve časti. časti. Nájdite objem každého z nich.

Riešenie.

Uvažujme skrátený ihlan ABCD 1 B 1 C 1 D 1 zobrazený v ryža. 3.

Označme O 1 O 2 \u003d x, potom OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Uvažujme trojuholník B 1 O 2 D 1 a trojuholník BO 2 D:

uhol B 1 O 2 D 1 rovný uhlu BO 2 D ako vertikálne;

uhol ВDO 2 sa rovná uhlu D 1 B 1 O 2 a uhol O 2 ВD sa rovná uhlu B 1 D 1 O 2, ktorý leží krížom v bode B 1 D 1 || BD a sečny B₁D a BD1, v tomto poradí.

Preto je trojuholník B 1 O 2 D 1 podobný trojuholníku BO 2 D a pomer strán platí:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 alebo 1/2 \u003d x / (x - 3), odkiaľ x \u003d 1.

Uvažujme trojuholník В 1 D 1 В a trojuholník LO 2 B: uhol В je spoločný a v B 1 D 1 existuje aj dvojica jednostranných uhlov || LM, potom je trojuholník B 1 D 1 B podobný trojuholníku LO 2 B, odkiaľ pochádza B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, t.j.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Potom S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Takže V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Odpoveď: 152/27; 37/27.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

- Ide o mnohosten, ktorý je tvorený základňou pyramídy a s ňou rovnobežnou časťou. Môžeme povedať, že zrezaná pyramída je pyramída s odrezaným vrcholom. Toto číslo má mnoho jedinečných vlastností:

• Bočné steny pyramídy sú lichobežníkové;
• Bočné rebrá pravidelného zrezaného ihlana sú rovnakej dĺžky a sklonené k základni pod rovnakým uhlom;
• Základy sú podobné polygóny;
• V pravidelnej skrátenej pyramíde sú tváre identické rovnoramenné lichobežníky, ktorých plocha je rovnaká. Sú tiež naklonené k základni pod jedným uhlom.

Vzorec pre plochu bočného povrchu zrezanej pyramídy je súčtom plôch jej strán:

Keďže strany zrezanej pyramídy sú lichobežníky, na výpočet parametrov budete musieť použiť vzorec lichobežníková oblasť. Pre pravidelnú zrezanú pyramídu možno použiť iný vzorec na výpočet plochy. Pretože všetky jeho strany, plochy a uhly na základni sú rovnaké, je možné použiť obvody základne a apotému a tiež odvodiť plochu cez uhol v základni.

Ak je podľa podmienok v pravidelnom zrezanom ihlane uvedená apotéma (výška strany) a dĺžky strán podstavy, potom je možné plochu vypočítať prostredníctvom polovičného súčinu súčtu obvodov základy a apotéma:

Pozrime sa na príklad výpočtu plochy bočného povrchu zrezanej pyramídy.
Daná pravidelná päťuholníková pyramída. Apothem l\u003d 5 cm, dĺžka tváre vo veľkej základni je a\u003d 6 cm a tvár je na menšej základni b\u003d 4 cm. Vypočítajte plochu zrezanej pyramídy.

Najprv nájdime obvody podstavcov. Keďže sme dostali päťuholníkovú pyramídu, chápeme, že základne sú päťuholníky. To znamená, že podstavy sú figúrka s piatimi rovnakými stranami. Nájdite obvod väčšej základne:

Rovnakým spôsobom nájdeme obvod menšej základne:

Teraz môžeme vypočítať plochu pravidelnej skrátenej pyramídy. Údaje dosadíme do vzorca:

Vypočítali sme teda plochu pravidelnej skrátenej pyramídy cez obvody a apotém.

Ďalším spôsobom, ako vypočítať plochu bočného povrchu pravidelnej pyramídy, je vzorec cez rohy na základni a oblasť týchto samotných základov.

Pozrime sa na príklad výpočtu. Pamätajte, že tento vzorec platí len pre bežnú zrezanú pyramídu.

Nech je daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Plocha spodnej základne je a = 6 cm a plocha hornej strany b = 4 cm Uhol sklonu základne je β = 60°. Nájdite bočnú plochu pravidelnej zrezanej pyramídy.

Najprv vypočítajme plochu základne. Keďže pyramída je pravidelná, všetky strany podstavcov sú si navzájom rovné. Vzhľadom na to, že základňa je štvoruholník, chápeme, že bude potrebné počítať štvorcová plocha. Je to súčin šírky a dĺžky, ale na druhú, tieto hodnoty sú rovnaké. Nájdite plochu väčšej základne:


Teraz použijeme nájdené hodnoty na výpočet bočného povrchu.

Keď poznáme niekoľko jednoduchých vzorcov, ľahko sme vypočítali plochu bočného lichobežníka zrezanej pyramídy pomocou rôznych hodnôt.

• 29.05.2016

  Oscilačný obvod je elektrický obvod obsahujúci tlmivku, kondenzátor a zdroj elektrickej energie. Pri sériovom zapojení prvkov obvodu sa oscilačný obvod nazýva sériový, s paralelným - paralelným. Oscilačný obvod je najjednoduchší systém, v ktorom je voľný elektromagnetické oscilácie. Rezonančná frekvencia obvodu je určená takzvaným Thomsonovým vzorcom: ƒ = 1/(2π√(LC)) Pre …

• 20.09.2014

  Prijímač je určený na príjem signálov v rozsahu LW (150 kHz ... 300 kHz). Hlavná prednosť prijímač v anténe, ktorá má väčšiu indukčnosť ako bežná magnetická anténa. To umožňuje využiť kapacitu ladiaceho kondenzátora v rozsahu 4 ... 20pF, rovnako ako takýto prijímač má prijateľnú citlivosť a malý zisk vo VF ceste. Prijímač pre slúchadlá (slúchadlá) funguje, je napájaný z ...

• 24.09.2014

  Toto zariadenie je určené na kontrolu hladiny kvapaliny v nádržiach, akonáhle kvapalina vystúpi na nastavenú úroveň, zariadenie začne vydávať nepretržitý zvukový signál, keď hladina kvapaliny dosiahne kritickú úroveň, zariadenie začne vydávať prerušovaný signál. Indikátor sa skladá z 2 generátorov, sú riadené senzorovým prvkom E. Je umiestnený v nádrži na úrovni do ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 je digitálny multiprogramový časovač navrhnutý pre prácu s indikátorom ILTs3-5\7. Poskytuje počítanie a zobrazenie aktuálneho času v hodinách a minútach, dňa v týždni a čísla riadiaceho kanálu (9 budíkov). Schéma budíka je znázornená na obrázku. Mikroobvod je taktovaný. rezonátor Q1 pri 32768 Hz. napájanie je záporné, spoločné plus patrí...

Schopnosť vypočítať objem priestorových útvarov je dôležitá pri riešení množstva praktických problémov v geometrii. Jedným z najbežnejších tvarov je pyramída. V tomto článku sa budeme zaoberať pyramídami, plnými aj skrátenými.

Pyramída ako trojrozmerná postava

Každý vie o egyptských pyramídach, takže má dobrú predstavu o tom, o ktorej postave sa bude diskutovať. Napriek tomu sú egyptské kamenné stavby len zvláštnym prípadom obrovskej triedy pyramíd.

Uvažovaným geometrickým objektom vo všeobecnom prípade je polygonálna základňa, ktorej každý vrchol je spojený s nejakým bodom v priestore, ktorý nepatrí do základnej roviny. Táto definícia vedie k obrázku pozostávajúceho z jedného n-uholníka a n trojuholníkov.

Každá pyramída pozostáva z n+1 stien, 2*n hrán a n+1 vrcholov. Keďže uvažovaný obrazec je dokonalý mnohosten, počty označených prvkov sa riadia Eulerovou rovnicou:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Mnohouholník umiestnený na základni dáva názov pyramídy, napríklad trojuholníkový, päťuholníkový atď. Sada pyramíd s rôznymi základňami je znázornená na fotografii nižšie.

Bod, v ktorom je spojených n trojuholníkov obrázku, sa nazýva vrchol pyramídy. Ak sa z nej spustí kolmica na základňu a pretína ju v geometrickom strede, potom sa takýto obrazec nazýva priamka. Ak táto podmienka nie je splnená, potom existuje naklonená pyramída.

Priamy obrazec, ktorého základňu tvorí rovnostranný (rovnohranný) n-uholník, sa nazýva pravidelný.

Objemový vzorec pyramídy

Na výpočet objemu pyramídy používame integrálny počet. Aby sme to urobili, zlomíme postavu rovnobežne so základňou rezanie rovín na nekonečné množstvo tenkých vrstiev. Na obrázku nižšie je znázornený štvorhranný ihlan s výškou h a dĺžkou strany L, v ktorom je tenká prierezová vrstva označená štvoruholníkom.

Plochu každej takejto vrstvy možno vypočítať podľa vzorca:

A(z) = Ao*(h-z)2/h2.

Tu A 0 je plocha základne, z je hodnota vertikálnej súradnice. Je vidieť, že ak z = 0, potom vzorec dáva hodnotu A 0 .

Ak chcete získať vzorec pre objem pyramídy, mali by ste vypočítať integrál po celej výške obrázku, to znamená:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Dosadením závislosti A(z) a výpočtom primitívnej derivácie dospejeme k výrazu:

V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Získali sme vzorec pre objem pyramídy. Ak chcete nájsť hodnotu V, stačí vynásobiť výšku postavy plochou základne a potom vydeliť výsledok tromi.

Všimnite si, že výsledný výraz je platný pre výpočet objemu pyramídy ľubovoľného typu. To znamená, že môže byť naklonený a jeho základňa môže byť ľubovoľný n-uholník.

a jeho objem

Prijaté v odseku vyššie všeobecný vzorec pre objem možno zjemniť v prípade pyramídy s pravidelnou základňou. Plocha takejto základne sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Ao = n/4*L2*ctg(pi/n).

Tu je L dĺžka strany pravidelného mnohouholníka s n vrcholmi. Symbol pi je číslo pi.

Dosadením výrazu pre A 0 do všeobecného vzorca dostaneme objem pravidelnej pyramídy:

Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).

Napríklad pre trojuholníkovú pyramídu vedie tento vzorec k nasledujúcemu výrazu:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu má objemový vzorec tvar:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Definícia objemov pravidelné pyramídy vyžaduje znalosť strany ich základne a výšky postavy.

Pyramída skrátená

Predpokladajme, že sme vzali ľubovoľnú pyramídu a odrezali časť jej bočnej plochy obsahujúcej vrchol. Zostávajúca postava sa nazýva zrezaná pyramída. Skladá sa už z dvoch n-gonálnych základov a n lichobežníkov, ktoré ich spájajú. Ak bola rovina rezu rovnobežná so základňou obrázku, potom je vytvorená zrezaná pyramída s paralelnými podobnými základňami. To znamená, že dĺžky strán jednej z nich možno získať vynásobením dĺžok druhej nejakým koeficientom k.

Na obrázku vyššie je zrezaný pravidelný, je vidieť, že jeho hornú základňu, rovnako ako spodnú, tvorí pravidelný šesťuholník.

Vzorec, ktorý možno odvodiť pomocou integrálneho počtu podobného vyššie uvedenému, je:

V = 1/3*h*(Ao + Ai + √(Ao*A1)).

Kde Ao a Ai sú plochy spodnej (veľkej) a hornej (malej) bázy. Premenná h ​​označuje výšku zrezaného ihlana.

Objem Cheopsovej pyramídy

Je zvláštne vyriešiť problém určenia objemu, ktorý najväčšia egyptská pyramída obsahuje.

V roku 1984 britskí egyptológovia Mark Lehner a Jon Goodman stanovili presné rozmery Cheopsovej pyramídy. Jeho pôvodná výška bola 146,50 metra (v súčasnosti asi 137 metrov). Priemerná dĺžka každej zo štyroch strán konštrukcie bola 230,363 metra. Základňa pyramídy je štvorcová s vysokou presnosťou.

Pomocou uvedených čísel určíme objem tohto kamenného obra. Keďže pyramída je pravidelný štvoruholník, platí pre ňu vzorec:

Po zaradení čísel dostaneme:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objem Cheopsovej pyramídy je takmer 2,6 milióna m3. Pre porovnanie uvádzame, že olympijský bazén má objem 2,5 tisíc m 3 . To znamená, že na naplnenie celej Cheopsovej pyramídy bude potrebných viac ako 1000 takýchto bazénov!