Pri príprave na skúšku z matematiky si študenti musia systematizovať svoje vedomosti z algebry a geometrie. Chcel by som skombinovať všetky známe informácie, napríklad ako vypočítať plochu pyramídy. Navyše, počnúc od základne a bočných plôch až po celú plochu. Ak je situácia jasná s bočnými plochami, pretože sú to trojuholníky, základňa je vždy iná.

Čo robiť pri hľadaní oblasti základne pyramídy?

Môže to byť úplne akýkoľvek obrázok: od ľubovoľného trojuholníka po n-uholník. A táto základňa, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť pravidelná alebo nesprávna. V úlohách USE, ktoré zaujímajú školákov, sú na základni iba úlohy so správnymi figúrkami. Preto budeme hovoriť len o nich.

správny trojuholník

To je rovnostranné. Taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a označuje sa písmenom „a“. V tomto prípade sa plocha základne pyramídy vypočíta podľa vzorca:

S = (a 2 * √3) / 4.

Námestie

Vzorec na výpočet jeho plochy je najjednoduchší, tu je "a" opäť strana:

Ľubovoľný pravidelný n-uholník

Strana mnohouholníka má rovnaké označenie. Pre počet rohov sa používa latinské písmeno n.

S = (n*a2)/(4*tg (180°/n)).

Ako postupovať pri výpočte bočnej a celkovej plochy?

Keďže základňa je pravidelná postava, všetky strany pyramídy sú rovnaké. Okrem toho je každý z nich rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom, aby ste mohli vypočítať bočnú plochu pyramídy, potrebujete vzorec pozostávajúci zo súčtu identických monomiálov. Počet členov je určený počtom strán základne.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom sa polovica súčinu základne vynásobí výškou. Táto výška v pyramíde sa nazýva apotém. Jeho označenie je „A“. Všeobecný vzorec pre oblasť bočného povrchu vyzerá takto:

S \u003d ½ P * A, kde P je obvod základne pyramídy.

Sú situácie, keď strany základne nie sú známe, ale sú dané bočné hrany (c) a plochý uhol v jej vrchole (α). Potom sa má použiť takýto vzorec na výpočet bočnej plochy pyramídy:

S = n/2 * v 2 sin α .

Úloha č.1

Podmienka. Nájdite celkovú plochu pyramídy, ak jej základňa leží na strane 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Riešenie. Musíte začať výpočtom obvodu základne. Keďže ide o pravidelný trojuholník, potom P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Keďže apotém je známy, môžete okamžite vypočítať plochu celého bočného povrchu: ½ * 12 * √3 \u003d 6√3 cm 2.

Pre trojuholník na základni sa získa nasledujúca hodnota plochy: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Na určenie celej plochy budete musieť sčítať dve výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odpoveď. 10√3 cm2.

Úloha č. 2

Podmienka. Je tu pravidelná štvoruholníková pyramída. Dĺžka strany základne je 7 mm, bočná hrana je 16 mm. Musíte poznať jeho povrch.

Riešenie. Pretože mnohosten je štvoruholníkový a pravidelný, jeho základňou je štvorec. Po naučení plôch základne a bočných plôch bude možné vypočítať plochu pyramídy. Vzorec pre štvorec je uvedený vyššie. A na bočných stranách sú známe všetky strany trojuholníka. Preto môžete použiť Heronov vzorec na výpočet ich plôch.

Prvé výpočty sú jednoduché a vedú k tomuto číslu: 49 mm 2. Pre druhú hodnotu budete musieť vypočítať polobvod: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Teraz môžete vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existujú iba štyri takéto trojuholníky, takže pri výpočte konečného čísla ho budete musieť vynásobiť 4.

Ukázalo sa: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Odpoveď. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Úloha č. 3

Podmienka. Pre bežnú štvorhrannú pyramídu musíte vypočítať plochu. V ňom je strana štvorca 6 cm a výška 4 cm.

Riešenie. Najjednoduchšie je použiť vzorec so súčinom obvodu a apotému. Prvú hodnotu je ľahké nájsť. Druhý je trochu náročnejší.

Budeme si musieť zapamätať Pytagorovu vetu a zvážiť, že je tvorená výškou pyramídy a apotémom, čo je prepona. Druhá noha sa rovná polovici strany štvorca, pretože výška mnohostenu spadá do jeho stredu.

Požadovaná apotéma (hypotenúza správny trojuholník) sa rovná √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Teraz môžete vypočítať požadovanú hodnotu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odpoveď. 96 cm2.

Úloha číslo 4

Podmienka. Správna strana jeho základne je 22 mm, bočné rebrá sú 61 mm. Aká je plocha bočného povrchu tohto mnohostenu?

Riešenie.Úvaha v nej je rovnaká ako v úlohe č.2. Iba tam bola daná pyramída so štvorcom na základni a teraz je to šesťuholník.

V prvom rade sa plocha základne vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca: (6 * 22 2) / (4 * tg (180 ° / 6)) \u003d 726 / (tg30 °) \u003d 726 ° 3 cm 2.

Teraz musíte zistiť polobvod rovnoramenného trojuholníka, ktorý je bočnou stenou. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Zostáva vypočítať plochu každého takého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca a potom ho vynásobiť šiestimi a pridať k tomu, ktorý sa ukázal pre základňu.

Výpočty pomocou Heronovho vzorca: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Výpočty, ktoré poskytnú plochu bočného povrchu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Zostáva ich spočítať, aby ste zistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpoveď. Základňa - 726√3 cm 2, bočná plocha - 3960 cm 2, celá plocha - 5217 cm 2.

trojuholníková pyramída Mnohosten sa nazýva mnohosten, ktorého základňou je pravidelný trojuholník.

V takejto pyramíde sú plochy základne a okraje strán navzájom rovnaké. V súlade s tým sa plocha bočných plôch zistí zo súčtu plôch troch identických trojuholníkov. Bočný povrch pravidelnej pyramídy nájdete pomocou vzorca. A výpočet môžete vykonať niekoľkokrát rýchlejšie. Na tento účel použite vzorec pre oblasť bočného povrchu trojuholníkovej pyramídy:

kde p je obvod základne, ktorej všetky strany sa rovnajú b, a je apotém znížený zhora na túto základňu. Zvážte príklad výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.

Úloha: Nech je zadaná správna pyramída. Strana trojuholníka ležiaceho na základni je b = 4 cm. Apotém pyramídy je a = 7 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Keďže podľa podmienok úlohy poznáme dĺžky všetkých potrebné prvky, nájdite obvod. Pamätajte, že v pravidelnom trojuholníku sú všetky strany rovnaké, a preto sa obvod vypočíta podľa vzorca:

Nahraďte údaje a nájdite hodnotu:

Teraz, keď poznáme obvod, môžeme vypočítať plochu bočného povrchu:

Ak chcete použiť vzorec pre oblasť trojuholníkovej pyramídy na výpočet plnej hodnoty, musíte nájsť oblasť základne mnohostenu. Na tento účel sa používa vzorec:

Vzorec pre oblasť základne trojuholníkovej pyramídy môže byť odlišný. Je dovolené použiť akýkoľvek výpočet parametrov pre daný údaj, ale väčšinou sa to nevyžaduje. Zvážte príklad výpočtu plochy základne trojuholníkovej pyramídy.

Úloha: V pravidelnej pyramíde má strana trojuholníka ležiaceho na základni a = 6 cm. Vypočítajte plochu základne.
Na výpočet potrebujeme iba dĺžku strany pravidelného trojuholníka umiestneného na základni pyramídy. Nahraďte údaje vo vzorci:

Pomerne často je potrebné nájsť celkovú plochu mnohostenu. Ak to chcete urobiť, musíte pridať oblasť bočného povrchu a základne.

Zvážte príklad výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.

Úloha: nech je daný správny trojuholníková pyramída. Strana základne je b = 4 cm, apotém je a = 6 cm. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Najprv nájdime oblasť bočného povrchu dobre známy vzorec. Vypočítajte obvod:

Údaje dosadíme do vzorca:
Teraz nájdite oblasť základne:
Keď poznáme plochu základne a bočného povrchu, nájdeme celkovú plochu pyramídy:

Pri výpočte plochy pravidelnej pyramídy by sme nemali zabúdať, že základňa je pravidelný trojuholník a mnohé prvky tohto mnohostenu sú si navzájom rovné.

Pyramída, na ktorej základni leží pravidelný šesťuholník a strany sú vytvorené pravidelné trojuholníky, volal šesťuholníkový.

Tento mnohosten má mnoho vlastností:

• Všetky strany a uhly základne sú si navzájom rovné;
• Všetky hrany a dvojstenné uhoľné pyramídy sú si tiež navzájom rovné;
• Trojuholníky tvoriace strany sú rovnaké, respektíve majú rovnakú plochu, strany a výšku.

Na výpočet plochy pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy sa používa štandardný vzorec pre bočnú plochu šesťhrannej pyramídy:

kde P je obvod základne, a je dĺžka apotému pyramídy. Vo väčšine prípadov môžete vypočítať bočnú plochu pomocou tohto vzorca, ale niekedy môžete použiť inú metódu. Pretože sú vytvorené bočné steny pyramídy rovnaké trojuholníky, môžete nájsť plochu jedného trojuholníka a potom ju vynásobiť počtom strán. V šesťhrannej pyramíde je ich 6. Túto metódu je však možné použiť aj pri výpočte. Uvažujme o príklade výpočtu bočnej plochy šesťhrannej pyramídy.

Nech je daný pravidelný šesťhranný ihlan, v ktorom apotém je a = 7 cm, strana základne je b = 3 cm. Vypočítajte plochu bočného povrchu mnohostenu.
Najprv nájdite obvod základne. Keďže pyramída je pravidelná, má na svojej základni pravidelný šesťuholník. Všetky jeho strany sú teda rovnaké a obvod sa vypočíta podľa vzorca:
Údaje dosadíme do vzorca:
Teraz môžeme ľahko nájsť plochu bočného povrchu dosadením nájdenej hodnoty do hlavného vzorca:

Dôležitým bodom je aj hľadanie oblasti základne. Vzorec pre oblasť základne šesťuholníkovej pyramídy je odvodený od vlastností pravidelného šesťuholníka:

Uvažujme príklad výpočtu plochy základne šesťhrannej pyramídy, pričom za základ vezmite podmienky z predchádzajúceho príkladu. Z nich vieme, že strana základne je b = 3 cm. Údaje dosadíme do vzorec:

Vzorec pre oblasť šesťhrannej pyramídy je súčtom plochy základne a bočného skenovania:

Zvážte príklad výpočtu plochy šesťhrannej pyramídy.

Nech je daný ihlan, na základni ktorého leží pravidelný šesťuholník so stranou b = 4 cm.Apotéma daného mnohostenu je a = 6 cm. Nájdite celkovú plochu.
Vieme, že celková plocha sa skladá z plôch základne a bočného zametania. Poďme ich teda najskôr nájsť. Vypočítajte obvod:

Teraz nájdite oblasť bočného povrchu:

Ďalej vypočítame plochu základne, v ktorej leží pravidelný šesťuholník:

Teraz môžeme sčítať výsledky: